（4.67）因此，在假设S满足SC（F）的市场价格λF的情况下，我们得到[i]]τ+∞[S=I]]τ+∞[M+I]]τ+∞[oA=I]]τ+∞[M+eλFI]]τ+∞[ohMiF=cM（a）- (1 - Z-)-1I]]τ+∞[hm，MiF+eλFI]]τ+∞[ohMiF=cM（a）- (1 - Z-)-1I]]τ+∞[hTa（m），cM（a）iG+eλFI]]τ+∞[hTa（M），cM（a）iG.=cM（a）+（eλF- (1 - Z-)-1β（1，m））oI]]τ+∞[hTa（M），cM（a）iG，=cM（a）+eλF（1）- Z-) - β（1，m）eψ（1）- Z-)一] ]τ+∞[hcM（a）iG.由于引理a.4-（d），很明显eλF（1- Z-) - β（1，m）eψ（1）- Z-)一] ]τ+∞[[∈ Lloc（cM（a），G）i ffi{eψ>0}eλF（1）- Z-) - β（1，m）qeψ∈ Lloc（T（M），F）。这意味着- （4.64）给出了Sτ，G）saties SC及其市场价格p，从而完成了定理的证明。本节的最后一个主要结果给出了关于τ的必要和有效条件，以保证在τf之后的零件或根据f定理4.12具有该特征的任何模型保留SC。假设τ满足（4.43），对于任何N∈ M0，loc（F），我们把ψN:=d(1 -eZ）o[N，N]p、 FdhNiF=1- ~nN，（4.68），其中（3.38）中定义了~n。那么下面的断言是等价的。（a） {eZ=1>Z-} 是消逝的且（ψN）-对于任意N，1I{ψN>0}是局部有界的∈ M0，位置（F）。（b） （十）- 对于满足SC证明的任何（X，F），Xτ，G）满足SC。（a）的意义==> （b） 是定理4.11的直接结果。为了证明相反，我们假设断言（b）成立，并模仿定理3.12的证明。为了完整起见，我们给出了全部细节。因为{eZ=1}∩{Z-< 1}  {m 6=0}，这是一个稀疏集。不要在时间上停下来，以致于 {eZ=1}∩ {Z-< 1}. 然后，考虑下面的F-鞅，M=V-电动汽车∈ M（F），其中V:=I[[T+∞[andeV:=（V）p，F.（4.69）因为{t>τ} {eZt<1}（见Jeulin[36]或Choulli等人[19]）andeZT=1关于{T<+∞}, 我们推断τ≥ T、 P- a、 安第斯和马里兰州- Mτ=-一] ]τ+∞[oeV（4.70）满足SC（G）。

通过结合引理2.2，我们得出结论- Mτ必须为空（即i]]τ+∞因此，我们得到0=E一] ]τ+∞[o电动汽车∞= EZ+∞(1 - Zs-)开发人员= E(1 - ZT-)I{T<+∞}, （4.71）或同等（1- ZT-)I{T<+∞}= 0，这意味着T=+∞, P- a、 s。。因此，细集{eZ=1}∩ {Z-< 1} 是转瞬即逝的（见[33]第20页的命题2.18）。因此，对于安恩来说∈ M0，loc（F），我们推导出hbn（a）iF=I]]τ+∞[[1 - Z-o(1 -eZ）o[N，N]p、 F=ψNI]]τ+∞[[1 - Z-ohNiF。（4.72）因此，这个证明的其余部分集中在断言（a）的第二个陈述上，我们认为N∈ M（F），并定义了以下过程ESX:=I{Z-<1} N+θ+β（N，m）1- Z-I{Z-<1} ohNiF，其中β（N，m）：=dhm，NiFdhNiF，θ∈ Lloc（N，F）。显然，（X，F）满足SC，因此（Xτ，G）也满足SC。因此，由于]]τ+∞[[ {Z-< 1} 我们得到xτ=bN（a）- (1 - Z-)-1I]]τ+∞[ohm，NiF+θ+β（N，m）1- Z-一] ]τ+∞[hNiF=bN（a）+θ1- Z-一] ]τ+∞[hNiF=bN（a）+θψNI{ψN>0}ohbN（b）iG。最后一个等式从（3.42）开始。因此，我们得出结论：θψNI{ψN>0}∈ 任意θ的Lloc（bN（b），G）∈Lloc（N，F）。因此，通过结合（3.42），命题A.1-（c）和[25，第八章10-11]（Lenglart的结果，声称每个可预测的过程H，例如≤s≤·|Hs |有一个有限的变化量，局部有界），声称θψNI{ψN>0}∈ 任意θ的Lloc（bN（b），G）∈ Lloc（N，F）相当于|λ|ψNI{ψN>0，Z-<1} ohNiFT<+∞ , P-a.s.，对于任何F-可预测过程λ|λ| hNiFT<+∞, P-a.s。。结合[39，定理2.7]，我们推导出P-几乎全部ω∈ Ohm, 函数φN（ω，s）I{ψN>0，Zs-（ω） <1}，s∈ [0，T]属于L（[0，T]，dhNiFs（ω））（即L）的对偶∞（[0，T]，dhNiFs（ω）））。事实上，将[39，定理2.7]应用于∧n（λ）：=ZTλ（s）ψn（ω，s）I{Zs就足够了-（ω） <1，ψN（ω，s）≥N-1} dhNiFs（ω），n≥ 1，收敛于λ（s）ψN（ω，s）I{Zs-（ω） 任何λ的<1，ψN（ω，s）>0}dhNiFs（ω）∈ L（[0，T]，dhNiFs（ω））。

因此，P-几乎都是ω∈ Ohm, 存在C（ω）∈ (0, +∞) 使得ψN（ω，s）I{ψN（ω，s）>0，Zs-(ω)<1}≤ C（ω）， s∈]0，T]。这证明了sup0≤s≤·（ψN（s））-1I{Zs-<1，ψN（s）>0}F-可预测且变化有限。因此，由于[25，第八章10-11]中Lenglart的结果，它是局部有界的。这证明了断言（a），并完成了定理的证明。备注4.13。（a） 当m是连续的，我们得到Z=Z-ψN=1- Z-对任何人来说∈ M0，位置（F）。因此在这种情况下，（X- 无论何时（X，F），Xτ，G）总是满足SC。（b） 很明显，例2.5的精神自然地出现在定理2中。致谢：这项研究的一个重要部分是在阿尔伯塔大学完成的。对T.Choulli的研究得到加拿大自然科学和工程研究委员会（G121210818）的资助。邓军的研究得到了国家自然科学基金（11501105）和UIBE优秀青年研究基金（302/871703）的资助。一个有用的结果命题A.1。以下断言成立。（a） 存在一系列G-可预测停止时间（τn）n≥1.增加到+∞ [and]]0，τn∧ τ]]  {Z-≥ N-1}. （A.73）（b）设（σGn）nbe为G-可预测停止时间序列，增加到+∞. 然后，存在F-可预测停止时间（σFn）n的非递减序列≥1.满足以下性质σGn∧ τ=σFn∧ τ、 σF∞:= supnσFn≥ R P- a、 s.，（a.74）和ZσF∞-= 0便士- a、 s.on∑∩ （σF）∞< +∞), （A.75）式中，∑：=\\n≥1（σFn<σF∞) 和R:=inf{t≥ 0 | Zt=0}。（c） 设V为F-可预测且不递减的过程，其值为[0+∞]. 那么，Vτ∈ A+loc（G）当且仅当I{Z-≥δ} oV∈ A+loc（F）表示任何δ>0。引理A.2（[19]）。以下断言成立。（b） 对于任何具有局部可积变分的F-适应过程V，我们有（Vτ）p，G=（Z-)-1I[[0，τ]]o（eZoV）p，F。

（A.76）（b）对于任何F-局部鞅M，我们有，[[0，τ]]p，G梅兹=p、 FMI{eZ>0}Z-, andp，G简单=p、 FI{eZ>0}Z-. 引理A.3。以下过程b：=p、 FI{eZ>0}-1I[[0，τ]]（A.78）是G-可预测且局部有界的。证据注意到这一点就足够了≤ I{eZ>0}和过程（Z-)-1I[[0，τ]]是G-局部有界的。引理A.4。假设τ是一个诚实的时间。那么下面的断言就成立了。（a） 如果ZτI{τ<+∞}< 1个P-a.s.，然后（1- Z-)-1I]]τ+∞[[是一个G-局部有界且可预测的过程。（b）对于任何具有局部可积变化的F-适应过程，V，我们有]]τ+∞[Vp，G=I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1o(1 -eZ）oVp、 F.（A.79）（c）假设τ几乎肯定是有限的，且Zτ<1 p-A.s。。然后，I[[τ+∞]]o五、∈ Aloc（G）当且仅当（1）-eZ）oV∈ Aloc（F）。（d） 假设τ几乎肯定是有限的，Zτ<1p-a.s.，V是一个非减量且F-可预测的过程。然后，对于任何F-可预测过程≥ 0，νI]]τ+∞[V]∈ A+loc（G）i FF（1）- Z-)§V∈ A+loc（F）i fff~ni{Z-<1} oV∈ A+loc（F）。引理A.5。假设τ是一个诚实的时间，ZτI{τ<+∞}< 1个P-a.s。。然后进程v（b）：=p、 FI{eZ<1}-1I]]τ+∞[[（A.80）是G-可预测且局部有界的。证明。注意到1就足够了-简单≤ I{eZ<1}和过程（1）- Z-)-1I]]τ+∞[1]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.和Jeanblanc，M.，2017年。准左连续模型的随机水平无套利。《金融与科学》第21（4）页，第1103-1139页。[2] Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.和Jeanblanc，M.，2018年。在诚实的时代下没有套利。《金融与随机》，第22（1）页，第127-159页。[3] Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.和Jeanblanc，M.，2018年。薄半鞅模型在附加信息下无套利。

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