马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

2022-5-6 01:00:20

MarkovSwitchingMarcos Escobar，Daniela Neykova，Rudi Zagst 2018年7月30日摘要我们考虑一个随机因素金融模型，其中资产价格过程和随机因素的过程依赖于一个可观察的马尔可夫链，并呈现出一种有效结构。我们面临一个有限的投资期限，并得出最佳的动态投资策略，最大限度地提高投资者对终端财富的预期效用。为了实现这一目标，我们采用了默顿的方法，因为我们正在处理一个不完全市场。基于马尔可夫链的半鞅特征，我们首先推导了HJB方程，在我们的例子中，HJB方程对应于一个耦合非线性偏微分方程组。利用模型的有效结构，我们推导出了无杠杆情况下解的简单表达式，即驱动资产价格的布朗运动与随机因素之间没有相关性。在存在杠杆的情况下，我们提出了一个可分离的leansatz，这也导致了这种情况下的显式解决方案。一般验证结果也得到了证实。结果在马尔可夫调制赫斯顿模型的特例中得到了说明。1导言在本文中，我们在一个非常灵活的模型下，通过最大化终端财富的预期效用，同时受到一些连续随机因素和马尔可夫链的影响，得出最优投资策略。Black-Scholes模型在[16]和[17]中首次提出并连续解决了效用最大化问题。从那时起，许多作者进一步发展了这一理论，以建立更复杂、更现实的市场模型。

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2022-5-6 01:00:24

一个重要的扩展是资产收益波动率的随机建模，因为恒定的Black-Scholes波动率不能反映重要的经验观察结果，例如不对称厚尾股票收益率分布和波动率聚类（有关详细的经验研究，请参见[22]，[9]）。一些最受欢迎的随机波动率模型示例包括Stein&Stein和Heston分别在[24]和[8]中提出的有效模型。例如，在[26]中，推导了一个连续时间模型的最优投资规则，该模型带有一个附加的随机因子，遵循一个扩散过程。[14] 严格证明了他们在赫斯顿模型中的有效性。虽然随机波动率的加入使资产价格建模更现实，但它并不能捕捉长期宏观经济发展。这些基本因素可以用马尔可夫链来描述，马尔可夫链的每一个州都位于多伦多维多利亚街350号瑞尔森大学数学系，位于德国加钦霍奇布吕克市11号帕克林，M？unchen科技大学数学金融学院M5B 2K3 CanadaChair。电子邮件：丹妮拉。neykova@tum.de.（通讯作者）德国加钦戈什布鲁克公园11号、邮编85748的蒙城理工大学数学金融系主任描述了不同的市场形势，例如危机或繁荣的经济。[10]中首次引入了马尔科夫转换自回归模型，并以经验为依据。在[2]和[23]中，一个马尔可夫切换Black-Scholes模型被应用于效用最大化，其中描述了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并导出了最优控制。我们的贡献是在投资组合优化的背景下，结合了随机性的两个来源——一个连续的随机因素和一个马尔可夫链。

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2022-5-6 01:00:27

为了确保模型的分析可处理性，我们假设了一个有效的结构。此类模型最近被考虑用于衍生品定价。[7] 推导波动性Waps的定价公式，[19]和[21]将摄动方法应用于不同的马尔科夫切换模型下的期权定价。此外，在[4]、[5]中可以找到关于这类模型相关性的经验证实。据我们所知，我们是第一个为展示这种丰富随机结构的模型推导最优投资组合策略和相应的价值函数的人。我们的推导基于马尔可夫链的半鞅特征，这是一个强大的工具，尽管在马尔可夫链的文献中不太流行。它允许我们陈述相应的HJB方程，在这种情况下，这将导致一个耦合偏微分方程系统。我们设法在马尔可夫链上解决它，这是一个简单而快速的计算。我们甚至考虑了仓促因素和资产价格过程之间的瞬时相关性，这与经验观察结果一致（见[9]）。作为计算的副产品，我们得到了著名的费曼-卡克定理的一个版本，该定理适用于马尔可夫调制随机过程，并可用于求解其他应用中的耦合偏微分方程组。此外，我们证明了一个非常有用的验证结果，它将马尔可夫切换的情况减少到了具有确定性系数的情况，因此非常容易检查。最后，我们从经济学的角度对结果进行了分析。本文的剩余部分组织如下。第2节精确地描述了我们正在处理的模型和优化问题。之后，第3节概述了用于解决该问题的方法。第4节介绍了获得的解决方案。

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2022-5-6 01:00:30

马尔可夫调制赫斯顿模型的数值实现和结果分析见第5节。第6节结束。2模型和优化问题我们考虑一个连续时间的金融市场，有一个无风险的投资机会（银行账户）和一个风险资产。相应的价格过程用{P（t）}t表示∈[0，T]和{P（T）}T∈[0，T]。这些价格过程的动力学受到随机因子X和可观测连续时间马尔可夫链MC的影响。有关马尔可夫链和强度矩阵的标准定义，请参见例如[25]，第16页。我们假设这些过程遵循一个特殊的模型，我们称之为马尔可夫调制模型，该模型更精确地定义如下：定义2.1（马尔可夫调制模型（MMAF））该模型是在过滤概率空间上陈述的(Ohm, F，Q，F），其中Q表示现实世界的度量。设MC为平稳连续时间齐次马尔可夫链，有限状态空间E={E，…，el}，强度矩阵Q={qij}i，j=1，。。。，L∈ Rl×l，其中eidenotes表示Rl中的第i个单位向量。此外，用wp和wx表示两个相关的一维布朗运动，独立于马尔可夫链。

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2022-5-6 01:00:34

如果银行账户和交易资产根据以下动力学发展：dP（t）=P（t）r，则金融市场模型称为马尔可夫调制的有效模型MC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ γX（t），MC（t）σPX（t），MC（t）| {z}=：λ（X（t），MC（t））dt+σPX（t），MC（t）（t）MC（t）dWX（t）dWX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）为（t）dWX（t）dWX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）为（2.1）和（2.1）具有初值P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）和（2）和（2.1）具有初值P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）=（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（P（0）P（0）P（P（0）P（P（0）P（0）P（P（P），P（P（P（0）P（P（0）P（P（0）P（0）P（0）P（0）P（P（0）P），P（P（0）P（0）P ei）X，（MMAF）代表所有人（X，ei）∈ DX×E，其中DX R表示过程X和u（j）X的定义集，ζ（j）：E→ RΓ（j），∑（j）X:E→ R≥0，对于j=1，2，r和σP:DX×E→ R是确定性函数。观察λX（t），MC（t）代表风险资产的超额收益，γX（t），MC（t）对应于风险的市场价格。此外，我们用FMC={FMC（t）}t表示马尔可夫链产生的过滤∈[0，T]。请注意，这一定义和后续文章中给出的所有结果都可以很容易地扩展到参数的附加时间依赖性。备注2.2请注意，对于ρ=0，（MMAF）中的最后一个假设是微不足道的，对于ρ6=0，它意味着：σX（X，ei）=b（ei）γ（X，ei）=> 对于某些确定性函数b:E，γ（x，ei）=b（ei）σx（x，ei），（2.2）→ R.所以，对于具有相关性的情况，风险的市场价格应该是随机因素波动率的倍数。备注2.3从现在起，在整篇文章中，我们用E={1，2，…，l}和定义过程MC={MC（t）}t来表示MC状态的指数集≥0by MC（t）：=Pli=1i1{MC（t）=ei}。观察随机因素的漂移和扩散项，以及风险的四次市场价格（夏普比率）在X中是有效的。该特性解释了模型的名称。

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2022-5-6 01:00:37

我们将在第3节中看到，由于这一点，相应HJB方程中的所有项都有一个有效结构，这使得其解具有指数形式。这类模型的一个重要例子是在著名的赫斯顿模型中加入马尔可夫切换（MS）。本示例将在第5节中详细讨论。请注意，随机性的另外两个来源-马尔可夫链和随机因素-使市场模型不完整。这就是为什么效用最大化的鞅方法不适用，我们将依赖于动态规划方法。我们假设投资者不仅可以观察资产价格，还可以观察随机因子X的值和马尔可夫链MC的状态，并根据所有这些信息做出投资决策。她的策略是用π=π（t）t表示的∈[0，T]，投资于风险资产的财富的相对部分。由于我们只考虑自我融资交易策略，财富过程的SDE Vπ={Vπ（t）}t∈[0，T]由策略π产生（当投资从时间0开始，初始财富v）由以下公式给出：dVπ（T）=vπ（T）hrMC（t）+ λX（t），MC（t）π（t）i |{z}=：uVVπ（t），X（t），MC（t），π（t）dt+Vπ（t）π（t）σPX（t），MC（t）| {z}=：σVVπ（t），X（t），MC（t），π（t）dWP（t）Vπ（0）=V.（2.3）回想一下这个SDE解的指数形式，我们可以得出结论，对于所有的t，Vπ（t）>0∈ [0，T]。投资者的风险偏好以幂效用函数为特征：U（v）=vδδ，δ<1，δ6=0。观察相对风险规避的Arrow-Pratt测量值（如果byvUU=1）- δ、因此，参数δ描述了投资者的风险规避：δ→ 1表示风险中性投资者，δ越小，投资者越厌恶风险。图1证实了这一点，它显示了不同参数值的效用函数。

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nandehutu2022

2022-5-6 01:00:40

可以看出，δ越高，高财富水平的权重越大，低财富价值的权重越小。这意味着与δ较低的投资者相比，δ接近1的投资者更愿意承担风险。对于δ的负值，可以更清楚地认识到这种关系，其中非常高的负权重被分配给接近于零的财富水平，而非常高的财富水平只能略微提高投资者的效用。这就是为什么带有负参数δ的效用函数被用来描述非常厌恶风险的投资者。投资者的目标是最大限度地利用终端财富。我们声明这0 5 10 15 20 25 30 35 4005101520253035财富效用增量=0.9增量=0.5增量=0.3增量=0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100-80-60-40-200wealthutility delta=-0.1德尔塔=-0.5delta=-1德尔塔=-10图1：不同参数δ的功率效用函数U（v）=vδδ≤ 1.在以下所有优化问题中（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E:J（t，v，x，ei）（π）：=EQhU（vπ（t））|vπ（t）=v，x（t）=x，MC（t）=eiiΦ（t，v，x，ei）：=maxπ∈∧（t，v）J（t，v，x，ei）（π），（2.4），其中最大预期效用Φ称为价值函数，∧（t，v）表示所有可接受的交易策略的集合，从时间t开始，初始财富v：∧（t，v）：=nππ（s）∈ R、 Vπ（t）=V，Vπ（s）≥ 0, s∈ [t，t]，EQhUVπ（T）-|Fti<∞o、严格来说，我们应该写∧（t，v，x，ei），但是为了更好的可读性，我们省略了剩下的参数。注意，在我们的案例中，财富过程的积极性对于所有自我融资交易策略都是充分的。定义∧（t，v）的最后一个条件要求终端效用的负部分是可积的，不包括可能以正概率确定负效用的策略。

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2022-5-6 01:00:43

然而，如果可以证明价值函数是有限的，那么这个条件对于相应的最优投资组合来说是微不足道的，因为电力效用在其整个定义集上是正的或负的。要么值有限，要么函数为负。因此，在所考虑的情况下，我们不需要额外检查最优交易策略的可接受性。观察到，现在我们的优化问题不仅有一个状态变量，就像经典的默顿优化问题一样，还有三个状态变量，对应于我们模型中的三个可区分的随机性源。在介绍这个优化问题的解决方法之前，我们请读者参考附录A，在附录A中，我们总结了一些关于马尔可夫链和马尔科夫函数的一般结果，我们稍后将需要这些结果。现在我们已经准备好了继续解决问题（2.4）的所有方法。3 HJB方法由于我们正在处理一个不完全市场，我们应用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方法进行投资组合优化。下文对其进行了简要描述。该方法基于所谓的贝尔曼原理，即最优控制的特点是，无论初始动作是什么，考虑到第一个动作的结果，剩余的决策都是最优的。

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2022-5-6 01:00:46

这在下面的方程中正式表示：Φ（t，v，x，ei）=maxπ∈∧（t，v）EQhΦt+h，Vπ（t+h），X（t+h），MC（t+h）Vπ（t）=V，X（t）=X，MC（t）=eii。（3.1）将马尔可夫调制It^o微分的It^o公式应用于函数Φt+h，Vπ（t+h），X（t+h），MC（t+h）, 启发式地交换期望值和积分，并取h的极限→ 方程（3.1）中的0导致以下所有（t，v，x）的值函数Φ的耦合DHJB方程组∈ [0，T]×R≥0×DX:maxπ∈R{L（ei，π）Φ（t，v，x，ei）}=-lXj=1qijΦ（t，v，x，ej），我∈ EΦ（T，v，x，ei）=U（v）=vΔδ，我∈ E、（3.2）其中微分算子L（ei，π）针对每个ei给出∈ E by:L（ei，π）Φ（t，v，x，ei）：=Φt+uv（v，x，ei，π）Φv+ux（x，ei）Φx+σv（v，x，ei，π）Φvv+σx（x，ei）Φxx+ρσv（v，x，ei，π）σx（x，ei）Φvx。请注意，从现在起，我们对偏导数采用以下符号：Fa=美国联邦航空局=A.空军基地=A.对于任何函数F（a，b，…）。观察到，我们需要解一个耦合偏微分方程组，而不是像经典It^odi方程那样只处理一个偏微分方程。首先，我们陈述了内部最优的一阶条件：πL（ei，π）Φ（t，v，x，ei）=vλ（x，ei）Φv+vπσP（x，ei）Φvv+ρvσx（x，ei）σP（x，ei）Φvx=0，其中我们插入了从方程（2.3）中定义的uVandσvf。因此，可以导出以下最优解的候选解：\'\'π（t）=\'\'πt、 X（t），MC（t）= -λΦv+ρσXσPΦvxV′π（t）σPΦvvt、 X（t），MC（t）, T∈ [0，T]。（3.3）然后，根据适用性函数，我们对值函数声明如下ansatz：Φ（t，v，x，ei）=vΔδf（t，x，ei），（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（3.4）对于某些函数f（t，x，ei）：[0，t]×DX×E→ R

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2022-5-6 01:00:50

因此，最优策略的候选者采用以下形式：‘π（t）=n1- ΔλσP |{z}均值-方差组合+1- ΔρσXσPfxf |{z}t、 X（t），MC（t）(3.5)=1 - ΔσPnγ+ρσxfot、 X（t），MC（t）. （3.6）“π”的第一部分显示出与Black Scholes模型中没有

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2022-5-6 01:00:53

此外，观察“π”不依赖于财富过程V“π”。在HJB方程（3.2）中插入方程（3.4）和（3.6），可得出以下未知函数f（t，x，ei）和所有（t，x）的简化偏微分方程组∈ [0，T]×DX:ft（T，x，ei）+f（T，x，ei）δnr（ei）+1- Δγ（x，ei）o+fx（t，x，ei）nux（x，ei）+Δ1- ΔρσX（X，ei）γ（X，ei）o+fxx（t，X，ei）σX（X，ei）+fx（t，X，ei）f（t，X，ei）δ1- ΔρσX（X，ei）=-lXj=1qijf（t，x，ej），f（t，x，ei）=1，我∈ E.（3.7）解析求解该系统具有挑战性，方程的耦合使数值过程复杂化。然而，在下一节中，我们将列出一系列特殊模型，通过方便地将依赖关系置于马尔可夫链上，可以得到简单的表达式，这些表达式可以轻松地进行数值计算。请注意，仅找到HJB方程的解不足以显示结果策略的最佳性。需要证明验证定理，以表明所有技术假设确实满足。验证结果也包含在以下内容中。4显式解对于无杠杆（即ρ=0）的情况，我们在一般模型（2.1）中提供了仅在马尔可夫链的概率测度上的一个非常简单的期望的解，该概率测度可以非常有效地计算（见定理4.7）。对于一种特殊情况，我们甚至可以导出一个确定性Riccati方程的显式解（见定理4.8）。对于布朗运动表现出瞬时相关性的情况，导出了相关参数选择的闭式解（见定理4.9）。

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2022-5-6 01:00:57

此外，在OREM 4.5中，我们陈述了一个非常容易验证的验证结果。在继续这些解决方案之前，我们需要解决辅助模型中的优化问题，其中参数根据确定性阶跃函数进行切换。第4.1.4.1节时间相关的有效模型给出了模型的精确定义和问题的解决方案，以及所需的验证结果。作为中间步骤，我们将从一般时间相关模型（第4.1.1节）的结果开始，然后介绍一个特例，如果验证结果可以以非常方便的方式显示（第4.1.2节）。4.1.1一般时间相关的效率模型考虑以下随机因素模型：dPm（t）=Pm（t）rm（t）dtdPm（t）=Pm（t）hrm（t）+ γXm（t），m（t）σPXm（t），m（t）| {z}=λ（Xm（t），m（t））dt+σPXm（t），m（t）dWP（t）idXm（t）=uX（Xm（t），m（t））dt+σX（Xm（t），m（t））dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρdt，（4.1），初始值为Pm（0）=p，Pm（0）=pand Xm（0）=X。注意，r，γ，λ，σp，uX和σX是与模型（2.1）定义中相同的确定性函数，m是一个具有E={E，…，el}中值的非确定性分段常数函数。让我们用M表示所有这些函数的集合。更精确地说，M由以下公式给出：M（t）：=mt∈ [0，t）公吨∈ [t，t）…mKt∈ [tK，T），（4.2）其中tj，j=1，…，K，T:=0<T<T<T<tK≤ T=：tK+1denote m的跳跃次数，K是直到时间T和mj的跳跃次数∈ E、 j=1，K是相应的状态。我们可以将该模型解释为模型（2.1），该模型以马尔可夫链的任意但固定路径为条件。

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2022-5-6 01:01:00

这就是为什么我们将其称为与模型（2.1）相对应的时间相关模型，或由m诱导的时间相关模型，反之亦然，模型（2.1）是与模型（4.1）相对应的马尔可夫切换模型。与之前一样，PMD表示无风险投资的价格，PMI表示风险资产和Vm的价格过程，π表示与自我融资策略π相对应的财富过程。我们再次考虑幂效用函数U（v）=vΔδ和以下优化问题：J（t，v，x，m）（π）：=EQhUVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=xiΦm（t，v，x）：=最大π∈其中∧m（t，v）：=nππ（s）∈ R∧ Vm，π（s）≥ 0, s∈ [t，t]∧ EQhUVm，π（T）-Fti<∞o、在这种情况下，HJB方程的形式如下：maxπ∈R{L（m（t），π）Φm（t，v，x）}=0，Φm（t，v，x）=vΔδ，（4.4），其中微分算子L定义为所有t∈ [0，T]通过：L（m（T），π）Φm（T，v，x）：=Φmt+uv（v，x，m（T），π）Φmv+ux（x，m（T））Φmx+σv（v，x，m（T），π）Φmvv+σx（x，m（T））Φmxx+ρv（v，x，m（T），π）σx（x，m（T））Φmvx。与之前类似，我们使用内部最大值的一阶条件πL（m（t），π）Φm（t，v，x）= 0以获得最佳投资策略的候选：\'\'πm（t）=-λΦmv+ρσXσPΦmvxVm，π（t）σPΦmvvt、 Xm（t），m（t）.（4.5）通过ansatz：Φm（t，v，x）=vΔδfm（t，x），（4.6）我们简化了‘πmto:’πm（t）=1- δnλσP+ρσXσPfmxfmot、 Xm（t），m（t）=1.- ΔσPnγ+ρσxfmxot、 Xm（t），m（t）.（4.7）替换HJB方程（4.4）中的方程（4.6）和（4.7）会导致函数fm在t和x中出现以下偏微分方程：fmt（t，x）+fm（t，x）δnr（m（t））+1- Δγ（x，m（t））o |{z}=:g（x，m（t））+fmx（t，x）nux（x，m（t））+δ1- ΔρσX（X，m（t））γ（X，m（t））o |{z}=：~uX（X，m（t））+fmxx（t，X）σX（X，m（t））+fmx（t，x）fm（t，x）δ1- ΔρσX（X，m（t））=0，fm（t，X）=1。（4.8）请注意，在这种情况下，我们得到的是一个PDE，而不是马尔可夫切换情况下的一个PDE系统。

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2022-5-6 01:01:04

如【26】中所述，我们应用以下变换来去除非线性项：hm（t，x）：=fm（t，x）θ，因为θ=1-δ1-δ+δρ. 然后hmt应该求解以下偏微分方程：hmt（t，x）+hm（t，x）θg（x，m（t））+hmx（t，x）~ux（x，m（t））+hmxx（t，x）σx（x，m（t））=0，hm（t，x）=1。（4.9）观察ρ=0时θ=1。在某些可积条件下，我们可以应用推论。6从上面获得偏微分方程解的以下概率表示：hm（t，x）=EhexpnZTtθg~Xm（s），m（s）o~Xm（t）=xi=expnZTtθδnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoEhexpnZTtδ1- ΔΓ（2）（m（s））~Xm（s）dsoXm（t）=xi，（4.10），其中，过程动力学为t∈ [0，T]通过以下标准差分方程：dXm（T）=uX~Xm（t），m（t）σX+dt~X（t），m（t）dWX（s）。观察到，当表达式（4.10）中的期望以封闭形式明确已知时，我们不需要检查推论a.6中的假设，因为我们可以插入解并验证它确实是HJB方程的解。在接下来的内容中，我们将描述这个解决方案，直至Riccati ODE。首先回顾一下我们模型的定义，这意味着：△uX（X，e）=u（1）X（e）+δ1- δζ（1）（e）+{u（2）X（e）+δ1- Δζ（2）（e）}x。这种有效结构允许函数hm的有效ansatz。更准确地说，我们假设：hm（t，x）=expnZTtθΔnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoexp{Am（t）+Bm（t）x}。将此ansatz插入方程（4.9），并将X和X前面的系数与Amand Bm的以下两个ODE相等：Bmt（t）+∑（2）Xm（t）Bm（t）+δ1 - δζ(2)m（t）+ u（2）Xm（t）Bm（t）+δ1- δΓ(2)m（t）= 0，Bm（T）=0（4.11）Amt（T）+∑（1）Xm（t）Bm（t）+δ1 - δζ(1)m（t）+ u（1）Xm（t）Bm（t）=0，Am（t）=0。

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2022-5-6 01:01:07

（4.12）为了得到HJB方程的解，我们只需要解Riccati方程（4.11）并在方程（4.12）中进行积分：Am（t）=ZTt∑（1）X男(s)小巴（s）+δ1 - δζ(1)男(s)+ u（1）X男(s)Bm（s）ds。观察这些方程中的参数随时间变化，但分段恒定。因此，我们正在寻找和Bm的连续、分段、连续可微的解决方案。如果我们知道常数参数和非齐次终端条件的解，则可以使用包含无数步骤的递归求解方法。命题5.1给出了方程（4.11）的可解性及其解的概率表示。并在第5节的引理5.1中进行了总结，在第5节中，我们应用它来逐步构造赫斯顿模型示例的解。下一个定理总结了我们刚才推导的结果。定理4.1（依赖时间的a fiffne模型中的HJB解）假设方程（4.11）允许一个唯一的连续、分段连续可微解Bm。然后，HJB方程（4.4）的解由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔδEhexpnZTtθg~Xm（s），m（s）dso~Xm（t）=xiθ=vδδexpnZTtδnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoexp{θAm（t）+θBm（t）x}（4.13）=vδexpnZTtδr男(s)+δ1 - δΓ(1)男(s)+θ∑（1）X男(s)小巴（s）+ θδ1 - δζ(1)男(s)+ u（1）X男(s)Bm（s）dsoexp{θBm（t）x}。（4.14）最优投资组合的对应候选项具有以下形式（见等式（4.7））：\'πm（t）=1- δnλσP+ρσXσPθBmo（t，Xm（t），m（t））=1- ΔσPnγ+ρσXθBmo（t，Xm（t），m（t））。（4.15）微不足道，Φm∈ C1,2,2[tn，tn+1）×R≥0×DX为了所有人∈ {0，1，2，…，K}并且它在整个区间[0，T]上是连续的。剩下要做的就是证明HJB方程的解确实是我们优化问题的值函数。下一个定理总结了这方面的一系列条件。

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2022-5-6 01:01:11

它不仅适用于有效模型，而且适用于具有随机因子和时间相关分段常数参数的一般模型。定理4.2（依赖时间的函数模型中的验证结果）考虑实值函数Φm（t，v，x）：[0，t]×R≥0×DX→ R并假设：i）Φm∈ C1,2,2[ti，ti+1）×R≥0×DX对于所有i=0，k、 ii）Φm∈ C[0，T]×R≥0×DX,iii）Φm表示以下PDE，针对所有i=1……分段定义，K:maxπ∈R{L（mi，π）Φm（t，v，x）}=0，对于所有（t，v，x）∈ [ti，ti+1）×R≥0×DXΦm（T，v，x）=vΔδ，其中左侧的最大值在‘πm=-λΦmv+ρσXσPΦmvxVm，π（t）σPΦmvvt、 Xm（t），m（t）.如果Φmis阳性，则为EUVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=x≤ Φm（t，v，x），适用于所有（t，v，x）∈ [0，T]×R≥0×dx和所有可容许的投资组合策略π。现在再考虑一个不一定是正的函数（满足条件i）、ii）和iii）。另外假设：iv）Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）T∈[0，T]是鞅。然后：EUVm，πm（T）Vm，πm（t）=v，Xm（t）=x= Φm（t，v，x），和UVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=x≤ Φm（t，v，x），适用于所有（t，v，x）∈ [0，T]×R≥0×dx和所有可容许的投资组合策略π。证明见附录B。因此，需要检查定理4.2中的条件，以确定感兴趣的特殊模型的参数。这可能相当费劲。这就是为什么我们在下一节中介绍了一般时间相关模型的一个特例，可以很容易地显示验证结果。4.1.2具有∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的特殊时变有效模型对于本节，我们另外假设模型（4.1）∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0。然后，验证结果很容易从[13]的推论3.4中给出的关于有效过程指数的一般陈述中得出。为了方便起见，这个结果在附录B的引理B.2中进行了总结。

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2022-5-6 01:01:14

现在我们将其应用于验证结果。定理4.3（对∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的验证结果）假设定理4.1的假设成立，∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0。然后最优投资组合策略如方程（4.15）所示，方程（4.14）所示的Φmas是相应的值函数。附录BRemark 4.4中给出了证明[14]中给出了Heston模型的替代验证定理。它依赖于本例中解决方案的特定形式。然而，这是非常技术性的，需要对模型参数进行一些限制。总之，当我们考虑∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的时间相关模型的一个特殊例子时，我们只需要找到连续的、分段可微函数a和BM，分别解方程（4.11）和（4.12）。然后我们可以应用刚刚证明的定理，得出最优解。在第5节中，我们将对aHeston类型的模型执行此操作。在推导出时间相关模型的所有必要结果之后，我们可以继续马尔可夫调制模型。我们将分别考虑驱动股票价格的布朗运动与随机因素之间存在和不存在相关性的情况，因为相关性的存在使推导变得非常复杂。4.2具有独立布朗运动的马尔可夫调制a ffine模型在本节中，我们在模型（2.1）中设置ρ=0。观察到，虽然布朗运动不表现出瞬时相关性，但这两个过程通过联合马尔可夫链额外相关。

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2022-5-6 01:01:19

在考虑了第4.2.1节中的一般情况后，我们将在第4.2.2节中提出一个特殊的可分离情况，其中的解决方案可以进一步简化。4.2.1ρ=0的一般马尔可夫调制a函数模型（MMAF）在下面的内容中，我们首先根据推论a.6猜测HJB解决方案，然后证明它确实是我们的优化问题的值函数。观察到函数f的偏微分方程（3.7）系统简化为：ft（t，x，ei）+f（t，x，ei）δnr（ei）+1- Δγ（x，ei）o |{z}=g（x，ei）+fx（t，x，ei）ux（x，ei）+fxx（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijf（t，x，ej），f（t，x，ei）=1，我∈ E.（4.16）因此，如果过程X和函数g（X，ei）满足推论A.6的条件，则系统（4.16）的解为：f（t，X，ei）=EhexpnZTtδR司仪(s)+1.- δγX（s）、MC（s）dsoX（t）=X，MC（t）=eii。此外，为了简化以下推导的可读性，我们为任何n维过程Z引入以下符号：Zt，Z=（Zt，Z，…，Znt，Z）表示在时间t点Z=（Z，…，zn）开始的过程Z。现在在新的符号中重写前面的方程，并用塔式规则对其进行转换，条件期望如下：f（t，x，ei）=EhexpnZTtδR麦肯锡工业大学（s）+1.- δγXt、x、ei（s）、MCt、ei（s）dsoi=ehexpnzttδR麦肯锡工业大学（s）+1.- δγXt、x、ei（s）、MCt、ei（s）dso | FMCTii=EhfMCt，ei（t，x）i=EhfMC（t，x）MC（t）=eii，适用于所有人（t，x，ei）∈ [0，T]×DX×E，其中fm表示所有m∈ M是系统（4.8）在由M诱导的时间相关模型中的解，因此fMC（t，x）是一个FMCT可测量的随机变量。注意，这里我们使用了MC和WX的独立性。

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2022-5-6 01:01:23

因此，所考虑的模型中的值函数的候选者具有以下形式：Φ（t，v，x，ei）=vδf（t，x，ei）=vδEhfMCt，ei（t，x）i=EhvδfMCt，ei（t，x）i=E[ΦMCt，ei（t，v，x）]=E[ΦMC t，v，x）|MC MC（t）=ei∈ M、 ΦM表示时间相关模型中的值函数。这一见解启发我们展示了一个通用的验证结果，该结果将马尔可夫切换的情况减少到具有确定性时间相关模型参数的情况，并且可以很容易地进行检查。这个验证结果的一个重要优点是，我们不需要声明我们的候选值函数解决了HJB方程，但我们直接表明它确实是我们问题的值函数。下一个理论提供了这个结果。定理4.5（独立布朗运动的验证结果）假设∈ M由ΦM（t，v，x）给出的时间相关模型中的值函数：[0，t]×R≥0×DX→ R和最优投资策略“πm取决于m的当前水平和随机过程的当前值，而不是[0，T]上m的整个路径，即对于某些函数p:[0，T]×e×R，它由“πm（T）=p（T，m（T），Vm，”“πm（T），Xm（T））给出≥0×DX→ R.然后，相应马尔可夫调制模型中的值函数由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]，最优投资策略为‘π（t）=p（t，MC（t），v‘π（t），x（t））。证明让“π”和“π”如上述定理所定义。

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何人来此

2022-5-6 01:01:28

首先，请注意以下等式适用于任意但为x m的情况∈ M:Xmt，x，Vm，\'πmt，v，x，\'πmt，v，x≡Xt，x，m（t），V′πt，V，x，m（t），′πt，V，x，m（t）{MC（s）=m（s），s∈ [t，t]}。这意味着：XMCt，x，ei，VMC，\'πMCt，v，x，ei，\'πMCt，v，x，ei≡Xt，x，ei，V′πt，V，x，ei，′πt，V，x，ei.请注意，这是正确的，因为最佳策略“πmin”依赖于时间的模型仅取决于逐步函数m的当前值，而不取决于其在[t，t]上的整个路径，并且由于布朗运动和马尔可夫链之间的独立性。通过应用这一观察结果和条件观测的塔式法则，我们得到：Φ（t，v，x，ei）=EΦMC（t，v，x）MC（t）=ei= EΦMCt，ei（t，v，x）= EhEΦMCt，ei（t，v，x）禁产条约i=EhE（VMC，πMCt，v，x，ei（T））Δδ禁产条约i=EhEV′πt，V，x，ei（t）δδ禁产条约i=呃V′πt，V，x，ei（t）Δδi.So，函数Φ确实表达了对应于策略π的预期效用。为了得到π的最优性，考虑一个任意可容许的π∈ ∧（t，v，x，ei）并注意到π|{MC（s）=m（s），s∈ [t，t]}∈ ∧m（t，v，x），M∈ M、因此π∈ ∧MCt，ei（t，v，x）。这意味着，对于时间相关模型，马尔可夫链的整个路径π上的条件是允许的，其中函数m对应于马尔可夫链的路径。因此，利用πMC的最优性，可以计算Φ（t，v，x，ei）=EhEVMC，πMCt，v，x，ei（T）δδ禁产条约我≥ EhEVMC，πt，v，x，ei（t）δδ禁产条约i=呃Vπt，V，x，ei（t）Δδi.备注4.6注意，对于上述证明，不需要假设ρ=0。因此，对于ρ6=0的一般模型，该陈述也成立。我们将这个定理应用于第4节中得到的时间相关模型的解。1并在下面的定理中给出结果。定理4.7（具有独立布朗运动的解）考虑模型（2.1）并设置ρ=0。

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2022-5-6 01:01:31

假设相应的时间相关模型中的值函数由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔΔEhexpnZTtg（Xm（s），m（s））dsoXm（t）=xi=：vΔδfm（t，x）和最优投资策略：- ΔλσP（Xm（t），m（t））=1- ΔγσP（Xm（t），m（t））。然后，马尔可夫调制模型中的值函数具有以下形式：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）|MC（t）=ei]=vΔδEhexpnZTtg（x（s），MC（s））dsoX（t）=X，MC（t）=eii=：vΔδf（t，X，ei），（4.17），最优投资组合策略为‘π（t）=1- ΔλσP（X（t），MC（t））|{z}均值-方差组合=1- ΔγσP（X（t），MC（t））。注意，如前所述，在ρ=0的情况下，最优策略只包括均值-方差投资组合。证明了时间相关模型中的最优投资组合不依赖于函数m的整条路径，并应用定理4.5。在推导出通解之后，我们现在对简化定理4.7中的概率表示感兴趣。为了实现这一目标，我们考虑下面介绍的一个特殊模型。4.2.2ρ=0的可分离马尔可夫调制函数模型（SMMAF）在本节中，我们假设函数f（t，x，ei）在x和ei中的可分离性，即我们考虑以下情况：f（t，x，ei）=ξ（t，ei）expB（t）x,对于某些函数，ξ：[0，T]×E→ R和B:[0，T]→ R.为了能够将PDE与f分离，我们需要假设出现在随机因子X前面的系数不依赖于马尔可夫链。更准确地说，模型参数的以下结构称为（SMMAF）：γ（x，ei）=Γ（1）（ei）+Γ（2）xux（x，ei）=u（1）x（ei）+u（2）Xxσx（x，ei）=∑（1）x（ei）+∑（2）Xx（SMMAF），其中‘（2），∑（2）x∈ R≥0，¨u（2）X∈ R是一些常数。

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2022-5-6 01:01:35

定理4.7中的概率表示仍然无法简化，因为过程X依赖于马尔可夫链。然而，直接替换ansatz和PDE（4.16）中的参数规格是有用的。它导致函数ξ（t，e）的以下偏微分方程系统∈ [0，T]：\'ξT（T，ei）+\'ξ（T，ei）δr（ei）+δ1- ΔΓ（1）（ei）+B（t）u（1）X（ei）+B（t）∑（1）X（ei）| {z}=:w（t，ei）=-lXj=1qij′ξ（t，ej），′ξ（t，ei）=1，我∈ E、（4.18）和以下B（t）的常微分方程：Bt（t）+B（t）\'∑（2）X+B（t）\'u（2）X+δ1- δ′Γ（2）=0，B（T）=0。（4.19）方程（4.19）可用引理5.1求解。一般来说，系统（4.18）的解不能以封闭形式导出，但是，可以用所谓的Magnus指数级数来近似，详情见[15]。应用数值求解方案也是可能的。或者，推论A.7为函数ξ（t，e）提供了以下概率表示：ξ（t，ei）=EhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eii，（t，ei）∈ [0，T]×E，（4.20）作为w（T，E）和tw（t，e）在t中是连续的。在下面的定理中，我们总结了我们刚刚推导的内容：定理4.8（ρ=0的可分离情况下的解和验证）让模型规范由SMMAF给出，并假设方程（4.19）包含唯一可微分解B。然后相应HJB方程的解由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei v）=ΔEhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eiiexp{B（t）x}=vΔδξ（t，ei）exp{B（t）x}，（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（4.21），其中w（t，ei）=δr（ei）+δ1-ΔΓ（1）（ei）+B（t）u（1）X（ei）+B（t）∑（1）X（ei），对于所有（t，ei）∈[0，T]×E。

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nandehutu2022

2022-5-6 01:01:39

注意Φ∈ C1,2,2适用于所有ei∈ E.如果∑（2）X6=0，则∑（2）X<0，δ1-δΓ(2)<u（2）X“∑（2）x和0≤A.-u（2）X∑（2）X，对于a:=qu（2）X-δ1-δ′Γ（2）∑（2）X，那么函数B由以下公式给出：B（t）=-c(-u（2）X+a）exp{-a（T）-t） }-u（2）X-a∑（2）X（1）-c经验{-a（T）-t） }）对于0<a-μ（2）X∑（2）X0表示0=a-“u（2）X”∑（2）X，我们将在第5节中看到，对于一个重要的例子，X遵循一个CIR过程，它保持“u（2）X<0”。使用c：=-u（2）X-A.-u（2）X+a。此外，考虑马尔可夫链的任意但固定路径m，并考虑与m相关的时间依赖模型。然后，其HJB方程的解Φmt由以下公式给出：Φm（t，v，X）=vΔδexpnZTtws、男(s)dsoexpB（t）x.现在假设对于所有m，Φmis确实是相应的时间相关模型中的值函数。然后，函数Φ是马尔科夫交换模型的值函数，最优投资组合为：¨π（t）1- ΔλσP（X（t），MC（t））=1- ΔγσP（X（t），MC（t））。第一个和第七个推论可以直接应用于上面的推论tw（t，ei）在t中是连续的∈ E.对于B的显式表示，另外考虑引理5.1。对于时间相关模型中的HJB解，观察B（t）解所考虑模型规范的方程（4.11），并应用定理4.1。记住，对于ρ=0、θ=1和ζ（1）=0，很容易验证方程（4.14）中的积分项对应于w（s，m（s））。因此，Φm求解了与时间相关的HJB方程，并假设它是它的值函数。观察它保持的函数Φ：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]。此外，时间相关模型中的最优策略由以下公式给出：‘πm=1- ΔλσP（Xm（t），m（t））=1- ΔγσP（Xm（t），m（t））。由于它不取决于m的整个路径，而只取决于其当前水平，因此我们可以应用EoREM 4.5。

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2022-5-6 01:01:42

声明如下。在以赫斯顿模型为例说明这些结果之前，我们给出了这种情况下的解，其中我们考虑了股票价格过程和随机因素之间的瞬时相关性。4.3带杠杆的马尔可夫调制函数模型在本节中，我们考虑一般模型（2.1），因此函数f由系统（3.7）表征。我们一般无法找到它的解决方案，主要是因为非线性项。不幸的是，像第4.1节中的转换在最一般的情况下不起作用，因为这里我们有一个耦合的偏微分方程系统。更重要的是，定理4.5不能应用于这种情况，因为在一般情况下，πm依赖于整个pathof m。在这种情况下，找到解决方案的关键是假设一个可分离的指数ansatz:f（t，x，ei）=ξ（t，ei）expD（t）x, （4.22）对于某些函数ξ：[0，T]×E→ R、 D:[0，T]→ R、这当然意味着对模型参数的某些限制。更准确地说，为了能够分离ei和x中考虑的数据，我们假设以下参数规格，称为（SMMAFρ）：γ（x，ei）=Γ（1）（ei）+Γ（2）xux（x，ei）=u（1）x（ei）+u（2）Xxσx（x，ei）=b（Γ（1）（ei）+Γ（2）x（SMMAFρ∈ R≥0，b∈ R> 0和¨u（2）X∈ R

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2022-5-6 01:01:46

请注意，该参数设置是系统规范（SMMAF）的一个特例，我们还需要假设σXis是γ的常数倍，或等效γ（x，ei）=bσx（x，ei），因此风险的市场价格与随机因素的波动性成正比。通过在PDE（3.7）中插入（4.22），我们得到了关于函数ξ（t，e）和D（t）的下列方程，对于所有t∈ [0，T]：ξ（T，ei）hδr（ei）+δ1- ΔΓ（1）（ei）+Du（1）X（ei）+Dδ1- ΔρbΓ（1）（ei）+DbθΓ（1）（ei）i|{z}=：Γ（t，ei）+ξt（t，ei）=-lXj=1qijξ（t，ej），ξ（t，ei）=1，我∈ E（4.23）Dt+δ1- δ′Γ（2）+Du（2）X+δ1- ΔρbΓ（2）+DbθΓ（2）=0，D（T）=0，（4.24），其中θ=1-δ1-δ+δρ. 与之前类似，我们从推论A.7中得到ξ的以下表达式：ξ（t，ei）=EhexpnZTtΓ（s，MC（s））dsoMC（t）=eii，工程安装∈ E.（4.25）观察到它是连续且可微分的w.r.t。如前一节所述，ξ一般可以通过数值求解常微分方程组、马格纳斯级数或（4.25）的蒙特卡罗模拟来计算。对于D，我们需要用常数参数解aRiccati方程（见引理5.1）。让我们总结一下刚才计算的内容，并提供所需的验证结果。定理4.9（利用杠杆进行求解和验证）将模型规格视为（SMMAFρ），并假设方程（4.24）具有唯一的可微分解D。然后相应HJBE方程的解由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei）=vΔΔΔEhexpnZTtΓ（s，MC（s））dsoMC（t）=eiiexp{D（t）x}=vΔΔξ（t，ei）exp{D（t）x}，（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（4.26），其中函数ξ如等式（4.25）所示。

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2022-5-6 01:01:49

注意Φ∈ C1,2,2适用于所有ei∈ E.如果bΓ（2）6=0，\'u（2）X+δ1-ΔρbΓ（2）<0，δ1-δΓ（2）<θ（2）X+δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2）和0≤θ（a）-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2），对于a:=q（\'u（2）X+δ1-ΔρbΓ（2））-δ1-δbθ（Γ（2）），那么函数D由以下公式给出：D（t）=θ-c(-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）+a）exp{-a（T）-t） }-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）-A.bΓ（2）（1）-c经验{-a（T）-t） }）对于0<θ（a）-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2）0表示0=a-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2），带c：=-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）-A.-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）+a.进一步，考虑马尔可夫链的任意但固定路径m，并考虑与m相关的时间依赖模型。然后，其HJB方程的解Φmt由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔδexpnZTts、男(s)dsoexpD（t）x. （4.27）假设对于所有m，Φmis实际上是相应时间相关模型中的值函数。然后，函数Φ是带有马尔可夫交换的模型的值函数，最优投资组合由以下公式给出：\'-π=n1- Δλ∑P |{z}均值-var.portf+1.- ΔρσXσPD |{z}（t，（X（t），MC（t））=1- ΔσPnγ+ρσXD（t）o（t，（X（t），MC（t））。第一个陈述的证据考虑上述推导和推论A.7。函数D的显式表达式后面是引理5.1。对于等式（4.27）的证明，观察B（t）：=θD（t）为所考虑的模型规格求解等式4.11，并应用定理4.1。很容易验证等式（4.14）中积分的项对应于Γ（s，m（s））。因此，Φm求解了与时间相关的HJB方程，并假设它是它的值函数。观察它保持的函数Φ：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]。此外，时间相关模型中的最优策略由以下公式给出：‘πm=1- δnλσP+ρσXσPDo（t，（Xm（t），m（t））=1- ΔσPnγ+ρσXDo（t，（Xm（t），m（t））。由于它不取决于m的整个路径，而只取决于其当前水平，因此我们可以应用EoREM 4.5和4.6。

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kedemingshi

2022-5-6 01:01:52

声明如下。5示例：马尔可夫调制的赫斯顿模型（MMH）在本节中，我们将导出的结果应用于著名的赫斯顿模型，其中，随机因素遵循均值回复CIR过程，并被解释为资产价格过程的随机波动性。原始模型在[8]中介绍。[14]和[12]推导了原始赫斯顿模型下的最优投资组合。接下来，我们将这个框架扩展到马尔可夫切换参数。更准确地说，我们考虑以下模型：dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+^λMC（t）X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κMC（t）(θMC（t）- X（t））dt+χMC（t）pX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρ，（5.1），初始值P（0）=P，P（0）=pand X（0）=X和r，^λ，ν，κ，θ，χ：E→ 对于所有ei，都是κ（ei）、θ（ei）、χ（ei）>0的确定性函数∈ E.此外，假设2κ（ei）θ（ei）≥ χ（ei），对于所有ei∈ E、为了确保过程Xm的积极性。注意，根据模型（2.1）和（MMAF）中的符号，该框架对应于以下参数规格：σP（x，ei）=ν（ei）√xγ（x，ei）=^λ（ei）ν（ei）√十、=> Γ（1）（ei）=0，Γ（2）（ei）=^λ（ei）ν（ei）uX（X，ei）=κ（ei）θ（ei）- 十、=> u（1）X（ei）=κ（ei）θ（ei），u（2）X（ei）=-κ（ei）σX（X，ei）=χ（ei）√十、=> ∑（1）X（ei）=0，∑（2）X（ei）=χ（ei）ργ（X，ei）σX（X，ei）=ρ^λ（ei）ν（ei）χ（ei）X=> ζ（1）（ei）=0，ζ（2）（ei）=ρ^λ（ei）ν（ei）χ（ei），（MMH）表示所有（t，ei）∈ [0，T]×E.在[7]中，波动率掉期的定价使用了类似的模型。与之前一样，我们首先在相应的时间依赖模型（第5.1节）中推导出最优投资组合策略和价值函数。之后，在第5.2节中，我们给出了马尔可夫调制模型的结果，该模型与驱动风险资产价格过程的布朗运动和波动率之间没有相关性。

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2022-5-6 01:01:55

第5.3节讨论了相关案例。5.1时间依赖模型时间依赖模型如下所述：dP（t）=P（t）rm（t）dt，dP（t）=P（t）hrm（t）+^λm（t）Xm（t）dt+νm（t）pXm（t）dWP（t）i，dXm（t）=κm（t）(θm（t）- Xm（t））dt+χm（t）pXm（t）dWX（t），dhWP，WXi（t）=ρdt，（5.2），初始值P（0）=P，P（0）=pand X（0）=X，其中函数m定义为不等式（4.2）。在[6]和[18]中的校准和衍生工具定价的背景下，提出了一个类似的模型。从第4.1节中的等式（4.8）中，我们知道，修改后的过程的漂移φXm由以下公式给出：△X（~Xm（t），m（t））=κ（m（t））θ（m（t））-~Xm（t）+δ1 - Δρχ（m（t））^λ（m（t））ν（m（t））~Xm（t）=：：κ（m（t））θ（m（t））-~Xm（t）.进一步回顾一下，我们对解方程（4.11）和（4.12）感兴趣，以便找到优化问题的值函数。此外，根据定理4.1，我们有以下概率表示：hm（t，x）=EhexpnZTtθg（s，~Xm（s），m（s））dso~Xm（t）=xi。当然，它会导致相同的ODE（4.11）和（4.12），但是在时间相关参数的情况下，使用期望值更方便。下面的定理将概率方法和ODE方法结合起来，并提供了显式计算解决方案的主要工具。引用自[14]的命题5.1。引理5.1通过以下SDE定义过程X:dX（t）=κ（θ）- X（t））dt+χpX（t）dW（t），其中κ，θ，χ∈ R> 0和Wis是标准的布朗运动。

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