问题的值函数（t，x，d，z，δ，∑）=infX∈AtE[C（t，X）]，其中Xt=X，Dt=d，St=z，δt=δ，∑t=∑。为了解析地确定值函数和问题的最优控制，我们使用验证定理的概率公式。我们确定了一个先验的连续可微分函数C（t，x，d，z，δ，∑）和一个可容许策略x*然后我们验证了∏t（X）：=ZtPudXu+2qX0≤τ<t(Xτ）+C（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）（21）是任何容许策略X的子鞅，并且∏t（X*) 这是一个鞅。我们分三步进行：1。我们定义了一个合适的函数C，并在其系数上导出了一系列常微分方程，这是C成为问题的值函数的必要条件。2.我们求解常微分方程组。3.利用前面步骤的结果，我们导出了策略X*使得∏t（X*) 这是一个鞅。然后，验证参数得出C（t，x，d，z，δ，∑）是值函数，x*这是最优的。在不损失一般性的情况下，我们可以使用备注2.4假设q=1。B.2价值函数的必要条件我们将成本函数C搜索为变量x、d、z、δ、∑的一般二次型，其效率随时间变化（变量z代表基本价格St的当前值）。正如我们进一步看到的，我们需要C来验证xC+（1）- )dC+zC+d+z=0：因此C必须是（d）的二次型- (1 - ）x），（z- x），δ和∑，加上一项-（d+z）/2。我们定义（t，x，d，z，δ，∑）=a（t-t） （d）- (1 -）x）+（z- x）+（d- (1 - ）x）（z）-x）-（d+z）+b（T）- t） δ（d）- (1 - ）x）+c（T-t） δ+e（t）-t） ∑+g（t-t） ，（22）带a，b，c，e，g:R+→ R连续可微函数。我们选择极限条件C（T，x，d，z，δ，∑）=-（d+z）x+x/2=（d+z）- 十）- （d+z）/2，这是签署交易量的交易成本-十、

我们得出a（0）=，b（0）=c（0）=e（0）=g（0）=0。让我们注意到，方程（22）中应添加其他项，使C成为一般的二次型。Fivetermsh（T- t） （d）- (1 -）x）+h（T- t） ∑（d）- (1 - ）x）+h（T- t） Δ∑+h（t）- t） δ+h（t）- t） （z）- x）必须等于零，因为C（t，x，d，z，δ，∑）=C（t，-十、-D-Z-δ、 ∑）使用备注2.4和买卖订单扮演对称角色的事实。对于∑中的项，我们检查了之前的计算，它必然与零系数相关。对于十、∈ R、 我们有c（t，x+x、 d+（1）- )x、 z+x、 δ，∑）- C（t，x，d，z，δ，∑）=-（d+z）×十、-(x） 。（23）在下面的内容中，我们去掉C（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）对（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）的依赖性，以获得更简单的表达式。过程C（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）是ládlág，用注释2.5表示，我们使用（23）dC=tC dt+xC dXct+dC- ρdtdtt+（1）- ）dXct+ zCdXct- βδtδC-dt- β∑t- 2κ∞) ∑cdt+hC（t，Xt，dt-+ (1 - ν)新界，圣-+ νNt，δt-+ 它，∑t-+ （它）- C（t，Xt，Dt）-, 圣-, δt-, ∑t-)我- （Dt+St）Xt-(Xt）。关于I andI的定义，我们参考（11）。由（21）给出的∏（X）的定义产生d∏t（X）=（Dt+St）dXct+（Dt+St）Xt+(Xt）/2+dC。我们定义了连续有限变化过程（AXt）∈（0，T）使得AX+=C（0，X+，D+，S+，δ，∑），对于T∈ （0，T）dAXt=（Dt+St）dXct+Z（T，Xt，Dt，St，δT，∑T）Dt+tC dt+xC dXct+dC- ρdtdtt+（1）- ）dXct+ zCdXct- βδtδC dt- β∑t- 2κ∞) ∑C dt，其中，对于V~ u，Z（t，x，d，Z，δ，∑）：=∑+δ×EC（t，x，d+（1- ν） V，z+V，δ+（νs）- νc）（V/m），∑+（νs+νc）（V/m））- C（t，x，d，z，δ，∑）+Σ - δ×EC（t，x，d）- (1 - ν） V，z- νV，δ- （~ns）- νc）（V/m），∑+（νs+νc）（V/m））- C（t，x，d，z，δ，∑）.那么∏（X）-轴a鞅（让我们几乎肯定地说，dt-a.e.on（0，T），Z（T，Xt，dt）-, 圣-, δt-, ∑t-) =Z（t，Xt，Dt，St，δt，∑t））。

这就产生了∏（X）是一个次鞅（r e sp.a鞅）的作用轴增加（分别为常数）。从（23）中，我们得到xC（t，x，d，z，δ，∑）+（1）-)dC（t，x，d，z，δ，∑）+zC（t，x，d，z，δ，∑）+d+z=0，然后dAxt=ntC- ρDtdC+Z（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）- βδtδC- β∑t- 2κ∞) ∑Codt。（24）考虑到问题的二次性，我们搜索一个过程AXof the formdAXt=ρ1- dt×hj（T）- t） （Dt）- (1 - ）Xt）- Dt+k（T）- t） δti，（25）与j，k:R+→ R连续可微分函数，以获得非递减过程Ax，该过程Ax可以为特定策略X的常数*. 让我们注意Yt:=Dt-(1-）Xt，Ξt:=St-Xt，y:=d-(1-）x，ξ：=z-x.因为d+z=y+ξ+x=ξ+d-y1-，我们有tC（t，x，d，z，δ，∑）=-˙a y-˙bδy- ˙cδ- ˙e∑- ˙g，-ρddC（t，x，d，z，δ，∑）=-2ρa+ρ1- dy+ρ1- d- ρbδd，-βδ δC（t，x，d，z，δ，∑）=-βbδy- 2βcδ，-β(Σ - 2κ∞) ∑C（t，x，d，z，δ，∑）=-βe∑+2βκ∞e、 让V~ u. 一公顷[（~ns）- ιc（V/m）]=ιs- ιc=α，E[（ιs+ιc）（V/m）]=ιs+ιc=α+2ιcC（t，x，d+（1- ν） V，z+V，δ+（νs）- νc）（V/m），∑+（νs+νc）（V/m））- C（t，x，d，z，δ，∑）= a[（1）- ν） m+2（1）- ν） my]+νm+νmξ+ν（1）- ν） m+νmy+（1）- ν） mξ-m+2mξ+2m1- d-2m1- y+ b[（1）- ν） mδ+αy+～α（1）- ν） ]+c[α+2αδ]+（α+2ιc）e，其中α=e[V×（ιs）- ηc（V/m）]，α=E[（ηs]- νc）（V/m）]。（26）这些量α和α是通过假设确定的。这给出了sz（t，x，d，z，δ，∑）=m×2(1 - ν） a+ν+1- + αbδy-m1- δd+[（1）- ν） mb+2αc]δ+m×(1 - ν） a+ν（1）- ν/2) -+ ~α(1 - ν） b+αc+（α+2ιc）e∑，其中我们将C视为变量t，x，d，z，δ的函数，如等式（24）中的∑，并替换为d-(1 -）xby y和z- x乘以结果中的ξ。然后我们改变变量（x，d，z，δ，∑）→ （y，d，ξ，δ，∑），我们确定方程（24）和（25）的每一项：（等式dy）：-2ρa+ρ1-= -2ρ1-j.（等式y）：-˙a=ρ1-j（等式dy）产生j=（1）- a+。

我们在（等式y）中输入这个关系，我们有˙j=（1）-）a=-ρjthusj（u）=2+ρusion j（0）=（1）- ）a（0）+=。这就产生了a（u）=1-2+ρu-用（等式dy）。（等式δy）：-˙b- βb+αb+m×h2（1- ν） a+ν+1-i=2ρ1-jk。（等式δd）：- ρb-m1-= -2ρ1-k，它产生k（u）=1-b（u）+m2ρ。方程（28）在（等式δy）中，我们有˙b=-(β - α） b-2ρ1-j1.-b+m2ρ+ mh2（1- ν） a+ν+1-i，自从j/（1）- ）=a+/[2（1）- 我们有˙b（u）=h-(β - α) -ρ2+ρuib（u）+m1-×1+νρu2+ρu（等式δ）：- ˙c- 2βc+2αc+（1）- ν） mb=ρ1-k.（等式∑）：- ˙e- βe+（α+2ιc）e+m×(1 - ν） a+ν（1）- ν/2) -+ ~α(1 - ν） b+αc=0。我们有2（1）-) ×(1 - ν） a+ν（1）- ν/2) -= 2(1 -ν） /（2+ρu）- (1 - ν) + ν(2 -ν)(1 -) -(1 -因此˙e（u）=-(β - α - 2ιc）e（u）+α（1）- ν） b（u）+αc（u）+（1）-ν） m1-×h2+ρu-i（等式常数）：- ˙g+2βκ∞e=0。我们得到了关于过程AXj（u）=2+ρu，（27）k（u）=1的系数的两个条件- b（u）+m2ρ，（28）以及关于Ca（u）=1的系数的一组必要条件- 2+ρu-, （29）˙b（u）=-(β - α) -ρ2+ρub（u）+m1- ×1+νρu2+ρu，（30）˙c（u）=-2(β - α） c（u）+（1）- ν） mb（u）-ρ1 - k（u）、（31）˙e（u）=-(β -α - 2ιc）e（u）+α（1）- ν） b（u）+αc（u）+（1）- ν） m1- ×2+ρu-, （32）˙g（u）=2βκ∞e（u），（33）b（0）=c（0）=e（0）=g（0）=0。这组方程的分辨率完全决定了（2）中定义的函数C（t，x，d，z，δ，∑）。这就是本证明下一步的目的。让我们注意到，在这个阶段，我们已经知道等式（27）到（33）给出的系统允许一个唯一的解，并且通过使用验证参数，解决系统的函数C是问题的值函数。B.3常微分方程组的解析首先，我们使用方程（29）来简化函数C。

方程（22）中的时间变量t）为（z- x）+（d- (1 - ）x）（z）- x）-（d+z）=-zx-D- dx++(1 - )x、 因此a（T）的和- t） （d）- (1 - ）x）这个常数项可以改写为- （z+d）x+1.- 2+ρ（T）- t） +十、-1.- ×ρ（T）- t） /22+ρ（t）- t） d+ρ（t）- t） 2+ρ（t）- t） dx。（34）我们注意到η=β-α. 为了解方程（30），我们搜索形式为b（u）=b（u）×exp的解(-ηu）/（2+ρu）。这就产生了˙)b（u）=m1-×（1+νρu）×exp（ηu）。使用函数ζ和ω的各自定义（12）和（13），很容易得出所有η的定义∈ R、 经验(-ηu）Zu（1+νρs）exp（ηs）ds=uζ（ηu）+νρuω（ηu）。由于b（0）=2b（0）=0，我们得到了b（u）=mu1- ×ζ（ηu）+νρuω（ηu）2+ρu=1- ×ρu2+ρu×mρGη（u），（35），其中Gη（u）：=ζ（ηu）+νρuω（ηu）。方程（28）给出了sk（u）=m2ρ×2+ρu×{1+ζ（ηu）+νρuω（ηu）}2+ρu.（36）剩下的函数c、e和g对确定最优策略没有任何作用，它们的表达式更难获得。让我们首先考虑η6=0的情况。经过一些繁琐的计算，我们可以证明用c（0）=0解（31）的函数c由以下公式给出：c（u）=-1.- ×ρu/22+ρu×mρGη（u）-m8（1- )ρ×1.-νρη×uζ（ηu）×[1+exp(-ηu）- 2ζ（ηu）]。（3.7）对于函数e和g，我们在此回顾，它们允许使用正式的微积分软件获得显式但非常繁琐的公式。

在η=0的情况下，常微分方程的分辨率更容易，wegetc（u）=-(1 - ν)1 - ×mρ×-2+ρu-νmρ（1）- )×-νρu+νρu+νρu,e（u）=-(1 - ν)1 - ×M-m（2~αρ）- αm）ρ×I（u）-exp（2ιcu）ρL（ρ，-2ιc，u）(38)+ν(1 -ν） m2ρ（1）- )×~α -αmρ×ρI（u）-ανm4ρ（1）- )×ρI（u）+ρI（u）+ρI（u）,g（u）=-2βκ∞×(1 - ν)1 - ×M-m（2~αρ）- αm）ρI（u）-2ιcρ×hexp（2ιcu）L（ρ，-2ιc，u）- 自然对数1+ρu我+βκ∞ν(1 -ν） m2ρ（1）- )×~α -αmρ×ρI（u）-βκ∞ανm4ρ（1）- )×ρI（u）+ρI（u）+ρI（u）,（39）其中，对于p∈ N和u≥ 0，Ip（u）：=exp（2ιcu）Ruspexp(-2ιcs）ds和ια，α在（26）中定义。B.4最佳策略的确定证明的第一步是确定策略X*使得∏（X）*) 是一个鞅，或等价于AX*这是不变的。方程（25）和（27）YieldAxt=ρ1- dt×Dt- (1 - ）Xt2+ρ（T）- （t）- Dt+k（T）-t） δt=ρ/(1 - [2+ρ（T）- t） ]dt×(1 - ）Xt+[1+ρ（T）-t） ]Dt- [2+ρ（T）- t） ]k（t- t） δt.因此，AX*是（0，T）上的常数，当且仅当ifa。s、 ，dt-a.e.on（0，T），（1- ）X*t=- [1+ρ（T）- t） ]D*t+[2+ρ（t-t） ]k（t- t） δt，（40），其中D=D*当stra tegy X*是战略交易者给我们的。然后，我们描述了策略X*在[0，T]上执行以下三个步骤：o初始跳转十、*该策略的有效性是（X*, D*) t=0+时的满意度方程（40）战略X*通过微分方程（40）得到（0，T）最后的跳跃十、*T=-十、*T在时间T关闭战略交易员的头寸。在续集中我们需要以下引理。引理B.1。设φ：[0，T]→ R是一个可测函数，对于0≤ s≤ T≤ T，Φ（s，T）：=Rtsφ（u）exp(-βu）du。然后我们就有了所有的t∈ [0，T]Ztφ（u）δudu=ΔΦ（0，T）+ΘχTΦ（τχT，T）+χT-1Xi=1ΘiΦ（τi，τi+1）证明。

证据很简单，因为对于u∈ [χt，t]，δu=δexp(-βu）+exp(-βu）Θχtand fo ri∈ {0，··，χt- 1} 你呢∈ [τi，τi+1），δu=δexp(-βu）+exp(- βu）Θi.为了确定最优策略，只有（36）给出的函数k g起作用，因此η=0和η6=0的情况可以同时处理。我们还注意到ddu[uω（ηu）]=uζ（ηu）和ddu[uζ（ηu）]=exp(-ηu）为所有u≥ 0和η∈ R.我们使用等式（36）和（40）来获得策略X的以下特征*: a、 s.，dt-a.e.开（0，T），（1-）X*t=- [1+ρ（T）-t]D*t+m2ρ×2+ρ（t- t） ×{1+ζ（η（t- t） ）+νρ（t- t） ω（η（t）- t） ）}]δt.（41）X的初始跃迁*在t=0时，验证了（41）的t=0+：（1）- （x+十、*) = -[1+ρT]（D+（1- )十、*) +m2ρ×[2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}]δ，（42）给出了附录A中给出的时间0的初始交易。我们将方程（41）微分为g e T（1）- ）dX*t=ρD*tdt- [1+ρ（T）- t） ]dD*T-m×[1+exp(-η（T）- t） ）+νρ（t- t） ζ（η（t）- t） ）]δtdt+m2ρ×[2+ρ（t- t） ×{1+ζ（η（t- t） ）+νρ（t- t） ω（η（t）- t） ）}]dδt。这个y是lds，使用dδt=-βδtdt+dIt（1- ）dX*t=ρD*tdt- mφη（t）δtdt+1+ρ（t）- t） 2+ρ（t）- （t）mρdIt- (1 - ν） dNt（43）+m2ρ×ρ（T）- t） ×{ζ（η（t）- t） )- 1+νρ（T）- t） ω（η（t）- t） ）}2+ρ（t- t） 迪特，t在哪里∈ [0，T]φη（T）：=×1+exp(-η（T）- t） ）+νρ（t- t） ζ（η（t）- t） ）+βρ[2+ρ（t- t） ×{1+ζ（η（t- t） ）+νρ（t- t） ω（η（t）- t） ）}]2+ρ（t- t） δt=δexp(-βt）+P0<τ≤特克斯(-β（t- τ)) 我τ。

对于t∈ （0，T），dD*t=-ρD*tdt+（1）- ）dX*t+（1）-ν） dNt=- mφη（t）δtdt+（1）- ν） dNt2+ρ（T）- t） +m2ρ×2+ρ（t）- t） ×{1+ζ（η（t- t） ）+νρ（t- t） ω（η（t）- t） ）}2+ρ（t- t） 我们已经*+= D+（1）- )十、*=D- (1 - x2+ρT+m2ρ×2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}2+ρTδZ（0，T]dD*u=- mZ（0，t]φη（u）δudu+X0<τ≤t（1）- ν) Nτ2+ρ（T）- τ） +m2ρ×X0<τ≤t2+ρ（T）- τ） ×{1+ζ（η（T- τ） ）+νρ（T- τ）ω（η（T）- τ）}2+ρ（T）- τ)我τ。我们定义Φη（s，t）：=RtsΦη（u）exp(-βu）du表示0≤ s≤ T≤ Tt的引理B.1收益率∈ [0，T]ZtΦη（u）δudu=ΔΦη（0，T）+ΘχTΦη（τχT，T）+χT-1Xi=1ΘiΦη（τi，τi+1）。我们得到了D的表达式*t为t∈ （0，T）D*t=D- (1 - ）x2+ρT+δm2ρ×2+ρT×{1+ζ（ηT）+νρTω（ηT）}2+ρT- 2ρΦη（0，t）- m“ΘχtΦη（τχt，t）+χt-1Xi=1ΘiΦη（τi，τi+1）#+X0<τ≤t（1）- ν) Nτ2+ρ（T）- τ） +m2ρ×X0<τ≤t2+ρ（T）- τ） ×{1+ζ（η（T- τ） ）+νρ（T- τ）ω（η（T）- τ）}2+ρ（T）- τ)我τ。从（43）开始，战略X*附录A给出了（0，T）。再次使用（41），我们也得到了时间T的最终交易。我们在η6=0的情况下确定函数Φη（类似且更简单的计算得出η=0的结果）。我们写XP(-η（T）- t） ）×经验(-βt）=exp(-βT）×exp（α（T）- t） ），（t- t） ζ（η（t）- t） ）×经验(-βt）=exp(-βT）η×exp（β（T- t） )- exp（α（T- t） ）]。因此，φη（t）×exp（β（t- t） ）等于βρ+νηx exp（β（T-t） )++ν(ρ - 2β)2η+β2η1.-νρηexp（β（T- t） ）2+ρ（t）- （t）+-νρ2η-β2η1.-νρηexp（α（T- t） ）2+ρ（t）- t） ，收益率为0≤ s≤ T≤ T，Φη（s，T）=ρ+νη×[exp(-βs）- 前任警察(-βt）]+exp(-βT）2ρ×1 +ν(ρ - 2β)η+βη1.-νρη×[L（ρ，β，T-（s）- L（ρ，β，T）- t） ]+exp(-βT）2ρ×1.-νρη-βη1.-νρη×[L（ρ，α，T- （s）- L（ρ，α，T）- t） ]。η=β-α 6= 0.定理2.1的C证明设X为可容许策略。我们介绍了以下过程：SNt=S+νq（Nt- N） ，SXt=q（Xt- 十） ，dDNt=-ρDNtdt+1- νqdNtand和dDXt=-ρDXtdt+1- qdXt，其中DN=Dand DX=0。

因此，我们有S=SN+SX，D=DN+DX和P=PN+PX，其中PN=SN+DN和PX=SX+DX。从（4）中，我们得到了c（X）=Z[0，T）PNudXu- PNTXT+COW（X），其中COW（X）=Z[0，T）PXudXu+2qX0≤τ<T(Xτ）- PXTXT+2qxtx是X的确定函数，对应于N时的成本≡ 0，这是Obizhaeva和Wanghaeva模型。我们现在按照备注2.6和ge t thatZ[0，t）PNudXu中的部分进行积分- PNTXT=-Z[0，T）XudPNu。当pn是一个马尔代尔时，这个术语有一个空期望。因此，最优执行策略与Obizhaeva和Wang模型中的相同，见Gathereal，Schied和Slynko[23]，例2.12，并且没有PMS。否则，我们可以找到0≤ s<t≤ 因此E[PNt | Fs]和PNt几乎不一定相等。在这种情况下，我们考虑策略Xu=E[PNt- PNs | Fs]1u∈（s，t）这是一个往返，即X=XT+=0。然后我们得到“-Z[0，T）XudPNu#=-E[（PNt- PNs）E[PNt- PNs | Fs]=-E[E[PNt- PNs | Fs]]<0。由于COW（cX）=cCOW（X），我们可以找到足够小的c，使得E[c（cX）]=-cE[E[PNt- PNs | Fs]]+cCOW（X）<0，因此cX是PMS。参考文献[1]弗里德里克·阿伯格尔和艾门·杰迪迪。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》（IJTAF），16（05），2013年。[2] 奥列安·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·席德。具有一般形状函数的极限顺序优化执行策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。[3] 奥列恩·阿方西和亚历山大·希德。通过奇异控制实现完全单调核的容量测度。暹罗J.控制优化。，51(2):1758–1780, 2013.[4] 奥列安·阿方西、亚历山大·希德和阿拉·斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。SSRN eLibrary，2011年。[5] 罗伯特阿尔姆格伦和尼尔克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5-392000。[6] E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.F.Muzy。

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