投资组合优化问题对偶性的复制分析

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收藏 2022-05-26

英文标题：
《Replica Analysis for the Duality of the Portfolio Optimization Problem》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
In the present paper, the primal-dual problem consisting of the investment risk minimization problem and the expected return maximization problem in the mean-variance model is discussed using replica analysis. As a natural extension of the investment risk minimization problem under only a budget constraint that we analyzed in a previous study, we herein consider a primal-dual problem in which the investment risk minimization problem with budget and expected return constraints is regarded as the primal problem, and the expected return maximization problem with budget and investment risk constraints is regarded as the dual problem. With respect to these optimal problems, we analyze a quenched disordered system involving both of these optimization problems using the approach developed in statistical mechanical informatics, and confirm that both optimal portfolios can possess the primal-dual structure. Finally, the results of numerical simulations are shown to validate the effectiveness of the proposed method.
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中文摘要：
本文利用复制分析方法讨论了均值方差模型中由投资风险最小化问题和期望收益最大化问题组成的原对偶问题。作为我们在先前研究中分析的仅在预算约束下的投资风险最小化问题的自然扩展，我们在此考虑一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，将具有预算和投资风险约束的期望收益最大化问题视为对偶问题。对于这些优化问题，我们使用统计机械信息学中发展的方法分析了一个涉及这两个优化问题的淬火无序系统，并确认两个最优投资组合都可以具有原始-对偶结构。最后，数值仿真结果验证了该方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks 无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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能者818

2022-5-26 18:20:44

投资组合优化问题对偶性的复制分析*Mori Ari nori高等教育和全球流动中心，Hitotsubashi大学，东京，1868601，日本。（日期：2018年10月11日）本文利用复制分析讨论了均值-方差模型中由投资风险最小化问题和预期收益最大化问题组成的原始-对偶问题。作为我们在先前研究中分析的仅在预算约束下的投资风险最小化问题的自然扩展，我们在此考虑一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，将具有预算和投资风险约束的期望收益最大化问题视为对偶问题。对于这些优化问题，我们使用统计机械信息学中开发的方法分析了涉及这两个优化问题的淬火无序系统，并证实了两个最优组合都具有原始对偶结构。最后，数值模拟结果验证了该方法的有效性。PACS编号：89.65。Gh，89.90+n、 02.50-国际扶轮社。简介投资组合优化问题是一个数学金融问题，起源于Markowitz于1952年和1959年提出的均值-方差模型[1，2]，以及针对预期投资风险和投资回报预期的多元化投资的最优策略，已在几项运营研究中得到解决[3，4]。然而，这些先前的研究仅限于在多体复杂系统的框架内分析退火无序系统。

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大多数88

2022-5-26 18:20:49

投资者在实践中预期的淬火无序系统的分析在运营研究中很少被调查。最近，使用副本分析、信念传播方法和随机矩阵的渐近特征值分布，对涉及投资组合优化问题的猝灭无序系统进行了分析，这是在统计机械信息学和经济物理学等跨学科研究领域的前几项研究中发展起来的【5–13】。例如，Ciliberti等人对淬火无序系统的绝对偏差模型和预期短缺模型的最小投资风险进行了复制分析，并报告了零温度极限下预期短缺模型的相图【5，6】。Kondor等人。通过数值模拟评估了最优解估计误差对多个风险函数的噪声敏感性，如方差、绝对偏差、预期短缺和最大损失【7】。此外，Pafka等人通过数值模拟表明，ea ch资产的最优投资组合，即在均值-方差模型中，仅在预算约束下，能够最小化投资风险的投资组合，具有正态分布，并评估了最小预期投资风险与*takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JP样本内风险【8】。Shinzato报告称，仅在预算约束下，均值-方差模型中的最小投资风险及其投资集中度通过使用大偏差方法和副本分析的自平均特性得到满足，并对该投资系统进行了猝灭无序分析[9]。此外，Shinzato等人。

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kedemingshi

2022-5-26 18:20:52

开发了一种快速算法，用于解决可以最小化每个投资风险的最优解，包括均值方差模型、绝对偏差模型和预期短缺模型中的最优解，使用信念概率方法[10]。Varga Haszonits等人利用副本分析确定了最佳投资组合，该投资组合可以最大限度地减少每个场景中的整体收益与预算下的预期收益之间的差异，以及淬火无序系统中的预期收益约束[11]。此外，Shinzato对淬火无序系统进行了n分析，该系统涉及具有预算和投资集中度约束的投资风险最小化问题，以及使用副本分析的具有预算和投资风险的投资集中度最大化和/或最小化问题，并得出主元二元结构也适用于淬火系统【12，13】。淬火分析已被广泛研究。特别是，在许多研究中已经分析了几种约束条件下的投资组合优化问题【11–13】。然而，具有预算约束和预期收益约束的投资风险最小化问题，以及具有预算约束和投资风险约束的预期收益最大化问题，很少有人研究。虽然Varga Haszonits等人使用重分类分析[11]解决了预算和预期回报约束下的投资组合优化问题，但目标函数conside red被定义为每个情景下整体回报与预期回报之间差异平方和的一半，而不是使用每个情景下整体回报的方差。

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何人来此

2022-5-26 18:20:56

换言之，由于所考虑的目标函数不是投资风险，因此具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，这是我们先前研究的自然延伸[9]，尚未得到重新研究。此外，Shinzato首先对均值-方差模型的原始-对偶问题进行了复制分析。从统一的角度来看，还需要多方向地研究两个投资组合优化问题，即具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题和具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题。本论文的目标是按照先前研究中使用的分析方法，对均值-方差模型中由投资风险最小化问题和预期回报最大化问题组成的原始-对偶问题进行重复分析【12，13】。作为我们先前研究的自然延伸，该研究只分析了预算约束下的投资风险最小化问题，本文考虑了一个原始对偶问题，其中具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题被视为原始问题，具有预算和投资风险约束的预期收益最大化问题被视为对偶问题。对于这些投资组合优化问题，我们利用统计机械信息学中的分析方法，分析了一个淬火无序系统，并确定两个最优解是否都具有原始对偶结构。此外，我们还将结果与通过数值模拟获得的结果进行了比较，以验证所提出方法的有效性。本文件的其余部分组织如下。

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可人4

2022-5-26 18:21:01

在下一节中，我们将描述本文处理的原始问题和对偶问题，其中，为了方便起见，原始问题是具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，对偶问题是具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题。在第三节中，按照我们之前研究中使用的分析程序【9】，对涉及原始和对偶问题的淬火无序系统进行了复型分析。此外，还利用拉格朗日不确定乘子法对退火无序系统进行了分析。在第四节中，为了证实所提出方法的有效性，我们将结果与数值实验结果进行了比较。最后，第五节给出了结论和未来研究的领域。模型设置首先，我们在本文考虑的均值-方差模型中描述了原始和对偶问题。A、主要问题与之前的研究[5-12]类似，本文考虑了一个稳定的投资市场，可以处理N项资产的投资。这里，Wii是一个资产组合i（=1，2，···，N），可以将d描述为~w=（w，···，wN）T∈ RN，其中T表示矩阵和/或向量的转置。此外，为了简化讨论，我们假设卖空，即wi≤ 允许0。接下来，给定投资中使用的p个场景（或p个周期），资产i inscenariou（=1，2，······，p）的回报率可以描述为“xiu”，并且假设每个资产的回报率是独立分布的。基于此假设，我们不考虑周期相关性。此外，资产i回报率的均值和方差分别表示为Rian和s。

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mingdashike22

2022-5-26 18:21:04

此外，平均值Ri是一个假定为bea的超参数，该超参数独立且相同地分布在均值和方差分别为m和σ的概率分布中。因此，投资组合w的投资风险H（~ w | X）定义如下：H（~ w | X）=2NpXu=1NXi=1'xiuwi-NXi=1riwi=pXu=1√NNXi=1xiuwi！，（1）其中修改后的回报率xiu=(R)xiu- 使用riis。然后，修正收益率的均值和方差分别为0和s。此外，回报率矩阵由X=nxiu给出√不∈ RN×p。对于此目标函数，作为预算和预期回报约束，使用N=NXi=1wi，（2）NR=NXi=1riwi，（3）。式（2）中的预算约束用于先前的研究【5、6、9-12】，式（3）描述了预期回报约束。此外，R是表征预期回报的系数。此外，可行投资组合子集P（R）根据投资组合w定义，并满足以下两个约束条件：P（R）=~w∈ 注册护士N=~ eT ~ w，N R=~ rT ~ w, （4）式中~e=（1，···，1）T∈ rN是常数向量，且~r=（r，r，···，rN）T∈ Rn是测量向量。因此，本文考虑的首要问题是确定最优投资组合w的问题，该最优投资组合w可以使式（1）中的投资风险H（~ w | X）最小化，并使式（4）中的可行投资组合子集P（R）最小化。每项资产的最小投资风险ε计算如下：ε=最小w∈P（R）NH（~ w | X）.

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kedemingshi

2022-5-26 18:21:09

（5）基于我们之前研究[9]中的论点，在只施加邻接约束的投资风险最小化问题中，每资产的最小投资风险ε=s（α-1），其中情景比率α=p/N为us ed。当回报率矩阵的秩X=nxiu√不∈RN×p，秩（X）=N，即p>N，因为本文后面描述的原始问题和对偶问题的最优解可以唯一确定，且ar gument限于α=p/N>1。最后，有两个重要的考虑因素。首先，使用拉格朗日的待定乘子方法，ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1~e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （6）解析求解，其中Wishart matr ix J=XXT∈ 使用RN×Nis。（详见附录A。）然而，Wishart矩阵J=xxt逆的计算复杂性必须为O（N），并且在分析淬火无序系统时，有必要对返回率矩阵x和平均向量r上的等式（6）求平均值。因此，不容易直接计算配置平均值EX，~ r[ε]，其中EX，~r[f（X，~r）]描述了f（X，~r）在X和~r的整个配置上的经验。因此，我们将使用复制分析来分析每项资产最小投资风险的配置平均值，而不直接需要评估逆矩阵来求解配置平均值。接下来，根据投资风险和预期回报的定义，我们可以将预期回报的随机性与投资风险的随机性分开。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:21:12

换言之，在均值-方差模型中，由于投资风险指数k被定义为情景u中整体回报率pni=1'xiu和预期回报率pni=1riwi之间差异平方和的一半，因此使用修改后的回报率xiu，我们可以消除预期再回报的随机性对投资风险的影响。此外，基于此公式，可以独立设置xiu和rican的分布。B、对偶问题在第II A小节中，类似于原始问题，我们将对偶问题模拟为获得最优投资组合w，该投资组合w可以在施加预算和投资风险的情况下使预期收益最大化。预期收益H′（~w | ~r）定义如下：H′（~w | ~r）=NXi=1riwi，（7）其中N=NXi=1wi，（8）Nε′=pXu=1√NNXi=1wixiu！，（9）是预算和投资风险的制约因素。方程式（8）与E q.（2）中给出的预算约束相同，方程式（9）描述了投资风险约束。此外，ε′是表征投资风险的系数，而可能的投资组合子集D（ε′）是在投资组合w中定义的，它满足以下两个约束条件：D（ε′）=~w∈ 注册护士N=~ eT ~ w，Nε′=~ wTJ ~ w.（10）因此，对偶问题的每资产预期收益R′计算如下：R′=ma x~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）. （11）此外，对于该对偶问题，利用拉格朗日待定乘子方法，R′=s~rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1~e，（12）解析求解。（详见附录B。）然而，由于直接评估淬火无序系统的方程式（1-2）也很困难，因此使用了副本分析。最后，有两个重要的考虑因素。首先，原始问题中等式（1）中的目标函数对应于对偶问题中等式（9）中的第二个约束，以及等式（1）中的目标函数。

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何人来此

2022-5-26 18:21:15

（7）在对偶问题中，对应于原始问题等式（3）中的第二个约束。其次，本文考虑的主要问题是我们之前研究中的自然延伸。然而，由于我们在本研究中考虑了预期回报约束，因此所提出的方法更具实用性。还讨论了带有budg et和预期回报约束的港口组合优化问题[11]。然而，由于在该研究中，目标函数不是投资风险，并且投资风险和预期回报中资产回报的随机性是不同的，这并不总是我们先前研究的自然延伸[9]。此外，由于未对原始-对偶结构进行分析，因此更重要的是通过本文中的发现支持Varga Haszo nits等人的结果。三、副本分析a。原始问题的复型分析在本节中，我们对涉及原始问题的含水无序系统进行复型分析。根据我们之前的研究[9]，逆温度β，Z（R，X，~R）投资系统的正则系综的配分函数表示为：Z（R，X，~R）=Z~w∈P（R）d~we-βH（~w | X），（13），其中式（1）中的投资风险H（~w | X）被视为哈密顿量，~w的积分被视为可行的投资组合子集P（R）。因此，根据以下热力学关系计算出每项资产的最小投资风险ε：ε=min~w∈P（R）NH（~ w | X）= - limβ→∞Nβlog Z（R，X，~ R）。（14）淬火无序系统的分析如下：φ（R）=limN→∞NEX，~r[对数Z（r，X，~r）]=外推（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k- （R）- m） θ+σθχw-αlog（1+βsχw）-αβsqw2（1+βsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw, （15）式中，使用Θ={k，θ，χw，qw，Θχw，Θqw}。

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mingdashike22

2022-5-26 18:21:19

此外，旋转拉伸f（z）描述了函数f（z）相对于变量z的极值。（详情见附录C。）根据这些极值条件，作为逆温度β下主变量的结果，我们得到ε=2β+s（α- （1）1+（R- m）σ, （16） qw=αα- 1.1+（R- m）σ, （17） χw=βs（α- 1）。（18）在零温度极限下，我们得到ε=s（α- （1）1+（R- m）σ, （19）其中，每项资产的投资风险ε是R的二次函数。此外，当R=m时，εiss（α）的最小值-1）。现在，如果式（3）中的R=m，由于预期回报约束与式（2）中的预算约束一致，因此在实践中，该结果与仅施加邻接约束的投资风险最小化一致。此外，Shar-pe比率，衡量投资风险的预期回报，即S=R√2ε，推导如下：S=S√α- 1Rq1+（R-m） σ。（20）发件人SR=0，R=m+σ和ε=s（α-（1）1+σm计算得出的最大夏普比Smax如下：=√m+σs√α- 1.（21）最后，我们还可以讨论退火排序系统的分析。我们有ε或=sα1+（R- m） σ, （22）qORw=1+（R- m）σ。（23）（详见附录E）根据式（19）中每项资产的最小投资风险ε与式（22）中每项资产的最小预期投资风险ε之间的关系，得出ε<ε或（24）。类似地，SOR=R√2ε或<S也适用。B、对偶问题的复型分析在本小节中，我们描述了一个涉及对偶问题的含水无序系统的复型分析。按照上述方法，将该投资系统的正则系综的配分函数定义为：Z（ε′，X，~r）=Z~w∈D（ε′）D~weβH′（~w | ~r），（25），其中E q中的预期收益H′（~w | ~r）。

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mingdashike22

2022-5-26 18:21:23

（7）将~w的积分视为可行投资组合子集D（ε′）。然后，最大预期收益率P r资产t r′由以下热力学关系得出：r′=ma x~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）= limβ→∞Nβlog Z（ε′，X，~r），（26），其中，为了最大化对偶问题中的预期收益H′（~w | ~r），我们不使用等式（13）中给出的玻耳兹曼因子描述，而是使用等式（25）中给出的描述。注意，我们还使用了式（2.6）中给出的热力学关系。然后，对受影响的无序系统进行如下分析：φ（ε′）=limN→∞NEX，~r[对数Z（ε′，X，~r）]=外向（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k+θε′+βm+σβχw-αlog（1+θsχw）-αθsqw2（1+θsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw. （27）（详见中的附录D。）从极值条件来看，作为逆温度β下主变量的结果，我们得到r′=m+σ（βσχw），（28）qw=αα- 1.1+βσχw, （29）χw=θs（α- 1）。（30）此外，从ε′=αsχw2（1+θsχw）+αsqw2（1+θsχw）=2θ+s（α-（1）1+βσχw, β和θ满足以下关系：βσθs（α- （1）=s（α- （1）ε′-2θ- 1.（31）在零温度极限下，由于右侧为O（1），β/θ~ O（1）保持不变。那么，R′=m+σs2ε′s（α- （1）- 1，（32）qw=αα- 12ε′s（α- 1），得到（33）。此外，夏普比S=R′√2ε′分解如下：S=m+σq2ε′S（α-（1）- 1.√2ε′。（34）此外，从Sε′=0，ε′=s（α-（1）1+σm计算andR′=m+σ。然后，给定的最大Sharperatio Smaxis为asSmax=√m+σs√α- 1.（35）最后，这里应该指出三点。首先，前一小节和本小节描述了原始对偶结构。当我们从Eq.（19）导出R，并设置R=R′，ε=ε′，则得到等式（32）。类似地，设置了R=R′和ε=ε′，并且qwin等式（17）与qwin Eq.（33）一致。

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可人4

2022-5-26 18:21:26

换言之，对于一个无序的系统，在固定预期回报下能够最小化投资风险的最优投资组合与在固定投资风险下能够最大化预期回报的最优投资组合是一致的。其次，在固定投资风险下，能够最小化预期回报的最佳投资组合也是通过副本分析来解决的。因此，根据集合R′\'isR′的最小预期回报率=min~w∈D（ε′）NH′（~ w | ~ r）= limβ→-∞Nβlog Z（ε′，X，~r）=m- σs2ε′s（α- （1）- 1.（36）换句话说，存在一个预期回报不低于公式（36）的投资组合。最后，我们讨论了退火无序系统的分析：R′OR=m+σr2ε′sα- 1，（37）qORw=2ε′sα。（38）（详见附录F）来自Eqs。（37）和（38），我们得到qorw=1+（R′）- m） σ，（39），这与等式（23）中的结果一致。此外，来自等式。（32）和（37），R′>R′或保持，夏普比率S=R′√2ε′，SOR=R′或√2ε′被确认为满足S>SOR的情况。四、数值实验在这一部分中，我们通过数值实验来研究所提出方法的有效性。威斯哈特矩阵J=XXT∈ RN×nCa可以通过收益率矩阵X和平均向量r来定义，如下所示：ε（r，X，~r）=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （40）R′（ε′，X，~R）=s~rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1～e。

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nandehutu2022

2022-5-26 18:21:30

（41）基于此，C回报率矩阵X，X，···，XC∈ RN×pand C平均向量，~r，~r，····，~rC∈ RN，ε=CCXc=1ε（R，Xc，~ rc），（42）R′=CCXc=1R′（ε′，Xc，~ rc），（43），其中，cth R e转动率矩阵的元素Xc=nxciu√不∈ RN×p，xciu具有独立的和不同的概率分布，其平均值为0，方差为s，且cth平均向量的分量rc=（rc，···，rcN）T∈ RN，rci具有独立且独立的概率分布，其平均值为m，方差为σ。此外，还估算了投资集中度Q和夏普比S。因此，在数值模拟中，N=1000和p=3000，即α=p/N=3，检验了（s，m，σ）=（1，1，1）处的原始问题和对偶问题m。估计中使用的样本大小为C=100。原始问题和对偶问题的结果如图所示。分别为1和2。在图1中，横轴表示回报系数R，纵轴表示（a）最小投资风险perassetε，（b）投资集中度qw，和（c）比率S。此外，在图2中，横轴表示风险系数ε′，纵轴表示（a）每项资产的最大预期回报率R′，（b）投资集中度qw，和（c）Sharpe Ratios。实线（橙色）表示复制分析的结果，带误差条的（蓝色）星号表示数值结果。图1中的虚线（黑色）表示（a）s（α-1），（b）αα-1和（c）Smax，图2中的表示（a）m，（b）αα-1和（c）Smax。如这些图所示，所提议的方法得出的结果与数值结果一致，即所提议的方法的有效性得到证实。五、

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能者818

2022-5-26 18:21:33

结论与未来研究在本论文中，我们扩展了我们之前的研究[9]中考虑的仅具有预算约束的淬火无序系统的组合优化问题，利用复型分析方法分析了具有多个约束的淬灭无序系统的投资组合优化问题，并讨论了mea-n-方差模型的原对偶结构。在我们之前的研究[1、2、13]中，评估了与投资集中度和投资风险相关的原始-双重结构。本文将在预算和预期收益约束下最小化投资风险的投资组合优化问题作为首要问题，投资组合优化问题-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（a）原始问题回报系数（R）副本分析结果数值实验结果-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3（b）原始问题回报系数（R）副本分析结果数值实验结果-0.4-0.20.40.60.81.21.41.6-1-0.5 0 0.5 1.5 2 2 2.5 3（c）原始问题回报复型分析的系数（R）结果数值试验的结果。1.复型分析和数值试验的结果（α=p/N=3）。横轴显示回报系数R，纵轴显示（a）每项资产的最小投资风险ε，（b）投资集中度qw，和（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）式（19），（b）式（17）和（c）式（20）的副本分析结果。

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可人4

2022-5-26 18:21:36

带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，虚线（黑色）表示（a）s（α）的结果-1），（b）αα-1和（c）Smax。将预算和投资风险约束下的期望收益最大化问题视为对偶问题。我们阐明了这两个投资组合优化问题中的原始-对偶结构。类似于一般操作研究中考虑的退火无序系统，最小投资风险被确认为0.51.52.53.51 1.5 2 2.5 3 3.5 4.5 5（a）副本分析的双重问题风险系数（ε’）数值试验的结果1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5（b）副本分析的双重问题风险系数（ε’）数值试验的结果0.60.70.80.91.11.21.31.41 1.5 2.5 3 3.5 4 4 4 4.5 5（c）双重问题风险复型分析的系数（ε’）结果数值试验的结果。通过复型分析和数值实验获得的结果（α=p/N=3）。横轴表示风险系数ε′，纵轴表示（a）每项资产的最大回报率R′，（b）投资集中度qw，以及（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）等式的复制分析结果。（32），（b）式（33）和（c）式（34）。带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，灰线（黑色）表示（a）m，（b）αα-1和（c）Smax。在淬火无序系统的原始问题中，是关于预期收益约束系数的二次函数。此外，为了验证所提出方法的有效性，我们将其结果与数值模拟的结果进行了比较，并证实两者具有良好的一致性。未来，由于Var ga Haszonits等人的研究中收益率的随机性。

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大多数88

2022-5-26 18:21:40

[11] 与本文不同的是，我们需要根据研究中使用的随机性考虑主对偶问题，并从理论上开发一种解决投资组合优化问题的方法。此外，在这种情况下，我们还需要验证夏普比率的数学结构。附录A：主要问题的拉格朗日乘子法在本附录中，我们将不确定乘子的拉格朗日方法应用于原始问题来讨论投资组合优化问题。首先，给出了拉格朗日不确定乘子函数：L=~ wTJ ~ w+kN- ~wT ~ e+ θNR编号- ~wT ~ r,（A1）其中使用辅助变量s k和θ。自从L ~w=0，我们得到~w=kJ-1~e+θJ-1~r，（A2）和，自Lk级=Lθ=0，我们得到R=~eTJ公司-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1~rN！kθ, （A3）其中kθ=D ~ rTJ-1～rN-~rTJ公司-1～eN-~rTJ公司-1～eN～eTJ-1 ~恩！R, （A4）D=~eTJ公司-1～eN（~ rTJ）-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e). （A5）在加法中，从式（A2）中，我们得到J~w=k~e+θr。然后，从ε=2N~wTJ~w=k+rθ，ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e, （A6）已解决。这一发现取决于给定的回报率矩阵X和平均向量r。接下来，我们简要考虑了淬火无序ed系统的分析。当N足够大时，等式（A3）的两侧用平均向量r进行平均。NR= E~r“~等-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1～eN～rTJ-1~rN！kθ#. （A7）系数矩阵的每个分量都可以通过asE~r独立地得到~rTJ公司-1～e= m ~ eTJ-1~e，（A8）e~r~rTJ公司-1～r= m ~ eTJ-1～e+σTrJ-1（A9）表示平均向量r。此外，使用Wisha rt matr ix J=XXT的NeigenValue∈ RN×N，λ，···，λN，sincePNi=1λ-1i=~ eTJ-1～e=TrJ-1等待，我们有R=~eTJ公司-1～eN1 mm m+σkθ. （A10）此外，从[9]中，我们还发现了eTJ-1~e=s（α- 1），即，我们得到ε=s（α- （1）1+（R- m）σ.

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大多数88

2022-5-26 18:21:44

（A12）该结果与式（19）中的复制分析结果一致。附录B：双重问题的拉格朗日乘子法在这里，我们将不确定乘子的拉格朗日方法应用于双重问题来分析投资组合优化。首先，拉格朗日待定乘子函数定义如下：L=~ rT ~ w+k（~ wT ~ e- N） +θNε′-~wTJ ~ w,（B1）其中使用辅助变量k和θ。自从L ~w=0，我们得到~w=kθJ-1~e+θJ-1～r、（B2）及以后Lk级=Lθ=0，我们有1=kθ~ eTJ-1～eN+θ～rTJ-1～eN，（B3）ε′=kθ~eTJ-1～eN+2kθ～rTJ-1～eN+θ～rTJ-1～rN,=N2～eTJ-1~e“kθ~eTJ-1～eN+θ～rTJ-1～eN+θ~eTJ公司-1～eN（~ rTJ）-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e)#.（B4）求和y，θ=√Dq2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B5）得到，其中D如式（A5）所示。此外，k=N~eTJ-1～eθ-~rTJ公司-1～eN（B6）源自等式（B3）。此外，使用公式（B2），从Nε′=~ wTkθ~e+θ~r=N2θ（k+R′），我们有R′=2ε′θ- k=s ~ rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～er2ε′~eTJ-1～eN- 1+~ rTJ-1～e～eTJ-1~e.（B7）这一发现取决于给定的回报率矩阵X和平均向量r。接下来，我们简要考虑淬火无序系统的分析。如果N足够大，则等式中的两侧。（B3）和（B4）在平均向量上取平均值。然后，我们得到1=~ eTJ-1~eNk+mθ，（B8）ε′=~eTJ-1～e2Nkθ+2mkθ+θ（m+σ）. （B9）换句话说，k=NθeTJ-1～e- m、（B10）θ=σ~ eTJ-1~eNq2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B11）是派生的。因此，R′=2ε′θ- k的求解如下：R′=2ε′-N ~ eTJ-1～eθ+m=m+σr2ε′~eTJ-1～eN- 1，（B12）并使用公式（A11），我们可以计算eTJ-1~e=s（α-1），R′=m+σs2ε′s（α- （1）- 1.（B13）这一发现与等式中的重复分析得出的结果一致。

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能者818

2022-5-26 18:21:47

（32）。附录C：原始问题的复制方法在本附录中，我们演示了原始问题的淬火无序系统的复制分析。根据之前的研究，当n∈ Z、配分函数Z（R，X，~R），EX，~R[Zn（R，X，~R）]的N次方的配置平均值展开如下：EX，~R[Zn（R，X，~R）]=（2π）N N+pnExtr~k，~θZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaEX，~ r“exp-βnXa=1pXu=1vua+inXa=1pXu=1uuavua-我√NNXi=1pXu=1xiunXa=1uuawia+nXa=1kansi=1wia- N+nXa=1θaNXi=1riwia- N R#=（2π）N N+pnExtr~k，~θ，Qw，~ QwZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaexp-βpXu=1nXa=1vua+ipXu=1nXa=1uuavua-spXu=1nXa=1nXb=1qwabuuauub- NnXa=1ka- N RnXa=1θa+NmnXa=1θa+NσnXa=1nXb=1θaθbqwab+NXi=1nXa=1kawia-nXa=1nXb=1qwabNXi=1wiawib- qwab！！，（C1）式中~wa=（w1a，···，wNa）T∈ RN，~ ua=（u1a，···，upa）T∈ Rp，~ va=（v1a，···，vpa）T∈ Rp，（a=1，··，n），andEXe-ixiuA√N e-s2NA，（C2）E~reriB公司 emB+σB，（C3）用作xiu，ri的配置平均值。此外，~ k=（k，···，kn）T∈ Rn，~θ=（θ，···，θn）T∈Rn，Qw={qwab}∈ Rn×n，Qw={qwab}∈ Rn×nareused。然后，随着资产数量N的接近，我们得到了limn→∞Nlog EX，~r[Zn（r，X，~r）]=外向k，~θ，Qw，~QwTrQwQw-~kT ~ e- （R）- m） ~θT~e+σ~θTQw~θ-αlog detI+βsQw-日志数据Qw+~kTQ-1w ~ k, （C4）式中α=p/N~ O（1）和单位矩阵I∈Rn×nand单位向量~e=（1，···，1）T∈ R已使用。然后，基于复制对称解的ansatz，关于a，b=1，2，···，n，qwab=χw+qwa=bqwa 6=b，（C5）~qwab=χw- qwa=b-设置qwa 6=b，（C6）ka=k，（C7）θa=θ，（C8），φ（R）=limn→0n画→∞Nlog EX，~r[锌（r，X，~r）]= ExtrΘ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k- （R）- m） θ+σθχw-αlog（1+βsχw）-αβsqw2（1+βsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw, （C9）已重新评估。

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能者818

2022-5-26 18:21:50

然后，作为极值条件，我们得到φ（R）k=-1+kχw=0，（C10）φ（R）θ=-（R）- m） +σχwθ=0，（C11）φ（R）χw=（￠χw- qw）+σθ-αβs2（1+βsχw）+αβsqw2（1+βsχw）=0，（C12）φ（R）qw=（￠χw）- qw）+▄qw-αβs2（1+βsχw）=0，（C13）φ（R） χw=（χw+qw）-2？χw-qw+k2χw=0，（C14）φ（R） qw=-（χw+qw）+qw+2χw=0，（C15）和χw=βs（α- 1），（C16）qw=αα- 1.1+（R- m）σ. （C17）此外，每项资产的最小投资风险ε为ε=- limβ→∞φ（R）β=limβ→∞αsχw2（1+βsχw）+αsqw2（1+βsχw）=s（α- （1）1+（R- m）σ. （C18）附录D：双重问题的副本方法在本附录中，我们详细解释了涉及双重问题的淬火无序系统的副本分析。根据上述附录中的讨论，当n∈ Z、配分函数Z（ε′，X，~r），EX，~r[Zn（ε′，X~r）]的N次方配置平均值展开如下：EX，~r[Zn（ε′，X~r）]=（2π）N N+pnExtr~k，~θZ∞-∞nYa=1d ~ wad ~ uad ~ vaEX，~ r“expβnXa=1NXi=1riwia+inXa=1pXu=1uuavua-我√NNXi=1pXu=1xiunXa=1uuawia+nXa=1kansi=1wia- N+nXa=1θaNε′-pXu=1vua！！#。（D1）如前一次讨论中所述，随着资产数量的增加，我们得到→∞Nlog EX，~r[Zn（ε′，X，~r）]=外向k，~θ，Qw，~QwTrQwQw-~kT~e+ε′~θT~e+nβm+σβ~eTQw~e-αlog detI+sΘQw-日志数据Qw+~kTQ-1w ~ k, （D2）式中，Θ=diag（θ，···，θn）∈ 使用Rn×nis。然后，基于复制对称解的假设，我们得到φ（ε′）=limn→0n画→∞Nlog EX，~r[Zn（ε′，X，~r）]= ExtrΘ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw-k+θε′+βm+σβχw-αlog（1+θsχw）-αθsqw2（1+θsχw）-对数▄χw+▄qw+k2▄χw.

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何人来此

2022-5-26 18:21:53

（D3）然后，作为极值条件，我们得到φ（ε′）k=-1+kχw=0，（D4）φ（ε′）θ=ε′-αsχw2（1+θsχw）-αsqw2（1+θsχw）+αθsqwχw2（1+θsχw）=0，（D5）φ（ε′）χw=（￠χw- qw）+σβ-αθs2（1+θsχw）+αθsqw2（1+θsχw）=0，（D6）φ（ε′）qw=（￠χw）- qw）+▄qw-αθs2（1+θsχw）=0，（D7）φ（ε′） χw=（χw+qw）-2？χw-qw+k2χw=0，（D8）φ（ε′） qw=-（χw+qw）+qw+2χw=0，（D9）和χw=θs（α- 1），（D10）qw=αα- 1.1+βσχw. （D11）将上述代入ε′=αsχw2（1+θsχw）+αsqw2（1+θsχw），得到ε′=2θ+s（α- （1）1+βσχw, （D12）和βσχw=ss（α- （1）ε′-2θ- 1，（D13）进行评估。因此，最大预计收益率R′计算如下：R′=limβ→∞φ（ε′）β=m+σlimβ→∞βσχw=m+σs2ε′s（α- （1）- 1，（D14）其中，从βσχw~ O（1），β/θ~ 使用O（1）。此外，根据公式（D12），βσχw=-ss（α- （1）ε′-2θ- 1，（D15）也可导出为β→ -∞, 固定投资风险下每项资产的最低预期回报率，并将R′表示为：R′=m- σs2ε′s（α- （1）- 1.（D16）附录E：退火无序方法解决主要问题这里，讨论了涉及原始问题的退火无序系统的典型行为。首先，按照运筹学的分析程序，预期投资风险EX[H（~ w | X）]计算如下：EX[H（~ w | X）]=~ wTEXXXT型~w=sαNXi=1wi。（E1）然后，拉格朗日待定乘子法的目标函数如下：LOR=sαNXi=1wi+kORN- ~wT ~ e+θ或NR编号- ~wT ~ r, （E2）使用辅助变量kOR、θ或。因此，从LOR公司wi=0，我们得到wi=kOR+θORrisα。（E3）此外，从mLOR公司kOR公司=LOR公司θ或=0，kORθ或= sαNPNi=1RIPNI=1RINNI=1ri-1.R=sαm+σ- m级m+σ-m级-m 1R,（E4）进行评估，其中当N足够大时，我们有NNXi=1ri=m，（E5）NNXi=1ri=m+σ。

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可人4

2022-5-26 18:21:58

（E6）然后，退火无序系统的典型行为如下：ε或=sαNNXi=1kOR+θORrisα=2sα（kOR）+2kORθORm+（θOR）（m+σ）=sα1+（R- m）σ. （E7）附录F：双重问题的退火无序方法在这里，还讨论了涉及双重问题的退火无序系统的典型行为。首先，遵循运筹学的分析程序，将拉格朗日待定乘子法的目标函数定义如下：LOR=~ rT ~ w+kOR~wT ~ e- N+θORNε′-sαNXi=1wi！，（F1）其中，如上文讨论的原始问题中所述，将使用E q.（E1）中的预期投资风险，sαPNi=1。因此，从LOR公司wi=0，我们得到wi=kOR+risαθ或。（F2）此外，从LOR公司kOR公司=LOR公司θ或=0，我们得到1=kOR+msαθ或，（F3）ε′=sα2sα（θ或）（（kOR）+2kORm+m+σ）=sα1个+σsαθ或. （F4）基于此，且R′=NPNi=1rikOR+risαθ或=kORm+m+σsαθ或，我们得到r′=m+σsαθ或=m+σr2ε′sα- 1，（F5）式中，根据公式（F4），我们使用σsαθ或=r2ε′sα- 1、（F6）[1]H.Markowitz，J.Fin。7、77（1952年）。[2] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》（J.Wiley and Sons，纽约，1959）。[3] Z.Bodie，A。Kane，A.J.Marcus，《投资》（McGrawHill Education，2014）。[4] D.G.Luenberger，《投资科学》（牛津大学出版社，1997年）。[5] S。Ciliberti M.M'ezard，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[6] S。Cilib erti，I.Kondor，M.M\'ezard，Qu ant。鳍7389（2007年）。[7] 我。Kondor，S.Pafka，G.Nagy，J.Bank。鳍311545（2007年）。[8] S。帕夫卡，I.康多尔，欧元。物理。J、 B、27、277（2002年）。[9] T.Shinzato，PLoS One，10，e0133846（2015）。[10] T.Shinzato，M.Yasuda，PLoS One，10，e0134968（2015）。[11] I.Varga Haszonits，F.Caccioli，I.K on dor，https://arxiv。org/abs/1606.08679（2016）。[12] T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1605.06845（2016年）。[13] T.Shinzato，https://arxiv.org/abs/1608.04522（2016年）。

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