基于G-期望的稳健均值-方差套期保值

2022-5-10 19:47:12

基于G-期望的稳健均值-方差套期保值Francesca Biagini*,+雅格布·曼辛*蒂洛·迈耶·布兰迪斯*本文研究了G-期望框架下的均值-方差套期保值。我们的分析是利用G-鞅表示定理和相关概率工具，在一个具有两种资产的连续金融市场中进行的，其中贴现的风险资产被建模为对称G-鞅。通过逐步处理更大类别的未定权益，我们能够显式地计算出一般情形下的最优策略。1简介均值-方差套期保值是数学金融中一种经典的方法，用于不完全市场中未定权益的定价和套期保值。本文研究了连续时间G-期望框架下的均值-方差套期保值问题。我们的分析深深依赖于G演算提供的准概率工具，因此ISHE与其他关于模型不确定性的工作不同，例如BSDEs方法（参见[3]作为参考）、参数不确定性设置（参见[17]）或[19]中检查的单周期模型。G-期望空间是通常概率空间的一个推广，由Peng[10]于2006年引入，用于建模波动性和确定性，然后逐步发展，包括概率论和随机演算的大部分经典结果（请参见[2]、[5]、[8]、[9]、[12]和[15]引用其中一些）。

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2022-5-10 19:47:21

因此，G-期望理论已成为处理金融中波动性模糊性的一个非常有用的工具，许多作者研究了随机金融的一些经典问题，如无套利条件、超级复制和这种新环境下的最优控制问题（参见示例[6]和[18]）。*慕尼黑大学（LMU）金融和保险数学工作组数学系，德国慕尼黑泰伦斯特拉39号，80333。电子邮件：弗朗西丝卡。biagini@math.lmu.de雅格布。mancin@math.lmu.de, meyerbrandis@math.lmu.de+二级机构：奥斯陆大学数学系，地址：挪威奥斯陆0316号布林登1053号信箱。在这种情况下，我们假设d为计算风险资产（Xt）t∈[0，T]是非对称G-鞅（见定义2.15）。这意味着我们考虑的金融市场本质上是不完整的，因为不确定性会影响X的波动性。由于通过自我融资投资组合实现索赔H的完美复制并不总是可能的，因此我们寻求在四元意义上尽可能接近稳健的自我融资策略。更准确地说，我们的目标是解决最优问题inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ）i（1.1），其中Φ是定义3.3中定义的合适策略的空间，VT（V，φ）代表可接受投资组合（V，φ）的终值。目标函数可以解释为代理人和市场之间的随机博弈，后者显示最坏情况下的波动情况，前者选择最好的策略。在经典情况下（参见[14]了解概述），如果基础贴现资产是局部martin gale，这相当于检索H的Galtchouk Kunita Watanabe分解，即找到H在X的平方可积随机积分闭合空间上的投影。

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kedemingshi

2022-5-10 19:47:24

在G-期望框架中，不能使用这种结果。然而，在[12]、[15]和[16]等著作中，G-鞅的结构已经被阐明。我们基于这些结果进行分析，并考虑H和分解（3.13）来解决鲁棒均值-方差套期保值问题。此外，为了保证最优套期保值策略的MG可积性（见第2.2节），波动性不确定性s对H施加了一些与经典情况（即H）相关的额外规律性∈ L2+G（FT）对于某些>0而不是H∈ LG（FT）。从技术角度来看，处理（1.1）与在标准概率设置下解决经典均值-方差问题非常不同。实际上，模型的非线性阻止了B和hBi的正交性，即G-布朗运动及其二次变化（见[4]）。这反过来又限制了显式计算typeg表达式的可能性ZTθsdBsZTξsdhBis,对于合适的过程θ和ξ，这是一个理想的条件。我们的主要贡献是对一大类未定权益的最优均值方差套期保值组合的显式计算。由于L2+G（FT）是Lip（FT）的k·k2+-范数下的closure，我们可以将重点放在鞅分解（3.13）的索赔上，其中明确描述了有限变化部分。如定理3.6所示，给定任意逼近序列（Hn）n∈N H的唇部（英尺）∈ L2+G（FT），我们得到了最优值函数J*n收敛到最优值函数J*对于H.我们首先假设η是一个连续过程，具有确定性或仅依赖于hBi。承认这种特殊分解的主张类别已经足够广泛，包括B的二次多项式和hBi的利普斯奇兹函数。

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kedemingshi

2022-5-10 19:47:27

从实践的角度来看，最后一个结果特别有趣，因为它包含了广泛的波动性衍生品，如波动性掉期。对于此类索赔，我们能够提供最佳投资组合的完整描述。在一般情况下，获得最优均值-方差策略的完整描述要复杂得多。我们考虑η是分段常数过程ηs=Pn的情况-1i=0ηtiI（ti，ti+1]（s）并概述了我们为n=2显式求解的逐步过程。此外，我们还提供了终端风险的上下限。这一限制并非完全出乎意料，因为它同样出现在单一先验的经典背景下，其中贴现资产价格（Xt）t∈[0，T]被建模为半鞅。在这种情况下，均值-方差套期保值问题的解决方案只是隐式的，并以反馈形式描述（见[13]），因为不可能在平方可积积分w相对于X的s步上进行正交投影。论文的结构如下。在第二节中，我们介绍了G-期望理论的一些基本预备知识，并给出了s-托氏微积分的一些新结果。在第三节中，我们描述了市场模型，并提出了均值-方差套期保值问题。在第4节中，我们给出了一些未定权益类别的最优均值-方差投资组合的显式解。在第5节中，我们提供了最优终端风险的上下限。2 G-设置我们简要介绍了次线性期望理论、布朗运动和相关的随机演算。本节的结果可在[2]、[9]和[16]中找到。

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2022-5-10 19:47:32

此外，我们提出了一些关于G-鞅分解和G-凸函数的新见解，并提供了新的估计，参见引理2.18、2.21和第2.4.2.1节G-期望Ohm 是给定的集合，H是实值函数定义的向量格Ohm 包含1。H是一个随机变量空间。另外假设如果X，Xn∈ H、然后φ（X，…，Xn）∈ H表示任何形式∈ Cl，Lip（Rn），n≥ 1，在哪里∈ Cl，Lip（Rn）表示在Rn上定义的实值函数ψ的集合，使得|ψ（x）- ψ（y）|≤ C（1+| x | k+| y | k）|x- y |，x、 y∈ Rn，其中k是一个取决于函数ψ的整数。非线性预期定义如下。定义2.1。非线性期望E是一个泛函h7→ R满足以下特性1。单调性：如果X，Y∈ H和X≥ Y然后E（X）≥ E（Y）。常数的保存：E（c）=c.3。次可加性：E（X+Y）≤ E（X）+E（Y），十、 Y∈ H.4。正同质性：E（λX）=λE（X），λ ≥ 0，X∈ H.5。恒定的可译性。E（X+c）=E（X）+c.三重(Ohm, H、 E）称为次线性期望空间。定义2.2。在次线性期望空间中(Ohm, H、 E）一个r一个dom变量Y∈ H与另一个随机变量X无关∈ 对于任何测试函数ψ，Hunder E if∈ Cl，Lip（R）我们有E（ψ（X，Y））=E（E（ψ（X，Y））X=X），其中ψ（X，Y）∈ H代表每x∈ R为ψ（x，·）∈ Cl，唇部（R）。备注2.3。从前面的定义中注意到，在次线性期望空间中，“X独立于Y”的条件不会自动地表示为“Y独立于X”。定义2.4。设X和Xbe两个随机变量定义在次线性期望s空间上(Ohm, H、 E）和(Ohm, H、 E）分别。

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2022-5-10 19:47:36

它们被称为同分布，用X表示~ 十、 ifE（ψ（X））=E（ψ（X）），ψ ∈ Cl，唇部（R）。我们称“X”为“X”的独立副本，如果“X”~ X和d′X独立于X。次线性期望空间中的G-正态分布定义如下。定义2.5。次线性期望空间上的随机变量X(Ohm, H、 E）称为G-正态分布，如果对任何a，b≥ 0aX+b\'X~pa+bX，其中“X”是X的独立副本。字母G表示函数G（y）：=E（yX）：R7→ R.这样的X是sym度量，即e（X）=e(-十） =0。除此之外，我们还得到了以下g恒等式g（y）=σy+-σy-,σ=E（X）和σ=-E(-十）。我们写X是N（{0}×σ，σ）分布的。定义2.6。A过程（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、如果下列性质成立，则称为G-布朗运动：（i）B=0。（ii）对于每个t，s≥ 0增加Bt+s- N（{0}×[σs，σs]）分布于任意N的（Bt，Bt，，…，Btn）并依赖于它∈ N、 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ t、因此，我们具有与经典情况相同的性质，以及（Bt+t）-Bt）t≥0是所有t的G-布朗运动≥ 我们现在介绍了G-期望的构造和相应的G-布朗运动。我们定义了一个时间范围T>0和s etOhmT:=C（[0，T]，R），所有R值连续路径的空间（ωT）T∈ω=0的[0，T]。设B=（Bt）t∈[0，T]是关于Ohm定义为Bt（ω）：=ωt，t∈ [0，T]。我们考虑以下随机变量空间：(OhmT）：={~n（Bt，··，Btn）|n∈ N、 t，tn∈ [0，T]，ν∈ Cl，Lip（Rn）}。G-布朗运动是在Lip上构造的(OhmT）。为此，让（ξi）i∈Nbe次线性期望s速度上的一系列随机变量（~Ohm,~H，~E），使得对于每个整数i，ξiis G-正态分布和dξi+1独立于（ξ，…，ξi）≥ 1.

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2022-5-10 19:47:40

唇上的次线性期望(OhmT）然后通过以下步骤构造：对于每个X∈ 嘴唇(OhmT）带X=а（Bt- 英国电信，英国电信- Btn-1）对一些人来说∈ Cl，Lip（Rn），t，tn∈[0，T]，设定值（μ（Bt）- 英国电信，英国电信-Btn-1））：(√T- tξ，ptn- tn-1ξn）。然后，我们就可以证明Eg对Lip的预期是一致的(OhmT）标准过程B代表G-布朗运动（见[9]）。定义2.7。次线性期望(OhmT）七,→ 通过上述程序确定的结果称为G-预期。规范过程（Bt）t∈[0，T]在这样的次线性期望空间上(OhmT、嘴唇(OhmT）是aG布朗运动。随机变量X的相关G-条件期望∈ 嘴唇(OhmT）在下面Ohmti:=C（[0，ti]，R）由eg（~n（Bt）定义- 英国电信，英国电信- Btn-1)|Ohmti）：=ψ（Bt）-英国电信，英国电信- Btn-1），式中ψ（x，…，xi）：=？E（Д（x，…，xi），√ti+1-tiξi+1，√tn- tn-1ξn）。现在让kξkp:=（例如（|ξ| p））pforξ∈ 嘴唇(OhmT），p≥ 1.那么对于任何t∈[0，T]，例如|Ohmt）可以持续扩展到液化石油气(OhmT），完成(OhmT）在标准kξkp下。以下属性非常有用。提案2.8（第22号提案，共[10]）。让我来∈ LG(OhmT）是这样的-例如(-Y）。然后我们有EG（X+Y）=EG（X）+EG（Y），十、∈ LG(OhmT）。G-预期可被视为“最坏情况预期”。设F=B(OhmT）是Borelσ-代数，考虑概率空间(OhmT、 F，P）。设W=（Wt）t∈[0，T]是这个空间上的经典布朗运动。由W生成的过滤用F=（Ft）t表示∈[0，T]，其中Ft:=σ{Ws | 0≤s≤ t}∨ N、 N表示P-null子集的集合。设Θ为有界闭子集Θ：=[σ，σ]，使得g（y）=supσ∈Θyσ=（yσ如果y≥ 0，yσ，如果y<0，则表示为AΘt，t所有Θ值F-适应过程的集合[t，t]。对于任何σ=（σt）t∈[0，T]∈ AΘt，Tand s∈ [t，t]我们定义，σs:=ZstσudWu。

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2022-5-10 19:47:43

（2.1）设Pσ为过程B0的规律，σt=RtσudWu，t∈ [0，T]，即Pσ=Po （B0，σ）-1.定义：={Pσ|σ∈ AΘ0，T}，（2.2）和P:=\'P，作为弱收敛拓扑下的Punder闭包。我们现在可以表述主要结果（参见[2]的证明）：定理2.9。任何∈ Cl，Lip（Rn），n∈ N、 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ T，Wehaveg（英国电信，…，英国电信-Btn-1））=supσ∈AΘ0，TEP（η（B0，σt，…，Btn-1，σtn））=supσ∈AΘ0，TEPσ（~n（Bt，…，Btn-Btn-1））=supPσ∈PEPσ（φ（Bt，…，Btn）-Btn-1)).此外，EG（X）=supP∈政治公众人物（X），十、∈ LG（FT）。最后，给出一组概率测度P，我们在这里引入一个稍后有用的符号。定义2.10。如果P（A）=0，则称集合A为极性P∈ P.如果一个性质在极集合外成立，它就有助于成立准肯定（q.s.）。在本文的其余部分中，我们将在上述环境中工作。2.2具有G-布朗运动的It^o型随机微积分我们现在介绍关于G-布朗运动的随机积分。为了达到这个目的，我们总结了[9]中的一些结果，如果没有提及，这些结果在续集中是有用的。为了p≥ 1固定的，我们考虑以下g类简单过程：对于[0，t]，N]的给定分区{t，…，tN}∈ N、我们设置ηt（ω）=N-1Xj=0ξj（ω）I[tj，tj+1）（t），（2.3）式中ξI∈ 液化石油气（Fti），i∈ 0, . . . , N- 1.这类过程的集合用Mp，0G（0，T）表示。每η∈ Mp，0G（0，T）设kηkMpG:=（EGRT |ηs | pds）并用MpG（0，T）表示在范数k·kMpG下Mp，0G（0，T）的完成。定义2.11。η∈ M2,0G（0，T）用（2.3）中的表示，我们定义了积分映射I:M2,0G（0，T）7→ LG（FT）byI（η）=ZTη（s）dBs:=N-1Xj=0ηj（Btj+1- Btj）。引理2.12（引理30，共[10]）。

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2022-5-10 19:47:47

映射I:M2,0G（0，T）7→ LG（FT）是线性连续映射，因此可以连续扩展到i:MG（0，T）7→ LG（FT）。这样就可以证明积分具有与经典It^o情形类似的性质。定义2.13。G-Brown运动的二次变化定义为ashBit=Bt- 2ZTBSDB，T≤ T、这是一个持续增长的过程，对于勒贝格测度dt来说是绝对连续的（参见[16]中的定义2.2]）。给你，t∈ [0，T]完美地刻画了B的不确定性或歧义部分≥ 0，我们有hBis+t- hBisis独立于FSF和hBis+t- 哈佛商学院~ hBit。我们说hBitis N（[σt，σt]×0}）是分布的，也就是说，对于所有的φ∈ Cl，Lip（R），EG（ν（hBit））=supσ≤五、≤σа（vt）。（2.4）因此，G-布朗运动的二次变化满足以下定义。定义2.14。次线性期望空间上的n维随机向量X(Ohm, H、 E）如果存在闭集Γ，则称为最大分布 Rn使e（φ（X））=supx∈ΓΓΓ（x），适用于所有Γ∈ Cl，唇部（Rn）。类似地引入了G-布朗运动η的二次变分积分。首先是η∈ M1,0G（0，T），然后，同样通过连续性，对于所有η∈ MG（0，T）。定义2.15。A进程M=（Mt）t∈[0，T]，因此∈ LG（Ft）针对任何t∈ [0，T]被称为G-鞅，如果所有s的EG（Mt | Fs）=Ms≤ T≤ TIfM和-M都是G-鞅，M称为对称度量G-鞅。表示，代表t∈ [0，T]和P∈ P、 P（t，P）：={P′∈ P:P′=P在Ft}上。通过对条件G-期望的刻画（更多细节见[15]），我们得到了M是G-鞅的充要条件为d的充要条件为0≤ s≤ T≤ T，P∈ P、 Ms=ess supQ′∈P（s，P）EQ′（Mt|Fs），P-a、 s.（2.5）这表明G-鞅M可以看作是多重先验鞅，它是每个P下的一个超鞅∈ P

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2022-5-10 19:47:50

接下来我们通过下面的表示定理给出G-鞅的另一个特征。定理2.16（文献[11]中的定理2.2]）。让H∈ 嘴唇(OhmT），然后是每一个人≤ T≤ 我们有EG[H | Ft]=EG[H]+ZtθsdBs+Ztηsdhbs- 2ZTG（ηs）ds，（2.6）式中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和（ηT）T∈[0，T]∈ MG（0，T）。特别是非对称部分-Kt:=ZtηsdhBis-Zt2G（ηs）ds，（2.7）t∈ [0，T]是一个G-鞅，它是连续的且非递增的，其二次变化等于零。对于LβG（FT）中的所有G-鞅，当β>1时，都可以得到类似的分解。定理2.17（文献[16]中的定理4.5]）。设β>1和H∈ LβG（FT）。然后G-鞅M与Mt:=EG（H | Ft），t∈ [0，T]具有以下表示mt=X+ZtθsdBs- Kt，其中K是一个连续的、递增的过程，K=0，Kt∈ LαG（FT），（θt）t∈[0，T]∈ MαG（0，T），α ∈ [1，β），以及-K是G-鞅。然后很容易得出这样一个推论：G-鞅是对称的当且仅当过程K等于零，因此每个对称的G-鞅都可以表示为G-布朗运动中的随机积分。最后，我们提供了一些关于Gmartingale（例如（H | Ft））的表示方式的见解∈[0，T]链接到（例如(-H | Ft）t∈[0，T]。我们关注（2.7）中出现的过程η是逐步常数的特定随机变量类。为了简化符号，我们明确地证明了ηs=I（t，t）（s）η的情况，其中0<t<t，s∈ [0，T]和‘η∈ 嘴唇(Ohmt），但对nsteps的推广很简单。引理2.18。LetH=EG[H]+ZTθsdBs+’η（hBiT- hBit）- 2G（°η）（T）- t），其中（θs）s∈[0，T]∈ MG（0，T）和η∈ Lip（Ft）是指|η|=EG[|η|]+ZtusdBs+Ztξsdhbs- 2ZtG（ξs）ds，对于某些过程（us）∈[0，t]∈ MG（0，t）和（ξs）s∈[0，t]∈ MG（0，t）。

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2022-5-10 19:47:55

然后是-他靠-H=EG[-H] +ZT\'usdBs+ZT\'ξSDHBs- 2ZTG（‘ξs）ds，其中‘us=（us（σ- σ）（T）- （t）- θs，如果s∈ [0，t]，-θs，如果s∈ （t，t]和¨ξs=（ξs（σ- σ）（T）- t），如果∈ [0，t]，-η，如果s∈ （t，t）.证明.对于s<t，我们有hBi和条件G期望的性质[-H | Fs]=EG-例如[H]-ZTθudBu- η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- （t）财政司司长= - 例如[H]-ZsθudBu+EG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Fs]=- 例如[H]-ZsθudBu++EG[EG][-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Ft]|Fs]=- 例如[H]-ZsθudBu+（σ- σ）（T）- t）例如[|η| Fs]=- EG[H]+（σ）- σ）（T）- t） EG[|η|]+Zsuu（σ- σ）（T）- （t）- θudBu+（σ）- σ）（T）- t） ZsξudhBiu- 2ZsG（ξu（σ）- σ）（T）- t））du=[-H] +Zsuu（σ）- σ）（T）- （t）- θudBu++（σ）- σ）（T）- t） ZsξudhBiu- 2ZsG（ξu（σ）- σ）（T）- t）在上一个等式中，我们使用了以下事实[-H] =EG[KT]=EG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T-t） ]。另一方面，当s>tEG[-η（hBiT）- hBit）+2G（°η）（T- t） |Fs]=2G（η）（t- t） +ηhBit+EG[-ηhBiT | Fs]=2G（η）（T）- t） ++ηhBit++η+如-hBiT+σT财政司司长- σT++ η-如hBiT- σT财政司司长+σT=2G（°η）（T）- t） ++ηhBit++η+(-hBis+σs- σT）+η-（哈佛商学院）-σs+σT）=2G（η）（T- t） +ηhBit- ηhBis+2G(-η（T）- s） =2G（°η）（T）- （t）- η（hBis）- hBit）+2G(-η（T）- （t）- 2G(-η（s）- t） =|η|（σ）- σ）（T）- （t）- η（hBis）- hBit）- 2G(-η（s）- t），我们使用了2G（x）+2G的事实(-x） =|x |（σ）-σ) 十、∈ R.这就完成了证明。2.3 G-Jensen不等式用s（d）表示d维对称矩阵的空间。在G-期望的框架下，通常的Jensen不等式不成立。然而，在这种情况下，也可以证明与这个结果类似的结果，引入了G-凸性的概念。定义2.19。

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nandehutu2022

2022-5-10 19:47:59

C-函数h:r7→ 如果以下条件对每个（y，z，A）都成立，则R称为G-凸∈ R:G（h′（y）A+h′（y）zz) - h′′（y）G（A）≥ 0，其中h′和h′分别表示h的一阶导数和二阶导数。利用这一定义，[9]中的命题5.4.6给出了以下结果。提案2.20。以下两个条件是等价的：o函数h是G-凸的。o以下Je-nsen不等式成立：例如[h（X）| Ft]≥ h（例如[X | Ft]），t∈ [0，T]，每X∈ LG（FT）使h（X）∈ LG（FT）。作为一个特例，我们证明了Jensen不等式h在h（x）=x的G框架中成立，证明了该函数是G-凸的。引理2.21。在一维情况下，函数x 7→ xis Gconvex。证据根据定义，我们必须检查每个（y、z、A）∈ R、 G（2yA+2z）≥ 2yG（A），也就是（yA+z）+σ- （yA+z）-σ≥ y（A+σ）- A.-σ). （2.8）这可以通过案例来实现。当A和y都大于零时，条件是明显的。如果A是正的，但y是负的，那么最需要研究的情况是当yA+z<0时。在这种情况下，条件（2.8）变成（yA+z）σ≥ yAσyA（σ-σ） +zσ≥ 0，自yA（σ）以来一直满足-σ) > 0. A为负的情况是类似的。2.4一些估计由于我们在处理均值-方差套期保值时遇到的问题，我们在这里展示了对适当过程（θt）t的EGhRTθtdBtRTηtdhBiti值的估计∈[0，T]和（ηT）T∈[0，T]。提案2.22。设（θt）t∈[0，T]和（ηT）T∈[0，T]是MG（0，T）中的过程，使得（ηtRtθsdBs）T∈[0，T]和（θtRtηsdhBis）T∈[0，T]都属于MG（0，T）。然后它认为ZTθtdBtZTηtdhBit≤ 如ZT2G（ηsZsθudBu）ds.证据

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2022-5-10 19:48:02

通过应用G-布朗运动的It^o公式（见[10]第5.4节），我们得到ZTθtdBtZTηtdhBit=如ZTηsZsθudBudhBis+ZTθsZsηudhBiu星展银行=如ZTηsZsθudBudhBis.结果是通过注意到ZTηsZsθudBudhBis=EGhZTηsZsθudBudhBis+ZT2G（ηsZsθudBu）ds+-ZT2G（ηsZsθudBu）dsi≤如ZT2G（ηsZsθudBu）ds.作为推论，我们应用命题2.22的结果来估算EG[BthBit]的值。感谢G-布朗运动的I t^o公式，我们看到这个问题等价于EG的计算英国电信.由于bt=3ZtBsdBs+3ZtBsdhBis（2.9）和bthbit=ZtBsdhBis+zthbisbs（2.10），我们有英国电信= 3EGZtBsdhBis= 3EG[BthBit]。EG的显式计算B2n+1t, 为了n∈ N、已经在[4]中进行了广泛的研究，但仍然没有检索到封闭形式。因此，以下估计可能会引起兴趣。推论2.23。对于每个t∈ [0，T]它认为≤ 如Zt2G（Bs）ds=σ- σ√2πσt3/2。（2.11）证据。我们只需要证明（2.11）中的等式，为此我们使用了一个近似参数。为此，设{ti}i=0，。。。，nbe[0，t]的一部分，t=0，tn=t和ti-ti公司-1=Tn对于每个i=1，n、然后这个过程（Bns）就开始了∈[0，t]∈ M1,0G（0，T）定义为：nXi=1Bti-1I[ti-1，ti）（t）收敛于MG（0，t）到（Bs）s∈[0，t]。事实上，通过直接计算，例如|Zt（英国）- Bns）ds|≤ 如Zt | Bs- Bns | ds≤ nZtEG[|Bs |]ds=nZtσ√2秒√πds=σ√√πtnN---→N→∞0，（2.12），其中我们使用了[10]中示例19的结果来论证EG[|Bs |]=E[|N（0，σs）|]，以及G-布朗运动增量的平稳性。

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2022-5-10 19:48:06

利用这个结果，我们可以证明th atnXi=1G（Bti-1）（ti- ti公司-1） LG（0，t）----→N→∞ZtG（Bs）ds。事实上”ZtG（Bs）ds-nXi=1G（Bti-1）（ti）- ti公司-1)#例如“Zt（（B+sσ）- B-sσ）ds-nXi=1（B+ti-1σ- B-ti公司-1σ）（ti）-ti公司-1)#= 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds-Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds≤ 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds+ 如Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds≤ 如Ztσ（B+s）- （Bns）+）ds+ 如Ztσ（B）-s- （Bns）-)ds,当n变为| X时，这两个期望值都趋于零+- Y+|≤ |十、- Y |，| X-- Y-| ≤ |十、- 是的，因为（2.12）。Wenow evaluateEG“nXi=12G（Bti-1）（ti）- ti公司-1） #-1Xi=02G（Bti）-1）（ti）- ti公司-1） +EG2G（Btn）-1）（tn）-tn-1)Ftn-2.#.（2.13）要计算（2.13）中条件期望内的项，请注意2G（Btn）-1）（tn）- tn-1)Ftn-2.= f（Btn）-2）式中f（x）：=EG2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)Ftn-2.= 如2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)= EPσ2G（Btn）-1.- Btn-2+x（总氮）- tn-1)自2G（Btn）-1.-Btn-2+x（总氮）-tn-1）是Btn的凸函数-1.-Btn-2.通过归纳法进行，并让n→ ∞ 我们得到了Zt2G（Bs）ds= EPσZt2G（Bs）ds=ZtσEP“ZsσdWu+#- σEP“ZsσdWu-#!ds=ZtσσZ∞十、√2π√东南方-xdx++ σσZ-∞十、√2π√东南方-xdx!ds=σ- σ√2πσZt√sds=σ- σ√2πσt3/2。最后请注意，我们可以用同样的方法计算[-BthBit]=例如-ZtBsdhBis≤ 如-ZtG(-Bs）ds= EPσZt2G(-Bs）ds=σ- σ√2πσt3/2，与EGhRt2G（Bs）dsi完全相同。3稳健均值-方差分析3。1设置我们首先确定有限的时间范围T和可测量的空间(Ohm, F），在哪里Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）：ω（0）=0}，F:={Ft，T∈ [0，T]}是标准过程B和F=FT产生的过滤。备注3.1。这种可测空间的选择将允许我们使用随机演算的结果，关于G-布朗运动，特别是第2节中提出的G-鞅表示定理2.17。

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2022-5-10 19:48:09

这个假设可以在不损失一般性的情况下进行，对于任何概率测度P(Ohm , F）用`FP:={`FPt，t表示∈ [0，T]}对于P-增强过滤，我们有以下引理（参见[15]中的防范）。引理3.2。对于任何“FPt可测量的随机变量ξ”，存在一个唯一（P-a.s.）Ft可测量的随机变量ξ，使得∧ξ=ξ，P-a.s。。类似地，对于每个“FPt渐进可测过程X”，存在一个唯一的“Ft渐进可测过程”~X，使得~~X=X，dt dP a.e。。此外，如果X是P-几乎肯定连续的，那么我们可以选择Xto是P-几乎肯定连续的。我们考虑以下贴现资产（dXt=XtdBt，X>0，dγt=0，γ=1，其中（γt）t∈[0，T]表示贴现的无风险资产。类似于[14]中所做的，我们考虑了以下g类型的策略空间。定义3.3。交易策略φ=（φt，ηt）t∈[0，T]称为可容许的，如果（φT）T∈[0，T]∈ Φ，式中Φ：=（φpr）例如“ZTφtXtdBt#< ∞),η是自适应的，并且是自融资的，即Vt（ν）=ηtγt+φtXt=V+ZtφsdXs， T∈ [0，T]。这些策略的价值∈ Φ随时t∈ [0，T]完全由（V，φ）决定，这样我们就可以为所有T写出Vt（φ）=Vt（V，φ）∈ [0，T]。我们考虑对未定权益进行套期保值的问题∈ L2+G（FT），对于>0，使用可接受的策略。为了能够使用G-鞅表示定理，H上的可积性条件是必需的。由于索赔H只有在对称的情况下才能用这种策略完全复制，对于一般衍生产品H，稳健均值方差对冲的想法是最小化剩余终端风险定义为asJ（V，φ）：=EGh（H- VT（V，φ））i=supP∈佩普（H）- VT（V，φ））i（3.1），通过选择（V，φ）。

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2022-5-10 19:48:12

这就是我们希望解inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ））i，（3.2），正如[14]中在存在唯一先验的经典情况下所做的那样。如果异常（V*, φ*) ∈ 问题（3.2）存在R+×Φ，我们称之为φ*最优均值-方差策略，最优均值-方差portfolioVt=V*+Ztφ*sdXs，t∈ [0，T]。（3.2）中的函数可以解释为代理和市场之间的随机博弈，后者显示最坏情况下的波动性场景，前者选择最佳可能策略。当我们有P={P}时，这个问题可以通过Galtchouk KunitaWatanabe分解来解决，方法是将H投影到线性空间{I=x+RTφsdXs | x上∈ R和φ∈ Φ}（关于经典情况下的更多信息，请参见[14]）。这里的情况在几个方面都比较麻烦。首先，L2+G-可积G-鞅空间不存在正交分解。此外，对称标准并不能区分买方和卖方，所以最好的套期保值策略应该是最优的-H.这使我们无法直接使用G-鞅表示定理，因为分解H的系数与分解H的系数是先验不同的-H、见引理2.18。然而，我们可以从它的直接应用中获得一些见解。引理3.4。i.i.V*区间内最优均值-方差组合的估计[-例如[-H] ，例如[H]]。证据LetH=EG[H]+ZTθsdBs- KT（3.3）-H=EG[-H] +ZT′θsdBs-\'KT，是H和的G-鞅分解-对于合适的过程（θt）t∈[0，T]，（°θT）T∈[0，T]，（Kt）T∈[0，T]和（\'Kt）T∈[0，T]，分别如定理2.17所示。

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2022-5-10 19:48:16

然后它就跟在后面了H- 五、-ZTφsXsdBs#=例如“例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs- KT#=（例如[H]- 五） +EG“ZT（θs）- φsXs）dBs- KT+- 2KT（例如[H]- 五） #、（3.4）和类似的-H+V+ZTφsXsdBs#=例如“例如[-H] +V+ZT（°θs+φsXs）dBs-\'KT#=（例如[-H] +V）+EG“ZT\'\'θs+φsXs星展银行-\'KT+- 2千吨（例如[-H] +V）#，关于G-布朗运动和命题2.8的随机积分的性质。从上面的表达式中，我们可以看到，由于KT和¨KT是严格正的ran dom变量，最优初始财富V*正在休息[-例如[-H] ，例如[H]]。这与[18]中给出的关于无套利的结果是一致的，多亏了这一点，我们可以认为VS确实应该存在(-例如[-H] 只要-例如[-H] <EG[H]。当声明是对称的，例如[H]=-例如[-H] ，它也是完全可复制的，然后我们就有了V*=EG[H]和（φ）*t） t∈[0，T]=（θT/Xt）T∈[0，T]，与经典情况一样。至于初始值，也可以确定最优交易策略必须属于MG范数中的某个有界集。引理3.5。让我们给出一个或有索赔H∈ L2+G（FT）带H=EG[H]+ZTθsdBs- KT，对于某些（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和KT∈ LG（FT）。然后就有了aR∈ R+使得inf（V，φ）∈R+×ΦJ（V，φ）=inf（V，φ）∈R+×ΦkRT（θs）-φsXs）dBsk≤RJ（V，φ）。证据我们首先注意到最优均值-方差组合（V*, φ*)明显令人满意（V*, φ*) ≤ 如H（3.5）和putA:=EG[H]- 五、- KT，D:=ZT（θs）- φsXs）dBs。我们可以推导出以下g链的不等式j（V，φ）=EGh（A+D）i=EGA+D+2AD≥ 如D- 如-D- 例如[-2AD]≥ 如D- 如-A.- 2EGA.如D.这表明EG的巨大价值D, i、 e.对于任何V，RφSXSDBs与RθSDBSs的距离是否太大∈ (-例如[-H] 终端风险J（V，φ）不能小于（3.5）中的上限。这就完成了证明。定理3.6。

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2022-5-10 19:48:20

让我们提出索赔∈ L2+G（FT）和随机变量序列（Hn）n∈那是什么- Hnk2+→ 0作为n→ ∞. 然后asn→ ∞ 我们有*N→ J*,在哪里，每n∈ N、 J*n:=inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（Hn）- VT（V，φ））iandJ*:= inf（V，φ）∈R+×ΦEGh（H- VT（V，φ）i.证明。作为证明的第一步，我们研究了terminalriskEGh（Hn）的收敛性- VT（V，φ））i→ EGh（H）- 对于某些策略（V，φ），VT（V，φ））i（3.6）。在不丧失一般性的情况下，我们假设H具有如（3.3）所示的代表性。同样地，对于每一个n∈ N、我们声称Hn=EG[Hn]+ZTθnsdBs- KnT，对于a（θnt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和KnT∈ LG（FT）。我们首先证明，对于一个有界的交易策略类别，我们可以限制自己研究（3.6）中的收敛性。从[16]中的T heorem 4.5可以看出，（Hn）n的lg收敛性∈Nto H意味着alsokZT（θns- θs）dBsk→ 0和kKnT- KTk→ 0作为n→ ∞. 这些事实，再加上引理3.4和引理3.5，使我们能够∈ R+如此*n=inf（V，φ）∈R+×ΦkV+RT（θs）-φsXs）dBsk≤雷格（Hn）- VT（V，φ））iJ*= inf（V，φ）∈R+×ΦkV+RT（θs）-φsXs）dBsk≤雷格（H）- VT（V，φ）i.这又意味着收敛egh（Hn- ·)我→ EGh（H）- ·)策略集（V，φ）∈ R+×Φ，使得kV+RT（θs-φsXs）dBsk≤R.事实上，表示x:=V+RTφsxsdbs这类策略中的任何一种，对于任何δ>0，我们都可以找到n∈ N所有人都是这样的N>\'NEGh（Hn）- x）我- EGh（H）- x）我≤EGh（Hn）-十）- （H）- x）我≤埃格|（Hn）- 十）- （H）- x） |i=EG[|（Hn）- H）（Hn+H）- 2x）|]≤EGh（Hn）- H） iEGh（Hn+H）- 2x）我≤EGh（Hn）- H）我EGh（Hn+H）i+EG（2x）< δ. （3.7）这一点很清楚，因为（3.7）中的第二个因子是有界的。考虑到集合kxk上x的上确界，前面的不等式链也成立≤ R、这反过来又意味着一致收敛。我们现在可以证明主要陈述。对于任何δ>0的情况，从J的定义*, 存在（\'V，\'φ）∈ R+×Φ使得k′V+RT（θs-\'\'φsXs）dBsk≤ R和J*+ δ ≥ 例如“H-\'V-ZT′φsXsdBs#.

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kedemingshi

2022-5-10 19:48:23

（3.8）此外，来自（3.7）的一致收敛允许我们考虑足够大的n，以便例如“H-\'V-ZT′φsXsdBs#- 例如“嗯-\'V-ZT′φsXsdBs#< δ.（3.9）从（3.8）和（3.9）中我们可以得出结论*+ 2δ ≥ J*n、（3.10）类似地，也可以找到（~V，~φ）这样的j*n+δ≥ 例如“嗯-~V-ZT)φsXsdBs#和例如“H-~V-ZT)φsXsdBs#- 例如“嗯-~V-ZT)φsXsdBs#< δ、我们可以从中讨论*N≥ J*- 2δ. （3.11）不等式（3.10）和（3.11）将证明归纳为*-2δ ≤ J*N≤ J*+ 2δ和δ是任意选择的。备注3.7。定理3.6表明，我们可以通过考虑空间Lip（FT）中的索赔来开始均值方差优化的研究。L2+G（FT）中的任何随机变量实际上都是通过定义Lip（FT）中元素的L2+G-标准中的极限来确定的。此外，如定理2.16所述，这类随机变量的最大优点是-K在他们的陈述中进一步分解为-KT=ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds，（3.12）对于某些过程（ηt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）。从现在起，我们考虑H∈ 分解为H=EG[H]+ZTθsdBs的L2+G（FT）- KT（η）=EG[H]+ZTθsdBs+ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds。（3.13）考虑到问题的复杂性，我们按以下步骤进行。我们首先对过程η施加一些条件，即是确定性的或m轴向分布的，然后我们假设η是一个分段恒常过程，具有一些我们将在每次澄清的特定特征。在这些情况下，我们能够明确地解决均值-方差套期保值问题。最后，我们通过提供最小终端风险的估计来解决一般情况。4显式解我们首先给出了随机变量H的最优均值-方差组合的计算∈ L2+G（FT）分解（3.13），其中η被假定为确定性的或仅取决于（hBit）t的实现∈[0，T]。

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2022-5-10 19:48:27

相反，（3.13）中的被积函数θ是完全一般的，必须只属于MG（0，T）。通过这种方式，由于η不会通过直接依赖于G-布朗运动而表现出波动性不确定性，因此可以通过初始财富V来对冲不确定性，而无需使用s策略φ。在这些情况下，我们能够在定理4.1和定理4.5.4.1确定性η中明确提供最优解。我们首先考虑表达式（3.13）中η是确定性的情况，并提供最优投资策略和初始财富。定理4.1。考虑一个索赔H∈ L2+G（FT）的下列形式H=EG[H]+ZTθsdBs+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds，（4.1）式中θ∈ MG（0，T）和η∈ MG（0，T）是一个确定性过程。最优均值-方差组合i由φ给出*tXt=每t的θt∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据我们首先计算p进程的跨度eg[H]+ZtηsdhBis-ZT2G（ηs）ds。这几乎肯定在间隔中- (σ- σ） RT |ηs | ds，例如[H]]。我们从上界开始，注意到在波动性场景下，由∧σt=（σifηt）给出≥ 0，σ，如果ηt<0，对于每个t∈ [0，T]，负随机变量ηsdhBis-RT2G（ηs）dsp∑-a.s.等于零。因此，我们得到了EP∧σ[H]=EG[H]。对于下界，我们考虑∧σ′t=（σifηt≤ 0，如果ηt>0，则每t∈ [0，T]。这就是rtηsdhBis-RT2G（ηs）dsm达到其最小值。由此可知，EP∑′[H]=-例如[-H] 。事实上，从（4.1）开始，-H=-例如[H]-ZTθsdBs-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）ds=-例如[H]-ZTθsdBs-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）ds+ZT2G(-ηs）ds-ZT2G(-ηs）ds=-EG[H]+ZT(-θs）dBs+ZT(-ηs）dhBis-ZT2G(-ηs）ds（4.2）+（σ- σ） ZT |ηs | ds，因为zt2（G（ηs）+G(-ηs）ds=（σ- σ） ZT |ηs | ds。我们注意到，由于η是确定性的，表达式（4.2）提供了-H.因此我们可以得出结论：-EG[H]+（σ）- σ） ZT |ηs | ds=EG[-H] 。

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2022-5-10 19:48:30

（4.3）然后，使用命题2.20和引理2.21，我们得到inf（V，φ）EGh（EG[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis+-ZT2G（ηs）ds）i≥ inf（V，φ）EGhEG[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis+-ZT2G（ηs）dsi∨ 嗯- 例如[H]+V-ZT（θs）- φsXs）dBs+-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）dsi！=infVEGhEG[H]- V+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）dsi∨ （4.4）EGh- 例如[H]+V-ZTηsdhBis+ZT2G（ηs）dsi！=infVEGhEG[H]- V+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）dsi∨ （4.5）EGhEG[-H] +V+ZT(-ηs）dhBis-ZT2G(-ηs）dsi！，我们在（4.4）中使用了命题2.8，在（4.5）中使用了关系式（4.3）。这等于infvegheg[H]- 六、∨ 埃格格[-H] +Vi！，（4.6）asEGha+ZTξsdhBis-ZT2G（ξs）dsi==a+EGhZTξsdhBis-ZT2G（ξs）dsi=a，对于a∈ R和ξ∈ MG（0，T）。V的最小值为（4.6）*=例如[H]-例如[-H] 等于例如[H]+[-H]. 如果我们证明这一点例如[H]- 五、*+ZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds#=例如[H]+[-H]证据已经完成。自ceeg[H]+ZTηsdhBis-EG[H]之间的ZT2G（ηs）dslies-(σ-σ） RT |ηs | ds=-例如[-H] 很明显，|EG[H]的最大值- 五、*+ZTηsdhBis-V约束下的ZT2G（ηs）ds |*∈ [-例如[-H] ，EG[H]]由EG[H]+EG给出[-H] 。这就完成了证明。备注4.2。请注意，最佳投资策略是：*=定义为X的θXis是几何G-布朗运动，其q.s.严格大于0。此外，请注意，asZTηsdhBis-ZT2G（ηs）ds=-KT，它保持seg[H]- 五、*=例如[KT]，因为[KT]=EGEG[H]+ZTθsdBs- H= 例如[H]+[-H] 。备注4.3。注意，在一个存在唯一先验的上下文中，即σ=σ，e[H]=EG[H]=-例如[-H] 第4.1条中给出的最优初始财富和策略与经典框架下均值方差套期保值的结果一致。允许η确定性分解（4.1）的未定权益集是非平凡的。

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2022-5-10 19:48:34

对于任何给定的可积确定性过程（ηt）t∈[0，T]，任意常数c∈ R和任意过程（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T），我们可以构造索赔：=c+ZTθsdBs+ZTηsdhBis-Zt2G（ηs）ds，定理4.1的结果适用。这样一组随机变量与Lip（FT）的交集包括（Bt，Bt）中的二次多项式-英国电信，Btn-Btn-1），其中{ti}ni=0是[0，T]的一个分区。为了对这一事实有一个直观的认识，为了简单起见，考虑只依赖于G-布朗运动的一个增量的随机变量。H=~n（BT）的分解系数- B）由ηt（ω）=xu（t，ω）和θt（ω）=xu（t，ω），其中u是(图+G(xu）=0，u（T，x）=~n（x），表示（T，x）∈ [0，T]×R（见[9]）。如果η是确定性的，我们可以写xu（t，ω）作为t的函数，即a（t）：=xu（t，ω）。因此，通过积分w.r.t.x，我们看到u（t，x）的形式必须是a（t）x+b（t）x+c（t），因此h=a（t）BT+b（t）BT+c（t）。备注4.4。借助于[18]中的定理4.1，可获得另一类可通过定理4.1进行优化的权利要求。

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2022-5-10 19:48:38

如果我们考虑H=Φ（XT）的情况，对于一些实值lipschitz函数Φ，则它保持（详情参见[18]f）Φ（XT）=EG[Φ（XT）]+ZTxu（t，Xt）XtdBt+ZTxxu（t，Xt）XtdhBit-ZTG(xxu（t，Xt））Xtdt，其中u求解(tu+G（x）xu=0，u（T，x）=Φ（x）。很容易看出这一点xxu（t，Xt）Xt对每个t都是确定的∈ [0，T]当且仅当h=Φ（XT）=u（T，XT）=a（T）log XT+b（T）XT+c（T），对于一些实函数a，b和c。通过对前一个论点的轻微修改，我们可以证明，如果市场上存在另一个资产X′，这是不可能交易的，并解决了某些ipsch-itz函数α的SDEdX′T=α（X′T）dBt，X′>0，然后我们可以再次使用定理4.1来对冲每个索赔Φ（X′T），其中Φ是一个Lipschitz函数，这样(tu+G（α（x）xu=0，u（T，x）=Φ（x），前提是xxu（t，x）=每个（t，x）的α（x）∈ [0，T]×R.4.2最大分布η我们现在考虑η仅显示平均不确定性的情况，即G-Brow运动的二次变化函数。同样在这种情况下，我们能够检索到最优均值-方差投资组合的完整描述。定理4.5。让H∈ L2+G（FT）be的形式为H=EG[H]+ZTθsdBs+ZTψ（hBis）dhBis-2ZTG（ψ（hBis））ds，其中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）与ψ：R→ R是这样的，存在k∈ 兰德α∈ R+其中|ψ（x）- ψ（y）|≤ α| x- y | k，为了所有x，y∈ R.最优均值-方差组合由φ给出*tXt=每t的θt∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据如定理4.1所示，我们首先应用G-Jensen不等式来获得EG“c+ZT~nsdBs+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds#≥ 如c+ZT~nsdBs+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds∨如-C-ZT~nsdBs-ZTψ（hBis）dhBis+2ZTG（ψ（hBis））ds= C∨ （例如[KT]- c），（4.7）其中我们定义c:=EG[H]- 五、 νt:=θt- φtXt（4.8）适用于所有t∈ [0，T]。当c*=例如[KT]，dit等于例如[KT].

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2022-5-10 19:48:42

最后，我们证明了这个值是通过选择V来实现的*=例如[H]-例如[-H] φ*tXt=θt。然后我们计算“EG[KT]+ZTψ（hBis）dhBis- 2ZTG（ψ（hBis））ds#. （4.9）为了做到这一点，我们使用离散化，注意ψn（hBit）：=n-1Xi=0ψ（hBiti）I[ti，ti+1）（t）MG（0，t）-→ ψ（hBit）（4.10），其中ti=Tni。事实上ZTEG|ψ（hBit）- ψn（hBit）|dt=n-1Xi=0Zti+1tiEG|ψ（hBit）- ψn（hBit）|dt≤N-1Xi=0Zti+1tiEGh | hBit- hBiti | 2kidt=NZTEGHHBI2KTIT=nZtt2kdt=n2kTn2k+1n→∞-→ 类似地，对于G（ψn（hBit））到G（ψ（hBit））的收敛性。（4.9）中的表达式是当n趋于完整时的极限EG[KT]+n-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1-2n-1Xi=0G（ψ（hBiti））ti+1#=例如“EG[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#=例如“例如”EG[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1Ftn-1##=例如“supσ”≤越南≤σEG[KT]+n-2Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1++ψN-1Xj=0hBitj越南tn- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#=EG“EG”supσ≤越南≤σEG[KT]+n-2Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1++ψN-1Xj=0hBitj越南tn- 2n-1Xi=0GψiXj=0hBitjti+1Ftn-2##=例如“supσ”≤越南≤σσ≤越南-1.≤σEG[KT]+n-3Xi=0ψiXj=0hBitjhBiti+1+（4.11）+ψN-2Xj=0hBitj越南-1.tn-1+ ψN-2Xj=0hBitj+vn-1.tn-1.越南tn+- 2GψN-2Xj=0hBitj+vn-1.tn-1.tn+- 2n-2Xi=0GψiXj=0hBitjti+1#,我们在哪里使用过它hBi分布最大。

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2022-5-10 19:48:45

通过迭代进行，（4.11）等于上σ≤六、≤σi=1，。。。，负[KT]+n-1Xi=0ψiXj=0vjtjvi+1ti+1+- 2n-1Xi=0GψiXj=0vjtjti+1！。（4.12）作为（vi）i=1的二次函数的上确界（4.12），。。。，n、当依赖于（vi）i=1，。。。，nis等于它的最小值，它是零，或者它的最大值，它等于-1Xi=0G（ψ（hBiti））ti+1-N-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1#。在这两种情况下，当n趋于一致时，（4.12）的值收敛到例如[KT]因为（4.10）。作为最优均值-方差投资组合（V*, φ*) 对于H提供的索赔，通过(-五、*, -φ*), 最优解-H、投资策略（φ）*t） t∈[0，T]并不总是等于过程（θT）T∈[0，T]来自定理2.17中H的G-鞅分解。定理4.5的结果与这种直觉并不矛盾。备注4.6。使用引理2.18不难证明，对于H=EG[H]+ZTθsdBs+n型未定权益-1Xi=0ψ（hBiti）hBiti+1- 2G（ψ（hBiti））ti+1,式中（θt）t∈[0，T]∈ MG（0，T）和ψ是一个实连续函数，是-H有这个表达式-H=EG[-H] +ZT(-θs）dBs-\'KT，对于合适的随机变量\'KT∈ LG（FT）。可以使用备注4.4中的相同参数来描述未定权益类别，其表示（4.1）通过多项式增长hBi的函数给出η。该集合包括hBi的Lipschitz函数家族。定理4.5可用于对冲波动性WAP，即H=phBiT- K对K∈ R+和其他波动性衍生品（关于波动性衍生品的更多细节，请参考[1]）。

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2022-5-10 19:48:49

事实上，给定aLipschitz函数Φ，索赔Φ（hBiT）可以写成Φ（hBiT）=EG[Φ（hBiT）]+ZT徐（s，hBis）HBISDBIS- 2ZTG(xu（s，hBis）hBisds，其中u（t，x）解(tu+2G（xxu）=0，u（T，x）=Φ（x），作为G-布朗运动的非线性费曼-卡克公式（见[11]）和G-It^o公式（见[10]）的结果。4.3分段常数η我们现在研究更广泛类别的索赔的最优均值-方差组合，在过程η中加入均值和波动不确定性。我们首先考虑ηs=n-1Xi=0ηtiI（ti，ti+1）（s），对于n∈ N、其中{ti}ni=0是[0，T]的一个分区，即0=T≤ T≤ ··· ≤tn=T，ηti∈ Lip（Fti）为我所有∈ {0，…，n}。我们将概述一个递归求解过程，我们可以求解n=2。在n>2的情况下，Theorem 4.14的证明提供了一个递归过程，可用于从数值上找到最优解（见[7]）。最后，我们在第5节中给出了最优最终风险（3.2）的边界。作为初步结果，我们仅限于研究可以用以下方式表示的索赔：H=EG[H]+θtBt+ηthBit- 2G（ηt）t、（4.13）其中0≤ t<t≤ T，θT∈ LG（Ft），Bt:=Bt- B同样适用于赫比坦德t、我们相应地选择φt=φtI（t，t）形式的投资策略类φ，其中φt∈ LG（Ft）。如果我们表示c:=EG[H]- 五、 νt:=θt- φtXt，风险函数（3.1）变为segh（例如[H]- V+（θt）- φtXt）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=EGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=EGh（c+ηt）hBit- 2G（ηt）t） +~ntBt++2~ntBtηthBiti，（4.14），我们在最后一步中使用了2.8号提案。定理4.7。考虑一个索赔H∈ 分解为asin（4.13）的L2+G（FT）。最优均值-方差投资组合由（V）给出*, φ*), φ在哪里*X=θ和V*solvesinfVEG（例如[H]- V）∨ （例如[H]- 五、- (σ- σ)t |ηt |）. （4.15）证据。

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nandehutu2022

2022-5-10 19:48:52

我们从计算Egh（c+ηt）开始hBit- 2G（ηt）t） i=EGhEGh（c+ηt）hBit- 2G（ηt）（t）Ftii=EG[f（ηt）]，（4.16），其中f（x）=EGh（c+x）hBit- 2G（x）t） i.利用hBi是最大分布的事实，f（x）=supσ≤五、≤σ（c+xv）T- 2G（x）（t）=c+σxT- 2G（x）T∨c+σxT- 2G（x）T= C∨C- (σ- σ)t | x|,所以（4.16）等于GHC∨C- (σ- σ)t |ηt|i、这意味着，在时间间隔[t，t]内，最坏情况将波动率设定为σTwenc≥C- (σ- σ)t |ηt|,这相当于总有机碳≥(σ- σ)t |ηt |，或σtifc≤(σ- σ)t |ηt |。因此，根据命题2.20，对于每一个c∈ （0，EG[H]+EG[-H] ）infаEGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）t） i=inf~nEGhEGh（c+int）Bt+ηthBit- 2G（ηt）（t）Ftii≥inf k EGhEG[c+k tBt+ηthBit- 2G（ηt）t|Ft]∨例如[-C- ~nt英国电信- ηthBit+2G（ηt）t | Ft]i=EGhc∨C- (σ- σ)t |ηt|i、（4.17）这使我们能够得出结论，因为通过选择φt=0和V可以获得较低的boun d*是（4.15）的解。定理4.7表明，最优初始富裕度的确定可能更为复杂。现在我们用一个反例来说明EG[KT]和V之间的联系*备注4.2中的规定不适用于f或一般η。提案4.8。设H的形式为H=EG[H]+θtBt+ηthBit- 2G（ηt）t、 θt在哪里∈ LG（Ft）和ηt=eBt。均值方差投资组合的最佳初始财富不同于V*=例如[H]- 例如[-H] 。证据让我们先计算一下[-H] 。通过对GBrownian运动增量的凸函数的期望进行条件化并使用一些结果（见[10]中的P位置11），我们得到了EG[H]+EG[-H] 例如2G（eBt）T- eBthBit= 如(σ- σ)特伯特= EP[（σ- σ)teWtσ]=（σ- σ)teσt/2，其中（Wt）t∈[0，T]是P下的标准布朗运动。

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2022-5-10 19:48:58

我们现在关注的是c上的极小化of h（c）：=EGhc∨C- (σ- σ)特伯特i=EPhc∨C- (σ- σ)teWtσi=EPeWtσt（σ）-σ) - C- C++ c=c+EPheWtσt（σ）- σ)eWtσt（σ）- σ) - 2c+i=c+EPEN√tσt（σ）- σ)EN√tσt（σ）- σ) - 2c+,N在哪里~ N（0，1），我们已经使用了C∨eBtt（σ）- σ) - C是Bt的凸函数。设y:=（σ）- σ)坦达（x）：={x∈ R:eσ√tx>2cy}=十、∈ R:x>log2cyσ√T= {x∈ R:x>g（c）}，其中g（c）：=log2cyσ√t、通过这些旋转，H（c）可以写成asH（c）=c+EPheσn√蒂亚（N）i- 2cyEPheσ√tNIA（N）i=c+yZx>g（c）eσ√德克萨斯州√2πe-xdx- 2cyZx>g（c）eσ√德克萨斯州√2πe-xdx。我们对c进行微分，以找到驻点：H′（c）=2c- 叶σ√甘油三酯（c）√2πe-g（c）g′（c）+2cyeσ√甘油三酯（c）√2πe-g（c）g′（c）+- 2yZx>g（c）√2πeσ√德克萨斯州-xdx。（4.18）我们现在用c代替*=例如[H]+[-H] =yeσtinto（4.18），看看它是否是一个可能的最小点。我们得到了*) =洛基！σ√t=σ√t、因此yeσt= yeσt- 叶σ√tσ√T√2πe-g（c*)g′（c）*)++ 2yeσtyeσ√tσ√T√2πe-g（c）*)g′（c）*)+- 2yZx>σ√T√2πe-（十）-2σ√tx）dx=yeσt- 2Zx>σ√T√2πe-（十）-2σ√tx）dx！=yeσt- 2eσtZz>-σ√T√2πe-zdz！=yeσt- 2eσtZ∞√2πe-zdz+- 2eσtZ-σ√T√2πe-zdz！=-2yeσtZ-σ√T√2πe-zdz，它不同于零。我们现在推导出其他特殊情况下的最优初始财富f，正如我们在下面的命题中所做的那样。这个结果将构成我们递归方案的第一步。我们注意到η现在将表现出波动性不确定性，这被排除在第4.1节和第4.2节的结果之外，而过程θ∈ MG（0，T）是完全一般的。提案4.9。考虑一个形式为H=EG[H]+ZtθsdBs+ηt的索赔HhBit- 2G（ηt）t、其中0=t<t<t=t，（θs）s∈[0，t]∈ MG（0，t），ηt∈ LG（Ft）和|ηt |=EG[|ηt |]+ZtusdBs，（4.19）对于特定过程ss（us）s∈[0，t]∈ MG（0，t）。最优均值方差组合由xtφ给出*t=θt-ut（σ）- σ)TI（t，t）（t）+θtI（t，t）（t）代表t∈ [0，T]与v*=例如[H]- 例如[-H] 。证据

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