原对偶投资组合优化问题的随机矩阵方法

2022-6-1 08:34:17

因此，马科维茨制定了投资组合优化问题，以对基于多元化投资的风险管理进行全面分析。1）在他的开创性工作之后，运筹学中报告了许多数学模型和分析方法。2，3）最近，投资组合优化问题的最优投资组合的性质得到了积极的探索*通讯作者，shinzato@eng.tamagawa.ac.jp1/24J。物理。Soc。日本。全文使用涉及经济物理学和统计力学信息学的跨学科研究领域开发的分析方法。例如，Laloux等人基于1991-1996年间1309天的每日标准化收益率，研究了标准普尔500指数中406项资产的经验相关矩阵的统计结构，并提出了一种通过比较经验相关矩阵的特征值分布与随机矩阵的特征值分布，从经验相关矩阵中删减噪声的技术。（4，5）Plerou等人分析了特征值间距分布，以研究经验相关矩阵是否具有随机矩阵理论预测的普遍统计特性。为此，他们使用了美国上市公司1994-1995年2年期间的股价数据。6）Pafka等人通过比较根据实际数据计算的经验相关回报矩阵的特征值分布与Marˇcenko-Pastur分布，定量评估了资产之间的相关性。7） Ciliberti等人。

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2022-6-1 08:34:20

将副本分析方法应用于平均绝对偏差模型和预期短缺模型，并分析了数据周期数相对于资产数较大时发生的相变。8） Shinzato利用大偏差原理证明了最小投资风险及其投资集中度满足自平均性质，他将使用replicaanalysis得出的每项资产的最小投资风险与使用OperationsResearch得出的每项资产的最小预期投资风险进行了比较，并得出结论，能够将预期投资风险降至最低的投资组合并不一定会将投资风险降至最低。9）此外，Shinzato还利用复制分析方法分析了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化问题以及对偶问题，以阐明它们的原始对偶结构。10，11）Varga Haszonits等人通过复制分析，在预算和预期回报的约束下，检验了样本方差定义的风险函数的最小化，并分析了复制对称解的稳定性。12） Shinzato使用复制分析检验了能够最小化卖空投资风险的最优投资组合，并揭示了该投资系统的阶段转换。13） Kondor等人还通过复制分析，分析了在资产回报率差异不一致的情况下，在预算和卖空约束下的投资风险最小化，并证实这种无序系统涉及阶段转换。14）尽管Ciliberti等人、Kondor等人和Shinzato等人都使用副本anal2/24J研究了投资组合优化问题最优解的性质。物理。Soc。日本。

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2022-6-1 08:34:23

众所周知，在副本分析中使用的几种方法的有效性，例如副本数的分析延拓，在理论上没有得到保证。15、16）因此，我们需要用另一种数学上有保证的方法（如随机矩阵法）来验证从m个副本分析中获得的结果。此外，如上所述，随机矩阵理论在投资组合优化问题中的应用主要基于收益率相关矩阵的评估，而其在最优投资组合的投资风险和投资集中度方面的应用尚未得到充分的检验。在本文中，我们使用随机矩阵方法重新评估了预算和投资集中度约束下的每资产最小/最大投资风险，以及预算和投资风险约束下的最大/最小投资集中度。此外，我们还考虑了当资产数量足够大但有限（而非热力学极限）时，它是否可以用于评估每项资产的最小/最大投资风险和由渐近特征值分布得出的投资集中度。本文的组织结构如下：在下一节中，我们提出了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化/最大化（原始问题）和对应问题，以及预算和投资风险约束下的投资集中度最大化/最小化（对偶问题）。以秒为单位。三、我们用拉格朗日乘子法和随机矩阵法分析了这两个问题。以秒为单位。四、对投资组合优化问题进行了数值实验，验证了复制法和随机矩阵法的有效性。最后，以秒为单位。

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mingdashike22

2022-6-1 08:34:26

五、我们致力于我们的结论和未来的工作。2、模型设置本研究将基于均值-方差模型的最优多元化投资视为在不受卖空监管的稳定投资市场中，N项资产超过10项的首要问题和对偶问题。资产i（=1，2，···，N）的头寸表示为wi，N资产的组合表示为w=（w，w，…，wN）T∈ RN，其中符号T表示转置运算符。请注意，由于卖空没有限制，所以可以使用任何实数。此外，“xiu”显示了资产i在周期u（=1，2，···，p）的回报率，其中回报率与平均值E[“xiu”）和方差3/24J独立且相同分布。物理。Soc。日本。全文SV[(R)xiu]=1。在此，原始问题的目标函数HP（~ w）定义如下：HP（~ w）=2NpXu=1NXi=1'xiuwi-NXi=1E[(R)xiu]wi！，（1）其中，pni=1'xiuwii是投资组合在u期间的回报率，pni=1E['xiu]wii是其预期。此后，我们将在等式（1）投资风险中调用HP（~ w）。投资风险可以改写如下：HP（~w）=~wTJ~w，（2）其中J={Jij}∈ RN×是方差协方差矩阵（或Wishart矩阵），其中分量i，j由Jij=NPpu=1xiuxju给出，根据修改后的回报率xiu=(R)xiu- E[(R)xiu]。在原始问题中，端口lio~w受以下约束：NXi=1wi=N，（3）NXi=1wi=Nττ≥ 1，（4）式（3）为预算约束，式（4）为投资集中约束。式（4）中的τ是一个常数，表示风险管理策略的投资集中。投资集中度qw=NPNi=1wii是评估投资组合分散度w的一个指数，它以与赫芬达尔-赫希曼指数相同的方式显示多元化投资的实现。11）此外，Eq。

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2022-6-1 08:34:30

（3）不同于运筹学中使用的预算约束Pni=1wi=1，重新调整比例，使Wii（1）在资产数量接近单位时处于限制范围内，并且可以使用公式（3）对投资集中度qw=NPNi=1wi进行统计解释。11）此外，可行投资组合的子集，即满足等式的投资组合。（3）（4）WP定义如下：WP=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wT~w=Nτ, （5）式中~e=（1，1，····，1）T∈ RN是一个向量。对于原始问题，我们考虑了每项资产的最小投资风险εmin和每项资产的最大投资风险εmax：εmin=limN→∞最小~宽∈可湿性粉剂NHP（~ w）, （6） 4月24日。物理。Soc。日本。全文εmax=limN→∞最大~w∈可湿性粉剂NHP（~ w）. （7）注意，在之前的工作中，原始问题和对偶问题已经通过replica分析进行了评估，通过数值实验验证了副本分析得出的结果的有效性。11）然而，副本分析的分析方法的有效性并没有得到数学上的保证。因此，根据重复性分析的结果，预计进行投资行动可能会遇到一些阻力。因此，我们使用数学上保证的随机矩阵方法重新评估原始问题和对偶问题。在之前的工作中，使用副本分析，每项资产的最小投资风险εmin推导如下：εmin=ατ+τ -1.-2.√ατ(τ-1)1 -τ≤ α0，否则，（8）其中周期比α=p/N~ 使用O（1）。10）此外，每项资产的最大投资风险εmax如下：εmax=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1)α > 0. （9）同样，我们设置了与此原始问题对应的对偶问题。在这种情况下，目标函数HD（~ w）定义如下：HD（~ w）=NXi=1wi。（10）该函数对应于等式（4）中的投资集中度，这是原始问题的约束条件之一。

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2022-6-1 08:34:33

对偶问题的约束是等式（3）中的预算约束和投资风险约束，定义如下：~ wTJ ~ w=Nκε。（11）该方程使用投资组合优化问题中每项资产的最小投资风险，仅施加预算约束，ε=α-1.9）该约束意味着资产的投资风险为κ(≥ 1）乘以对N项资产预算施加的最小投资风险，即Nε。我们称κ为风险系数。然后，满足式（3）和式（11）的可行投资组合子集定义如下：WD=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wTJ~w=Nκε. （12）对于对偶问题，我们考虑了最大投资集中度qw，maxand5/24J。物理。Soc。日本。全文最低投资集中度qw，min:qw，max=limN→∞最大~w∈西部数据NHD（~ w）, （13） qw，最小值=limN→∞最小~宽∈西部数据NHD（~ w）. （14）在之前的工作中，11）使用副本分析，最大投资集中度qw，max也被分析为qw，max=√ακ +√κ -1.α - 1α>1，（15），最小投资集中度qw，min评估为qw，min=√ακ -√κ -1.α - 1α > 1. （16）在先前工作的复制分析中，11）例如，在主要问题的情况下，使用以下等式评估每项资产的最小投资风险εmin：εmin=limβ→∞-βlimN→∞NE[对数Z], （17）其中，分配函数Z是使用反向温度β的Bolt-zmann分布确定的，asZ=Z~w∈WPd~我们-βHp（~ w），（18）和符号E[·]表示对修改后回报率xiu的预期，称为配置平均值。在计算公式（17）右侧包含的E[对数Z]的过程中，一个称为复制技巧的恒等式，E[对数Z]=limn→0常使用nlog E[锌]，（19）。在副本分析中，首先假设等式（19）中的副本数n为整数，并且可以实现Zn的配置平均值（即计算值[Zn]）。

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2022-6-1 08:34:36

然后，我们假设副本数为实数，并且可以执行E[Zn]的解析连续性。然而，对于投资组合优化问题，对于副本数从整数到实数的解析延拓的有效性尚未得到数学上的保证，跨学科研究领域的许多问题也是如此。15）因此，我们在目前的工作中，使用拉格朗日乘数法和随机矩阵方法，作为副本分析的替代方法，从数学上重新检查原始问题和对偶问题。6月24日。物理。Soc。日本。全文3。拉格朗日乘子法和随机矩阵法在这一部分，我们通过拉格朗日乘子法和随机矩阵法来考虑原始问题和对偶问题。17–19）3.1预算和投资集中度约束下的最小投资风险首先，我们研究预算和投资集中度约束下的最小投资风险作为首要问题。使用拉格朗日乘数k，θ定义与投资风险最小化问题LP（~ w，k，θ）对应的拉格朗日函数，如下所示：LP（~ w，k，θ）=HP（~ w）+k（N- ~wT~e）+θ（Nτ- ~wT ~ w），s.t.k∈ Rθ≤ λii=1，2。。。，N、（20）式中，λire表示Wishart矩阵J的特征值，式（20）中的约束是保证拉格朗日函数LP（~ w，k，θ）相对于w.17–19是凸的条件。该约束可重写为θ≤ λmin=min1≤我≤Nλi，其中λmin在N接近时的极限已知：λmin=(1 -√α)α ≥ 10 0<α<1，（21）其中，J的渐近谱（Marˋcentko Pastur定律）在极限中使用为Ngoes，保持α=p/N~ O（1）。20）请注意，拉格朗日乘数法也可以在θ=0时仅施加预算约束的情况下处理投资风险（详情见附录）。

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2022-6-1 08:34:39

从极值方程LP（~ w，k，θ） ~w=0和LP（~ w，k，θ）k=0，~ w*= k*（J）- θIN）-1～e，（22）k*=得到SN（θ），（23），其中INin公式（22）是N×N单位矩阵，J- 由于等式（20），θi是一个正则矩阵，SN（θ）定义如下：SN（θ）=~ eT（J- θIN）-1～eN。（24）当N接近完整时，让我们利用极限中SN（θ）的性质，以便分析拉格朗日函数的最优lθ。奇异值分解7/24J。物理。Soc。日本。返回率矩阵X=nxiu的完整纸张√不∈ RN×pis表示为X=udvt，使用N×Northogonal矩阵U、p×p正交矩阵V和对角矩阵D=diag{di}∈RN×p，其中di=±√λi是奇异值。然后将Wishart矩阵J重写为J=XXT=UDDTUT。由此，SN（θ）可以重写如下：SN（θ）=NNXk=1ukλk- θ=Z∞-∞λ - θNNXk=1ukδ（λ- λk）dλ，（25），其中~ u定义为~ u=UT ~ e=（u，u，…，uN）T∈ r使用狄拉克δ函数δ（x）。由于~u满足~uT~u=~eT~e=N，已知在N趋于完整的极限下，Uk根据标准正态分布渐近、独立且相同地分布。21，22）此外，SN（θ）在热力学极限N内具有自平均特性，因此SN（θ）收敛到S（θ）=limN→∞E【SN（θ）】，由以下等式给出：S（θ）=Z∞-∞ρ(λ)λ - θdλ，（26），其中ρ（λ）（=limN→∞NPNk=1δ（λ-λk）是Wishart矩阵J的渐近特征值分布，即Marˋcenko Pastur定律。20）公式（26）中定义的积分S（θ）通常被称为马尔岑科-帕斯图尔定律的Stieltjes变换。23、24）关于公式（26）的评估详情，请参见附录A和附录B。基于上述论点，每项资产的投资风险ε（θ）可以表示为热力学极限N中θ的函数，如下所示：ε（θ）=limN→∞NLP（~ w）*, k*, θ)=S（θ）+τθ.

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2022-6-1 08:34:42

（27）则每项资产的最小投资风险εmini由以下极值给出：εmin=supθ≤λminε（θ）。（28）由此，可以使用公式（27）和公式（A·5）对εmin进行分析评估。注意，该方程等价于相对于p或w的每资产投资风险最小化。在下面，我们考虑（i）α范围内的每资产最小投资风险εmin≥ 1和（ii）0<α<1。（i）首先，在α范围内≥ 1，λmin=（1-√α）式（21）中给出，存在θ8/24J。物理。Soc。日本。eθ范围内的全文≤ λminsuch该εθ= 0. 这意味着θ*= 1 + α - (2τ - 1） rατ（τ- 1). （29）由此得出，每项资产的最小投资风险εmin=ε（θ*) 计算结果如下：εmin=ατ+τ- 1.- 2pατ（τ- 1). （30）（ii）接下来，在0<α<1的范围内，λmin=0已在等式（21）中给出。Thenlimθ→λ最小值εθ=τ -1.-α已计算。当limθ→λ最小值εθ<0，即1-τ<α<1，因为每项资产的投资风险ε（θ）在θ处最大*由式（29）给出，得出与式（30）相同的结果。另一方面，当limθ→λ最小值εθ> 0，即0<α<1-τ、由于每项资产的投资风险ε（θ）在θ处最大*= λmin=0，每项资产的最小投资风险εmin=ε（λmin）为εmin=0。（31）根据上述参数，θ*= arg supθ≤λminε（θ）由以下等式给出：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)1 -τ<α0，否则。（32）因此，每项资产的最小投资风险εmin=ε（θ*) 为εmin=ατ+τ -1.-2.√ατ(τ-1)1 -τ<α0，否则。（33）该结果与之前使用副本分析的工作结果一致。10） 3.2具有预算和投资集中度约束的最大投资风险其次，我们将具有预算和投资集中度约束的最大投资风险视为首要问题。

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2022-6-1 08:34:45

与投资风险LP（~ w，k，θ）的最大化问题相对应的拉格朗日函数定义如下：LP（~ w，k，θ）=HP（~ w）+k（N- ~wT~e）+θ（Nτ- ~wT ~ w）s.t.k∈ Rθ≥ λii=1，2。。。，N、（34）9/24J。物理。Soc。日本。全文式（34）中的约束是保证拉格朗日函数Lp（~ w，k，θ）相对于w是凹的条件。17–19）该约束可表示为θ≥λmax=max1≤我≤Nλi，其中λmaxin热力学极限N已知由λmax=（1）开始+√α），（35）再次使用了Marˇcentko Pastur法。20）由于上一小节（等式（22）和（23））中已经显示了~w和k区域的最优性，因此每项资产的最大投资风险εmax导出如下：εmax=infθ≥λmaxε（θ），（36），其中ε（θ）在等式（27）中。请注意，该方程相当于相对于组合w的每个资产组合的投资风险最大化。对于任何α>0，因为存在θ*属于εθ=θ范围内的0*≥ λmax，θ*= 1 + α + (2τ - 1） rατ（τ- 1），因此，每项资产的最大投资风险εmax=ε（θ*) 如下所示：εmax=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1). （38）得出的结果也与之前工作中的发现一致。10） 3.3预算和投资风险约束下的最大投资集中接下来，我们将预算和投资风险约束下的最大投资集中视为对偶问题。使用拉格朗日乘数h，Д定义与投资集中度LD（~ w，h，Д）最大化问题对应的拉格朗日函数，如下所示：LD（~ w，h，Д）=HD（~ w）+h~wT ~ e- N+φκNε-~wTJ ~ w,s、 t.h.公司∈ R^1-1λi≥ 1.i=1，2。。。，N、（39）式中的约束。

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2022-6-1 08:34:49

（39）是保证拉格朗日函数Ld（~ w，h，Д）是凹的，与~ w.17–19）相对应的一个条件。该约束可以重写为0≤ φ ≤ λmin=（1-√α）通过使用马尔琴科-帕斯图尔定律，在N到单位的极限下（我们考虑α范围内的最大/最小投资集中度≥ 110/24J。物理。Soc。日本。完整纸张，因为ε≥ 0). 从极值条件LD（~ w，h，Д） ~w=0和LD（~ w，h，Д）h=0，~ w*= h类*（J）- ^1英寸）-1～e，（40）h*=获得SN（Д），（41），投资集中度qw（Д）可以表示为：qw（Д）=limN的函数→∞全国民主联盟（~西*, h类*, φ)= -φS（^1）- 2κε. （42）因此，最大投资浓度由以下极值得出：qw，max=inf0≤φ≤λminqw（Д）。（43）注意，该方程相当于投资集中度相对于投资组合w的最大化。对于任何α>1，因为存在*属于qw公司^1=0，范围为0≤ φ*≤ λmin，Д*=κ -pακ（κ- 1)κ - 1.-pακ（κ- 1)κ -αα-1.κ +α-1., （44）和最大投资集中度qw，max=qw（Д*) 计算如下：qw，max=√ακ +√κ - 1.α - 1.（45）这一结果也与先前工作的结果一致。11） 3.4预算和投资风险约束下的最小投资集中最后，我们将预算和投资风险约束下的最小投资集中视为对偶问题。对应于投资集中度最小问题的拉格朗日函数LD（~ w，h，Д）定义如下：LD（~ w，h，Д）=HD（~ w）+hД~wT ~ e- N+φκNε-~wTJ ~ w,s、 t.h.公司∈ R^1-1λi≤ 1.i=1，2。。。，N、（46）如果等式（46）中的约束是保证拉格朗日函数ld（~ w，h，ν）是凹的，对应于w.17–19），则该约束可以重写为≥ λmax=（1+√α）或Д≤ 0时使用Marˇcentko Pastur定律得到的数字为11/24J。物理。Soc。日本。全套纸张足够了。

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2022-6-1 08:34:51

由于~w和h的最优性已经在q中给出。（40）和（41），最小投资集中度qw，mini由以下等式给出：qw，min=sup≤0,φ≥λmaxqw（Д），（47），其中qw（Д）在等式（42）中。注意，该方程相当于投资集中度相对于投资组合w的最小化。我们可以推导出*属于qw（Д）Д=0，在Д的范围内≤ 0和ν≥ λmax如下所示：Д*=κ+pακ（κ- 1)κ - 1+pακ（κ- 1)κ -αα-1.κ +α-1., （48）如果存在*以便*≤ 当κ<αα时为0-1和Д*≥ λmaxwhenκ>αα-因此，最小投资浓度qw，min=qw（Д*) 计算如下：qw，min=√ακ -√κ - 1.α - 1.（49）该结果也与先前工作的结果一致。11）从对偶问题的结果来看，如果我们假设最大投资浓度qw，maxin公式（45）等于τ，那么由于κ可以表示为κ=ατ+τ-1.-2.√ατ(τ-1)α-1、每项资产的投资风险ε=κε如下：ε=ατ+τ- 1.- 2pατ（τ- 1），（50）表示每项资产的投资风险最小εminin等式（30）。也就是说，在预算和投资集中度约束下的每资产投资风险最小化与在预算和投资风险约束下的投资集中度最大化之间存在着一元二元关系。同样，如果我们还假设最小投资集中度qw，minin公式（49）与τ一致，那么由于κ可以表示为κ=ατ+τ-1+2√ατ(τ-1)α-1、每项资产的投资风险ε=κε如下：ε=ατ+τ- 1+2pατ（τ- 1），（51），符合每项资产的最大投资风险εmaxin公式（38）。也就是说，在预算和投资集中度约束下的投资风险最大化与在预算和投资风险约束下的投资集中度最小化之间也存在着一元二元关系。2014年12月。物理。Soc。

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能者818

2022-6-1 08:34:55

日本。全文4。数值实验在上一节的分析中，我们使用了基于随机矩阵理论的渐近特征值分布，没有详细讨论是否可以评估每项资产的投资风险ε和投资集中度qwin实际投资市场规模的上下界。事实上，当资产N的数量足够大但有限（不是热力学极限N）时，理论结果（等式（33）、（38）、（45）和（49））是否有效尚未得到证实。在本节中，我们通过计算n非常大但有限的情况下数值实验中投资风险和投资集中度上下界的典型值，使用渐近特征值分布来确认理论结果的一致性。在数值实验中，根据标准正态分布和M个回报率矩阵Xm=nxmiu，资产的回报率xiu被视为独立且相同的分布√不∈ RN×p（m=1，2，…，m）作为样本集。此外，数值模拟中的资产数量N设置为N=1000，周期比率α=p/N设置为α=2（也假设M=100）。我们通过使用由每个回报率矩阵XM定义的拉格朗日函数的最速下降法来评估o pt ima l解，然后计算投资风险ε和投资集中度qmw。我们还评估了他们的样本平均值，ε=Xm=1εm，（52）qw=Xm=1qmw，（53），并将其与使用我们提出的方法得出的结果进行比较。首先，考虑了问题的结果，如图所示。1和2。图1显示了每项资产的最小投资风险εmin，图2显示了每项资产的最大投资风险εmax。

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2022-6-1 08:34:57

在其他图中，纵轴是每项资产的投资风险ε，横轴是投资集中度约束τ的系数。实线（红色）代表理论结果，符号威瑟罗线（黑色和灰色）代表数值实验的结果。利用这些数据，我们确认N=1000项资产（特定市场规模）的每项资产投资风险的上限和下限可以用理论结果进行评估，因为这两种情况的结果是等效的。13/24J。物理。Soc。日本。全文下一步，考虑对偶问题的结果。无花果。3和4分别显示了最大投资集中度qw，max和最小投资集中度qw，min。在这两个图中，纵轴是投资集中度ε，横轴是风险系数κ。实线（红色）代表理论结果，带误差条的符号（黑色和灰色）代表数值实验的结果。利用这些数据，我们还确认，N=1000资产（特定市场规模）的投资集中度上限和下限可以用理论结果进行评估，因为在这两种情况下，结果是一致的。5、结论和未来工作在本文中，我们重新探讨了投资组合优化问题，特别是在预算和投资集中度约束下的投资风险最小化/最大化（原始问题），以及在预算和投资风险约束下的投资集中度最大化/最小化（双重问题）。在之前的工作中，已经使用副本分析对这两个pr问题进行了分析。

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2022-6-1 08:35:01

然而，由于无法从数学上保证副本数从整数到实数的解析延拓的有效性，我们通常使用拉格朗日乘子法和随机矩阵法重新考虑这两个问题。具体而言，我们将每项资产的投资风险和投资集中度表示为拉格朗日乘数的函数，并对Wishart矩阵的渐近特征值分布进行Stieltjes变换，以便准确评估投资风险和投资集中度。在此评估中，可以轻松找到每个优化问题的最佳值。此外，由于EPLICA分析得到的结果与我们提出的原始问题和对偶问题的方法得出的结果一致，因此证实了该投资组合优化问题的副本分析的有效性。此外，从数值实验的结果来看，当资产数量足够大但有限时，投资风险和投资集中度的上下界可以与基于渐近特征分布的理论结果一致，这证明了随机矩阵方法和重复分析对分析投资组合优化问题的有效性。我们在本研究中表明，在资产收益率方差相同的情况下，可以使用Stieltjes变换分析获得每项资产的投资风险和投资集中度。作为该结果的扩展，we14/24J。物理。Soc。日本。在未来的工作中，如果资产收益率的方差不相同，全文可以很容易地评估原始问题和对偶问题。

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2022-6-1 08:35:04

另一个需要考虑的问题是，本研究中使用了两个约束，但也有必要检查随机矩阵方法是否适合在更现实的条件下获得投资组合优化问题的最优解，例如，当施加卖空规则或其他线性不等式约束时。感谢作者与H.Hojo、A.Seo、M.Aida、Y.Kainuma、S.Masuda和X.Xiao进行了详细讨论。其中一位作者（DT）也对中村和石川的富有成效的评论表示赞赏。这项工作得到了第15K20999、17K01260和17K01249号援助拨款的支持；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；和研究项目编号。坎波基金会第4号。附录A:Marˋcentko Pastur分布的Stieltjes变换在本附录中，我们使用留数定理计算公式（26）。如果我们假设修改后的收益率xiu独立且相同地分布，平均值E[xiu]=0，方差V[xiu]=1，那么Wishart矩阵的经验特征值分布ρN（λ）=NPNk=1δ（λ-λk）收敛到称为Marˇcenko Pastur分布的渐近特征值分布，当N接近以下单位时：20）ρ（λ）=[1- α]+δ（λ）+p[λ+- λ]+[λ - λ-]+2πλ. （A·1）式中，[x]+=最大值（x，0），λ±=（1±√α). 首先，我们计算α范围内的S（θ）≥ 1使用公式（A·1）。S（θ）表示θ∈ 可以使用λ=1+α重写C+√αξ +ξ如下所示：S（θ）=i4πI |ξ|=1（ξ- 1)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ)(ξ - ξ） dξ，（A·2），其中极点ξi，i=0，1，····，4如下：ξ=0，ξ=-√α,ξ= -√α、（A·3）15/24J。物理。Soc。日本。

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2022-6-1 08:35:06

全文ξ=-(1 + α - θ） +p（1+α- θ)- 4α√α,ξ=-(1 + α - θ) -p（1+α- θ)- 4α√α.极点的剩余量，Res[ξi]，i=0，1，·····，4，arres[ξ]=1，Res[ξ]=α- 1θ，Res[ξ]=-α - 1θ，（A·4）Res[ξ]=p（1+α- θ)- 4αθ，Res[ξ]=-p（1+α- θ)- 4αθ.由于满足ξξ=1和ξξ=1，ξ（ξ）和ξ（ξ）中的一个满足ξ<1，其他满足ξ>1。因此，由于|ξ|>1，因为α≥ 1，单位圆内存在的磁极组合|ξ|=1为（i）ξ，ξ，ξ，当|ξ|<1时，（ii）ξ，ξ，ξ，ξ，当|ξ|<1时。此外，|ξ|<1和|ξ|<1可以重写为λ-> θ的θ和λ+<θ∈ R、所以S（θ）成为实值函数，由以下等式给出：S（θ）=α-1.-θ-√(1+α-θ)-4α2θλ-> θα-1.-θ+√(1+α-θ)-4α2θλ+<θ，（A·5）相反，S（θ）的实部在λ范围内发散-≤ θ ≤ λ+，因为被积函数的分母可以是0。因此，例如，由于t不存在的上限S（θ）+τθ在λ范围内-≤ θ ≤ λ+，我们无法求解公式（2 8）。也就是说，用拉格朗日函数导出的优化问题不能在λ范围内求解-≤ θ ≤ λ+. 因此，在本文中，我们只考虑λ的优化问题-> θ和λ+<θ，其中S（θ）仅取实值。此外，在0<α<1的范围内，也可以计算极点，并得到与等式（A·5）相同的结果。2014年6月16日。物理。Soc。日本。全文附录B：Stieltjes变换的复制方法在本附录中，我们从与附录a不同的方向重新检查S（θ）。最初，我们考虑配分函数Z以获得S（θ），如下所示：Z=Z∞-∞d~w（2π）Ne-~wT（J-θIN）~w.（B·1）那么，这个配分函数的对数总结如下：log Z=-日志det | J- θIN |。

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2022-6-1 08:35:09

（B·2）S（θ）可使用以下等式获得：S（θ）=2φ(θ)θ、（B·3）φ（θ）=limN→∞NE[对数Z]，（B·4），其中，由于S（θ）以与秒相似的方式满足自平均特性，因此配置平均在等式（B·4）中执行。3.1. 来自Eqs。（B·3）和（B·4），可以看出，我们需要解析地a ssessφ（θ）才能导出S（θ）。因此，φ（θ）由n的E[Zn]计算∈ Z如下：φ（n，θ）=limN→∞Nlog E【Zn】=外向型，~Qw-αlog det | In+Qw |+TrQwQw-日志det | Qw- θ英寸|, （B·5）其中Qw={qwab}和▄Qw={▄qwab}是n×n对称矩阵，Inis然后是×n单位矩阵。我们还将使用符号ExtrAf（A）作为f（A）的极值，对应于A。此外，关于Qw的极值条件，~Qware如下方程：~Qw=α（In+Qw）-1，（B·6）Qw=（▄Qw- θIn）-1.（B·7）自Eqs起。（B·6）和（B·7）只包含术语QwandQw，Qwandqwo。极值条件可以写成In的标量倍数；也就是说，Qwand▄qwc可以分别表示为Qw=χwIn和▄Qw=▄χwIn。由此可知，χwandχware的公式如下：χw=α- θ - 1+cp（1+α- θ)- 4α2θ，（B·8）17/24J。物理。Soc。日本。整篇论文χw=α- 1.- θχw=α- 1 + θ - cp（1+α- θ)- 4α，（B·9），其中c=±1。那么φ（n，θ）如下：φ（n，θ）=-nαlog（1+χw）+nχwχw-nlog（￠χw- θ). （B·10）由于该结果满足φ（n，θ）=nφ（1，θ），以下结果成立：limN→∞Nlog E[锌]=limN→∞Nlog（E[Z]）n.（B·11），即E[Zn] （E[Z]）对于足够大的N。由此，E[log Z]可以用对数函数的泰勒展开式计算，log Z=-P∞n=1（1-Z） nn，如下所示：E[对数Z]=-∞Xn=1（1- E[Z]）nn=对数E[Z]。（B·12）那么φ（θ）（=φ（1，θ））由以下等式给出：φ（θ）=-αlog（1+χw）+χwχw-对数（￠χw- θ). （B·13）χwin公式（B·8）和￠χwin公式（B·9）各由两个解组成，从c=±1。

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2022-6-1 08:35:12

然而，每个解的相关解由等式（B·5）中的极值算子选择。因此，φ（θ）如下所示：φ（θ）=max（φ-(θ), φ+(θ))=φ-(θ) λ-> θφ+（θ）λ+<θ，（B·14），其中φ-（θ）指在c=-1和φ+（θ）表示在c=+1的情况下，用χwandχwin计算的φ（θ）。因此，从eqs。（B·3）和（B·13），S（θ）由以下等式给出：S（θ）=χw=α-1.-θ-√(1+α-θ)-4α2θλ-> θα-1.-θ+√(1+α-θ)-4α2θλ+<θ，（B·15），其中χw=△χw-θ用于推导该方程。这一结果与公式（A·5）一致，该公式是使用留数定理推导的。18/24J。物理。Soc。日本。全文附录C：预算约束下的最小投资风险和投资集中度在本文的主体部分，我们证明了可以使用Stieltjes变换S（θ）来评估每项资产的投资风险ε和投资集中度qwc。在本附录中，我们使用S（θ）推导出了在仅考虑预算约束的情况下，投资组合优化问题的每资产最小投资风险εmin及其投资集中度，并确认它们是否与之前的工作结果一致。9）由于只施加预算约束，该最小化问题的Lagr-angian函数与等式（20）中θ=0的函数相同。我们没有考虑α>1范围内的最小化问题（当α<1时，最优解不能唯一确定）。因此，每项资产的最小投资风险εmini由等式给出。（28）如下：εmin=limθ→02S（θ）。（C·1）其投资集中度由式中的θ代入0得到。（22）和（23）如下：qw=limθ→0S′（θ）（S（θ））。（C·2）对于该计算，limθ→0S（θ）和limθ→用λ范围内的S（θ）得到0S′（θ）-> θ如下：limθ→0S（θ）=α- 1，（C·3）limθ→0S′（θ）=α（α- 1).

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2022-6-1 08:35:16

（C·4）因此，每项资产的最小投资风险εmin及其投资集中度qware a s如下：εmin=α- 1，（C·5）qw=αα- 1.（C·6）我们可以确认这些结果与之前的研究结果一致。9）此外，如果我们能够评估与该优化问题对应的斯蒂尔杰斯变换S（θ），则在资产回报率变量不相同的情况下，有可能获得每项资产的最小投资风险εmin和投资集中度qwf。2014年9月19日。物理。Soc。日本。全文附录D：具有预算和不平等投资集中约束的最小投资风险在本附录中，我们评估具有预算约束和不平等投资集中约束的每项资产的最小投资风险，这是原始问题等式（4）中等式约束的延伸，如下所示：NXi=1wi≥ Nττ≥ 1，（D·1）NXi=1wi≤ Nττ≥ 1.（D·2）如果我们假设施加等式（D·1）中的约束而不是等式（4），则每项资产的最小投资风险εmini评估如下：εmin=supθ≤0ε（θ），（D·3），其中使用Karush-Kuhn-Tucker条件。17–19)θ*= arg supθ≤θ范围内的0ε（θ）≤ 0如下所示：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)τ-1τ< α <ττ-10否则。（D·4）因此，等式（D·4）对应的每项资产的最小投资风险如下：εmin=0 α ≤τ-1τατ+τ -1.-2.√ατ(τ -1)τ-1τ< α <ττ-1α-1α ≥ττ-1.（D·5）相反，如果我们应用等式（D·2）中的约束而不是等式（4），则每项资产的最小投资风险εmini由以下等式给出：εmin=sup0≤θ≤ λminε（θ），（D·6）20/24J。物理。Soc。日本。也使用了Karush Kuhn-Tucker条件的全文。17–19)θ*= 参数sup0≤θ≤ λminε（θ）在0范围内≤ θ ≤ λmini如下所示：θ*=1 + α - (2τ - 1） qατ（τ-1)α >ττ-10否则。（D·7）因此，与等式。

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nandehutu2022

2022-6-1 08:35:19

（D·7）如下：εmin=0 0 < α < 1α-11≤ α ≤ττ-1ατ+τ -1.-2.√ατ(τ -1)α >ττ-1.（D·8）这一结果也与以前的工作一致。10） 21/24J。物理。Soc。日本。全文0.40.50.60.70.80.91.01.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0我们提出的方法的每资产投资风险集中度结果数值实验结果（^I）（？）图1。根据资产的最小投资风险0.02.04.06.08.010.012.014.016.018.01.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0我们提出的方法的每个资产投资集中度的投资风险数值实验结果（^I）（？）图2。每项资产的最大投资风险22/24J。物理。Soc。日本。全文0.02.04.06.08.010.012.014.016.01.0 1.5 2.0 2.5 3.0我们提出的方法的投资集中风险系数数值实验结果（-'O）（"A）图3。最大投资集中度0.911.11.21.31.41.51.61.71.81.921 1.5 2.5我们提出的方法的投资集中度风险系数数值实验结果（"A）（-'O）图4。最小投资集中23/24J。物理。Soc。日本。全文参考1）H.Markowitz，J.Fin。7, 77 (1952).2） Konno和Yamazaki兄弟。Sci。37, 519 (1991).3） R.T.Rockafellar和S.Uryasev，J.of Risk 2，21（2000）。4） L.Laloux、P.Cizeau、J.P.Bouchaud和M.Potters，Phys。修订版。利特。83(7), 1467(1999).5） L.Laloux、P.Cizeau、M.Potters和J.P.Bouchaud、Int.J.Theor。应用程序。《财政》第3（3）条、第391（2000）条。6） V.Plerou，P.Go pikrishnan，B.Rosenow，L.A.N.Amaral和H.E.Stanley，Phys。修订版。利特。83(7), 1471 (1999).7） S.Pafka和I.Kondor，Physica A.319487（2003）。8） S.Ciliberti和M.Mezard，欧元。物理。J、 B.57175（2007年）。9） T.Shinzato，PLoS One 10 e0133846（2015）。10） T.Shinzato，J.Stat.Mech。023301 (2017).11） T.Shinzato，《物理学》杂志A.12）I.Varga Haszonits，F.Caccioli和I.Kondor，J.Stat.Mech。

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