具有违约传染的风险敏感投资组合优化

2022-6-2 18:48:42

违约传染与制度变迁的风险敏感投资组合优化李俊波*廖华富+项羽2018年10月25日摘要我们研究了违约传染的制度转换信贷市场中风险敏感投资组合配置的开放性问题。马尔可夫政权转换过程的状态空间被假设为一个可数有限集。为了刻画值函数，我们研究了相应的基于默认状态的有限维递归非线性动态规划方程（DPE）。我们建议按照以下步骤进行工作：应用单调动力系统理论，我们首先通过有限状态空间中的截断变元建立递归DPE经典解的存在唯一性。相关的最优反馈策略的特点是发展了一个严格的验证定理。在第一阶段的结果基础上，我们构建了一个具有有限状态的近似风险敏感控制问题序列，并证明得到的平滑值函数将收敛于原始DPEs系统的经典解。对原问题最优反馈策略的构造和逼近也进行了深入的讨论。AMS 2000科目分类：3E20、60J20。关键词和短语：违约传染；制度转换；可数有限状态；风险敏感控制；递归动态规划方程；验证定理。1引言金融数学界的一个最终目标是使用易于处理的概率或随机模型来描述复杂的投资环境。例如，市场趋势通常由一些随机因素描述，如马尔可夫链。

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2022-6-2 18:48:45

特别是，所谓的制度转换模型被广泛接受，通常被提议用来捕捉宏观经济体系转型或宏观调控对市场行为的影响。例如，Ang和Bekaert[2]的实证结果表明，存在两种以不同波动水平为特征的制度。众所周知，由制度转换过程调节的违约事件会对投资组合中幸存证券的困境状态产生影响。更具体地说，Giesecke等人通过150多年来对公司债券市场的实证研究，提出存在三种对应于高、中、低违约风险的制度。卡波尼（Capponi）和菲格罗亚-欧佩兹（Figueroa-L'opez）[12]研究了基于违约证券的终端财富的经典效用最大化问题，卡波尼（Capponi）、菲格罗亚-欧佩兹（Figueroa-L'opez）和尼森（Nisen）[13]获得了脆弱未定权益无轨道价格过程的泊松级数表示。*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，中国安徽省合肥市，230026；中国科学院吴文俊凯数学实验室，中国安徽省合肥市，230026。+电子邮件：lh FLhf@mail.ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥，230026，中国电子邮箱：xiang。yu@polyu.edu.hk，香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡。另一方面，考虑可违约标的资产的重要性吸引了大量的关注，尤其是在一些全球金融危机导致系统性失败之后。

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2022-6-2 18:48:48

最近的一些发展将单一可违约证券的早期模型扩展到投资组合分配的违约传染效应。对这些相互传染影响的研究打开了一扇大门，为一些经验难题提供了可能的答案，如信贷敏感资产价格的高市值变化。例如，卡夫和斯特芬森[22]讨论了可违约债券的传染效应。Callegaro、Jeanblanc和Runggaldier[11]考虑了一个具有多个可违约资产的n最优投资问题，该问题取决于一个特别观察到的外部因素过程。Jiao、Kharroubi和Pha m【21】研究了允许多次跳跃和默认事件的模型。最近，Bo和Capponi[9]研究了电力公用事业投资者的最优投资组合问题，该投资者在信用违约掉期和货币市场之间分配财富，通过相互作用的违约强度对传染风险进行建模。除了著名的默顿效用最大化模型外，最近几年投资组合管理中对风险敏感随机控制标准的兴趣越来越大，参见Davis和Lleo【16】，了解风险敏感资产管理的理论和实践概述。在一个典型的风险敏感投资组合优化问题中，投资者通过衡量波动性来最大化投资组合的长期增长率。特别是，通过引入衡量标准的变化和所谓的风险敏感参数，可以将终端财富的经典效用最大化转化为风险敏感控制标准，该参数表征了投资者的风险容忍度，参见Bielecki和Pliska【6】以及Nagai和Peng【24】。

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2022-6-2 18:48:51

我们将仅列举大量文献中的一小部分，例如，风险敏感标准可以与Bielecki和Pliska提出的Markowitz均值-方差优化的动态版本相联系[6]，Fleming[17]和最近Bayraktar和Yao[5]利用BSDEs和弱动态编程原理对零和随机微分博弈进行的微分博弈。Hansen等人[20]进一步将风险敏感目标与稳健标准联系起来，其中扰动以相对熵为特征。Bayraktar和Cohen[4]后来研究了终身破产概率问题的风险敏感控制版本。尽管已有许多关于风险敏感控制、信贷风险最优投资和制度转换的研究，但在违约风险和制度转换两种情况下，ris k敏感por tfolio分配仍然是一个普遍存在的问题。我们的论文旨在填补这一空白，并考虑一个有趣的案例，即违约传染效应可能取决于制度状态，可能在很多情况下。对于最近的一些相关工作，值得注意的是，在具有独立制度状态的违约自由市场中，Andruszkiewicz、Davis和Lleo[1]研究了风险敏感资产最大化问题解的存在性和唯一性，并提供了最优价值函数的常微分方程，该函数可以通过数值有效地求解。同时，Das、Goswami和Rana[15]考虑了arisk敏感的投资组合优化问题，将多只股票建模为多维跳跃差分，其系数由年龄相关的半马尔可夫过程调节。

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2022-6-2 18:48:54

他们还建立了相应HJB方程经典解的存在性和唯一性。在理论随机控制的背景下，我们还注意到Kumar和Pal[23]推导了一类具有近似单调成本的纯跳跃过程风险敏感控制问题的动态规划原理。为了模拟混合差异，Nguyen和Yin【25】提出了一种具有可数有限状态的切换差异系统。得到了具有过去依赖切换的杂交扩散问题解的存在唯一性。回到具有随机因素的金融市场的实际实施，经常使用制度转换模型或连续时间马尔可夫链来近似与时间相关的市场参数或因素的动态。参数或因子的连续状态空间通常被离散化，从而导致近似马尔可夫链的有限状态（参见Ang a和Timmermann[3]）。这主要促使我们在这项工作中考虑可数政体国家，并表明这种技术困难最终可以通过与有限国家对应方的适当近似来调和。因此，我们对制度转换的分析结论可能为具有de故障和随机因素过程的风险敏感投资组合优化的数值处理提供理论基础。我们的贡献是双重的。从建模角度来看，可以认为相关股票受到信贷事件的影响，尤其是可违约股票的动态，即赎回、波动性和违约强度系数，都取决于宏观经济制度。

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2022-6-2 18:48:57

由于违约可能会连续发生，违约蔓延的建模意义在于，存续名称的违约强度会同时受到其他股票违约事件以及当前制度状态的影响。我们模型中的这种情况使我们能够分析投资者风险敏感性、制度变化和股票违约传染的共同复杂性。从数学角度来看，所得到的动态规划方程（DPE）可以视为默认状态下的有限维非线性动力系统。递归的深度等于投资组合中的股票数量。我们研究这种新型递归动态系统的方法可以总结为以下方案：首先，建议运行状态切换过程的可数有限状态空间，并只考虑具有有限状态空间的递归DPE。其次，对于有限状态情况，基于向后递归分析递归DPE解的存在性和唯一性，即从所有股票默认的状态到所有股票都存在的状态。值得注意的是，证券或控制变量的交易策略没有受到任何有界约束的加强，如Andruszkiewicz、Davis和Lleo【1】和Kumar a和Pal【23】。作为代价，HJB动力系统的非线性不是全局Lipschitz连续的。为了克服这一新挑战，我们开发了一种截断技术，通过证明一个基于Smith[26]所述单调动力系统理论的比较定理。然后，通过证明截断系统的解具有与截断水平无关的一致（严格正）下界，我们建立了递归DPE的唯一经典解。

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kedemingshi

2022-6-2 18:49:01

这也使我们能够在验证定理中描述最优容许反馈交易策略。接下来，当状态被重新设定为可数有限时，有限状态下的结果可用于构建一个将风险敏感控制问题近似为原始问题的序列，并获得优雅的统一估计，从而得出相关平滑值函数序列将成功收敛于原始递归DPE的经典解的结论。我们还通过在一些严格的验证定理中探索最优反馈策略的可能构造和近似，对现有文献做出了贡献。论文的其余部分组织如下。第2节描述了违约传染和制度转换的信贷市场模型。第3节阐述了风险敏感随机控制问题，并介绍了相应的DPE。在第4节中，我们分析了递归有限维DPE的经典全局解的存在性和唯一性，并发展了严格的验证定理。为了完整性，附录A中给出了一些辅助结果和证明。2模型考虑了由N≥ 1可违约股票和无风险货币市场基于给定的完全过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）。设Y=（Y（t））t∈[0，T]是一个区域切换过程，稍后将精确介绍。全球平衡过滤G=F∨ H由所有P-null集扩充，满足通常条件。过滤F=（Ft）t∈[0，T]由状态切换过程Y和与n无关的d共同生成≥ 1维布朗运动，用W=（Wj（t）表示；j=1，d）t型∈[0，T]。我们使用表示Transpose运算符。

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mingdashike22

2022-6-2 18:49:05

投资的时间范围由T>0给出。货币市场账户B（t）的价格过程满足dB（t）=r（Y（t））B（t）dt，其中r（Y（t））≥ 0是由制度转换过程Y调整的利率。过滤H由N维默认指标过程Z=（Zj（t）生成；j=1，N） t型∈[0，T]取S中的值：={0，1}N。默认指标过程Z通过τj：=inf{T链接到N个默认股票的默认时间≥ 0; Zj（t）=1}对于j=1，N、过滤H=（Ht）t∈[0，T]定义为HT=WNj=1σ（Zj（s）；s≤ t）。因此，H包含在终端时间T之前有关默认事件的所有信息。以下各小节详细说明了市场模型。2.1状态切换过程状态切换过程由连续时间（保守）马尔可夫链Y=（Y（t））t描述∈[0，T]与可数状态空间Z+：=N\\{0}={1，2，…}。马氏链Y的生成元由Q矩阵Q=（qij）ij给出∈Z+。这就产生了qii≤ 0表示i∈ Z+，qij≥ 0表示6=j，和P∞i的j=1qij=0∈ Z+（即Pj6=iqij=-奇福一号∈ Z+。2.2信用风险模型制度转换过程和默认指标过程的联合过程（Y，Z）是状态spa c e Z+×S上的马尔科夫过程。此外，在时间t，默认指标过程从状态Z（t）：=（Z（t），Zj公司-1（t），Zj（t），Zj+1（t），其中义务人j对相邻状态Zj（t）有效（Zj（t）=0）：=（Z（t），Zj公司-1（t），1- Zj（t），Zj+1（t），其中债务人j以严格正随机利率λj（Y（t），Z（t））违约。我们假设Y和Z，ZN不会同时跳转。因此，如果投资组合中的任何其他股票违约（传染效应），或者如果存在制度缺陷，第j个股票的违约强度可能会发生变化。

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2022-6-2 18:49:09

因此，我们的默认模型属于Frey和Backhaus提出的一类丰富的相互作用强度模型。我们设置λ（i，z）=（λj（i，z）；j=1，N）对于（i，z）∈ Z+×S.2.3价格过程N个可违约股票的价格过程用向量过程▄P=（▄Pj（t）表示；j=1，N）t型∈[0，T]。这里，第j种股票的价格过程为，t∈ [0，T]，~Pj（T）=（1）- Zj（t））Pj（t），j=1，N、（2.1）式中，P=（Pj（t）；j=1，N）t型∈[0，T]表示N只股票的违约前价格。特别是，第j个股票的价格由pr e-违约价格Pj（t）给出，直至τj-, 并在默认时间跳到0，此后τjand保持为0。N个可违约股票的违约前价格过程P被假定为满足fydP（t）=diag（P（t））[（u（Y（t））+λ（Y（t），Z（t）））dt+σ（Y（t））dW（t）]，（2.2），其中，diag（P（t））是具有对角元素Pi（t）的对角N×N维矩阵。为每个人∈ Z+，向量u（i）是RN值列向量，σ（i）是RN×d值矩阵，因此σ（i）σ（i）为正定义。根据公式s（2.1），（2.2）和分部积分，可预测股票的价格动态满足dP（t）=diag（P（t））[u（Y（t））dt+σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]。（2.3）此处，M=（Mj（t）；j=1，N）t型∈[0，T]是纯跳跃G=（Gt）T∈[0，T]-由mj（T）给出的鞅：=Zj（T）-Zt公司∧τjλj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]。（2.4）通过Bo和Capponi【10】中默认指示符过程Z的构造，可以看出W也是一个G-布朗运动，使用Bieleckian和Rutkowski【7】第6章第6.1.1节中的条件（M.2a）。3动态优化问题在这种情况下，我们正式推导了与风险敏感随机控制问题相关的动态规划方程（DPE）。我们首先在第3.1节中以等效形式重新表述风险敏感投资组合优化问题。

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2022-6-2 18:49:12

相应的DPE将在第3.2.3.1节投资组合优化问题的公式中推导和分析。让我们首先介绍风险敏感投资组合优化问题的设置和公式。要塞∈ [0，T]，让φB（T）表示无风险资产的股份数量，让φj（T）表示投资者在T时持有的第j只股票的股份数量。由此产生的财富过程由xφ（t）=NXj=1φj（t）~Pj（t）+φB（t）B（t），t给出∈ [0，T]。使用股票的价格表示（2.1），上述财富过程可以重写为：Xφ（t）=NXj=1φj（t）（1- Zj（t））Pj（t）+φB（t）B（t），t∈ [0，T]。对于给定的正财富过程，我们可以将投资于股票和货币市场账户的财富份额考虑如下：对于j=1，N、让我们定义▄πj（t）=φj（t）▄Pj（t-)Xφ（t-)和∧πB（t）=1- π（t）eN，式中|π（t）=（|πi（t）；i=1，N）, 嗯=1, 1, . . . , 1 |{z}N个. 注意到当第j只股票违约时，第j只股票的价格跳到零，投资者在该股票中持有的财富份额在违约后为零。尤其是，以下等式保持|πj（t）=（1-Zj（t-))对于j=1，…，πj（t），N、因此，自我融资条件导致财富动态的形式如下：X|π（0）=X∈ R+：=（0，∞), anddX▄π（t）=X▄π（t-)π（t）诊断（￠P（t-))-1d▄P（t）+X▄π（t）（1- π（t）eN）dB（t）B（t）（3.1）=X￠π（t）r（Y（t））+π（t）（u（Y（t））- r（Y（t））eN）dt+X|π（t-)π（t）[σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]。接下来，我们将介绍本文中使用的所有容许控制集的定义。定义3.1。容许控制集U是一类G-可预测反馈策略∧π（t）=（∧πj（t）；j=1，N）, t型∈ [0，T]，由▄πj（T）=πj（T，X▄π（T）给出-), Y（t-), Z（t-)) 这样，SDE（3.1）允许X∧π（0）=X的唯一正（强）解∈ R+（即。

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2022-6-2 18:49:16

反馈策略∧π（t）应取U中的值：=(-∞, 1） N）。此外，控制|π=（|π（t））t∈需要[0，T]才能使正过程ΓИπ，θ=（ΓИπ，θ（T））T∈[0，T]后来由（3.6）定义为P-鞅。我们将证明ΓΓπ的鞅性质*,θ为候选最优策略∧π*通过验证第4节中的广义Novikov条件。我们考虑以下风险敏感目标功能。对于▄π∈U，并给定初始值（X（0），Y（0），Z（0））=（X，i，Z）∈ R+×Z+×S，wede finej（△π；T，x，i，Z）：=-θlog E经验值-θlog X￠π（T）= -θlog Eh（X∧π（T））-θi.（3.2）投资者的目标是最大化所有策略的目标函数J∏∈~U.让我们只关注θ∈ (0, ∞) 对于风险敏感的投资者。情况θ∈ (-2，0）被忽略，因为它与实践中较少考虑的风险寻求行为有关。现有文献（例如，见Bielecki和Pliska[6]）考虑了在存在市场风险的情况下动态资产配置的目标函数（3.2），然而，在违约风险和体制转换的背景下，这仍然是一个悬而未决的问题，这激发了我们对该项目的研究。在我们的例子中，Bieleckian和Pliska[6]中的等式（1.1）可以理解为：对于θclo se到0，J（|π；T，x，y，z）=E日志X▄π（T）-θVar对数（X￠π（T））+ o（θ），（3.3），其中o（θ）w通常取决于终端地平线T。那么J（△π；T，x，y，z）可以解释为投资者财富的增长率减去与化利率方差成比例的惩罚项，误差与θ成比例。这在风险敏感控制问题和稳健决策规则之间建立了联系。

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2022-6-2 18:49:20

风险敏感的投资者希望设计一个决策规则，以防止增长率与预期的大幅偏差，并通过选择更高的参数θ值来实现这一点。接下来，我们将目标函数写成积分准则的指数（类似于toNagai和Peng[24]，以及Capponi等人[14]），这将便于分析动态规划方程。对于所有▄π∈~U，解SDE（3.1）的财富过程由x▄π（T）=x exp（ZT）给出r（Y（s））+π（s）（u（Y（s））- r（Y（s））eN）ds+ZT▄π（s） σ（Y（s））dW（s）-ZT公司σ（Y（s））π（s）ds+NXj=1ZTlog（1- πj（s））dMj（s）+NXj=1ZT∧τjλj（Y（s），Z（s））~πj（s）+对数（1- ~πj（s））ds），并持续X▄π（T）-θ=x-θΓИπ，θ（T）expθZTL（Γπ（s）；Y（s），Z（s））ds！，（3.4）式中，对于（π，i，z）∈ U×Z+×S，风险敏感函数L（π；i，Z）由L（π；i，Z）定义：=-r（一）- π（u（i）- r（i）eN）+1 +θσ（i）π-NXj=1（1- zj）θ+πj-θ(1 - πj）-θλj（i，z）。（3.5）这里，正密度过程由，t给出∈ [0，T]，ΓИπ，θ（T）：=E（πИπ，θ）T，（3.6）πИπ，θ（T）：=-θZt￠π（s）σ（Y（s））dW（s）+NXj=1Zt{（1- ~πj（s））-θ- 1} dMj（s），其中E（·）表示随机指数。As▄π∈U，我们有ΓИπ，θ=（ΓИπ，θ（t））t∈[0，T]是一个P-鞅。因此，我们可以确定dP￠π，θdP给出的测量值的以下变化Gt=ΓИπ，θ（t），t∈ [0，T]，（3.7），其中W|π，θ（T）：=W（T）+θZtσ（Y（s））~π（s）ds，t∈ [0，T]（3.8）是一个d维布朗运动，而在P|π，θ下，对于j=1，N、它认为m|π，θj（t）：=Zj（t）-Zt公司∧τj（1- ~πj（s））-θλj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]（3.9）是一种马丁酒。P|π，θ的定义使我们能够以指数形式重写上述风险敏感目标函数（3.2）。

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2022-6-2 18:49:23

从（3.4）中，我们推导出j（|π；T，x，i，z）=-θlog EX▄π（T）-θ= -θlog E“x-θΓИπ，θ（T）expθZTL（Γπ（s）；Y（s），Z（s））ds！#=日志x-θlog Eπ，θ“expθZTL（△π（s）；Y（s），Z（s））ds！#=：log x+’J（△π；T，i，Z）。这里E△π，θ表示（3.7）定义的w.r.T.P△π，θ的期望值。由于J和△J之间的关系，我们原来的问题相当于在△π上最大化△J∈~U。因此，我们可以将风险敏感控制问题的值函数重新定义为：V（T，i，z）=sup▄π∈~U'J（~π；T，i，z）=-θinf￠π∈Ulog E▄π，θ“expθZTL（▄π（s）；Y（s），Z（s））ds！#，（3.10）表示（i，Z）∈ Z+×S.3.2动态规划方程在本节中，我们将首先使用Bir ge等人[8]中的启发式参数推导出由值函数（3.10）满足的动态规划方程（DPE）。下一步将推迟，以证明DPE的解确实与严格验证定理中风险敏感控制问题的值函数一致。Let（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S和定义V（T，i，Z）：=-θinf￠π∈~Ulog J（~π；t，i，z）：=-θinf￠π∈<<Ulog E<<π，θt，i，z>>expθZTtL（<<π（s）；Y（s），z（s））ds！#，，（3.11），其中E>>π，θt，i，z[·]：=E>>π，θ[·Y（t）=i，z（t）=z）。这会产生关系V（t，i，z）=V（0，i，z）。对于0≤ t<s≤ T，动态规划原理导致V（T，i，z）=-θinf￠π∈~Ulog E ~π，θt，i，z经验值-θ′V（s，Y（s），Z（s））+θZstL（△π（u）；Y（u），Z（u））du.使用Birge et a l.[8]中的启发式参数，我们得到了以下DPE，即“V”，即所有（t，i，z）∈ [0，T）×Z+×S，0=？V（t，i，z）t型-θXl6=iqil经验值-θ？V（t、l、z）-？V（t，i，z）- 1.+ supπ∈UHπ; i、 z，（(R)V（t，i，zj）；j=0，1，N）（3.12）终端条件V（T，i，z）=0表示所有（i，z）∈ Z+×S。

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2022-6-2 18:49:27

在上述等式中，函数定义为，for（π，I，z）∈ U×Z+×S，H（π；i，Z，’f（Z））：=-θNXj=1经验值-θ（f（zj）- f（z））- 1.(1 - zj）（1- πj）-θλj（i，z）+r（i）+π（u（i）- r（i）eN）-1 +θσ（i）π+NXj=1θ+πj-θ(1 - πj）-θ(1 - zj）λj（i，z）。（3.13）此处'f（z）=（f（zj）；j=0，1，N）对于任何可测函数f（z）。上面，我们使用了符号zj：=（z，…，zj-1, 1 - zj，zj+1，zN）对于z∈ S、等式（3.12）实际上是DPE的递归系统。我们考虑由φ（t，i，z）给出的解的以下Cole-Hopf变换：=exp-θ′V（t，i，z）, （t、i、z）∈ [0，T]×Z+×S.（3.14），然后^1（t、i、z）t=-θИ（t，i，z）？V（t，i，z）t对于（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。将其插入式（3.12），我们得到0=^1（t、i、z）t+Xl6=iqil[Д（t，l，z）- ν（t，i，z）]+infπ∈UHπ; i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，N）（3.15）终端条件Д（T，i，z）=1表示所有（i，z）∈ Z+×S。在Above方程中，函数由H（π；i，Z，’f（Z））定义：=(-θr（i）-θπ（u（i）- r（i）eN）+θ1 +θσ（i）π（3.16）+NXj=1-1.-θπj(1 - zj）λj（i，z））f（z）+NXj=1f（zj）（1- zj）（1- πj）-θλj（i，z）。4主要结果和验证理论我们用两步程序分析了DPEs递归系统（3.15）全局解的存在性。首先，我们研究了当马尔可夫链Y在有限状态空间中取值时，方程（3.15）作为动力系统经典解的存在唯一性。其次，我们利用近似参数研究了有限状态下的可数情形。让我们介绍一些在本节中经常使用的符号。让n∈ Z+。福尔克斯∈ Rn，我们写x=（x，…，xn）. 对于任意x，y∈ Rn，我们写x≤ y如果xi≤ Yi对于所有i=1，n、如果x写入x<y≤ 存在一些i∈ {1，…，n}这样xi<yi。特别是，x<< yif xi<yif all i=1。。。，n

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2022-6-2 18:49:30

回想一下，eNdenotes是一个N维列向量，它的所有entries都是1。对于gene ral默认状态z∈ S、我们在此介绍一种基因ral默认状态表示Z=0j，。。。，指数j6=···6=属于{1，…，N}，和k的jk∈ {0，1，…，N}。这样的向量是通过复制条目j，零向量的jk为1，即zj=···=zjk=1，对于j，zj=0/∈ {j，…，jk}（如果k=0，我们设置z=0j，…，jk=0）。显然是0j，。。。，jN=eN、 4.1区域切换过程的有限状态情况在本节中，我们研究区域切换过程Y定义在Dn={1，…，N}给定的有限状态空间上的情况。此处n∈ Z+是一个固定数字。马尔可夫链Y的相应Q矩阵由Qn=（qij）i，j给出∈DnsatisfyingPj∈Dnqij=0表示i∈ Dnand qij≥ 当i 6=j时为0。值得注意的是，qij，i，j∈ D此处可能不同于第2.1小节中给出的内容。尽管有轻微的符号滥用，我们仍然使用qijhere只是为了方便。设Д（t，z）：=（Д（t，i，z）；i=1，n）是（t，z）解的列向量∈ [0，T]×S。然后，我们可以将等式（3.15）改写为以下动力系统：^1（t，z）t+Qn+diag（ν（z））Д（t，z）+G（t，Д（t，z），z）=0，t∈ [0，T）×S；Д（T，z）=en，对于所有z∈ S、（4.1）这里，函数G（t，x，z）=（Gi（t，x，z）的向量；i=1，n）由给出，对于每个i∈ Dnand（t、x、z）∈ [0，T]×Rn×S，Gi（T，x，z）=infπ∈U（NXj=1Д（t，i，zj）（1- zj）（1- πj）-θλj（i，z）（4.2）+θ(1 +θ)σ（i）π-θπ（u（i）- r（i）eN）-θNXj=1πj（1- zj）λj（i，z）xi）。系数ν（z）=（νi（z）的向量；i=1，n）对于z∈ S由给出，对于每个i∈ Dn，νi（z）=-θr（i）-NXj=1（1- zj）λj（i，z）。（4.3）根据默认状态z=0j，…，调用（4.1）给出的递归系统，。。。，jk公司∈ S（其中k=0，1，…，N）。

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nandehutu2022

2022-6-2 18:49:33

可解性实际上可以在默认状态下以递归形式进行分析。因此，我们分析系统的策略基于递归过程，从默认状态z=e开始N（即，所有股票都已默认），并向后进入默认状态z=0（即，所有股票都处于活动状态）。（i） k=N（即所有股票都已违约）。在这种默认状态下，投资者显然不会投资股票，因此在这种情况下，s股票的最优分数策略由π给出*= · · · = π*根据定义3.1，N=0。Let^1（t，eN） =（^1（t，i，eN）；i=1，n）. 作为一个序列，动力系统（4.1）可以写成滴滴涕（t，eN） =- A（N）Д（t，eN），in[0，T）；Д（T，eN） =英语。（4.4）系数A（N）的矩阵：=Qn+diag（ν（eN））。为了建立上述动力系统（4.4）的唯一正解，我们需要以下辅助结果。引理4.1。设g（t）=（gi（t）；i=1，n）满足以下动力系统：ddtg（t）=Bg（t）in（0，t）；g（0）=ξ。如果B=（bij）n×nsatis fies bij≥ 0表示i 6=j和ξ>> 0，那么我们有g（t）>> 0表示所有t∈ [0，T]。证据定义f（x）=x的Bx∈ 注册护士。根据命题1。【26】中第3章第1节，需要验证→ K型RNI，即任何x、y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、那么它认为fi（x）≤ fi（y）。请注意，bij≥ 0表示所有i 6=j。那么，我们得到了fi（x）=（Bx）i=nXj=1bijxj=biixi+nXj=1，j6=ibijxj=biiyi+nXj=1，j6=ibijxj≤ biiyi+nXj=1，j6=ibijyj=fi（y），（4.5），因此f是K型的。因此，我们完成了引理的证明。下一个结果是前一个引理的结果。引理4.2。

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2022-6-2 18:49:36

动力系统（4.4）允许唯一的解，该解由ν（t，e）给出N） =eA（N）（T-t）恩=∞Xi=0（A（N））i（T- t） ii！en，t∈ [0，T]，（4.6），其中n×n维矩阵A（n）=Qn+diag（ν（eN））=Qn-θdiag（r），r=（r（i）；i=1，n）. 此外，它认为Д（t，eN）>> 0表示所有t∈ [0，T]。证据解的表示法Д（t，eN）（4.6）给出的是显而易见的。请注意，en>> 0和QIJ≥ 0表示所有i 6=j，因为Qn=（qij）n×nis是马尔可夫链的生成器。然后为了证明Д（t，eN）>> 0表示所有t∈ [0，T]，使用引理4.1，可以验证[A（N）]ij≥ 0表示所有i 6=j。然而，对于所有i 6=j，验证了引理4.1中给出的条件，这意味着N）>> 0表示所有t∈ [0，T]。接下来我们考虑z=0j的一般默认情况，。。。，0的JK≤ k≤ N- 1，即股票J，jk已默认，但股票{jk+1，…，jN}：={1，…，N}\\{j，…，jk}仍然有效。然后我们有（ii）因为股票j，jk默认，股票的最优分数策略j，jk由π（k，*)j=0表示j∈ {j，…，jk}根据定义3.1。设Д（k）（t）=（Д（t，i，0j，…，jk）；i=1，n）λ（k）j（i）=j的λj（i，0j，…，jk）/∈ {j，…，jk}和i=1，n、然后，对应于该默认cas e的相应DPE（4.1）由以下公式给出滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，Д（k）（t）），in[0，t）；Д（k）（t）=en。（4.7）这里，n×n维矩阵A（k）由A（k）=diag给出-θr（i）-Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）；i=1，n+ Qn。（4.8）系数G（k）（t，x）=（G（k）i（t，x）；i=1，n）对于（t，x）∈ [0，T]×Rn由，fori给出∈ Dn，G（k）i（t，x）：=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi.

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2022-6-2 18:49:39

（4.9）式中，对于（π（k），i）∈ U（k）×Dn，函数H（k）由H（k）（π（k）给出；i）：=θ1 +θσ（k）（i）π（k）-θ（π（k））u（k）（i）- r（i）eN-k-θXj/∈{j，…，jk}π（k）jλ（k）j（i）。（4.10）该州的政策空间为U（k）=(-∞, 1） N个-k、和Д（k+1），j（t，i）：=Д（t，i，0j，…，jk，j）forj/∈ {j，…，jk}对应于默认状态z=0j，…，下等式（4.1）的正解向量的第i个元素，。。。，这里，对于每个i=1，n、我们还使用了符号：π（k）=（π（k）j；j/∈ {j，…，jk}）, θ（k）（i）=（θj（i）；j/∈ {j，…，jk}）, σ（k）（i）=（σjκ（i）；j/∈{j，…，jk}，κ∈ {1，…，d}），和u（k）（i）=（uj（i）；j/∈ {j，…，jk}）.从（4.9）给出的G（k）i（t，x）的表达式可以看出，t∈ 默认状态z=0j时DPE（4.1）的[0，T]，。。。，jk实际上取决于解ν（k+1），j（t）取决于t∈ 默认状态z=0j时DPE（4.1）的[0，T]，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。特别是当k=N时- 1，解Д（k+1），j（t）=Д（t，eN）>> 0对应于（4.1）在默认状态z=eN（即k=N）下的解，该解由引理4.2获得。这建议我们根据默认状态z=0j，…，向后递归地解决DPE（4.1），。。。，jk。因此，为了研究动力系统（4.7）正（经典）解的存在性和唯一性，我们首先假设（4.1）在t∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。我们可以首先得到G（k）（t，x）的估计值，这在下面的引理中给出。引理4.3。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）在t上有一个正的唯一（经典）解ν（k+1），j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。

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mingdashike22

2022-6-2 18:49:43

那么，对于任何x，y∈ Rnsatisfyingx，y≥ εen当ε>0时，存在一个正常数C=C（ε），它只取决于ε>0，因此G（k）（t，x）- G（k）（t，y）≤ C kx- yk。（4.11）这里k·k表示欧几里得范数。证据必须证明，对于每个i=1，n、 | G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ C（ε）kx- 任何x、y的yk∈ RN满足x，y≥ εenwithε>0，其中C（ε）>0与时间t无关。根据递归假设，ν（k+1），j（t）在t上∈ [0，T]是（4.1）forj的唯一正（经典al）溶液/∈ {j，…，jk}。然后，它在[0，T]上是连续的，这意味着存在一个与T无关的常数C>0∈[0，T]kИ（k+1），j（T）k≤ C或j/∈ {j，…，jk}。因此，通过（4.9），对于所有i，由于H（k）（0；i）=0∈ Dnusing（4.10），因此，对于所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，G（k）i（T，x）≤Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xiπ（k）=0=Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）λ（k）j（i）≤ CXj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。（4.12）另一方面，作为σ（k）（i）σ（k）（i）为正定义，存在一个正常数δ>0，因此σ（k）（i）π（k）k≥ 所有i的δkπ（k）kF∈ Dn。因此，以下估计成立：H（k）（π（k）；（一）≥θ(1 +θ)δπ（k）-θu（k）（i）- r（i）eN-k+Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）π（k）. （4.13）我们接下来取定义的正常数asC：=2u（k）（i）- r（i）eN-k+Pj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）（1+θ）δ。对于所有π（k）∈ {π（k）∈ U（k）；kπ（k）k≥ C} ，它认为h（k）（π（k）；（一）≥ 0，i∈ Dn。

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mingdashike22

2022-6-2 18:49:46

（4.14）这得出，对于所有π（k）∈ {π（k）∈ U（k）；kπ（k）k≥ C} a和所有x≥ εen，我们从（4.13）和（4.14）推导出/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi≥ H（k）（π（k）；i） xi≥ H（k）（π（k）；i） ε≥ εθ(1 +θ)δπ（k）-θu（k）（i）- r（i）eN-k+Xj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）π（k）.我们将根据ε>0 asC（ε）选择另一个正常数：=C+vuutC+εθ（2+θ）δCXj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。那么，对于所有π（k）∈ {π ∈ U（k）；kπk≥ C（ε）}和所有x≥ εen，它表示xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi≥ CXj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）。（4.15）通过（4.12），我们得到了G（k）i（t，x）≤ CPj公司/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rn。因此，从（4.15）得出g（k）i（t，x）=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi（4.16）=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） xi.根据（4.16），它认为g（k）i（t，x）=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） yi+H（k）（π（k）；i）（xi）- yi））≤ infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） yi）+C（ε）| xi- yi |=G（k）i（t，y）+C（ε）| xi- 易|。（4.17）此处，正常数C（ε）=maxi=1，。。。，nC（i）（ε），其中i∈ Dn，C（i）（ε）：=supπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε）}H（k）（π（k）；i）。（4.18）请注意，上述常数C（i）（ε）为非负的，且对每个i都是有限的∈ Dn。通过（4.17），我们得到| G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ C（ε）kx- yk表示任意x，y∈ RN满足x，y≥ εenwithε>0，这完成了引理的证明。我们继续研究动力系统（4.7）全局（经典）解的存在性和唯一性。为此，我们准备了以下两类动力学系统与Smith[26]中引入的K型条件的比较结果：引理4.4。

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2022-6-2 18:49:50

设gκ（t）=（gκi（t）；i=1，n）κ=1时，2分别满足以下动力系统[0，T]ddtg（t）=f（t，g（t））+~f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ，ddtg（t）=f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ。这里，函数f（t，x），~f（t，x）：[0，t]×Rn→ r假设为Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。函数f（t，·）满足每个t的t type K条件∈ [0，T]（即，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、它认为fi（t，x）≤每个t的fi（t，y）∈ [0，T]）。如果▄f（t，x）≥ 0表示（t，x）∈ [0，T]×Rnandξ≥ ξ、当g（t）≥ 所有t的g（t）∈ [0，T]。证据当p＞0时，设g（p）（t）=（g（p）1i（t）；i=1，n）是以下动态系统的解决方案：ddtg（p）（t）=f（t，g（p）（t））+~f（t，g（p）（t））+pen、 in（0，T）；g（p）（0）=ξ+pen、（4.19）那么∈ （0，T），它保持kg（p）（T）- g（t）k≤千克（p）（0）- g（0）k+Ztf（s，g（p）（s））- f（s，g（s））ds+Ztf（s，g（p）（s））-f（s，g（s））ds+pZtkenkds≤1+Tpkenk+（C+～C）Ztg（p）（s）- g（s）ds。这里，C>0和▄C>0是f（t，x）和▄f（t，x）的Lipschitz常数系数，有效。TheGronwall引理得出g（p）（t）→ g（t）表示所有t∈ [0，T]作为p→ ∞. 我们声称g（p）（t）>> g（t）表示所有t∈ [0，T]。假设索赔不成立，那么g（p）（0）>> g（0）和g（p）（t），g（t）在[0，t]上是连续的，意味着存在一个t∈ （0，T）使得g（p）（s）≥ g（s）在s上∈ [0，t]和g（p）1i（t）=某些i的g2i（t）∈ {1，…，n}。

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2022-6-2 18:49:53

因为当t>0时，g（p）（t），g（t）在（0，t）上是不同的，因此，ddtg（p）1i（t）t=t=lim→0g（p）1i（t）- g（p）1i（t- )≤ lim→0g2i（t）- g2i（t- ）=ddtg2i（t）t=t。另一方面，由于f（t，·）满足每个t的K型条件∈ [0，T]和▄f（T，x）≥ 0表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，对于上述i，我们还有thatdtg（p）1i（T）t=t=fi（t，g（p）1i（t））+~fi（t，g（p）（t））+p>fi（t，g（p）1i（t））≥ fi（t，g（t））=ddtg2i（t）t=t.（4.20）我们得到一个矛盾，因此g（p）（t）>> g（t）表示所有t∈ [0，T]。因此，它认为g（t）≥ g（t）表示所有t∈ [0，T]通过将p传递给单位。现在，我们准备给出以下等式（4.7）正（经典）解的存在唯一性结果。定理4.1。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）允许正唯一（经典）解ν（k+1），j（t）在t上∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，在t上存在唯一的正（经典）解ν（k）（t）∈ （4.1）的[0，T]，在默认状态z=0j，。。。，jk（即，等式（4.7）采用唯一正（经典）解）。证据对于任何常数a∈ （0，1），让我们考虑由滴滴涕Д（k）a（t）+a（k）Д（k）a（t）+G（k）a（t，Д（k）a（t））=0，in【0，t】；Д（k）a（t）=en。（4.21）此处Д（k）a（t）=（Д（k）a（t，i）；i=1，…，n）是向量值解，n×n维矩阵A（k）由（4.8）给出。向量值函数G（k）a（t，x）定义为：G（k）a（t，x）：=G（k）（t，x∨ aen，（t，x）∈ [0，T]×Rn。（4.22）由于引理4.3，存在一个正常数C=C（a），它只依赖于a>0，例如，对于所有t∈ [0，T]，G（k）a（t，x）- G（k）a（t，y）≤ Ckx公司- yk，x，y∈ Rn，（4.23）即G（k）a（t，x）是全局Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。通过倒转时间，让我们考虑一下（k）a（t）：=Д（k）a（t- t）对于t∈ [0，T]。

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nandehutu2022

2022-6-2 18:49:56

那么，|（k）a（t）满足以下动力系统：滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）a（t- t、 ИИ（k）a（t）），in（0，t）；И（k）a（0）=en、（4.24）根据全局Lipschitz连续性条件（4.23），对于每个∈ （0，1），可以得出系统（4.24）在[0，t]上有唯一（经典）解（k）a（t）。为了应用引理4.4，我们将上述系统（4.24）写成以下形式：滴滴涕（k）a（t）=f（k）（（k）a（t））+f（k）a（t，（k）a（t）），in（0，t]；（k）a（0）=en。（4.25）这里，Lipschitz连续函数f（k）（x）=（f（k）i（x）；i=1，n）和▄f（k）a（t，x）=（▄f（k）a，i（t，x）；i=1，n）on（t，x）∈ [0，T]×r分别由f（k）i（x）=nXj=1qijxj给出-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}h（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} ，~f（k）a，i（t，x）=G（k）a（t- t、 x）+βi{| xi |∨ 1} ，i=1，n、（4.26）i的正常数βifor∈ Dn由βi=- infπ（k）∈U（k）H（k）（π（k）；i），（4.27）其中，对于i∈ Dn，H（k）（π（k）；i）定义见（4.10）。不难看出，β是每个i的非负有限常数∈ Dnusing（4.10）。通过递归假设，即ν（k+1），j（t）>> 对于j，在[0，T]上为0/∈ {j，…，jk}，对于任何a∈ （0，1），对于每个i∈ Dn和所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，G（k）i（T- t、 x个∨ aen）=infπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（T- t、 i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i）（xi）∨ （a）≥{xi∨ a} infπ（k）∈U（k）H（k）（π（k）；（一）≥ -βi{| xi |∨ 1}.（4.28）因此，从（4.26）可以得出，对于所有（t，x）∈ [0，T]×Rn，~f（k）a，i（T，x）=G（k）i（T- t、 x个∨ aen）+βi{| xi |∨ 1} ≥ 0，i∈ Dn。（4.29）我们接下来验证向量值函数f（k）（x）=（f（k）i（x）；i=1，n）（4.26）给出的是K型。也就是说，我们需要验证，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，n、它认为f（k）i（x）≤ f（k）i（y）。事实上，在（4.26）之前，我们有t，对于任何x，y∈ RNX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1。

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2022-6-2 18:50:00

，n，f（k）i（x）=nXj=1qijxj-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} =qiixi-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）xi- βi{| xi |∨ 1} +Xj6=iqijxj=qiiyi-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）易- βi{| yi |∨ 1} +Xj6=iqijxj≤ qiiyi公司-θr（i）+Xj/∈{j，…，jk}λ（k）j（i）易- βi{| yi |∨ 1} +Xj6=iqijj=f（k）i（y），（4.30），其中我们使用了一个事实，即对于所有j 6=i，qij≥ 0，因为Qn=（qij）n×nis是马尔可夫链Y的生成器，而hencePj6=iqijxj≤Pj6=所有x的IQIJYJJ≤ y、因此，利用Smith[26]第3章的命题1.1和引理4.1，我们推断如下动力系统ddtψ（k）（t）=f（k）（ψ（k）（t）），in（0，t）；ψ（k）（0）=en（4.31）允许唯一（经典）解ψ（k）（t）=（ψ（k）i（t）；i=1，n）在t上∈ [0，T]，而且我还认为ψ（k）（T）>> t为0∈ [0，T]。设ε（k）：=mini=1，。。。，n输入∈[0，T]ψ（k）i（T）. （4.32）ψ（k）（t）在t中的连续性∈ [0，T]和ψ（k）（T）>> 所有t的0∈ [0，T]导致ε（k）>0。另一方面，从（4.29）可以看出，向量值函数f（k）a（t，x）≥ [0，T]×Rn上的0。由于向量值函数f（k）（x）也是由（4.30）证明的k型函数，我们可以将引理4.4应用于动力系统（4.25）和（4.31），并导出（k）a（t）≥ ψ（k）（t）≥ ε（k）en， t型∈ [0，T]，（4.33）表示为￠（k）a（0）=ψ（k）（0）=en。注意，上面（4.32）给出的正常数ε（k）与常数a无关∈ （0，1）。因此，我们可以选择∈ （0，ε（k）∧ 1）它认为g（k）a（T- t、 И（k）a（t））=G（k）（t- t、 И（k）a（t）∨ aen）=G（k）（T- t、在[0，t]上的ИИ（k）a（t））。由（4.24）和∈ （0，ε（k）∧ 1），则得出￠Д（k）a（t）≥ ε（k）enon[0，T]是动力学系统（4.7）的唯一（经典）解，定理的证明是完整的。

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2022-6-2 18:50:03

作为定理4.1的一个重要含义，我们在下一个命题中对现有文献的主要贡献之一是对最优策略π（k）的表征∈ U（k）在默认状态z=0j，。。。，jk其中k=0，1，N- 1、提案4.1。对于每个k=0，1，N- 1，假设DPE（4.1）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。设Д（k）（t）=（Д（k）（t，i）；i=1，n）是DPE（4.7）的唯一（经典）解决方案。然后，给出了唯一的最优反馈策略π（k，*)= π（k，*)（t，i）对于（t，i）∈ [0，T]×dn，由π（k，*)=π（k，*)（t，i）（4.34）=arg minπ（k）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ^1（k）（t，i）= arg最小π（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C} （Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）1.- π（k）j-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ν（k）（t，i）），对于某些正常数C>0。证据让我们首先重新调用等式（4.7），即：。，滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，ν（k）（t）），in[0，t]；Д（k）（t）=en。上述理论4.1表明，上述动力系统在[0，t]上存在唯一的正（经典）解Д（k）（t），此外，还有Д（k）（t）≥ ε（k）e对于所有t∈ [0，T]。此处ε（k）>0由（4.32）给出。因此，通过（4.16），我们得到，存在一个正常数C（ε（k）），它依赖于ε（k）>0，因此，对于每个∈ Dn，G（k）i（t，Д（k）（t，i））=infπ（k）∈{π∈U（k）：kπk≤C（ε（k））}（Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ^1（k）（t，i））。这里，对于Each i=1，n、函数G（k）i（t，x）on（t，x）∈ [0，T]×Rn由（4.9）给出。对于每个i=1，n、 ν（k+1），t上的j（t，i）∈ [0，T]是（4.1）的正（经典）解的第i个元素，在默认状态z=0j，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。回想一下函数h（k）（π（k）；i）对于（π（k），i）∈ U（k）×dn由（4.10）给出。

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2022-6-2 18:50:06

那么，这并不难看出，对于每个人来说∈ D和固定t∈ [0，T]，h（k）（π（k），i）：=Xj/∈{j，…，jk}Д（k+1），j（t，i）（1- π（k）j）-θλ（k）j（i）+H（k）（π（k）；i） ν（k）（t，i）在π（k）中是连续且严格共凸的∈\'U（k）。还要注意，spa c e{π（k）∈\'\'U（k）；kπ（k）k≤C（ε（k））} 注册护士-kis紧凑型。因此，存在唯一的最佳π（k，*)= π（k，*)（t，i）∈\'U（k）。此外，值得注意的是，h（k）（π（k），i）=+∞ 当π（k）时∈\'\'U（k）\\U（k）而h（k）（π（k），i）<+∞ 对于所有π（k）∈ U（k）。因此，我们实际上得到了最佳π（k，*)= π（k，*)（t，i）∈通过取C=C（ε（k）），U（k）承认代表（4.34），从而完成命题的证明。作为我们的主要结果之一，我们最终在下一个命题中提出并证明了制度转换过程Y的单位空间的验证定理。提案4.2。设Д（t，z）=（Д（t，i，z）；我∈ Dn）带（t，z）∈ [0，T]×S是PE（4.1）的唯一解决方案。对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，定义π*（t，i，z）：=诊断（（1- zj）Nj=1）arg最小π∈UHπ; i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，N）, （4.35）式中，H（π；i，z，’f（z））由（3.16）给出。设∧π*= (~π*（t））t∈[0，T]带∧π*（t）：=π*（t，Y（t-), Z（t-)).然后▄π*∈是最佳反馈策略，即-θlog E▄π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s）；Y（s），Z（s））ds#=\'V（t，i，z）=-θlogД（t，i，z）。（4.36）证明。根据命题4.1，可以得出∧π*是一个有界且可预测的过程，取值为onU。我们接下来证明∧π*与1的距离很小。事实上，对于固定值（i、z、x）∈ Dn×S×（0，∞)N+1，我们得到▄H（π；i，z，x）是严格凸x w.r.t.π∈ U，因此Φ（i，z，x）：=arg minπ∈UH（π；i，z，x）定义良好。注意Φ（i，z，·）映射（0，∞)N+1到U，满足一阶条件小时πj（Φ（i，z，x）；i、 z，x）=0，对于j=1，N、然后，隐式函数orem得出Φ（i，z，x）在x中是连续的。

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2022-6-2 18:50:09

，N，如果Zj（t-) = 0，一阶条件给出（1- ~π*j（t））-θ-1=uj（Y（t-)) - r（Y（t-))-θ1 +θNXi=1σ（Y（t-))σ（Y（t-))ji▄π*i（t）+θλj（Y（t-), Z（t-))^1（t，Y（t-), Z（t-))λj（Y（t-), Z（t-))^1（t，Y（t-), Zj（t-)). （4.37）因为对于ll（i，z）∈ Dn×S，Д（·，i，z）有一个严格的正下界，使用（4.33）。与命题4.1一起，可以得出结论，存在一个常数c>0，从而支持∈[0，T]（1- ~π*j（t））-θ-1.≤ C对于所有j=1，N、因此，估计值（4.37）得出|π*与1一致有界。因此，以下广义Novikov条件成立：E经验值θZTσ（Y（t））~π*（t）dt+NXj=1ZT(1 - ~π*j（t））-θ- 1.λj（Y（t），Z（t））dt< +∞.（4.38）上述Novikov条件（4.38）意味着∧π*是可以接受的。我们接下来证明（4.36）。NotingthatД（t，z）=（Д（t，i，z）；我∈ Dn）带（t，z）∈ [0，T]×S是（4.1）的唯一经典解。注意，存在一个常数CL=CL（n，i，z）>0，使得L（π；i，z）>-CLfor（π，i，z）∈ m的U×Dn×S≥ 1，设置Lm（π；i，z）：=L（π；i，z）∧ m、然后Lm有界且Lm（π；i，z）↑ L（π；i，z）asm→ ∞. 因此，对于任何可接受的策略∧π∈~U，It^o的公式给出，对于0≤ t<s≤ T，E|π，θT，i，z^1（s，Y（s），Z（s））expθZstLm（∧π（u）；Y（u），Z（u））du= Д（t，i，z）+Eπ，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dv×(^1（u、Y（u）、Z（u））t+Xl6=Y（u）qY（u）l（Д（u，l，Z（u））- Д（u，Y（u），Z（u）））+~Hπ（u）；Y（u），Z（u），（ν（t，Y（u），Zj（u））；j=0，1，N）)du#+E∧π，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dvД（u，Y（u），Z（u））×（Lm- 五十）（|π（u）；Y（u），Z（u））du#≥ Д（t，i，z）+Eπ，θt，i，z“ZstexpθZutLm（|π（v）；Y（v），Z（v））dvД（u，Y（u），Z（u））×（Lm- 五十）（|π（u）；Y（u），Z（u））du#。（4.39）在上面的最后一个不等式中，表达式中的积分项为负。

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