多级投资组合优化：二次市场的对偶结果

2022-5-10 13:51:17

多阶段投资组合优化：ICC市场模型中的对偶结果加州大学大卫分校Lobert Bassett and Khoa L^eUniversity of Calgaryober 9，2018AbstractWe证明了具有比例交易成本的市场中多阶段投资组合优化问题的一般对偶结果。金融市场由卡巴诺夫的外汇市场模型在有限概率空间和有限水平离散时间步上描述。这个框架允许我们在偏序下比较向量值Portfolios，这样我们的模型就不需要在终端时间清算到某个数字。我们将向量值投资组合问题嵌入到集合优化框架中，并生成一个与投资组合优化对偶的问题。利用集合优化发展中的最新结果，我们证明了问题之间存在强大的对偶关系。1简介投资组合优化问题有着悠久而丰富的历史。传统上，投资组合优化是在没有交易成本的模型中进行的，如[11]所示。金融市场模型中包含比例交易成本的投资组合优化问题首次出现在Magill和Constantinides[10]的工作中。双资产模型得到了极大的改进[1][15]。自那以后，随着研究人员试图得出类似于经典案例的结果，人们更多地关注在有交易成本的市场中得出结果。在本文中，我们考虑卡巴诺夫[7]最初开发的锥形市场模型，该模型用于模拟外汇交易市场。二次曲线市场模型以实物资产的数量而不是价值来表达投资组合。这允许在不明确使用随机积分的情况下计算财富过程。

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kedemingshi

2022-5-10 13:51:20

虽然这种品质可能会让投资组合优化的老手们感到惊讶，但它的简单性和直观性很吸引人。为了比较投资组合，我们将它们视为偏序下向量的资产，并调用集合优化理论来描述投资组合问题。集合优化主要是出于对非totalorder关系进行优化的愿望。向量值优化直接进入这个框架，并进行组件式比较。然而，我们更喜欢在一个集合优化框架中工作，而不是一般的向量优化，因为它的理论简洁[3]。在[4]的工作之后，我们引入了一种生成完整格的集合排序。这使我们能够定义集合的内模和上模的相应概念，这是组合优化问题计算的基本步骤。然后，我们使用[5]中的工具来公式化投资组合优化问题的集值对偶。由于我们考虑了多阶段问题，我们的结果推广了[16]中的结果。构造集值投资组合优化问题的原对偶对，揭示了传统投资组合优化理论与比例交易成本情形之间的关系。但我们也希望，这里包含的结果不仅仅是理论意义上的。最近的工作[9][6]一直在研究解决集值优化问题的计算技术。特别是，[9]使用了集优化问题的原始和对偶公式来计算解决方案。从这个意义上说，本文的结果提供了一个有价值的关系，这将有助于使投资组合优化问题更贴近实践者，以及计算技术的进步。本文的其余部分组织如下。

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能者818

2022-5-10 13:51:25

在第一部分中，我们介绍了我们用来描述集值投资组合优化问题的材料。这包括对二次曲线市场模型的概述，以及我们将在问题公式中使用的集合优化工具和技术的总结。下一节将明确地模拟多期效用最大化问题。在第三部分中，我们讨论了集合优化框架中的对偶性。第四部分是我们的主要结果，一个对偶问题的公式，以及一个强对偶关系成立的证明。最后一节将主要结果应用于一个效用最大化问题的例子。致谢：本论文是在作者参加2015年雪鸟数学研究社区研讨会时发表的。作者感谢Birgit Rudlo Off和Zach Feinstein对该主题的鼓励和指导。第二作者在伯克利数学科学研究所（Mathematic Sciences Research Institute in Berkeley）居住期间完成了部分论文，期间他获得了美国国家科学基金会（National Science Foundation）的资助，资助号为DMS-1440140.2 Preiminaries。1锥形市场模型在本节中，我们回顾了[7]中介绍的交易成本锥形市场模型的框架，尽管我们主要遵循[14]中的发展。考虑一个由d交易资产组成的金融市场。在经典模型中，我们假设在某个终端时间T，所有资产都被清算，即转换为一些计价单位。在某些应用中，这是不现实的。例如，拥有由美国和欧洲市场的资产组成的投资组合的代理不需要在清算到欧元或美元之间进行选择，以确定其相对价值。出于这个原因，我们通过考虑向量值投资组合，使用无数字的方法。

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2022-5-10 13:51:28

特别是，我们用每项资产的实物单位数量来表示投资组合，而不是这些资产相对于一个货币的价值。当清算成具有相关交易成本的计价单位时，这种方法尤其有趣。在这种情况下，转换为单一货币是不可逆的，不同的计价方式可能会导致不同的投资组合相对价值。我们考虑一个交易成本与交易单位数量成正比的市场。为了对这些成本进行建模，我们引入了买卖矩阵的概念。定义2.1。一个买卖矩阵是一个d^d矩阵∏，其条目πij满足1。πija0，对于1di，jdd2。πⅡ“1，对于1didd.3.πijdπikπkj，对于idi，j，kdd.市场交易条件由买卖矩阵给出，即entryπij给出了可交换为一个单位资产j的资产i的单位数。因此，tπji，πiju对表示资产i中资产j的买入价和卖出价。对第一和第二支柱的财务解释买卖矩阵的有效性是向前的，第三个条件是确保代理人不能通过一系列交易获得比直接交易更好的交易率。接下来，我们考虑偿付能力和可用投资组合的概念。回想一下，考虑到setCDRd，由C生成的凸锥是setconepCq“tn"yi”“1λiyi:yiP C，λiě0，1didn，n P Nu.定义2.2.对于给定的买卖矩阵∏，偿付能力锥Kp∏q是由单位向量ei和πijei′ej，1di，jdd生成的凸锥。向量值投资组合中的偿付能力头寸是可以交易到零投资组合的头寸。向量πijei′ej由资产i中的πijlong头寸和一个短期资产j组成，是有偿付能力的，因为∏给出的贸易条件允许交换∏ijeit到ej。

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2022-5-10 13:51:33

因此，πijei′eje的任何非负线性组合也是溶剂。我们还允许代理人放弃资产的非负数量，以便交易到零投资组合，这就需要在偿付能力锥定义中包括EIVector。根据∏所规定的交易条件，从零投资组合中可以获得的投资组合是什么？与偿付能力锥的定义类似，它由向量ej′πijei组成，对应于以∏给出的汇率进行的交易。在允许代理人放弃资源的交易中，我们看到价格为零的可用投资组合集是锥Kp∏q。给定锥KDRd，我们用K表示K的正极锥，即。，K`“tw P Rd:xv，wyě0表示v P Kp∏qu.回想一下，K的内部是设定的K”tw:xw，xya0，@x P K，x‰0u.定义2.3.如果w在Kp∏q的正极锥中，则非零元素w P rdi是买卖矩阵∏的一致价格体系，因此w P K`P∏q“tw P Rd:xv，wyě0表示v P Kp∏qu。一个买卖矩阵的所有一致价格系统的集合就是K`P∏qzt0u。一致价格系统的概念有一个重要的财务解释。价格系统w给出了每个资产i的非负价格wi。一致定价系统定义的一种解释是，如果我们定义了一些计价资产i，那么w满足假设资产j的无摩擦汇率wjwi小于πij。允许任意选择基准i和资产j，这相当于1di，jddu的w P Rd`zt0u:wjwjěπij。我们可以很容易地证明，这个集合实际上等于K`p∏qzt0u，即与∏有关的所有价格系统的集合。固定过滤概率空间pOhm, pFqTt“0，Pq，我们通过p∏tqTt”0对金融市场进行建模，并在一组买卖矩阵中取值。

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2022-5-10 13:51:37

这样一个过程将被称为“招投标”过程。我们做出以下简化假设。假设2.4。POhm, pFqTt“0，Pq满足度oF”tH，Ohm你是微不足道的该模型为离散时间模型，概率空间为t“0，…，totOhm 是有限的，有|Ohm| “No每个元素Ohm 具有非零概率，即Prωns“pna0，其中Ohm “tω，ω，…，ωNuand n”1，…，n.假设Ohm 有限意味着我们可以用Rd^和内积Exx，yy识别所有d维随机变量的空间，其中x和y是随机向量。因此，不同的拓扑结构Ohm, F、 Pq，LpOhm, F、 Pq，LpOhm, F、所有Rd值随机变量X集合上的Pq等：Ohm 它们是同构的。我们将此拓扑简单地称为LppOhm, F、 Pq对于一些p1，8q，为了弄清楚什么时候我们指的是双空间LqpOhm, F、 Pq其中P`q“1.为了便于记法，我们将表示这些空间LppF；Rdq和LqpF；Rdq.为了记法，我们将用xipωq表示ωP的向量x P Rd^nb的分量Ohm, 1didN.再次利用Ohm, 我们知道，LppFt中的任何锥，由一组有限的随机向量TxUmi“1生成的Rdq，都是由Rd^N中的txiΓjujPJis生成的，其中tΓjujPJis是Ft的原子集。设p∏tqTt“0是一个买卖过程。这会生成一个锥值过程pktqttt”0，其中每一个都是一个相关的偿付能力锥。我们用LppFt，Ktq表示settX p LppFt；Rdq:Xtpωqp Ktp qtωquOhm.我们现在可以定义自我融资投资组合的概念。定义2.5。如果增量ξtpωq:“θtpωq\'θt\'1pωq属于以零价格提供的投资组合的锥θKtpωq，对于所有时间t“0，…，t，我们也按惯例将θ1”0放入，则Rd值适应过程θ“pθtqTt”0称为自融资投资组合过程。

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2022-5-10 13:51:41

，T，我们用LppFt中的凸锥表示；由随机变量θt形成的Rdq，其中，“pθiqTi”0贯穿于自融资投资组合过程。我们通常认为初始投资组合是确定性的。然后，at可以被解释为初始捐赠0 p Rd在时间T可用的头寸集。更准确地说，如果wedenote byP LppF，Rdq是假定值1的常数随机变量，我们得到以下结果：命题2.6。对于每个T“1，…，T，At”\'\'K\'LppF；Kq'¨¨LppFt；Ktq.证明。假设x P At.那么x是随机变量x“n"yj”1λjθjt的凸组合，其中对于每个j，PθjiqTi“0是一个自我融资的投资组合，λjě0。我们重写x asx“n"yj”1λj''''jt'jt'jt'jt'1'''jt'jt''''''1'jt''''''''其中，p977j“0是一个自融资组合，扩展了这个和“1λjpθjiθjiθiq PθKp∏iq，因为Kp∏iq是一个圆锥体，每个j的iqθjiθjiθ1PθKp∏iq。我们已经建立了atDK'LppF；Kq'¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨LppFt；Ktq。反向包含后面是一个对称参数，并且被省略。同样，如果一个初始赋Rd开始“x`AT.明确地说，我们有atpxq”x`K`LppF；Kq'¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨LppFT；kt我们将假设我们的市场模型满足无套利属性。在经典金融市场模型中，无套利与等价鞅测度的存在密切相关。圆锥市场模型中相应的概念是一致的定价过程。定义2.7。

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2022-5-10 13:51:44

如果Z是鞅且Ztpωq位于每个0，…，T的Ktpωq`zt0u中，则一个改进的Rd`-值过程pZtqTt“0被称为买卖过程p∏tqTt”的一致定价过程。由于Kabanovand Stricker[8]，下面对资产定价基本定理的扩展建立了无套利和一致定价过程之间的联系。定理2.8Ohm 晚安。当且仅当p∏TQT存在一致的定价系统Z“PZTQT”时，买卖过程p∏TQT“0满足无套利条件“0.这个定理是证明我们主要对偶结果Theorem5.2的一个基本组成部分。我们将以以下Lemma 2.9的形式利用这个结果。买卖过程满足无套利条件，当且仅当ifp`a`Tqcint pLqpFT，Rd`qq‰H.证明。对于正向，假设买卖过程满足无套利条件。然后，假设“t0u.自从Ohm 是有限的，ATis是有限生成的闭凸锥之和，因此它是有限生成的凸锥，因此是闭的。设C:“conv ptepωqi，1didd，ωPOhmuq，其中每个tepωqi是Rd^N中的单位向量。因为C是ppft，Rd`q中有限点集的凸包，所以它是紧的。显然是0Rc。根据分离定理（在一个集合是封闭的，另一个是紧致的情况下），有一个非零的z RNP严格地分离C和。也就是说，supxPATxz，xyainfyPCxz，yy。C是紧凑的，因此不等式右侧的表达式是有限的。由于ATis是一个圆锥体，不等式的左侧必须为零，因此zp\'a`T。此外，对于每个y P C，xz，yya0，因此对于所有y P C，xz，λyya0和λ‰0。由于C生成lppftq，我们得到了xz，λyya0，对于所有的y P LppFT，Rd`q和y‰0。

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2022-5-10 13:51:48

下面是z P int `pLppFT，Rd`qq`“int`LqpFT，Rd`q。对于相反的方向，假设P`ATq X int pLqpFT，Rd`qq‰H。然后有一个z，这样xz，xyd0代表X P Ata和xz，yya0代表y P Kzt0u。这显然意味着Ata和Kzt0u是不相交的。2.2集优化在这一节中，我们回顾了集值优化的组成部分，这将是引入投资组合优化问题所必需的详细阐述了集值优化框架和相应的对偶理论，见[3,4,5]。我们首先为集合构造一个合适的“顺序”概念。设Z是一个非平凡实线性空间。给定一个0 Pc的凸锥CLZ，我们有一个Z的预序，用dC表示，它被定义为ZdCzd~nZèzP Cf或任何Z，zP Z。以下两个表达式等价于ZdCz，ZdCzdZdzP ZdzP Z`CdzP Z`C。最后两个表达式可用于将dcf从Z扩展到PpZq，即Z的幂集。给定a，B ppq，我们定义了两个可能的扩展。AdCBd~nBDA`CA"uCBd~nADB`C.我们用`表示集合的Minkowski加法，根据集合约定，A`H“H`A”hf表示所有P PpZq。在下文中，我们将专门讨论适用于集值极小化的关系式dC。我们包含的每一个结果都有一个对应于最大化上下文中的"ucin的结果，我们省略了该结果。有关更多详细信息，请参见[3]此外，我们假设Z具有Hausdor ff局部凸拓扑。我们考虑空间GpZ，Cq“tADZ:A”cl conv pA`cqu这里cl conv是凸包的闭包。我们将GpZ，Cq缩写为GpCq，从上下文中可以清楚地看到。我们定义了一个关联和可交换的二元运算：GpCq^GpCqDGpCq通过A\'B“cl pA`bq观察到，在GpCq中，关系是包含的。

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2022-5-10 13:51:51

对于任何A，B P GpCq，AdCBd~nADB.如[4]所示，对pGpCq，Eq是一个完整的格，这意味着E在GpCq上产生一个partialorder，并且GpCq的每个子集相对于GpCq中的E都有一个上下确界。给定H‰ADGpCq，GpCq中的最佳和最高元素为infpgpcq，EqA“cl convdAPAA，supppgpcq，EqA”cAPAA.（3）为了保持直觉，回顾一下这个框架是如何与扩展实数R Y t8u的完备格以d顺序联系起来的是很有用的。扩展实数通过使用排序锥C转换成上述集值框架“R`并用pGpR、R`q、Eq中的集合Zi`R`识别每个点ZP R。此外，在集值情况下，通常框架中的`8和`8分别被H和R替换。接下来，假设X，Y是两个局部凸空间，DDY是一个具有0Pd的凸锥。设f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是两个集值函数。我们考虑了形式MinxPxFq的优化问题以0 P gpxq为准。其中最小值是指前面讨论的集值排序。换句话说，我们想找到setinfpGpCq，Eqtfpxq | x P x，0 P gpxqu“cl convdtfpxq | x P x，0 P gpxqu。这是我们的优化问题的最小值。将最小值的概念扩展到集值情况稍微微妙一些。给定：x~nGpCq和MDx，我们用frm s“tf pxq | x P Mu表示M上f的所有值的集合。f rMs的最小元素由min f rMs定义：“tfpxq | f pxq P frMs和@fpyq P frM s与f pyqEfpxq，f pyq”fpxqu。同样，如果f pxq P Min frM s，元素x是f对M的极小值。除了极小值条件，我们还期望一个解决方案能达到一个问题的极小值。

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2022-5-10 13:51:55

我们说，在一个集合xDx IFinfxppxq“infxffpxq”中，受x P Xis约束的问题的最小值f pxq。根据（3）中最小值的定义，这意味着“cl convdxPXfpxq。或者，我们说集合X是问题的一个解决方案。结合这两个要求，我们得出了集合优化问题解决方案的适当概念。定义2.10。给定f:X~nGpCq，集合XDX被称为问题的一个解决方案，服从X P Xif XDMin f rXs。同样，我们称集合XDX为完整解决方案关于ifX的问题“Min f rXs.在扩展实数的典型优化框架中，整数和极小值的概念是一致的，因为对整数的搜索可以简化为单一集。在集合优化设置中，情况并非如此，这就保证了上述定义。一般来说，问题的范围是函数值并集的闭合，这是不必要的函数本身就是一个值。关于这个问题的更多细节和更深入的回顾可以在[5]中找到。接下来我们将回顾集值函数的一些重要凸解析型性质。定义2.11。一个集值函数f:X~npGpCq，Eq被称为凸函数，如果对于每个向量X，xpx和每个tpp0，1qfptx`p1`tqxqEtf pxq`p1`tqfpxq。直接证明f的凸性等价于图的凸性，其中，图f：“tpx，zq P X^Z | Z P fpxquDX^Z。我们以[5]中的以下结果结束本节，这些结果使用凸性来简化in fim和Minkowski和的计算。命题2.12。如果f:X~nPpZq是凸的，并且fpxq“cl pf pxq`Cq，那么f pxq P GpCqProof。我们想表明，对于每个X，f pxq”cl conv pfpxq`Cq，假设f是凸的和fpxq“cl pf pxq`Cq。

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可人4

2022-5-10 13:51:59

必须证明fpxq`C是凸的，如果fpxq是凸的，则会出现这种情况，因为两个凸集的Minkowksi和是凸的[12]。但是fpxq对于每个x是凸的，因为对于任意z，zP fpxq，tp0，1q，我们有Pxq，其中最后一个包容来自于f的凸性。命题2.13。如果f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是凸的，那么infppCq，Dqtfpxq | X P X，0 P gpxqu“cldtfpxq | x P x，0 P gpxqu，这样凸壳可以从最小证明的定义中移除。我们想证明dtfpxq | x P x，0 P gpxq是凸的。我们首先证明tx x | 0 P gpxqu是凸的。如果0包含在两个gppxq中，那么对于任何tp p0，1q，0 P tgpxq `p1 `tqgpxq `tqgpxq `p1 `tqxqxq`p1，因此tx x 1240gpxqu是凸的。下一步，假设为，0 P gpxqu。然后是x，xsuch thatzP fpxq和zP fpxq，0 P gpxq x gpxq。因此，对于任何t P p0，1qtz\'p1'tqzP tfpxq\'p1'tqfpxqDf ptx\'p1'tqxq。我们最初的声明给出了0p gptx`p1\'tqxq，因此Ttfpxq |x px，0p gpxq是凸的，我们得到了我们的结果。3问题公式在本节中，我们明确地公式化了多期效用最大化问题。我们考虑一个函数Upxq:Rd~nrdt，它在终端时间T对代理资产x的效用进行建模。我们对U.1做出以下假设。U是一个向量值分量函数upxq“pupxq，upxq，…，udpxdqq，x“px，x，…，xdq，rdp，其中每个ui:R~nR。注意，每个ui都是实值的，而不是扩展实值的。因此，即使在负财富的情况下，U也会被定义。2.每个ui都是严格凹的、严格递增的和可区分的。3.当财富趋于一致时，边际效用趋于零，因此limxi~n8uipxiq“0.4.用户界面满足了Inada条件，因此当用户界面领域达到极限时，边际效用趋于一致。

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可人4

2022-5-10 13:52:03

换句话说，limxi~n''8uipxq“8。这些假设在效用最大化问题[2]的背景下是标准的。让排序锥C“Rd”。我们定义目标函数F:LppFT，Rdq~nGpCq为随机投资组合在终端时间的预期效用。F pxq“Er'Upxqs`Rd`。期望是关于概率空间p的Ohm, FT，Pq。请注意，在定义F时，我们将效用最大化问题重新定义为最小化框架。这是为了与[3]、[4]和[5]中开发的集值优化工具建立更多的一致性，这些工具将其结果投射到凸分析的传统最小化框架中。当然，我们可以考虑问题的最大化形式，而不损失任何普遍性。然后，投资组合优化问题将formminimize F PxQ置于投资组合x是初始捐赠x的自融资投资组合的最终结果的约束之下。换句话说，在集合优化中，我们有一个问题，最小化F pxq（P）服从于x P ATpxq4对偶。在这一节中，我们回顾了集合值对偶[5]中的必要结果，我们将用这些结果来证明我们的主要结果。（P）。集值拉格朗日对偶遵循与实值情形类似的主题。给定凸函数CDZ和DDY，以及凸函数f:XDGpCqDPpZq和g:XDGpDqDppyq，我们感兴趣的是在0 P gpxq下最小化f pxq的原始问题。（体育）即。

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2022-5-10 13:52:07

我们搜索一个集合“pDZ”，其中p:“infpGpCq，Eqtfpxq | x p x，0 p gpxqu“cl convdtfpxq | x P x，0 P gpxqu。第一步是定义一个恢复目标的集值拉格朗日函数，在这个意义上，函数f pxq是对偶变量集上的拉格朗日的上确界。对于yP y和zP z，其中y和z分别表示y和z的拓扑对偶空间，定义集值函数SpY，zq:y PpZq，zqpy我们使用这些函数来建立拉格朗日函数。定义4.1.我们定义拉格朗日函数l:X^y^C`zt0udGpCq的问题（Pe）bylpx，y，Zqdypgpxqpy，Zqpyq“fpxq”inftSpy，Zqpyq | y gpxqu。我们可以从原始拉格朗日定理中恢复目标。[2]如果f pxq‰Z代表每个x px，则供应，ZqPYC`zt0ulpx，y，另一方面，在定理4.2的条件下，我们可以把问题（Pe）描述成一个问题（Pe）的问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个infxpxsupp，z（qPY）是一个问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个infxpx供应的问题，z（qPY）qPY（qPY）是一个CZ0 0 0 0.ZT0.Z0.Z0.Z0，y，y，y，y是目标，y，z。q。我们解决了这个双重问题。我们解决了这个双重问题。我们解决了这个双重问题。我们解决了双重问题。我们的双重问题。我们提供了双重问题，我们的双问题，我们的双问题，我们的解决了两个双问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，我们是，，zq:“infxPXlpx，y，zq（4）定义为setd：“suppy，zqPYC`zt0uhpy，zq。对于问题（Pe）和（de），我们有以下弱对偶结果。命题4.3。[5，Prop 6.2]弱对偶总是适用于问题（Pe）和（de）。也就是说，d“suphpy，zq | yP y，zP C`zt0u（tf pxq | x，0 P gpxqu）“p.强对偶，另一方面，需要一个约束条件。问题（Pe）有助于满足Slater条件ifDx p dom f:gpxq X int p\'Dq‰H。Slater条件对于（Pe）和（De）之间的强对偶是有效的。定理4.4。[5，定理6.1]假设p‰Z。如果f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是凸的，那么问题（Pe）的Slater条件是有效的。”满足，则（Pe）具有强烈的二元性。

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2022-5-10 13:52:11

就是，最后，我们介绍了集值芬切尔共轭的概念。定义4.5。函数f:X的（负）芬切尔共轭是由f:px，z定义的函数“fpxq`Spx，zqp`xq‰。这一定义的动机以及关于集值芬奇共轭性质的更多细节可在[4]中找到。5组合优化中的对偶在本节中，我们将上一节介绍的用于集值对偶优化问题的工具应用于组合优化问题（P）。我们首先展示（P）定义明确。引理5.1。函数F:LPpFT，Rdq~nGpRd，Rd`q，F pxq“Er\'U pxqs`Rd`和g:LPpFT，Rdq~nGpLppFT，Rdq，LPpFT，Rd`qq，gpxq”x\'ATpxq是很好的定义和凸的。证明。我们从函数F开始。F清楚地映射到GpRd，Rd`q，因为pxq`Rd`“Er\'Upxqs`Rd`是一个多面体凸锥，因此是一个闭凸锥。我们声称F也是一个凸映射。更精确地说，让x，xP Rd，t p0p，1q。然后是tfxq`“t`Er\'Upxqs`R`d`p1\'tqs`R`d”E rt p\'Upxqq`p1\'tqp\'Upxqqs`R`d.通过对我们的目标函数U的假设，对于每个1didd，\'uix是凸的，因此tp\'uipxpωqqq\'p1\'tqp\'uipxpωqqq\'uiptxpωqqq\'p1Ohm. 因此，rt p\'U pxqq\'p1\'tq p\'upxqs\'R\'dDE R\'Uptx\'p1\'tqxqs\'R\'d。我们通过定义2.11得出结论，F是凸的。接下来我们考虑函数gpxq。我们需要证明，在LppFT，Rdq，cl conv px\'ATpxq\'LppFT，Rd\'qq“x\'ATpxq.观察到，\'ATpxq和LppFT，Rd\'q是凸的，所以它们的和也是[12，第3章]，左侧的凸壳可以去掉。

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2022-5-10 13:52:16

此外，由于KT是一个偿付能力圆锥体，圆锥体LppFT，Rd`q包含在LppFT，KTq中，因此x\'ATpxq`LppFT，Rd`q“x\'ATpxq”。因此，根据假设（2.4），x\'ATpxq在LppFT，Rdq中闭合，Ohm 是有限的，每个元素Ohm ω，…，ωNhas为正概率。然后，D维随机变量的空间可以与D^N维的欧几里德空间和内积Exx，yy相关联。注意，如果“conepξ，…，ξmq是一个由m Ft可测随机变量生成的随机凸，那么LppG，Ftq是由ξiIΓj生成的多面体凸锥，其中tΓjujPJare是Ft的原子。我们已经确定，在LppFt中，Ktq是完全生成的，因此根据Farkas-Minkowski-Weyl定理，每个都是多面体的。由于多面体锥的有限和是一个多面体锥，我们得出结论thatx\'ATpxq是一个多面体圆锥体，因此是封闭的。注意，在上一节的注释中，我们已经建立了X“LppFT，Rdq，Y”LppFT，Rdq，Z“Rd，C”Rd`，和D“LppFT，Rd`q。我们现在准备陈述我们的主要结果，这是对组合优化问题（P）的对偶问题的一种表述。然后我们检验了原对偶问题之间的关系。也就是说，我们建立了强对偶性。定理5.2.对偶问题到（P）问题是，zqP\'ATpxq\'^Rd\'zt0uhpy，zq（D），其中h:LqpFT，Rdq^Rd\'zt0u~nGpRd\'q定义为ashpy，（5）当y（P）P（ATpxq）和z的任何组成部分都是零的时候，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，z（z）QQQQ，z（z）QQQQ，z（z）QS（QS）QS（QS）QS（QQQQQQ）QQQQQQQQQQQ（PQ）z（PQ）PQ）z（PZZQ）z（PQ）z（PQ）z）z（PZZQ）如果y（PQQQ）如果y（PQQQQQQQQ）PQ，如果y（PQ）PQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ，如果y，如果y（P（P）PQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ）下面是lemmaLemma 5.3。

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2022-5-10 13:52:20

问题（P）的拉格朗日函数为l:LppFT，Rdq^LqpFT，Rdq^pRd`zt0uq~nGpRd，由px定义的Rd`q，y，zq“tz P Rd | zpEr\'Upxqsq`ypxqdzpzqu，如果yP\'ATpxq`rdother.（7）证明。请注意，LppFT、Rd`q和Rd`的正对偶锥分别是LqpFT、Rd`q和Rd`q。因此，根据定义4.1，拉格朗日函数l在LppFT、Rdq^LqpFT、Rdq^pRd`zt0uq上有域。同样从定义4.1中，我们可以看到，lpx、y`pxq、pyqzpxq、pyqz`右边的并集可以明确地写为dyPx\'ATpxqtz P Rd | ypyqdzpzqu“tz P Rd | infyPx\'ATpxqypyqdzpzqq”tz P Rd | infyP ATpxqypyqdpzqupzqu。请注意，ATpxq“x”LppF KdLppFT，Kq¨LppFT，KTq是一个圆锥体中的一个圆锥体，KTq。在右边的圆锥体内是一个圆锥体[12]上的函数，可以写为pyqpyqpzqpzqpzqpzqy]q是关于ATpxq的指标函数，等于0，如果y（y）属于A和8，则等于0。因此，身份（8）变成了Px，y（8）是y（8）是y（8）属于A和其他8。因此，身份（8）是8。因此，身份（8）是8。身份（8）变成了Px，y（8）是，y（8）是，y（8）是，z（8）是，z（8）q）是q（8）是（8）是，y（8）是，y，y（8）是，y（8）是）是，y，y（8）是，y，z（8）是，z（q）q）是q）是q）是，q，q，q，q）是“q”是“q”是“q”是“q”是”的“q”是”是“q”是”是“q”是”的“q”的是”的是”的是”的是”的是“tz P路| Adzpzqu’路`“tz P Rd | adzpzqu表示Ry t `8u中的任何常数a。它遵循lpx，Y，zq”tz P Rd | |ΔP | ATpxqq`pyq`zpEr Upxqsq`Ypxqdzpzqu推导恒等式（7）。回想一下，效用函数Upxq的坐标函数uipxq是每x P Rd的实值。结合以下事实：Ohm 是有限的（因此问题公式中的预期是有限的）产生了以下命题。提议5.4。（P）的目标函数可以从拉格朗日（7）中恢复。也就是说，suppy，zqPLqpFT，Rdq^Rd`zt0ulpx，y，zq“Er\'Upxqs`Rd`:0px\'ATpxqH:otherwiseProof。这紧跟在上述注释和定理4.2的应用之后。使用引理5.3，我们完成定理5.2的证明。

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2022-5-10 13:52:24

根据双目标（4）hpy的定义，zq“infxPLppFT，Rdqlpx，y，zq。如果yR\'ATpxq`，这是Rd。如果yP\'ATpxq`infxPLppFT，Rdqlpx，y，zq”infxPLppFT，Rdqtz P Rd | |ΔP\'ATpxqq`py q`z每upxq`ypqq`ypzqu\'cld“cl tz | infxPLppFT，RdqzpEr`Upxqsq`ypxqdzpzqu.上述表达式中的最大值是一个凸函数和的芬切尔共轭。由于一个真凸函数的芬切尔共轭是正确的，并且是下半连续的[13，定理11.1]，因此我们可以从表达式中去掉闭包。因此，“tz | infxPLppFT，RdqzpEr `Upxqsq`ypxqdzpzquand结果已被证明。定理的最后部分，我们用凹共轭形式重新表述对偶目标，如下所示，因为infxPLppFT，RdqzpEr `upxqq`ypxq”infxPLppFT，RdqErxz，upxqys`ypxqqinfxPLppFT，rdqerz，rdquxqypxqypxqypxi“infxPLppFT，Rdq"yωPOhmPrωs"yd"yi“1\'ziuipxipωqq`yipωqxipωq,利用总和上的可分离性给出了"yωPOhmPrωsd"yi“1infxipωqPR\'ziuipxipωqq`yipωqxipωq,”E<<d"yi“1infxiPLppF，Rqyipxiqziuipxiq ff，从中可以立即得到结果。更多细节可以在下一节中找到，在下一节中，我们用一个例子问题forcontext来更慢地执行这个计算的细节。在集值芬切尔共轭的语言中，我们有以下简单的推论。推论5.5.对偶问题的目标函数是py，zq”“`Fp `y，zq，如果yp `ATpxq`RDOthers.（9）其中F是F.证明的芬切尔共轭。我们计算F.证明的芬切尔共轭。

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2022-5-10 13:52:29

对于每一个yP LqpFT、Rdq、zP Rd`zt0u，根据定义4.5，其如下所示：，（7）自z（10）（11）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自p）自z（10）自z（10）自）自z（10）自）自z（10）自z（10）自）自z（10）自z（10）自z）自z（10）自z）自z（10）自z）自z（10）自z（10）自z）自z（10）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自z）自z（10）自该（10）自该（10）自该公司以来，该（10）自）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该公司ypxqdzpz\'Er\'Upxqsu“cl”z | infxPLppFT，Rdqypxq\'zpEr \'Upxqsqdzpzq*“”z | infxPLppFT，Rdqypxq`zpEr\"Upxqsqdzpzq*。这与第（5）条一致。定理5.6。问题（P）和（D）之间存在着强烈的对偶性。就是，根据定理4.4和引理5.1，可以证明“在第一部分中，我们使用弱对偶。通过命题4.3，pDd，可以证明d‰Rd引理2.9给出了‘ATpxq`X int pLPpFT，Rd`q是非空的，因此每个ωp都存在着<<yp>>ATpxq`和<<ypωqi 2590Ohm, 1didd.然后提供，zqP\'ATpxq\'^zPRd\'zt0uhpy，zqDtz | infxPLppFT，RdqdpEr\'Upxqsq\'ypxqddpzqu。最后一次围堵之后是y“~y和z“d，是由所有的1组成的d维向量。因此，它必须显示infxplppft，RdqdpEr\'Upxqsq''ypxqa8，这相当于upxplppft，Rdq'ypxq'dpEr\'Upxqsqa8。请注意，这个表达式的左侧只是函数dpEr\'Upxqsq的芬切尔共轭。我们有supxplppft，Rdq'y'pxqdper\'Upxqsq“supxPLppFT，RdqErxypωq，xpωqys\'Erx，\'U pxpωqys”supxPLppFT，Rdqωn"yω“ωPrωs<<d"yi>>1yipωqxipωq\'p uipxipωqq fff“d"yi”1ωn"yωPr s<<supxipωq>>y>>ipω12）遵循rdpft的第一个等式。

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能者818

2022-5-10 13:52:32

第二个和第三个原因是Ohm 以及表达式的可分性。由于每个ui都是连续的，其范围为p\'8，0q，以及每个yipωqa0，因此中值定理给出了每个ωpOhm, 1didd，存在xipωq，使得uipxipωqq“~yipωq.根据[12，定理23.5]，supxpωqiyipωqpxipωqqq在xipωq处达到其最高值。因此（12）下一步，我们证明Slater的条件是满足的。我们想找到一个x'ATpxq x int p'LppFT，Rd`qq‰H.回想问题公式中的dom F“LppFT，Rdq，因此Slater条件的第一部分不是一个限制。请注意，sinceATpxq“x\'K\'LppF，Kq'''LppFT，kqt，其中每个kt都是一个偿付能力锥，xP ATpxq。然后，选择x，使得xipωqapxq对于每个分量1didd和所有ωPOhm. 我们有x\'xP x\'ATpxq和alsox\'xP int p\'LppFT，Rd\'qq，所以Slater的条件是满足的。6在最后一节中，我们探索了一个例子，希望能帮助说明前面章节的理论结果。我们考虑一个具有2个资产和3个时间步的市场，因此时间步t的范围为0到3。概率空间Ohm “'Si”1t′1，0，1u，概率测度P在该集合上统一定义。换句话说，可能的结果ω被定义为一个元组ω“pω，ω，ωq，ω，ω，ωp t′1，0，1u。从决策者的角度来看，我们在每个时间图1：各种t和ω的偿付能力锥Ktpωq。步骤t取已知值ωt的随机变量。因此过滤ppFtqt“0q由Ft”σpωi|idtq定义，由这些随机变量生成的σ代数。

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能者818

2022-5-10 13:52:37

我们还将F“F”σpω，ω，ωq定义为完整信息的西格玛代数。买卖过程p∏tqTt“0定义如下：∏tpωq”1 18–2ridtωi.这显然是pFtqt“0适应的，而且人们也可以很容易地检查每个实现是否满足BidTask矩阵的属性。由该过程生成的偿付能力锥是kTPωq”conetp1，\'\'1q，p\'1，8–2ridtωiq“tpx，yq|x`yě0，8–2ridtωix`yě0u。图（1）说明了这些锥的不同时间和ω的实现。我们将向量值目标函数定义为upxq“p\'e\'x，\'e\'xqt，其中x”px，xqt是我们在终端时间拥有的物理资产的数量。我们要最小化的设定值目标函数是thenF pxq“e”`e\'x，e\'xTiR`。我们假设我们的初始捐赠是p0，0qT。自筹资金投资组合的集合是“\'K\'Lppσpωq；Kq\'Lppσpω，ωq，Kq\'Lppσpω，ω，ωq，Kq，其中Ktpωq如上所示。然后我们可以将原始投资组合优化问题表述为最小化E”`E\'x，E\'xTiR`（Pex），根据定理（5.2），对偶问题是thensuptz xplpprinflppr，fqpePex，首先，我们研究集合A的性质。从[12][Cor 16.4.2]开始，也就是说，yP LqpF，Rq在A中，当yωq P Ktpωq\'对于每个t“0，…，3.我们可以显式地计算锥Ktpωq`。我们有Ktpωq“cone^conv”1˙，18-2ridtωi˙˙因此双锥Ktp^1\'1˙，^8–2ridtωi\'1˙*˙。接下来我们取这些圆锥体的交集来形成一个`pωq。对于一个固定的ω，让spωq“minj”0,1,2,3rji”1ωi。然后`Apωq`“cone^^''1˙，^'8–2spωq'1'729;。图（2）说明了ω的各种时间和实现。现在我们用它来简化对偶问题（Dex）。

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2022-5-10 13:52:42

目标函数为，zq“z | infxPLppF，RqzpE”pE\'x，e\'xqT‰q`ypxqdzpzq*“z | infxPLppF，RqE”ze\'x`ypxqdzpzq*图2：各种t和ω的正极锥Ktp q`“ze\'x`ze\'x`yx`yxdzpzq*利用概率空间是有限的这一事实，我们扩展了期望#z | infxPLppF，Rq"yωPOhmze\'xpωq`ze\'xpωq`ypωqxpωq`ypωqxpωqdzpzq+这一结果在xipωq变量上是可分离的。因此，“#z |"yωPOhminfxpωqPRtze\'xpωq`ypωqxpωqu`infxpωqPRze\'xpωq`ypωqxpωqdzpzq+我们可以明确地计算每一个数值。请注意，在2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2007年的p年的pωQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ因此目标函数变成#z |"yωpOhmypωq\'ypωq ln^ypωqzypωq\'ypωq ln^ypωqzpzq+当ypωq，ypωq，z，z‰0时。因此，当ypωq，ypωq，z，z‰0时，我们得到对偶问题的以下公式：找到#pz，zqT"yωP的上确界Ohmypωq\'ypωq ln^ypωqzypωq\'ypωqz^ypωqzz`zzp RzpωOhm当其中一个zor-zequals为0时，我们在目标中只考虑xor x，因为其他项消失了。同样，由于上一页的共轭结果，ypωq“0”的情况消除了目标中带有ypωq的表达式。ypωq“0”的情况是对称的。参考文献[1]马克·哈·戴维斯和安德鲁·诺曼《带交易成本的投资组合选择》。《运筹学数学》15.4（1990），第676-713页。[2] F.德尔班和W.沙切迈耶。套利的数学。斯普林格金融公司。施普林格柏林海德堡，2006年。

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2022-5-10 13:52:46

isbn:9783540312994。网址：https://books.google.com/books?id=H3qCqENWeVgC.[3] A.Hamel等人，“集合优化——一个相当简短的介绍”。《金融领域的集合优化与应用》，斯普林格PROMS系列（即将出版）。[4] 安德烈亚斯·H·哈默尔。“集值函数的对偶理论I:芬切尔共轭理论”。《集值与变分分析》（2009），第153-182页。[5] 安德烈亚斯·H·哈默尔和安德烈亚斯·洛恩。“集合优化中的拉格朗日对偶”。In:J.Optim。理论应用。161.2（2014），第368-397页。issn:0022-3239。内政部：10.1007/s10957-013-0431-4。[6] Andreas H Hamel、Andreas L–ohne和Birgit Rudlo off。“线性向量优化的Benson型算法及其应用”。摘自：《全球优化杂志》59.4（2014），第811-836页。[7] Y.M.卡巴诺夫。“货币市场交易成本下的套期保值和清算”。《金融与随机3.2》（1999），第237-248页。issn:0949-2984。内政部：10.1007/s007800050061。网址：http://dx.doi.org/10.1007/s007800050061.[8] Yu M Kabanov和Ch Stricker。“交易成本下的哈里森-普利斯卡套利定价定理”。摘自：《数理经济学杂志》35.2（2001），第185-196页。[9] 安德烈亚斯·洛恩、比吉特·鲁德罗夫和菲尔德夫·乌卢斯。“凸向量优化问题的原始和对偶近似算法”。发表于：全球优化杂志60。4（2014），第713-736页。[10] Michael JP Magill和George M Constantinides。“具有交易成本的投资组合选择”。摘自：《经济理论杂志》第13.2期（1976年），第245-263页。[11] 罗伯特·C·默顿。“连续时间模型中的最优消费和投资组合规则”。摘自：《经济理论杂志》3.4（1971），第373-413页。[12] R.T.罗卡费拉。凸分析。普林斯顿大学在数学和物理方面具有里程碑意义。普林斯顿大学出版社，1997年。isbn:9780691015866。[13] R.T.Rockafellar、M.Wets和R.J.B.Wets。变分分析。

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