预期缺口下的投资组合优化

2022-5-15 23:29:10

这意味着样本量（时间序列T的长度）总是有限的，而机构投资组合的维度N（不同资产的数量）通常非常大，条件N/T 1.在实践中，几乎总是违反可靠和稳定估计的必要性。在本文中，我们将考虑N和T都非常大，但它们的比率是有限的情况。风险度量和优化都需要一个度量，一个风险度量。在马科维茨的原始投资组合优化理论[1]中，风险度量被选择为回报数据的波动性，与观察到的时间序列的方差一致。如果用方差来衡量风险，这同样会惩罚巨大的负向和正向波动。从投资者的角度来看，损失和收益的对称处理被认为是不合理的，因此，下行风险度量的概念，仅关注损失，很早就被马科维茨[2]以最小方差的形式引入。几十年后，在1987年10月黑色星期一的金融危机以及80年代末90年代初美国储蓄和贷款业的崩溃之后，人们意识到，真正致命的危险潜伏在损失分布的远尾，这种灾难性事件的概率远远高于根据正态分布估计的概率。风险价值（VaR）在80年代末开始零星出现，试图抓住这种尾部风险。在摩根大通的每日风险报告中，它被用作衡量标准，后来通过他们的RiskMetrics方法[3]被广泛传播，在一定时期内成为了一种行业标准。

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kedemingshi

2022-5-15 23:29:13

1996年，国际监管机构将VaR作为“官方”风险度量标准，VaR的地位进一步提升[4]。风险价值（VaR）是利润和损失分布的高分位数，投资组合损失的阈值不会超过概率α。在实践中，该置信水平的典型值被选择为0.90、0.95或0.99。尽管VaR具有不可否认的优点，但它很快就受到了批评，因为它缺乏次加性，这违反了多元化原则，也因为它没有说明VaR分位数以外的分布行为。通过对风险度量问题的公理化方法，Artzner等人[5]引入了连贯度量的概念，通过构造，这些度量没有这些缺点。一致性度量的最简单代表是预期短缺（ES），即高于高分位数的平均风险，该分位数可以选择为等于VaR阈值。因此，ES也被称为条件VaR或CVaR。作为条件平均，ES不仅对分位数以上的总质量敏感，而且对其分布也敏感。这一点，以及P flug[6]和Acerbi and Tasche[7,8]证明的连贯性，使其在理论家中广受欢迎，但在实践者中也越来越受欢迎。最近，法规[9,10]也采纳了这一点，该法规设想ES的置信水平为0.975。如今，VaR和ES是两种最常用的风险度量。

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2022-5-15 23:29:16

因此，研究它们的统计特性非常重要，尤其是在典型的高维环境中。对于大型投资组合而言，缺乏足够的数据对于任何风险度量都是非常严重的，尤其是在下行风险度量（如VaR和ES）的情况下，这种情况尤其严重，因为下行风险度量丢弃了除高分位数以外的大部分观察数据。Danielsson和Zhou[11]最近对该问题的风险度量方面进行了全面的处理。我们的目的是研究互补问题：投资组合选择。如果我们知道收益的真实概率分布，那么确定投资组合的最佳组合（最佳投资组合权重）并计算预期缺口的真实值就很简单了。然而，回报的真实分布是未知的。在实践中，我们可能只有一个有限的样本，最佳权重和E必须根据这些信息进行估计。由此产生的权重和ES将偏离其“真实”值（将在一个非常大的固定样本中获得），且偏差预计将越大，样本长度T越短，投资组合的维度N越大。此外，在不同的样本中，我们将获得不同的估计：样本上存在ES和最佳权重的分布。如何应对这种相对稀缺的数据所带来的估计误差？在实际操作中，如果一个人真的必须面对一个规模有限的样本，可以使用交叉验证或引导[12]。

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2022-5-15 23:29:19

在目前的理论工作中，我们选择了另一种模拟历史估计的方法：我们不考虑未知的基本过程，而是考虑一种简单、易于管理的过程，例如多元高斯过程，在这种过程中，真实的ES很容易获得，从而为比较奠定坚实的基础。然后，我们计算大量长度为T的随机样本的ES，这些样本的ES平均值，最后将该平均值与其真实值进行比较。这个练习将让我们了解在给定的维数N和样本量T之前，估计误差会有多大，我们可以预期，在具有非平稳厚尾现实生活过程的ES下，对投资组合的优化将比高斯过程更严重的估计误差。换句话说，我们期望平稳高斯基础过程的估计误差比实际过程的估计误差低。这个程序当然可以通过数值模拟来实现。然而，获得ES优化的分析结果是非常重要的，我们不知道有任何使用概率论或统计学标准方法的分析方法可以应用于该问题。然而，借鉴随机系统理论的方法，特别是复制方法[13]，在高斯过程的特殊情况下提供了必要的工具，这些是我们将在这里应用的方法。为了简单起见，我们还将假设收益率是独立的、同分布的正态变量，尽管独立性和同分布的假设可以放宽，计算仍然可以进行，而不必从根本上改变结论。

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2022-5-15 23:29:22

我们将在本文后面简要讨论正态变量具有任意（但可逆）协方差矩阵的情况。高斯假设更为严重：如果我们放弃它，我们就不再能够进行分析计算。然而，数值模拟仍然是可行的，我们将对独立学生分布回报的情况进行模拟（ν=3自由度，渐近下降，如x-4），以了解该分布的厚尾特征在估计误差中造成的差异。（我们还将考虑一个学生分布，其中ν=10，以显示数值结果如何接近高斯情况。）正如预期的那样，尾部的大波动会导致估计值的恶化。这支持了我们的猜测，即在正态分布回报情况下发现的估计误差是其他更现实分布估计误差的下界，因此，本练习提供了总体上的portfoliooptimization信息。我们将要应用的分析技术使我们能够计算出E的相对误差和在随机高斯样本上平均的最优投资组合权重的分布，但不能提供关于这些数量在样本之间的影响程度的信息（至少不是没有大量额外影响）。在大型投资组合规模有限的情况下，估计的预期缺口及其误差的分布可能会变得尖锐，ES和估计误差与样本无关。为了获得关于这些估计在样本上分布的信息，我们将再次求助于数值模拟。

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2022-5-15 23:29:24

我们发现，对于几百个范围内的N，估计的ES在样本上的分布已经变得相当尖锐，因此样本平均值可以让我们很好地了解估计误差。然而，在一些特殊的临界点附近，在统计物理的相关模型中，这种“自平均”的严格数学证明的平均估计误差[14,15]可能会超出任何界限，并且其影响也会发生分歧。正如我们已经提到的，在任何风险度量下，缺乏有效信息会导致最优权重和总体投资组合风险的估计出现较大误差。在以方差作为风险度量的情况下，众所周知，如果我们希望获得良好的风险估计，样本量T必须远远大于投资组合的维数N。对于N和T都较大的情况，这些参数的相关组合变成纵横比r=N/T。N/T 1、我们将有一个良好的质量评估。在接近一个临界值时（对于方差优化而言，该临界值为N/T=1），样本到样本的波动变得越来越大，直到N/T=1时，平均相关估计误差变得非常大[16,17]。此时协方差矩阵不再是正定义，优化任务变得毫无意义。我们可以将N/T=1视为发生相变的临界点。其他风险指标也出现了类似的临界现象。在ES的情况下，除了长宽比N/T之外，我们还有另一个控制参数，即置信限α。在0和1之间，每个α都有不同的临界值N/T，因此我们在α–N/T平面上有一个临界线。这条临界线将可以进行优化的区域与不可行的区域分开。

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kedemingshi

2022-5-15 23:29:27

我们将这条线作为相界。在i.i.d.正常潜在收益的特殊情况下，ES的阶段基准在[18]中通过数值模拟部分追踪，并在[19]中通过分析方法确定。图1.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αR图1：i.i.d.正常基础收益的ES阶段边界。在相位基准以下的区域，ES的优化是可行的，估计误差是确定的。从下方接近相位基准，估计误差会发散，线上优化不再可行。方差优化中的相变有一个简单的线性代数起源：对于小于N的T，协方差矩阵的秩变得小于其维数。因此，这种转变总是尖锐的：只要T大于N，我们总是会找到一个最优投资组合（尽管在临界点附近，它可能与“真正的”最优投资组合相去甚远），而对于T≤ N没有解决办法。ofES的不稳定性稍微复杂一点：它来自两个来源。一个是通常缺乏有效数据，另一个是与以下事实有关，即ES作为一种风险度量是无限的。如果在给定的样本中，其中一项资产（或资产组合）恰好支配其他资产（即在样本中的每个时间点产生比其他任何资产更大的回报），那么在最小化ES的指导下，投资者将被诱导在支配资产中占据非常大的长期头寸，并相应地在支配资产中做空，从而产生任意大的负能量，相当于任意大的增益。当然，优势关系可能完全是由于随机波动，在下一个样本中可能消失，甚至逆转。

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2022-5-15 23:29:30

对这种套利幻象进行了详细分析，并在[20,21]中显示为下行风险度量的一般属性。正是这一机制解释了相界的矛盾行为，即在图1中，当我们从右向左移动时，相界向下倾斜。随着我们降低置信水平，也就是当我们保留越来越多的数据时，ES的不稳定性发生在越来越低的N/T值上。事实上，如果我们不仅包括远尾分布，还包括大部分分布，ES取负值的概率会增加，直到α=0时，它变得确定，并且相边界达到水平轴。早期的研究[19–23]主要关注ES的不稳定性、相变附近估计误差的行为，以及通过正则化控制不稳定性的可能性。在这里，我们将沿着估计误差占据有限固定值的线进行构造，即，我们给出了ES估计误差的等高线图。我们还将为一个我们称之为敏感度的数量构造一组相关的等高线，该数量测量估计的ES对收益率微小变化的敏感度，以及另一个建议作为VaR代理的数量[24]。我们的一些结果将以一系列图表的形式呈现，这些图表可以被解读为估计误差图。为了便于定量理解这些结果，我们还将以表格形式呈现数值结果。这些表格允许oneto确定在给定投资组合规模和给定置信水平下，保持在规定的估计误差值以下所需的最小数据量。[19,20,22,23,25]中描述了我们分析结果背后的方法，但有微小变化；然而，为了完整起见，我们将在附录a中给出一个简短的总结。

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2022-5-15 23:29:33

重要的一点是要注意，对统计样本进行平均的任务类似于随机系统理论中的“猝灭平均”。因此，人们可以借用这一理论的工具，尤其是复制方法[13]。复制方法非常强大，能够提供迄今为止通过任何其他分析方法都无法获得的结果。为了将我们的工作与投资组合选择中估计误差问题的扩展文献相比较，我们注意到，这些文献中的大多数是基于有限（经验或合成）样本的分析，结合各种降噪方法，从贝叶斯[26–28]，到收缩[29–32]，套索[33]，随机矩阵[34–37]，以及许多其他技术。用概率论和统计学的标准工具来处理这个问题的纯理论论文集要小得多，并且与均值-方差优化中的估计误差有关[38–40]。关于港口组合优化领域的最新综述见[41]。关于方差以外的风险度量的估计误差问题的分析结果，除了在当前背景下应用重复性的少数文献[19,20,22,23,25]之外，并不存在。然而，应该注意的是，复制法有一个缺点，即在推导的某一点上，必须解析地将公式从一组自然数延续到实数，这种延续的唯一性很难证明。在统计物理中的许多类似问题中，即使在非凸成本函数更复杂的情况下，也可以构造严格的证明[42]。

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2022-5-15 23:29:36

虽然我们无法在这里提供如此严格的证明，但很难想象当成本函数是凸函数且只有一个最小值时，该方法会导致误入歧途。尽管如此，由于缺乏严格的数学证明，我们不得不总是通过数值模拟来检查复制品的结果，并且总是发现完全一致。本研究得出的主要结论是，除非纵横比/T非常小，否则估计最优投资组合的组成及其结果ES的误差都非常大。从质量上来说，这是一个必然的结论。其新颖之处在于一系列定量结果，准确地显示了样本量应该有多大，以实现合理的低水平估计误差，以及这些样本量超过了行业中实际希望获得的任何东西的多少。结果还表明，包含更多数据（设置较低的置信水平）也无济于事：相对误差在可接受范围内（比如5%）的轮廓线相当模糊。所有这一切意味着，对于典型的参数值N，T，估计误差太大，以至于使portfoliooptimization变得虚幻。到目前为止，我们所说的一切都与历史估计有关。人们可能认为参数估计对估计误差的影响较小。事实的确如此——尽管差别并没有人们所希望的那么大。在[20]中，我们通过复制技术再次推导了参数VaR和ES的相位边界，发现参数ES的临界线高于历史估计值，因此它朝着好的方向移动。本文推广了这些结果，构造了参数估计的计数线，它是一个给定的有限常数。

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2022-5-15 23:29:38

我们发现，参数估计比历史估计要求更低，这是很自然的，因为通过选择目标分布，我们将大量信息投射到估计中。然而，即使是参数估计，其增益也远远不足以使实际投资组合和样本量产生可接受的低估计误差——尽管我们将高斯分布用于高斯分布生成的有限样本。在现实生活中，人们应该对经验数据进行厚尾分布，这项任务与估计高分位数或高于它的条件平均数一样充满不确定性。最后，谈谈正规化。处理高维统计的标准方法是使用正则化[43]，在给定的上下文中，这意味着对投资组合权重的大幅度偏移施加近似，从而降低估计误差。我们在[22,23,44]中研究了正则化对ES估计的影响。在这里，我们没有考虑可能的正则化器的影响，因为我们的主要目的是展示原始估计误差问题有多严重。我们计划在未来的出版物中回到各种正则化子的研究，我们希望在比这里考虑的i.i.d.高斯更丰富的数据生成过程中评估偏差估计误差权衡。本文的计划如下：第二节。2我们列出了优化ES的任务，并回顾了[24]是如何将这个问题简化为线性规划的。以秒计。3.我们确定了表征估计误差的各种数量：ES的样本内和样本外估计、相对估计误差、投资组合权重估计分布的样本平均值，以及敏感性。这些是我们用复制品法计算的数量。

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2022-5-15 23:29:41

对复制法的解释被归入附录A，在附录A中，最小值将给出优化问题答案的生成函数被导出为六个变量的函数，即所谓的参数。决定订单参数的一阶条件以秒为单位写入。4，其中前一节中定义的各种估计误差度量也用副本语言确定。Firstorder条件解决方案的主要特点在第。5.解本身主要通过数值计算获得，在一些特殊情况下，人们可以通过分析计算深入了解方程的结构，其中一些细节见附录B。历史估计的主要结果见第。6主要以图形形式，但也以表格形式。第7节讨论了参数估计问题，并与历史估计进行了比较。本文的大部分内容是处理估计误差问题的最简单可能实现：i.i.d.正常的基本过程，估计全球最小投资组合（忽略预期收益的约束），等等。8我们依次考虑这些简化，并研究它们是否能够修改本文的主要信息。相关的、非同分布但仍为高斯分布的潜在波动，以及对预期回报的约束，都可以很容易地适应。数值模拟仍然是唯一的工具是厚尾分布问题，以及平均估计误差的误差条。这些模拟在原则上不构成问题，但计算量非常大，所以我们只给出几个示例。

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2022-5-15 23:29:44

所有这些可能的扩展研究的结论是，它们可以在最简单的设置中修改结果的一些细节，但不会以任何有意义的方式改变论文的主要信息。最后，在Sec。我们总结了最重要的结果，并指出了当前工作可以继续下去的方向。2 Est的优化我们在这里考虑的简单投资组合是N种证券的线性组合，收益率xi，i=1，2。。。，N和权重wi:X=NXi=1wixi（1）将对权重进行归一化，使其总和为N，而不是通常的1。选择这种标准化的动机是，我们希望在N的极限范围内有顺序统一的权重，而不是1/N→ ∞:NXi=1wi=N.（2）除此预算约束外，权重不受任何其他条件的约束。特别是，他们可以接受任何实际价值，也就是说，我们允许无限的空头头寸。诚然，这是相当不现实的：根据机构投资者的类型，法律和/或流动性约束可能会限制甚至排除空头头寸。然而，当它们存在时，即使受到限制，它们也会极大地促进ES的不稳定性。对空头头寸的禁令将起到严格的监管作用，并将消除不稳定性[23]，至少在涉及到空头规模的方面是如此。（即使在正则化之后，最优权重中的大波动也可能保持不变。）关于各种正则化子的影响的详细讨论将留给单独的出版物，这里我们关注最简单的、未正则化的情况，并希望显示由问题的内在不稳定性引起的估计误差。我们也没有对投资组合的预期回报施加通常的限制，因此我们正在寻找全球最低风险投资组合。

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大多数88

2022-5-15 23:29:47

这种设置的动机是简单。对预期回报施加限制不会带来任何严重困难，也不会严重改变我们的结论（只会使其更加有力）。我们将在本文后面对该扩展进行简要评论。损失的概率`（{wi}，{xi}）=-X小于阈值`is:P（{wi}，`）=Z∏idxip（{xi}）θ(`- `（{wi}，{xi}））其中p（{xi}）是收益的概率密度，θ（x）是Heaviside函数：θ（x）=1表示x>0，否则为零。然后，置信水平α的VaR定义为：VaRα（{wi}）=min{`:P（{wi}，`）≥ α}. （3）预期差额是VaR分位数以外的平均损失：ES（{wi}）=1- αZ∏idxip（{xi}）`（{wi}，{xi}）θ（`（{wi}，{xi}）- VaRα（{wi}））。（4）投资组合优化旨在找到使上述最小值受预算约束的最佳权重（2）。

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2022-5-15 23:29:51

相反，Rockafellar和Uryasev[24]提出将相关函数fα（{wi}）最小化，) = +1.- αZ∏idxip（{xi}）[`（{wi}，{xi}）- ]+（5）超过变量权重wi:ES（{wi}）=minFα（{wi}），), （6）其中[x]+=（x+|x |）/2。收益率的概率分布未知，因此只能对该分布进行采样，并用离散观测值的时间平均值替换（4）中的积分。Rockafellar和Uryasev[24]表明，所得目标函数的优化可以简化为以下线性规划任务：最小化成本函数(, {ut}）=（1- α） T +TXt=约束下的1ut（7）≥ 0 t、 ut+ +NXi=1xitwi≥ 0 t、（8）和xiwi=N。最后，我们必须记住，在定义成本函数时，已经吸收了一个乘法因子，因此成本函数与ES-byES=E（1）相关- α） T，（9）在这个阶段，我们还没有致力于任何特定的概率分布，因此可以认为这些回报来自给定的模型分布函数，或在市场中观察到的。这里列出的线性规划任务将作为我们的“实验”实验室：从任意分布中提取收益，我们总是可以通过数值模拟来确定最佳值。在分布为高斯分布的特殊情况下，我们也可以用解析方法来解决这个问题。3估计误差让我们首先考虑最简单的投资组合优化任务：假设在时间t，i=1，2。。。Nt=1，2。。。T是i.i.d.标准正态变量，它们的数量N是固定的，但观察值的数量T是固定的，因此我们观察的是“真实”的数据生成过程。投资组合时间t的值为：Xt=Xiw（0）ixit，（10），其中投资组合权重，表示为w（0）i，如前所述，标准化为N，等式。

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2022-5-15 23:29:54

(2).如果我们为一个非常大的ofi样本在权重上优化凸函数ES。i、 d.返回xit，最佳权重将全部等于1，通过对称性：w（0）i=1 i、（11）投资组合在一定时间内的平均回报率为零：hXti=TxIw（0）ixit→ 0，T→ ∞ （12）（我们用h…i表示给定样本的时间平均值）。那么投资组合的真实方差将是σ（0）p=hXti=Xijw（0）iw（0）jTXtxitxjt=Xijw（0）iδijw（0）j=Xiw（0）i=N，（13），其中我们利用了协方差的长时间平均值为：limT→∞作为高斯随机变量的线性组合，投资组合XT也是高斯随机变量。对于自变量，概率分布是因式分解的，因此它的预期短缺可以很容易地计算出来：ES（0）α=expn-Φ-1(α)o（1）- α)√2πσ（0）p，（15）式中Φ-1是累积标准正态分布Φ（x）的倒数=√2πZx-∞E-y/2dy（16）式（15）是ES的真实值，该值将被分配给NI.i.d.标准正常回报的一个固定长流程。现在，让我们假设我们不知道真实的数据生成过程，也没有足够多的观察结果来重建它并推断ES的真实价值。相反，我们有长度为T的有限样本：{xit}，i=1，2，Nt=1，2，T、最终样本平均收益Hxti=TXitwixit（17）将取决于样本。如果我们将ES优化为一个单位样本上变量的函数，则最优权重不会全部相等，它们将围绕其真实值1显示特定分布。在不同的样本中，这种分布将是不同的。让我们用一个overbar来表示样本的平均值。然后返回hXti的样本平均值将为behXti=XiTXtwixit≡希维希蒂。

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2022-5-15 23:29:58

（18）在这里，最优权重和收益都取决于样本，因此它们并不相互独立。然而，通过对称性，平均TpTwixit将独立于i，sohXti=Nhwxi。（19）给定样本下投资组合收益的方差- hXti=XijwiwjTXtxitxjt-txtxitxjt！（20）也是一个随机变量。其样本平均值为σp，in=hXti- hXti≡XijwiwjCij，（21），其中Cijis是给定样本中收益的协方差矩阵。（20）中的权重应该是在agiven样本中的凸风险度量ES下优化的权重，而Cijis是该样本中估计的协方差矩阵。因此（20）给出了投资组合方差的样本内估计值，以及样本内标准差σp乘以expn-Φ-1(α)o/（1）- α)√2π给出了ES的样本内估计，而（21）给出了Portfolio方差的样本内估计的样本平均值。然而，在样本中，估计可能会产生严重的误导，尤其是在样本间波动较大的临界点附近。估计误差的相关度量是方差的样本外估计，其中权重仍然是样本内优化的权重，但协方差矩阵是过程的真实协方差矩阵。因此，投资组合的样本外方差为：σp，out=Xijwiwjδij=Xiwi=Nw。（22）该数量与权重分布的方差直接相关。如上所述，有限尺寸样本中的重量估计值与真实值1不同。

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大多数88

2022-5-15 23:30:02

样本上加权分布的平均方差为：σw=NXiwi- （wi）=NXihwii- 1（23）尽管给定样本中的单个权重可能严重偏离其真实值1，但其样本平均值仍然为1。从（22）和（23）中，我们得到了投资组合的样本外方差和权重方差之间的关系：σp，out=N（σw+1）。（24）样本上平均ES的样本外估计的相应公式为：ESout=expn-Φ-1(α)o（1）- α)√2π（Nw）1/2。（25）估计误差的自然度量是估计的ES（25）与其在（15）中给出的真实值的比率：ESoutES（0）=（w）1/2=（σw+1）1/2。（26）这个比率总是大于一。减去1，我们得到了ES:ESoutES（0）的相对估计误差- 1=（σw+1）1/2- 1.（27）如果样本量T相对于不同资产的数量N非常大，即长宽比r=N/T很小时，我们预计权重不会有大的波动，因此σ和估计误差（0）将很小。在相反的情况下，当样本大小不够大时（从图1中的相图中我们知道，对于较小的置信水平，这可能已经发生在较小的r中），权重中会出现剧烈的波动，非常大的空头头寸会被非常大的长头头寸补偿。因此，ESM中权重分布的方差以及相对估计误差将非常大，最终在相位边界处发散。Sz向我们中的一位（I.K.）建议了权重分布在描述估计误差方面的重要性。几年前的Pafka（私人通信）。这是一个有趣的问题，估计误差对回报的微小变化有多敏感。

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2022-5-15 23:30:05

我们将考虑这种最简单的变化：所有回报都以一个小的数量均匀转移：xit→ xit+ξ。这将导致估计的最佳权重发生变化。我们希望通过（26）中表达式ξ的导数（取ξ=0）来表征估计误差的灵敏度。我们称这个量为敏感性，并用χ：χ表示=ξ埃苏特斯（0）ξ=0=ξwi1/2ξ=0（28）下一节将介绍的分析处理将提供权重分布、样本内和样本外预期短缺估计值，以及在大N和T极限下的敏感性，其比率r=N/T固定。此外，我们还将获得[24]中建议作为估计VaR代理的数量的结果，这实际上是在ES下优化的投资组合的VaR。4.在前面提到的一阶条件下，可以通过从随机系统的统计物理中接管的方法，在大N和T的限制下，找到优化问题（7）的解析解。该方法已在[19,20,22,23,25]中进行了解释，但为了完整起见，我们将推导的要点包括在附录A中。该方法的实质是：将代价函数视为一个实际统计物理系统的哈密顿量（能量函数），引入一个实际温度，并在极限N，T中计算该系统的自由能（对数母函数）→ ∞ N/T=固定值。当实际温度为零时，原始优化问题恢复到极限。对不同回报样本的平均值对应于统计物理学中所谓的猝灭平均。

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2022-5-15 23:30:09

我们从公式（A.15）开始讨论，其中成本函数已在样本上平均，并表示为大大减少的变量数（从（7）中的N+T+1到6）的函数，即所谓的序参数，如下所示：F（λ，, Q, ^q，^) = λ + τ(1 - α) - ^q-^q（29）+hminw[V（w，z）]iz+τ√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!,式中v（w，z）=^W- λw- zwp-2^q.（30）和g（x）=0，x≥ 0x，-1.≤ 十、≤ 0-2x- 1，x<-1.（31）In（29）h·z代表标准正态变量z的平均值。自由能的值，即每项资产的最小成本，最终是两个控制参数的函数，纵横比r=N/T和置信限α。为了找到该函数，必须确定上述表达式在六阶参数λ空间中的最小值，, Q, ^qand^, 找到这些值作为控制参数的函数，并将其替换回（29）。下面我们将看到，在六个阶参数中，有三个可以很容易地消除，因此我们为剩下的三个阶参数建立三个方程，这与[19]中的设置一致，其中复制方法首次应用于投资组合优化环境。因此，我们目前的方法，以及（29）中的六阶参数和嵌套优化结构，似乎是在走不必要的弯路。事实并非如此：目前的方案允许我们一路推导出，除了最优成本外，还可以推导出估计最优投资组合权重的样本平均分布和敏感性，即权重对收益分布变化的敏感性的度量。现在让我们从（29）中的内部优化问题的解决方案开始。它源于对原始问题中权重的优化，高斯随机变量z对样本中随机性的影响进行编码。

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2022-5-15 23:30:12

这个问题的解决方案是w*（z）我们在[23]中称之为“代表性”重量：*（z） =z√-2^q+λ^（32）w的样本平均值*（z）然后呢*iz=λ^（33）其平方的平均值为*iz=λ- 2^q^（34）投资组合权重的概率密度p（w）=hδ（w）- W*（z） iz（δ是dirac分布）是以hw为中心的高斯分布*方差为σw=hw的Iz*伊兹- hw*iz=-^q^（35）现在我们详细说明了决定订单参数的一阶条件：1=hw*iz（36）（1）- α) +√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!= 0 (37)^ -2r√2πqZ∞-∞dse-ssg+ sr2q!= 0 (38)- ^q- 2^Q+2r√πZ∞-∞dse-sg+ sr2q!+(1 - α） r= 0 (39) =√-2^qhw*ziz（40）q=Dw*简单（41）其中第一个来源于预算约束，并表示在随机样本上平均的估计最优权重的期望值仅为1。这是一个不寻常的结果：随机样本中的权重分布可能与其真实分布（均等于1）非常不同，但平均而言，它们仍然会影响其真实值。另一方面，从内部优化问题我们发现（33），所以我们有λ=2^. （42）将（32）乘以z，并对随机变量z进行平均，我们发现hw*子=√-2^q/2^. 把这个表达式代入方程（40），我们得到 =^. （43）最后，根据最后一个一阶条件，平均平方权（34）等于q，因此我们得到q=λ- 2^q^= 1.-^q^, （44）这直接将qt与权重分布的方差联系起来：q=1+σw。（45）因此，我们使用了三个一阶条件来表示λ，^ 和^qthrough顺序参数, q，这使我们能够消除前一组变量，而有利于后者。我们很快就会看到保留的变量, 而qall有着直接的意义。

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2022-5-15 23:30:15

我们还发现了阶数参数和权重分布方差之间的有用关系，这告诉我们，相位边界应定义为qor，等效地，分歧（或^）消失），因为这是一条线，沿着这条线，重量的变化趋于一致，对应于重量剧烈变化的情况，占据了大量的正值和负值。成本函数本身现在可以通过在最优HV下评估潜在的V来找到*iz=-^Dw*E=-^q、这与（30）、（42）-（44）一起产生了非常简单的结果F=1/. 记住，F是每项资产的成本，因此成本本身就是E=NF，并且成本函数必须除以（1）-α） T为了得到预期的空头，我们有：ES=fr/（1）- α） =r（1）- α). （46）由于我们一直在优化所有变量以获得该表达式，这在预期短缺的样本估计范围内。为了找到样本外估计，我们必须回顾（26），其中样本外估计通过估计的投资组合权重的方差表示。使用后者的结果（45），我们发现：ESoutES（0）=phwi=p1+σw=√q（47）这个关系给出了变量q的含义：√Q-1是ES样本外估计的相对估计误差。为了找到, 我们考虑了回报率的一个小变化，如前一部分：退出→ xit+ξ。很容易看出，对于这样一个修改过的设置，成本函数的整个推导过程与之前一样，只有λ的变化，我们才会将λ移动ξ作为λ→ λ + ξ.

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2022-5-15 23:30:20

相应地，最佳重量的样本平均值将为：hw*iz=λ+ξ^= (λ + ξ)以及它对小扰动ξ的响应：hw*伊兹ξξ=0= （48）平均重量平方ishw的情况相同*iz=（λ+ξ）- 2^q^回应如下：hw*伊兹ξξ=0=λ^=^= 2. . （49）最后，（28）中引入的易感性计算为χ=ξ埃苏特斯（0）ξ=0=ξ√q=√q、（50）因此，衡量权重对收益率微小变动的敏感性，以及比率/√一阶条件下出现的QT是估计误差的相对误差的灵敏度。三阶参数是. 该变量被认为是byRockafellar和Uryasev[24]VaR的代表。实际上，从线性规划任务的设置来看，很明显实际上等于VaR——在ES下优化的投资组合的VaR。（我们通过数值模拟在多个纵横比和置信水平α下检查了这种识别。）我们在这里有点离题，以便与早期的工作建立联系。如前所述，在投资组合优化背景下应用复制方法的第一篇论文[19]使用了三参数优化。这篇论文和当前论文之间的对应关系如下：名为qin[19]的顺序参数是q/在这里变量v是/ 在这里变量t是r的倒数，通过这个替换，这里的成本函数与这里的相同。[19]中比例变量的使用得到了很好的证明，因为在相位边界附近，所有三阶参数都会发散，而保持不变的是比例变量。我们目前的兴趣更广泛：我们想从整体上解决这个问题- r平面，而在相界附近方便的缩放在其他地方可能不是很有用。例如，如果r为零（即。

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2022-5-15 23:30:23

样本量T远大于维度N）权重的分布将是尖锐的，因此q1将变为1，而将会消失。至于它将采用简单形式Φ-1（α）对应于高斯回归样本的VaR。了解了三阶参数q的财务意义，和, 我们现在必须转向其余三个一阶条件的解，以获得作为r和α函数的序参数。第一项任务是通过上述关系消除变量。接下来我们要去掉方程中的积分。这可以通过部分重复集成来实现。由此产生的方程组更适合于数值解，在某些特殊情况下，更适合于解析解。它们如下：r=Φ + √Q- Φ√Q(51)α =√QΨ + √Q- Ψ√Q(52)2+αr+Q+2r=rqW + √Q- W√Q. 其中Φ（x）=√2πZx-∞dt e-t/2（54）ψ（x）=xΦ（x）+√2πe-x/2（55）W（x）=x+1Φ（x）+x√2πe-x/2。（56）这些函数彼此密切相关：ψ（x）=Φ（x），W（x）=ψ（x）。（57）当改变参数的符号时，它们也表现出简单的对称性：Φ（x）=1- Φ(-x） ψ（x）=x+ψ(-x）（58）W（x）=x+1- W(-x）。请注意，对于由未知数形成的两个比率，两个方程（51）和（52）是闭合的，因此可以独立于第三个方程求解它们。第三个方程式（53）将决定另外，还有另外两个未知数。5一阶条件的解方程组（51）-（53）是非平凡的，解沿着相位基准变得奇异，而且，在两个端点r=α=0和r=1/2，α=1，解具有本质奇异性，极限取决于我们接近这些点的方向，而解沿着α=1线都是非解析的。

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2022-5-15 23:30:26

然而，通过分析计算，可以沿着一些特殊的线获得第一个方向。最明显的情况是水平轴上的间隔0<α<1。这与r=N/T相对应→ 0，也就是说，在这种情况下，我们有比投资组合的维度多得多的观察结果。在这里，权重的分布必须是尖锐的（所有权重都等于1），因此该分布的方差必须为零，这意味着 = 0和Q=1。同时必须是i.i.d.正常投资组合的VaR，即Φ-1(α).很容易看出，这个三元组确实是沿水平轴的一阶条件的解。注意在α=1/2时为零，相应为正。右边是否定的。这一点的左边。此外两端分叉，走向-∞ 及+∞ 分别在α=0和α=1时。假设r很小，可以进行扩展；这适用于除两个端点以外的所有α。另一种分析上可处理的情况是垂直间隔α=1，0<r<1/2。你可以证明这一点和qare fine，而这里有分歧。对这种情况的兴趣源于这样一个事实，即α=1对应于[45]中引入的极小极大风险度量，这是最严重损失的最佳组合。同样，除了在两个端点r=0，α=1和r=1/2，α=1之外，可以在该垂直线附近进行扩展。另外两条可以进行分析的特殊线是α=1/2的垂直线和 = 0，后者从α=1/2，r=0到α=1，r=1/2。最重要的特殊线是图1所示的相位边界。这三个orderparameters在这条线上都有所不同，但它们的比率保持不变。这条线在[19]中进行了分析性推导，其中还探讨了散度的性质和临界线附近的标度。

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2022-5-15 23:30:29

这种差异的根源已在[20,21]中确定为有限样本中统计波动产生的表观现象。一阶条件的复杂性并不是我们在这里的主要关注点，因此进一步的细节可归入附录B。本节的其余部分将专门介绍一阶条件的数值解。结果将以几个等高线图的形式显示，即顺序参数恒定的几组线。这些等高线图应被解读为景观地图，线条上的参数是图中绘制的函数的固定值。正如我们已经注意到的，方程组（51-53）的结构是前两个决定比率√坎德√q、这些比率的解决方案如图所示。2和3。当我们穿过相边界时，这些比率保持不变，因此它们可以在可行区域之外继续（如图2、3中的阴影区域所示）。这个√qcontour线显示的对称性可以追溯到（58）中给出的函数Φ和ψ的对称性。这些线都趋向于点r=0，α=1，下降得越来越陡，我们在这些线上的参数值越高。假设我们在接近1的某个α处竖立一条垂直线，例如，在监管机构青睐的置信水平α=0.975处。如果我们现在选择一个很小的r，点r，α将落在一条曲线上，对应于√q、该比率被确定为易感性，即预期收益对微小变化的敏感性。敏感度的一个小值意味着我们的估计值相对于观察到的价格变化是相当稳定的。

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kedemingshi

2022-5-15 23:30:32

随着我们沿着α=α线向上移动，也就是说，当我们考虑越来越大的r（时间序列越来越短）时，敏感性增长非常快：如果我们没有足够的数据，我们的估计将对价格变化极其敏感。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr0。10.250.50.7511.523510固定δ曲线图2：比率等值线图√q=δ测量ES相对估计误差对收益率微小变化的敏感性。δ的值是曲线上的参数；δ沿这些线是常数。随着δ的增加，曲线以单位平方为单位。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0αr-10-3.-2.-1.5-1.-0.75-0.5-0.2500.250.50.7511.52固定ζ等高线图3：比率等高线图√q=ζ。ζ扫过这个范围(-∞ , +∞) 单位正方形中的恒定ζ线。值得注意的是，在α=1时，对任何有限的r来说，敏感性都非常大：极小极大问题对回报的任何变化都非常敏感。这似乎是有道理的：如果我们只考虑最坏的结果，我们估计的风险指标甚至会因微小的价格变化而改变。现在让我们来看图3。它显示了√q、如图所示，与正相关的曲线’s全部弯曲并击中可行区域内的α=1线，而曲线穿过相界，到达r=1/2和r=1临界点之间的α=1线，该临界点位于不可行区域。这两个图都有一个显著的特征。2和3。如果我们允许这个比例√如果要从零一直到单位，生成的等高线将填充整个单位正方形。同样地√Q从负到正，轮廓线将再次填充单位平方，但这两组曲线都不会超过r=1。

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2022-5-15 23:30:36

我们必须记住，我们正在考虑这样一种情况，即N和T都以固定比率r为单位，并且相边界是在这个特定的极限下推导出来的。然而，在极大极小问题（α=1）的特殊情况下，优化的可行性或其他方面也可以由有限N和T决定。对于有限N和T，没有明显的相边界（有限系统中没有相变），相反，可以进行优化的概率很高，但对于N/T<1/2小于1，很小，但对于1/2<N/T<1，不为零，对于N/T>1，相同为零[18]。如果N和T的比值r=N/T不变，则r<1/2的高概率变为1，1/2<r的小概率变为零，因此临界点固定在r=1/2。学生的行为√坎德√qcurves表明，对于有限N和T，对于0和1之间的任何α，都会出现类似的情况：我们推测，如果能够将[18]中的组合结果从α=1推广到一个通用置信水平，那么将在该区域找到一个高概率的解，最终成为N，T的可行区域→ ∞ , 在相界以上的概率很小，在r=1以上的概率为零。现在让我们包括第三个等式（53），它决定根据我们上面讨论的控制参数和两个比率，从而允许对所有三阶参数分别进行完全求解。图4显示了.这些线或多或少地沿着相位边界，直到在某一点上弯曲，并朝着r=0，α=1的点落下。越来越高的价值观这些等值线在弯曲之前越来越靠近相边界，之后在α=1时，它们与垂直线的距离越来越近。

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