剩下的证据如下。陈述v）：首先，我们通过插入关系1，以一种方便的方式重写函数Aα，β（τ）- c=2a-αχ+κ+a:aα，β（τ）=κθχh（κ- a） τ- 2 lnn1- c经验(-aτ）1- coi=κθχh（κ- a） |{z}∈[0,κ]τ - 2 lnn1- 经验(-aτ）2a |{z}∈[0，T]- αχ+κ+a| {z}∈[0,2κ]+exp(-aτ）|{z}∈[exp(-κT），1]oi。现在请注意∈ [0，κ]，作为β≥ 0.因此，κ-A.∈ [0，κ]和exp(-aτ）∈ [exp(-κτ ), 1].进一步的-αχ+κ+a∈ [0，2κ]，作为α≥ 0.现在考虑一下术语1-经验(-aτ）2a，并通过证明其导数w.r.t.a为负，证明其单调递减：A.1.- 经验(-aτ）2a=经验(-aτ）（1+aτ）- 12a，其中负性后面是一般不等式exp（x）>1+x，十、∈ R.那么，fora∈ [0, κ],1-经验(-aτ）2a∈ [1-经验(-κτ）2κ，利马↓01-经验(-aτ）2a]。限制由：利马给出↓01- 经验(-aτ）2a=利马↓0exp(-aτ）τ=τ。Asτ∈ [0，T]，我们得到：1-经验(-aτ）2a∈ [0，T]。把上面的不等式结合起来就得出了这个结论。声明六）：在这一证明中，我们将Bα、β（τ）视为α中的函数，并确定所有其他参数。计算前两个导数表明，Bα，β是α的凸单调递增函数：αBα，β（τ）=4aexp(-aτ）（1）- c经验(-aτ）(-αχ+κ+a）≥ 0αBα，β（τ）=8aχexp(-aτ）（1）- 经验(-aτ）（1）- c经验(-aτ）|{z}>0）(-αχ+κ+a |{z}>0）≥ 0.进一步，limα↑κ+aχBα，β（τ）=limc↑∞Bα，β（τ）=κ+aχ。现在我们想找出Bα，β的图与函数F（α）=α的图相交的点。为此，我们求解以下方程：Bα，β（τ）=α<=> （κ+a）（1）- c经验(-aτ）- 2a=χα（1）- c经验(-aτ）<=> (αχ- κ+a）（exp(-aτ）- 1) = 0.现在假设τ6=0和a6=0，并观察唯一的解由α=κ给出-一个χ。更重要的是，在这种情况下，前两个导数甚至是严格正的，这意味着Bα，β是严格单调递增的，并且在α中是严格凸的。

因此，它的图形是α∈κ-aχ，κ+aχ在函数f（α）=α的图形下，在α=κ处穿过它-aχ并收敛于α↑κ+aχ。这证明了τ6=0和a 6=0的语句vi）。现在假设a>0，τ=0。然后，Bα，β（0）=α和语句vi）直接在这个例子中出现。用模型（5.2）中给出的函数κ、θ和χ表示法，我们为所有e引入以下表示法∈ E:Aα，β，E（τ）：=-κ（e）θ（e）（κ（e）- a（e））χ（e）τ+2κ（e）θ（e）χ（e）lnn1- c（e）经验(-a（e）τ）1- c（e）oBα，β，e（τ）：=--c（e）（κ（e）+a（e））exp(-a（e）τ）+κ（e）- a（e）χ（e）1.- c（e）经验(-a（e）τ）,式中：a（e）：=pκ（e）+2βχ（e），c（e）：=αχ（e）+κ（e）- a（e）αχ（e）+κ（e）+a（e）。函数a（e）、~c（e）、~aα、β、e（τ）和▄Bα、β、e（τ）类似地定义为变换参数▄κ和▄θ。现在我们应用前两个引理来推导HJB方程的解。结果在下面的定理中给出。定理5.3（含时赫斯顿模型的求解和验证）假设（5.2）中的模型参数具有以下条件：2θδ1- δ^λ（e）ν（e）<κ（e）2χ（e），E∈ E（5.3）最大值∈Enκ（e）- ~a（e）χ（e）o≤ 矿∈然后给出了所有（t，v，x）的相应HJB系统的解∈ [0，T）×R≥0×DXby:Φm（t，v，x）=vΔΔEhexpnZTtθg（s，~Xm（s），m（s））dso~X（t）=xi=vδδhexpnZTtδr（m（s））dsoexpAj（tj+1- t） +Bj（tj+1）- t） xkYi=j+1exp{Ai（τi）}iθ=：vδδexpnZTtδr（m（s））dsoexpθAm（t）+θBm（t）x,式中：τi:=ti+1- ti，i=1，βi:=2θδ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））, . . . , KAK:=~A0，βK，mK（τK），BK:=~B0，βK，mK（τK）Ai:=~ABi+1，βi，mi（τi），Bi:=~BBi+1，βi，mi（τi），i=0。

K- 1.此外，Φm（t，v，x）是优化问题的值函数，并给出了所有t的最优投资组合策略∈ [0，T]by:\'πm（T）=1- δn^λ（m（t））ν（m（t））+ ρχ（m（t））ν（m（t））θBm（t）o.证明通过从等式（4.10）中回顾HM的概率表示并从后面逐步应用引理5.1，证明如下。在每一步中，都需要检查定理5.1的假设。它们的内容如下：βi=2θδ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））<κ（mi）2χ（mi），我∈ {j，…，K}（5.5）αi=~Bαi+1，βi+1，mi+1（ti+2- ti+1）<κ（mi）+a（mi）χ（mi），我∈ {j，…，K- 1} （5.6）αK=0<κ（mK）+a（mK）χ（mK）。（5.7）不等式（5.5）直接来自假设（5.3），不等式（5.7）是显而易见的，因为△κ（e），~a（e）>0，E∈ E.对于不等式（5.6），回想一下，在我们的模型中，βi>0，因此对于所有i∈ {0，…，K}。那么，αK=0<maxe∈Enκ（e）-~a（e）χ（e）o:=c。从假设（5.4）中，我们进一步得到所有i∈ {0，…，K}。引理5.2中的陈述（vii）导致了αK-1=~BK<c<~kκ（mK-1） +a（mK）-1） χ（mK）-1). 为了获得所有i的条件（5.6），观察αi=~Bi+1，并以类似的方式继续向后，显示所有i的~Bi+1<c<~k（mi）+~a（mi）χ（mi）∈ {0，··，K}。注意，这里我们不需要检查推论A.6的假设，因为我们已经以显式形式导出了解决方案，并且可以通过直接替换进行验证。Φm解相应的HJB方程。验证结果和最优投资组合策略遵循REM 4.3.5.2无杠杆马尔可夫调制赫斯顿模型的直接应用。我们继续使用无相关性的马尔可夫调制赫斯顿模型。

推导出一般参数规格的解决方案（第5.2.1节）后，我们将在可分离的情况下（第5.2.2节）对其进行简化。5.2.1无杠杆的一般马尔可夫调制赫斯顿模型（MMH）考虑模型（5.1）并设置ρ=0。基于时间相关模型的结果，马尔可夫切换模型中HJB方程的解可以导出如下定理。推论5.4（在ρ=0的MMH中求解和验证）假设定理5.3的条件成立。然后，ρ=0的模型（5.1）中的值函数Φ由以下等式给出：Φ（t，v，x，ei）=vδEfMC（t，x）MC（t）=ei=vΔδEexpnZTtδr（MC（s））dsoexpAMC（t）+BMC（t）xMC（t）=ei,（5.8）任何m∈ M、 函数Amand和bm由以下公式给出：Am（t）=KXj=0nZTtδr（M（s））ds+Aj（tj+1- t） +KXi=j+1Ai（τi）ot∈[tj，tj+1）Bm（t）=KXj=0Bj（tj+1）- （t）T∈[tj，tj+1），其中：τi:=ti+1- ti，βi:=δ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））, i=1，kk:=A0，βK，mK（τK），BK:=B0，βK，mK（τK）Ai:=ABi+1，βi，mi（τi），Bi:=BBi+1，βi，mi（τi），i=0，K- 1.最优投资组合为：¨π（t）=1- Δ^λ（MC（t））ν（MC（t））.证明定理5.3对ρ=0的应用，即θ=1，定理4.5导致该陈述。观察到，函数Φ可以很容易地用部分蒙特卡罗方法计算，其中一个必须只模拟马尔可夫链的路径，而不是所有其他过程。5.2.2不带杠杆的可分离马尔可夫调制赫斯顿模型（SMMH），我们将考虑与第4.2.2节中给出的特殊情况相对应的可分离示例。

所以，我们指定我们的模型，这样可以找到一个可分离的显式解：dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ dνMC（t）| {z}=^λ（MC（t））X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κ（θ）MC（t）- X（t））dt+χpX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=0，（5.9），其中P（0）=P，P（0）=P，X（0）=X，κ，χ∈ R> 0，d∈ R、 和之前一样θ（e）∈ R> 0和2κθ（e）≥ χ、 尽管如此∈ E、 所以X（t）≥ 0，尽管如此∈ [0，T]。该模型可以用（SMMAF）的表示法嵌入如下：γ（x，ei）=dx=> Γ（1）（ei）=0，\'Γ（2）=duX（X，ei）=κθ（ei）- κx=> u（1）X（ei）=κθ（ei），\'u（2）X=-κσX（X，ei）=χX=> ∑（1）X（ei）=0，“∑（2）X=χ。（SMMH）直接应用定理4.3和定理4.8可得出以下解：推论5.5（在ρ=0的SMMH中的解和验证）考虑模型（5.9）并假设：δ1- δd<κχ。（5.10）然后给出所有（t，v，x，ei）的值函数∈ [0，T]×R≥0×DX×E by:Φ（t，v，x，ei）=vΔδ′ξ（t，ei）exp{B（t）x}，（5.11）式中：′ξ（t，ei）=EhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eii， （t，ei）∈ [0，T]×E，w（T，ei）=Δr（ei）+B（T）κθ（ei），表示所有（T，ei）∈ [0，T]×E和b（T）=-c（κ+a）exp{-a（T）-t） }+κ- aχ1.- c经验{-a（T）-t） },  T∈ [0，T]，其中a=qκ-δ1-δdχ和c:=κ-aκ+a.最优投资组合为：\'-π（t）=1- δdν（MC（t））。定理4.8和定理4.3.5.3直接证明了带杠杆的可分离马尔可夫调制赫斯顿模型（SMMHρ）对于可处理模型，对于带杠杆的情况，我们将模型（5.9）推广到ρ6=0:dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ νdMC（t）X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κθMC（t）- X（t）dt+χpX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρdt，（5.12），初始值P（0）=P，P（0）=P，X（0）=X。

这对应于（SMMAFρ）符号中的以下规格：γ（x，ei）=dx=> Γ（1）（ei）=0，\'Γ（2）=duX（X，ei）=κθ（ei）- κx=> u（1）X（ei）=κθ（ei），\'u（2）X=-κσX（X，ei）=χX=> b=χ| d |。（SMMHρ）与定理4.3和定理4.9之前一样，在这种情况下导致验证结果：推论5.6（SMMHρ中的解和验证）假设：0<κ-δ1 - Δρχd |（5.13）δ1- δd<θ（κ-δ1-Δρχd|χ（5.14）表示a:=q（κ）-δ1-Δρχd |）-δ1-Δχθd.然后，给出了模型（5.12）中所有（t，v，x，ei）的值函数∈ [0，T]×R≥0×DX×E by:Φ（t，v，x，ei）=vΔΔξ（t，ei）exp{D（t）x}，（5.15）式中：ξ（t，ei）=EhexpnZTtа（s，MC（s））odsMC（t）=eii，（t，ei）∈ [0，T]×E，（5.16）表示Γ（T，ei）=δr（ei）+D（T）κθ（ei），和：D（T）=θ- c（κ）-δ1-Δρχd |+a）exp{-a（T）-t） }+κ-δ1-Δρχd|- A.χ(1 - c经验{-a（T）-t） }），T∈ [0，T]（5.17）带c:=κ-δ1-Δρχd|-aκ-δ1-Δρχd |+a.最优投资组合为：‘π（t）=1- δhdνMC（t）+ ρχνMC（t）D（t）i.（5.18）如前所述，最优投资组合的第一部分，\'-πMV（t）：=1-δdν（MC（t））称为均值-方差项，第二个称为¨πH（t）：=1-Δρχν（MC（t））D（t），是套期保值项。证明这个陈述来自定理4.9和定理4.3。在从理论上验证了这个解决方案之后，我们现在有兴趣从经济角度来解释它。

我们首先明确推导风险资产对数收益的方差过程V ar（t）：=V（MC（t））X（t）：推论5.7（对数收益的方差）对数资产收益的瞬时方差具有以下特征：dV ar（t）=κMC（t）^θMC（t）- V ar（t）dt+^χMC（t）pV ar（t）dWX（t）+V ar（t）lXi=1ν（ei）νMC（t）dMi（t），其中：^κMC（t）= κ -lXi=1ν（ei）νMC（t）qMC（t）i^θMC（t）=νMC（t）κθMC（t）^κ^χMC（t）= νMC（t）χ.使用此符号，风险资产的价格过程由以下SDE给出：dP（t）=P（t）hrMC（t）+νdMC（t）V ar（t）idt+pV ar（t）dWP（t）。证明直接遵循定理A.3中关于马尔可夫调制It^o扩散的It^o公式的应用。观察方差V ar遵循均值回复过程，根据马尔可夫链进行跳跃，其中所有参数都依赖于马尔可夫链。这种丰富的随机结构使得所考虑的模型非常灵活，适合描述广泛的市场。此外，请注意，被定义为超额收益除以Var（t）的风险市场价格由dν（MC（t））给出，这正是最优投资组合的平均方差项的驱动因素。相应风险的回报越高（即d越高）或相同回报的风险越低（即ν越低），股票对投资者的吸引力越大，且“πMV”越大。请注意，当ν改变时，π-hex的绝对值表现出类似的行为，如π-MV和π-his不变量w.r.t之间的商。ν：\'-π-MV（t）\'-πH（t）=dρχd（t）。更重要的是，这种关系对于马尔可夫链的所有状态都是相同的。

这是有意义的，因为套期保值项是对均值-方差投资组合的修正，所以只要¨πmv因马尔可夫链而改变，它就会被调整。通过回顾等式（5.18）中给出的最优策略所产生的财富过程，我们可以更好地理解ν对最优投资组合的影响：dV′π（t）=V′π（t）nrMC（t）+d1- δd+ρχd（t）X（t）dt+1- δd+ρχd（t）pX（t）dWP（t）o.请注意，财富过程并不依赖于ν，并回顾一下，ν决定了风险的市场价格以及

第一个是e，描述了一个平静的市场，波动性适中。第二种是对波动性较高、市场风险价格较低的动荡状态的反应。在整个过程中，投资时间范围设置为T=5。基于[1]的经验结果，我们确定了以下基本参数集：κ=4，θ（e）：=θ=0.02，θ（e）：=θ=0.04，χ=0.35，d=1.7，ν（e）：=ν=1，ν（e）：=ν=1.3，r（e）：=r=0.03，r（e）：=r=0.01，ρ=-0.8. 因此，过程X的平均逆转所需的时间平均为κ=3个月。此外，在[3]之后，我们将强度矩阵的元素设置为q=-1.0909，q=-3.4413. 这意味着，平均而言，马尔可夫链在平静状态下保持一年，在动荡状态下保持大约4个月，因为马尔可夫链在状态EI中花费的等待时间。本文根据1990年至2003年期间对股票指数S&P500和波动率指数VIX的每日观察来估计赫斯顿模型的参数。根据他们的结果，我们选择了马尔可夫调制参数，第一种状态的MC描述了一个平静的市场，第二种状态描述了一个不稳定的市场。本文利用马尔可夫调制的Black-Scholes模型估计了1987年至2009年期间标普500指数的周价格。我们将其结果用于马尔可夫链的强度矩阵。在下一次跳跃之前，它是指数分布的-我和我的期望。我们将比较两名风险偏好不同的投资者的结果：第一名投资者的风险规避参数δ=0.3为正，第二名投资者的风险规避参数δ=0.3为负-1.

我们分别用集合1和集合2表示这些参数规格。这种差异是必要的，因为δ强烈影响投资者的最佳行为，我们将在下文中看到。表1包含集合1和集合2的最佳预期效用，如推论5所示。6，其中函数ξ通过马尔可夫链的蒙特卡罗模拟计算，模拟次数为10000次。此外，还将其与通过模型（5.12）的完整蒙特卡罗模拟（1 Mio）计算的最佳预期效用进行了比较。模拟和每年250步，即每天交易一次。参数公式Comp。时间蒙特卡罗公司。时间集1 7.4261 40秒7.4260约2.2 hs时间集2-0.0802 40秒-0.0802约2.2 h表1：根据推论5.6（第二列）和完全蒙特卡罗模拟（第四列）计算的最佳预期效用的比较，其中V（0）=10，X（0）=0.02，MC（0）=e，T=5。第三列和第五列包含相应的计算时间。可以注意到，第二列和第四列的值彼此非常接近。这表明，每天只交易一次，这在现实中可能是合理的，不会导致显著的效用损失。因此，导出的最优策略是实用的。此外，请注意，为了获得完整蒙特卡罗方法的收敛结果，需要进行许多耗时的蒙特卡罗模拟，这证实了推论5.6中导出的理论结果的重要性。现在我们比较两种参数设置下的最优交易策略。它们如图2所示。最优策略的主要部分由平均方差组合给出。可以观察到，它是正的，这是可以预期的，因为预期资产回报率超过了马尔科夫链两个状态的无风险利率。

人们还可以认识到，δ越高，风险集合中的多头头寸就越高，δ=0.3时，风险敞口甚至超过了投资者的财富。δ越低，风险资产的投资越温和。这一观察结果与δ作为风险规避参数的解释一致。此外，在马尔可夫链的动荡状态下，对therisky资产的投资较低，因为它与较低的超额收益和较高的波动性相关，因此风险较高。正是由于这种差异，在马尔可夫链不同状态的最佳行为中，投资者识别真实状态并对参数变化做出反应非常重要。套期保值项取决于股票的布朗运动与随机因素、随机因素和函数D的波动系数χ之间的相关性ρ。函数D绘制在图3中。注意，对于δ>0，它是正的，afact来自引理5.2中的陈述i）、ii）和iii）。所以，当ρ为负时，集合1的套期保值项为负。这是有道理的，因为负相关关系缓和了更高的波动性，因为Wx的增量更高，资产价格下跌。因此，投资者将其长期风险头寸作为防范额外风险的措施。湍流状态下的hedgingterm稍高，也就是说，它的绝对值较小，因为在这种状态下，平均方差组合也较小，但商“πH”πMV仍为0 2 4-2.-10123设定1时间平均值-波特夫变种。0 2 4-2.-10123设置2时间0 2 4-2.-10123设置3时间0 2 4-2.-10123设置4时间0 2 4-0.0500.05设定1时间对冲期限0 2 4-0.0500.05设置2时间0 2 4-0.0500.05设置3时间0 2 4-0.0500.05设置4时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。

状态图2：两个考虑参数集的均值-方差投资组合（第一行）和套期保值期限（第二行）。蓝线代表平静状态下的最佳投资，绿线代表动荡状态下的最佳投资。0 1 2 3 4 500.050.10.150.2时间集10 1 2 3 4 5-0.2-0.15-0.1-0.050时间集20 1 2 3 4 500.050.10.150.2时间集30 1 2 3 4 5-0.2-0.15-0.1-0.050timeDSet 4图3：两个不同参数集的函数D与时间的关系。和前面提到的一样。如果δ<0，则函数D为负，由于ρ为负，套期保值项在两种状态下均为正。这可能被解释为对错过的盈利机会的优势，因为这个高度规避风险的投资者的均值-方差投资组合小于1。请注意，对于δ的两个值，绝对值ofD在几乎整个时间范围内保持稳定，并且在过去一年中，它向零迅速下降。由于风险资产价格的微小变化会对最终财富产生强烈影响，因此在短期内，套期保值的作用会减弱，而这种高灵敏度，即高风险，正主导着套期保值的效果。现在，我们进一步观察风险规避参数δ对最优投资组合的影响。图4显示了根据不同δ值得出的最优策略，投资者的最终财富密度。人们可以清楚地认识到，δ值越高，极低（接近零）和极高（甚至超过120）财富水平的概率越高。相比之下，对于小δ，高损失和高收益的概率都要小得多。对于δ的较小值，5%分位数向右移动和95%分位数向左移动也反映了这一事实。图5证实δ越小，平均方差组合越保守。

对于较小的增量，套期保值期限的绝对值也会降低，这主要是因为因子1的影响-δ也是均值-方差项的驱动力。此外，在图5中，我们可以再次观察到，在动荡状态下，投资者在整个时间内持有的风险资产较少，δ的所有值也较少。我们处理均值-方差组合的其余部分：d和ν。0 50 100 15000.10.2增量的终端财富的影响=0.7密度0 50 100 15000.020.040.06增量的终端财富=0.3密度0 50 100 15000.020.040.06增量的终端财富=0.1密度0 50 100 15000.050.1增量的终端财富=-0.5密度0 50 100 15000.10.2三角洲的最终财富=-1密度0 50 100 15000.51三角洲的终端财富=-10密度5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantileFigure 4：根据不同δ值的衍生最优策略，投资者的终端财富密度，剩余参数采用集合1中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有高于150的值都汇总在图的最后一个栏中。πmv上的d自然是正的，如果ν是正的，因为高d意味着高风险的市场价格。套期保值期限的绝对值也随着d的增加而增加，在δ>0的情况下，这可能被解释为对较高风险敞口的补偿，在δ<0的情况下，可能被解释为由于较高的风险市场价格而增加风险敞口的意愿。图6显示了d对δ=0.3的投资者终端财富分布的影响。可以看到，d越高，一侧95%分位数越高，另一侧5%分位数越低。所以，大收益和大损失的概率都会更高。

下跌的风险来自这样一个事实：ivestor的风险敞口更大，d值更大，因此如果股价下跌，她将承受更大的损失。然而，正面的影响更大，因为d的增加会导致股票的高超额回报，从而有可能获得更高的收益。如图7所示，δ=-1.然而，d对财富分布的影响并不是很强，因为我们面对的是一个更厌恶风险的投资者，他们更喜欢少接触风险资产。此外，观察到这种情况下的财富分布比δ=0.3时更加对称，这再次反映了投资者的风险厌恶。相比之下，δ=0.3的投资者愿意接受低端的高质量，因为它可以通过获得非常高收益的可能性得到补偿。从最优投资组合的分析公式中可以很容易地得出ν对投资策略的影响。ν的值越高，0246的投资就越少-2.-10105101520timedeltaMean-波特夫变种。平静的状态0246-2.-101-6.-4.-202TimeDeltahing术语平静状态0246-2.-101051015timedeltaMean-波特夫变种。图布。state0246-2.-101-4.-202TimeDeltahing术语turb。状态图5：不同δ值的最优均值-方差投资组合和随时间变化的套期保值期限。其余参数取自集合1。风险资产，因为它降低了风险的市场价格。当ν<ν时，湍流状态下的风险集暴露量小于平静状态下的风险集暴露量。这一观察结果适用于均值-方差投资组合以及对冲期限。ν和ν之间的差异越大，投资者就越需要认识到市场的马尔可夫转换特征并调整策略。让我们继续剩下的模型参数。

正如我们很容易从方程（5.18）中看到的那样，ρ影响对冲条款的符号：符号（(R)πH）=符号（D）符号（ρ）=符号（δ）符号（ρ）。因此，对于正δ和正ρ，套期保值期限是正的，因为投资者从实现更高终端财富水平的可能性中获利，因为Wx正增量导致的X增加将与WP正增量导致的股票价格上涨相关）。相反，对于一个非常厌恶风险的投资者来说，δ<0正相关会导致负对冲组合，因为高回报的可能性不足以弥补下跌X和股价下跌风险的增加。对于δ>0和ρ<0，套期保值期限为负，以减少因随机因素增加和股价下跌而产生的额外风险敞口，尤其是考虑到‘πMV’的大多头头寸。如果δ<0且ρ<0，则套期保值期限为正，允许投资者从波动性低的情景中获利，从而稳定高资产价格。这是有道理的，特别是考虑到对冲条款的解释是对过于保守的投资的保护。既然我们已经解释了对冲条款的符号，我们将考虑其绝对值如何随所考虑的参数而变化。WX和WP之间的相关性越高，套期保值条款的绝对值越高，因为风险资产可以更好地对冲随机因素。此外，可以总结出，较低的χ值和较高的κ值会导致套期保值项的绝对值较低，因为较低的波动系数会降低来自仓促因子X的风险，而较快的均值回归会使套期保值更加困难。由于空间原因，此处省略了相应的图。现在我们将讨论马尔可夫切换参数θ的影响。

对于d=0.5和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.050.1对于d=1和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 150 200 25000.020.040.06对于d=1.7和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.020.04，d=1和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.020.020.04对于d=2.5和delta=0.3Density 5%quantile95%quantileFigure 6：根据不同d值的衍生最优策略，投资者的最终财富密度，剩余参数采用集合1中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有大于250的值都汇总在图的最后一个栏中。如前所述，影响最优投资组合政策，但只影响函数ξ和价值函数Φ。图8和图9给出了δ=0.3和δ=-分别为1。可以看出，对于δ=0.3和δ=-1.投资者利用随机因素，利用这一额外风险产生更多收益。此外，从图中可以看出，价值函数Φ不严重依赖于马尔可夫链的初始状态。这可能是因为，对于较长的到期日，马尔可夫链将有足够的时间切换几次，对于较短的到期日，ξ公式中的积分非常小。

然而，θ和θ之间的差异越大，马尔可夫链的当前状态对Φ的影响就越大。6结论在效用最大化的背景下，我们提出了一个灵活且同时具有分析可处理性的资产价格模型，其中考虑了两个额外的随机性来源：马尔可夫链和马尔可夫调制扩散过程后的连续随机因子。根据马尔可夫链的半鞅表示，我们给出了相应的HJB方程。我们找到了最优控制的显式解，并导出了马尔可夫链上的期望值函数。此外，我们还通过一些数值计算验证了导出公式的实用性。我们发现最优投资组合由两部分组成：第一部分对应于均值-方差优化问题的解，第二部分修正了随机因素带来的额外风险。此外，我们还表明，马尔可夫链的状态强烈影响了d=0.5和δ的最优投资0 10 20 30 40 50 6000.050.1最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 40 50 6000.050.1 d=1和delta的最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 50 60 000.050.1 d=1.7和delta的最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 40 60 000.050.1 d=2.5和delta的最终财富=-1密度5%数量95%数量图7：根据不同d值的衍生最优策略，投资者的最终财富密度，剩余参数采用集合2中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有高于60%的数值都汇总在图表的最后一个栏中。02411.11.21.31.41.5theta=[0.1,0.2]时间xi平静状态。

状态0 2411.11.21.31.41.5θ=[0.05,0.1]时间平静状态b。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.08]时间平静状态。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.04]时间平静状态。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.025]时间平静状态。状态0246.577.588.599.510theta=[0.1,0.2]时间φ0246.577.588.599.510theta=[0.05,0.1]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.08]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.04]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.025]时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。状态图8：对于（θ，θ）的不同选择，函数Φ与时间的关系。其余参数采用集合1（δ=0.3）。决定除了这些实际见解之外，我们还证明了一种易于检验的验证理论，该理论将马尔可夫转换的情况简化为具有时间相关系数的情况。我们应用它来验证马尔可夫调制赫斯顿模型的解。综上所述，我们通过在现实模型中解决最优投资问题，并从理论和实践角度分析结果，为文献做出了贡献。关于马尔可夫链和马尔可夫调制的一般数学结果在本节中，我们概述了马尔可夫链的一些性质，这些性质将用于解决所考虑的优化问题。较长的证据在附录中外包。下一个定理说明马尔可夫链是半鞅，并从半鞅理论的角度揭示了强度矩阵的重要性。

4.4.0.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.90.90.90.90.50.50.50.0.0.0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.80.80.80.80.80.50.50.50.50.50.50.50.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8）024-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.1,0.2]时间φ0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.05,0.1]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.08]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.04]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.025]时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。状态图9：对于（θ，θ）的不同选择，函数Φ与时间的关系。其余参数采用集合2（δ=-1).定理A.1（半鞅分解）假设MC是一个状态空间为E={E，…，el}且生成矩阵为Q的马尔可夫链。然后，MC可以写成以下形式：MC（t）=MC（0）+ZtQMC（s）ds+M（t），T∈ [0, ∞), （A.1）其中M是鞅w.r.t.过滤FMC={FMCt}t≥0由processMC生成。注意processRtQMC ds的变化是有限的。因此，方程（A.1）是MC的半鞅表示。我们推导所需的一个关键结果是马尔可夫调制It^o公式。在陈述主要结果之前，让我们正式定义一下我们所说的马尔科夫效应。定义A.2（马尔可夫调制它^o扩散）设W:={W（t）}t≥0be是m维布朗运动且MC:={MC（t）}t≥0如定理A.1所示。然后进程X={X（t）}t≥0=X（t）。

，Xn（t）T≥0∈ 定义方式：X（t）=X（0）+ZtuXs、 X（s）、MC（s）ds+ZtσXs、 X（s）、MC（s）dW（s）（A.2）=十、xn+ZtuXs、 X（s）、MC（s）...unXs、 X（s）、MC（s）ds+ZtσXs、 X（s）、MC（s）. . . σ1mXs、 X（s）、MC（s）.........σn1Xs、 X（s）、MC（s）. . . σnmXs、 X（s）、MC（s）DW（s）。。。西医(s)被称为马尔可夫调制It^o扩散，其中uX:[0，∞) ×Rn×E→ r与σX:[0，∞) ×Rn×E→ Rn是确定性函数。注意X是一个连续过程，因为我们有两个积分w.r.t.连续过程。Xis的自然过滤由FX={FXt}t表示≥0.定理A.3（马氏调制It^o微分的It^o公式）将过程X视为定义A.2中的过程。此外，函数f:[0，∞) ×Rn×E→Rt、 （x，…，xn），ei7.→ Ft、 （x，…，xn），ei第一个变量是连续的，第二个变量是连续的∈ E.那么Ft、 X（t），MC（t）T≥0是一个半鞅，我们有：ft、 X（t），MC（t）= f（0，X（0），MC（0））+Zthtfs、 X（s）、MC（s）+nXj=1xjfs、 X（s）、MC（s）ujxs、 X（s）、MC（s）+nXj，k=1xjxkfs、 X（s）、MC（s）mXr=1σjrXs、 X（s）、MC（s）σkrXs、 X（s）、MC（s）ids+ZtmXr=1nXj=1σjrXs、 X（s）、MC（s）xjfs、 X（s）、MC（s）dWr（s）+ZtlXi=1fs、 X（s），eiqMC（s）ids+ZtlXi=1f（s，X（s），ei）dMi（s）。下面的证明是[11]第57页定理4.47中关于半鞅的一般It^o公式的应用。关于它的另一个重要结果是，由马尔可夫链扩展的^o微分是确定性偏微分方程的解与指数期望之间的联系。

经典费曼-卡克定理的一般化在下面的定理中给出。定理A.4（带马尔可夫切换的费曼-卡克定理I）让过程X，在集合DX中取值 R、 是由以下SDE给出的一维马尔可夫调制It^odi扩散：dX（t）=uXX（t），MC（t）σX+dtX（t），MC（t）dW（s），其中W是布朗运动，MC是定理a.1中的马尔可夫链。进一步考虑函数K:[0，T]×DX×E→ R.然后定义函数k:[0，T]×DX×E→ Rvia:k（t，x，ei）：=Ehexpn-ZtKT- s、 X（s）、MC（s）dsoX（0）=X，MC（0）=eii。适用于所有人（t、x、ei）∈ [0，T]×DX×E，假设函数k定义良好，k（T，x，ei）<∞,以下条件成立：i）函数k在x中是两次连续可微的。ii）对于过程{N（r）}r∈[0，T]定义为：N（r）：=rZrhxkt、 X（s）、MC（s）uXX（s）、MC（s）+十、xkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）+lXj=1qMC（s）jk（t，X（s），ej）ids，它认为：limr↓0E[N（r）|X（0）=X，MC（0）=ei]=E[limr↓0N（r）|X（0）=X，MC（0）=ei]。这意味着，它在平均值上收敛到几乎确定的极限∈ [0，T]。iii）EhRrxkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）德国西部(s)X（0）=X，MC（0）=eii=0，对于所有r∈ [0，T]。iv）EhRrk（t，X（s），e），k（t，X（s），el）dM（s）X（0）=X，MC（0）=eii=0，对于所有R∈ [0，T]。v） ForZ（t+r）：=expn-Zt+rKt+r- s、 X（s）、MC（s）dsoY（r）：=expnZrKt+r- s、 X（s）、MC（s）dso，它认为，对于所有的r∈ [0，T- t] ，即：limr↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rX（0）=X，MC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）X（0）=X，MC（0）=eii=E[Z（t）X（0）=X，MC（0）=ei]K（t，X，ei）。那么k是可微的w.r.t。

t和满足以下耦合偏微分方程系统，forall（t，x）∈ [0，T]×DX:-tk（t，x，ei）- k（t，x，ei）k（t，x，ei）+xk（t，x，ei）ux（x，ei）+十、xk（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijk（t，x，ej），k（0，x，ei）=1，我∈ E.（A.3）此外，上述条件iii）和iv）以及v）可分别替换为以下条件：iii）“EhRrn”xkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）臭氧消耗物质X（0）=X，MC（0）=eii<∞,无论如何∈ [0，T]。iv）“EhRr”k（t，X（s），ej）dsX（0）=X，MC（0）=eii<∞, 无论如何∈ [0，T]。v） K（t，x，ei）和tK（t，x，ei）在t，x和limr中是连续的↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rX（0）=X，MC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）X（0）=X，MC（0）=eii，对于所有r∈ [0，T- t] ，ej∈ E.注意，上述等式成立的一个充分条件是Z（t+r）Y（r）的可积界的存在-Y（0）r.证明该证明遵循[20]中定理8.2.1的证明。备注A.5关于k、uX、σX和k的一些有界条件可以很容易地取代假设（ii）、（iii）、（iv）和（v）。然而，这些函数对于重要样本（如Heston模型）是没有界的。这就是为什么我们尽可能地保持这些假设的普遍性。对于我们的应用，我们需要Feynman-Kac结果的向后公式，这是上述定理的直接应用，并在以下推论中说明：推论a.6（带马尔可夫切换的Feynman-Kac定理II）考虑过程X和MC，如定理a.4和一些函数H:[0，T]×DX×E→ R.定义函数h:[0，T]×DX×E通过：h（T，x，ei）：=Ehexpn-ZTtHs、 X（s）、MC（s）oX（t）=X，MC（t）=eii。表示K（t，x，ei）：=H（t- t、 x，ei）定义函数k（t，x，ei），如定理A.4所示。假设定理A.4的条件适用于k和k，那么h是不同的。r、 t。

并满足以下所有（t，x）的耦合偏微分方程系统∈ [0，T]×DX:th（t，x，ei）- h（t，x，ei）h（t，x，ei）+xh（t，x，ei）ux（x，ei）+十、xh（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijh（t，x，ej），h（t，x，ei）=1，我∈ E.作为向后Feynman-Kac结果的一个应用，我们得到了以下关于马尔可夫链及其与耦合常微分方程线性系统的推论期望：推论A.7（耦合常微分方程线性系统）再次考虑来自定理A.1和定义函数ξ：[0，T]×E的马尔可夫链MC→ R如下：ξ（t，ei）=Ehexpn-ZTtΞs、 司仪(s)dsoMC（t）=eii，对于某些有限函数Ξ：[0，t]×E→ R.假设函数ξ定义良好，且ξ（t，ei）<∞,  （t，ei）∈ [0，T]×E.进一步，对于任意但x T∈ [0，T]和allr∈ [0，t]，定义：Z（t+r）：=expn-Zt+rΞT- T- r+s，MC（s）dsoY（r）：=expnZrΞT- T- r+s，MC（s）dso，并假设，对于所有ei∈ E、 thatlimr↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rMC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）MC（0）=eii=E[Z（t）MC（0）=ei]Ξ（T）- t、 ei）。（A.4）除了假设（A.4）之外，还可以要求Ξ（t，ei）和tΞ（t，ei）对所有ei都是连续的∈ E.然后ξ满足以下所有t的颂歌系统∈ [0，T]：tξ（t，ei）- ξ（t，ei）Ξ（t，ei）=-lXj=1qijξ（t，ej），ξ（t，ei）=1，我∈ E.B定理4.2第4节附录，考虑任意但固定的点（t，v）∈ [0，T]×R≥0和容许策略π∈ λm（t，v）并将其^o规则逐步应用于ΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）:ΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）= ΦmtK，Vm，π（tK），Xm（tK）+ZTtKLm（mK，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）ds+ZTtKΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtKΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=ΦmtK-1，Vm，π（tK-1） ，Xm（tK-1)+KXi=K-1Zti+1tiLm（mi，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）ds+ZTtK-1Φmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtK-1Φmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=。

.=Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+KXi=0Zti+1tiLm（mi，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）|{z}≤0ds+ZTtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）≤ Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+ZTtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=：Ym（T）。注意，这里我们使用了函数Φm的连续性和分段可微性。对于任意端点τ，我们可以用类似的方式展示该语句∈ [t，t]：Φmτ、 Vm，π（τ），Xm（τ）≤ Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+ZτtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZτtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=：Ym（τ）。（B.1）现在假设Φmτ、 v，x≥ 0表示所有（τ，v，x）∈ [0，T]×R≥0×DX。它跟在y（τ）后面≥ 此外，Ym是一个局部鞅，因为所有涉及的函数至少是分段连续的，所以它是一个超鞅。然后它认为：EhUVm，π（T）Fti=EhVm，π（T）δδFti=EhΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）Fti≤ E[Ym（T）| Ft]≤ Ym（t）=Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）,这证明了定理的第一个陈述。我们继续为第二个陈述提供证据。作为一个鞅，它直接跟在后面：呃Vm，πm（T）δδFti=EhΦmT、 Vm，πm（T），Xm（T）Fti=Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）.我们的证据是完整的。2标记B.1注意到我们没有使用模型的指数结构进行证明。因此，该结果适用于具有随机因子的一般时间相关模型。引理B.2（指数鞅）设Z=（Z，…，Zn）是一个n维连续半鞅，具有一个不同的特征（uZ，γZ）∈ Rn×Rn×n，即uZ（t）=uZ（t）。。。unZ（t）=α（t）。。。αn（t）+nXj=1Zjαj（t）。。。αnj（t）γZ（t）=γZ（t）。γ1nZ（t）。。。。。。。。。γn1Z（t）。γnnZ（t）=β（t）。β1n（t）。。。。。。。。。βn1（t）。βnn（t）+nXj=1Zjβj（t）。β1nj（t）。。。。。。。。。βn1j（t）。

βnnj（t）,对于某些确定性函数αkj，βk，lj:[0，∞] → R、 j∈ {0，…，n}，k，l∈ {1，…，n}。进一步假设存在一个数字p∈ N、 p≤ n这样的话∈ R≥0：关于半鞅微分特征的定义，请参见[13]。i） βklj（t）=0如果0≤ J≤ p、 一,≤ k、 l≤ p，除非k=l=j；ii）如果j，αkj（t）=0≥ p+1,1≤ K≤ Piii）βklj（t）=0如果j≥ p+1,1≤ k、 l≤ n、 如果另外αj（t）和βj（t）在t中是连续的∈ R≥0代表所有人0≤ J≤ n以下条件适用于约1≤ 我≤ n：αij（t）+βiij（t）=0， 0≤ J≤ n、 （B.2）那么exp{Zi（t）}T∈[0,∞)这是一个鞅。定理4.3由方程（4.14）导出的函数Φm的证明显然是连续的且分段有效的，根据定理4.2，我们只需要证明Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）}T∈[0，T]是鞅。我们首先写下Vm的SDE的解，\'πm:Vm，\'πm（t）=vexpnZtr男(s)+ λXm（s），m（s）πm（s）-πm（s）σPXm（s），m（s）ds+Zt′πm（s）σPXm（s），m（s）dWP（s）o，适用于所有0≤ T≤ T

然后我们把它插入Φm的表达式中：Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）=Vm，πm（t）ΔδexpnZTtδr男(s)dsoexpθAm（t）+θBm（t）Xm（t）=vΔδexpnZTδr男(s)dsoexp{θAm（0）+θBm（0）x}{z}=Φm（0，v，x）·expnZtΔλXm（s），m（s）πm（s）-δπm（s）σPXm（s），m（s）+ θAmt（s）+θBmt（s）Xm（s）+θBm（s）uXXm（s），m（s）ds+ZtθBm（s）σXXm（s），m（s）| {z}=：σ（1）L（s，Xm（s））dWX（s）o+Ztδ′πm（s）σPXm（s），m（s）| {z}=：σ（2）L（s，Xm（s））dWP（s）=：Φm（0，v，x）expnZtuLs、 Xm（s）ds+Ztσ（1）Ls、 Xm（s）dWX（s）+Ztσ（2）Ls、 Xm（s）dWP（s）o=：Φm（0，v，x）exp{Lm（t）}，现在我们很容易识别出微分半鞅特征uZ（t）=u（1）Zt、 Xm（t）u（2）Zt、 Xm（t）!和ΓZ（t）=Γ（11）Zt、 Xm（t）Γ（12）Zt、 Xm（t）Γ（21）Zt、 Xm（t）Γ（22）Zt、 Xm（t）!二维过程的Z:=（Xm，Lm，）：u（1）Zt、 x=uX（X，m（t））=u（1）Xm（t）+ xu（2）xm（t）u（2）Zt、 x=uL（t，x）=Δλx、 m（t）πm（t）-δπm（t）σPx、 m（t）+ θAmt+θBmtx+θBmuXx、 m（t）=θAmt+θBmu（1）X+xnθBmt+θBmu（2）X+δ1- δΓ(2)1.-2(1 - δ)- θBmζ（2）δ（1）- δ)-δ(1 - δ） θ（Bm）ρ∑（2）XoΓ（11）Z（t，x）=σx（x，m（t））=x∑（2）xm（t）Γ（12）Z（t，x）=Γ（21）Z（t，x）=σx（x，m（t））σ（1）L（t，x）+ρσ（2）L（t，x）= xnBm（t）∑（2）Xm（t）+δ1 - δζ(2)m（t）oΓ（22）Z（t，x）=σ（1）L（t，x）+σ（2）L（t，x）+ 2ρσ（1）L（t，x）σ（2）L（t，x）=xnθ（Bm（t））∑（2）xm（t）1 +ρδ(1 - δ)+ 2ρδ1 - δ+ 2θBm（t）ζ（2）m（t）δ(1 - δ)+δ(1 - δ)Γ(2)m（t）o、 其中，为了更好的可读性，我们省略了对m、t和x的依赖关系，并替换了以下等式：\'-πm（t）=1- δnλx、 m（t）σPx、 m（t）+ ρσXx、 m（t）σPx、 m（t）θBm（t）oσXx、 m（t）= ∑（2）Xm（t）xuxx、 m（t）= u（1）Xm（t）+ u（2）Xm（t）xρλx、 m（t）σXx、 m（t）σPx、 m（t）= ζ(2)m（t）xλx、 m（t）σPx、 m（t）!= Γ(2)m（t）x、 观察到uZandΓZare是p=1的引理B.2中的分段连续和完整条件i）、ii）、iii）。

接下来，我们证明了u（2）Z（t，x）+Γ（22）Z（t，x）=0，通过比较系数，这相当于方程（B.2）中的i=2:u（2）Z（t，x）+Γ（22）Z（t，x）=θhAmt+u（1）XBmi+θxhBmt+∑（2）xBm+δ1 - Δζ（2）+u（2）XBm+δ1- ΔΓ（2）i=0，其中，由于等式（4.11）和（4.12），最后一个等式成立。引理B.2给出了{exp{Lm（t）}}t的过程∈[0，T]因此也处理46{Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）}T∈[0，T]是鞅。定理4.2的应用完成了证明。参考文献[1]Y.Ait-Sahalia和R.Kimmel。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83。[2] N.鲍尔和U.里德。具有马尔可夫调制股价和利率的投资组合优化。《自动控制》，49:442–447，2004年。[3] G·伯恩哈特、S·H¨ocht、M·纽格鲍尔、M·纽曼和R·扎格斯特。动荡市场中的资产相关性以及不同制度对资产管理的影响。亚太运筹学杂志，28:1-232011。[4] 崔先生和袁先生。具有制度变迁的连续时间随机波动模型。工作文件，2013年。[5] G.达勒姆和Y.帕克。除了随机波动和收益率和波动率的跳跃。商业与经济统计杂志，31:107–121，2013年。[6] 艾利斯。使用变换方法的具有时间相关参数的模型：应用于heston模型。工作文件。[7] R.J.Elliott、K.Siu和L.Chan。heston随机波动率模型下的波动率互换定价。应用数学金融，14:41–622007。[8] S·L·埃利奥特。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究评论》，6:327–3431993。[9] R.恩格尔。波动性模型有什么好处？《定量金融》，2001年1:237-245。[10] J·D·汉密尔顿。

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