重尾资产的投资组合优化：极端风险指数vs。

2022-5-8 05:25:16

最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003《重尾资产组合优化：极端风险指数与MarkowitzGeorg Mainik》上获得*Georgi Mitov+Ludger Rüschendorf 2015年5月7日摘要利用2001年至2011年标准普尔500指数股票的日收益率，我们基于极端风险指数（ERI）对投资组合优化策略进行了一项回溯测试研究。该方法利用多元极值理论来最小化大港口的概率。有400多只股票可供选择，我们的研究似乎是首次大规模应用极值技术进行投资组合管理。我们调查的主要目的是研究ERI在实践中的潜力。该策略的性能以最小方差投资组合和等权投资组合为基准。这些基本策略是大规模应用的重要基准。我们的比较包括投资组合的年化收益、最大提取、交易成本、投资组合集中度和投资组合中的资产多样性。除此之外，我们还研究了另一种尾部指数估计器的影响。我们的结果表明，ERI策略在厚尾资产上显著优于最小方差投资组合和等权投资组合。关键词：投资组合优化；浓重的尾巴；尾部风险；极端风险指数；极值理论；金融危机。*苏黎世ETH数学系风险实验室：瑞士苏黎世Raemistrase 101，8092，www.georgmainik。com+FinAnalytica Inc.So fia:21 Srebarna Str.，5楼，保加利亚佐治亚州So fia 1407号。mitov@finanalytica.com——弗莱堡大学数学随机学系：埃克斯特。179104Freiburg，德国，ruschen@stochastik.uni-弗莱堡。12月2015年，爱思唯尔。

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2022-5-8 05:25:19

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp FIN.2015.03.0031简介中获得。在本文中，我们提出并测试了一种投资组合优化策略，旨在通过稳定投资组合价值来提高投资组合回报。该策略最大限度地降低了大规模提款的可能性，有助于在市场高风险时期尽可能好地恢复投资组合的价值。当然，这种预期的绩效并不是投资组合管理的新目标，自2008年莱曼兄弟违约以来，它变得更加重要。接下来几年的金融危机表明，金融市场的技术进步及其全球化也带来了一些新的挑战。其中一个挑战是，需要制定多元化战略，以应对危机期间资金的大量减少和对资产回报的日益依赖。这提高了投资组合优化中非高斯模型、尾部依赖和基于分位数的风险度量的相关性[5、8、9、10、11、12、17、21、24、26、35、38、39、44]。投资组合优化的理论和实践发展自Markowitz[36]引入以来，均值-方差方法成为资产配置的行业标准。然而，这一流行趋势也使实际应用中的一些技术问题变得更加复杂，并且已经有了大量的进一步发展来解决这些问题。相关研究的一个主要方向是研究参数不确定性对投资绩效的影响。估计的均值-方差有效组合对基础分布参数（资产收益率的期望值和协方差）中的估计误差的高度敏感性可能会导致高度不稳健的结果。

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2022-5-8 05:25:23

Barry[2]和Chopra and Ziemba[6]在估计预期收益时表现出了高度的敏感性。Jorion[29,30,31]和Jagannathan and Ma[27]发现，纯最小方差（MV）投资组合的表现可能优于平均方差有效投资组合。文献中提出了几种解决参数不确定性的统计挑战的方法。其中包括使用贝叶斯和收缩估计，将投资组合缩小到某个预定目标，这取决于先验信息与样本数据的组合（例如，见Jorion[29,30]）。Black和Litterman[3]建议对均值和协方差进行贝叶斯估计。然而，他们对优势的发现2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003Bayes/Stein程序中获得，但在其他一些研究中，如Efletcher和Ley Offer[16]以及Grauer和Hakanson[20]未得到证实。DeMiguel等人[9]和DeMiguel及Nogales[8]研究了稳健优化和收缩估计的潜在优势。然而，结果并不完全清楚，事实证明，在某些情况下，即使是经过稳健性和优化的流程，也无法超越简单的启发式策略，如同等权重的投资组合。关于稳健资产配置，TüTüncü和Koenig[42]寻找具有最佳最坏情况性能的稳健解决方案，而Goldfarb和Iyengar[19]在稳健模型框架中选择最坏情况估计量，该框架可以通过线性规划来解决。

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2022-5-8 05:25:26

Herold和Maurer[22]观察到，即使是这些更稳定的估计方法，在与预期回报的回归模型相结合时，也只能优于简单的策略。另一个研究方向包括改变投资策略优化问题中目标函数的几种方法。这里讨论的问题之一是，按方差对风险进行量化并不能区分收益和损失。因此，为了避免非对称分布收益的错误结论，应用纯下行风险度量是有利的。Young[43]引入了另一种基于最小收益而非方差的优化准则作为风险度量，并提出了一种极大极小方法。这符合一种效用原则，投资者方面有一种极端形式的风险规避。Ghaouiet等人[18]提出了一种最坏情况下的风险值和稳健规划方法，该方法仅基于收益分布的部分信息，假设只有矩的界限是已知的。Jarrow和Zhao[28]将较低的偏矩作为下行损失规避的风险度量，并将得到的最优投资组合与基于均值方差的投资组合进行比较。虽然这两种方法在正态分布收益率上的表现相似，但在不对称重尾分布的收益率上，它们可能会导致显著不同的结果。基于极端风险指数（ERI）的投资组合优化在本文中，我们遵循投资策略衍生的优化问题发展的基本路线。我们重新制定ofc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

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2022-5-8 05:25:29

0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。该优化问题中的目标函数基于极值理论，专门针对具有重尾资产的投资组合而设计。极值理论是一个足够的工具，以改善回归模型。与均值-方差优化相比，我们的方法不依赖于收益分布的二阶矩的存在性。随着尾部越来越重，方差和协方差估计量可能变得不可靠，甚至可能不存在时刻本身。因此，均值-方差方法往往会面临其局限性，尤其是在金融回报表现最极端的危机时期。已经讨论了几个针对该问题的修改；关于这类重尾模型的相关性，参见Rachev等人[39]。在本研究中，我们将一种基于极值理论的新方法应用于真实数据的投资组合优化。这项研究似乎是大规模基于极值的投资组合优化的首选。我们的主要目标是评估投资组合优化中基于极值的方法的总体潜力。在这个初始阶段，我们将极值方法的一个非常基本的实现与类似基本的、因此相对稳健的基准进行比较。我们的基准由最小方差投资组合（MV）和等权投资组合（EW）给出，该组合将总资本的1/N部分投资于N项资产中的每一项。根据我们的结果，基于极值的方法在轻尾资产上落后于其基准，但在中等重尾或非常重尾资产上优于它们（MV和EW）。如上所述，即使采用重新估算技术，在大规模上优于这些简单方法也并非易事。

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2022-5-8 05:25:32

基于极值的方法的优势在最重尾的情况下尤其明显，该方法就是针对这种情况设计的。更具体地说，我们方法的数学基础在Minik和Rüschendorf[35]中阐述。我们的投资组合是通过最小化极端风险指数（ERI）来获得的，该指数量化了资产回报的严重依赖性对投资组合回报尾部的影响。我们将此策略和所选基准应用于2007年11月至2011年9月期间标准普尔500指数股票的每日收益数据。组合权重的计算利用了每个交易日前六年的数据。为了评估投资组合再平衡延迟的影响，我们不仅每天进行再平衡，而且每周进行一次。为了稳定起见，每日和每周再平衡的投资组合估值均为arec2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/根据每日数据，最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。除了投资组合价值，我们还跟踪与投资组合结构、多元化程度和交易成本相关的其他特征。在我们的第一轮回溯测试实验中，我们将ERI优化应用于数据集中所有具有完整历史记录的标准普尔500指数股票（500只股票中有444只）。在这一基本设置中，基于ERI的算法在年化回报率方面略优于MV andEW投资组合（6.8%，而每日再平衡分别为5.8%和5.3%）。所有方法都显著优于标准普尔500指数，该指数的年化回报率为-5.2%.作为下一步，我们根据股票的特点将其细分为三组。我们的结果表明，ERI优化特别适用于具有重尾的资产。

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2022-5-8 05:25:35

在这一资产组上，它的表现明显优于斯马尔科维茨（Smarkowitz），并且每天重新平衡的年化回报率为11.5%。与MV andEW策略实现的5.0%和5.1%相比，这一点令人印象深刻，因为回溯测试期间包括最近的金融危机，因此更令人印象深刻。跟踪投资组合的周转率，我们发现theERI策略倾向于增加交易成本。然而，在没有分组的基础实验中，重尾组的ERI最优投资组合的换手率低于MV投资组合的换手率。EW投资组合的表现与MV投资组合相似，尤其是在收益率为重尾的资产上。我们的主要发现是，ERI优化显著优于具有非常重尾的资产的SMV和EW投资组合。此外，ERI最优投资组合的结构与同行非常不同，尤其是在从所有444项资产中选择投资组合的基本情况下。基于ERI的投资组合是从较少的资产中构建的，但通过主成分分析衡量，它显示出更好的多元化。每周再平衡的总体情况类似。这些结果表明，ERI优化可以作为风险集合类投资组合选择的一个有用的选择。从某种意义上说，这一策略似乎获得了经济学理论所承诺的回报，即更大的尾部风险更高。这项研究中一个值得注意的细节是，三种比较方法（ERI、MV、EW）都没有考虑预期回报。

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2022-5-8 05:25:39

尽管如此，它们中的每一个都显著优于标准普尔500指数，如果我们记住我们使用的数据包括2008年和2009年的金融危机，那么ERI策略在重尾资产上的年化回报率就出人意料地高。ERI策略的风险导向性质表明，这一结果得益于投资组合中风险的改进检测和处理。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。通过纳入预期收益，对基于ERI的投资组合优化的进一步改进类似于均值-方差设置。可以通过线性约束来调整基于ERI的优化问题，该约束反映了一些目标回报。理论上，这将进一步提高ERI策略的性能。然而，这一扩展的实际实施面临着与目标回报的Markowitz战略相同的统计挑战。以上讨论的文献表明，超越纯粹以风险为导向的ERI策略并非易事。论文的结构如下。第2节介绍了备选投资组合优化算法及其技术背景。第3节：我们概述了回溯测试研究中使用的数据，定义了最优投资组合的估计器，并介绍了所有需要跟踪的其他投资组合特征。第4节介绍并讨论了回溯测试实验的详细结果。第5.2节理论背景2给出了结论。1资产和投资组合损失let Si（t）表示资产的价格Si，i=1，N、有时t=0，1。

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2022-5-8 05:25:41

T关注下行风险，让Xi（t）表示资产的对数损失Si，Xi（t）：=-logSi（t）Si（t）- 1)!= 对数Si（t）- 1) - log Si（t），（2.1）和letfXi（t）表示相应的相对损失：fXi（t）：=Si（t）- 1) - Si（t）Si（t）=Si（t- 1） Si（t）- 1、对于每日股票收益率，Xandfxiare几乎相同，因为Fxi是对数损失Xi的一阶泰勒近似值。这种近似也适用于资产组合。考虑一种投资策略（静态或一个时期），使单位资本在资产上多样化，SN。它可以用组合权重的向量w来表示∈H:={x∈ RN:PNi=1xi=1}。不包括空头头寸，投资组合setc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp FIN.2015.03.003上获得，但仅限于单工单元N:={w∈ [0,1]N:PNi=1wi=1}。这是我们将从现在开始使用的投资组合。每种成分都是wi≥ 0对应于投资于Si的总资本的分数，相对投资组合损失等于投资组合向量w和相对损失向量fX（t）的标量积wTfX（t）：=PNi=1wifXi（t）=（fX（t），fXN（t））：NXi=1wiSi（t）- 1）（Si（t）- 1) - Si（t））=wTfX（t）。（2.2）因此对数损失向量X（t）的标量积wTX（t）：=（X（t），XN（t））是wTfX的一阶泰勒近似。这种近似也与马科维茨方法有关，后者通常适用于对数回报率。2.2多元规则变量为了定义随机向量X（t）的极端风险指数（ERI），我们收集了多元规则变量（MRV）的概念。一个随机向量=（X。

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2022-5-8 05:25:44

，XN）是MRV，如果其极坐标的联合分布R:=kXk:=PNi=1 | Xi |和Z:=kXk-1个满意度（r-1R，Z）| R>R）w→ ρα ψ，r→ ∞, （2.3）式中，ψ是1-范数单位球面s上的概率测度，ρα是帕累托分布：ρα（s，∞) = s-α、 s≥ 1.符号→ 在（2.3）中表示概率测度的弱收敛性，符号指概率测度的直积。（2.3）的直观含义是，对于足够大的R，以R>R为条件，随机变量R-1R近似帕累托（α）分布，与近似ψ分布的Z无关。除（2.3）外，还有其他几个与MRV相当的定义；更多详情请参考Resnick[40]。参数α>0称为tailindex。它将R的有限时刻与有限时刻区分开来，即Rβ<∞ 对于β<α和ERβ=∞ 对于β>α。在非退化情况下，随机向量X的所有分量xio发生相同的力矩爆炸。测度ψ称为X的谱（或角）测度，描述随机向量X.c的多余方向的渐近分布2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。直观地说，MRV意味着半径R有一个多项式尾，并且渐近（即，对于大R）独立于角度部分Z。此外，如果可测量集 Rn距离原点足够远，即如果kxk≥ t代表所有x∈ A和一些大t，然后P（X）∈ sA的-αP（X）∈ A）（2.4）对于s≥ 1和sA:={sx:x∈ A} 。标度特性（2.4）允许从大损耗扩展到超大损耗，甚至可能超出观测数据的范围。

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2022-5-8 05:25:47

这种近似是极值理论的核心思想（参见Embrechts等人[15]）。许多流行的型号都是MRV。特别是，多元t和多元α稳定分布（参见Araujo和Giné[1]，Hult和Lindskog[25]）就是这种情况。在后一种情况下，稳定性指数α也是尾部指数，表征多变量特性的谱测度是（2.3）中ψ的常数倍。在所有这些模型中，分量在P（Xi>r）/P（Xj>r）的意义上是等价的→ ci，j>0作为r→ ∞ 尽管如此，j∈ {1，…，N}。这相当于角测量ψ：ψ{x的以下非简并条件∈ SN:xi=0}<1对于i=1，N.应注意的是，MRV假设（2.3）具有渐近性质，并且具有相当的限制性。MRV模型经常被批评为排除了Xi组分甚至略有不同的尾部指数αIf。然而，这种批评也影响了多变量t和多变量α稳定模型，尽管结果限制为等于αi，但它们在实践中被广泛接受。事实上，单独估计每个分量的尾部指数α，很难获得不同i的相同值。但另一方面，αioftenoverlap的置信区间，因此，MRV模型可能足够接近现实，并提供有用的结果。MRV模型之所以在实践中有用，主要是因为实际问题是非渐近的。事实上，重要的不是约束渐近关系（2.3），而是标度性质（2.4）。如果（2.4）在与应用相关的范围内与实际情况非常接近，则在尾部进一步违反（2.3）不会对结果产生太大影响。C2015年，爱思唯尔。

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2022-5-8 05:25:50

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。实际应用通常涉及此类启发。特别是，如果Siare股价因此非负，那么相对损失fxiarebounded为1。深入到尾部，必须观察相对投资组合损失wTfX和对数近似wTX的不同行为。然而，由于典型的日收益率值位于低百分比区域，且约10%的值仅出现在危机时期，相对损失确实表现出P（fXi>rs）P（fXi>r）类型的多项式标度-α. （2.5）图2.1显示了对数标准普尔500指数收益率（与我们的回溯测试研究中的观察期相同）与正态分布和Student-t（3）分布的QQ图。正态分布为轻尾分布，而t（3）分布满足（2.5）α=3（更一般地说，t分布满足（2.5）自由度满足（2.5）α=ν）。灰红色线表示x轴上分布的0.4%、10%、90%和99.6%分位数（正态或t（3））。0.4%和10%分位数之间的区域对应于每两周（10个工作日）或每年一次（约250个工作日）观察到的最差回报。90%和99.6%分位数之间的区域对应于每2周或每年观察一次的最佳回报。这就是上面提到的应用范围。一个好的分布函数使得QQ图在这个范围内呈线性。图2.1清楚地表明，正态分布对标准普尔500指数收益率数据的影响很小，而重尾t分布的影响要好得多。

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2022-5-8 05:25:53

这幅图既不取决于是指数还是单只股票，也不取决于观察期。图2.1使用了与我们的回溯测试研究相同的观察范围，但即使将观察窗口向后移动10或20年，也会得到惊人的相似结果。因此，如果X和FX都是MRV，那么我们很幸运地留在了X和FX可以作为MRV处理的区域，并且wTfX’wTX的近似值工作得相当好。因此，即使如果rs太接近1，缩放特性（2.5）最终会下降，但在应用范围内也会产生一些有用的结果。我们的回溯测试结果证实了这一点。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp FIN.2015.03.003上获得-3.-2.-1 0 1 2 3-0.10 0.00 0.05 0.10正常无量子化和P 500对数-返回（已排序）-15-5 0 5 10 15-0.10 0.00 0.05 0.10t（3）无量子化和P 500对数-收益率（排序）图2.1标准普尔500指数对数收益率与正态andt（3）分布的QQ图。红色虚线表示0.4%、10%、90%和99.6%的分位数。2.3通过极端风险指数进行投资组合优化MRV假设（2.3）意味着LIMR→∞P（wTX>r）P（kXk>r）=γw:=ZSNmax（0，wTz）αdψ（z）（2.6）（参见35和33，引理2.2）。这意味着对于任何投资组合向量SV，w∈ 大r>0P（vTX>r）P（wTX>r）\'γvγw.（2.7）此外，对于λ≤ 1接近1时，可以得到VaRλ（vTX）VaRλ（wTX）\'γvγw！1/α（2.8）（参见35和34，推论2.3）。在这里以及接下来的内容中，我们将置信水平λ下随机损失X的风险价值VaRλ定义为X的λ-分位数：VaRλ（X）：=inf{X∈ R:P（X）≤ 十）≥ λ}.粗略地说，VaRλ（X）是最小的X≤ x保持概率λ。λ的典型值分别为95%、99%和99.5%。C2015年，爱思唯尔。

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2022-5-8 05:25:56

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。受（2.7）和（2.8）的影响，功能性γw=γw（ψ，α）被称为极端风险指数（ERI）。最小化函数w7→ γw，即在发生危机事件的情况下，可以获得最大限度地减少kXk损失的单行本。在精确的数学术语中，我们将λ的VaRλ（wTX）最小化→ 1.本程序的实际意义是利用缩放特性（2.4）获得一个组合，该组合在市场崩盘期间将下行风险降至最低。这个近似结果并不完美，但它可以朝着正确的方向迈出一步。在积分表示法（2.6）的基础上，Mainik和Rüschendorf[35]提出了以下投资组合优化方法：o通过将α和ψ的适当估计插入（2.6）中来估计γwb通过最小化所得到的估值器bγww（关于w）来估计最优投资组合。优化问题的一般性质在Mainikand Rüschendorf[35]、Mainik[32]和Mainik and Embrechts[34]中进行了讨论。具体而言，已知函数w7→对于α>1，bγ是凸的。因此，考虑到夏尔有限公司的预期，一个典型的最优投资组合将在多个资产上实现多元化。所得到的估计最优投资组合w的插件估计量Bγwand的一致性*在严格的理论意义上，麦尼克[32,33]、麦尼克和吕申多夫[35]对意识进行了研究。1数据本文的贡献是对基于ERI的Portfolio优化方法在真实市场数据上的回溯测试研究。我们的数据集涵盖了标准普尔500指数的所有组成部分，这些组成部分在2011年10月19日至10年前有着完整的历史。

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2022-5-8 05:26:00

这是500只股票中的444只。对于2007年10月19日至2011年10月19日的回溯测试期间的每个日期，最佳投资组合的估计都是基于之前对所有股票的1500次观察（大约6年的历史）。例如，根据该时期（2001年10月19日至2007年10月18日）的股价数据估计2007年10月19日的最佳投资组合。我们的计算基于（2.1）中定义的对数损失Xi（t）。如上所述，我们排除空头头寸。Thisc2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003basic framework最自然地用于投资组合策略的比较。资产指数i在1到N=444之间变化，时间指数T的值在1到T=2509之间（1500天的历史记录+回溯测试期间的1009天）。为了估计α和ψ，我们将（对数）损失向量X（t）转换为极坐标（R（t），Z（t））=（| | X（t）| |，|X（t）||-1X（t）），t=1，T.3.2估计器和算法通过将希尔估计器应用于径向部分R（T）来估计α：bα=kPkj=1log（R（j），T/R（k+1），T）（3.1），其中T>1500和R（1），T≥ . . . ≥ R（1500），是径向部分R（t）的降序统计-1500), . . . , R（t）-1） k=150。也就是说，在历史观测窗口中的1500个数据点中-1500, . . . , T-1我们使用最大径向部分的10%。回到Hill[23]，Hill估计器是估计尾部指数α的最典型方法。k的选择决定了假设哪些观测值来描述尾流行为。

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大多数88

2022-5-8 05:26:03

选择k的另一个重要标准是偏差（大k通常会增加）和估计值方差（小k则会增加）之间的权衡。除了静态10%规则外，还要考虑Nguyen和Samorodnitsky[37]中提出的自适应方法。参见Daníelsson等人[7]、Drees和Kaufmann[14]、Resnick和Stˇaricˇa[41]了解更多相关方法。正如Mainik和Rüschendorf[35]中提出的那样，我们通过对具有最大半径部分的观测值的角度部分的经验测量来估计ψ。更具体地说，我们在移动观测窗口中使用相同的10%数据点（所谓的尾分数），用于获得Bα。结果估计量γwisbγw（t）=kkXj=1max（0，wTZ（ij，t））bα，其中ij是顺序统计量R（j）在整个数据集中的样本指数：R（j），t=R（ij，t），j=1，1500，t=1501，TC2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003W上获得最佳投资组合的结果估计*（t）在交易日，t是投资组合向量w∈ n最小值为bγw（t）：bγw*（t） =minw∈Nbγw（t）。（3.2）最后，估计的最优投资组合w*（t）用于撰写交易日t的投资组合。

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2022-5-8 05:26:06

由此产生的（相对）投资组合回报通过替换w来计算*（t）在（2.2）中。在t>1500的所有交易日重复上述程序。例如，2007年10月22日的最佳投资组合基于2001年10月29日至2007年10月21日的观察窗口，而2007年10月23日的最佳投资组合基于2001年10月30日至2007年10月22日的观察窗口，依此类推。该投资组合优化算法的基准由平均加权（EW）投资组合和最小方差（MV）投资组合给出，平均加权（EW）投资组合为每项资产分配1/N=1/444的权重。与ERI最优投资组合类似，MV投资组合由对数资产收益率计算得出，具有相同的1500点移动观察窗口和协方差矩阵的经验估计。与ERI方法类似，我们对马科维茨方法的实施选择了风险最小的投资组合，即方差最小的投资组合。也就是说，给定资产收益率S的协方差矩阵的估计值BC，SN，通过最小化函数W 7得到的估计最小方差组合Wmvi→ wTbCwfor w∈ N.也就是说，我们不包括额外的线性约束Twtbu=’u（3.3），其估计值为每日收益的Bu，目标收益的u>0。这一选择有两个原因。一方面，ERI最小化也是一个纯粹的风险最小化过程，因此忽略马科维茨基准中预期收益的估计会增加竞争的公平性。此外，由于ERI方法只改变了风险的数量，还没有改变对收益的看法，因此自然要在纯风险导向的环境中研究其影响。有目标回报的theERI捐赠方法很简单。与Markowitz方法类似，它需要将线性约束（3.3）添加到优化问题（3.2）中。C2015年，爱思唯尔。

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2022-5-8 05:26:09

根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得。另一方面，在目标回报约束（3.3）下计算Markowitz有效投资组合需要估计预期资产回报率，并引入第1节中讨论的所有技术问题。同样的问题必须出现在扩展的ERI应用程序中，包括（3.3）。在实践中，这些技术问题可能会主导与目标回报相关的理论绩效改进。4实证结果4。1整套股票的基本设置我们从ERI最小化策略的最粗略应用开始，从参与我们研究的所有股票再培训的随机向量（X，…，X）的径向部分估计尾部指数。由此得出的估计值bα=bα（t）随时间变化，但它适用于所有N=444只股票，就好像它们的点分布是MRV一样。这是一个非常大胆的假设，但即使在这种情况下，我们也看到了一些有用的结果。这些结果的第一印象如图4.1所示，其中ERI最优投资组合的价值与同行（MV和EW）以及标准普尔500指数的表现进行了比较。图表显示，在市场崩盘期间，基于ERI的投资组合的价值更加稳定。另一方面，MV投资组合似乎在复苏期再次赶上。马科维茨方法也试图评估潜在收益。在这种情况下，ERI、MV和andEW获得的累积回报类似，但对于基于ERI的投资组合来说，仍然具有一些优势。

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2022-5-8 05:26:14

因此，ERI策略——即使在其粗略的实施过程中——似乎也有可能在危机中稳定投资组合的价值。EW投资组合的整体表现与theMV投资组合非常相似，但夏普比率较低，提取率较高。因此，有必要在目前的环境中考虑MV基准。所有活跃交易策略基准（ERI、MV、EW）明显优于标准普尔500指数。然而，这一优势的真正方面并不明显，因为为了实现的简单性，我们仅将ERI、MV和EW应用于整个观察期内仍在标准普尔500指数中的444只股票。由于这种关于未来发展的信息在现实中并不可用，因此可能存在幸存者偏见，从而提高了三个活跃交易基准的绩效。然而，ERI、MV和EW之间的比较结果应该是公平的，因为它们都适用于DC2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.0034050607080901001012013014001上获得-十一月-200720-12月-200711-二月-200801-四月-200819-也许-200808-七月-200825-八月-200813-十月-200801-12月-200821-简-200911-破坏-200929-四月-200917-六月-200905-八月-200923-九月-200910-十一月-200930-12月-200919-二月-201009-四月-201027-也许-201016-七月-201002-九月-201021-十月-201009-12月-201028-简-201118-破坏-201106-也许-201124-六月-201112-八月-201130-九月-2011年投资组合优化回溯测试- 每日再平衡ERI&P 500最小方差等权图4.1假设所有股票收益都具有相同的尾部指数α，ERI最小化策略的投资组合优化回溯测试。

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2022-5-8 05:26:18

在回溯测试期的第一天，ERI策略及其同行（MV、EW和标准普尔500）的最终投资组合价值将缩放至100。致444只幸存者股票。表4.1显示了基本ERI方法与其同行相比的更多特征。数据显示，ERI策略在很多方面都优于MV和EW投资组合。特别是，theERI最优投资组合具有更高的累积回报率和更高的利差，而最大提取率低于MV策略。基于预期短缺（ES）的夏普比率的扩展是斯塔尔比率（参见Rachev等人[39]）：斯塔尔λ（Z）：=E（Z）- rf）ESλ（Z）- rf）其中rf是无风险利率，λ是接近1的置信水平。ERI策略的后验STARR也高于MVI方法。夏普和斯塔尔比率的计算是基于对预期和预期短缺的经验估计。股份有限公司2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003ERI MV EW S&P 500CR（累积回报）30.07%25.48%23.24%-19.38%AR（年化回报）6.76%5.81%5.34%-5.22%AS（年化夏普）0.4715 0.3469 0.3229-0.0462AST（年化星号0.95）0.1926 0.1410.1318-0.0187MD（最大下降）46.61%58.63.27%AC（年化夏普）平均浓度系数127.22%444 N/AAT（平均营业额）0.0400 0.0272 0.01 N/APCA（第一主成分分析因子解释方差）31.32%35.48%38.80%N/ATable 4.1在基本设置下（一次应用于所有股票）与。

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2022-5-8 05:26:22

最小方差（MV）、等权投资组合（EW）和标准普尔500指数。特别是ES0的估计。95在1009天的回溯测试期间，基于51个最大的投资组合损失观察。由于日标度的无风险利率既难以确定，又小到可以忽略不计，因此我们将rf设为0。表4.1和本文所有其他表格中报告的年度夏普和斯塔尔比率是通过每日比率乘以系数得出的√252.这种启发式方法基于这样一种假设：日历年的T=252个工作日，收益率以系数T表示，而年度波动率和预期缺口以系数T表示√T由此得出的年化值是非常粗略的近似值，但根据10年的数据，对年回报率、波动率和预期缺口进行更可靠的估计是不可行的。为了衡量投资组合股票的集中度，我们计算了集中系数（CC）。定义为asCC（t）：=nXi=1wi（t）！-1（4.1）式中，wi（t）是t时投资组合中资产i的相对权重。从概念上讲，这种方法在工业集中度的度量中是众所周知的，在工业集中度的度量中，它被称为赫芬达尔-赫希曼指数（HHI）。Brandes研究所通过反转C引入了浓度系数2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003HHI上获得。等权投资组合的CC与资产数量相同。随着投资组合集中在较少的资产上，资本成本成比例下降。

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2022-5-8 05:26:25

表4.1中的数字表明，ERI策略具有相当高的选择性，而MV Portfolois中的股票数量与资产总数具有相同的规模。为了评估每个优化算法提供的多样化水平，我们对与相应投资组合相关的所有股票的回报进行了主成分分析（PCA）。我们通过算法分配的投资组合权重定义相关性，并将PCA限制在投资组合权重高于0.01%的股票上。然后，我们估计了由第一个PCA因子解释的样本方差部分，并对回溯测试期间的每日估计值进行了平均。第一个主成分分析因子解释的样本方差平均部分越低，投资组合的差异就越大。表4.1中的数字非常令人惊讶：尽管集中度显著提高，但基于ERI的投资组合的多元化水平高于MV策略。ERI落后于MV的唯一绩效特征是投资组合周转率，这是一项战略交易成本的代表。我们使用基于再平衡交易绝对值的投资组合周转率定义：τ（t）：=nXi=1 | wi（t）- wi（t）-)|式中，wi（t）是在时间t重新平衡（根据优化策略）后资产i的（相对）投资组合权重，wi（t-) 是在时间t重新平衡之前，即交易期t结束时，资产i的portfolioweight- 1.表4.1给出了回溯测试期间所有t的τ（t）平均值。ERI最优投资组合（0.0400）的平均换手率高于最小方差投资组合（0.0272）。一些技术细节。在计算投资组合价值时，我们使用了相对回报，并且在使用对数近似法时，预计不会有太大差异。

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2022-5-8 05:26:28

在计算STARR和Sharpe比率时，我们不使用无风险利率，因为它们每天都非常小，因此对比率计算几乎没有影响。对于ES inSTARR的估计，我们使用小于样本95%VaR的所有样本值的平均值。我们的回溯测试周期为1009，因此ES估计基于n=51个观察值。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.0034.2上获得。在上一节中，我们将股票与相似的α进行分组，将所有股票视为其（对数）回报率具有相同的尾部指数α。这种简化会影响定量和定性结果。为了获得更好的洞察力，我们将股票按其各自的α分为三个不同的组，并比较每个组的投资组合优化策略的性能。图4.2显示了回溯测试周期第一天（t=1501）不同股票的尾部指数α估计值的直方图。1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2020406080100120α图4.2回溯测试周期第一天不同股票的尾部指数α估计值我们考虑以下几组：1。所有带有α的股票≤ 2.22. 所有带有α的股票∈ (2.2, 2.6)3. 所有带有α的股票≥ 2.6第一组包含134只股票，第二组包含243只股票，第三组包含67只股票。这些组在回溯测试期间保持不变。也就是说，回溯测试期第一天的估计α决定了每只股票被放在哪一组。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

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2022-5-8 05:26:31

0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.0034060801001401601601601801801801上获得-十一月-200720-12月-200711-二月-200801-四月-200819-也许-200808-七月-200825-八月-200813-十月-200801-12月-200821-简-200911-破坏-200929-四月-200917-六月-200905-八月-200923-九月-200910-十一月-200930-12月-200919-二月-201009-四月-201027-也许-201016-七月-201002-九月-201021-十月-201009-12月-201028-简-201118-破坏-201106-也许-201124-六月-201112-八月-201130-九月-2011年投资组合优化回溯测试- 每日再平衡ERIS&P 500最小方差等权重图4.3投资组合优化回溯测试。含α的股票≤ 2.2ERI MV EW S&P 500CR 54.70%21.58%22.30%19.38%AR 11.48%4.99%5.14%5.22%0.6623 0.3546 0.3182-0.0462AST 0.2695 0.1430.1299-0.0187MD 53.67%48.03%61.32%56.34%AC 7.4499 10.9712 134 N/AAT 0.0269 0.0154 0.01 N/APCA 35.02%33.33%35.17%N/ATable 4.2回溯测试统计数据。含α的股票≤ 2.2从带有α的股票集合中选择≤ 2.2尾部指数为α的股票的回溯测试结果≤ 2.2如图4.3和表4.2所示。在这种情况下，ERI最小化明显优于同行，并产生了令人印象深刻的11.48%的年化回报率。这比MV或EW投资组合实现的约5%的两倍还要多。EW投资组合的整体表现再次与MV投资组合相似，但有更大的下降。因此，在这种情况下，必须考虑MV基准。ERI策略的夏普和斯塔尔比率也明显高于MV。这两个投资组合的集中度是相同的，但基于ERI的投资组合的集中度仍然略高。与对所有标准普尔500指数股票进行的基本回溯测试类似，ERI策略产生了更高的投资组合周转率（0.0269，而MV为0.0154）。

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2022-5-8 05:26:35

然而，这两个值都低于基本设置下MV投资组合的平均营业额（0.0272）。这些结果表明，ERI策略对于优化厚尾股票的投资组合特别有用，在我们的案例中，444只股票中有134只。这是意料之中的，因为ERI方法是为重尾MRV模型开发的。除此之外，在目前的环境下，MV方法的性能较差还有一个统计原因。对于较重的尾部，协方差的估计变得越来越困难，对于α<2，协方差（以及相关）甚至不存在。马科维茨方法中使用的心理协方差可能会将投资者推向错误的方向。C2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。0/最终出版物现在可在doi:10.1016/j.jemp fin.2015.03.003上获得，从带有α的股票集合中选择∈ (2.2, 2.6)40506070809010011012013014001-十一月-200720-12月-200711-二月-200801-四月-200819-也许-200808-七月-200825-八月-200813-十月-200801-12月-200821-简-200911-破坏-200929-四月-200917-六月-200905-八月-200923-九月-200910-十一月-200930-12月-200919-二月-201009-四月-201027-也许-201016-七月-201002-九月-201021-十月-201009-12月-201028-简-201118-破坏-201106-也许-201124-六月-201112-八月-201130-九月-2011年投资组合优化回溯测试- 每日重新平衡ERIS&P 500最小方差等权重图4.4投资组合优化回溯测试。含α的股票∈ （2.2,2.6）ERI MV EW S&P 500CR 35.87%31.00%22.28%19.38%AR 7.93%6.96%5.14%5.22%AS 0.5448 0.3711 0.3170-0.0662AST 0.2306 0.1517 0.1301-0.0187MD 45.56%57.70%63.89%56.34%AC 7.3987 1.00 243 N/AAT 0.0249 0.0000 0.01 N/APCA 32.78%100.00%40.24%N/Test可回溯统计4.3。

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可人4

2022-5-8 05:26:39

含α的股票∈ （2.2,2.6）如果股票选择仅限于α介于2.2和2.6之间的股票，则基于ERI的投资组合的年化回报率（7.93%）略高于MV和EW基准（分别为6.96%和5.14%）。虽然回报率相同，但MV和EW投资组合的波动率却越来越高。因此，ERI优化在Sharpe ratio、STARR（ERI均较高）和最大下降（ERI均较低）方面明显优于同行。令人惊讶的是，MV投资组合的PCA为100%，即最小方差算法仅选择一只股票。从带有α的股票集合中选择≥ 2.6对于α>2.6（因此尾巴最轻）的股票，在年化回报率、夏普比率、STARR和营业额方面，theERI最小化策略的表现落后于MV和EW。ERI和MV的最大提款率相似，EW投资组合的最大提款率更高。就PCA而言，三种竞争策略的差异水平相似。ERI和MV方法产生的投资组合浓度处于相同水平，对于ERI最优投资组合略高。因此，ERI最小化策略令人印象深刻的优势似乎仅限于具有明显重尾行为的股票。这一优势转化为中等偏厚尾部股票的近似平价。对于轻尾股票，MV策略会产生更高的年化回报率，同时也会产生类似的下降，EW投资组合的回报率甚至更高，但也会显著下降2015年，爱思唯尔。根据Creative Commons Attribute NoDerivatives 4.0 Internationalhttp://creativecommons授权。组织/许可证/由nc nd/4提供。

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