关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果

2022-5-9 13:03:22

Noname手稿号（将由编辑插入）关于Skorokod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果Julien Claisse·Guo Gaoyue·Pierrehynry Labord\'ereReceived:date/Accepted:date摘要本文提供了关于Skorokod嵌入局部时间的一些结果及其在金融鲁棒套期保值问题中的应用。首先，我们使用最近引入的随机控制方法研究了依赖于本地时间的期权鲁棒套期保值，通讯作者Julien Claisse，Franceclaisse@cmap.polytechnique.frGaoyue国牛津大学牛津联合大学。gaoyue@gmail.comPierre亨利·劳德·埃雷索奇·埃雷帕里斯，弗朗西佩尔。亨利-labordere@sgcib.com2Julien Claisse等人确定了最优套期保值策略，以及实现极端无套利价格的市场模型。作为副产品，Vallois的Skorokhod嵌入的最优性得到了恢复。此外，在适当的条件下，作为Vallois解的推广，我们得到了两个边缘Skorokhod嵌入的一个新解。我们的分析表明，为了嵌入一类更大的边际分布，我们需要放松嵌入函数的单调性假设。最后，在Vallois给出的停止时间是有序的完全边缘环境中，我们构造了一个显著的马尔可夫鞅，它提供了一个伪布朗运动的新例子。关键词Skorokhod嵌入·无模型定价·稳健对冲·局部时间·伪布朗运动数学主题分类（2010）60G40·60G44·91G20·91G801简介Skorokhod嵌入问题（简称SEP）在于选择惊人的时间，以便将给定的概率在实线上表示为停止的布朗运动的分布。

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kedemingshi

2022-5-9 13:03:27

这个问题最早由Korokhod[1]提出并解决，由此产生了重要的文献，并提供了大量的解决方案。我们建议读者参考Obl\'oj[2]的调查文件，了解已知解决方案的详细描述。其中，Vallois[3]提供的解决方案基于局部时间（零）关于Skorokhod嵌入和布朗运动局部时间3的鲁棒对冲的一些结果。正如Vallois[4]后来证明的那样，它具有使SEP的所有解中的局部时间的任何凸函数的期望最大化的性质。类似地，SEP的许多解满足这样的非最优性质。这一特性在金融领域产生了重要的应用，因为它可以解决我们在下文中描述的所谓稳健套期保值问题。未定权益的经典定价范式包括假设Firsta模型，即风险中性度量，根据无套利框架，远期价格要求为鞅。然后获得任何欧洲衍生品的价格，作为其在该措施下贴现付款的预期。此外，该模型可能需要根据流动期权（如可用于对冲考虑中的奇异衍生工具的看涨期权）的市场价格进行校准。当使用根据相同市场数据校准的不同模型进行评估时，这可能会导致广泛的价格。为了解释模型的不确定性，同时考虑一系列（非主导）市场模型是很自然的。然后，卖方（或买方）的目标是构建一个投资组合，通过在基础资产中动态交易和在一系列普通期权中静态交易，在任何市场情景下超级复制（或子复制）衍生品。

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2022-5-9 13:03:30

这导致了一个无套利价格区间，其界限由最小超复制和最大子复制价格给出。鲁棒Hedging问题是计算这些界限以及相应的交易策略。4 Julien Claisse等人。我们考虑了古典框架，其中所有欧洲看涨期权的到期日都与奇异衍生工具相同，可用于交易。正如Breeden和Litzenberger[5]所观察到的，到期时基础价格过程的边际分布是由这些看涨期权的市场价格唯一决定的。在这种情况下，鲁棒套期保值问题的经典方法是SEP。这种方法依赖于这样一个事实，即每个连续鞅都可以被视为一个时变布朗运动。因此，对于时变条件下的Payoff不变量，问题可以通过找到SEP的解决方案来表述，该解决方案优化了Payoff给出的标准。这种方法是由霍布森提出的，他在他的开创性论文[6]中考虑了回溯选项的鲁棒性问题。自那时以来，SEP受到了数学金融界的大量关注，随后布朗、霍布森和罗杰斯[7]对障碍期权、考克斯、霍布森和奥布尔奥伊[8]对当地时间期权、考克斯和奥布尔奥伊[9]对双障碍期权以及考克斯和王[10]对方差期权都采用了这种方法。SEP方法的关键步骤之一是从精心选择的路径不等式中猜测最优套期保值策略的形式。最近，Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]提出了一种研究鲁棒套期保值问题的新方法。它基于鲁棒套期保值问题的对偶表示，可以用随机控制理论来解决。

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2022-5-9 13:03:33

看来，随机控制方法的显著设计为最优套期保值策略提供了候选方案。关于Skorokhod嵌入和局部时间的鲁棒套期保值的一些结果。一旦假设，对冲不平等性可以独立验证。Henry Labord`erre等人[12]的研究说明了这一点，他们在已知一定数量的保证金时解决了回望期权的稳健套期保值问题。据我们所知，这是第一篇解决多边际问题的论文，除了Brown、Hobson andRogers[13]和Hobson and Neuberger[14]考虑了这两个边际问题。此外，它还导致了多重边际SEP的第一个（非平凡）解决方案，这可以被视为Az’ema Yor解决方案、seeObl’oj和Spoida[15]的推广。在本文中，我们的目的是收集一些关于Skorokhodembedding与当地时间及其应用的新结果。首先，我们关注的是在基础价格过程的本地时间写入的期权的套期保值问题。当考虑到回报取决于货币看涨期权的投资组合价值时，这类衍生工具自然出现在财务中，如果是货币，则持有风险资产的一个单位，否则什么都没有，如It^o-Tanaka公式所示。通过使用随机控制方法，我们首先恢复了Cox、Hobson和Obl\'oj[8]获得的关于旋转超边缘问题的结果，即，我们确定了最佳超边缘策略和无轨道区间的上界。然后，我们得到了鲁棒边缘问题的相应结果。最后一个结果对文献来说是新的。此外，作为Vallois解的推广，我们给出了两个边际SEP的一个新解。

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2022-5-9 13:03:36

为此，我们必须对我们要嵌入的边缘做出相当有力的假设。然而，值得注意的是，这些假设在一定程度上是必要的，可以在不放松嵌入函数单调性假设的情况下导出解。据我们所知，这是文献中首次出现的多边缘SEP解决方案之一。除了这一结果的纯理论利益外，这也是在两个边际环境下解决稳健套期保值问题的第一步，即投资者可以交易中等到期日的普通期权。最后，当Vallois给出的停止时间是有序的时，我们考虑一个特殊的全边缘设置。本着Madan和Yor[16]的精神，我们通过Vallois嵌入族构造了一个显著的马尔可夫鞅，并计算了它的生成元。特别是，它为蛋糕布朗运动提供了一个新的例子。从金融角度来看，我们的结果描述了校准到完整隐含波动率表面的无套利模型，该模型包含了投资者在任何时候交易到期的普通期权时无套利区间的上限。论文的结构如下。在第2节中，我们简要介绍了奇异导数鲁棒套期保值的框架及其与鞅最优运输问题和SEP的关系。在第3节中，我们使用随机控制方法，为鲁棒套期保值问题提供了无轨道区间界限的显式公式和最优套期保值策略。然后，我们在第4节中介绍了两个边际SEP的新解。我们通过研究一个数值例子来说明这个结果。

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2022-5-9 13:03:40

最后，在第5节中，我们给出了关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果，考虑了完全边缘设置，并构造了伪布朗运动的新例子。2稳健套期保值问题的制定2。1建模模型不确定性我们考虑一个由一项风险资产组成的金融市场，该资产可能在任何时候进行评级0≤ T≤ T，其中T表示某种固定的到期日。我们追求稳健的方法，不具体说明潜在价格过程的动态。也就是说，给定一个初始值X∈ R、我们引入连续路径集Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）：ω（0）=X}作为具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ω（T）|。设X=（Xt）0≤T≤t标准过程和F=（Ft）0≤T≤t自然过滤，即Xt（ω）：=ω（t）和Ft:=σ（Xs，s）≤ t）。在此设置中，X代表初始值为X的基础价格过程。为了考虑模型的不确定性，我们引入了所有概率测度P的集合P(Ohm, FT）使得X是P-鞅。对鞅测度的限制受到数学金融中经典无套利框架的推动。为了通用性起见，我们不局限于Xt∈ R+但考虑一般情况∈ R.此外，假设所有到期日为T的看涨期权都可用于交易。模型P∈ 如果P满足[XT]，则称其符合市场要求- K） +]=c（K）表示所有K∈ R、其中c（K）表示T的市场价格8 Julien Claisse等人-带K点的看涨期权。对于这样一个模型，正如Breedenand Litzenberger[5]所观察到的，它遵循的是p（XT>K）=-c（K+）=：u（]K，∞[）。因此，XTI的边际分布由市场价格独特规定。

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2022-5-9 13:03:44

设Pu为校准市场模型集，即Pu：=nP∈ P:XTP~ uo.显然，Pu6= 当且仅当u以Xor为中心时，ZR|x|du（x）<∞ andZRx du（x）=x.2.2半静态对冲组合我们用所有F的集合表示-可预测的流程和∈ P、 H（P）：=n = (t） 0≤T≤T∈ H:ZT|t|dhXit<∞, P- a、 s.o.动态交易策略由一个过程定义 ∈ H:=∩P∈PH（P），在哪里t与投资者在时间t持有的标的资产的股份数量相关。在自我融资条件下，初始财富的投资组合价值过程由动态交易策略产生是吉文比吗t:=Y+ZtsdXs，为了所有的t∈ [0，T]，P- a、 s.为所有人P∈ P.二次变量和随机积分都先验地依赖于所考虑的概率测度。然而，在连续统假设下，Nutz[17]认为它们可以被普遍定义。关于Skorokhod嵌入和当地时间9的稳健套期保值的一些结果除了标的证券的动态交易之外，我们假设投资者可以在T-所有罢工的看涨期权。因此，在可积性方面，由Payoff H（XT）定义的欧洲衍生工具（根据标定的Carr-Madan公式，可以通过T-看涨期权静态复制）具有明确的市场价格u（H）：=ZRH（x）du（x）。交易者可能使用的一组香草支付自然具有以下形式L（u）：=nH:R→ R.可测量的s.t.u|H|< ∞o、一双(, H）∈ H×L（u）被称为半静态对冲策略，并得出自我融资投资组合的最终价值：Y,HT:=YT- u（H）+H（XT），P- a、美国。

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2022-5-9 13:03:47

尽管如此，P∈ P、表明投资者有可能在初始时间以u（H）的价格购买任何带payoff H（XT）的衍生品。2.3稳健套期保值和鞅最优运输假设payoffξ=ξ（X）FT的衍生品是可测量的，我们考虑相应的稳健（半静态）套期保值问题。投资者可以按上一节所述进行交易。然而，我们需要施加进一步的可接受性条件，以排除加倍策略。让Hu（分别为Hu）由所有过程组成 ∈ HWY诱导的投资组合价值过程是a10 Julien Claisse等人-supermartingale（分别为-所有P的子鞅）∈ Pu。然后通过uu（ξ）：=infnY定义稳健的超边缘和次边缘成本：(, H）∈ Hu×L（u）s.t.Y,HT≥ ξ、 P- a、美国。P∈ Po，Du（ξ）：=supnY:(, H）∈ Hu×L（u）s.t.Y,HT≤ ξ、 P- a、美国。P∈ 阿宝。以高于Uu（ξ）的价格出售ξ——或者以低于Du（ξ）的价格购买ξ——交易者可以在任何市场情景下建立一个初始成本为负、收益为非负的投资组合，从而产生强大的（独立于模型的）套利机会。通过在P∈ Pu，我们得到了通常的定价——套期保值不等式：Uu（ξ）≥ 晚餐∈PuEP[ξ]=：Pu（ξ）和Du（ξ）≤ infP∈PuEP[ξ]=：Iu（ξ），其中Pu（ξ）和Iu（ξ）是连续时间鞅最优输运问题。它们包括最大化或最小化支付函数定义的标准，以便通过限制为鞅的连续时间过程，将XT处的狄拉克测度传输到给定分布u。最近，Beiglb–ock、Henry Labord`ere和Penkner[18]在离散时间以及Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]在连续时间中发起了鞅最优运输的研究。

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nandehutu2022

2022-5-9 13:03:50

通过与经典最优运输理论的类比，我们期望建立一种Kantorovich对偶，并对原问题和对偶问题的优化器进行描述。对偶公式具有稳健套期保值的自然财务解释，这解释了在鞅最优运输中，Skorokhod嵌入和当地时间11金融社区稳健套期保值的一些数学结果的强烈兴趣。当支付函数在时间变化下不变时，SEP和随机控制方法被证明是推导对偶性和显式计算优化器的有力工具，如本文所示。对于具有更一般支付的对偶结果，我们参考了Dolinsky和Soner[19]、Hou和Obl\'oj[20]以及Guo、Tan和Touzi[21]的最新研究。2.4局部时间上期权的鲁棒套期保值本文重点研究了收益由ξ：=F（LT）和F:R给出的期权的鲁棒套期保值问题+-→ R、其中L=（Lt）0≤T≤下面，在适当的条件下，我们将展示鲁棒套期保值和鞅最优运输问题的优化器，并进一步证明存在无差异，即Uu（F（LT））=Pu（F（LT））和Du（F（LT））=iu（F（LT））。收益F（LT）可以解释为一种收益，取决于货币买入期权delta到期时的投资组合价值，该delta由AIVE策略对冲，持有一个单位的风险资产，如果在货币中，否则什么都没有，用It^o-Tanaka的公式数学表示：LT=（XT- 十）+-ZT{Xt>X}dXt。鉴于Nutz[17]中随机积分的路径构造，它^o-Tanaka的公式意味着本地时间也可以普遍定义。12 Julien Claisse等。由于局部时间在时间变化下是不变的，鞅最优运输问题可以表述为一个最优停止问题。

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kedemingshi

2022-5-9 13:03:54

实际上，它（形式上）遵循Dambis-Dubins-Schwartz定理，即pu（F（LT））=supτ∈TuEF（LBτ）Iu（F（LT））=infτ∈TuEF（LBτ）, （1）何处（LBt）t≥0是布朗运动（Bt）t的零点的当地时间≥0和Tu是SEP溶液的集合，即停止时间τ，使得bτ：=（Bt∧τ） t≥0是一致可积的，Bτ~ u.更多细节请参见Galichon、Henry Labord\'ere和Touzi[11]以及Guo、Tan和Touzi[22]。这里，公式（1）直接搜索SEP的解决方案，该解决方案最大化或最小化了支付函数定义的标准。众所周知，如果F是凸（或凹）函数，则最优解的形式为τ：=infnt>0:Bt/∈φ-（LBt），φ+（LBt）o、对于某些单调函数φ±：R+→ R±。这一结果最早是在Vallois[4]中获得的，他给出了函数φ的明确构造。然后，考克斯、霍布森和奥布尔奥伊[8]从一个精心挑选的不平等中找到了它。最近，Beiglb¨ock、Cox和Huesmann[23]根据其单调性原理推导出了它，该原理通过几何支撑表征了SEP的最优解。然而，如果给定一系列停止时间（τt）t≥以至于→ τ是连续且递增的，我们有（Lτt）t≥0=（Lt）t≥0其中（~Lt）t≥0表示进程（Xτt）t的xo处的本地时间≥0.关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值的一些结果（φ+，φ）的局部时间显式计算-) 这种方法无法提供。关于单调性原理，参见alsoGuo、Tan和Touzi[24]。3鲁棒套期保值问题的解决方案使用随机控制方法，我们在本节中重现了鲁棒超边缘问题的结果——优化器和对偶性——获得了inCox、Hobson和Obl\'oj[8]。此外，我们还给出了鲁棒子边问题的相应结果。

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2022-5-9 13:03:58

在本节中，为了清晰起见，我们取X=0，并在函数F和边缘u的以下假设下工作。特别是，与[8]相比，我们不需要假设F是非减量的。假设3.1 F:R+→ R是一个Lipschitz凸函数。假设3.2u为中心概率分布，质量为零。3.1稳健的超边缘问题在本节中，在假设3.1和3.2下，我们提供了Uu（F（LT））的最佳混合策略以及Pu（F（LT））的最佳度量，并且我们表明不存在对偶间隙，即Pu（F（LT））=Uu（F（LT））。其关键思想是，对于任何合适的单调函数对（φ+，φ-), 我们可以构建一个超级复制策略(, H） =(φ±，Hφ±）。最优性结果来自Vallois给出的嵌入分布u14的一对函数。Julien Claisse等人假设3.3φ+：]0，∞[ -→ ]0, ∞[（分别为φ-:]0, ∞[ -→ ] - ∞, 0[）是连续且不减少（或不增加）的，因此γ（0+）=0和γ(∞) = ∞ 其中，对于所有l>0，γ（l）：=Zlφ+（m）-φ-（m）马克。让我们用ψ±表示φ±的右连续逆。我们还定义了函数A±：R+→ R通孔（φ+，φ-) byA±（l）：=A±（0）+Zldzφ±（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm），（2）A±（0）：=±F（0）±Z∞E-γ（m）F（dm）。（3）在本文中，所考虑的衍生产品都是分布意义上的，只要可能，我们就为这种分布选择一个“好”的代表。特别是，在上面的公式中，Fand Fstand表示F的右导数和Lebesgue-Stieltjes测度相对于透视的关系，因为F是一个凸函数，所以对其进行了很好的定义。3.1.1准确定不等式我们首先展示一个准确定不等式，这是我们分析的关键步骤。这意味着，为了构建超级复制策略，必须考虑一对（φ+，φ-) 满足假设3.3。

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2022-5-9 13:04:01

一旦我们找到一对最佳组合，二元性和最优性就会随之而来，如下一节所示。在假设3.1和3.3下，关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值的一些结果，如下不等式holdszttdXt+H（XT）≥ F（LT），P- a、 s.为所有人P∈ P、（4）在哪里t:=A+（Lt）1{Xt>0}- A.-（Lt）1{Xt≤0}，尽管如此∈ [0，T]，（5）H（±x）：=F（0）+Z±xA±（ψ±（y））dy，对于所有x≥ 0.（6）备注3.1半静态策略的推导(, H）第3.3节通过随机控制方法执行。在给出命题3.1的证明之前，我们证明了拟sure不等式给出了Uu（F（LT））的上界。推论3.1在假设3.1和3.3下，对于任何中心概率测度u，Pu（F（LT））≤ Uu（F（LT））≤ u（H）。根据命题3.1，证明H∈ L（u）和 ∈ Hu。正如下面引理3.1所证明的，映射A±是有界的。特别是，他有界，因此是u（|H |）<∞. 此外是有界限的 ∈ H.仍需证明局部鞅（RtsdXs）t≥0是一个超级艺术家。准确定不等式（4）意味着对于所有P∈ Pu，ZtSDX≥ -C（Lt+| Xt |）表示所有t∈ [0，T]，P- a、美国，16 Julien Claisse等人，其中C:=kFk∞∨kHk∞. 表示Mt:=RtsdXsand Nt:=C（Lt+|Xt |）。给定（τn）n∈Na减少（Mt）t的停止时间序列≥0，然后是Fatou引理≤ t、 E[Mt+Nt | Fs]≤ Ms+lim infn→∞E[NτN∧t | Fs]。（7）此外，很明显，（Nt）t≥0是一个非负的子鞅，因此它保持0≤ NτN∧T≤ E[Nt | Fτn∧t] 。特别是序列（NτN∧t） n∈Nis一致可积。因此，从（7）可以立即得出（Mt）t≥0是一个超级艺术家。本节的其余部分将用于证明命题3.1。

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2022-5-9 13:04:05

我们从建立一个技术引理开始。引理3.1用命题3.1的符号表示，映射A±在R+上一致有界，它适用于所有l>0，（A+（l）- A.-（l））=F（l）+eγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm），（8）H（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l）。（9）让我们从证明开始。我们首先观察到（A+（l）- A.-（l））=（A+（0）- A.-（0））+Zlγ（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。此外，Fubini-Tonelli定理还得到了zlγ（z）eγ（z）Zlze-γ（m）F（dm）dz=F（l）- F（0）-兹尔-γ（m）F（dm）。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果如下。（ii）接下来让我们证明A+是有界的。显然，A+（0）≤ A+（l）≤ A+（l）- A.-（l） +A-(0).此外，我们有f（0）≤ A+（0）=-A.-(0) ≤ F(∞),2F（l）≤ A+（l）- A.-（l）≤ 2F(∞),第二行从（8）开始。我们推导出kA+k∞≤ 3kFk∞.类似地，它也支持kA-K∞≤ 3kFk∞.（iii）现在让我们转向（9）的证明。通过变量的变化，我们得到h（φ+（l））- H（φ+（0））=Zφ+（l）φ+（0）A+（ψ+（y））dy=Z[0，l]A+（m）φ+（dm）。此外，部件集成（参见Bogachev[25，Ex.5.8.112]）yieldsthatZ[0，l]A+（m）φ+（dm）=A+（l）φ+（l）- A+（0）φ+（0）-ZlA+（m）φ+（m）dm。进一步使用H（0）=H（φ+（0））- A+（0）φ+（0），我们得到h（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（0）-Zleγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。（10）类似地，H（φ-（l） )-A.-（l） φ-（l）与上面的r.h.s.一致，这结束了证明。utProof（命题3.1）让我们定义u:R×R+→ Rbyu（x，l）：=-A+（l）x++A-（l） x-+ A+（l）φ+（l）- H（φ+（l））+F（l）。18 Julien Claisse等人（i）我们首先证明u（x，l）≥ F（l）-H（x）表示所有x∈ R、 l≥ 0.显然，H对R+的限制-) 是一个凸函数，我们有limx↑φ±（l）H（x）≤ A±（l）≤ 利克斯↓φ±（l）H（x）。因此，它保持sh（x）≥ A+（l）（x）- φ+（l））+H（φ+（l）），对于所有x≥ 0，l≥ 这就产生了u（x，l）≥ F（l）- H（x）表示所有x≥ 0，l≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-9 13:04:08

同样，我们有h（x）≥ A.-（l）（十）- φ-（l））+H（φ-（l）），为所有x≤ 0，l≥ 进一步使用（9），我们得出结论u（x，l）≥ F（l）- H（x）表示所有x≤ 0，l≥ 0.（ii）让我们接下来展示u（XT，LT）=ZTtdXt，P- a、 s.为所有人P∈ P.依次使用It^o-Tanaka公式和关系式（8），我们得出- A+（LT）X+T+A-（Lt）X-T=ZTtdXt-ZLT（A+（l）- A.-（l））dl=ZTtdXt- F（LT）+F（0）-ZLTeγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm）dl。我们推断u（XT，LT）=ZTtdXt+A+（LT）φ+（LT）- H（φ+（LT））+F（0）-ZLTeγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm）dl。使用（10）可立即获得所需的结果。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果（iii）我们得出如下证明：F（LT）- H（XT）≤ u（XT，LT）=ZTtdXt，其中第一个不平等来自上述第（i）部分。utRemark 3.2我们参考第3.3节，全面介绍了促使我们在命题3.1.3.1.2的证明中考虑函数u的论点。从推论3.1的角度来看，一旦我们找到合适的一对（φu+，φu+），对偶就实现了-) 这样相应的静态策略Hu满足关系u（Hu）=Pu（F（LT））。在本节中，我们使用Vallois的解决方案来构建这样一对，并为Uu（F（LT））和Pu（F（LT））提供优化器。我们首先陈述一个由Vallois提出的建议，该建议根据当地时间为SEP提供了解决方案。回想一下（Bt）t≥0和（LBt）t≥0分别表示aBrownian运动及其在零处的本地时间。命题3.2在假设3.2下，存在一对（φu+，φu-) 满足假设3.3，使得停止时间τu：=inft>0:Bt/∈φu-（LBt），φu+（LBt）提供SEP的解决方案，即Bτu：=（Bτu∧t） t≥0是一致可积的且Bτu~ u.证据我们参考Vallois[3]或Cox、Hobson和Obl\'oj[8]作为证据。ut20 Julien Claisse等评论3.3如果u允许正密度u（x）w.r.t。

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kedemingshi

2022-5-9 13:04:12

Lebesgue测量值保持φu0±（dl）=1- u[φu-（l），φu+（l）]2φu±（l）u（φu±（l））[0，∞[（l）dl.如果我们进一步假设μ是对称的，那么φu±=±φu和ψu（x）=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】≥ 其中ψu表示φu的倒数。以下定理是本节的主要结果，表明空气（φu+，φu-) Vallois给出了bothUu（F（LT））和Pu（F（LT））的对偶性和优化器。定理3.1在假设3.1和3.2下，不存在二元间隙，即Pu（F（LT））=Uu（F（LT））=u（Hu），其中Hu由（6）从（φu+，φu）构造-). 此外，对于Pu（F（LT））存在一个优化因子Pu，例如ztutdXt+Hu（XT）=F（LT），Pu- a、（11）过程在哪里u由（5）和（φu+，φu）表示-).证明（i）我们首先为优化器Pu构建一个候选。用Pu表示过程定律Z=（Zt）0≤T≤Tgiven byZt:=Bτu∧tT-t所有t∈ [0，T]。关于Skorokhod嵌入和当地时间21的鲁棒套期保值的一些结果过程Z显然是一个连续鞅w.r.t。它的自然滤波使得ZT~ u. 换句话说，概率度量Pu属于Pu。（ii）现在让我们转向（11）的证明。我们定义uu：R×R+→ R byuu（x，l）：=-Au+（l）x++Au-（l） x-+ Au+（l）φu+（l）- Hu（φu+（l））+F（l）。式中，u±由（2）-（3）和（φu+，φu）给出-). 由于局部时间在时间变化下是不变的，我们有XT=φu+（LT）1{XT>0}+φu-（LT）1{XT<0}，Pu- a、注意，根据假设3.2，Pu（XT=0）=u（{0}）=0。因此，对于XT<0的情况使用（9），它保持suu（XT，LT）=F（LT）- H（XT），Pu- a、此外，命题3.1证明的第（ii）部分确保uu（XT，LT）=ZTutdXt，Pu- a、注意这对（φu+，φu-) 根据命题3.2，满足假设3.3。（iii）总之，仍需证明EPu[F（LT）]=u（Hu）。这可以通过（11）中的期望和下面的引理3.2来实现。

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2022-5-9 13:04:16

utLemma 3.2用定理3.1的符号表示，它保持sepu“ZTutdXt#=0.22 Julien Claisse等人证明该结果是Cox、Hobson和Obl\'oj[8]中引理2.1的轻微扩展。这个证明依赖于类似的论点，为了保证完整性，我们在这里重复这些论点。利用局部时间在时间变化下的不变性，我们首先观察到期望结果相当于“Zτu”Au+（磅）1{Bs>0}+Au-（LBs）1{Bs≤0}dBs#=0。为了清楚起见，我们省略了符号中的索引u，并在其余的证明中表示L而不是Lb。设σn:=inf{t≥ 0:| Bt |≥ n} ，ρm:=inf{t≥ 0:Lt≥ m} ，τn，m:=τ∧ σn∧ ρ和τn:=τ∧ σn.我们也认为mt:=ZtA+（Ls）1{Bs>0}+A-（Ls）1{Bs≤0}星展银行≥ 0.根据田中的公式，可以得出mt=A+（Lt）B+t- A.-（Lt）B-T-Zt（A+（Ls）- A.-（Ls）dLs。我们推导出停止的局部鞅Mτn是有界的。因此，它是一致可积鞅，我们有Zτn，mA+（Ls）- A.-（Ls）dLs= EhA+（Lτn，m）B+τn，m- A.-（Lτn，m）B-τn，mi=EA+（Lτn）B+τn- A.-（Lτn）B-τn{τn<ρm},其中，最后一个等式由Bρm=0得出。结果就是这样Zτn，m（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs= E（A+（Lτn）- A+（0））B+τn- （A）-（Lτn）- A.-（0）B-τn{τn<ρm}.利用单调收敛定理，当m趋于一致时，我们得到了关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果Zτn（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs= E（A+（Lτn）- A+（0））B+τn- （A）-（Lτn）- A.-（0）B-τn.然后，当n趋于一致时，l.h.s.再次通过单调收敛定理收敛，toEZτ（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs.对于r.h.s.，使用A±有界和（B±t∧τ） t≥0是一致可积的，它收敛于（A+（Lτ）- A+（0））B+τ- （A）-（Lτ）- A.-（0）B-τ< ∞.因此，我们ZτA+（Ls）- A.-（Ls）dLs= EA+（Lτ）B+τ- A.-（Lτ）B-τ,双方都是有限的。证据到此为止。

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2022-5-9 13:04:19

ut3。2.稳健副标题问题在本节中，我们讨论稳健副标题问题。也就是说，我们推导了无套利区间的下界和相应的最优策略。这些结果对文献来说是新的。我们的想法是按照第3.1节的思路进行，但要扭转函数φ+和φ的单调性假设-.24 Julien Claisse等人假设3.4φ+：]0，∞[ -→ ]0, ∞[（分别为φ-:]0, ∞[ -→ ] - ∞, 0[）是右连续和非递增（分别为非递减）。如第2.3节所述，我们用ψ±表示φ±和γ（l）的右连续逆：=Zlφ+（m）-φ-（m）dm，对于所有l>0。我们还定义了新功能A±：R+→ R通孔（φ+，φ-) byA±（l）：=±F(∞) -Z∞ldzφ±（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）。（12） 3.2.1拟确定不等式我们首先展示对应于次边缘问题的拟确定不等式。再加上Vallois向SEP提供的第二个解决方案，这就引出了稳健副标题问题的解决方案。命题3.3在假设3.1和3.4下，以下不等式成立tdXt+H（XT）≤ F（LT），P- a、 s.为所有人P∈ P、（13）在哪里t:=A+（Lt）1{Xt>0}- A.-（Lt）1{Xt≤0}，尽管如此∈ [0，T]，（14）H（±x）：=H（0）+Z±xA±（ψ±（y））dy，对于所有x≥ 0，（15）H（0）：=F（0）-Z∞eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。（16）在假设3.1和3.4下，关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值与当地时间25推论3.2的一些结果，对于任何中心概率测度u，Iu（F（LT））≥ Du（F（LT））≥ u（H）。推论3.2的证明与推论3.1的证明相同。

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nandehutu2022

2022-5-9 13:04:24

然而，准确定不等式（13）的证明并不完全直接，因此我们在下面提供一些细节。（命题3.3的）证明让我们首先证明我们有（A+（l）- A.-（l））=F（l）+eγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm），H（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l）。第一个恒等式源自Fubini Tonelli定理，如引理3.1中的（8）。对于第二个，通过变量的变化和部分积分，我们得到了h（φ）+(∞)) - H（φ+（l））=Z]l，∞[A+（m）φ+（dm）=A+(∞)φ+(∞) - A+（l）φ+（l）-Z∞leγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dy.进一步使用H（0）=H（φ+(∞)) - A+(∞)φ+(∞), 我们得到了h（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=F（0）-Zleγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dy.同样，我们可以证明H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l）与上面的r.h.s.一致。接下来的证明是重复命题3.1的论点，使用H对R+的限制（分别是R-) 现在是凹的。ut26 Julien Claisse等人3.2.2最优性和二元性使用Vallois提供的SEP的另一种解决方案，我们推导出二元性，并为Du（F（LT））和Iu（F（LT））提供优化器。命题3.4在假设3.2下，存在一对（φu+，φu-) 满足假设3.4，使得Bτu=（Bτu∧t） t≥0是一致可积的，bτu~ u，其中τu：=inft>0:Bt/∈]φu-（LBt），φu+（LBt）[.我们参考瓦洛伊斯[4]的证据。utTheorem 3.2在假设3.1和3.2下，不存在二元间隙，即iu（F（LT））=Du（F（LT））=u（Hu），其中Hu由（φu+，φu）的（15）-（16）构成-). 此外，对于Iu（F（LT））存在一个优化器Pu，例如ztutdXt+Hu（XT）=F（LT），Pu- a、在美国，这个过程在哪里u由（14）和（φu+，φu）表示-).这个结果的证明与定理3.1的证明相同。备注3.4可以在OREM 3.2中删除u在零处没有质量的假设。在这种情况下，φ可以达到零，我们可以假设w.l.o.g.ψ+（0）=ψ-(0).

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2022-5-9 13:04:28

然后我们需要通过替换上限来稍微修改A±的定义∞ 在积分项中使用ψ+（0）。关于Skorokhod嵌入和局部时间273.3鲁棒套期保值的一些结果关于随机控制方法，如前所述，第3.1节的结果可在Cox、Hobsonand和Obl\'oj[8]中找到。这里真正的新奇之处来自我们基于随机控制理论的方法。在本节中，我们将对导致我们考虑准确定不等式（4）的争论给出一些见解。我们首先观察pu（F（LT））=supP∈品脱∈L（u）EP[F（LT）- H（XT）]+u（H）≤ infH∈L（u）supP∈PEP[F（LT）- H（XT）]+u（H）此外，Dambis-Dubins-Schwarz定理（形式上）暗示pu（F（LT））≤ infH∈L（u）supτ∈TEF（LBτ）- H（Bτ）+ u（H）其中T是停止时间τ的集合，使得Bτ是一个统一可积鞅。受Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]的启发，我们研究了上述r.h.s.上的问题，因为它被证明相当于鲁棒超边缘问题。不管怎样∈ L（u），我们考虑最优停止问题u（x，L）：=supτ∈德克萨斯州F（LBτ）- H（Bτ）,其中，Ex表示条件期望运算符E·|B=x，LB=l.使用形式表示dLBt=δ（Bt）dt，其中δ表示Diracdelta函数，对应于该最优停止问题的Hamilton-Jacobi-Bellman（简称HJB）方程形式上读取为asmaxF-H-五、xxv+δ（x）吕= 0.（17）28 Julien Claisse等人。我们寻找公式V（x，l）的解=a（l）x++b（l）x-+ c（l），if（x，l）∈ D、 F（l）- H（x），否则，其中D:={（x，l）；x∈]φ-（l）为了简单起见，我们假设φ±是严格单调的，使得φ±（0）=0和φ±(∞) = ±∞ 所有涉及的函数都是平滑的，可以进行下面的计算。两次w.r.t.差异。

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2022-5-9 13:04:31

tox创建了一个delta函数δ（x），它抵消了δ（x）项中出现的delta函数如果-b=-2c。然后我们在边界处施加连续性和光滑条件D:v（φ±（l），l）=F（l）- H（φ±（l））和xv（φ±（l），l）=-H（φ±（l））。我们推导出v（x，l）=-H（φ+（l））x++H（φ-（l））x-+ H（φ+（l））φ+（l）- H（φ+（l））+F（l），对于所有（x，l）∈ D.此外，函数H必须满足以下常微分方程组：H（φ+）φ+- H（φ+）=H（φ-)φ-- H（φ）-),H（φ+）- H（φ）-)= F+H（φ+）φ+φ+。这个常微分方程组可以显式求解，它刻画了Ho φ±asin（2）直到一个常数，使得（H（0+）- H（0-)) = F（0）+Z∞E-γ（m）F（m）dm。当选取H（0）=F（0）时，关于Skorokhod嵌入和局部时间为29h的鲁棒套期保值的一些结果由（6）给出。相反，如果Fis是凸的，H在R+上也是凸的（分别是R-). 根据命题3.1证明的第（i）部分，v满足变分不等式（17）。此外，我们观察到（17）的另一个解由u（x，l）给出：-H（φ+（l））x++H（φ-（l））x-+ H（φ+（l））φ+（l）- H（φ+（l））+F（l），对于所有（x，l）∈ R×R+。然后，给出变分PDE（17）的任何解w，可以直接通过启发式方法导出一个拟确定不等式。实际上，使用形式表示dLt=δ（Xt）dhXit，它^o的公式得出了所有P∈ P、 F（LT）- H（XT）≤ w（下，下）≤ZTxw（Xs，Ls）dXs，P- a、特别是，如果w与u重合，我们恢复了准确定不等式（4）。此外，如果我们用P表示*（Bτ）的分布∧tT-t） t∈[0，T]式中τ：=infT≥ 0:Bt/∈φ-（LBt），φ+（LBt）,我们获得（LT）- H（XT）=u（XT，LT）=ZT徐（Xs，Ls）dXs，P*- a、 s.4两个边缘Skorokhod嵌入问题在本节中，我们提供了一个新的解决方案，作为Vallois嵌入的扩展。

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2022-5-9 13:04:34

设u=（u，u）为中心孔雀，即u和u为中心概率分布，使得u（f）≤ u（f）30 Julien Claisse等所有f:R→ R凸。我们的目标是基于本地时间构造一对停止规则，以便≤ τu，Bτu~ u，Bτu~ μ和Bτμ可统一积分。自然的想法是将Vallois嵌入对应于u和u。然而，这些停车时间通常没有规定，因此我们需要更加小心。出于技术原因，我们对边缘做出以下假设。假设4.1u=（u，u）是一个居中的孔雀，使得u和u是对称的，并等同于勒贝格度量。4.1构造对于第一次停止时间，我们采用Vallois[3]给出的嵌入u的解决方案，即τu：=infnt>0:|Bt |≥ φu（Lt）o，其中φu：R+→ R+是ψu（x）的倒数：=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】≥ 0.（18）对于第二次停止时间，我们寻找一个递增函数φu：R+→ R+使得τu：=infnt≥ τu：|Bt |≥ φu（Lt）o.注意τu≤ 定义为τu。特别是，如果在非空间隔上φu<φu，则可能发生|Bt |≥ φu（Lt）对于某些t<τu。与之前一样，φu是关于Skorokhod嵌入的一些结果，以及通过其逆ψu定义的当地时间31的稳健对冲。让我们表示x:=infx>0:Zxyu（y）u（[y，∞[）dy>ψu（x）.然后我们设置ψu（x）=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】∈ [0，x]。（19）为了确保x>0，我们需要假设Δu：=u- u≤ 0在0的高度上。如果x=∞, 施工结束了。这与Vallois嵌件有序的情况相对应。

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2022-5-9 13:04:37

否则，我们通过归纳如下：（i）如果x2i-1< ∞, 我们表示x2i:=inf（x>x2i）-1：ψu（x2i）-1） +Zxx2i-1yδu（y）δu（[y，∞[）dy<ψu（x））。然后我们设置所有x∈]x2i-1，x2i]，ψu（x）=ψu（x2i-1） +Zxx2i-1yδu（y）δu（[y，∞[）dy；（20）（ii）如果x2i<∞, 我们表示x2i+1:=infx>x2i:ψu（x2i）+Zxx2iyu（y）u（[y，∞[）dy>ψu（x）.然后我们准备好所有的x∈]x2i，x2i+1]，ψu（x）=ψu（x2i）+Zxx2iyu（y）u（[y，∞[）dy.（21）为了确保ψ被很好地定义并增加，我们需要做出以下假设。特别是，下面的第（iii）点确保xi<xi+1和limi→∞xi=∞.32 Julien Claisse等人假设4.2（i）1≤ 0和Δu6≡ 在0的邻域上为0；（ii）只要ψu<ψu，Δu>0；（iii）xi=∞ 对一些人来说，我≥ 1.定理4.1在假设4.1和4.2下，如果ψu由（19）-（21）给出，那么Bτu是一致可积的，Bτu是一致可积的~ u.下一节将对此结果进行验证。请注意，假设4.2的（i）点和（ii）点在一定程度上都是必要条件，以确保存在一个递增函数ψu，该函数求解上述两个边际SEP。更多详情请参见下面的备注4.1。这表明我们需要放松ψu的单调性假设，以便迭代Vallois嵌入到更大类别的边缘。

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2022-5-9 13:04:42

然而，我们的方法不允许在这种一般设置下计算函数ψu。4.2定理4.1的证明让我们从一个技术引理开始，这是下面定理4.1和定理5.1证明的关键步骤。引理4.1设φ±如假设3.3所示，并表示τ：=inf{t>0:Bt/∈ ]φ-（Lt），φ+（Lt）[}。对于任何f:R×R+→ R的界为l7→ f（φ±（l），l）是有界变差，它适用于所有l≥ 0，x∈]φ-（l），φ+（l）[，Ex，l[f（Bτ，lτ）]=f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）x+-f（φ）-（l），l）- c（l）φ-（l） x-+ c（l），关于Skorokhod嵌入和局部时间为33ex的鲁棒套期保值的一些结果，其中Lde注意到条件期望算子E[·| B=x，l=l]和c（l）=Eγ（l）Z∞Lf（φ+（m），m）φ+（m）-f（φ）-（m），m）φ-（m）E-γ（m）dm。证明Let（Mt）t≥0是mt=f（φ+（Lt），Lt）给出的过程- c（Lt）φ+（Lt）B+t-f（φ）-（左，右）- c（Lt）φ-（Lt）B-t+c（Lt）。通过应用It^o-Tanaka公式并使用进一步的C（l）+f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）-f（φ）-（l），l）- c（l）φ-（l）= 0，我们推导出mt=M+Ztf（φ+（Ls），Ls）- c（Ls）φ+（Ls）{Bs>0}dBs+Ztf（φ-（Ls，Ls）- c（Ls）φ-（Ls）{Bs≤0}dBs。因此，过程M是一个局部鞅。此外，停止的过程Mτ自kck起有界∞≤ 肯德基∞和| B±τ∧t|≤ |φ±（Lτ）∧t） |。因此，l[Mτ]=M=f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）x+-f（φ）-（l），l）- c（l）φ-（l） x-+ c（l）。总之，通过定义Mτ=f（Bτ，Lτ）还有待观察。我们现在可以完成定理4.1的证明了。为了清楚起见，我们省略了符号中的索引u，并将证明分为三步。第一步。我们首先证明Bτ的分布允许密度w。r、 t.勒贝格测量。我们假设函数ψ在增加，满足γ（0+）=0和γ(∞) = ∞ 式中γ：=R·φ（m）dm。34 Julien Claisse等人。这将在下面的第3步中得到证明。首先请注意，Bτ的分布是对称的。

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2022-5-9 13:04:45

根据强马尔可夫性和引理4.1，如果我们取函数λ（y）=1{y≤x} 为了一些x≥ 0，它保持se[λ（|Bτ|）]=E[f（Bτ，Lτ）]=Z∞f（φ（l），l）φ（l）e-γ（l）dl，式中f（y，l）：=λ（φ（l））-c（l）φ（l）|y |+c（l），如果|y |<φ（l），λ（|y |），否则，c（l）：=eγ（l）Z∞lλ（φ（m））φ（m）e-γ（m）dm。通过简单的计算，我们得到C（l）=1.- eγ（l）-γ（ψ（x））{l≤ψ（x）}，f（φ（l），l）=1+eγ（l）-γ（ψ（x））φ（l）φ（l）- 1.{l≤ψ（x）}，如果φ（l）<φ（l），{l≤ψ（x）}，否则。因此，我们得到了p（|Bτ|≤ x） =e-γ（ψ（x））Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}deγ（l）-γ（l）-Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}de-γ（l）-Z{φ≥φ} {l≤ψ（x）}de-γ（l）。通过对上述恒等式的直接微分，我们推断出Bτ的分布允许一个密度νw.r.t。由ν（x）给出的勒贝格测度=ψ（x）2xS（x）+e-γ（ψ（x））如果ψ（x）>ψ（x），ψ（x）2xe-γ（ψ（x））+ψ（x）2xS（x）否则，（22）关于Skorokhod嵌入和局部时间的鲁棒套期保值的一些结果，其中（x）：=-E-γ（ψ（x））Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}deγ（l）-γ（l）。第二步。现在让我们展示一下，当φ被定义为（19）-（21）时，ν与u重合。首先请注意，关系式（18）得出-γ（ψ（x））=e-Rxψ（y）ydy=2u（[x，∞[），对于所有x∈ R+。进一步使用恒等式（20）和（21），可以得出=u（x）u（[x，∞[）S2i（x）如果x∈]x2i，x2i+1]，u（x）+Δu（x）Δu（[x，∞[）S2i+1（x）如果x∈]x2i+1，x2i+2]。其中我们表示li:=ψ（xi）=ψ（xi）和si（x）：=e-γ（ψ（x））iXj=0(-1） jeγ（lj）-γ（lj）。总之，仍然需要证明S2i（x）=u（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i，x2i+1]和S2i+1（x）=Δu（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i+1，x2i+2]。作为副产品，这证明了Δu（[x，∞[）>0，代表所有x∈ [x2i+1，x2i+2]，（23），因此ψ被很好地定义。对于i=0，它由（x）=e的关系式（19）得出-γ（ψ（x））=u（[x，∞[），对于所有x∈ [0，x]。假设S2i（x）=u（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i，x2i+1]。

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2022-5-9 13:04:49

这是由关系式得出的-γ（ψ（x））+γ（l2i+1）=Δu（[x，∞[）Δu（[x2i+1，∞[），对于所有x∈ [x2i+1，x2i+2].36 Julien Claisse等。因此，我们推断所有x∈ [x2i+1，x2i+2]，S2i+1（x）=e-γ（ψ（x））+γ（l2i+1）S2i（x2i+1）-E-γ（l2i+1）= Δu（[x，∞此外，它是由关系式（21）得出的-γ（ψ（x））+γ（l2i+2）=u（[x，∞[）u（[x2i+2，∞[），对于所有x∈ [x2i+2，x2i+3]。因此，我们推断，对于所有x∈ [x2i+2，x2i+3]，S2i+2（x）=e-γ（ψ（x））+γ（l2i+2）S2i+1（x2i+2）+e-γ（l2i+2）= u（[x，∞[）。第三步。我们现在可以完成证明。关系式（21）明确规定ψ在每个区间上增加，使得ψ>ψ。在假设4.2（ii）下，关系式（20）和（23）确保ψ在每个区间上增加，使得ψ<ψ。此外，它紧接着从（19）开始，γ（0+）=0。此外，鉴于假设4.1（iii），我们很容易通过一个简单的计算来验证(∞) = ∞. 证明了停止过程Bτ是一致可积的。自| Bt∧τ| ≤ |Bτ|对于所有t≥ 0时，一致可积性立即遵循u允许有限第一时刻的假设。utRemark 4.1证明的第一步不依赖于递增函数ψ的特定形式。因此，关系式（22）揭示了假设4.2中的新情况。例如，如果ψ≤ ψ接近于零，那么我们看到ν=u接近于零。Elseψ=R·yν（y）ν（[y，∞[）dy接近零。因此，如果Δu≥ 0和Δu6≡ 在0的邻域上为0。

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2022-5-9 13:04:52

此外，由于≥ 通过构造，我们推断ψ是递增的，如果且仅当- 当ψ<ψ时，u>0。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒对冲的一些结果374.3作为一个数值例子，我们考虑由u（x）：=e给出的对称密度对（u，u）-2x，所有x≥ 0，u（x）：=xe-5倍，如果0≤ 十、≤ 1，e-2x+Δu（1）xα-2e-α（xα）-1.-1)α-1，如果x>1，其中α是满足Δu（1）=αΔu（[1，∞[）。对应的嵌入映射ψu和ψu由ψu（x）：=x和ψu（x）给出：=x、如果0≤ 十、≤ 1，xα，如果x>1。如图1.0.20.40.60.81.01.21.4-1所示，定理4.1中的所有假设均已满足。1嵌入函数ψ（虚线）、ψ（实线）和密度差Δu（虚线）。38 Julien Claisse等人在图2中，我们使用2个路径将Bτu和Bτu的分析累积分布与其蒙特卡罗估计进行了比较。我们找到了非常好的匹配，除了在零附近。注意，τu和τu的模拟非常困难，因为我们需要模拟布朗运动的局部时间，这是一个高度不规则的物体。我们选择模拟当地时间Lkt时间步长k使用LKT- L（k）-1)t=t2{B（k）-1)T∈[-,]}具有 = 0.04和t=1/4000。由于φu和φu的导数在零处是有限的，因此我们在零附近的蒙特卡罗估计的准确性很大程度上取决于当地时间的离散化，这解释了图2中的小失配。 ! \" # $ \" # $ \" \"\"\"无花果

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2022-5-9 13:04:55

2μ的分析累积分布() 和u（×），以及它们对u的蒙特卡罗近似() 和u（4）。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果395一个具有完全边缘的显著马氏鞅在本节中，我们在过程的所有边缘都已知的假设下展示了一个显著马氏鞅。特别是，它为伪布朗运动提供了一个新的例子。5.1在微型发电机中，我们认为所有边缘（ut）均为0≤T≤这一过程的时间是已知的。为了简单起见，我们假设μ是对称的，并且等价于每个t的lebsgue测度∈ [0，T]。用τt（分别为φt）表示Vallois[3]给出的停止时间（分别为图），该图嵌入了所有0的分布ut假设5.1≤ s≤ T≤ T，τs≤ τt，或等效的φs≤ φt。下一个结果给出了马尔可夫过程（Bτt）的生成元0≤T≤T.这对Madan和Yor[16]的研究是有意义的，直到9月的Az’ema Yor溶液。特别是，过程（BτT）为0≤T≤这是一个纯跳跃过程，对应于Carr等人[26]介绍的局部L’evy模型的一个例子。定理5.1在假设5.1下，（Bτt）0≤T≤这是一个非齐次马尔可夫鞅，其生成元由tf（x）=-tψt（|x |）xψt（|x |）sgn（x）f（x）-eγt（ψt（|x |）2 |x | Z）∞|x|f（y）+f(-y）- 2f（x）判定元件-γt（ψt（y））,式中γt（l）：=Rlφt（m）dm，l≥ 0.40 Julien Claisse等证明过程（Bτt）0≤T≤这显然是一个非齐次马尔可夫鞅，详见Madan和Yor[16]。它仍然需要计算生成器。

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