逐步增加信息下的结构条件

2022-5-5 23:56:41

逐步增加信息下的结构条件Tahir Choulli*加拿大艾伯塔大学埃德蒙顿分校数理统计系对外经济贸易大学银行与金融学院中国北京12月31日，2018年摘要众所周知，马科维茨最优投资组合或局部风险最小化问题的解决方案的“局部”存在是由文献中称为“结构条件”的基础资产价格过程的特定数学结构保证的。在本文中，我们考虑了一个半鞅市场模型l和一个不适应市场模型信息流的n ar双随机时间。这种随机时间可以模拟一家公司的违约时间、被保险人的死亡时间，或者可能以某种方式影响市场模型的任何事件的发生时间。通过给市场模型增加额外的不确定性，通过这种随机时间，结构条件可能会失效，因此马科维茨最优投资组合和其他二次最优投资组合可能不存在。我们的目的是从不同的角度研究这种随机时间对结构条件的影响。我们的分析允许我们得出结论，在市场模型和随机时间的一些温和假设下，这些结构条件一方面仍然有效。此外，我们还提供了两个例子来说明这些假设的重要性。另一方面，我们描述了随机时间模型，对于任何市场模型，这些结构条件都是存在的。

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2022-5-5 23:56:45

这些结果分别在随机时间停止和完全合并一类特定随机时间的两种情况下详细阐述。1简介自从Markowitz关于最优投资组合的开创性工作以来，或有索赔的二次标准变得非常流行，并且是数学金融、现代金融和保险领域的一个重要课题。在这种情况下，提出了两种主要的二次竞争方法。准确地说，是局部风险最小化和均值-方差对冲。关于这两种方法及其关系的更多细节，我们请读者参考Health等人[28]、Cer ny和Kallsen[20]、Du ffee和Richardson[21]、Delbaen和Schacherm ayer[26]、Biagini等人[16]、Jeanblanc等人[35]、Schweizer[41,40]、Choulli等人[18]、Laurent和Pham[37]以及参考文献。*通讯作者，电邮：tchoulli@ualberta.caOne这些方法的重要共同特征在于，假设市场模型应该充分，以便这两种方法至少在局部允许解。这些条件被称为“结构条件”（下文称为SC），在这种二次上下文中，它们是无套利条件的替代品。事实上，对于连续价格过程的情况，证明了这些条件等同于第一类无套利（无无界有界风险，下文称为NUPBR），或等同于市场模型的局部鞅函数的存在。关于这些等价性的详细信息，请读者阅读Choulli和Stricker[43]。然而，在一般情况下，这两个概念（即。

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2022-5-5 23:56:48

SC和NUPBR）的差异非常大。最近，研究不同信息水平对套利理论和效用最大化问题的影响的兴趣高涨，参见[4]、[19]、[27]、[29]、[7]及其参考文献。从经济学的角度来看，信息是一种具有价值的商品；经济主体渴望信息，因为它能帮助他们做出决策，并最大限度地发挥其依赖于国家的效用，尤其是当他们面临不确定性时。关于这一经济观点的更多细节，我们请读者参考艾伦[6]和阿罗[11,12,13]以及其中的参考文献。在本文中，我们研究了一些额外信息/不确定性对结构条件的影响。该额外信息来自随机时间τ，该时间τ不适用于过滤F:=（Ft）t表示的公共信息≥0.结合来自τ和F的信息有两个主流：过滤F的初始放大和渐进放大（见[36]、[34]、[44]和其中的参考文献）。在此，我们将注意力限制在将信息从τ逐渐增加到F，由此产生的较大过滤将在本文中用G表示。在本文中，我们致力于研究以下两个问题：对于哪一对（τ，S），（S，G）满足SC？（问题1）对于τ（X，G）的哪个模型，只要（X，F）是完整的？（Prob2）为了回答这两个问题（Prob1）和（Prob2），我们将时间范围[0+∞[[分成两个不相交的区间[[0，τ]]和]]τ+∞换句话说，我们通过研究（Sτ，G）和（S）来研究τ对S结构条件的影响- Sτ，G）分别。本文包括几个部分，包括当前部分，以及附录w。在这里，我们回顾了一些有用的结果。

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2022-5-5 23:56:51

第2节定义了数学模型，而第3节讨论了在τ处停止的模型的结构条件。最后一节，第4节，涉及“τ之后的部分”。2数学模型和初步研究我们的数学模型从随机基础开始(Ohm, A、 F=（英尺）t≥0，P），其中F是满足权利连续性和完整性通常条件的过滤，代表“公共”信息随时间的流动。在这个过滤概率空间上，我们考虑给定的S，一个一维特殊半鞅，使得S=S+M+a，（2.1），其中M是局部平方可积局部鞅，a是有限变差可预测的。抹杀了可交易的风险资产。对多维情形和/或一般半鞅的推广是非常可行的，但我们为了更好地说明主要思想，避免了一些技术性的问题。因此(Ohm, A、 F，S，P）构成了最初的市场模型。除了这个模型，我们还考虑了一个A-可测的随机时间τ：Ohm → R+从一开始就固定，适用于整篇论文。该随机时间可以代表代理人的死亡时间、突然退休时间、公司破产时间、违约时间或可能影响初始市场和/或代理人的事件发生的任何时间。从数学上讲，这个随机时间不是关于F的停止时间，因此我们无法确定时间t是否发生了这个随机时间。然而，利用信息流F，我们可以观察这个随机时间的生存概率。为了严格地表述这一点，我们将给定比亚迪的对（D，G）与τ联系起来：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，其中Gt=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）. （2.2）过滤G是可以检测到τ出现的新信息流。

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2022-5-5 23:56:54

从数学上讲，τ是连续的，因此F是最小的。在概率论文献中，G被称为F随τ的逐步扩大。除了G和D之外，我们还将τ与zt给出的两个重要的F-超鞅联系起来：=o，F（I[[0，τ[]）t=P（τ>t | Ft）和zt:=o，F（I[[0，τ]]）=Pτ ≥ T英尺. （2.3）supermartingale Z（称为Az’ema supermartingale）与左极限是右连续的，而Lee只管理右极限和左极限。Z的分解导致另一个重要的鞅bym:=Z+Do，F，（2.4）其中Do，Fis是D=I[[τ]的F-对偶可选投影，∞此外，我们还有Z+=Z和Z=Z-+ m、在本文中，过滤H表示满足通常条件的任意过滤。通常，H-鞅集是p-可积的（p≥ 1）将用Mp（H）表示，a+（H）表示一组递增的、右连续的、H-适应的和可积的过程。如果C（H）是过滤H的一类过程，我们用C（H）表示过程X的集合∈ C（H）的X=0，通过完成一组过程X，从而存在一系列H停止时间（Tn）n≥1.增加到+∞ 停止的过程从XTnbelongs到C（H）。我们把C0，loc=C∩克劳克。有时，我们需要计算不同过滤条件下的可预测预测预测和补偿。为了区分影响，我们将使用p、H（V）和（V）p、Hto来指定过滤H。

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2022-5-5 23:56:57

当二次变分过程[o，o]是H-局部可积的时，我们将Ho，o作为它的补偿函数。对于任何H-局部平方可积局部鞅X，我们表示Lloc（X，H）是（X，H）-可积（在半马丁鞅意义下）的一组可积过程θ和由此得到的积分θoX是局部平方可积局部鞅。下面，我们回顾一下我们将在本文中讨论的结构条件的概念。它可以追溯到施韦泽[41]。定义2.1。设X为H适应过程。如果存在M，我们说X满足H（或（X，H）满足SC）下的结构条件∈ M0，loc（P，H）和λ∈ Lloc（M，H）使得X=X+M+λohM，MiH。（2.5）关于结构条件和其他相关性质的更多细节，我们参考读者toSchweizer[41,40]、Choulli和Stricker[17]以及其中的参考文献。下面，我们将证明一个简单但有用的引理。引理2.2。设V是一个H-可预测的有限变化过程。然后，（V，H）满足SC当且仅当V i是常数（即Vt≡ 五、 t≥ 0).证据如果（V，H）满足SC，则存在H-局部鞅mv和H-可预测过程λH∈ Lloc（M，H）使得V=V+MV+λHohMV，MViH。因此，mv是一个具有有限变化的H-可预测局部鞅。因此M为空，V为空≡ V.引理的证明到此结束。下面的引理解释了为什么在处理f或（S，G）的结构条件时，可以将研究分成两个独立的案例。精确地说，（S，G）满意度SC等于（Sτ，G）和（S- Sτ，G）full fills SC.引理2.3。以下断言成立。（a）设σ为H-停止时间。

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2022-5-5 23:57:00

然后（X，H）满足结构条件当且仅当（Xσ，H）和（X- Xσ，H）do。（b）（X，H）满足结构条件，当且仅当存在一系列H-停止时间增加到完整性（σn）n≥（Xσn，H）满足任意n的结构条件≥ 1.证据。从定义开始，证据立即出现，将被省略。定义2.4。设M和N是两个H-局部鞅，N是局部平方可积的。我们说，M允许高尔乔克-库尼塔-渡边分解，以下称为GKWdecomposition，如果存在一个φ，则与N有关∈ Lloc（N，H）和一个H-局部鞅L，使得[L，N]是一个局部鞅，M=M+~noN+L。现在很清楚，当过程M和N都是局部平方可积局部鞅时，这种分解总是成立的。关于GKW分解的更多细节，我们请读者参考Ansel和Stricker[8,9]，更多关于无套利条件和/或其他市场生存条件的应用，我们请读者参考[17]。因此，作为这一点的直接结果，我们陈述了SC与无无无界利润和有界风险（下文简称NUPBR）的无套利概念之间的以下关系。当金融机构具有严格的凹型效用（n on-二次设置）时，NUPBR对于市场的可行性是必要且有效的。在一系列的论文中，当过滤F随随机时间逐渐增大时，NUPBR的这种作用已被深入研究。此外，当S是一个连续的过程时，NUPBR和S C的概念是一致的，而在一般情况下，它们可能会有很大的不同，正如Choulli等人[17]所解释的那样。为了回忆最后一点，我们借用[17]中的以下例子。例2.5。

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2022-5-5 23:57:03

设p为p-oisson过程，N为补偿泊松过程（即Nt:=pt）- t）和f是L（[0,1]，ds）\\L（[0,1]，ds）（即Rf（s）ds<+∞ =Rf（s）ds）。假设过滤F是泊松过程的增强自然过滤。然后是下面的模型（S，F），其中S:=N-Z·f（s）ds，当它在SC中失败时，满足NUPBR。因此，这个例子清楚地表明，NUPBR一般并不意味着SC。通过使用相同的数据并选择S作为泊松过程本身，我们也可以很容易地得出结论，Ssatis fies SC但失败NUPBR。然而，NUPBR和SC之间的关系可以通过GKW分解进行如下阐述。定理2.6。假设（X，H）满足假设（2.1）（即sup0）≤T≤.Xt∈ A+loc（H）），并且存在正H-局部鞅Z，使得ZX是局部鞅。如果Z允许GKWdecomposition关于MX（X的局部鞅部分），那么（X，H）full fills SC.特别是，（X，H）full fills SC，只要e xi有一个正Z∈ Mloc（F），使得ZX是局部鞅。证据一方面，通过应用假设存在的N对M的GKW分解，我们得到λ∈ Lloc（M）使得hN，mi=λ hMi。另一方面，由于X是特殊的半鞅，具有Doob-Meyer分解X+X+M+A，它是E（N）X的一个^o公式的直接应用，我们推导出X=X+M- hN，mIH=X+M- λ hMi。这就结束了定理的证明。3随机水平下的结构条件本节以两种不同的方式研究并量化在τ处停止对结构条件的影响。一方面，我们提供了对（τ，S）的充分必要条件，对于这些条件，S结构条件适用于（Sτ，G）。

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2022-5-5 23:57:07

这部分解决了问题（问题1）。另一方面，我们给出了τ的必要和充分条件，只要模型（X，F）满足，τ的（Xτ，G）完全满足结构条件。本节包含四个部分。第一小节分析了两类G-局部鞅及其性质。第二小节研究了第一小节中的一类全局鞅的Galtchouk Kunita Watanabe分解。第三小节和第四小节分别讨论了特殊情况和一般情况下（Sτ，G）的结构条件。3.1 F-局部鞅上的三个变换算子。我们回顾了F-局部鞅上的三个变换算子，它们在研究（Sτ，G）的结构条件时起着重要和自然的作用。然后，我们将讨论它们的一些特性，这些特性将在本节的其余部分中有用。提议3.1。让X∈ M0，位置（F）。然后过程T（X）给出byT（X）：=I{Z->0}oX-十、XI{eZ=0<Z-}+十、XI{eZ=0<Z-}p、 F（3.6）属于M0，loc（F），由bx（b）定义的过程bx（b）和Tb（X）：=Xτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-ohX、miF、Tb（X）：=bX（b）-eZI]]0，τ]]o[X，m]+Z-一] ]0，τ]]I{eZ>0}o[X，m]p、 F，（3.7）=Xτ-eZI]]0，τ]]o[X，m]+I]]0，τ]]XI{eZ=0<Z-}十、p、 F是G-局部鞅。此外，T（X）∈ Mloc（F）和BX（b）∈ 当X∈ Mloc（F）。证据T（X）的证明∈ M0，任意X的位置（F）∈ M0，loc（F）是显而易见的，我们将省略它。在Jeulin[36，命题（4.16）]和[24，XX.76]中可以找到Bx（b）是G-局部鞅的证明，而Tb（X）的证明∈ M0loc（G）由[5，定理3]给出。假设X∈ Mloc（F）。那么很明显，具有有限变化I]]0，τ]]Z的G-pr可预测过程-1.-ohX，miFis G-locallybounded。因此，条件bx（b）∈ Mloc（F）减少到su p0≤s≤·Xs∧τ∈ A+loc（G）。

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kedemingshi

2022-5-5 23:57:10

当X∈ Mloc（F），由于sup0≤s≤·Xs∧τ≤ sup0≤s≤·Xs∈ A+loc（F） A+loc（G）。这就结束了这个命题的终结。下面介绍三种变换之间的相互作用。提议3.2。让X，Y∈ M0，loc（F）和准左连续。那么下面的例子就成立了。（a）我们有[bX（b），Tb（Y）]=[bY（b），Tb（X）]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。（3.8）因此，当X，Y∈ M0，loc（F），由hbx（b），Tb（Y）iG=I]]0，τ]]hT（X），Y iF=I]]0，τ]]hT（Y），T（X）iF给出。（3.9）（b）下列等式保持hbx（b），bX（b）iG=I]]0，τ]]Z-oeZo[X，X]F、（3.10）Tb（T（M））=Tb（M），和\\T（M）（b）=cM（b）。（3.11）证据。由于X和Y的准左连续性，这两个过程I]]0，τ]]Z-1.-ohX，米凡兹-一] ]0，τ]]I{eZ>0}o[Y，m]p、票价连续变化。因此，我们推导出[bX（b），Tb（Y）]=Xτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-o总部、miF、bY（b）-eZI]]0，τ]]o[Y，m]+Z-一] ]0，τ]]I{eZ>0}o[Y，m]p、 F=Xτ，Yτ-eZI]]0，τ]]o[Y，m]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。X和Y的对称作用导致[bY（b），Tb（X）]=Z-eZI]]0，τ]]o[Y，X]。这证明了（3.8）。为了证明断言（a）的第二个陈述，我们结合方程式（3.8）和引理a.2，以及derivehbX（b），Tb（Y）iG=Z-eZI]]0，τ]]o[X，Y]p、 G=I]]0，τ]]I{eZ>0}o[X，Y]p、 F=I]]0，τ]]ohT（X），Y如果=I]]0，τ]]ohT（X），T（Y）如果。这就结束了断言（a）的证明。再次感谢X的准左连续性，我们得到了hbx（b），bX（b）i=hXτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-ohX，miF，Xτ- 一] ]0，τ]]Z-1.-ohX，miFi=I]]0，τ]]o[X，X]。因此，把这个w和引理A.2结合起来，（4.49）紧随其后，而（3.11）是I{eZ=0}I[[0，τ]]的直接结果≡ 这个命题的证明。对于任何拟左连续X，以下命题将关于（bX（b），G）的可积性与关于（T（X），F）的可积性联系起来∈ Mloc（F）。提议3.3。

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2022-5-5 23:57:13

让我∈ M0，loc（F）由（2.1）给出，并假设M是准左连续的。然后存在一个唯一的（P dhT（M）iF-a.e.）F-可预测的过程e~n->0}oeZo[M，M]p、 F=e kohT（M）iF和0≤ e~n≤ 1.（3.12）此外，以下断言成立。（a）它认为I{e~n=0}ocM（b）≡ 0和θpeаI{eа>0}∈ Lloc（cM（b），G），对于任何θ∈ Lloc（M，F）。（b）设θGbe为G-可预测过程。那么θG∈ Lloc（cM（b），G）当且仅当存在可预测的过程ssθ，使得θG=θon]]0，τ]]和θpe k I{Z-≥δ}∈ 对于任何δ>0的情况，Lloc（T（M），F）。证据为了证明满足（3.12）的e~ns的存在性，我们考虑n:=Z-oM+I{Z->0}o[M，M]- I{Z->0}ohM，miF，这是一个局部平方可积的拟左连续F-局部鞅，其跳数由下式给出：N=eZM因此，GKW分解的直接应用导致了一个唯一对（e~n，L）的存在∈ Lloc（T（M），F）×M0，loc（F）使得n=e koT（M）+L，hT（M），LiF≡ 0.根据N的定义，我们很容易得出[N，T（M）]=[N，M]=eZI{Z->0}o[M，M]。因此，通过对上述两个sid进行补偿，（3.12）中的第一个等式紧随其后。那是因为Ezi{Z->0}o[M，M]是不减损的，并且由[T（M），T（M）]主导，我们认为0≤ e~n≤ 1，证明了（3.12）。（a）为了证实断言（a），一方面，我们注意到hi{e~n=0}ocM（b）iG=I{e~n=0}ohcM（b）iG=e~nZ-I{e~n=0}I]]0，τ]]ohT（M）如果≡ 0.另一方面，我们计算θpeаI{eа>0}ocM（b）iG=θeаI{eа>0}ohcM（b）iG=θZ-I{eИ>0}I]]0，τ]]ohT（M）iF。因此，断言（a）紧跟在这些等式之后。（b）注意等式（θG）ohcM（b）iG=θZ-一] ]0，τ]]eZo[M，M]p、 F=（θpeа）Z-一] ]0，τ]]ohT（M）如果。然后，断言（b）由这个等式和命题A.1-（c）组合而成。

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2022-5-5 23:57:16

这就结束了这个命题的终结。3.2一类G-局部鞅的Galtchouk Kunita Watanabe本小节研究了当M小于M0，loc（F）时Tb（M）相对于tocM（b）的GKW分解。事实上，我们证明了这种分解总是适用于pe~noTb（M）而不是Tb（M）。定理3.4。让我∈ M0，loc（F）由（2.1）给出，T（M）由（3.6）给出。假设Mis准左连续，那么下面的断言成立。（a）有一个∈ M0，loc（G）使[eL，cM（b）]∈ M0、loc（G）和PEаoTb（M）=Z-peаI{eа>0}ocM（b）+peаeL。（3.13）（b）对于任何准左连续N∈ M0，loc（F），存在唯一的对（θN，LN），属于toLloc（T（M），F）×M0，loc（G）和satisfe~noTb（N）=Z-θNpeаI{eа>0}ocM（b）+peаLN[LN，cM（b）]∈ M0，loc（G），（3.14），θN:=dhN，T（M）iFdhT（M）iF。（3.15）证据。对于任意局部平方可积F-局部鞅N，表示T（b，N）（N）asT（b，N）（N）：=bN（b）-一] ]0，τ]]Z-oTb（Nn），其中Nn:=I{eZ≥N-1} o[N，m]-我{eZ≥N-1} o[N，m]p、 F.（3.16）很明显，T（b，n）（n）在Mloc（G）中收敛到Tb（n），NN在Mloc（G）中收敛，hT（b，n）（n），cM（b）iG收敛到hTb（n），cM（b）iG。此外，还直接应用了T（b，n）（n）关于e~n的GKW分解-1/2ocM（b），因为这两个过程都属于Mloc（G），导致toT（b，n）（n）=θnpe~nocM（b）+Ln。（3.17）这里θ是一个F-可预测的p过程，使得θn∈ Lloc（e）-1/2o厘米（b），克）和英寸∈ Mloc（G）与HLN、cM（b）iG≡ 因此，见第3.3-（b）位，我们得出结论θnI{Z-≥δ}∈ Lloc（T（M），F），对于任何δ∈ (0, 1).现在，我们重点证明θn在Lloc（cM（b），G）中收敛于θ，或等价地θnocM（b）在空间M0，loc（G）中收敛。

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2022-5-5 23:57:19

为此，我们考虑一个F-可预测的p过程η∈ Lloc（cM（b），G），相当于ηpeДI{Z-≥δ}∈ 任何δ的Lloc（T（M），F）∈ （0,1）和d（θn+k）- θn）ηohcM（b）iG=θn+k- θnpeаηpeаhcM（b）iG=hθn+k- θnpeаI{eа>0}ocM（b），ηpeаocM（b）iG=hT（b，n+k）（n）- T（b，n）（n），\\ηpe~noMiG=hTb（Nn+k）- Nn），\\ηpe~noT（M）iG=I]]0，τ]]hNn+k- Nn，ηpe~noT（M）如果。自ηpe~noT（M）∈ M0，loc（F）和序列nn在M0，loc（F）中收敛，我们推导出（θn）nisa-Cauchy序列在Lloc（cM（b），G）中，因此存在唯一的θ∈ Lloc（cM（b），G）使得θ与Lloc（cM（b），G）中的θ相交。由于T（b，n）（n）在s步M0，loc（G）中收敛到Tb（n），我们推断ln在M0，loc（G）中收敛到L∈ M0，位置（G）。很容易检查[L，cM（b）]∈ M0，loc（G）和pe~noTb（N）=eθocM（b）+pe~noL.（3.18），然后通过考虑N=M并使用命题3.2和3.3，我们推导出θe~nZ-一] [0，τ]]ohT（M）iF=eθohcM（b）iG=hpeаoTb（M），cM（b）iG=peаohTb（M），cM（b）iG=peаI]]0，τ]]ohT（M）iF。这证明了eθ与Z重合-/因此，N=M时的（3.18）变为φTb（N）=Z-这证明了断言（a）。为了证明断言（b），我们考虑N∈ Mloc（F），我们应用关于T（M）的N的GKWdecomposition。这意味着存在唯一对（θN，L），它属于Lloc（T（M），F）×M0，loc（F）和satifiesn=θNoT（M）+L，hT（M），LiF≡ 注意我们有Tb（N）=θNoTb（T（M））+Tb（L），Tb（T（M））=Tb（M），和htb（L），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohL，T（M）如果≡ 因此，通过把LN:=Tb（L）+θNoeL，我们推导出hLN，cM（b）iG≡ 0和（4.55）紧随其后，将其与断言（a）进行梳理。这就结束了定理的证明。推论3.5。设M是M0的拟左连续元，loc（F），使得MM≡ 0

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2022-5-5 23:57:23

然后tb（M）=cM（b）。推论的证明是直接基于f作用的，在这种情况下，e~n=Z-.3.3模型（Sτ，G）的特殊情况和示例我们从证明结构条件在S或m连续时成立开始本小节。定理3.6。如果（S，F）满足SC的市场价格bλF，且S或m是连续的，则模型（Sτ，G）完全满足SC，其风险bλGis的市场价格由bλG:=bλF+β（m）Z给出-!一] [0，τ]]，带β（m）：=dhm，MSiFdhMSiF。（3.19）证据。假设（S，F）满足SC的市场价格bλFand S=S+MS+bλFohMS，MSiF，其中m∈ M0，loc（F）和bλF∈ Loc（M，F）。为了符号简单，我们将M:=MSandcM:=I]]0，τ]]]M- （Z）-)-1I]]0，τ]]ohM，miF，（3.20），这是一个G-局部平方可积局部鞅。然后Sτ在G下的Doob-Meyer分解由Sτ=S+cM+bλFI]]0，τ]]hM，MiF+（Z）给出-)-1I]]0，τ]]ohM，miF。（3.21）因此，只要我们找到一个G-可预测过程bλG，就可以进行证明∈ Lloc（cM，G）使得bλFI]]0，τ]]ohM，MiF+（Z-)-1I]]0，τ]]hM，miF=bλGohcMiG。（3.22）为此，由于m是局部有界的，因此m相对于m（在F下）的GKW分解意味着F-可预测过程β（m）的存在∈ Lloc（M，F）与局部平方可积局部鞅M⊥这样m=m+β（m）om+m⊥嗯，我⊥如果=0。（3.23）因此，bλFI]]0，τ]]ohM，MiF+Z-一] [0，τ]]ohM，miF=bλF+β（m）Z-!一] [0，τ]]ohM，MiF。（3.24）S或m的连续性导致hM，miF=0，eZo[M]=Z-o[M] ，和HCMIG=[cM]p、 G=（[M]τ）p，G=Z-一] ]0，τ]]eZo[M]p、 F=I]]0，τ]]hMiF。通过在（3.24）中插入上述等式，我们得到τ=S+cM+bλGohcMiG，市场价格为riskbλG:=bλF+β（m）Z-!一] ]0，τ]]。（3.25）很明显bλG∈ 由于（Z）的局部边界，Lloc（cM，G）-)-1I]]0，τ]]。这就结束了对REM的证明。推论3.7。假设S是一个局部鞅（即。

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2022-5-5 23:57:26

像≡ S是连续的，orm是连续的，则（Sτ，G）满足SC，其市场风险价格为β（m）Z-1.-一] ]0，τ]]。本小节旨在通过几个例子说明，在某些随机时间内，SC可能会被违反。提案3.8。假设随机基(Ohm, A、 F=（英尺）t≥0，P）支持强度为λ的泊松过程n，股票价格（用X表示）由dxt=Xt给出-ψdKt，其中，ψ>-1，ψ6=0，Kt=Nt- λt.那么以下断言成立。（a）如果τ=αT+（1- α） T，其中Ti=inf{T≥ 0:Nt≥ i} ，我≥ 1, α ∈ （0，1），则Xτ不满足SC（G）。（b）如果τ=（αT）∧ T、然后（Yτ，G）满足SC，其中Y:=K.Proof。a）这里我们证明断言（a）。为此，我们从Aksamit等人[4]中回忆起，Az’emasupermartingale Z和m的形式为：Z=I[[0，T[+φmI[[T，T[]，m=1- φmI]]T，T]]K，其中φmt=e-λkk（t）-T）。（3.26）那么，很容易计算出z-I[[0，τ]]ohX，miFt=-1Z-一] ]T，τ]]X-ψφmohKiFt=-λZtZu-一] [T，τ]]Xu-ψuφmudu=-λZtXu-ψuI]]T，τ]]duandDbX（b），bX（b）EGt=I[[0，τ]]ohX，XiFt+Z-I[[0，τ]]o十、m(十）p、 Ft=λZtXu-ψuI[[0，τ]]du- λZtZu-徐-ψuφmuI]]T，τ]]du=λZtXu-ψuI[[0，T]]du，其中bx（b）通过（3.7）定义。因此，不存在G-可预测过程bλ∈ Lloc（bX（b））令人满意-I[[0，τ]]ohX，miF=bλoDbX（b），bX（b）EG，（3.27）因为]]T，τ]]和[[0，T]]是不相交的。这证明了断言（a）。b）这一部分证明了断言（b）。由于[1，例2.12]中的计算，在τ的情况下，我们得到了∧τ=Nt∧τ- τ ∧ t、 bY（b）t=Yt∧τ-Zτ∧tβuβu+1du，β：=α-1.- 1>0，YτE（θobY（b））是G-局部鞅，其中E（θobY（b））是θobY和θu的随机指数：=（1+βu）/（1+2βu）- 1 = -（βu）/（1+2βu）。因此，由于θ是局部有界的，我们推导出e（θ除以（b））∈ Mloc（G）。

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2022-5-5 23:57:29

因此，直接应用定理2.6可以得出结论，Yτfull fill SC.这就结束了命题的证明。3.4（Sτ，G）的一般情况下，以下是本节的第一个主要结果，在这里，我们详细讨论了S为准左连续时的问题（Prob1）。定理3.9。假设S是拟左连续的。那么下面这些是等价的。（a）（Sτ，G）满足SC.（b）对于任何δ>0，模型（I{Z-≥δ} oS（0），F）满意度SC及其市场风险价格λ（0，F）满意度（λ（0，F）Z-+ β（0，m））（e~n）-1/2I{Z-≥δ、 e~n>0}∈ Lloc（T（M），F），其中（0）：=S-XI{eZ=0<Z-}MS=：S+T（M）+A（0），A（0）：=A-XI{eZ=0<Z-}太太p、 F.（3.28）此外，对于（sτ，G）和（I{Z），风险λ和λ（0，F）的市场价格-≥δ} oS（0），F）分别与λG=Z有关-eλ（0，F）+β（0，m）eаI{eа>0}I]]0，τ]]和Z-eλ（0，F）=p，F（eλGI]]0，τ]]e~n- β（0，m）Z-, （3.29）式中，β（0，m）：=dhm，T（m）iFdhT（m）iF，和e~n：=deZo[M，M]p、 FdhT（M）如果。（3.30）证据。这个定理的证明分两步进行。第一步证明（b）==> （a），而第二步恰恰相反。第一步。这里我们证明（b）==> （a）。为此，我们假设断言（b）成立。然后，S的准左连续性意味着M:=MS的准左连续性。我们首先回顾了命题3.3中命题3.2和（3.11）的一些有用等式，如下所示。hTb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohT（M）iF，和hTb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]ohm，T（M）iF，Tb（T（M））=Tb（M），和\\T（M）（b）=cM（b）。设τδ为G-停止时间，使得]]0，τ∧τδ]] {Z-≥ δ} ，这是可能的，因为-1.-一] [0，τ是G-lo胼胝体。由于Sτ=（S（0））τ和S（0）满足SC，我们推导出F-可预测过程λ（0，F）的存在性，使得A（0）=eλ（0，F）ohT（M）如果。

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2022-5-5 23:57:33

因此，通过将所有这些与定理3.4相结合，我们导出了τ=S+（T（M））τ+（A（0））τ=S+cM（b）+Z-一] [0，τ]]ohm，T（M）iF+eλ（0，F）I]]0，τ]]ohT（M）iF=S+cM（b）+Z-一] [0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG+eλ（0，F）I]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG=S+cM（b）+β（0，m）+Z-eλ（0，F）e~nI]]0，τ]]ohcM（b）iG。因此，命题3.3的断言（e）意味着I{Z-≥δ、 e~n>0}（λ（0，F）Z-+对于任何δ>0 i ff i]]0，τ]]i{e~n>0}（λ（0，F）Z，β（0，m））/peа属于Lloc（T（m），F）-+ β（0，m））/e~n∈ 紧接着是Lloc（cM（b），G）和断言（b）。第一步到此结束。第二步。在此，我们证明（a）==> （b）。假设（Sτ，G）满足SC，并用λ（G）表示其市场精神。然后由于Sτ=（S（0））τ=S+cM（b）+（A（0））τ+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，T（M）如果存在与[0，τ]]上的λ（G）重合的F-可预测过程λ，我们得到（A（0））τ+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，T（M）iF=eλ（G）ohcM（b）iG=λohcM（b）iG=λeаZ-1.-一] ]0，τ]]ohT（M）如果。然后通过对上述等式两边的F下进行补偿，得到Z-oA（0）=-hm，T（M）iF+λeаohT（M）iF=-β（0，m）+λe~nohT（M）iF。因此我们得出结论，i{Z-≥δ} oA（0）=-β（0，m）+λe~nZ-I{Z-≥δ} ohT（M）iF，以及(-β（0，m）+λe~nI{Z-≥δ} ）/Z-∈ Lloc（T（M），F）。这证明了（I{Z-≥δ} oS（0），F）满足任何δ∈ （0，1），以及（3.29）中的第二个等式，因为λ=p，F（eλGZ）-1.-一] [0，τ]]）。因此，（a）的证明==> （b）完成了。这就结束了定理的证明。下一个定理放弃了S上的拟左连续性假设，并给出了S和τ的实用充分条件，使得r搜索模型（Sτ，G）完全满足SC定理3.10。假设（S，F）满足SC，市场风险价格用λF表示，且满足{MS6=0}∩ {eZ=0<Z-} = 和（eλFZ）-+ β（0，m））peаI{eа>0}∈ Lloc（M，F）。（3.31）然后（Sτ，G）满足SC，其市场风险价格用λG表示，用λG:=Z表示-p、 F（I{eZ>0}）eλF+β（0，m）p，F（I{eZ>0}）Z-eаI{eа>0}I]]0，τ]]。（3.32）证据。设N是F-局部鞅。

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2022-5-5 23:57:36

然后我们计算[Tb（N），cM（b）]=[Tb（N），Mτ]+G-局部鞅=Z-eZI]]0，τ]]o[N，M]+p，F(NI{eZ=0<Z-})oMτ+G-局部马丁盖尔=Z-eZI]]0，τ]]o[N，M]+p，F(NI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF+G-局部鞅。N.o]N.]N.]N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.N.NI{eZ>0}o[N，M]+p、 F+p，F(NI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF。（3.33）通过将其分别应用于N=M和N=M的情况，我们得到了htb（M），cM（b）iG=I]]0，τ]]I{eZ>0}o[M，M]p、 F+p，F(MI{eZ=0<Z-})Z-一] [0，τ]]ohm，MiF。（3.34）hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]p，F（I{eZ>0}）ohm，MiF+Z-一] ]0，τ]]十、MI{eZ=0<Z-}p、 F.（3.35）感谢{m6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 我们得到hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]p，F（I{eZ>0}）ohm，MiF，hTb（m），cM（b）iG=I]]0，τ]]hMiF。（3.36）因此，假设S用λF表示的市场价格满足SC（F），我们得到τ=S+Mτ+Aτ=S+Mτ+eλFI]]0，τ]]ohMiF=S+cM（b）+Z-1.-一] [0，τ]]ohm，MiF+eλFI]]0，τ]]ohMiF=S+cM（b）+Z-1.-p、 F（I{eZ>0}）-1I]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG+eλFI]]0，τ]]ohTb（m），cM（b）iG=S+cM（b）+β（0，m）Z-+p、 F（I{eZ>0}）eλFp，F（I{eZ>0}）Z-e~nI]]0，τ]]ohcM（b）iG。最后一个等式由定理3.4给出。因此，我们得出结论，（Sτ，G）满足SC及其市场精神由（3.32）给出，它属于Lloc（cM，G），因为这相当于I{Z-≥δ} （λFZ）-+对于任何δ>0的情况，属于Lloc（T（m），F）的β（0，m））/pe~n。这就结束了定理的证明。备注3.11。（a）如果S或m是准左连续的（即，它在F-可预测停止时间不跳变），则条件（3.31）相当于{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = .为了简单起见，我们将A=as和M=ms放在这里。实际上，由于S是一个特殊的半鞅，具有Doob Meyer分解S=S+M+a，我们得到A=p，F(（S）≡ 0，这一说法得到了证实。这种等价条件已经出现在[1]中随机时间停止下的无界有界风险（NUPBR）概念的研究中。

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大多数88

2022-5-5 23:57:39

对于这种情况的财务和数学解释，我们建议读者参考本文。因此，通过上述条件，SC和NUPBR之间的这种联系增强了我们对准左连续情况的关注。（b）以下过程vt:=X0<u≤tI{eZu=0<Zu-}Mu（3.37）定义明确，是一个变化有限的c`adl`ag过程。事实上，只要注意到存在一个F-停止时间bR，{eZu=0<Zu就足够了-} [bR]]和V ar（V）t≤ |MbR | I[[bR+∞[[（c）重要的是要提到，在定理4.9中，我们不假设S或forS（0）的SC性质，而定理仅就F过程给出了SC性质对模型（Sτ，G）有效的完整而精确的表征。（b）se t{Z-≥ δ} 当δ在（0，1）中变化时，它与从G到最小过滤F的局部化性质转移密切相关。局部化从较大过滤到最小过滤，反之亦然的稳定性性质在[1]中建立。这一部分的第三个主要定理完全回答了问题（Prob2），d描述了随机时间模型，对于任意模型，在以τ停止后，SC性质保持不变。定理3.12。对任何人来说∈ M（F），我们将以下F-可预测过程ssИNgiven与ДN关联：=d（eZo[N]）p，FdhNiF。（3.38）以下断言是等效的。（a） {eZ=0<Z-} = , 和~nNI{Z-≥δ、对于任何N，都是局部有界的∈ M（F）和任意δ>0。（b） {eZ=0<Z-} = 对于任意N，φNI]]0，τ]]I{~nN>0}是G-局部有界的∈ Mloc（F）。（c）对于满足SC的任何模型（X，F），得到的模型（Xτ，G）也满足SC证明。这一证明将通过三个步骤实现。第一步证明（a）<==> （b）。第二步涉及（a）==> （c），而第三步是（c）==> （a）。第一步。让N∈ M0，位置（F）。

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2022-5-5 23:57:42

自从Z-1.-一] [0，τ]]是G-局部有界的，我们推导出G-停止时间τδ族的存在性，当δ为零时，该族增加到完整性，]0，τ∧ τδ]] {Z-≥ δ}.这意味着，一方面，当且在ly上，如果NI]]0，τ]]I{N>0}是G-局部有界的，如果NI]]0，τδ∧τ] [I{~nN>0}（或相当于k NI]]0，τ]]I{Z-≥δ、对于任何δ>0，φN>0}）是G-局部有界的。另一方面，除了k sto命题A.1-（c）（也可参见[1，命题B.2-（c）]，我们得出结论：аNI]]0，τ]]I{Z-≥δ、 N>0}isG局部有界当且在ly上如果NI{Z-≥δ、 νN>0}是F-局部有界的。第一步到此结束。第二步。假设断言（a）成立，并假设（X，F）是满足SC的模型，其中X:=N+b，其中N∈ M0、loc（F）和B是一个具有有限变化的F-可预测过程。请注意，由于评估（a），与模型（X，F）对应的假设（3.31）已完成。因此，直接应用定理3.10意味着（Xτ，G）满足SC。这是第二步。第三步。假设断言（c）成立，并指出{eZ=0<Z-} {m 6=0}，这是一个集合（即，它最多是F-停止时间的可数图的并集）。考虑一个F-stoppingtime T，比如在[[T]] {eZ=0<Z-}. 然后Xτ满足SC（G），其中X=I[[T+∞[[-我+∞[[p、 F∈ M（F）。（3.39）由于τ<T，P- a、 s.关于{T<+∞} （由于{T<+∞}), 我们推导出xτ=-一] ]0，τ]]我+∞[[p、 Fis G——可预测和满足SC（G）。（3.40）因此，多亏了引理2.2，我们得出结论e，Mτ是一个零过程，或者等价于0=e（Xτ）=eZ+∞Zs-D我+∞[[p、财政司司长= EZT-I{T<+∞}. （3.41）自中兴通讯以来-> {T<0+∞}, 我们得出结论，T=+∞, P- a、 s.和薄集{eZ=0<Z-}是转瞬即逝的（见[33]第20页的命题2.18）。因此，对于任何N∈ M0，loc（F），我们得出hbn（b）iF=I]]0，τ]]Z-oeZo[N，N]p、 F=φNI]]0，τ]]Z-ohNiF。（3.42）现在我们着重于证明断言（a）的第二个主张。

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2022-5-5 23:57:46

为此，我们考虑∈ M（F）和δ>0。考虑以下过程xδ：=I{Z-≥δ} N+θ- β（0，m）Z-I{Z-≥δ} ohNiF，其中β（0，m）：=dhm，NiFdhNiF，θ∈ Lloc（N，F）。显然，（Xδ，F）满足SC，因此（（Xδ）τ，G）也满足SC。因此，通过将nδ：=I{Z-≥δ} N，我们得到xτδ=I{Z-≥δ} obN（b）+Z-1.-一] ]0，τ]]ohm，NδiF+θ- β（0，m）Z-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ohNiF=I{Z-≥δ} obN（b）+θZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ohNiF=I{Z-≥δ} obN（b）+θ~nNZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ohbN（b）iG。最后一个等式跟在s f rom（3.42）后面。因此，我们得出结论θ~nNZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ}∈ 任何θ的Lloc（bN（b），G）∈ Lloc（N，F）。因此，通过结合（3.42），命题A.1-（c）和[25，第八章10-11]（Lenglart的结果，声称每个可预测的过程H≤s≤·|Hs |有一个独立的，局部有界的），索赔θ|NZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ}∈ 任意θ的Lloc（bN（b），G）∈ Lloc（N，F）与|λ|~nNI{Z-≥δ} ohNiFT<+∞ , P-a.s.，对于任何F-可预测过程λ|λ| hNiFT<+∞, P-a.s。。结合[39，定理2.7]，我们推导出P-几乎全部ω∈ Ohm, 函数φN（ω，s）I{Zs-(ω)≥δ} ，s∈ [0，T]属于L（[0，T]，dhNiFs（ω））（即L）的对偶∞（[0，T]，dhNiFs（ω）））。事实上，将[39，定理2.7]应用于∧n（λ）：=ZTλ（s）~nn（ω，s）I{Zs就足够了-(ω)≥δ、 ~nN（ω，s）≥N-1} dhNiFs（ω），n≥ 1，收敛于λ（s）~nN（ω，s）I{Zs-(ω)≥δ、任意λ的φN（ω，s）>0}dhNiFs（ω）∈ L（[0，T]，dhNiFs（ω））。因此，P-几乎都是ω∈ Ohm, 存在C（ω）∈ (0, +∞) 这样就得到了φN（ω，s）I{Zs-(ω)≥δ}≤ C（ω）， s∈]0，T]。这证明了sup0≤s≤·（^1N（s））-1I{Zs-≥δ、 ~nN（s）>0}F-可预测，变化有限。因此，由于[25，第八章10-11]中Lenglart的结果，它是局部有界的。这证明了定理。4.结构条件在一类诚实时间下在本节中，我们重点回答随机时间下的两个问题（Prob1）和（Prob2）。

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2022-5-5 23:57:49

这可以通过将整条半直线分成两个随机区间]]0，τ]]和]]τ来实现+∞[[第一部分，即Sτ已经在前一节中进行了研究。因此，本节将重点研究S在随机区间上的结构条件]]τ+∞[.在本节中，随机时间τ将被假定为诚实时间。下面，我们回顾诚实时间的定义，更多细节请参考Jeulin[36，第4章]。定义4.1。随机时间τ称为F-诚实时间，如果F或任何t，则存在一个可测量的随机变量τtsuch，τI{τ<t}=τtI{τ<t}。更准确地说，在本文的其余部分中，τ应该满足τ是一个诚实的时间，ZτI{τ<+∞}< 1和τ<+∞ P-a.s。（4.43）备注4.2。这一假设对于在诚实的时间之后没有无限利润和有界风险的有效性也至关重要。我们参考Choulli等人[19]了解关于该主题的更多细节。4.1-τ后部分的新G-局部鞅及其性质本小节将第3.1-3.2小节扩展至-τ后部分。首先，我们介绍对应的三个变换算子，它们的性质和相互作用。这是接下来两个命题的目的。提案4.3。让X∈ M0，loc（F）和τ是F-诚实时间。然后过程T（X）定义为T（X）：=（1- Z-)o十、- I{eZ=1}o[X，m]+I{eZ=1}o[X，m]p、 F，（4.44）是一个F-局部鞅，过程bx（a）和Ta（X）由bx（a）：=I]]τ给出+∞[X+I]]τ+∞[[(1 - Z-)-1ohX，miF，（4.45）Ta（X）：=I]]τ+∞[bX（a）+I]]τ+∞[[1 -eZo[X，m]-一] ]τ+∞[[1 - Z-oI{eZ<1}o[X，m]p、 F=I]]τ+∞[X+I]]τ+∞[[1 -eZo[X，m]+I]]τ+∞[[1 - Z-oXI{eZ=1>Z-}(1 - Z-)十、p、 F（4.46）是G-局部鞅。此外，bX（a）∈ M0，lc（G）和T（X）∈ M0，X时的位置（F）∈ M0，位置（F）。证据

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2022-5-5 23:57:53

很明显，T（X）是一个F-局部鞅（分别属于M0，loc（F）），只要∈ M0，loc（F）（分别为X∈ M0，loc（F））。让X∈ M0，位置（F）。Bx（a）的证明∈ M0，loc（G）可以在Jeulin[36]中找到（另见Barlow[14]）。由于G-预测过程具有有限的变量i]]τ+∞[[(1 - Z-)-1ohX、miFis G-局部有界和sup0≤s≤·（Xs）- Xs∧τ)≤ 4 sup0≤s≤·Xs，我们得出BX（a）∈ M0，位置（G）一旦X∈ M0，位置（F）。因此，通过组合Bx（a）∈ M0，loc（G）和引理A.4-（b），我们推导出Ta（X）∈ M0，位置（G）。这就结束了这个命题的证明。以下命题将命题3.3-3.2扩展到-τ之后的部分。提案4.4。设X，Y是Mloc（F）的拟左连续元素，设M:=msthat属于Mloc（F）并在（2.1）中定义。那么下面的断言就成立了。（a）它认为[bX（a），Ta（Y）]=[bY（a），Ta（X）]=1- Z-1.-eZI]]τ+∞[o[Y，X]。（4.47）因此，当X，Y∈ M0，loc（F），由hbx（a）给出n，Ta（Y）iG=I]]τ+∞[[(1 - Z-)ohT（Y），T（X）iF=I]]τ+∞[[oI{eZ<1}o[Y，X]F.（4.48）（b）假设X∈ M0，位置（F）。然后下列等式保持hbx（a），bX（a）iG=I]]τ+∞[[1 - Z-o(1 -eZ）o[X，X]F、（4.49）Ta（T（X））=Ta（X），和\\T（X）（a）=bX（a）。（4.50）（c）e xi有一个独特的（P dhT（M）iF-a.e.）F-可预测过程ψ使得i{Z-<1}o(1 -eZ）o[M，M]p、 F=eψ·hT（M）如果，0≤eψ≤ (1 - Z-)-1I{Z-<1} ，（4.51）I{eψ=0}ocM（a）≡ 和θqeψI{eψ>0}∈ Lloc（厘米（a），克）， θ ∈ Lloc（M，F）。（4.52）（d）设θGbe为G-可预测过程。那么θG∈ Lloc（cM（a），G）当且仅当存在可预测的过程sθ，使得θG=θon]]τ+∞[]，和θqeψ∈ Lloc（T（M），F）。证据（a）由于X和Y的准左连续性，我们导出的过程[i]]τ，∞[[1-Z-ohX，miF，I]]τ，∞[[1-Z-ohY，miFand]]τ，∞[[1-Z-oI{eZ<1}o[Y，m]p、票价连续变化。

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可人4

2022-5-5 23:57:56

因此，我们推导出[bX（a），Ta（Y）]=X+I]]τ，∞[[1 - Z-ohX，miF，bY（a）+I]]τ，∞[[1 -eZo[Y，m]-]]τ,∞[[1 - Z-oI{eZ<1}o[Y，m]p、 F= 一] ]τ，∞[[o十、 Y+1-eZI]]τ，∞[o[Y，m]=1.- Z-1.-eZI]]τ，∞[o[Y，X]。因此，（4.47）从这个等式以及X和Y的对称作用出发。当X，Y∈ M0，loc（F），通过组合（4.47），引理A.4和hT（X）iF=（1-Z-)oI{eZ<1}o[X，X]p、我们很容易得出（4.48）。（b）同样，由于X的准左连续性，我们得到了hbx（a），bX（a）i=i]]τ，∞[o[X，X]。因此，通过将引理A.4-（b）应用于这个等式，我们得到（4.49）。通过梳理（4.44）、（4.45）和X的拟左连续性，一方面，我们推导出\\T（X）（a）=I]]τ，∞[T（X）+I]]τ，∞[[(1 - Z-)-1ohT（X），miF=I]]τ，∞[X+I]]τ，∞[[o十、XI{eZ=1>Z-}p、 F+I]]τ，∞[[1 - Z-ohX-十、XI{eZ=1>Z-}, miF=bX（a）+I]]τ，∞[[o十、XI{eZ=1>Z-}p、 F-一] ]τ，∞[[1 - Z-ohXXI{eZ=1>Z-}, miF=bX（a）+I]]τ，∞[[o十、MI{eZ=1>Z-}p、 F-一] ]τ，∞[[1 - Z-o十、MXI{eZ=1>Z-}p、 F=bX（a）。另一方面，我们计算eta（T（X））=\\T（X）（a）+1-eZI]]τ，∞[o[T（X），m]-1.- Z-一] ]τ，∞[[oI{eZ<1}o[T（X），m]p、 F=bX（a）+1-eZI]]τ，∞[[o十、-十、XI{eZ=1>Z-}+十、XI{eZ=1>Z-}p、 F，m-1.- Z-一] ]τ，∞[[o{I}<1}十、-十、XI{eZ=1>Z-}+十、XI{eZ=1>Z-}p、 F，mp、 F=bX（a）+1-eZI]]τ，∞[o[X，m]-一] ]τ，∞[[1 - Z-oI{eZ<1}o[X，m]p、 F=Ta（X）。这些等式证明（4.50）。（c）考虑以下拟左连续F-局部鞅：=（1）- Z-)oM- [M，M]+hM，miF，它是局部s q与跳跃s可积的N=（1）-（埃兹）M因此，直接应用gkw分解会导致一个u-nique对（eψ，L）的存在∈ Lloc（M，F）×M0，loc（F）满足n=eψ·T（M）+L，hT（M），LiF≡ 0

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2022-5-5 23:57:59

（4.53）根据N和T（M）的定义，我们定义了-<1}o(1 -eZ）o[M，M]p、 F=I{Z-<1} ohN，MiF=（1）- Z-)-1I{Z-<1} ohN，T（M）iF=eψ1- Z-I{Z-<1} ohT（M），T（M）如果。自（1）-eZ）I{Z-<1} o[M，M]是不减损的，由I{eZ<1}I{Z主导-<1} o[M，M]=（1）- Z-)-2I{Z-<1} o[T（M），T（M）]，我们推断0≤eψ≤ (1 - Z-)-1I{Z-<1} ，并且（4.51）的证明是完整的。此外，另一方面，通过使用（4.49）和（4.51），我们得到了{eψ=0}ocM（a），I{eψ=0}ocM（a）iG=I{eψ=0}ohcM（a），cM（a）iG=I]]τ+∞[[1 - Z-I{eψ=0}eψohT（M），T（M）如果≡ 另一方面，对于任何θ∈ Lloc（M，F），我们得到θqeψI{eψ>0}ocM（a），θqeψI{eψ>0}ocM（a）iG=θeψI{eψ>0}ohcM（a），cM（a）iG=θI{eψ>0}1- Z-一] ]τ，∞[ohT（M），T（M）如果≤ θohM，MiF。这就结束了断言（c）的证明。为了证明断言（d），我们考虑了一个G-p可预测过程θG。然后存在一个F-可预测过程θ，它与θGon]]τ重合，∞然后我们推导出θGocM（a），θGocM（a）iG=（θG）ohcM（a），cM（a）iG=θ1- Z-一] ]τ，∞[[o(1 -eZ）o[M，M]p、 F=（θqeψ）1- Z-一] ]τ，∞[hT（M），T（M）如果。因此，这个等式和引理a.4-（b）的组合，断言（d）立即出现。这结束了命题的证明。下一个定理研究了Ta（M）关于tocM（a）的GKW分解，当Mbelongs到M0，loc（F）时。它将定理3.4扩展到“τ之后的部分”。定理4.5.假设M，在（2.1）中给出，是M0的准左连续元，loc（F），T（M）由（3.6）给出。那么下面的断言就成立了。（a）有一个∈ M0，loc（G）使[eL，cM（a）]∈ M0，loc（G）和qeψ·Ta（M）=（1）- Z-)-1qeψI{eψ>0}ocM（a）+qeψoeL。（4.54）（b）对于任何准左连续N∈ M0，loc（F），存在属于toLloc（T（M），F）×M0，loc（G）和满足ψoTa（N）=（1）的唯一对（~nN，LN）- Z-)-1~nNqeψI{eψ>0}ocM（b）+qeψoLN[LN，cM（a）]∈ M0，loc（G），（4.55）带φN:=dhN，T（M）如果dht（M）如果。（4.56）证据。

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何人来此

2022-5-5 23:58:02

通过考虑T（a，n）（n）：=bN（a）+I]]τ给出的T（a，n）（n），证明完全模仿定理3.4的证明+∞[[1 - Z-oTa（Nn），其中Nn:=I{1-简单≥N-1} o[N，m]-I{1-简单≥N-1} o[N，m]p、相反，F。因此，我们将省略此证明的细节。4.2模型的特殊情况和示例- Sτ，G）本小节将讨论一些特殊情况，例如S是连续过程的情况，以及（S，τ）的一个示例，对于该示例，SC特征可能会因（S）而失效- Sτ，G）。定理4.6。假设τfull fill（4.43）。如果（S，F）使SC满意其风险BλF的市场价格，且S或m是连续的，则模型- Sτ，G）充满SC，其市场风险等级bλG等于bλG:=bλF+β（m）1- Z-!一] ]τ+∞[[，带β（m）：=dhm，MSiFdhMSiF.（4.57）证明。该证明是定理3.6的证明，我们省略了细节。下面，我们给出一个结构条件可能失败的例子。例子4.7。在此，我们给出一个例子，当{x6=0}∩ {1=eZ>Z-} 6= , 十、- Xτ不能满足SC（G）。我们假设给n一个泊松过程n，强度率λ>0，F是n的自然增强滤波。假设股票价格过程X由dx=X给出-σdK，X=1，Kt=Nt- λt，或等价Xt=exp(-λσt+ln（1+σ）Nt），其中σ>0。在下文中，我们将介绍符号a:=-ln（1+σ）lnb，0<b<1，u：=λσln（1+σ）和Yt:=ut- 新界。我们将过程Y与其破产概率联系起来，用ψ（x）表示，由f或x给出≥ 0，ψ（x）=P（Tx<∞), 用Tx=inf{t:x+Yt<0}。（4.58）提案4.8。考虑示例4.7中的模型（X，F），以及以下随机时间τ：=sup{t:Xt≥ b} =sup{t:Yt≤ a} 。（4.59）然后（X- Xτ，G）不能满足SC证明。我们回忆起Aksamit等人。

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可人4

2022-5-5 23:58:06

[4] 上鞅Z和m由zt=P（τ>t | Ft）=ψ（Yt）给出- a） I{Yt≥a} +I{Yt<a}=1+I{Yt≥a} （ψ（Yt）- （a）- 1) ,m:=I{Y->a+1}φ- I{Y->a} φN、 φ：=ψ（Y）-- A.- 1) - 1，φ：=ψ（Y）-- （a）- 式中（4.58）定义了ψ。那么就很容易计算出1- Z-一] ]τ+∞[hX，麻省理工学院=-λZtXu-φ（u）我{Yu->a+1}φ（u）- 我{Yu->a} φ（u）一] ]τ+∞[（u）du，andI]]τ+∞[DbX（a），bX（a）EGt=I]]τ+∞[[1 - Z-o(1 -eZ）o[X，X]p、 Ft=λσZtφ（u）Xu-φ（u）I{Yu->a+1}I]]τ+∞[[（u）du，其中bx（a）通过（4.46）定义。注意在区间{a+1≥ Y-> a} ，1- Z-一] ]τ+∞[[ohX，mit=λσZtXu-我{Yu->a} I]]τ+∞[du，而我]]τ+∞[DbX（a），bX（a）EG=0。因此，不存在G-可预测过程bλ∈ Lloc（X）这样的1- Z-一] ]τ+∞[hX，mi=I]]τ+∞[bλoDbX（a），bX（a）例如，因此，X- Xτ不能满足SC（G）。4.3（S）的主要结果- Sτ，G）以下是本节的第一个主要结果，我们在这里详细讨论了当S在随机区间上准左连续]]τ的情况下的问题（Prob1）+∞定理4.9.假设S是拟左连续的，那么下列等式是等价的- Sτ，G）满足SC的市场风险价格λG.（b）（S（1），F）满足SC的市场风险价格λ（1，F）满足λ（1，F）（1）- Z-) + β（1，m）qeψI{eψ>0}属于Lloc（T（m），F），其中S（1）=T（m）+A（1）由S（1）：=（1）给出- Z-)os- I{eZ=1>Z-}o[MS，m]，A（1）：=（1）- Z-)oA.-I{eZ=1>Z-}o[MS，m]p、 F.（4.60）此外，eλ和λ（1，F）与以下关系eλG=（1）- Z-)λ（1，F）+β（1，m）eψI]]τ+∞[[和λ（1，F）=p，F（eλGI]]τ+∞[]eψ- β（1，m）（1）- Z-)(1 - Z-)I{Z-<1} ，（4.61），其中β（1，m）：=dhm，T（m）iFdhT（m）iF，andψ：=d(1 -eZ）o[M，M]p、 FdhT（M）如果。（4.62）证据。这个定理的证明分两步进行。第一步证明（b）==> （a），而第二步恰恰相反。第一步。这里我们证明（b）==> （a）。那么S的准左连续性意味着M:=MS的准左连续性。

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2022-5-5 23:58:10

由于命题4.4，我们将itehTa（M），cM（a）iG=I]]τ+∞[[(1 - Z-)ohT（M）iF，和hTa（M），cM（a）iG=I]]τ+∞[[(1 - Z-)ohm，T（M）iF，Ta（T（M））=（1- Z-)oTa（M）和\\T（M）（a）=（1）- Z-)o厘米（a）。自（1）- Z-)o（S）- Sτ）=S（1）- （S（1））τ和S（1）满足SC，我们推导出可预测过程λ（1，F）的存在性，使得A（1）=λ（1，F）ohT（M）如果。因此，通过结合上述等式和命题4.4，我们得出（1- Z-)o（S）- Sτ）=（T（M））τ+（A（1））τ=（1）- Z-)o厘米（a）-1.- Z-一] ]τ+∞[hm，T（M）iF+λ（1，F）I]]τ+∞[ohT（M）iF=（1）- Z-)o厘米（a）- (1 - Z-)ohTa（m），cM（a）iG+（1- Z-)λ（1，F）ohTa（M），cM（a）iG=（1）- Z-)ocM（a）+β（1，m）+（1）- Z-)λ（1，F）（1）- Z-)eψI]]τ+∞[oh（1）- Z-)ocM（a）iG。这与以下事实相结合：- Z-)-2I]]τ+∞[[是G-局部有界的和β（1，m）+（1- Z-)λ（1，F）（1）- Z-)eψI]]τ+∞[[∈ Lloc（cM（a），G）iβ（1，m）+（1）- Z-)λ（1，F）qeψI{eψ>0}∈ Lloc（T（M），F），断言（a）如下，第一步的证明完成。第二步。在此，我们证明（a）==> （b）。假设- Sτ，G）满足SC，并用λ（G）表示其市场精神。然后由于（1）- Z-)o（S）- Sτ）=S（1）- （S（1））τ=\\T（M）（a）+I]]τ+∞[A（1）- (1 - Z-)-1I]]τ+∞[hm，T（M）iF，以及与λ（G）重合的F-可预测过程λ的存在性]]τ+∞[，我们得到]]τ+∞[A（1）- (1 - Z-)-1I]]τ+∞[[ohm，T（M）iF=eλ（G）ohcM（a）iG=λohcM（a）iG=λeψ（1）- Z-)-1I]]τ+∞[hT（M），T（M）如果，那么通过在上述等式的两边进行F下的补偿，我们得到（1）- Z-)oA（1）=hm，T（M）iF+λeψohT（M）iF=β（1，m）+λeψohT（M），T（M）iF。因此我们得出结论A（1）=I{Z-<1} A（1）=β（1，m）+λeψ1- Z-I{Z-<1} ohT（M）iF和I{Z-<1} （β（1，m）+λeψ）/（1）- Z-) ∈ Lloc（T（M），F），这是由于（1）的F-局部有界- Z-)-1I{Z-<1}. 这证明了（S（1），F）满足SC，以及（4.61）中的第二个等式，因为λ=p，F（e）λG（1）- Z-)-1I]]τ+∞因此，（a）的证明==> （b）完成了。定理的证明到此结束。备注4.10。

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