基于拟凹的风险和模糊规避投资组合优化

2022-5-5 05:54:27

基于拟凹效用函数的风险和模糊规避投资组合优化Sigrid K¨allblad*2018年9月18日摘要受最近公理化发展的推动，我们研究了风险和模糊规避投资问题，其中交易在固定期限内进行，并根据准康凹效用函数定义的标准评估终端报酬。在目前的情况下，Schied（2007）为所谓的变异偏好建立了某些存在性和二元性结果。这些结果在经典效用最大化问题已有结果的基础上得到了验证。1导言选择最佳方式分配投资者资本的最佳投资问题通常被描述为最大化、过度允许的投资策略、最终财富的预期效用的问题。该公式依赖于冯·诺伊曼南德·摩根斯坦[52]和萨维奇[46]开发的公理基础。在连续时间最优投资组合选择中，这项研究追溯到默顿的开创性贡献[38,39]。为了制定预期效用标准，代理人一方面需要通过投资水平和效用函数指定自己的偏好，另一方面需要在提供计算预期的概率度量时指定自己对未来的看法。然而，后者的规格本身可能存在不确定性。这被称为模糊性，或骑士的原始贡献的不确定性[3 1]。通过埃尔斯伯格悖论[12]，这一点变得尤为突出。从决策理论的角度来看，Gilboa和Schmeidler[22]的开创性工作解决了这个问题。他们制定了关于投资者偏好的公理，这些公理应该解释对模糊性和风险的厌恶。

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2022-5-5 05:54:30

具体而言，在Anscombe-Aumann模型中，冯·诺依曼和摩根斯坦的公理被放松，因为独立公理被确定性公理所取代。这导致了偏好在一致货币效用函数方面的数值表示。后者的稳健表示（对于有界随机变量的情况，参见[9]），然后产生对对象X的偏好的以下表示*CMAP，巴黎理工学院。电子邮件：西格丽德。kallblad@cmap.polytechnique.fr.这项工作是D.菲尔的一部分。论文在牛津大学完成，并得到桑坦德研究生奖学金和西奥福德·曼定量金融研究所的支持。在so me集合内X:X 7-→ infQ∈量化宽松U（X）, （1）对于so me von Neumann-Morgenstern效用函数U和概率测度集Q。这推动了对规避风险和模糊性的投资者的研究，他们以连续时间市场模式l在固定的单位区域进行交易，并根据c标准（1）评估终端财富。与这种所谓的多重先验偏好相关的投资问题已经得到了很好的研究。随机控制方法已成功应用于特定市场模型和效用函数的选择，并获得了明确的解决方案。具体而言，对于

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2022-5-5 05:54:34

根据Kramkov和Schachermayer[32,33]中经典效用最大化问题的结果，[44]和[48]中的作者建立了一个对偶公式，并证明了o最优解的存在性（包括消费的情况也见[5,53]）。Gilboa和Schmeidler的轴对称性结果后来在Maccheroni等人[36]中进行了推广，其中进一步阐述了独立性公理。这导致了一个凹形货币效用函数的数值表示。结合将相干效用泛函的表示推广到凹函数，对于F¨ollmer a and Schied[15]和Fritelli and Rosazza Gianin[21]中获得的有界随机变量的情况，它暗示了数值表示X 7-→ infQ∈Q情商U（X）+ γ（Q）, （2）对于某些函数γ。虽然（1）中设置的多重先验是最坏情况下的方法，但γ的出现使投资者能够根据其可行性对可能的市场模型进行加权。这使得演示直观地具有吸引力。还研究了与这些所谓的变量偏好相关的投资问题。特别注意了当惩罚函数由Q相对于参考模型的相对熵给出时的情况。这些标准早在汉森和萨金特的开创性工作中就被引入了[1,2,3]。对于这种选择，问题最自然地是关于消费效用（或随机差异效用）的，自然工具是BSDE理论。虽然在[50]中开始了一项系统研究，但这些结果在许多文章[4,8,13,27,35]中得到了相当大的扩展。在终端财富效用和一般变分准则的情况下，随机控制方法已成功地应用于对数效用的选择。

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2022-5-5 05:54:37

这适用于随机因素模型以及非马尔可夫模型；分别参见[25,26]和[34]。对于变分偏好也给出了普遍存在性和对偶性结果。具体而言，通过使用与[44,48]中使用的Theone类似的方法，Schied[4 7]将这些结果推广到凹形情况。[22]和[36]中的决策理论结果最近被Cerre ia Vioglio等人[7]的发展进一步扩展。注意到所有模糊厌恶偏好都通过削弱独立性公理（环境中的坐标独立公理）而公理化，在[7]中，作者将这一公理从本质上完全删除，从而达到极端。因此，出现了一种拟凹效用泛函的数值表示。最近的进展也产生了后者的强劲r e表现；除[6,7]外，参见Drapeau和Kupper[11]以及Fritelli和Maggis[19,20]。这激发了viaX 7代表偏好的动机-→ infQ∈QGQ、情商U（X）, （3）对于联合拟凸的函数G，其第一个参数是下半连续的，第二个参数是非减右连续的。类似于多重先验和变量情况（参见（1）和（2）），这些进步推动了相关投资问题的研究。本文的目的是发起这样一项研究。具体而言，在一个占主导地位的体系中，我们考虑了一个投资者，该投资者在连续时间市场模型的固定期限内进行交易，根据（3）评估终端财富，并在可接受的交易策略下最大化该数量。虽然投资者的风险规避受标准效用函数的控制，但模糊偏好因此由准凹效用函数决定。据我们所知，这个问题以前从未被研究过。

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2022-5-5 05:54:40

事实上，尽管[7]中的进步最近推动了投资组合优化领域内拟凸风险度量的使用（见[37]），并且之前已经研究过拟凹效用函数，但与（3）相关的风险和模糊规避效用最大化问题似乎尚未得到解决。我们注意到，这个概念在某种意义上是统一的，即所有模糊性的逆向偏好，尤其是多重先验、熵和变分偏好，都包括在特殊情况下。准康凹偏好的类别还包括与变分偏好不相关的有趣例子。其中，所谓的s mooth偏好公理化[29]，相当于考虑可能分布的分布，而不是最坏的方法。我们的结果推广了[47]中的结果（参见[44,48]），因为我们证明了最优策略的存在性，并建立了拟凹情形的某些对偶结果。正如经典效用最大化理论一样，在双重领域内研究这个问题具有各种优势。最重要的是，在稳健偏好的情况下，对偶问题相当于寻找一个极小值，而原始问题具有一个鞍点。与[47]类似，我们在经典效用最大化问题（参见[32,33]）的现有结果的基础上证明了我们的结果。然而，与凹性相反，效用函数的准凹性要求与[47]中使用的方法略有不同。特别是，我们获得了其中结果的其他证明。本文的组织结构如下。第2节详细介绍了市场模型和投资标准。第3节给出了主要结果，第4节给出了项目和进一步说明。

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2022-5-5 05:54:44

辅助引理的证明被推迟到附录中。2.市场模型和投资标准我们考虑固定期限T>0和给定的过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P），其中P是所谓的参考度量。我们首先确定投资者的偏好。然后，具体说明了市场模型和投资问题。投资者的风险偏好通过效用函数U：（0，∞) → R、这是严格增加，严格凹，并满足Inada条件，limx→0U′（x）=∞ 还有limx→∞U′（x）=0。（4）正如引言中所述，在[7]之后，投资者的模糊厌恶是通过aquasiconcave效用函数确定的。后者是φ：L的映射∞→ [-∞, ∞] 这满足了准连续性和单音调。回想一下，如果一个函数是拟凸函数的负函数，那么它就是拟凹函数；如果一个函数的水平集是凸x，那么它就是拟凸函数。对于一个函数f:x→ R、这相当于fλx+（1）- λ） y≤ 最大值f（x），f（y）, x、 y∈ 十、因此，拟凹效用函数（拟凸风险测度的负值）满足φλX+（1）- λ） Y）≥ 闵φ（X），φ（Y）, 和φ（X）≥ φ（Y），如果X≥ 然而，它既需要满足现金不变性，也需要满足概率同态性。我们的标准的具体说明依赖于稳健的r表示结果（见[11]中的定理3.2；也见[7]中的定理7]），该结果表明∞, 五十） -上半连续拟凸函数φ（X）允许（鲁棒）表示φ（X）=infQ∈M（P）GQ、情商十、,对于某些函数G∈ G、其中，函数集G是下一个规定的，M（P）是σ-加性概率测度的集合，绝对连续，对于任何G∈ G、用这种方法定义的函数φ是一个上半连续的qua-siconcave效用函数。定义1。

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2022-5-5 05:54:47

设G表示函数集G:M（P）×R→ [-∞, ∞] 满足以下条件：i）G（Q，·）是非减且右连续的；ii）G是联合拟凸；iii）G-（·，s）是弱下半连续的，其中-（Q，s）=supt<sG（Q，t），Q∈ M（P）。iv）G有一个渐近最大值，即am（G）：=lims→∞G（Q，s）=lims→∞G（\'Q，s），对于所有Q，\'Q∈ M（P）。特别地，G（Q，·）是准线性的，并且是上半连续的。综上所述，我们认为投资者应评估终端支付的效用，并将其建模为随机变量(Ohm, F、 P），在形式（3）和G的鲁棒效用泛函方面∈ G.对于G对应于相干和凹效用函数的特定情况，该准则分别减少到[44,48]和[47]中研究的多先验和变分偏好。与[22]和[36]中的雄辩结果推动了对后一类问题的研究一样，对更一般的量子事例的研究也依赖于[7]中最近的公理扩展。在不丧失概括性的情况下，我们可以通过写X来精确→ infQ∈QGQ、情商U（X）, （5）其中，对于给定的G∈ G、 Q:={Q∈ M（P）：G（Q，t）<∞, 对于某些t>0}。我们强调，当U（X）∈ l对于我们要考虑的支付类型（参见下文），根据G定义的效用函数∈ G仅针对有界随机变量定义。事实上，虽然拟凹风险测度的理论已经扩展到了更一般的空间，但我们并不局限于函数G∈ 这一点是成立的。我们以类似的方式制定了风险规避措施，并对风险规避措施进行了研究∞. 为了确保（5）得到很好的定义，我们让等式[F]：=∞ 如果EQ[F+]=EQ[F-] = ∞.

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2022-5-5 05:54:49

此外，我们将G（Q，·）的域扩展到扩展实线，因为我们定义了G（Q，-∞) := -∞ 和G（Q，∞) := AM（G）。例1。根据拟凹效用函数定义的偏好示例是所谓的平滑标准：X 7-→ φ(-1)ZM（P）φ等式[U（X）]du（Q）, （6）其中φ是一个模拟模糊厌恶的增凹函数。也就是说，代理考虑的不是对可能的模型进行限制，而是对它们进行分配。Klibano ff等人[29]（另见[51]）在比[7]中使用的公理更强的公理下对这些标准进行了公理化。因此，（对于有界支付），这些标准构成了准凹偏好的特殊情况。[7]中给出了相关函数G的具体形式，Yieldsfurt直觉给出了标准。接下来，我们详细说明了连续时间市场模型和一组可接受的交易策略。市场模型由Rd值价格过程St定义，该过程被假定为半鞅(Ohm, F、（英国《金融时报》，第页）。假设价格过程满足NFLVR条件，并考虑参考测度P。对于给定的初始资本x>0，以及可预测的S-可积交易策略πt，相关的财富过程由xπt=x+ZtπsdSs，t给出≥ 0.我们表示一个交易策略，如果Xπt≥ 0，t的P-a.s∈ [0，T]并用X（X）表示相关的财富过程集。因此，我们旨在研究以下投资问题。问题1。对于给定的G∈ G、我们考虑了风险规避和模糊规避投资问题，即最大化可容许终端支付XπT，X上的泛函（5）∈ X（X）。关联值函数u:R+→ R由u（x）定义：=supX∈X（X）infQ∈QGQ、情商UXπT.

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2022-5-5 05:54:52

（7）我们强调，容许策略集X是根据P定义的，其作用是指定空集，而不是表示最可能的模型。特别是，我们考虑了所有测量Q的环境∈ Q是绝对连续的，对应于参考度量（对于具有相互奇异度量的模糊规避投资组合优化，请参见[41]和其中的参考文献）。还要注意的是，虽然u（x）是非递减的，但它既不凹也不连续（参见备注3）。我们通过定义一个辅助优化问题来结束本节，该问题对于后续分析至关重要。问<< P、 letuQ（x）：=supX∈X（X）等式U（XT）, （8）其中X（X）如上所述。我们还引入了（对偶）辅助问题vq（y）：=infY∈Y（Y）EZV（YT/Z）, （9）其中Z=dQdP，V（y）=supx≥0（U（x）- xy）和Y（Y）是所有正P-超鞅的集合，因此Y=Y和xy是所有X的P-超鞅∈ X（1）。在不另行通知的情况下，这些函数也将分别用uZ（x）和uZ（y）表示。虽然（8）和（9）中的目标函数是根据测度Q定义的，但可接受策略集和双重目标是根据参考测度P定义的。因此，尽管它适用于Q~ P、这些辅助问题分别是标准投资问题及其市场的双重对应方，与计量Q有关，这不一定是Q的情况<< P.特别是，STL不需要满足NFLVR的条件（参见第4.1节的进一步讨论以及下面的备注4和5）。3主要结果在本节中，我们给出了主要结果。第4节给出了证明。以下假设自始至终都是成立的。假设1。存在Q，Q∈ Q su ch thatuQ（x）<∞, 对于一些x>0，（10）和gQ、 uQ（x）< ∞, 对于所有x>0。

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2022-5-5 05:54:57

（11）请注意，假设（10）和（11）是不相交的，因为它们都不意味着另一个（尽管它们可能都满足相同的Q值）∈ Q）。还要注意，（10）表示uQ（x）<∞ 对于所有x>0，而且假设1 yieldsu（x）=supg∈X（X）infQ∈QGQ、情商U（f）≤ infQ∈QGQ、 uQ（x）< ∞, x>0。（12）首先，我们确定问题1的解的存在性。独特性问题将在下面讨论。定理1。让G∈ G假设1成立，并假设vq（y）<∞, y>0，（13）对于每个Q∈ Q、或者G（·，t），t∈ R、是凸的，且（13）对每个Q都成立∈ 量化宽松。然后，存在一个最优终端支付∈ 得到（7）中的上确界的X（X）。我们对上述结果的假设作两个一般性评论。备注1。这个G（·，t），t∈ R、凸是关联效用泛函凹的必要条件，但不是充分条件。因此，这类偏好包括但不限于可变偏好。然而，与[47]中介绍的方法完全相同的方法可用于确定这种情况的存在性，参见第4.1节中的讨论，因此（13）只适用于Q∈ 质量保证。备注2。假设（13）适用于Q∈ Q暗示（参见下面的引理1）Q=Qf，其中Qf:={Q∈ Q:uQ（x）<∞} .事实上，定理1成立的一个充分条件是Q=qfae+∞（U） <1。事实上，与标准情况（参见[33]中的注释2]）类似，这产生了vQ（y），Q的完整性∈ Q.Yetan另一个有效条件是vQ（y）<∞, Q∈ Qe，每个Q∈ Q、存在∈ qeq[U（g）]≤ 等式[U（g）]<∞, 尽管如此，g∈ C（x）。（14）实际上，（14）意味着uQ（y）≤ uQ（y）<∞, 最后一个不等式来自于假设。因此，下面引理1关于Q的共轭关系成立。

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2022-5-5 05:55:00

这就产生了vQ（y）=supx>0uQ（y）- xy≤ supx>0uQ（y）- xy= vQ（y）<∞.因此，vQ（y）<∞ 尽管如此，Q∈ Q和定理1的假设成立。我们强调，假设vQ（y）<∞, Q∈ Q、这很自然。首先，在一些额外的假设下，确定了内模和上模（7）可以互换的可能性很低（参见定理2）。实际上，在不影响间接效用u（x）的情况下，s et Q可以由集合Qf代替。更重要的是，这个假设意味着辅助投资问题本身对于每个单独的度量Q都是可解的∈ Q（参见下面的引理1）。如上所述，辅助问题不是一个标准问题。然而，这可能被理解为每个模型的套利条件（参见[28]，其中表明，当且仅当市场满足无套利条件时，经典效用最大化问题才允许解决方案）。因此，假设与歧义厌恶论的解释有关。一方面，标准（5）是根据偏好的公理产生的；这是通过拟康凹效用泛函的ro bus t表示实现的。这种动机本身并不意味着测量Q∈ Q满足任何与市场相关的条件。然而，在文献中，通常也会通过这样一个事实来激发模糊厌恶c标准，即它们实际上相当于根据其合理性对不同的可能市场模型的预期进行Q加权。虽然变分情况下的权重由惩罚函数γ确定，但函数G允许在拟凹情况下更灵活。考虑到后一种解释，很自然地假设每个市场模型都是Q∈ Q、它本身构成了一种理性的市场模式，不包括套利。这正是（13）所能保证的。

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2022-5-5 05:55:03

如何确保这一条件适用于特定的G选择，这一重要问题仍有待解决。在定理m 1的假设下，不清楚（7）中的内确界和上确界是否可以互换（也不清楚是否达到了内确界）。因此，不需要存在一个辅助问题（参见（8））来产生作为模糊规避标准（5）的模拟投资行为。然而，在一些额外的假设下，情况就是这样；我们将回到这里（见第10页）。接下来，我们将研究风险和模糊规避投资问题的双重版本（5）。具体而言，我们建立了原始问题和对偶问题及其各自解决方案之间的关系。正如变分情形（参见[47]）一样，实际上不需要研究对偶问题来证明原问题解的存在性。事实上，定理1的证明取决于辅助问题（8）的性质，因此，更确切地说，取决于对其对偶问题的研究。然而，它的双重对应物的研究是有趣的，因为它提供了对问题和最优策略的进一步理解。与标准情况类似，对对偶问题的研究比原始问题的研究有许多优点。这尤其适用于歧义厌恶偏好，其中双重pr问题相当于纯整数的搜索，而原始问题m具有鞍点。特别是，大多数文章为效用函数和惩罚函数的特定选择提供了明确的解决方案，尤其关注对偶问题，而不是原始问题。因此，我们有理由相信，对偶公式也有助于获得更明确的结果。研究结果还使我们能够得出关于最优策略的重要结论。

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2022-5-5 05:55:06

具体而言，关于等价辅助问题的存在性和最优策略的唯一性（参见第3章后的讨论）。我们附加以下假设。假设2。函数G是联合下半连续的，水平集Qt（c）是相对弱紧的，其中Qt（c）：=Q∈ Q:G（Q，t）≤ C, T∈ R、 c≥ 0.此外，U:R+→ R+或G（Q，·），Q∈ Q、它是凹的。注意，自从Q→ G（Q，t）是弱下半连续的，Qt（c）是弱c闭的，因此，由于Dunford-Pettis定理，相对弱紧性等价于一致可积性。此外，回想一下函数G∈ G、 G-（·，t），t∈ R、下半连续与G（Q，·），Q∈ Q、是上半连续的。因此，假设G是联合下半连续的，实际上相当于假设G（Q，·）是连续的。这两个性质都与这样一个事实密切相关，即我们认为（均匀地）拟凹效用泛函不仅从上到下是连续的，因此是弱连续的（与上半连续相反）。我们参考[6,16,19,20]了解更多细节，但请注意，这类拟凹效用泛函在当前上下文中是自然的。实际上，在[7]中，公理（包括一个连续公理）被表述为以弱连续效用泛函为术语的数值表示。虽然这种（自然的）额外的连续性是二元性结果的基础，但正效用函数的限制是技术原因所必需的。放松这一假设的可能性有待于未来的研究。然而，请注意，[44]中的结果仅适用于正效用函数。对G（Q，·）凹的限制产生了[47]中处理的变异情况。

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2022-5-5 05:55:10

它作为一个特殊案例包含在or DER中，用于比较我们的方法，并将我们的结果与其中的结果联系起来。定理2。让G∈ G使假设1和2成立。然后，i）稳健值函数satiesu（x）：=supX∈X（X）infQ∈QGQ、情商U（XT）= infQ∈QsupX∈X（X）GQ、情商U（XT）, （15）此外，u（x）=infy>0v（y；x），（16），其中v（y；x）是由v（y；x）给出的双值函数：=infQ∈QGQ、 vQ（y）+xy. （17） ii）此外，如果v（y；x）<∞, 然后，对偶问题（17）允许一个解决方案（bQ，bY），它在任何其他解决方案（Q，Y）都等于Q的意义上是最大的<<bQ和YT/Z=bYT/bZ，Q-a.s.虽然上述结果对G（和U）的结构性质施加了比定理1所需的更严格的条件，但此处不要求存在所需类型的完整性假设。这应该与[32,33]中的结果有关，因为共轭关系是在比存在所需条件弱得多的条件下产生的。对于变分情况，原始值函数和对偶值函数（参见（16））之间的关系在[47]中建立，前提是uQ（x）<∞ 对于一些问题∈ Qeandv（y；x）<∞ 意味着vQ（y）<∞ 对于一些问题∈ 量化宽松。（18）虽然这种假设很自然，但实际上并不需要。然而，对于变分情形，在这个附加假设下，可以证明稍强的结果；参见下面的备注5。下一个结果与原始问题和对偶问题的各自解决方案有关。特别地，结果给出了一个等价辅助问题的存在性，并证明了最优策略的唯一性。定理3。让G∈ 假设假设2和定理1的假设成立。让“X”成为原始问题的解决方案。

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2022-5-5 05:55:13

然后，原始问题允许一个鞍点（\'X，\'Q），并且存在y*> 0，达到（16）中的上限。进一步假设G（Q，·），Q∈ Q、严格地增加，让（bY，bQ）成为y级对偶问题的任何解决方案*. 然后，（\'X，bQ）是原始问题的鞍点，而且，\'X=I（bYT/bZ），bQ-a.s.（19）上述结果具有特殊的意义，因为它进一步理解了最优策略。LetbQ是对偶（或等价的原始）问题最大解的度量。根据相关文献，我们称之为最不利措施。关系式（19）则意味着最优解bxt在fa ct中是唯一的。因此，如果最不有利测度等价于P，则解为P-a。s、独一无二。特别是，它可以从双重解决方案中恢复。然而，一般来说，最不利的措施不需要与P等价。然而，通过对适当的主张进行超边缘化，仍然可以从对偶问题的给定解决方案中构造最优策略（参见[47]中的推论2.7]）。鞍点的存在还意味着，在后验概率中，存在一个辅助投资问题（8），该问题产生与原始准则相同的最优行为（尤其是，对于变分准则，这一点始终成立）。具体地说，用最不利度量定义的辅助问题bq允许一个解（参见下面的引理1），该解bq-a.s.与原始问题的解一致。由于最不利的度量是原始问题解决方案的一部分，因此歧义规避问题和辅助问题之间的等价性是后验结果。考虑到辅助问题的存在（目标函数是封闭的），最优策略的BQ-a.s.唯一性是自然的。

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2022-5-5 05:55:17

在定理1较弱的假设下，不清楚是否存在等价的辅助问题（参见第8页的讨论）。在更一般的假设（假设G（Q，·）严格增加）下，唯一性在多大程度上成立的问题留待将来研究。备注3（时间一致性）。一般来说，问题1不是一个时间一致的投资问题（参见[47]了解变分情况下的反例）。因此，一个自然的问题是，它是什么样的消费。事实上，虽然时间一致性本身很重要，但它也很重要，因为它可以使用随机控制方法。因此，这是将变分偏好的偏微分方程和BSDE的适用结果推广到准康凹情形的先决条件（参见引言中的参考文献）。然而，拟凹效用函数（拟凸风险测度）的时间一致性仍然是一个开放的问题，特别是可行的显式例子很少。事实上，虽然[10]中建立了凸风险度量的暂时一致性的必要和充分条件（另见[3]和[14]），但对于凸情况，此类结果仍然缺乏。在最近的工作中，[19,20]通过研究条件拟凸风险度量启动了这样一个项目。在[43]中，时间一致性问题以及与g-期望的关系也在更一般的非线性预期框架内进行了研究。我们还注意到，在（7）中，投资者的风险偏好是通过标准的连续凹效用函数建模的。虽然这个假设对于静态问题来说非常合理，但值函数u（x）只会满足较弱的性质（关于值函数性质的更精确研究将留待将来研究）。

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2022-5-5 05:55:20

因此，研究这类时间一致性问题还需要研究U（x）上的弱假设下的风险和模糊规避投资问题（7）。综上所述，虽然时间一致性的问题非常有趣，但它们也带来了具有挑战性的其他问题，这些问题留给了未来的研究。4证明上述定理将[47]中为变分偏好建立的结果（参见[44,48]中的相干情况）推广到了拟凹风险和模糊规避投资标准。因此，我们的证明自然受到了前几篇文章的启发，并且在许多方面与前几篇文章类似。具体来说，这里的想法也是通过利用辅助问题（8）的现有结果来确定风险和模糊规避问题的结果。正如前文所指出的，对于Q~ P、这就是[32,33]中研究的经典效用最大化问题。问<< P、这不一定是事实。在[47]中，这是通过使用某些限制参数来处理的。然而，在我们的例子中，G的较弱性质意味着这种方法不适用。因此需要一些不同的论点。在第4.1节中，我们解释了为什么我们不能直接应用[47]中提出的论点，并进一步详细描述了我们使用的方法。这说明了所需假设的差异。在第4.2和4.3条中分别证明了存在性和对偶结果。下面引理1的证明被推迟到附录中。4.1辅助问题及其意义对于[47]中研究的变分情况，Q中的测度的出现是绝对连续的，但不一定等同于P，如下所述。问∈ Q\\Qe，作者让Q∈ qe和定义Qt，t∈ [0,1]，通过Radon-Nikodym导数zt:=（1）- t）分别是Q+Zcd，Qand+Zcortz。

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2022-5-5 05:55:23

那么，Qt∈ 基福特∈ （0,1）。此外，在适当的完整性假设下→ GQt，uQt（x）和t→ GQt，vQt（y）+xy, （20）分别是连续的和上半连续的。综合起来，这意味着可以通过依赖辅助问题（参见（8））的结果来确定结果，这些辅助问题仅与P等效。对于后者，[32,33]中的结果反过来可以直接应用。接下来，只需要对度量集qe而不是Q提出某些假设（参见定理1）。这种方法与这样一个事实密切相关，即在假设存在一个惩罚是有限的等价度量的情况下，凹效用函数表示中的一组绝对连续度量可以被等价度量所取代；参考[30]。然而，（20）中的连续性性质依赖于一个事实，即对于变分情形G（·，t）=γ（·）+t，因此，映射是凸的。事实上，这意味着映射→ G（Zt，s），t∈ [0,1]，s∈ R、（21）也是凸的。如果它是有限的，那么它就是上半连续的。根据Le mma 3.3 in[48]，t→ uZt（x）是连续的，在相当弱的假设下，也是t→ vZt（y）是半连续的。因此，（在适当的完整性假设下，）中要求的连续性属性如下。关键的一点是，对于我们考虑的拟凹函数，函数G（·，t）可能不是凸的。因此，（20）中的连续性属性可能不成立，因此[47]中提出的论点不适用。我们的方法是基于对辅助问题的更深入研究（8）。虽然这不是一个标准问题，但事实上，它只是对eof的一个小修改，因此可以使用[32]中开发的相同方法来解决（参见下面的引理1）。

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2022-5-5 05:55:26

通过这一观察，我们可以解决风险和模糊性，从而避免投资问题。特别是，我们得到了[47]中建立的一些结果的替代证明。事实上，一旦获得了Q辅助问题的相关性质<< P、这些证明可以简化。特别是，我们的方法能够在比[47]稍弱的假设下，建立基本函数和双值函数（参见下文（16））之间的关系。然而，对于优化器的存在，需要更强的假设。这些假设是我们考虑的更一般类型标准的结果，在经济上仍然可行；参见上面定理1之后的讨论。接下来，我们将讨论辅助问题的性质。引理1。让U满足Inada条件（参见（4））并假设uZ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。然后，在（8）和（9）中分别定义的函数uZ（x）和vZ（y）满足以下条件：i）它认为vZ（y）=supx>0uZ（x）- xyuZ（y）=infy>0vZ（x）+xy,而且，u′Z（0）=∞ 还有v′Z(∞) = 0.ii）在附加假设下，vZ（y）<∞, y>0，它也适用于U\'Z(∞) = 0和v′Z（0）=-∞.此外，集合{ZU+（g）：g∈ C（x）}是P-UI，原始问题允许一个解决方案。问~ P、上述结果建立在[32,33]中。问<< P、请注意，虽然辅助问题的目标是根据测量值Q确定的，但策略集仍然是根据参考测量值P以标准方式确定的。这是上述结果也适用于根据测量值Q确定的辅助问题的关键原因<< P（参见备注5）。事实上，[32,33]中的证明利用了NFLVR的假设来处理策略（通过下面（40）中的特征），而不是目标函数。

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2022-5-5 05:55:30

因此，引理1对[32,33]中的相应证明进行了微小的修改。为完整起见，详情见附录。我们注意到，辅助问题也可能被视为P下的效用最大化，对应于随机效用函数＠U（x）=ZTU（x），并参考其他[18]以获得替代参数。对于uZ（x）<∞,见第7.4.2页关于最优投资策略存在性的证明的讨论。该证明首先建立了目标函数的上半连续性和准凹性。然后，通过使用Komlos类型的参数来证明o优化的存在。定理1的证明。对于G（·，t）是c凸的情况，我们参考[47]中的引理4.7。请注意，X上的优化∈ X（X）可以被集合C（X）上的优化所取代：={g∈ L+（英尺）：g≤ XT，X∈ 随机变量的X（X）}。也就是说，u（x）=supg∈C（x）infQ∈QGQ、情商UG. （22）由于假设（13），uQ（x）<∞, Q∈ Q、（参见[48]中的引理3.5），引理1适用。因此，{U+（f）}，f∈ C（x）是Q-UI，Q∈ 结合Fatou引理对负U部分的应用-（f），这就产生了g→ 等式[U（g）]，g∈ C（x）对于Q是上半连续的∈ Q.因为G（Z，·）也是上半连续的，u.s.c.泛函的极限点是againu。s、因此，映射→ V（g）：=infQ∈QGQ、等式[U（g）], G∈ C（x），（23）也是上半连续的。此外，作为g→ E[ZU（f）]是凹的，G（Z，·）是拟线性的，而拟凹泛函的点态也是拟凹的，因此G→ V（g）是拟凹。

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2022-5-5 05:55:33

更准确地说，半连续性和准凹性可以用下面的方法来论证。自从t→ G（q，t）是非递减且右连续的，根据[11]中的命题B.2，G（q，t）成立≥ m当且仅当t≥ G(-1，l）（q，m），其中左逆由G给出(-1，l）（q，m）=inf{n∈ R:G（q，m）≥ n} 。因此，以下结论成立：ng∈ C（x）：Gq、胡（g），齐≥ mo=ng∈ C（x）：总部，U（g）i≥ G(-1，l）（q，m）o.（24）这个水平集自g以来是闭的和凸的→ 总部，U（g）i，g∈ C（x），q∈ Q、根据上面的描述，是凹面和半连续的。然后，反过来，设置∈ C（x）：V（g）≥ mo=∩Q∈Qng∈ C（x）：Gq、胡（g），齐≥ mo是封闭的，凸的，因此，g→ V（g）是上半连续的拟凹。优化器的存在现在遵循一个标准的Komlos类型参数。实际上，设（gn）是C（x）中的一个序列，使得V（gn）u（x）。自从每一次≥ 0，Komlos引理给出gn∈conv（gn，gn+1，…）将P-a.s.收敛到某个g.因为C（x）是凸的，~gn∈ C（x）。此外，根据[32]中的命题3.1，C（x）在陆上收敛时是封闭的，因此，g∈ C（x）。其次，由于g的拟凹性→ V（g）表示V（~gn）=VXk≥nλkgk≥ infk≥nV（gk）=V（gn）。自V（~gn）≤ 因此，它遵循limn→∞V（~gn）=u（x）；也就是说，gni是一个优化序列。然后，g的上半连续性→ V（g）产生V（g）≥ 林尚→∞V（~gn）=u（x），这是证明的结论。4.3对偶结果的证明对于定理2的证明，请注意，由于G（Z，·）是非递减的，它紧跟在u（x）之后≤ infQ∈QGQ、 uQ（x）≤ infQ∈QGQ、 vQ（y）+xy= v（y；x），表示所有y>0。（25）通过分别使用Sion的极小极大定理和引理1，证明了不等式实际上是等式。定理2的证明。

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2022-5-5 05:55:37

第一部分）当G（Z，·）是凹的且U:R+→ R+let分别为ε>0和ε=0。根据（12），u（x）<∞, x>0。因此，对于每个g∈ C（x），infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）≤ 苏普格∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）≤ u（x+ε）<∞.因此，infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= infZ∈~QGZ、 EZU（ε+g）, （26）式中，Q是Q中的一组度量，其中GZ、 E[ZU（ε+g）]≤ u（x+ε）+1。自E[ZU（ε+g）]≥U（ε）∧0代表Z∈ Q、它适用于每个Z∈~Q表示G（Z，t）≤ t的c:=U（ε）∧0和c:=u（x+ε）+1。因此，Qt（c）可以代替（26）中的Q。因为这适用于每个g∈ C（x），因此它是SUPG∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= 苏普格∈C（x）infZ∈Qt（c）GZ、 EZU（ε+g）. （27）接下来，由于假设2，U（ε+·）从m以下有界，Qt（c）是UI，应用Fatou引理得到Z→ E[ZU（ε+g）]，g∈ C（x），关于a的下半连续。s、 Qt（c）上的收敛性。作为Qt，Tis UI，这相当于下半连续性，并在L中收敛。因为泛函是凸的，这反过来意味着弱下半连续性。因为G是下半连续和拟凸的组合，所以它遵循Z→ GZ、 EZU（ε+g）, G∈ C（x），（28）是弱下半连续拟凸。此外，如上所述，它认为→ GZ、 EZU（ε+g）, Z∈ Q、（29）是准凹的。回想一下，C（x）是凸的。此外，G（λZ+（1- λ） \'Z，t）≤ max{G（Z，t），G（\'Z，t）}≤ c、对于Z，\'Z∈ Qt（c）。因此，Qt（c）也是凸的。由于假设2，后一个集合也是弱紧的。考虑到（28）和（29）中定义的映射的性质，我们可以分别应用Sion的极小极大定理（参见[49]）。这就产生了，长官∈C（x）infZ∈Qt（c）GZ、 EZU（ε+g）= infZ∈Qt（c）supg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）.

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2022-5-5 05:55:41

（30）注意infz∈Qsupg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）≤ infZ∈Qt（c）supg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）≤ u（x+ε），其中第一个不等式是微不足道的，第二个等式来自（30）和（27）。因此，通过使用与上述相同的参数，（30）右侧的集合Qt（c）可以代替集合Q∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= infZ∈Qsupg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）. （31）当U:R+→ R+，这就完成了第一部分的证明）。对于G（Z，·）是凹的情况，一个直接的参数产生u（x）凹。根据（12）的说法，它也是有限的。因此，它是连续的，因为凹函数在其为有限集的集合内部是连续的（参见[45]中的定理10.1]）。另一方面，由于（31）中左手侧的表达式明显小于u（x+ε），因此它表示u（x+ε）≥ infZ∈Qsupg∈C（x）GZ、 E祖（g）≥ 苏普格∈C（x）infZ∈QGZ、 E祖（g）= u（x）。（32）由于u（x）是（上半）连续的，因此结果随后是ε0。接下来，根据假设1，Qf6=. 由于G在定义1的意义上具有渐近最大值，这意味着（15）中右侧的集合Q可以被集合QF代替。问∈ Qf，L emma 1适用。因此，使用第i部分），G（Z，·）不递减的事实，以及引理1中给出的uZ（x）和vZ（y）之间的对偶关系，yieldsu（x）=infZ∈QfGZ、 uZ（x）= infZ∈QfGZ、 infy>0（vZ（y）+xy）= infy>0infZ∈QfGZ、 vZ（y）+xy.鉴于v（y；x）的定义，因此只剩下显示tinfZ∈QfGZ、 vZ（y）+xy= infZ∈QGZ、 vZ（y）+xy=: v（y；x）。（33）不平等”≥” 以下是Qf Q.在不丧失一般性的情况下，假设v（y；x）<∞ 和le t/Q:={Z∈ 问：vZ（y）<∞)}. 显然，（33）右侧的设定值Q可以被Q替换。另一方面，vZ（y）<∞ 意味着uZ（x）<∞.

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2022-5-5 05:55:44

因此，~Q “这会产生不好的品质”≤”.第二部分：LetH（Z，h）：=G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy。根据[48]中的引理3.7，（Z，h）→ E[ZV（h/Z）]是下半连续的。因此，s inc eG是联合下半连续的，因此是（Z，h）→ H（Z，H）。此外，s inc e（z，y）→ zV（y/z）是凸的，G（z，·）是非减的，G是联合拟凸的，因此（z，h）→ H（Z，H）是联合拟凸。实际上，让Zt=tZ+（1- t） Zand ht=th+（1）- t） h.那么，h（Zt，ht）=G（Zt，E[ZtV（ht/Zt）]+xy）≤ G（Zt，tE[ZV（h/Z）]+（1- t） E[ZV（h/Z）]+xy）≤ H（Z，H）∨ H（Z，H）。Let（Zn，hn）∈ Q×D（y）是一个优化序列，这样gZn，E[ZnV（hn/Zn）]+xyn→∞v（y；x）<∞. （34）注意e[ZV（h/Z）]+xy≥ U（x），（35）代表所有Z∈ Q和h∈ D（y）。事实上，由于V是凸x，Jensen不等式的使用零电压（h/Z）= EZV（h/Z11Z>0）≥ 五、E[Zh/Z11Z>0]= 五、E[h11Z>0]≥ V（y），随着V的减小和h∈ D（y），这意味着E[h11Z>0]≤ E[h]≤ y、 G（Z，·）与（34）和（35）的组合是非递减的，这一事实产生了c:=lim s upn→∞GZn，U（x）< ∞我们可以假设Zn∈ {Z∈ Q:G（Z，U（x））≤ ~c+1}。也就是说∈ Qt（c），对于t:=U（x）和c:=c+1。应用两次Komlos L emma，得到一个序列（~Zn，~hn）∈ conv{（Zn，hn），（Zn+1，hn+1），…}它汇聚了P-a.s。对某些人来说（Z，h）。因为Qt（c）和D（y）都是凸的，（~Zn，~hn）∈ Qt（c）×D（y）。此外，由于Qt（c）是一致可积的（因为它是弱紧的），并且根据[32]中的3.1，D（y）是闭的，因此（Z，h）∈ Qt（c）×D（y）。此外，质量指数的使用（~Zn，~hn）=HXk≥nλkZk，Xk≥nλkhk≤ 马克斯≥nH（Zk，hk）=H（Zn，hn）v（y）。因此，（~Zn，~hn）也是一个优化序列。

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2022-5-5 05:55:47

因此，通过使用下半连续性，它遵循h（Z，h）≤ 林恩芬→∞H（~Zn，~hn）=v（y），证明了（Z，H）达到了最优。接下来，suppo-se（~Z，~h）是另一个最佳对。设ht:=th+（1）- t）手动Zt:=tZ+（1）- t） ~Z，t∈ [0, 1]. As（Z，h）→ E[ZV（h/Z）]是凸的，并且G联合拟凸，因此它遵循G（Zt，E[ZtV（ht/Zt）]+xy）≤ G（Zt，tE[ZV（h/Z）]+（1- t） E[ZV（h/Z）]+xy）≤ 最大值G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy），G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy）= v（y），由于（~Z，~h）和（~Z，~h）的最优性，r。因此，（ht，Zt）也是最佳的。我们按照[47]中引理4.3的证明进行。注意，对于t∈ （0,1），{Zt>0}={Z>0}∪ {Z>0}。还要注意的是，根据[47]中的（25），比值ht/Zt不依赖于t。因此，存在一个随机变量YT≥ 0和序列\'Z，\'Z。。。这样：（a）P[`Zn]趋向于支持任何最优Z的最大P-概率；（b） {Z>0} {Z>0} ...;（c）对于每个n，\'hn:=YT\'Zn∈ D（y）和（\'hn，\'Zn）是最佳的。通过使用Komlos型参数，我们可以假设“znlos”收敛到某个“Z”∈ Q.那么“h:=YT”Z∈ D（y）根据[32]中的命题3.1（参见下文第（40）段）。如上所述，（\'h，\'Z）是等时的，显然是最大的。接下来，我们证明了定理3，它证明了鞍点的存在性以及原始解和对偶解之间的联系。定理3的证明。第一部分）为了验证第一个陈述，仍需证明（15）中右侧的限值已达到。为此，请注意≥ 0，G是低阶半连续拟凸，点态上确界的运算保持了低阶连续性和拟凸性→ 苏普格∈C（x）GZ、 E祖（g）, （36）是下半连续拟凸。接下来，让我们来看看∈ 是这样的结果吗Zn，uZn（x）u（x）。

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2022-5-5 05:55:52

（37）作为uZn（x）≥ U（x），对于所有的n和G（Z，·）都是增加的，因此c:=lim s upn→∞GZn，U（x）< ∞.因此，w.l.o.g。，我们可以假设∈ Qt（c）与t:=U（x）和c=~c+1。应用KomlosLemma，得到一个序列Zn∈ conv{Zn，Zn+1，…}它将P-a.s.收敛到某个Z.因为qt（c）是凸的，~Zn∈ Qt（c），n=1，2。。。。此外，由于Qt（c）是一致可积的（因为它是弱紧的），因此Z∈ Qt（c）。此外，正如定理2（第三部分）的证明一样，拟凸性意味着zn也是一个优化序列。利用（36）中映射的下半连续性，则得到了Z的最大值。第二部分）Le tg andeZ是原始函数m的鞍点。Let y*> 0，从而为y获得关于toeZ的辅助共轭关系的数值*. 然后，u（x）=GeZ，ueZ（x）= G韦兹（y）*) + xy*.因此，y的最大值为（16）*. 接下来，设（bZ，^g）是与y对应的对偶问题的任何解*. 由于G（Z，·）是不递减的，使用假设和引理1 yieldsu（x）=v（y*; x） =克^Z，v^Z（y）*) + xy*≥ G^Z，u^Z（x）≥ u（x）。（38）因此，我们有等式，这反过来意味着u（x）=G^Z，u^Z（x）≥ G^Z，Eh^ZU（^X）i≥ infZ∈QGZ、 EhZU（^X）i= u（x）。因此，（bQ，bX）是原始问题的鞍点。接下来，对于Y（Y）的定义，它遵循E[XTYT]≤ xy代表X∈ X（X）和Y∈ Y（Y）。因此，它就是这样的^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）+^X^Yi- G^Z，Eh^ZU（^X）i= G^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）i+Eh^X^Yi- u（x）≤ G^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）i+xy- u（x）=v（y）*; 十）- u（x）=0。由于G（Z，·）严格地包含，这意味着tE^QhV（^Y/^Z）+^X^Y/^Zi≤ E^QhU（^X）i.另一方面V（^Y/^Z）+^X^Y/^Z≥ 因此，V（^Y/^Z）+^X^Y/^Z=U（^X）^Q-a.s。

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2022-5-5 05:55:56

因此，可以得出以下结论：^X=I（^Y/^Z），^Q-a.s.4.4关于辅助问题的进一步评论我们最后对辅助值函数作了进一步的评论。备注4。设^Y（Y）所有正Q-超鞅的集合，使得Y=Y且XY是所有X的aQ-超鞅∈ X（1）。然后，如[47]中引理4.2所示，它认为vq（y）=infY∈^Y（Y）EQV（YT）.事实上，让我们0≤ s≤ T≤ T为了^Y∈^Y（Y）和X∈ X（1），Xs^Ys≥ EQhXt^Yt|Fsi=ZsEhXt^YtZt|Fsi，P-a.s.{Zs>0}。在{Zs=0}上，它认为Zt=0p-a.s.因此，X^Y Z是一个P-超鞅，因而X^Y Z是一个P-超鞅∈ Y（Y）。相反，让Y∈ Y（Y）。然后，每个X的Q-a.s∈ X（1），等式XtYtZt | Fs=ZsEzTxTyTzT>0 | Fs≤ZsEXtYtZs>0 | Fs≤XsYsZsZs>0。因此，对于所有x而言，XY/Z是一个Q-超艺术的ingale∈ X（X）和Y/Z11Z>0∈^Y（Y）。备注5。问<< P、设XQ（x）财富过程集≤ x和Xt≥ 0，t上的Q-a.s∈ [0，T]和YQ（y）所有正Q-超鞅的集合，使得y=y和XY是所有X的aQ-超鞅∈ XQ（1）。然后，考虑以下两个问题uQ（x）=supX∈XQ（x）EQU（XπT）和)vQ（y）=infY∈YQ（y）EQV（YT）,在哪里 := ∞. 请注意，u（x）是关于Q的标准投资问题，因为它通常是定义的。然而，由于目前尚不清楚Q是否满足NFLVR，因此（先验）尚不清楚u和v是否彼此共轭。还要注意X（X） XQ（x），这反过来意味着YQ（y）^Y（Y）。因此，u（x）≤ ~u（x）和vQ（y）≤ ■vQ（y）。（39）特别是，条件是∞, Q∈ Q、因此，这是定理成立的充分条件。问~ P、（39）平等地坚持。问题是是否有模型<< P、对于这个不平等性很严格的问题，留待将来研究。我们仅限于指出，鉴于市场是连续的，在相当脆弱的条件下，平等实际上可能成立。

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2022-5-5 05:56:00

尽管如此，在附加假设（18）下，它适用于变分情形（即当G（Q，t）=γ（Q）+t）v（y；x）=infQ∈QGQ、 ~vQ（y）+xy,因此，定理2也成立，vQ（y）被vQ（y）取代。实际上，v（y；x）=v（y）+xy，其中v（y）=infZ∈量化宽松vZ（y）+γ（Z）= infZ∈量化宽松~vZ（y）+γ（Z）≥ infZ∈Q~vZ（y）+γ（Z）.这里的第一个等式来自[47]中的引理4.4。自vQ（y）≤ ~vQ（y），Q∈ Q、平等随之而来。附录我们在这里提供引理1的证明。我们强调在[32,33]中的相应证明中，引理后面有微小的修改。具体来说，在[32]中引理3.4和3.5以及[33]中引理1的证明中。为了完整起见，下面将详细介绍。有关其他论点，请参阅第4.1节中的进一步讨论。在准备证明时，请注意假设uQ（x）<∞ 意味着expectationoperator是以标准方式定义的（参见第5页）。它也紧跟在thatuZ（x）=supg之后∈C（x）E[ZU（g）]和vZ（y）=infh∈D（y）E[ZV（h/Z）]，其中随机变量C（x）和D（y）的集合由C（x）定义：={g∈ L+：g≤ XT，P-a.s.，X∈X（X）}和D（y）={h∈ L+：h≤ Z、 P-a.s.，Z∈ Y（Y）}。此外，根据[32]中的命题3.1，它认为∈ C（x）当且仅当E[gh]≤ xy，尽管如此∈ D（y）。（40）引理1的证明。考虑映射Bn×D（y）→ R、（g，h）→ E[ZU（g）- gh]，其中Bn:={g∈ L+：0≤ G≤ n} 。集合D（y）是凸的，因为L中的单位球∞是弱紧的，Bn也是。此外，虽然上述映射在g中是凹的，但在h中是线性和连续的，这适用于L上的弱*-拓扑。因此，可以应用极小极大定理（参见[2]中的定理2.7.1]），以获得∈Bninfh∈D（y）E[ZU（g）- gh]=infh∈D（y）supg∈BnE[ZU（g）- 生长激素]。（41）接下来，（40）意味着→∞苏普格∈Bninfh∈D（y）E[ZU（g）- gh]=supx>0uZ（x）- xy.

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