此外→ zJ（h/z）是凸的（在[48]中，也证实了（y，z）→ zV（y/z）是凸的，但这里似乎不需要它）和Vn≤ Vm，m≥ n、 接下来就是≥氖ZVm~hm/Z≤ EZVn~hn/Z≤Xm≥nλ我ZVnhm/Z≤ 卸荷点法≥nE[ZVm（hm/Z）]。因此，它认为→∞vnZ（y）=lim supn→∞E[ZVn（hn/Z）]≥ 林恩芬→∞EZVn~hn/Z.因此，如果可以证明ZV-n（~hn/Z）：n∈ N是UI，然后使用Fatou\'slema yieldslimn→∞vnZ（y）≥ 林恩芬→∞E[ZVn（~hn/Z）]≥ E[ZVn（h/Z）]≥ vZ（y），其中最后一个不等式如下所示∈ D（y）。自，vnZ（y）≤ vZ（y），这是第一个共轭关系的证明。它的目的是建立一致可积性ZV-n（~hn/Z）：n∈ N. 为此，请注意forI（y）≤ n、 它认为Vn（y）=V（y）。作为V-如果y增加n减少，那么zv-n（~hn/Z）≤ ZV-（hn/Z）+ZV-（U′（1））。接下来，我们注意到Z是可积的。根据[48]中的引理3.6，对于集合Q {Q<< P} 这是UI，它认为集合{ZV-（h/Z）：h∈ D（y），Z∈ Q} 这就是用户界面。因此，{ZV]的一致可积性-（h/Z）：h∈ D（y）}作为其特例如下。因此ZV-n（~hn/Z）：n∈ N这就完成了第一次婚姻的证明。反向共轭直接从第一个共轭开始。实际上，由于假设uZ（x）<∞对我来说x>0。因此，对于所有x>0的情况，它都是有限的，而且它是凹的。因此，逆共轭性源自[45]中的定理12.2。接下来，我们来看看陈述二的证明。由于i）中的共轭关系，假设vZ（y）<∞ e等同于（参见[33]中的注释1）limx∞uz（x）/x=0。（46）因此，（U+（gn）），n的Q-uniform可积性≥ 1，可以建立在[33]中的引理1中。为了完整起见，我们强调了主要步骤。为此，我们假设序列不是Q-一致可积的，这与我们所说的相反。

然后，（如有必要，将其传递到子序列nc e），可以找到α>0和不相交序列（An）n≥1个(Ohm, F） 这样，对于n来说≥ 1，等式[U+（gn）11An]≥ α.定义随机变量序列（~gn）n≥1by▽gn=x+nXk=1gnAn，其中x:=inf{x>0:U（x）≥ 0}. 不管怎样∈ D（1），则认为在政治公众人物[gnh]≤ x+nXk=1EP[~gnh]≤ x+nx。因此，~gn∈ C（x+nx）。另一方面，根据QEQ[U（~gn）]≥nXk=1EQ[U+（~gn）11An]≥ αn，因此，lim supx→∞uZ（x）x≥ lim supx→∞等式[U（~gn）]x+nx≥ lim supx→∞αnx+nx=α>0。这与得出证据结论的假设（参见（46））相矛盾。参考文献[1]E.安德森、L.P.汉森和T.J.萨金特。模型规格、稳健性、风险价格和模型检测的四个半群。《欧洲经济协会杂志》，1（1）：68–123，2003年。[2] J.P.奥宾。应用功能分析。威利国际科学出版社，2000年。[3] 比昂·纳达尔。时间一致的动态风险过程。托奇。过程应用程序。，119(2):633–654,2009.[4] G.博尔迪戈尼、A.马·图西和M.施韦泽。鲁棒效用最大化问题的随机控制方法。随机分析与应用，2:125–151，2007。[5] C.Burgert和L.R–uschendorf。模型不确定性下的最优消费策略。《统计与决策》，23:1–14200 5。[6] S.Cerreia Vioglio、F.Maccheroni、M.Marinacci和L.Montrucchio。完全单调凹对偶。运筹学数学，36:321–3392011。[7] S.Cerreia Vioglio、F.Maccheroni、M.Marinacci和L.Montrucchio。不确定性厌恶参照。《经济理论杂志》，146:1275–1330，2011年。[8] 陈志强和爱泼斯坦。连续时间内的模糊性、风险和资产回报。《计量经济学》，70（4）：1403-14432002。[9] F.Delbae n.一般概率空间上的一致风险度量。《金融与随机学进展》，第1-37页。斯普林格，2002年。[10] F.Delbaen、S.Peng和E.R.Gianin。

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