Skorokhod空间中的鞅最优输运

2022-5-6 02:53:54

斯科罗霍德太空中的鞅最优输运Yan DOLINSKY和H.METE SONERHEBREW耶路撒冷大学和苏黎世斯特拉特大学。证明了在多维c’adl’ag过程的Skorokhod空间中鞅最优输运问题的对偶表示。对偶是一个包含随机积分约束的极小化问题，类似于标准优化问题的Kantorovich对偶。在Skorokhodspace中的每一条路径都需要约束。这个问题在财务上被解释为路径依赖型欧式期权的稳健对冲。1.介绍金融市场的独立于模型的方法提供对冲，而不涉及特定的概率结构。它还与一类Monge-Kantorovich最优运输问题密切相关。在本文中，我们证明了这一联系适用于具有c\'adl\'ag（右手连续左手极限）轨迹的多风险集合的相当普遍的金融市场。投资者在投资组合中使用多个资产，并且观察到的股价过程包含跳跃成分[3,4]，这一事实强烈地推动了这种普遍性。主要结果是非异变期权G的超级复制成本的Kantorovich型对偶，它只是整个股票轨迹的非线性函数。有充分的证据表明，这种二元性对于理解金融市场至关重要。特别是，其他几个重要的结果，包括资产定价的基本原理，也由此产生。由于这是这些问题的标准，在[19]之后，我们假设一组线性选项H可用于静态投资，H的已知价格为L（H）∈ H.除了这种静态投资，投资者还可以动态使用其投资组合中的股票。

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2022-5-6 02:53:58

假设一个可容许的可预测过程γ表示股票中的这个动态位置，其价格过程由S表示，其值为正或正。如果一个投资策略（h，γ）的最终估值日期为2022年3月22日，那么它将复制一个奇异期权。91G10，60G44。多林斯基的研究部分由欧盟职业整合基金CIG618235资助，索纳的研究部分由ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会SNF 200021153555资助。作者感谢Marcel Nutz、Tan小鲁和Nizar Touzi教授的深入讨论和评论。这项工作的一部分是在作者访问新加坡国立大学期间完成的。作者要感谢戴敏教授、寇国文教授、新加坡国立大学数学系和数学科学研究所的盛情款待。在所有可能的情况下，即（1.1）H（S）+ZTγu（S）dSu，Y.Dolinsky和H.M.Sonerat成熟度T支配G≥ G（S）， s∈ D、其中D是所有股票过程S的集合，这些股票过程S为c\'adl\'ag，S=（1，…，1）且在到期日T时连续。第2节定义2.5讨论了与随机积分和容许策略相关的技术问题。最小超复制代价由v（G）：=inf{L（h）：存在可容许的可预测过程γ，因此t（h，γ）超复制G}。通常，对偶元素是与给定期权数据一致的鞅测度Q。

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2022-5-6 02:54:01

也就是说，设mld是D上所有测度的集合，使得标准过程S是具有标准滤波F和q[h]的鞅≤ L（h），h∈ H.然后我们得到以下对偶结果，（1.2）V（G）=supQ∈MLEQ[G]。上述结果在定理2.9中得到了证明，对于在Skorokhod拓扑中一致连续且满足一定增长条件的G。在定理2.9中，我们假设（1.3）|G（S）|≤ C（1+| ST |）对于某些常数C>0。然后，在最后一节中，我们将这个条件放宽到（5.1）。在本文中，我们研究了两类配对（H，L）。也就是说，一个和多个边缘病例。在第一种情况下，这一对是通过给定的概率度量来确定的。然后，我们把H作为g（ST）型函数的集合∈ L（Rd+，u）和se t L（g）=Rgdu。nu的唯一假设是rxdu（x）=S=（1，…，1）。在初始部分和定理2.9中，我们证明了单边际情形的对偶性。然后，在第5节中，我们放松了G上的增长假设，并考虑了多边际问题。也就是说，我们确定了一个0<T<T<…<TN=T，概率度量u u ... u非Rd+，其中表示概率测度上的凸序，即u ν <=>ZΦdu≤ZΦdν， Φco凸，可积。我们将对偶结果（1.2）推广到H是Pni=1gi（STi）类型的所有函数与gi的集合的情况∈ L（Rd+，ui）。然而，对于这个扩展，我们需要假设r|x|pdun（x）<∞ 对于一些p>1的人来说。特别是，我们假设功率选项是静态位置H的s步中的一个元素。我们的方法，如[15,16]所示，依赖于离散化程序。然后，我们使用一个经典的最小-最大定理来进行离散逼近，并使用F¨ollmer和Kramkov[17]的经典约束对偶结果。技术步骤是证明对偶公式两边的近似值收敛。

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mingdashike22

2022-5-6 02:54:04

库存过程的多维性和不连续性带来了几个技术难题。特别地，我们在近似离散市场中引入了适当的por-tfolio约束。离散化的这一新特性对于优化传输3至关重要，它使我们能够控制由于存储过程的多维性和可能的圆盘连续性而产生的误差项。另一个技术难题源于这样一个事实：鞅度量集不是紧的。因此，要想在双面结构中达到极限，就需要概率结构。特别地，我们证明了对偶问题作为概率测度u（带固定G）的函数具有一些连续性。这在第4节定理4.1中得到了证明。对于多边际情形，如何通过概率构造证明定理4.1尚不清楚。相反，我们在离散化程序中使用了一个额外的想法。这个想法基于惩罚技术，要求线性空间H包含一个幂选项。本文研究的结构与[19]和[6,9,10,11,13,14,15,18,21,22,23,24,25,27]的结构相似。我们建议读者参考霍布森[20]的优秀调查，以及我们之前的论文[15,16]和其中的参考文献。相关问题是这些市场中资产定价（FTAP）的基本理论。在[2]、[7]和[16]中研究了离散时间鲁棒设置中的这个问题。[2] 在独立于模型的框架下，用一个包含幂选项的通用H证明了FTAP。[7] 考虑一个离散时间市场，其中假设一组概率测度P。超级复制的定义是要求（1.1）不是每一个路径S，而是几乎肯定每一个路径P∈ P（即P-准sur）。

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2022-5-6 02:54:08

FTAP a和对偶性（在无ar比特率的假设下）被证明是有限维的，但可能没有幂选项。[2]和[7]中考虑的无套利概念是不同的。在我们之前的工作[16]中，我们证明了具有比例cos ts的离散时间市场的模型独立对偶性。FTAP是二元性的结果。然而，FTAP的形式取决于无障碍的特定概念。[16]中还对不同的概念进行了讨论。在连续时间内，除了[18]中考虑了某一类P之外，一般准肯定设置的理想扩展仍然是开放的。本文的组织结构如下。主要结果将在下一节中阐述。第三节证明了定理2.9。在第4节中，我们证明了dua l pro m依赖于度量u的连续性结果。最后一部分是关于扩展的。符号在结束这篇介绍时，我们列出了本文中使用的一些注释R+：=（0，∞) 是所有正实数的集合N:={1，2，…}是正整数的序列。oD是在t=Tand处连续且也满足S=（1，…，1）的所有Rd+值c′adl′ag过程S的集合；第2节第2节定义了Rdvalued过程的类似集合D（[0，T]；Rd）S是标准过程，F是D上的标准过滤；第2节kSk=sup{| St |：t∈ [0，T]}H是静态可交易期权的se t。

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2022-5-6 02:54:11

在本文中，它是形式为h（S）=g（ST）的所有函数的集合，其中g∈ L（Rd+，u）表示某些概率测量值u；见第2.1小节d是d，se e第2.4节中的斯科罗霍德度量对于正整数n和S∈ D、停止时间τk=τ（n）k（S）\'S和随机整数M=M（n）（S）a在第3.1.4小节Y.Dolinsky和H.M.Sonero中定义为正整数n和S∈ D、第3.3小节将随机时间τk=τ（n）k（S）定义为停止时间τk的函数。o映射∏：D→^D和ˇ∏和∏：D→ D.在第3.3小节中构造。在可能的情况下，我们遵循的约定是，符号^是为可数空间^D上的对象保留的，例如^S是^D中的通用点，而^τk是它的跳时。2.初步情况和主要结果金融市场由一个储蓄账户组成，该账户标准化为unityBt≡ 1.通过价格过程对风险资产进行贴现和减值∈ Rd+，t∈ [0，T]，其中T<∞ 是到期日。在不丧失一般性的情况下，我们将初始股票值设置为1，即S=（1，…，1）。我们假设定价过程的每一个组成部分都是右连续的，具有左极限（即c’adl’ag过程），而在成熟期t=t时也是连续的。D表示所有c\'adl\'ag函数的集合S=（S（1），S（d））：[0，T]→ Rd+，在t=t时是连续的，也满足S=（1，…，1）。那么，任何一个FD元素都可以成为股票价格过程的可能路径。这是我们对金融市场的唯一假设。我们将D（[0，T]；Rd）设为所有c\'adl\'ag过程的集合，这些过程采用从S=（1。

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2022-5-6 02:54:15

，1）并且在T处是连续的。考虑一个欧洲路径依赖选项，其payoff X=G（S），其中G:D（[0，T]；Rd）→ R.虽然只需要G对D的值来确定问题，但从技术上讲，我们需要在更大的s速度D（[0，T]；Rd）上定义G。然而，在大多数情况下，定义在D到D（[0，T]；Rd）上的函数的扩展是简单的；见下文备注2.8。在概率论中，大多数过程要么是渐进可测量的，要么是具有过滤规范的PRE dic表。在本文中，自然过滤是由规范过程产生的规范过滤。然后，我们有以下关于进步可测量性的等效定义。定义2.1。我们说一个过程γ：[0，T]×D→ 对于任何可测量的Rdis∈ D和t∈ [0，T]，（2.1）Su=~Su，U∈ [0，t]=> γt（S）=γt（~S）。众所周知，如果γ是连续的和渐进的可测量的，那么它可以通过对标准过滤的响应来预测。因此，在续集中，我们通过验证（2.1）来检查任何左连续过程的可预测性。鞅最优运输52.1。可交易期权。H代表可用于交易的所有期权的集合。虽然在本文中我们使用了一个特殊的类，但通常假定它是D上实值函数的线性子集。通常假定Hcash，h，高清∈ H、哈卡什在哪里≡ 1，hk（S）：=S（k）T， k=1，d、这些期权的价格由运营商给出→ R.L上的必要条件是凸性，适当的连续性a ndL（hcash）=1，L（hk）=S（k）=1， k=1，d、最后一个条件意味着对偶元素是鞅测度。所以放松它，考虑局部鞅测度，可能会很有趣。例2.2。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:54:18

在这个例子中，我们讨论了本文研究的两个例子（H，L）。1.设ub e为概率测度，设（2.2）H={H（S）=g（ST）：g∈ L（Rd+，u）}。通过概率度量uby，（2.3）L（g）=ZRd+gdu给出的定价运算符。我们假设usatifies（2.4）Zhkdu=Zxkdu（x）=S（k）=1， k=1，d、上述线性定价规则相当于假设STisknown的分布等于u.2。Cons IDER a分区0<T<T<…<TN=T，可测量u u ... u非Rd+。假设r|x|pduN（x）<∞ 对于一些p>1的人来说。我们也认为这是令人满意的（2.4）。Set（2.5）H={H（S）=NXi=1gi（STi）：gi∈ L（Rd+，ui）}。在这种情况下，线性定价规则相当于一个假设，即对于任何k，STK的分布等于uk。我们还假设（2.4），（2.6）Zxkdui（x）=S（k）=1， k=1，d、 i=1，N在本文中，为了简化演示，我们主要考虑第一种情况。也就是说，我们假设（H，L）满足（2.2），（2.3），（2.4）。尤其是在这种情况下，不需要在所有静态位置的空间中存在作为元素的幂选项。在第5节中，我们假设了幂期权的存在性，并将对偶性推广到多边际情形（2.5）。6 Y.多林斯基和H.M.索内雷马克2.3。再次让可交易期权的形式为h（S）=g（ST）。然而，现在假设g是Rd+的有界连续函数。然后，Acaruel分析我们的证明表明，对偶结果定理2.9适用于具有相同对偶问题的这个问题。因此，使用这类可升级选项的超级复制成本等于使用lar ger c CLASS g的超级复制成本∈ L（Rd+，u）。参见下面的备注3.8和备注2.10。接下来我们讨论电源选项的重要性。备注2.4。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:54:21

下面的示例强调了（2.4）中假设的电源选项的作用，并由Marcel Nutz传达给我们。假设d=1。让h*（S） =χ[0.5，∞)（ST）和H是由H跨越的三维空间*, h、哈卡什。进一步假设L是H上的线性泛函，L（hcash）=1和L（H*) = 0.对于奇异选项G，V（G）是supe r-replicationcost。设H为扩展市场，其中还包括功率选项，V（G）为相应的超级复制成本。在这两种市场中，投资者都可以购买数字期权h*对于零cos t。显然，这意味着自h以来的某种类型或悲剧*≥ 0和不等同于0。然而，对于市场H，这种套利虽然同意[7]中引入的通知，但与[2]中给出的不一致。另一方面，在H中，在这两种意义上都存在一个错误，并且超级复制成本V（G）=-∞.在较小的市场H中，直接得出V（0）=0。但我们声称，不存在与L一致的martinga le mea sure。事实上，如果存在满足Q[h]的amartingale测度*] ≤ L（h）*) = 0，则发育迟缓者Q的分布uo的支持必须是[0,0.5]的子集。另一方面，由于Q是鞅度量，因此Rxdu（x）=S=1。因此，集合是空的。这意味着二元性（1.2）不适用于H，而适用于包含幂选项的市场。（请注意，按照惯例，空集上的上确界定义为负。）虽然对偶不适用于H和对偶集ML，但在本例中，如果放松对偶集的测度来包括局部鞅测度，它也适用。2.2. 鞅测度。设置Ohm := 设F为σ-代数，由cy-lindrical集合生成。

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nandehutu2022

2022-5-6 02:54:25

设S=（St）0≤T≤t给定的标准过程St（ω）：=ωt，对于所有ω∈ Ohm.空间上的一个概率测度Q(Ohm, F）是一个鞅测度，如果正则过程（St）Tt=0是关于Q的鞅，S=（1，…，1），Q-a.S。对于Rd+上的概率测度u，让Mu是所有鞅测度的集合，使得发育迟缓Q的概率分布等于u。请注意，条件rxkdu（x）=1 in（2.4）相当于Mu6=.2.3. 可接受的投资组合。接下来，我们描述标的资产中的连续时间交易。我们基本上采用了[15]中已经使用过的路径方法。然而，目前的设置比人工最优传输7[15]中的设置更微妙。事实上，由于积分器S的不连续性，我们要求交易策略是有界变化且左连续的。实际上，对于任何左连续函数γ：[0，T]→ 有界变差的RDF与ac'adl'ag函数∈ D、我们可以使用部分积分（见[28]第1.7节）来定义γudSu:=γt·St- γ·S-ZtSu·dγu，其中a，b∈ Rd，a·b是通常的标量积。此外，右上方的las t项是Lebesgue-Stieltjes积分，而不是[15]中使用的标准Riemann–Stieltjes积分。特别是，当γ也是渐进可测的（c.f.，（2.1））时，则对于任意鞅测度Q∈ Mu，随机积分rγ定义良好，路径构造积分和随机积分几乎肯定一致。在续集中，我们反复使用这个等式。这些考虑使我们得出以下定义。定义2.5。

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kedemingshi

2022-5-6 02:54:29

半静态投资组合是一对φ：=（g，γ），其中g∈ L（Rd+，u）和γ：[0，T]×D→ 当reγt（S）表示在t时，在此时进行转让之前，投资组合φ中的股票数量时，RDI是连续的、逐步可测量的、有界的变化。s emi静态投资组合是允许的，如果每个Q∈ Mu随机积分rγudsui是aq超鞅。一个可容许的半静态投资组合称为超复制，ifg（ST）+Ztγu（S）dSu≥ G（S），s∈ D.G的（最小）超级套期保值成本定义为，V（G）：=infZgdu：γ使得φ：=（g，γ）是超级复制的.备注2.6。受理条件取决于所采取的措施。因此，容许控制集和超级回复成本也具有这种依赖性。可以通过考虑连续和有界EDG而不是L（Rd+，u）函数来消除这种依赖性。对于可容许性，不要求随机积分γudsui是每个Q的Q超鞅∈ Mu，我们可以在S.Acaruel中施加一个条件，即该积分从下方一致有界。对Theo-rem 2.9证明的分析揭示了对偶性（在orem 2.9的假设下）适用于此类较小的可容许投资组合，因此超级复制成本不变。见下文备注3.8和2.10。如果usatifies（2.7）Z|x|pdu（x）<∞当指数p>1时，如果存在满足（2.8）Ztγu（S）dSu的C>0≥ -C1+sup0≤U≤t|Su|p, T∈ [0，T]，S∈ D、然后，对于每个Q，随机积分是一个Q超鞅∈ Mu由于Doob’sinequality和（2.7）。8 Y.Dolinsky和H.M.SonerIn在续集中，我们通过验证上述条件（当（2.7）成立时p>1，或者再次验证上述不等式，但当我们只有（2.4）时p=0，来检查γ的可容许性。2.4. 空间D上的鞅最优输运。我们继续讨论对偶结果。

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2022-5-6 02:54:32

由于我们的方法依赖于离散化，因此需要奇异选项的规律性。然后，人们可以通过分析方法放松这种规律性，就像我们在[16]中所做的那样。由于本文的重点是stock过程和多维性的可能不连续性，我们不使用G上的最一般条件。我们首先证明了G在Skorokhod拓扑中满足（1.3）且一致连续时的对偶性。然后我们在下面的第5节中放宽这个条件。为了说明G上的条件，回忆一下Skorokho d度量onD（[0，T]；Rd），d（ω，ω）：=infλ∈∧[0，T]supt∈[0，T]（|ω（T）- |ω（λ（t））|+|λ（t）- t |），其中∧[0，t]是函数λ：[0，t]上所有严格递增函数的集合→ [0，T]。假设2.7。我们假设奇异选项：D（[0，T]；Rd）→ R、满足（1.3）且一致连续，即存在连续有界函数（连续模）mG:R+→ R+使| G（ω）- G（ω）|≤ mG（d（ω，ω）），ω, ~ω ∈ D（[0，T]；Rd）。满足假设2.7的支付示例（对于d=1）包括带固定删除线的回望看跌期权（s）=（K- min0≤T≤TSt）+回望看涨期权，带浮动冲击线- min0≤T≤TSt）+。在最后一节中，我们将上述假设放宽为假设5.1。此扩展允许更多选项，尤其是亚洲类型。备注2.8。出于技术原因，我们假设G不仅定义在D上，而且定义在lar ger空间D（[0，T]；Rd）中。然而，假设G只被赋予它的自然域D，而不是空间D（[0，T]；Rd）。假设G在D上是一致连续的。然后，我们可以将G扩展到更大的空间，仍然满足上述假设，并且主要的对偶结果与所选择的特定扩展无关。事实上，一个直接闭包参数将G扩展到一个定义在D（[0，T]；[0，∞)d）。

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2022-5-6 02:54:35

然后，我们定义G（~S）：=G（~S′）代表每一个∈D（[0，T]；Rd），式中<<S′（i）T:=|S（i）T |，i=1。。。，d和t∈ [0，T]。下面的结果是[15]中定理2.7的一个推广，它适用于具有可能跳跃的多维股价过程。其证明在随后的章节中完成。第5节提供了假设2.7的简化。鞅最优运输定理2.9。我们假设（H，L）如（2.2）、（2.3）所示，概率测量满足度（2.4）。然后，对于任何满足假设2的奇异选项。7.我们在定义2.5中定义了最小超级复制成本的双重表示，V（G）=supQ∈MuEQ[G（S）]，其中EQdenotes表示关于概率度量Q的期望。让Q∈ Mu。然后，对于任何可容许策略γ，路径积分γudsuagree与随机积分Q-几乎肯定，并考虑到定义2。5这个积分是一个Q超鞅。现在假设（g，γ）是一个可容许的复制半静态投资组合。然后，EQ“ZTγu（S）dSu#≤ 0，且等式[g（ST）]=Zgdu。我们在超级复制不等式中取期望值，并使用上述观察值得出V（G）≥ supQ∈MuEQ[G（S）]。推论3.7，（2.9）V（G）证明了相反的不等式≤ 林恩芬→∞V（n）（G）≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。我们继续执行一个标准步骤，允许我们只考虑有界和非负索赔。减少到有界非负索赔。设C>0为假设（1.3）中的常数，设^G（S）：=G（S）+C“1+dXi=1S（i）T#。然后，V（G）=V（G）+（d+1）C，以及∈MuEQh^G（S）i=supQ∈MuEQ[G（S）]+（d+1）C.因为由（1.3）^G≥ 0，我们可以在不丧失一般性的情况下假设该索赔为非负索赔，并满足假设2.7。接下来，对于任何常数K≥ 0套GK:=G∧ C（dK+1），其中C再次如（1.3）所示。那么，gk是一个有界的非负函数。

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kedemingshi

2022-5-6 02:54:40

那么，根据（1.3），G=GK+（G- C（dK+1））+≤ GK+CdXi=1（S（i）T- K） +。因此，我们有以下不等式，V（GK）≤ V（G）≤ V（GK）+VCdXi=1（S（i）T- K） +！=V（GK）+CdXi=1Z（xi- K） +du（x）.10 Y.多林斯基和H.M.索内拉索（2.4）暗示→∞dXi=1Z（xi- K） +du（x）=0。因此，我们得出结论：V（G）=limk→∞V（GK），如果不等式（2.9）适用于GK，那么它适用于G。我们得出结论，在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设G是满足假设2.7的大量非负函数。备注2.10。在上面的证明中，V（G）的下界来自一个经典的直接参数。对于这一论点，定义2.5中假设了（g，γ）的最小条件。即g关于u的可积性和随机积分的超鞅性。因此，任何较小的clas sof半静态投资组合也会满足下限琐事。3.有界非负G的（2.9）证明。在本节和下一节中，我们假设G是有界非负的，满足假设2.7，并且对（H，L）是s（2.2），（2.3）。3.1。Rd+和停止时间的离散化。在本小节中，我们构造了一系列的停止时间，这将是离散化过程的核心。为了n∈ N和x∈ Rd+定义一个开放集，O（x，n）：=ny∈ Rd+：|y- x|<√d 2-不，是给S的∈ D、设置τ=0，定义τk+1=τ（n）k+1（S），τk+1:=T∧τk+√d 2-N∧ inf{t>τk:St6∈ O（Sτk，n）}，k=0，1，其中我们设置τk+1=T∧ （τk）+√d 2-n）如果上述集合为空。为了减轻旋转，当n和S的依赖性很明显时，我们抑制了这种依赖性。SetM=M（n）（S）：=min{k∈ N：τk=T}。因为S是c\'adl\'ag和S∈ Rd+，M<∞. 同样清楚的是，0=τ<τ<…<τM=关于S产生的过滤的皮重停止时间。此外，对于k=0，1。

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2022-5-6 02:54:43

M- 1，（3.1）|τk+1- τk |，| St- Sτk|≤√d 2-NT∈ [τk，τk+1）。此外，通过T处S的连续性，上述值保持在闭合区间[τM]内-1，T]。鞅最优运输113.2。近似值。在本小节中，我们将介绍一系列定义在可数概率空间上的超级复制问题。在后面的章节中，我们展示了这个序列近似于原始问题。因为概率空间是可计算的、鲁棒的（或等价的点态），而概率超复制是通过正确选择的概率度量来实现的。这使我们能够利用经典技术来分析近似问题。我们∈ N并定义概率空间序列^D=^D（N）[0，T]。SetA（n）：=-nm:m=（m，…，md）∈ 钕,B（n）：=nk√d 2-n:k∈ 不∪N√d 2-n/k:k∈ 第3.1条定义。一个过程∈ D属于^D，如果存在一个非负整数和一个分区0=t<t=√d2-n<…<tM<T使得^St=M-1Xk=0^Stkχ[tk，tk+1）（t）+^StMχ[tM，t]（t），其中^S=（1，…，1），^ST=^StM∈ A（n）和^Stk∈ A（n+k）， k=1，M- 1，tk- tk-1.∈ B（n+k）， k=2，M由于集合^D是可数的，因此在^D中包含支撑的数据上存在一个概率测度P=P（n），它赋予^D的每个元素正权重Ohm := D、规范映射S和过滤Fbe如第2.4小节所示。引入一种新的过滤方法^F=（^Ft）t∈[0，T]通过P的空集来完成f。注意，所有的结构都依赖于n，但这种依赖性在我们的符号中被抑制。在测度ep下，正则映射有很多跳跃。设M=M（S）对跳跃和0<^τ<…<^τM<T S的跳跃时间。我们设置^τ=0，^τM+1=T。

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2022-5-6 02:54:46

我们记得，规范过程S在T是连续的。过滤概率空间上的交易策略(Ohm, {^Ft}Tt=0，P）只是一个关于过滤^F的可预测随机过程^γ。接下来，考虑一个紧张的金融市场，其中交易策略满足约束^γ：[0，T]×D→ [-n，n]。静态可交易期权是A（n）的有界实值函数。我们还通过^u（{m2）定义了a（n）上的概率度量^u-n} ）：=unx∈ Rd+：π（n）（x）=m2-不, M∈ Nd，其中u是定义第2.1小节中运算符L的概率度量，以及（3.2）π（n）：Rd+→ A（n）：=-nk:k=（k，…，kd）∈ 钕由π（n）（x）i:=2给出-N2nxi, i=1，d、为了一个∈ R+，A. ∈ N是大于或等于a的最小整数。下面我们通过定义集合^D.12 Y.Dolinsky和H.M.SonerDe定义3.2上的概率超级复制问题来总结这一点。（概率）半静态投资组合是一对（^g，^γ），使得^g:A（n）→ R是有界函数，^γ：[0，T]×D→ [-n、 n]是可预测的，并且存在stocastic积分。如果存在C>0且Zt^γud^Su≥ -C、 P- a、科技部∈ [0，T]。如果（3.3）^g（ST）+ZT^γudSu，s emi静态por-tfolio是P-超复制的≥ G（S），P- a、 s.G的（最小）超级成本定义为，V（n）（G）：=infZ^gd^u：γ使得^φ：=（^g，^γ）是可容许的且是超复制的}。我们注意到（3.3）等价于每个^都有相同的不等式∈^D.备注3.3。我们放在γ上的界n在某种程度上是任意的。事实上，任何与n一致且与n相乘时为零的界-没有必要。这种灵活性在未来可能的扩展中可能很有用。3.3. 举起。

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2022-5-6 02:54:49

我们方法中的一个重要步骤是将给定的概率半静态投资组合φ=（h，γ）提升为原始金融市场的可接受投资组合φ。我们通过定义第3.1小节中定义的停止时间τk=τ（n）k（S）的近似值来开始该电梯的施工。还记得第3.1小节中定义的随机整数M=M（n）（S）和定义3中定义的集合B（i）。1.设置^τ：=0，^τ=√d 2-n、 ^τM+1:=T.对于k=2，M递归定义，^τk:=^τk-1+ (1 -√d 2-n/T）supnt>0|T∈ B（n+k）和t<τk-1.- τk-2o。我们注意到，由于B（i）的定义，上述集合始终为非空。我们在下面的引理中收集了这些随机时间的一些性质。引理3.4。随机时间^τk满足，0=^τ<√d 2-n=^τ<…<^τM<^τM+1=T和|τk- τk|≤√d 2-n+1， k=0，M.鞅最优运输证明。上述定义得出的结果是：τM=ττ+MXk=2[ττk- ^τk-1]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）MXk=2[τk-1.- τk-2]=√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τM-1.- τ]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）T=T。这证明了0=^τ<√d 2-n=^τ<…<^τM<^τM+1=T。此外，对于任何k=2，M、 ^τk=^τ+kXj=2[^τj]- ^τj-1]<√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）kXj=2[τj-1.- τj-2]=√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τk-1.- τ] =τk-1+√d 2-n（1）- τk-1/T）<τk-1+√d 2-n、 ^τ和se t B（i）的定义意味着，对于任何j=2，M、 ^τj- ^τj-1.≥ τj-1.- τj-2.-√d 2-（n+j）。我们用它来估计k=2，M，from如下。^τk=^τ+kXj=2[^τj]- ^τj-1]≥√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）kXj=2[τj-1.- τjτ-2.-√d 2-（n+j）]≥√d 2-n+（1）-√d 2-n/T）[τk-1.- τ] -√d 2-n=τk-1.-√d 2-nτk-1/T>τk-1.-√d 2-n、因为τM+1=τM=T，所以=√d 2-n、 τ=0，这证明了|τk- τk-1| ≤√d 2-N k=1，M+1。此外，通过构造n |τk+1- τk|≤√d 2-对于所有k=0，M- 1.这些不等式完成了引理的证明。

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2022-5-6 02:54:53

我们现在定义一个映射∏=∏（n）：D→^D by，（3.4）^∏t（S）：=M-1Xk=0π（n+k）（Sτk）χ[τk，τk+1）（t）+π（n）（SτM）χ[τM，t]（t），其中π（n）在（3.2）中定义。14 Y.多林斯基和H.M.索内瑞特通过定义π（n）、τk和定义3.1清楚地表明：∈^D forevery∈ D.我们还注意到，SτM=S在T处是连续的。为了进行比较，我们还定义了ˇ∏t（S）：=M-2Xk=0π（n+k）（Sτk）χ[τk，τk+1）（t）+π（n）（SτM）-1） χ[τM-1，T]（T），πT（S）：=M-2Xk=0Sτkχ[τk，τk+1）（t）+SτM-1χ[τM-1，T]（T）。引理3.5。设d为斯科罗霍德度量。那么，对于每一个∈ D、 D（S，π（S）），D（π（S），ˇ∏（S））≤√d 2-n、 d（ˇ∏S，^∏S））≤ 3.√d 2-n、假设G满足假设（2.7）。然后G（S）- G（^∏（S））≤ 3mG（3√d 2-n）。证据鉴于（3.1），我们有，d（S，π（S））≤ kS- π（S）k∞= maxk=0，。。。，M-1上{|街- Sτk |：t∈ [τk，τk+1）]∨ |装货单- SτM-1|≤√d2-n、接下来我们直接估计d（π（S），ˇ∏（S））≤ k∏（S）-ˇ∏（S）k∞≤ 好的∈Rd+，k≥0 |π（n+k）（x）- x|≤√d 2-n、定义∧：[0，T]→ [0，T]由∧（0）=0，∧（τk）=τk表示k=1，M- 1，∧（^τM）=[τM-1+T]/2，∧（^τM+1）=∧（T）=τM=T，并在其他点处分段线性。那么，很明显∧是一个递增函数，并且G∏∧（t）（S）=^∏t（S）， T∈ [0，^τM-1).此外，对于t∈ 【^τM】-1，T]，ˇ∏∧（T）（S）=π（n）（SτM-1).因此，通过（3.1）和S a t的连续性，supt∈[0，T]{ˇ∏∧（t）（S）-^∏t（S）} = 监督∈【^τM】-1，T]{ˇ∏∧（t）（S）-^∏t（S）} ≤√d 2-n、现在，我们在Skorokhod度量的定义中，将上述时间与引理3.4和∧一起使用。结果是（ˇ∏S，^∏S））≤ 监督∈[0，T]{|∏∧（T）（S）-^∏t（S）|+|∧（t）- t |}=√d 2-n+maxk=1，。。。，M-1{|^τk+1- τk |}≤√d 2-n+√d 2-n+1。鞅最优运输假设15G满足假设2.7。我们现在使用上述估计值来获得| G（S）- G（^∏（S））|≤ |G（S）- G（π（S））|+|G（π（S））- G（ˇ∏（S））|+|G（ˇ∏（S））- G（^∏（S））|≤ 2毫克(√d2-n） +mG（3√d 2-n）≤ 3mG（3√d 2-n）。我们已经准备好定义电梯。

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2022-5-6 02:54:56

假设^φ=（^g，^γ）是定义3.2意义上的半静态投资组合。为原始问题定义一个组合φ：=ψ（φ）：=（g，γ）（x）：=gπ（n）（x）, 十、∈ Rd+，γt（S）：=M-1Xk=0^γ^τk+1（S）（^∏（S））χ（τk（S），τk+1（S）]（t），t∈ [0，T]。（3.5）观察定义γ=0。下面的引理提供了上述映射的重要性质。引理3.6。对于半静态投资组合，定义3.2中的φ=（g，γ），并将φ=（g，γ）定义为（3.5）。那么，φ在定义2.5的意义上是可容许的，并且具有以下性质，ZRd+gdu=ZA（n）^gdu，ZT^γu（^∏S）d^∏u（S）-ZTγu（S）dSu≤√d n2-n+1， s∈ D.证据。使用^u和g的定义，我们直接计算出thatZRd+gdu=Xm∈Nd^gm2-Nu{x:π（n）（x）=m2-n}=Xm∈Nd^gm2-N^u{m2-n}=ZA（n）^gd^u。由于^φ受定义的限制，如果γ是可测量的，则φ的可容许性也随之出现。我们通过验证（2.1）来说明这一点。朝着这个地方走去∈ D和t∈ [0，T]使Su=suf≤ t、我们必须证明γt（S）=γt（~S）。由于γ（S）=γ（~S）=0，我们可以假设t>0。让0≤ kt（S）是t的整数∈ （τkt（S），τkt+1（S）]。因为根据假设S和S在[0，t]上一致，所以他们的泵次直到时间t也一致。特别是，kt（S）=kt（~S）=：kt和τi（S）=τi（~S）<t和Sτi（S）=Sτi（~S）， i=1，kt。因为任何k≥ 0，^τk+1直接由τ定义，τk，我们还得出结论：τi（S）=τi（~S）， i=0，1，kt+1。设置θ：=τkt+1（S）=τkt+1（~S）S，使γt（S）=γθ（S）和γt（~S）=γθ（S））。16 Y.多林斯基和H.M.索恩斯，γ是可预测的，为了证明γt（S）=γt（~S），必须证明， u<θ。根据∏的定义，对于任何u<θ，都存在一个整数k≤ kt（对于S和S都相同）so，即∏u（S）=π（Sτk）和∏u（~S）=π（~Sτk）。现在回想一下，S和S在[0，t]和τk上是一致的≤ τkt<t。

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2022-5-6 02:54:59

因此，Sτk=~Sτu∏u（S）=u∏u（~S）。这证明γ是渐进可测量的。我们继续估计两个积分的差异。鉴于这些定义，我们对随机积分有以下表示，ZTγu（S）dSu=MXk=1^γ^τk（S）（S∏）Sτk（S）- Sτk-1(S)和zt^γu（S）d^∏u（S）=MXk=1^γ^τk（S）（S））π（n+k）（Sτk（S））- π（n+k）-1）（Sτk）-1（S））.SetI:=ZT^γu（^∏S）d^∏u（S）-ZTγu（S）dSu。由于投资组合^γ以n为界，我们有以下估计| I |≤ 2k^γk∞MXk=1π（n+k）（Sτk（S））- Sτk（S）≤ 2nMXk=1√d 2-（n+k）≤√d n2-n+1。鉴于上述结果和构造，g是有界的，因此，g是有界的∈ L（Rd+；u）。此外，γ被证明是逐步可测量和可预测的∈ [τk，τk+1）Ztγu（S）dSu≥Z^τk^γu（S）d^∏u（S）- 2k^γk∞MXk=1π（n+k）（Sτk（S））- Sτk（S）-nn≥ -C-√d n2-n+1-nn，其中最后一个不等式来自定义3.2意义上的^γ可容许这一事实。因此，随机积分是由下而下的，因此是每个Q的Q超鞅∈ Mu。这些论点暗示，提升的投资组合（g，γ）是一个可能的。上述提升结果提供了V（G）和V（n）（G）之间的直接联系。推论3.7。在定理2.9的假设下，极小超复制满足v（G）≤ V（n）（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n）。特别是V（G）≤ 林恩芬→∞V（n）（G）。鞅最优运输证明。设φ和φ如引理3.6所示。进一步假设^φ是^D上的超级复制g∈ D.然后，^∏（S）∈^D和^g（^∏T（S））+ZT^γT（^∏S））D^∏T≥ G（^∏（S））。通过定义g和∏，g（ST）=^g（π（n）（ST））=^g（^∏T（S））。然后，根据引理3.6，g（ST）+ZTγt（S）dSt≥ ^g（^∏T（S））+ZT^γT（^∏S））d^∏T-√d n2-n+1≥ G（^∏（S））-√d n2-n+1≥ˇG（S）：=G（S）-√d n2-n+1- 3mG（3√d 2-n）。因此，φsuper复制了_G。这意味着rgdu≥ V（G）。

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2022-5-6 02:55:03

由于通过构造rgdu=R^gd^u，且上述不等式适用于每一个超复制^φ，我们得出结论V（_G）≤ V（n）（G）。同样清楚的是V（G）=V（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n）≤ V（n）（G）+√d n2-n+1+3mG（3√d 2-n）。备注3.8。观察到，由于^g是有界的，所以SO是提升静态对冲g。因此，在定义2.5中，可以使用类H:={H（s）=g（ST）：g∈ L∞（Rd+；u）}。此外，不难构造g，使其与A（n）上的^g一致且连续。这种构造将使我们能够考虑更小的类，其g’s是有界的和连续的。此外，在定义3.2中，随机积分^γudsui被假定为由常数C从下方限定。在上述引理的vie w中，提升的portfoliosatis证明，路径的积分γ通常也由下方限定，可能有一个稍大的常数。这表明，在定义2.5中，考虑γ是很有效的，因此积分从下方有界，而不是假设它们的随机等价物是每个Q的Q超鞅∈ Mu。上述推论是上界证明（在定理2.9的假设下）中唯一一个对可采性的准确定义很重要的地方。因此，上述讨论和备注2.10表明，对于满足定理2.9的次命题的G，如果我们考虑所述较小的可容许策略类（G，γ），G的超级复制成本是相同的。3.4. V（n）（G）的分析。鉴于前面的推论，为了完成（2.9）的证明，我们需要证明以下不等式lim supn→∞V（n）（G）≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。这是分两步完成的。我们首先使用一个标准的极小极大定理和[17]的约束对偶结果来得到V（n）（G）的对偶表示（实际上我们得到了一个上界）。

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2022-5-6 02:55:06

然后，我们用概率技术分析这个对偶。18 Y.多林斯基和H.M.索内尔我们从定义开始。定义3.9。设P是所有概率测度Q的集合，它们在^D=D（n）[0，T]中得到支持。对于c>0，设M（n，c） P是具有以下性质的所有概率度量的集合，Xm∈钕Q^ST=m2-N- ^um2-N≤cnand（3.6）等式“M+1Xk=1等式（^S^τk |F^τk）-) -^S^τk-1.#≤cn，如前所述，τ（^S）<…<^τM（^S）是分段常数过程^S的跳跃时间∈^D和^τ=0，^τM+1=T。关于σ-代数^F^τj的定义，请读者参考[28]第105页-.实际上，对于任何停止时间τ∈ [0，T]，^Fτ-定义为最简单的σ-代数，包含∩ {τ>t}对于所有t∈ （0，T]和A∈^Ft.显然，^Fτ- ^Fτ，τ是^Fτ- 可测量的此外，如果X是一个可预测的过程，那么Xτ就是^Fτ- 可测量（定理8，第106页[28]）。下面的引理是通过使用[17]关于对冲欠约束的结果，并应用经典的极小极大定理而得到的。引理3.10。如果你反对的话≤ G≤ 对于某些常数c>0。那么，V（n）（G）≤“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+，其中，如果M（c，n）为空，我们将右侧设置为等于零。证据我们分几个步骤进行。第一步。考虑到它的定义，对于A（n）上的任何有界函数^g，我们有v（n）（g）≤ V（n）（G） ^g）+Zgd^u，其中g ^g（S）：=g（S）- ^g（ST）对于D上的任意有界可测值函数ξ，V（n）（ξ）=inf（z）∈ R:γ使得|γ|≤ n、 z+ZTγudSu≥ ξ、 P- a、作为欧洲索赔ξ的“准”超级套期保值价格，在约束条件下，该保单中股票数量的绝对值以n为界。此外，（通常）我们要求存在M>0，使得RTγudSu≥ -M、每一个t∈ [0，T]。第二步。

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kedemingshi

2022-5-6 02:55:10

在任何条件下∈ P D上的标准过程S是分段常数，跳跃时间为0<^τ<…<^τM<T。很明显，正则过程是一个Q半鞅。此外，它有以下分解n，鞅最优传输19S=MQ- aqt=MXk=1χ[τk，τk+1）（t）kXj=1hS^τj-1.- 方程（S^τj |F^τj）-)我 T∈ [0，T）（3.7）AQT:=limt↑TAQt，一个有界变化的可预测过程，MQt=AQt+St，t∈ [0，T]是一个Qmartingale。然后，根据例子2.3和[17]中的命题4.1，它得出v（n）（ξ）=supQ∈PEQ“ξ- nMXk=1S^τk-1.- 方程（S^τj |F^τj）-)#.第三步。SetZ:={^g:A（n）→ R:k^gk∞≤ n} 。鉴于前面的步骤，V（n）（G）≤ inf^g∈ZsupQ∈PG（^g，Q），其中g:Z×P→ R由g（^g，Q）给出：=EQ“g”- nMXk=1方程（S^τk |F^τk）-) - S^τk-1.#+Z^gd^u- 等式^g（ST）。第四步。在这一步中，通过应用标准的最小-最大定理来交换上确界和内确界的顺序。实际上，考虑所有函数的向量空间RA（n）：A（n）→ R具有逐点收敛的拓扑结构。显然，这个空间是局部凸的。此外，由于A（n）是可数的，Z是RA（n）的一个紧子集。pnset可以自然地看作是向量空间R^D+的凸子空间。为了应用极小极大定理，我们还需要证明连续性和凹性。G在第一个变量中是一个函数，根据有界收敛定理，它在这个变量中是连续的。我们认为G在第二个变量中是凹的。为了达到这个目的，有必要对任何k≥ 1.mapQ→ EQ | EQ（S^τk | F^τk）-) - S^τk-1 |是凸的。集合X=S^τk- S^τk-1，^F:=^F^τk-Y=EQ（X | F）。

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2022-5-6 02:55:12

对于概率测度Q，qan和λ∈ （0,1），设置Yi=EQi（X | F）和Q=λQ+（1）- λ） Q.那么，EQ | Y |=EQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）=EQ（Xχ{Y>0}）- 等式（Xχ{Y<0}）=λEQ（Xχ{Y>0}）- EQ（Xχ{Y<0}）+(1 - λ)EQ（Xχ{Y>0}）- EQ（Xχ{Y<0}）= λEQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）+(1 - λ)EQ（Yχ{Y>0}）- EQ（Yχ{Y<0}）≤ λEQ | Y |+（1）- λ）等式| Y |。这就产生了Q变量中G的凹度。20 Y.Dolinsky和H.M.SonerStep 5。接下来，我们将[31]中的极小极大定理45.8应用于G。结果是inf^G∈ZsupQ∈PG（^g，Q）=supQ∈品脱∈ZG（^g，Q）。结合步骤3，我们得出结论V（n）（G）≤ supQ∈品脱∈ZG（^g，Q）。最后，对于任何度量Q∈ P、定义总部∈ Z byhQm2-N= c符号Q{ST=m2-n}- ^u{ST=m2-n}, M∈ Nd。然后，通过选择最小-最大公式，我们得到，V（n）（G）≤ supQ∈PG（总部，Q）。此外，ZhQd^u- EQhQ（ST）=-nXm公司∈钕Q^ST=m2-N- ^um2-N.因此，如果Q不属于集合M（c，n），则thenG（hQ，Q）≤ 等式[G（S）]- c、根据假设，0≤ G≤ 因此，等式[G（S）]≤ c和V（n）（G）≥ 因此，我们可以将最大化限制为Q∈ M（c，n）。此外，如果M（c，n）是空的，那么我们可以得出tV（n）（G）≤ 03.5. （2.9）的证明已完成。为了完成定理2.9的证明，需要建立以下结果。引理3.11。如果你反对的话≤ G≤ c并满足假设2.7。然后（3.8）lim supn→∞“supQ∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ supQ∈MuEQ[G（S）]。证据在没有普遍性的情况下（通过传递到子序列），我们可以假设（3.8）左侧的序列是收敛的。此外，我们可以假设，对于足够大的n，集合M（c，n）不是空的，否则（3.8）是非常满意的。步骤1。选择Qn∈ M（c，n）使得“supQ”∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ 2.-n+EQn[G（S）]。因此，林→∞EQn[G（S）]=lim supn→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+。回想一下引理3.10证明的第二步中给出的分解。设置Mn:=MQn，An:=AQn。

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2022-5-6 02:55:16

由于G在Skorokhodmetric中是一致连续的，|G（S）- G（Mn（S））|≤ mG（n）-1/2），无论何时∈[0，T]蚂蚁≤ N-1/2.鞅最优运输21因此，sinc e | G（S）- G（Mn（S））|≤ c、 | EQn[G（S）- G（Mn（S））]≤ mG（n）-1/2）+c Qn（监督∈[0，T]蚂蚁≥ N-1/2).我们现在使用Antogether的r e表示（3.7）和马尔可夫不等式。结果是，Qn（supt∈[0，T]蚂蚁≥ N-1/2) ≤ n1/2EQnMXk=1方程n（S^τk | F^τk）-) - S^τk-1.≤ cn-1/2，其中最后一个不等式来自Qn∈ M（c，n）和（3.6）。因此，我们的结论是：→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+=limn→∞方程[G（Mn（S））]。第二步。如第2.2小节所述，让Ohm := D（[0，T]；Rd），~F是由标准过程S生成的过滤。对于Rd上的概率度量，setMu是D（[0，T]；Rd）上的度量Q的集合，使得标准过程S是一个鞅，它启动TS=（1，…，1），并且STunderQ的分布等于。请注意，当Rd+上支持|u时，则支持任何测量e|Q∈因此，在这种情况下，Mu与前面定义的Mu相同。我们设置（3.9）v（)u）：=sup)Q∈~MuEQ[G（~S）]。设Qnbe在Qn下由mn引起的D（[0，T]；Rd）上的测度，即对于anyBorel子集C D（[0，T]；Rd），~Qn（C）：=Qn（{S∈ D:Mn（S）∈ C}）。进一步，让νnbe表示在度量Qn下mnt的分布。由于Mnis Amantigale，很明显∈那么，上一步意味着lim supn→∞“supQ∈M（c，n）等式[G（S）]#+≤ 画→∞v（νn）。第三步。自Qn以来∈ M（c，n），（3.6）意味着等式n | ST- MnT（S）|=等式n | AnT |≤中国。让我们来看看发育迟缓Qn的分布。然后，通过定义M（c，n），un弱收敛到u。然后，上述不等式意味着νnalso收敛到u。由于每个分量S（k）t>0，对于所有t∈ [0，T]和k=1。

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mingdashike22

2022-5-6 02:55:20

，d，EQn[（Mn）（k）T（S））-] = EQn[(-（Mn）（k）T（S））χ{（Mn）（k）T（S）≤0}]≤ EQn[（S（k）T- （Mn）（k）T（S））χ{（Mn）（k）T（S）≤0}]≤ EQn | ST- MnT（S）|=等式n | AnT |≤中国。22 Y.Dolinsky和H.M.Sonernence，对于每个k=1，d、林恩→∞ZR（xk）-dνn（x）=0。因此，我们可以使用连续性结果，定理4.1将在下一节中证明。这意味着Limn→∞v（νn）=v（u）。由于在Rd+上支持u，如r前面所述，~Mu=Mu。我们现在结合所有这些证明的步骤来得出，lim supn→∞“supQ∈M（c，n）EQ[G（S）]#+=limn→∞方程[G（Mn（S））]≤ 画→∞v（νn）=v（u）=supQ∈MuEQ[G（S）]。4、对偶关于u的连续性在本节中，我们证明了空间D上一个marting-ale最优运输问题的连续性结果。回顾（3.9）中定义的函数v（|u）和（3.9）中再次定义的可分割度量集|Mν。定理4.1。假设G是有界的，并且满足假设2.7。假设νn弱收敛于Rd+上支持的概率测度u。进一步假设每个组件k=1，d、林恩→∞Zx（k）dνn（x）=Zx（k）du（x）<∞, 还有limn→∞Z（x（k））-dνn（x）=0。那么，林→∞v（νn）=v（u）。证据为了使用符号，我们取d=1。首先我们证明（4.1）lim-supn→∞v（νn）≤ v（u）。事实上，这就是我们在引理3.11的证明中使用的不等式。每n∈ n选择Qn∈~Mνnsuch thatv（νn）≤ 2.-n+EQn[G（~S）]。第一步。在第一步中，我们构建了一个以Mu为单位的马丁酒测量值，该值“接近”Qn。这个构造使用了我们现在回想的Prokhor-ov度量。

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2022-5-6 02:55:25

对于R上的任何两个概率测度ν，ρ，Prokhorov距离^d（ν，ρ）被定义为最小的δ>0，因此≤ ρ（Cδ）+δ和ρ（C）≤ ν（Cδ）+δ，对于每个Borel子集C R、式中cδ：=[x∈C（x）- δ、 x+δ）。鞅最优运输23众所周知，普罗霍罗夫度量中的收敛等价于弱收敛（有关普罗霍罗夫度量的更多详细信息，请参阅[29]，第3章，第7节）。现在我们按照[29]第358页的定理4和[30]中的定理1来构造一个随机变量∧（n），如下所示。首先构造一个概率空间（~Ohmn、一个鞅M（n）和一个随机变量ξ（n）均匀分布在[0，T]上，使得：a.ξ（n）和M（n）是独立的；b、 M（n）在Pn下的分布等于量度Qnon D（[0，T；R）。特别是，EPn[G（M（n））]=EQn[G（~S）]。我们可以选择过滤系数F为由过程M（n）和ξ（n）t:=ξ（n）生成的最小右连续过滤系数∧t、回想一下，ξ（n）在[0，t]上均匀分布，与M（n）无关。此外，鉴于[29,30]，存在一个可测函数ψ（n）：R→ R上∧（n）：=ψ（n）（M（n）T，ξ（n））的分布等于u和（4.2）~Pn∧（n）- M（n）T>^d（νn，u）<^d（νn，u）。特别是∧（n）- M（n）t的概率收敛为零。我们设置n（n）t:=EPn[∧（n）| Ft]，t∈ [0，T]。然后，显然N（N）T=∧（N），因此具有分布u。此外，过滤F的正确连续性意味着N（N）有一个c’adl’ag修改（详情见[26]第3章）。然而，N（N）不一定是一个常数，因为fm可能不是微不足道的。所以我们继续修改N（N）来克服这个困难。

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