可容许的半静态投资组合称为超复制，ifNXi=1gi（STi）+Ztγu（s）dSu≥ G（S），s∈ D.G的最小超级套期保值成本定义为，V（G）：=inf（NXi=1Zgidui:γ使得φ：=（g，…，gN，γ）是超级复制的）。假设5.1。我们修改了斯科罗霍德度量标准，并定义了d（S，~S）=d（S，~S）+中兴都-ZT苏都.很明显，D（S，~S）≤ˇd（S，~S）≤ （1+T）kS-~Sk。26 Y.Dolinsky和H.M.SonerWe假设存在模量连续性：i，。e、 ，连续函数[0，∞) → [0, ∞) mG（0）=0表示满意G（S）- G（~S）≤ mG（ˇd（S，~S））， S、 ~S∈ D（[0，T]；Rd）。此外，我们仍然假设G满足以下生长条件，而不是（1.3），（5.1）| G（S）|≤ C（1+kSk），对于某些常数C。显然，假设5.1比假设2.7更一般。特别是，第5.1条允许包括亚洲看涨/看跌期权，以及固定和浮动交易=TRTStdt- K+, G（S）=装货单-TRTStdt+,G（S）=K-TRTStdt+, G（S）=TRTStdt- 装货单+,和回望看涨期权（分别看跌期权）以及固定（分别浮动）行使权，G（S）=max0≤T≤TSt- K+, G（S）=max0≤T≤TSt- ST.用Mu表示，。。。，un上所有鞅测度的集合(Ohm, F） 这对任何k来说都是如此≤ N STkunder Q的概率分布等于uk。从关系式u观察 u ...  uN，（2.6）以及uN满足（2.4）这一事实，由此得出Mu，。。。，uN6=.本节的目的是证明以下结果。定理5.2。假设G满足假设5.1。进一步假设（2.6）和uNsatis fies（2.7）对于某些p>1。那么，V（G）=supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]5.1。为定理5.2的证明做准备。

为了证明上述定理，我们需要几个辅助引理和修正或以前的构造。设置τ（1）=并确定停止时间的顺序τ（i）k，i=1。。。，N、 k∈ N乘以τ（1）：=√d 2-N∧ inf{t>0:St6∈ O（S，n）}，对于k=1，τ（1）k+1:=T∧τ（1）k+h√d 2-N∧ τ（1）ki∧ 信息>τ（1）k:St6∈ O（Sτ（1）k，n）O，其中，τ（1）k=τ（1）k-τ（1）k-1.将mt设置为最小整数，使τ（1）M=T。假设我们定义了τ（i）k，i<j，k∈ N和Mi是一个小整数，比如τ（i）Mi=Ti。然后，我们定义τ（j）：=Tj-1+√d 2-N∧ inft>Tj-1:St6∈ O（STj）-1，n）,对于k=1，τ（j）k+1:=Tj-1.∧τ（j）k+h√d 2-N∧ τ（j）ki∧信息>τ（j）k:St6∈ O（Sτ（j）k，n）O鞅最优输运27We fix n∈ N并定义概率空间序列^D=^D（N）[0，T]。一个过程∈ D属于^D，如果存在一个非负整数M。。。，mna分区0=t（1）<t（1）=√d2-n<…<t（1）M=t=t（2）<t（2）=t+√d2-n<…<t（2）M=t=t（3）<…<t（N）-1） 锰-1=TN-1=t（N）<t（2）=TN-1+√d2-n<…<t（N）MN<t，所以t^St=NXi=1Mi-1Xk=0^St（i）kχ[t（i）k，t（i）k+1）（t）+^St（N）MNχ[t（N）MN，t]（t），其中^S=（1，…，1），对于任何≤ N和1≤ k<Mi，^STi∈ A（n），^St（i）k∈ A（n+k），t（i）k+1- t（i）k∈ B（n+k+1）。再一次，集合^D是可数的，因此在D上存在一个概率测度P=P（n），其支撑包含在^D中，这赋予了^D的每个元素正权重。可数空间上的套期保值问题如下所示。定义5.3。

（概率）半静态投资组合是一对（^g，…，^gN，^γ），对于任何i，^gi:A（n）→ R是有界函数，^γ：[0，T]×D→ [-n、 n]是允许的交易策略（与定义3.2中的含义相同）。s emi静态por tfolio是P-超复制，如果nxi=1^gi（STi）+ZT^γudSu≥ G（S），P- a、 s.G的（最小）超级成本定义为，V（n）（G）：=inf（NXi=1Z^gid^ui：γ使得^φ：=（^g，…，^gN，^γ）是可容许的且是超级复制的}，其中^u。。。，A（n）上的概率测度，由，μi（{m2）给出-n} ）：=uinx∈ Rd+：π（n）（x）=m2-不, M∈ Nd。接下来，我们定义提升。设置T=0。对于任何i=1。。。，N.停止时间^τ（i）：=Ti-1，^τ（i）=√d 2-n、 对于k=2，惯性矩- 1递归定义，^τ（i）k:=^τ（i）k-1+(1-√d 2-n/Ti）supnt>0|T∈ B（n+k）和t<τ（i）k-1.- τ（i）k-2o。同时设置^τ（i）Mi=Ti。28 Y.Dolinsky和H.M.SonerDe Fine，^∏t（S）：=PNi=1PMi-1k=0π（n+k）（Sτ（i）k）χ[τ（i）k，τ（i）k+1）（t）+π（n）（ST）χt（t），（5.2）ˇ∏t（S）：=PNi=1PMi-1k=0π（n+k）（Sτ（i）k）χ[τ（i）k，τ（i）k+1）（t）+π（n）（ST）χt（t），πt（S）：=PNi=1PMi-1k=0Sτ（i）kχ[τ（i）k，τ（i）k+1）（t）+STχt（t）。类似于引理3.5，我们得到（5.3）d（S，π（S）），d（π（S），ˇ∏（S））≤√d 2-n、 d（ˇ∏S，^∏S））≤ 3N√d 2-n、 前两个不等式的证明方法与引理3.5相同。通过修改映射∧：[0，T]以与引理3.5中类似的方式完成第三步→[0，T]如下所示。定义∧（τ（i）k）=τ（i）k，对于i=1。。。，N，k=0，惯性矩-1，并在其他点分段线性。现在我们估计| RTSudu-RT^∏u（S）du|。修复i<N。

清晰地ZTiTi-1苏杜-ZTiTi-1^∏u（S）du≤ 2.√d2-N蒂克斯克+ZTiTi-1ˇ∏（S）udu-ZTiTi-1^∏u（S）du≤ 2.√d2-NTikSk+kSkh（T- τ（i）Mi-1） +（T）- ^τ（i）Mi-1） i+Mi-2Xk=0π（n+k）（Sτ（i）k）τ（i）k+1- ^τ（i）k+1.注意，对于任何k=2。。。，惯性矩，^τ（i）k≤ (1 -√d 2-（不适用）^τ（i）k-1.^τ（i）=√d 2-n、 及π（n+k）（Sτ（i）k）≤ kSk+√d 2-n、 钛- τ（i）M-1= τ（i）M≤ τ（i）√d 2-n、 钛- ^τ（i）Mi-1.≤ τ（i）M+√d2-不适用≤√d 2-n（1+1/Ti）。因此ZTiTi-1苏杜-ZTiTi-1^∏u（S）du≤ ^c-nkSk+Mi-2Xk=0π（n+k）（Sτ（i）k）τ（i）k+1- ^τ（i）k+1≤ [kSk+√d 2-n]τ（i）-√d 2-N+ ^c-nkSk+hkSk+√d 2-尼米-2Xk=1τ（i）k+1- (1 -√d 2-n/Ti）τ（i）k≤ ^c-nkSk+k SkMi-2Xk=1τ（i）k+1- τ（i）k+ kSk(√d 2-n/Ti）Mi-2Xk=1τ（i）k≤ ^c-nkSk+kSk[τ（i）M- τ（i）]+kSk√d 2-N≤ ^c-nkSk，鞅最优输运，其中^c，^c，^care为适当常数（与n和S无关）。因此，（5.4）中兴都-^∏u（S）du≤ ckSk2-对于某些常数c，最后，让^φ=（^g，…，^gN，^γ）是定义3意义上的半静态投资组合。2.

为原始问题定义一个组合φ：=ψ（φ）：=（g，…，gN，γ）bygi（x）：=^giπ（n）（x）, i=1。。。，尼克斯∈ Rd+，γt（S）：=NXi=1Mi-1Xk=0^γ^τ（i）k+1（S）（^∏（S））χ（τ（i）k（S），τ（i）k+1（S）]（t）+N-1Xi=1（^γTi）- ^γ^τ（i）Mi-1） χ{Ti}（t）。在引理3.6中，对于任何i，（5.5）ZRd+gidui=ZA（n）^gid^ui-1γu（S）dSu=Mi-1Xk=1^γ^τ（i）k（S）（^∏（S））Sτ（i）k（S）- Sτ（i）k-1(S)+^-^γ^τ（i）Mi-1） （STi）-性病-)安第提-1^γu（^∏S））d^∏u（S）=Mi-1Xk=1^γ^τ（i）k（S）（^∏（S））π（n+k）（Sτ（i）k（S））- π（n+k）-1） （Sτ（i）k）-1（S））+^- ^γ^τ（i）Mi-1） （π（n）（STi）- π（n+Mi）-1） （STi）-)).同样，通过利用投资组合^γ有界于n的事实，我们得到以下估计，ZTγu（S）dSu-ZT^γu（^∏S）d^∏u（S）≤NXi=1ZTiTi-1γu（S）dSu-ZTiTi-1^γu（^∏S）d^∏u（S）≤ 2k^γk∞2N√d2-n+NXi=1mix=1π（n+k）（Sτ（i）k）- Sτ（i）k!≤ 4N√dn2-n+2nNXi=1mix=1√d2-N-K≤ 6N√dn2-n、 （5.6）通过应用引理3.6中类似的论点，我们观察到tγ是逐步可测的，并且RTγu（S）从下面统一有界。下面的引理结束了我们证明定理5.2的准备工作。引理5.4。i、 设p>1由（2.7）给出。然后，V（kSkp）<∞.二、让>0。确定停车时间τ（）=0，对于j>0τ（）j=T∧ min{t>τ（）j-1:t∈ {T，…，TN-1} 或∏t（S）- πτ（）j-1(S)≥ 30 Y.多林斯基和H.M.索内塞特M（）=min{k:τ（）k=T}。考虑随机变量x=vuutM（）Xi=1 |∏τ（）i（S）- πτ（）i-1（S）|。然后v（X）<3dV（|S|p）。证据i、 修理∈ N.L e tτ和N应如第3.1小节所示。我们将投资组合（g，γ）定义如下。设置γ=0。对于k=0，1。。。，N- 1和t∈ （τk，τk+1），设γt（S）=-p（p- 1)max0≤我≤k（S（1）τi）p-1.max0≤我≤k（S（d）τi）p-1.,andg（x）=聚丙烯- 1.pdXi=1xpi-pdp- 1，x∈ Rd+。我们使用[1]中的命题2.1得出结论，对于任何k=0，1。。。，N- 1和t∈ （τk，τk+1），g（St）+ZtγudSu≥ 最大值（|St | p，最大值0≤我≤k | Sτi | p）。因此，φ（n）：=（g，γ）是允许的。

同样在t=t，g（ST）+ZTγudSu时≥ max0≤我≤n | Sτi | p.鉴于τk的定义，对于足够大的n，max0≤我≤n | Sτi | p≥||S||-√d2-NP≥||S | | pp- 1.综合以上所有因素，我们到达亚视（| | S | | p）≤ 2p（1+ZgduN）<∞.二、定义交易策略γt=PM（）i=1γiχ（τ（）i-1，τ（）i]（t），其中γi=（γ（1）i。。。，γ（d）i）由γ（k）i给出=-πτ（）i-1（S（k））rPi-1j=1∏τ（）j（S（k））- πτ（）j-1（S（k））|+max0≤J≤我-1∏τ（）j（S（k））.从[8]中的定理1.2可以得出，对于任何i，Zτ（）iγudSu+3dmax0≤J≤i∏τ（）j（S）≥vuutiXj=1 |∏τ（）j（S）- πτ（）j-1（S）|。这与|γ|≤√d得出γ是可接受的交易策略，V（X）- 3d | | S | |）≤ 0.因此，从市场的线性和| | S | |≥ ||S | |=√我们得到了（X）≤ 3dV（|S | |）≤ 3dV（| | S | p），结果如下。鞅最优运输315.2。提奥·雷姆5.2的证据。证据我们开始提供ine质量（5.7）V（G）的证明≥ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]。让Q∈ Mu，。。。，uN.考虑γ=γ（1）+PN形式的交易策略-1i=1βiχ{Ti}（t），其中γ（1）是一种组合交易策略，满足定义2.5和βiis FTi中相同的假设-可测量且有界。显然，EQ（STi | FTi-) = 性病-,和soEQ“N-1Xi=1βi（STi- 性病-)#= 因此，EQ“ZTγu（S）dSu#=EQ”ZTγ（1）u（S）dSu#≤ 现在假设（g，…，gN，γ）是一个可容许的超复制半静态组合。然后，NXi=1Zgidui=EQ“NXi=1gi（STi#≥ 方程[G（S）]，我们得出结论（5.7）。接下来，证明不等式（5.8）V（G）≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]。证明将分四步进行。第一步：在这一步中，我们证明了如果（5.8）对有界非负G成立，那么它对满足假设5.1的一般函数成立。在定理2.9的证明中已经做了类似的简化。然而，这个证明使用了增长假设（1.3），而我们现在假设了一个较弱的条件（5.1）。

下面的证明与我们之前的论文[15,16]中给出的基本相同。首先，假设G是一个满足假设5.1的索赔，该索赔也由下而定。因此存在M>0，使得G≥ -M当K>0时，setGK:=G∧ c（K+1）+M。那么，GKis是非负的，所以（5.8）适用于GK，V（GK）≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[GK（S）]≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]+M。此外，通过G上的上界，集合{G（S）≥ c（K+1）}包含在集合{kSk]中≥ K} 。因此，G（S）≤ GK（S）+c（kSk+1）χ{kSk≥K} （S）- M≤ GK（S）+c（| | S | |+1）pKp-1.- M≤ GK（S）+c2pKp-1 | | S | | p- M.32 Y.Dolinsky和H.M.SonerBy根据市场的线性，这个不平等意味着V（G）≤ V（GK）+c2pKp-1V（|S|p）- 因此，对于任何K>0，V（G）≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]+c2pKp-1V（|S|p）。我们让K趋于一致，并应用引理5.4，得出满足假设5.1且有界于低的所有G的对偶成立。现在假设G是一个满足假设5.1的一般函数。对于K>0大，设置ˇGK:=G∨ (-c[K+1]）。然后，_gk从下方有界，对偶性成立。同样，线性上界意味着_GK（S）≤ G（S）+ˇeK（S），其中误差函数为ˇeK（S）：=c（kSk+1）χ{kSk≥K} （S）≤c2pKp-1 | | S | | p.自G≤ˇGK和对偶性对ˇGK，V（G）成立≤ V（ˇGK）=supQ∈Mu，。。。，uNEQ[ˇGK]≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G+1ek]≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G]+supQ∈Mu，。。。，uNEQ[ˇeK]。此外，将Doob不等式用于Q∈ Mu，。。。，unArtingale S、WeGet、supQ∈Mu，。。。，uNEQ[ˇeK（S）]≤c2pKp-1supQ∈Mu，。。。，uNEQ（|S|p）≤ Cpc2pKp-1supQ∈Mu，。。。，uNEQ（|ST|p）=Cpc2pKp-1Z | x | pduN（x），其中cpi是Doo b不等式中的常数。再一次，我们让K趋向于达到（5.8）。第二步：从知道开始，我们假设0≤ G≤ 有些c>0。修正>0和n∈ N

在空间^D上定义停止时间^τ（）=0，对于j>0^τ（）j=T∧ min{t>^τ（）j-1:t∈ {T，…，TN-1} 或|^St-^S^τ（）j-1| ≥ }.集合^M（）=min{k:^τ（）k=T}。引入随机变量^X：=F（^S）：=vuut^M（）Xi=1 |^S^τ（）i-^Sτ（）i-1 |考虑有界索赔=G（^S）-c∧ ^X.鞅最优运输33定义满足（5.9）Xm的所有概率测度的集合M（n，c）∈钕Q^STi=m2-N- ^uim2-N≤cn，i=1。。。，Nand（3.6）。也让M（n，c，） M（n，c）是除此之外满足方程qhc的所有概率测度的集合∧ ^Xi≤ c、 从马尔可夫不等式可以看出，对于任何Q∈ M（n，c，）（5.10）Q^X≥c≤ .使用引理3.10中类似的参数，可以得出（5.11）V（n）（Y）≤“supQ∈M（c，n）EQY#+=“supQ∈M（c，n，）EQY#+，其中最后一个等式来自G≤ c、 接下来，根据市场的线性和引理5.4，我们得到了（5.12）V（G）≤ 五、G-c∧ X+ V（X）≤ 五、G-c∧ X+ c表示some常数c。最后，我们估计项VG-c∧ X- V（n）（Y），从上方。根据假设5.1、（5.3）-（5.4）和事实0≤ G≤ c对于足够大的| G（S），我们得到- G（^∏（S））|≤ +cχ| S||≥-1.≤ +cp-1 | | S | p.观察X=F（^∏（S））。因此，从（5.6），引理5.4和市场的线数，我们得到（5.13）VG-c∧ X- V（n）（Y）≤ 6N√dn2-n++p-1V（|S|p）≤ cp-对于（5.11）-（5.13）中的一些常数c，可以得出，对于足够大的n，（5.14）V（G）≤ cp-1+“supQ∈M（c，n，）EQ[G（^S）]#+对于某些常数c.第3步：为了完成定理的证明，仍然需要确定（5.15）lim supn→∞“supQ∈M（c，n，）EQ[G（^S）]#+≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]+m（），其中m:R+→ R+是一个连续函数，m（0）=0。

通过让↓ 我们得到了二元性。显然，我们可以假设，对于n足够大的集合M（c，n，）6= 是notempty，否则（5.15）=0的左侧和s语句是微不足道的。我们从流程的修改开始。也就是说，我们将修改临时流程，这样新流程将有一个完整的多跳（统一边界）。这一修改将使我们获得紧密性。34 Y.Dolinsky和H.M.SonerThus Fix n∈ N（足够大）。存在一个概率测度Qn∈M（c，n，）使得（5.16）EQn[G（^S）]>“supQ∈M（c，n，）EQ[G（^S）]#+- 1/n.定义流程St=NXi=1^STi-1+αi（t-钛-1） χ[Ti]-1，Ti-（t）+STiχ[Ti-，Ti]（t），其中αi=Ti-钛-1Ti-钛-1.-，i=1。。。，N.观察到S和^S之间的Skorokhod距离满足（^S，^S）≤ 和苏都-ZT苏都≤ 2N||S|。因此d（S，^S）≤ （2N+1）| S |。再加上假设5.1和0≤ G≤ c产量（5.17）|G（| S）- G（^S）|≤ mG（（4N+2）d）√）+cχ|^S||≥2d-1/2.类似于引理3.10，我们有分解^S=MQn- AQn。表示mqn=（M（1）。。。，M（d）和AQn=（A（1）。。。，A（d））。注意（从Qn开始）∈对于任何i，EQnM（i）T=1和EQn | | A（i）|≤中国。因此，从Doobin等式和Markov不等式我们得到（5.18）Qn（| |^S | |≥ 2d-1/2) ≤dXi=1[Qn（| | M（i）| |≥ -1/2）+Qn（|A（i）|≥ -1/2)] ≤ D√（1+c/n）。含有（5.17）的tog醚给出（5.19）| EQn[G（~S）]- EQn[G（^S）]|≤ 镁（c）√）+c√对于s ome常数c。接下来，设置Θ=N+c/ δ=4Θ。定义τ=0，对于1≤ J≤ 定义τj=（T- δ) ∧最小{t>τj-1:t∈ {T，…，TN-1} 或|St-~S~τj-1| ≥ }.对于j>Θ，我们设置)τj=（T- δ) ∧ 最小{Ti:Ti>τj-1}. 观察∧τN+Θ=T- δ.设σ=0，当k>0时，设σk=~τk+δk，如果~~τk6∈ {T，…，TN-1，T- δ} 和σk=△τkotherwise。定义流程71st=Θ+N-1Xi=0Sτiχ[σi，σi+1）（t）+^STχ[t]-δ、 T]（T）。回想一下不平等（5.10）。

注意{^X≥c}- δ} ≤ Θ.因此（5.20）Qn（∑Θ=T-δ) ≥ 1.- 因此，d（ˇS，S）≤ 2+最大值1≤我≤M+Θ[σi- τi]≤ 3.鞅最优解，类似于我们得到的（5.4）ZTˇStdt-ZTStdt≤ 2T+2k^Sk≤ ck^sks表示常数c。这一观察结果与（5.10）一起得出方程[G（~S）]- EQn[G（S）]≤ c+cQn（||^S||≥ 2d-1/2）+mG（3+2dc√)≤ c+cd√（1+c/n）+mG（3+2dc）√).（5.21）从（5.16），（5.19）和（5.21）可以看出，为了建立（5.15）it支持来展示（5.22）lim supn→∞EQn[G（S）]≤ supQ∈Mu，。。。，uNEQ[G（S）]+mG（）+c。第4步：最后，我们通过在Skorokhodspace D上使用弱收敛来建立（5.22）。在不丧失一般性的情况下（通过传递到子序列），我们假设（5.22）左侧的极限是存在的。在这一步中，我们表示为n构造的过程S、S和停止时间τk、σk∈ N分别乘以)S（N）、71s（N）和)τ（k）N、σ（N）k。引入鞅M（n）t=NXi=1MQnTi-1+αi（t-钛-1） χ[Ti]-1，Ti-（t）+MQnTiχ[Ti-，Ti]（t）。对于k=0，1。。。，N+ΘletX（N）k=ˇS（N）σ（N）k=~S（N）~τ（N）k，Y（N）k=~M（N）~τ（N）k，Z（N）k=~M（N）~τ（N）k-W（n）k=~S（n）~τ（n）k-.从（5.9）可以看出，我们有一个弱收敛ˇS（n）T=> uN.此外，由于ˇS（N）T≥ 0 a ndlimn→∞EQn[ˇS（n）T]=limn→∞EQn[MQnT]=（1，…，1）=ZxduN（x）序列{ˇS（N）T}∞n=1是一致可积的。此外，质量限制→∞EQn | | AQn | |=0产生{MQnT}∞n=1是一致可积的，因为mqn是一个鞅，所以我们可以用任意时间替换T。因此，我们得出结论，序列X（n）。。。，X（n）n+Θ，Y（n）。。。，Y（n）n+Θ，Z（n）。。。，Z（n）n+Θ，σ（n）。。。，σ（n）n+Θ, N∈ Nis是一致可积的，特别是它在空间R4N+4Θ+4上的紧性。这是一个弱收敛的子序列（我们仍然用n表示）。

根据斯科罗霍德表示定理，我们可以在一个新的概率空间上重新定义上述序列，从而将a.s.表示为（X，…，XN+Θ，Y，…，YN+Θ，Z，…，ZN+Θ，σ，…，σN+Θ）的极限，并引入c\'adl\'ag过程ut=N+Θ-1Xi=0Xiχ[σi，σi+1）（t）+XN+Θχ[t]-δ、 T]（T）.36y.Dolinsky和H.M.sonero观察到，对于任何k，nσ（n）k-σ（n）k-1> δ假设σ（n）k-1<T-δ. 因此我们得到了极限的相同性质，即σk-σk-1> δ假设σk-1<T-δ.我们的结论是ˇS（n）→ 关于空间D上的Skorokhod拓扑的U a.s.因此G（ˇs（n））→ G（U）a.s，从有界收敛定理可以得出（5.23）E[G（U）]=limn→∞EQn[G（ˇS）]。让我们注意到，U不是一个martingale，所以我们修改了U。设G（i）t=u>tσ{Y，…，Yi，σ，…，σi，u是正确的连续过滤∧ σi+1}。介绍c\'adl\'ag流程)Ut=N+Θ-1Xi=0E（Zi+1 | G（i）t）χ[σi，σi+1）（t）+XN+χ[t]-δ、 T]（T）。因为limn→∞EQn | | AQn | | |=0，那么xk=Yk，Zk=Wk，k=0，1。。。，N+Θ，（5.24）和| Wk- Xk-1| ≤ ，k=0，1。。。，Θ.接下来，观察对于给定的n，我们有等式n（Z（n）k+1 |σ（n）。。。，σ（n）k，Y（n）。。。，Y（n）k）=Y（n）k.andEQn（Y（n）k+1 |σ（n）。。。，σ（n）k+1，Z（n）。。。，Z（n）k+1，Y（n）1。。。，Y（n）k）=Z（n）k+1。这个具有均匀可积性的tog醚产生（5.25）E（Zk+1 |σ，…，σk，Y，…，Yk）=Yk和（5.26）E（Yk+1 |σ，…，σk+1，Z，…，Zk+1，Y，…，Yk）=Zk+1。根据（5.25）-（5.26）和条件期望的链式规则，可以得出Uis a martinga le。从（5.24）-（5.25）中，我们得到了Uσk=Yk=Xk=Uσk。观察到，如果σk=T对于一些i，那么对于足够大的n，我们得到了σ（n）i=T。ThusUTi=~UTi=limn→∞^S（n）Ti。这与（5.9）一起给出，对于任何i，U的分布等于ui，我们得出结论，U定律是Mu中的一个元素，。。。，uN.最后，我们估计E[G（U）]-E[G（~U）]。让k<Θ。

关于t事件∈ [σk，σk+1）（这是G（i）t可测量的）我们应用（5.24）-（5.25）来获得|Ut- Ut |=| E（Zk+1）- Yk | Y。。。，Yk，σ。。。，σk）|≤ .因此在∑Θ=T事件上- δ我们得到| | U-~U | |≤ . 我们的结论是（5.27）| EG（U）- 例如（U）|≤ cP（σΘ<T- δ） +mG（）≤ c+mG（），其中最后一个不等式来自（5.20）。通过将（5.23）与（5.27）相结合，我们得到（5.22），并完成证明。鞅最优运输37参考文献[1]B.Acciaio，M.Beiglb–ock，F.Penkner，W.Schachermayer和J.Temme，Doobs鞅不等式的轨迹解释，23/4，1494–1505，（2013）。[2] B.Acciaio，M.Beiglb–ock和W.Schachermayer，《资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本》，预印本。[3] Y.Ait Sahalia和J.Jacod，《离散观察过程中的跳跃测试》，统计年鉴，37/1184-222，（2009年）。[4] Y.Ait Sahalia和J.Jacod，《分析资产回报谱：高频数据中的跳跃和波动成分》，经济文献杂志，501007–1050，（2012）。[5] M.Beiglb¨ock，P.Henry-Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的独立界限：大众运输方法》，金融与随机，17477–501，（2013年）。[6] H.Brown，D.Hobson和L.C.G.Rogers，《障碍期权的稳健对冲》，数学。《金融》，11285-314（2001）。[7] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，预印本，arXiv:1305.6008，（2013）[8]M.Beiglb–ock和P.Siorpaes，Burkholder-Davis-Gundy不等式的路径版本，预印本。[9] P.Carr和R.Lee，连续半鞅上的对冲方差选择，金融学和随机学，14179-207，（2010）。[10] A.M.G.Cox和J.Obloj，《双重不接触期权的稳健定价和套期保值》，金融与随机，15，573–605，（2011年）。[11] A.M.G.考克斯和J。

Obloj，双触式障碍期权的稳健对冲。暹罗J.金融数学。，2, 141–182, (2011).[12] A.M.G.Cox和J.Wang，根障碍：方差期权的构造、最优性和应用，应用概率年鉴，23/3859–894，（2013）。[13] M.H.A.戴维斯和D.霍布森。交易期权价格的范围，数学。《金融》，2007年1月17日至14日。[14] M.H.A.Davis，J.Obloj和V.Raval加权方差价格的套利界限WAPS，数学金融，即将出版（2013年）。[15] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《稳健套期保值和鞅最优运输不连续时间》，概率论和相关领域，160/1-2391–427，（2014）。[16] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《按比例交易成本的稳健对冲》，金融与随机，18/2327–347，（2014年）。[17] H.Folmer和D.Kramkov，《概率论及相关领域》，第109页，第1-25页（1997年）。[18] A.Galichon，P.Henry Labord`ere和N.Touzi，《边缘无轨道giv边界的随机控制方法及其在回望期权中的应用》，2014年12月24日，第312–336页。[19] D.霍布森，《回望期权的稳健对冲》，金融与随机，2329–347，（1998）。[20] D.Hobson，《斯科罗霍德嵌入问题与期权价格的模型独立界限》，巴黎s–普林斯顿数学金融讲座，斯普林格，（2010年）。[21]D.Hobson和M.Klimmek，《方差互换的模型独立对冲策略》，金融随机，16611–649，（2012年）。[22]D.Hobson，P.Laurence和T.H.Wang，篮子期权的静态套利最优sup复制策略，保险。数学经济部。37, 553–572, (2005).[23]D.Hobson，P.Laurence和T.H.Wang，《证券期权价格的静态套利上界》，定量金融5，329–342，（2005年）。[24]D.Hobson和A.Neuber-ger，前向启动选项的鲁棒边界，数学。《金融》，第22、31–56页（2012年）。[25]D.霍布森和J.L。

Pedersen，给定初末律的连续鞅的最小极大值，Ann。Probab。，30, 978–999, (2002).[26]R.S.Liptser和A.N.Shiryayev，《随机过程统计》，第一卷，纽约斯普林格，（1977年）。[27]J.Obloj，P.Henry-Labor d`er e，P.Spoida和N.Touzi，给定边值的鞅的最大值，预印本，（2013）。38 Y.Dolinsky和H.M.Soner[28]P.Protter，随机积分和微分方程，斯普林格，纽约，第二版（第三次印刷，版本2.1），（2005年）。[29]A.N.Shiryaev，《概率论》，斯普林格·维拉格，纽约，（1984年）。[30]A.V.Skorokhod，关于随机变量的表示，Probab理论。应用，21628-632，（1976年）。[31]H.Strasser，数理统计理论，德格鲁伊特数学研究7，柏林，1985年。以色列耶路撒冷希伯来大学统计系。电子邮件：燕。DOLINSKY@MAIL.HUJI.AC.ILDEPARTMENT苏黎世和瑞士金融学院数学系。电子邮件：HMSONER@ETHZ.CH