然后，我们考虑以下目标函数givenby，对于∧π∈Unand（t、i、z）∈ [0，T]×Dn×S，Jn（|π；T，i，z）：=E|π，θT，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（s），Z（s））ds#=E|π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！#。（4.47）这里，风险敏感成本函数L（π；i，z）（π，i，z）∈ U×Z+×S由（3.5）给出。为了在第4.1节中获得的有限状态情况下应用结果，我们还需要提出以下目标函数，由￠π给出∈Unand（t、i、z）∈ [0，T]×Dn×S，~Jn（▄π；T，i，z）：=E▄π，θT，i，z“expθZTtL（▄π（S）；Y（n）（S），z（S））ds！#。（4.48）我们将考虑Vn（T，i，z）：=-θinf￠π∈卸载▄Jn（▄π；t，i，z），（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S.（4.49）我们对值函数vn有以下特征，这将在研究Vnas n的收敛性方面发挥重要作用→ ∞.引理4.5。它认为Vn（t，i，z）=-θinf￠π∈为（t，i，z）卸载Jn（▄π；t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S.证明。使用（4.47）和（4.48），我们得到了，对于所有|π∈§Un，log▄Jn（▄π；t，i，z）=log E▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（n）（s），z（s））ds！\\35；=log E▄π，θt，i，z”expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds+θZTT∧τtnL（|π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！\\35;=对数E|π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds+θZTT∧τtnL（|π（s）；0，Z（s））ds#≥ 对数E|π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！\\35;=对数Jn（△π；t，i，z）≥ inf▄π∈Unlog Jn（▄π；t，i，z），其中我们使用L（π；0，z）的正性表示所有（π，z）∈ 当θ>0时，我们从（4.49）得到thatVn（t，i，z）≤ -θinf￠π∈卸载Jn（▄π；t，i，z）。（4.50）另一方面，对于任何∧π∈Un，定义π（t）=π（t）1{t≤t的τn}∈ [0，T]。很明显，^π∈Un，它认为θ（t，t）：=θ（t）π，θ（t）π，θ（t）=θ（t∧τtn）ΓИπ，θ（t）=：ΓИπ，θ（t，t∧ τtn）。

Hencelog Jn（|π；t，i，z）=log Et，i，z“ΓΓπ，θ（t，t）expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！\\35;=log Et，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！EΓИπ，θ（t，t）| FT∧τtn#= 对数Et，i，z“ΓИπ，θ（t，t∧ τtn）expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！\\35;=log E^π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（^π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds！\\35;=log E^π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（^π（s）；Y（n）（s），Z（s））ds+θZTT∧τtnL（0；0，Z（s））ds！\\35;=log E^π，θt，i，z“expθZTtL（s）；Y（n）（s），z（s））ds！#=logJn（t，i，z）≥ inf▄π∈卸载▄Jn（▄π；t，i，z）。上述不等式和∧π的任意性共同给出-θinf￠π∈卸载Jn（▄π；t，i，z）≤ Vn（t，i，z）。（4.51）然后，通过组合上述（4.50）和（4.51）得出所需结果。引理4.5以及第4.1节中定理4.1和命题4.2对于Y的有限状态空间意味着以下结论：命题4.3。让n∈ Z+。回顾（4.49）定义的值函数Vn（t，i，z）。我们定义νn（t，i，z）：=经验值(-θVn（t，i，z））。则φn（t，i，z）是由0给出的递归s系统的唯一解=^1n（t，i，z）t+Xl6=i，1≤l≤nqil（νn（t，l，z）- Дn（t，i，z））+q（n）i0（Дn（t，0，z）- νn（t，i，z））+infπ∈UHπ; i、 z，（νn（t，i，zj）；j=0，1，N）, （4.52）式中（t，i，z）∈ [0，T）×Dn×S，并且对于所有（i，z），终端条件由φn（T，i，z）=1给出∈Dn×S。此外，它认为φn（t，i，z）∈ [0，1]，所有（t，i，z）的n都在减少∈ [0，T]×Dn×S.证明。请注意，Y（n）的状态空间由dn给出，dn是一个有限集。通过观察（4.49）给出的值函数Vn的定义，我们发现通过应用第4.1节中定理4.1和命题4.2，对于有限状态空间的体制切换过程，νn（t，i，z）是递归系统（4.52）的唯一解。为了验证Дn（t，i，z）∈ [0，1]并且它在n中递减，这足以证明Vn（t，i，z）≥ 0，在n中是不递减的。

感谢emma4.5和L（0，i，z）=-r（一）≤ 0乘以（3.5），还要注意|π（t）≡ 0是可接受的（即∧π∈Un），然后INFπ∈卸载Jn（▄π；t，i，z）≤ log Jn（|π；t，i，z）=log E|π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（0；Y（s），Z（s））ds！\\35;=对数E￠π，θt，i，z“exp-θZT∧τtntr（Y（s））ds#≤ 0，因为利率过程是非负的。这就得到了Vn（t，i，z）≥ 0表示所有（t、i、z）∈ [0，T]×Dn×S。另一方面，对于任何∧π∈Un，我们定义π（t）：=Иπ（t）1{τn≥t} 对于t∈ [0，T]。它是清晰的∈联合国∩联合国+1。回想一下（3.6）中给出的密度过程，我们得到了，对于^π，^π∈Un，ΓИπ，θ=E（πДπ，θ），πДπ，θ=-θZ·￠π（s）σ（Y（n）（s））dW（s）+NXj=1Z·{（1）- ~πj（s））-θ- 1} dMj（s）；Γ^π，θ=E（^π，θ），^π，θ=-θZ·^π（s）σ（Y（n）（s））dW（s）+NXj=1Z·{（1）- ^πj（s））-θ- 1} dMj（s）。这表明ΓИπ，θ（t∧ τn）=π，θ（t）表示t∈ [0，T]。然后，我们从（4.47）中推导出log Jn（∧π；t，i，z）=log E∧π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（s），Z（s））ds#≥ 对数E|π，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（s），Z（s））ds+θZT∧τtn+1T∧τtnL（0；Y（s），Z（s））！#=log E^π，θt，i，z“expθZT∧τtn+1tL（^π（s）；Y（s），Z（s））ds！#=对数Jn+1（^π；t，i，z）≥ inf▄π∈Un+1log Jn+1（(R)π；t，i，z）。（4.53）使用（4.49）和引理4.5，可以得出Vn（t，i，z）在n中对于固定值（t，i，z）是不变的∈[0，T]×Dn×S。因此，命题的结论成立。根据第4.3条，对于任何（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S，我们设置V*（t，i，z）：=limn→∞Vn（t，i，z）。然后，它认为→∞^1n（t，i，z）=exp-θV*（t、i、z）=: φ*（t，i，z）。（4.54）另一方面，从等式（4.49）可以很容易地看出，对于所有（t，z），νn（t，0，z）=1∈ [0，T]×S。那么，上述等式（4.52）可以重写为：^1n（t，i，z）t=- qiiИn（t，i，z）-Xl6=i，1≤l≤nqilИn（t、l、z）-Xl>nqil- infπ∈UHπ; i、 z，（νn（t，i，zj）；j=0，1，N）. （4.55）根据（3.16），我们可以得出结论，对于（π；i，z）∈ U×Z+×S，~H（π；i，Z，x）在x的每个成分上都是凹的∈ [0, ∞)N+1，infπ也是∈UH（π；i，z，x）。

本文给出了可数状态空间的主要结果。定理4.2。Let（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。然后，极限函数*上述（4.54）中给出的（t，i，z）是原始DPE（3.15）的经典解，即它认为0=φ*（t、i、z）t+Xl6=iqil[^1*（t、l、z）- φ*（t，i，z）]+infπ∈UHπ; i、 z，（Д）*（t，i，zj）；j=0，1，N）终端条件下*（T，i，z）=1表示所有（i，z）∈ Z+×S。定理4.2的证明将分为首先证明一系列辅助引理。作为准备，我们显示以下结果。引理4.6。Let（i，z）∈ Z+×S.然后(^1n（t，i，z）t） n个≥iis在t中一致有界∈ [0，T]。证据我们将等式（4.55）改写为以下形式：^1n（t，i，z）t=-qiiИn（t，i，z）-Xl6=i，1≤l≤nqilИn（t、l、z）-Xl>nqil- infπ∈U^Hπ; i、 z，（νn（t，i，zj）；j=0，1，N）+ C（i，z）Дn（t，i，z），（4.56），其中，对于（i，z）∈ Z+×S，C（i，Z）=infπ∈U-θr（i）-θπ（u（i）- r（i）en）+θ1 +θσ（i）π+NXj=1-1.-θπj(1 - zj）λj（i，z）, （4.57）和非负函数^H（π；i，z，’f（z））：=(R)H（π；i，z，’f（z））+C（i，z）f（z）。（4.58）因为^H（π；i，z，x）在x的每个分量中都是凹的∈ [0, ∞)N+1，Φ（x）：=infπ∈U^H（π；i，z，x）在x的每个分量中也是凹的∈ [0, ∞)N+1。根据命题4.3，x（n）：=（νn（t，i，zj）；j=0，1，N）∈ [0，1]N+1。使用Lemma。2，存在一个与x（n）无关的常数C>0，使得0≤ Φ（x（n））≤ C代表所有n∈ Z+。毛发，用于固定（i，z）∈ Z+×S，-qiiИn（t，i，z）-Xl6=i，1≤l≤nqilИn（t、l、z）-Xl>nqil+C（i，z）Дn（t，i，z）≤ -2qii+C（i，z）。所需结果来自等式（4.56）。引理4.7。Let（i，z）∈ Z+×S，然后（νn（t，i，Z））n≥i（逐渐减小）收敛到ν*（t，i，z）统一∈ [0，T]为n→ ∞.证据根据命题4.3、引理4.6和Azel\'a-Asco-li定理，我们得到了（νn（·，i，z））n≥i包含一致收敛的子序列。

此外，命题4.3和（4.54）得出了νn（t，i，z）（递减）收敛于*（t，i，z）在t中均匀分布∈ [0，T]为n→ ∞.引理4.8。让n∈ Z+。考虑以下线性系统：for（t，i，z）∈ （0，T）×Dn×S，φn（t，i，z）t=（qii- C（i，z））φn（t，i，z）+Xl6=i，1≤l≤nqilφn（t，l，z），φn（0，i，z）=1，（4.59），其中C（i，z）由（4.57）给出。然后，存在一个可测函数φ*（t，i，z）使得φn（t，i，z）φ*（t，i，z）作为n→ ∞ 对于每个固定值（t、i、z）。此外，它认为0<φn（T- t、 i，z）≤^1n（t，i，z）≤ （t，i，z）为1∈ [0，T]×Dn×S.证明。Let（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S a和定义gn（T，i，z）：=Дn（T- t、 i，z）。根据公式（4.56），gn（·，i，z）∈ C（（0，T））∩ C（[0，T]）表示每个参数（i，z），并满足以下条件：gn（t，i，z）t=（qii- C（i，z））gn（t，i，z）+Xl6=i，1≤l≤nqilgn（t，l，z）+Xl>nqil+Q（t，i，z，gn（t，i，z）），gn（0，i，z）=1，（4.60），其中Q（t，i，z，x）：=infπ∈U^Hπ; i、 z，x，gn（t，i，z），gn（t，i，zN）对于x∈ [0, ∞). 我们从（4.58）得到Q（t，i，z，x）≥ 0表示所有（t，x）∈ [0，T]×[0，∞). 然后PL>nqil+Q（t，i，z，x）≥ 注意，式（4.60）的线性部分满足K型条件。然后，使用引理4.4的比较结果，可以看出gn（t，i，z）≥ φn（t，i，z），因此φn（t，i，z）≥ φn（T- t、 i，z）。此外，我们从L emma 4.1中推断φn（t，i，z）>0。根据公式（4.59），我们得到φn+1（t，i，z）和（t，i，z）∈ [0，T]×Dn+1×S满足φn+1（t，i，z）t=（qii- C（i，z））φn+1（t，i，z）+Xl6=i，1≤l≤nqilφn+1（t，l，z）+qi，n+1φn+1（t，n+1，z），φn+1（0，i，z）=1。因为qi，n+1φn+1（t，n+1，z）≥ 0表示i∈ Dn，引理4.4表示φn+1（t，i，z）≥ φn（t，i，z）表示所有（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S。因此，存在一个可测函数φ*（t，i，z）使得φn（t，i，z）φ*（t，i，z）作为n→ ∞ 对于每个固定的（t、i、z）∈ [0，T]×Z+×S.引理4.9。Let（i，z）∈ Z+×S。

然后，存在一个正常数δ=δ（i，z），使得*（t，i，z）>所有t的δ∈ [0，T]。证据从引理4.8，我们得到了φn（t，i，z）≥ φn（T- t、 i，z）。出租n→ ∞ 使用单独的MMA 4.7，它遵循*（t、i、z）≥ φ*（T- t、 i，z）≥ φi（T- t、 i，z）。φi（t，i，z）>0在t中是连续的∈ [0，T]，存在一个正常数δ=δ（i，z），使得inft∈[0，T]φi（T，i，z）≥ δ. 因此^1*（t、i、z）≥ 所有t的δ∈ [0，T]。我们最终可以使用所有之前的结果得出定理4.2的结论。定理4.2的证明。我们首先证明了（t，i，z）上存在一个可测函数（t，i，z）∈[0，T]×Z+×S，使limn→∞^1n（t，i，z）对于（t，i，z），t=（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。事实上，注意对于（T，i，Z）∈ [0，T]×Dn×S，0≤ ^1n+1（t，i，z）≤ ^1n（t，i，z）≤ 1代表n∈ Z+。ThenXl6=i，1≤l≤nqilДn（t，l，z）+Xl>nqil≥Xl6=i，1≤l≤n+1qilДn+1（t，l，z）+Xl>n+1qil。这从（4.54）中得出qiiИn（t，i，z）qiiД*（t，i，z）作为n→ ∞, andXl6=i，1≤l≤nqilИn（t，l，z）+Xl>nqilXl6=i，l≥1qil^1*（t、l、z）。（4.61）另一方面，设Φ（x）：=infπ∈x的UH（π；i，z，x）∈ [0, ∞)N+1。那么Φ（x）：[0，∞)N+1→ Ris x的每个分量都是凹的。让x*（t） ：=（Д）*（t，i，zj）；j=0，1，N） 和x（N）（t）：=（νN（t，i，zj）；j=0，1，N） 对于N∈ Z+。然后0≤ x个*（t）≤ x（n）（t）表示n∈ Z+和limn→∞x（n）（t）=x*（t） 使用（4.54）。此外，引理4.9给出了δ<< x个*<< 2、引理A.1 thatlimn得出→∞Φ（x（n）（t））=x*（t） 。因此，根据公式（4.55），作为n→ ∞, 一个有^1n（t，i，z）t型→ И（t，i，z）：=-qii^1*（t、i、z）-Xl6=i，l≥1qil^1*（t、l、z）- Φ（x*（t） ）。（4.62）我们接下来证明（i，z）∈ Z+×S，^1n（t，i，z）t型=> ИИ（t，i，z）in t∈ [0，T]为n→ ∞. 在这里=> 表示一致收敛。等式。

（4.56）和（4.62）首先给出（t，i，z）∈[0，T]×Dn×S，^1n（t，i，z）t型- ^1（t，i，z）=Xi=1B（n）i（t，i，z），（4.63），其中b（n）（t，i，z）：=-qii（νn（t，i，z）- φ*（t，i，z））+C（i，z）（νn（t，i，z）- φ*（t，i，z）），B（n）（t，i，z）：=Xl6=i，1≤l≤nqil（νn（t，l，z）- φ*（t、l、z））+Xl>nqil（1- φ*（t，i，z）），B（n）（t，i，z）：=Φ（x（n）（t））- Φ（x*（t） ）。（4.64）此处Φ（x）：=infπ∈x的UH（π；i，z，x）∈ [0, ∞)N+1，x（N）（t）：=（νN（t，i，zj）；j=0，1，N） ，和X*（t） ：=（Д）*（t，i，zj）；j=0，1，N） 。Lemma4.7保证νn（t，i，z）=> φ*（t，i，z）in t∈ [0，T]为n→ ∞, 因此B（n）（t，i，z）=>0英寸t∈ [0，T]a s n→ ∞. 另一方面，对于任何小ε>0，sincePl6=iqil<∞, 存在≥ 1例如，PL>n，l6=iqil<ε。请注意，对于所有1≤ l≤ n、 ^1n（t、l、z）=> φ*（t，l，z）in t∈ [0，T]为n→ ∞, 存在n个≥ 1以便支持∈[0，T]Pl6=i，1≤l≤nqil（νn（t，l，z）- φ*（t、l、z））≤εforn>n。因此，对于所有n>n∨ n、 注意到0≤ φ*（t、i、z）≤ ^1n（t，i，z）≤ 1，它认为| B（n）（t，i，z）|=Xl6=i，1≤l≤nqil（νn（t，l，z）- φ*（t，l，z））+Xl6=i，n<l<nqil（νn（t，l，z）- φ*（t、l、z））+Xl>nqil（1- φ*（t，i，z））≤ε+Xl>nqil≤ε+ε= ε.（4.65）因此，我们推断B（n）（t，i，z）=> 0英寸t∈ [0，T]为n→ ∞. 我们可以从LemmaA得到。2对于所有x∈ RN+1满足0≤ x个≤ 2, 0 ≤ Φ（x）≤ 对于某些常数C>0。对于j=0，1，N、 ^1N（t，i，zj）=> φ*（t，i，zj）in t∈ [0，T]为n→ ∞, 引理4.9得出存在一个常数δ>0，使得1≥ ^1n（t，i，zj）≥ φ*（t、i、zj）≥ 所有t的δ>0∈ [0，T]。此外，存在λjn（t）∈ [0，1]以使得Иn（t，i，zj）=（1- λjn（t））Д*（t，i，zj）+2λjn（t）。反过来，λjn（t）=Дn（t，i，zj）-φ*（t，i，zj）2-φ*（t，i，zj），此后，对于所有j=0，1，N、 λjn（t）=> 0英寸t∈ [0，T]为n→ ∞. 与（A.1）中的类似，我们可以得出Φ（x（n）（t））≥ Φ（x*（t） ）NYj=0（1- λjn（t））+λ（n）（t）。（4.66）类似于r.h.s。

在不等式（4.66）中，上述∧（n）（t）中的每一项都有n+1个乘法器，其中至少有一个乘法器的形式为λjn（t），而其他乘法器是非负的，且以1为界∨ C、 由于λjn（t）=> 0英寸t∈ [0，T]为n→ ∞, 我们有∧（n）（t）=> 0英寸t∈ [0.T]为n→ ∞. 从（4.66）可以看出1.-NYj=0（1- λjn（t））Φ（x*（t） （）- ∧（n）（t）≥ Φ（x*（t） （）- Φ（x（n）（t））=-B（n）（t，i，z）。（4.67）不难看出不等式（4.67）的l.h.s.在t中一致趋于0∈ [0，T]为n→∞. 另一方面，存在∧jn（t）∈ [0，1]这样*（t，i，zj）=（1-λjn（t））Дn（t，i，zj）+0·λjn（t），反过来，λjn（t）=Дn（t，i，zj）-φ*（t，i，zj）Дn（t，i，zj）=> 0英寸t∈ [0，T]为n→ ∞, 自Иn（t，i，zj）≥ δ > 0. 因此1.-NYj=0（1-∧jn（t））Φ（x（n）（t））- ∧（n）（t）≥ Φ（x（n）（t））- Φ（x*（t） ）=B（n）（t，i，z），（4.68），其中∧（n）（t）的形式与∧（n）（t）的形式相似，但当j=0，1，…，它与∧jn（t）相关，N、 如（4.67）所示，不等式（4.68）的l.h.s.在t中均匀地趋于0∈ [0，T]为n→ ∞. 因此，从（4.67）和（4.6 8）可以得出B（n）（t，i，z）=> 0英寸t∈ [0，T]为n→ ∞. 因此，我们证明了（i，z）∈ Z+×S，^1n（t，i，z）t型=> ИИ（t，i，z）in t∈ [0，T]a s n→ ∞.我们终于证明了，对于（i，z）∈ Z+×S，Д*（T、i、z）- φ*（t，i，z）=t的RTt（s，i，z）ds∈ [0，T]。对于n∈ Z+，从命题4.3可以看出，νn（·，i，Z）∈ C（[0，T））∩ （i，z）的C（[0，T]）∈ Dn×S。这意味着*（T、i、z）- φ*（t，i，z）=Д*（T、i、z）- φ*（t、i、z）- （νn（T，i，z）- νn（t，i，z））+ZTt^1n（s、i、z）t（s，i，z）ds。（4.69）Lemma4.7确保了Д（T，i，z）- ^1（t、i、z）- （νn（T，i，z）- ^1n（t，i，z））→ 0作为n→ ∞. 引理4.6和^1n（t，i，z）t中的tto（t，i，z）∈ [0，T]，因此（T，i，z）在T中是连续的∈ [0，T]和RTT^1n（s、i、z）tds公司→RTt（s，i，z）ds为n→ ∞.

更多，如Д*（T、i、z）- φ*（t，i，z）=每个t的RTt（s，i，z）ds∈ [0，T]，φ*（t、i、z）对于所有t，t=（t，i，z）保持不变∈ [0，T]。因此，^1*（t，i，z）确实是原始DPE（3.15）的经典解。可数状态空间Z+={1，2，…}的验证参数将在下一个关键点位置显示。在此之前，我们提供了一些关于模型系数的温和条件：（c.1）存在正常数c、c、δ和K，使得ckξK≤ ξσ（i）σ（i）ξ ≤ ckξkforallξ∈ RNand i公司∈ Z+，δ≤ λ（i，z）≤ K代表所有（i，z）∈ Z+×S和r（i）+ku（i）k≤ K代表alli∈ Z+。σ（i）的初始条件实际上与股票波动率矩阵σ（i）的一致椭圆性质有关。提案4.4。让条件（C.1）保持不变。Let^1*（t，i，z）与（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S由（4.54）给出。然后，对于所有（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S，ν*（t，i，z）=inf▄π∈~UE▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（s），z（s））ds！#。（4.70）证明。根据命题n 4.2和引理4.5，可以得出如下结论，对于n∈ Z+，νn（t，i，Z）=inf|π∈UnEPπ，θt，i，z“expθZTtL（Pπ（s）；Y（n）（s），z（s））ds！#=infPπ∈UnEπ，θt，i，z“expθZT∧τtntL（∧π（s）；Y（s），Z（s））ds！#。那么，对于任何ε>0的情况，都存在∧πε∈取消设定Дn（t，i，z）+ε>Eπε，θt，i，z“expθZT∧τtntL（|πε（s）；Y（s），Z（s））ds！#。（4.71）定义πε（t）：=△πε（t）1{t≤t的τn}∈ [0，T]。因此，它认为∈ΓU，和Γ^πε，θ（t，t）=ΓИπε，θ（t，t∧t的τtn）∈ [0，T]。还要注意，L（0，i，z）=-r（一）≤ 0表示所有（i，z）∈ Z+×S。然后，不等式（4.71）延续了φn（t，i，Z）+ε>E|πε，θt，i，Z“expθZT∧τtntL（|πε（s）；Y（s），Z（s））ds#=E^πε，θt，i，z“expθZT∧τtntL（^πε（s）；Y（s），Z（s））ds#≥E^πε，θt，i，z“expθZTtL（s）；Y（s），z（s））ds#≥ inf▄π∈通过传递n，u▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄πε（s）；Y（s），z（s））ds！#。（4.72）→ ∞ 然后ε→ 0，我们得到*（t、i、z）≥ inf▄π∈UE▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（s），z（s））ds！#。

（4.73）另一方面，使用定理4.2和命题4.2，ν*（t，i，z）严格为正，且*（t、i、z）≤^1n（t，i，z）≤ 1代表所有n≥ 然后，在条件（C.1）下，通过应用（4.40）的类似参数，我们得到了，对于任何∧π∈U，Eπ，θt，i，z“Д”*（T，Y（T），Z（T））expθZTtL（￠π（u）；Y（u），Z（u））du#≥ φ*（t，i，z）。因为φ（T，i，z）=1表示所有（i，z）∈ Z+×S，我们推导出∈~UE▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（s），z（s））ds#≥ φ*（t，i，z）。（4.74）因此等式（4.70）由（4.73）和（4.74）组合而成，并检查命题的有效性。与命题4.2类似，我们可以构造一个候选的Optima l G-可预测反馈策略∏*由，对于t∈ [0，T]，~π*（t） ：=诊断(1 - Zj（t-))Nj=1×arg最小π∈UHπ; Y（t-), Z（t-), (φ*（t，Y（t-), Zj（t-)); j=0，1，N）. （4.75）我们首先证明*可以通过一系列定义良好的容许策略来描述近似极限。引理4.10。让条件（C.1）保持不变。存在一系列策略（△π（n，*))n∈Z+使用该限制→∞π（n，*)（t） =▄π*（t） 对于t∈ [0，T]、P-a.s.和进一步限制→∞J（|π（n，*); t、 i，z）=Д*（t，i，z）表示（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S，P-a.S。这里，目标函数J在（3.11）中定义。证据对于固定（i、z、x）∈ Z+×S×（0，∞)N+1，我们得到▄H（π；i，z，x）是严格凹的w.r.t.π∈ U，因此Φ（i，z，x）：=arg minπ∈UH（π；i，z，x）定义良好。注意Φ（i，z，·）映射（0，∞)N+1到U，满足一阶条件小时πj（Φ（i，z，x）；i、 z，x）=0，对于j=1，N然后，隐函数定理得出Φ（i，z，x）在x中是连续的。设x（n）（t）：=（νn（t，Y（n）（t-), Zj（t-)); j=0，1，N） 。

根据命题4.2和引理4.5，对于t∈ [0，T]，~π（n，*)（t） ：=诊断（（1- Zj（t-))Nj=1）Φ（Y（t-), Z（t-), x（n）（t））1{t≤τn}属于▄Un∩U，并且进一步满足Дn（t，i，z）=Eπ（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#。（4.76）引理4.7给出了极限→∞kx（n）（t）-x个*（t） t的k=0∈ 【0，T】，P-a.s.，whe re x*（t） ：=（Д）*（t，Y（t-), Zj（t-)); j=0，1，N） 。我们确定了可预测的过程▄π*（t） ：=诊断（（1- Zj（t-))Nj=1）Φ（Y（t-), Z（t-), x个*（t） ）对于t∈ [0，T]。通过引理4.9和Φ（i，z，·）的连续性，我们得到了limn→∞π（n，*)（t） =▄π*（t） 堡垒∈ [0，T]，a.s.此外，它保持tJ（|π（n，*); t、 i，z）=E|π（n，*),θt，i，z“expθZTtL（|π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#=E|π（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds+θZTT∧τtnL（0；Y（s），Z（s））ds#≤ E|π（n，*),θt，i，z“expθZT∧τtntL（△π（n，*)（s） ；Y（s），Z（s））ds！#=^1n（t，i，z）。命题4.4则得出*（t、i、z）≤ J（|π（n，*); t、 i，z）≤ ^1n（t，i，z）For n∈ Z+。此验证文件→∞J（|π（n，*); t、 i，z）=Д*（t，i，z）表示（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S，a.S.使用引理4.7。提案4.5。让条件（C.1）保持不变。然后，最优反馈策略∧π*（4.75）给出的值是允许的，即|π*∈美国认证。在条件（C.1）下，不难验证是否存在一个常数C>0，例如L（π；i，z）≥ -C代表所有（π，i，z）∈ U×Z+×S。由于提案4.4，我们得到了*（t，i，z）=inf▄π∈~UE▄π，θt，i，z“expθZTtL（▄π（s）；Y（s），z（s））ds#≥ inf▄π∈UE▄π，θt，i，z“exp-θZTtCds！#=ex p公司-θC（T- t）,对于（t，i，z）∈ [0，T]×Z+×S。因此，对于T∈ [0，T]，x*（t） =（^1）*（t，Y（t-), Zj（t-)); j=0，1，N） （）∈ [e]-θC（T-t） ，1]N+1。（4.77）Φ（i，z，x）的连续性：=arg minπ∈U▄H（π；i，z，x）给出▄π*（t） 对于t∈ [0，T]被某个常数C>0一致地限定。此外，一阶条件得出，对于所有j=1。

，N，ifZj（t-) = 0,(1 - ~π*j（t））-θ-1=“（uj（Y（t-)) - r（Y（t-))) -θ1 +θNXi=1（σ（Y）（t-))σ（Y（t-)))ji▄π*i（t）+θλj（Y（t-), Z（t-))#φ*（t，Y（t-), Z（t-))λj（Y（t-), Z（t-))φ*（t，Y（t-), Zj（t-))≤C、 （4.78），其中我们使用了条件（C.1）和（4.77）。注意▄π*如果Zj（t），则j（t）=0-) = 1，则￠π*也以1为界。这意味着广义的Novikov条件在有限状态下成立，因此∧π*是可以接受的。上述验证结果（命题4.4和命题4.5）可视为动态规划方程的唯一结果。在条件（C.1）下，我们还可以对策略序列∧π（n，*)到最优策略π*目标函数J的中间值（见（3.11）），由EMMA 4.11给出。让n∈ Z+。在条件（C.1）下，对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，存在一个常数C>0，它与n无关，因此J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）≤ C1.-nXj=1a（n）ij（T- t）.这里是a（n）ij（T- t） =δij+（t- t） qij+P∞k=1P1≤l、 ，。。。，lk公司≤n（T）-t） k+1（k+1）！qilqll···qlkj。证据根据命题4.5，J（|π（n，*); t、 i，z）→ φ*（t，i，z）=J（|π）*; t、 i，z）作为n→ ∞. 另一方面，可以证明存在常数γ∈ （0，1）和C>0，使得∧π*（t）∈ [-C、 1个- γ] 对于所有t∈ [0，T]，a.s.然后，使用（3.5），可以得出*（t） ；Y（t），Z（t））≤ C、 t的a.s∈ [0，T]。这里是一个正常数。

因此，通过注意∧π*∈联合国，我们有*（t，i，z）=E|π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s） ；Y（s），Z（s））ds#≥ E▄π*,θt，i，z“expθZTtL（|π*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn>T}#=Eπ*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn>T}#=Eπ*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds#- E▄π*,θt，i，z“expθZT∧τtntL（￠π）*（s） ；Y（s），Z（s））ds！{τtn≤T}#≥ ^1n（t，i，z）- E▄π*,θt，i，zheθC（t∧τtn-t） {τtn≤T}i≥ ^1n（t，i，z）- CP▄π*,θt，i，z（τtn≤ 式中，C：=eθCTandДn（T，i，z）在命题4.3中定义。使用给定的不等式*（t、i、z）≤J（|π（n，*); t、 i，z）≤ 在引理4.10的证明中，在条件（C.1）下，我们得出J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）= J（|π（n，*); t、 i，z）- φ*（t、i、z）≤ ^1n（t，i，z）- φ*（t、i、z）≤ CP▄π*,θt，i，z（τtn≤ T）。注意，根据命题4.5，Y也是一个马尔可夫链，在P∧π下，生成元Q=（qij）*,θt，i，z，然后P∏*,θt，i，z（τtn≤ T）→ 0作为n→ ∞. 另一方面，τtn是（Y（n）（s））s的吸收时间∈其生成器由（4.46）给出为Angiven。因此，使用[7]第11章中的第11.2.3节，我们也可以得到P|π*,θt，i，z（τtn≤ T）=1-Pnj=1a（n）ij（T- t） 。这就完成了证明。接下来，我们提供一个示例，其中误差估计值为1-Pnj=1a（n）ij（T- t） 在引理4.11中，允许一个闭式for m重新呈现。让我们考虑一下Q给出的以下特定生成器=-1.n-1n。-1.n-1n。-1.n-1n。n-1.-1..那么，对于任何l≤ n、 Pnj=1qlj=Pn-1j=1j- 1 =-1n-1、因此≤ n、 nXj=1a（n）ij（T- t）=∞Xk=0（T- t） kk！-1n-1.k=e-T-田纳西州-因此，对于（t，i，z）∈ [0，T]×Dn×S，我们有显式的误差估计J（|π（n，*); t、 i，z）- J（￠π）(*); t、 i，z）≤ C1.- e-T-田纳西州-1.,其中，C>0与n无关。备注4.1。

这里还值得一提的是，本文中使用的方法可以用于处理状态切换过程Y是一个时间非齐次马尔可夫链的情况，其时间依赖生成器由Q（t）=（qij（t））i，j给出∈Z+表示t∈ [0，T]。这里，为t∈ [0，T]，qii（T）≤ 0对于i∈ Z+，qij（t）≥ 0表示i 6=j，和p∞对于i，j=1qij（t）=0∈ Z+（即Pj6=iqij（t）=-qii（t）代表i∈ Z+。也适用于i，j∈ Z+，t→ qij（t）在[0，t]上是连续的，且有限和pj∈Z+qij（t）在t中一致收敛∈ [0，T]。感谢：Bo博士获得了gr ANT1471254中国自然科学基金会和QYZDB-SSW-SYS009中国科学院前沿科学重点研究项目的资助。十、 Yu得到了Hong Kong早期职业计划资助人grant 25302116的支持。作者要感谢两位匿名推荐人的仔细阅读和有益的评论，以改进本文的陈述。A辅助L emmasLemma A.1。设函数Φ（x）：[0，∞)N+1→ R在x的每个分量中都是凹的。假设存在sx，x*, x个∈ [0, ∞)N+1使x<< x个*<< x、 设{x（n）}n≥1. [0, ∞)N+1满意度X*≤ x（n）表示n≥ 1和limn→∞x（n）=x*. 然后limn→∞Φ（x（n））=Φ（x*).证据由于引理中的给定条件，存在n≥ 1 s uch该x*≤ x（n）≤ x代表所有N≥ n、 对于每个n≥ n、 存在一个向量λ（n）∈ [0，1]N+1满足极限→∞λ（n）=0，使得x（n）k=λ（n）kxk+（1- λ（n）k）x*k或k=1，N+1。因此，可以得出Φ（x（n））=Φλ（n）x+（1- λ（n））x*, λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥λ（n）Φx、 λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））Φx个*, λ（n）x+（1- λ（n））x*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥λ（n）λ（n）Φx、 x，λ（n）n+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ λ（n）（1- λ（n））Φx、 x个*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））λ（n）Φx、 x个*, . . .

，λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1+ (1 - λ（n））（1- λ（n））Φx个*, x个*, . . . , λ（k）N+1xN+1+（1- λ（n）n+1）x*N+1≥Φ（x*)N+1Yk=1（1- λ（n）k）+∑（n）。（A.1）我们观察到，∑（n）中的每一项都有一个或多个乘法器，其形式为λ（n）kf或k=1，N+1。作为limn→∞λ（n）k=0，k=1，N+1，因此∑（N）→ 0作为n→ ∞. 根据（A.1）可知，lim infn→∞Φ（x（n））≥ Φ（x*). 类似地，作为x（n）≥ x个*>> x代表所有n∈ N、 存在一个向量∧（N）∈ [0，1]N+1满足极限→∞λ（n）=0，因此x*k=△λ（n）kxk+（1-λ（n）k）x（n）k功=1，N+1。利用（A.1）证明中的类似参数，我们推导出Φ（x*) ≥ Φ（x（n））n+1Yk=1（1-§λ（n）k）+∑（n），（A.2），其中∑（n）中的每一项都有一个或多个形式为λ（n）k，k=1，N+1。不等式（A.2）给出了tΦ（x*) ≥ lim支持→∞Φ（x（n））。将上述两个不等式相加，我们得到limn→∞Φ（x（n））=Φ（x*), 这就完成了证明。引理A.2。让函数Φ（x）：[0，∞)N+1→ [0, ∞) x的每个分量都是凹的。那么，对于任何α，β∈ [0, ∞)N+1满足α≤ β、 存在常数C=C（α，β）>0，使得0≤ Φ（x）≤ C代表所有α≤ x个≤ β.证据对于任何α≤ x个≤ β，其中α，β∈ [0, ∞)N+1，存在一个向量ν∈ (0, ∞)N+1等于β<< ν. 这意味着存在λ∈ [0，1]N+1使βk=λkxk+（1-λk）νk，k=1，N+1。Asα≤ x个≤ β << ν、 存在δ>0，因此1≥ λk=νk-βkνk-xk公司≥νk-βkνk-αk≥ δ. 利用Φ（x）的凹性，我们得到Φ（β）=Φ（λx+（1- λ） ν，λx+（1- λ)ν, . . . , λN+1xN+1+（1- λN+1）νN+1）≥Φ（x）N+1Yk=1λk+X1≤j<j<<jk<N+11≤k≤N+1（1- λj）×···×（1）- λjk）λjk+1×···×λjNΦ（Cj…jk）≥对于某些Cj，δN+1Φ（x），（A.3）。。。jk公司∈ [0, ∞)N+1和{jk+1，…，jN+1}={1，…，N+1}\\{j，…，jk}。因此，我们已经证明引理的说法成立。参考文献[1]G.Andruszkiewicz、M.H.Davis和S。

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