修理，修理∈ N和letXn:=N-1Xi=0Nni I{Nni≤|X |<Nn（i+1）}。它跟在第[（X）条后面- Xn）p]=EG“XpI{| X |>N}+N-1Xi=0（X-Nni）pI{Nni≤|X |<Nn（i+1）}#≤ 如XpI{| X |>N}+ 例如“n”-1Xi=0（X-Nni）pI{Nni≤|X |<Nn（i+1）}#≤ 如XpI{| X |>N}+Nn钉I{|X|≤N}.（4.24）根据[2]中的定理25，我们得到了XpI | X |>N当N趋于一致时，我们可以先让N→ ∞ 然后呢→ ∞ 在（4.24）中。引理4.12。无论如何≤ T和n∈ N设{A，…，An}是Ohm 以至于Ai∈ 每一次我∈ {1，…，n}。它认为infψ∈MG（0，t）EP“nXi=1AIxi+|+ZtψsdBs|#= EP“nXi=1ai（xi+）#∈ R、 P∈ P和{x，…，xn}∈ Rn+。证据我们假设{x，…，xn}都是不同的，并且越来越有序，但不失普遍性。结果是通过归纳得出的。如果n=1，则索赔微不足道。证明诱导步的前提是存在a′ψ∈ MG（0，t）使ep“n+1Xi=1aixi+|+Zt′ψsdBs|#< EP“n+1Xi=1ai（xi+||| |）#（4.25）我们证明了这一点，连同归纳假设，导致了一个矛盾/∈ {1，n+1}，带有带k的xkw∈ {1，…，n+1}\\j，为了得到n个不同元素的和，按如下步骤进行。请注意，（4.25）相当于p“n+1Xi=1ai~xi+|+Zt′ψsdBs|#< EP“n+1Xi=1ai（~xi+|||）#+EP”IAjx+|+Zt′ψsdBs|#- EP“IAjxj+|+Zt′ψsdBs|#+ EPhIAj（xj+||）i- EPhIAj（x+||）i，（4.26）其中x∈ R+，和{x，{xn+1}代表新的序列，其中xj被x取代。总之，我们考虑了“IAj”x+|+Zt′ψsdBs|#- EP“IAjxj+|+Zt′ψsdBs|#++ EPhIAj（xj+||）i-EPhIAj（x+||）i=EPIAj（x）-xj）x+xj+2 |+Zt′ψsdBs|+- EPIAj（x）-xj）（x+xj+2 ||）=EP2IAj（x）- xj）|+Zt′ψsdBs|- ||. （4.27）如果没有IAj|+Zt′ψsdBs|- ||≥ 0我们选择x=XK作为任何k∈ 1.J- 1并为分区{A，{An}获得：={A，…，Ak-1，Ak∪ Aj，Ak+1。

阿杰-1，Aj+1，An+1}（4.28）和{y，…，yn}:={x，…，xk-1，xk，xk+1，xj-1，xj+1，xn+1}（4.29）thatEP“nXi=1IAiyi+|+Zt′ψsdBs|#= EP“n+1Xi=1ai~xi+|+Zt′ψsdBs|#< EP“n+1Xi=1ai（~xi+|||）#=EP”nXi=1I | Ai（yi+||）#，（4.30）与归纳假设相矛盾。伊菲普IAj|+Zt′ψsdBs|- ||< 对于任意k，我们得到x=xk的（4.30）∈ j+1，n+1。引理4.13。在引理4.12的假设下，对于任何ηt∈ 它表示“nXi=1ai（xi+|+ηthBit-2G（ηt）t |）#==supσ∈AΘ0，tσ常数σ“nXi=1ai（xi+|+ηthBit- 2G（ηt）t |）#==EPσ*“nXi=1ai（xi+|+ηthBit- 2G（ηt）t |）#，对某些人来说*∈ [σ, σ].证据我们指的是简单-Kt:=ηthBit- 2G（ηt）t、 然后再次进行归纳，使用与引理4.12相同的约定。特别是，这里我们还假设{x，…，xn}都是不同的，并且越来越有序。n=1的情况很清楚，因为（2.4），如下所示：HBi最大程度地分布。假设现在存在一个P∈ P、 不在{Pσ，σ∈ [σ，σ]，σ常数}，使得ep“n+1Xi=1ai（xi+|）- Kt |）#>EPσ*“n+1Xi=1ai（xi+|）- Kt |）#。（4.31）表达式（4.31）暗示存在j∈ {1，…，n+1}这样Ephiaj（xj+|）- Kt |）i>EPσ*hIAj（xj+|- Kt |）i，（4.32），相当于P（Aj）- Pσ*（Aj）xj+2xjEPIAj |- Kt|- EPσ*IAj |- Kt|++ EPIAj |- Kt|- EPσ*IAj |- Kt|> 注意，为了使（4.32）保持不变，我们必须有P（Aj）- Pσ*（Aj）>0。这意味着（4.33）在xj中是一个凸函数，它倾向于从xjtends到in FINITY。在引理4.12中，我们通过用另一个合适的值替换xj，将（4.31）减为n个不同项的和，从而得出一个矛盾。

我们注意到（4.31）相当于p“n+1Xi=1ai（~xi+|）- Kt |）#>EPσ*“n+1Xi=1ai（~xi+|）- Kt |）#+EPσ*hIAj（xj+|- Kt |）i-EPσ*hIAj（x+|- Kt |）i+EPhIAj（x+|- Kt |）i-EPhIAj（xj+|- Kt |）i，（4.34）其中x∈ R和{x，…，~xn+1}代表在引理4.12中xjhas被x as取代的新序列。最后，我们考虑了σ*hIAj（xj+|- Kt |）i- EPσ*hIAj（x+|- Kt |）i>EPhIAj（xj+|）- Kt |）i- EPhIAj（x+|- Kt |）i，相当于pσ*IAj（xj- x） （xj+x+2 |- Kt |）>EPIAj（xj-x） （xj+x+2 |- Kt |）.（4.35）如果x>xj，（4.35）满足ifEPσ*IAjxj+x+|- Kt|< EPIAjxj+x+|- Kt|,在图中与P（Aj）- Pσ*（Aj）xj+x>EPσ*IAj |- Kt|- EPIAj |- Kt|.（4.36）在这一点上，如果存在一个x=xk满足（4.36），其中k∈ {j+1，…，n+1}，pro的结论是，我们将得到“nXi=1I＠Ai（yi+|）- Kt |）#=EP“n+1Xi=1ai（~xi+|491;）- Kt |）#>EPσ*“n+1Xi=1ai（~xi+|）- Kt |）#=EPσ*“nXi=1I＠Ai（yi+|）- Kt |）#，其中{Ai}i=1，。。。，nand{yi}i=1，。。。，奈尔分别在（4.28）和（4.29）中引入。如果这样的xkdoes不存在，比如j=n+1，我们首先用xr替换一些xi，其中i6=r和i，r∈ {1，…，n+1}\\j，如（4.34）所示，然后我们用一个足够大的x来代替xj，以满足σ*hIAj（xj+|- Kt |）i-EPσ*hIAj（x+|- Kt |）i+EPhIAj（x+|- Kt |）i- EPhIAj（xj+|- Kt |）i+EPσ*嗨（xi+|）- Kt |）i- EPσ*hIAi（xr+|- Kt |）i+EPhIAi（xr+|- Kt |）i- 伊菲艾（xi+|）- Kt |）i>0。（4.37）这是可能的，因为*hIAj（xj+|- Kt |）i- EPσ*hIAj（x+|- Kt |）i+EPhIAj（x+|- Kt |）i- EPhIAj（xj+|- Kt |）i>0相当于（4.36），由于（4.33），它的值可以大到足以确保（4.37）。我们现在可以陈述主要结果。定理4.14。

考虑一个形式为H=EG[H]+ZtθsdBs+ηt的索赔HhBit-2G（ηt）t+ηthBit-2G（ηt）t、 其中0=t<t<t=t，（θs）s∈[0，t]∈ MG（0，t），ηt∈ R、 ηt∈ LG（Ft）和|ηt |=EG[|ηt |]+ZtusdBs，（4.38）对于特定过程ss（us）s∈[0，t]∈ MG（0，t）。最优均值方差组合由φ给出*tXt=θt-ut（σ）- σ)TI（t，t）（t）+θtI（t，t）（t）代表t∈ [0，T]与v*= 例如[H]-(σ- σ)tEG[|ηt |]- ，哪里∈ R solvesinfEG“|ηt |（σ）- σ)t+|+ηthBit- 2G（ηt）t|#.证据通过与命题4.9相同的论证，我们得出结论：*sXs=θs s∈ （t，t]并关注以下表达式f，ψEG“|ηt |（σ）- σ)t+|+ZtψsdBs+ηthBit-2G（ηt）t|#,（4.39）式中，和ψ如（4.22）和（4.23）所示。让我们∈Nbe一个近似于|ηt |（σ）的随机变量序列-σ)tin LG（Ft）如引理4.11所示，其中Yn=Pn-1i=0IAi，nyi，n，n∈ N、 其中{Ai，N}i=0，。。。，N-1.这是Ohm ,哎呀∈ 易建联∈ R+。现在考虑辅助问题leminf，ψEG“Yn+|+ZtψsdBs+ηthBit-2G（ηt）t|#.每n∈ N和任何可容许的我们可以导出下列不等式Yn+|+ZtψsdBs+ηthBit- 2G（ηt）t|#≥≥ supσ∈[σ，σ]EPσ“Yn+|+ZtψsdBs+ηthBit-2G（ηt）t|#≥ supσ∈[σ，σ]EPσh（Yn+|+ηthBit- 2G（ηt）t |）i（4.40）=EGh（Yn+|+ηthBit- 2G（ηt）t |）i.（4.41）由于L emma 4.12，不等式（4.40）是明确的，因为Pσ：=+ηthBit- 2G（ηt）对于每一个σ，都是常数Pσ-a.s∈ [σ，σ]自从hBit=σtPσ-a.s.和yi，n∈ R+n、 平等（4.41）直接来自艾玛4.13。因此我们可以得出结论，对于每n∈ N和任何可容许的，例如“Yn+|+ZtψsdBs+ηthBit- 2G（ηt）t|#≥ EGh（Yn+|+ηt）hBit- 2G（ηt）t |）i.（4.42）By（4.42）我们通过让n→ ∞ “那是什么？”|ηt |（σ）- σ)t+|+ZtψsdBs+ηthBit- 2G（ηt）t|#≥ 例如“|ηt |（σ）-σ)t+|+ηthBit- 2G（ηt）t|#,对于任何可容许的和任何ψ∈ MG（0，t），因为Ynto |ηt |（σ）的LG收敛- σ)T

这在turn中意味着inf，ψEG“|ηt |（σ）- σ)t+|+ZtψsdBs+ηthBit- 2G（ηt）t|#≥ infEG“|ηt |（σ）- σ)t+|+ηthBit- 2G（ηt）t|#.作为一个特殊的例子，我们现在得到了eorem 4.14中介绍的特定索赔类型的均值-方差最优投资组合的表达式，对于该表达式，我们也能够明确地确定最优初始财富V*.例4.15。考虑以下形式的权利要求H=EG[H]+ZtθsdBs+ηthBit-2G（ηt）t+ηthBit-2G（ηt）t、 其中0=t<t<t=t，（θs）s∈[0，t]∈ MG（0，t），ηt∈ R+，ηt∈ LG（Ft）和|ηt |=exp英国电信-hBit= 1+ZteBs-hBisdBs。（4.43）此外，假设teσT≥ ηtt+t、 （4.44）最优均值-方差组合由xtφ给出*t=θt-eBt-hBit（σ）- σ)TI（t，t）（t）+θtI（t，t）（t）代表t∈ [0，T]与v*= 例如[H]-(σ- σ)t、 （4.45）证据。到第4.14节时，我们只需找到g”（σ）的上限- σ)特伯特-hBit+|+ηthBit- 2G（ηt）t |！#。（4.46）因为表达式（4.46）总是大于“EG”(σ- σ)特伯特-hBit#=(σ- σ)tEGhe2Bt-hBiti=（σ）- σ)tEPσhe2Bt-hBiti=（σ）- σ)teσt、 我们证明了（4.45），证明了当选择=0时，数量（4.46）达到了这个下限。为此，我们必须证明supσ∈AΘ0，tEP“(σ- σ)teRtσsdWs-Rtσsds+ηt | Zt（σs-σ） ds|#=例如“(σ-σ)特伯特-hBit+|ηthBit- 2G（ηt）t|#=例如“(σ-σ)特伯特-hBit#,式中，AΘ0，t表示[0，t]上的F-适应p过程集取[σ，σ]。如果“不平等”是成立的(σ- σ)teRtσsdWs-Rtσsds+ηtZt（σ- σs）ds#≤(σ- σ)teσt（4.47）对任何σ进行了验证∈ AΘ0，t。

As（4.47）成立的当且仅当我们有（σ）-σ)TeRtσsdWs-Rtσsds+eσT+ ηtZt（σ）- σs）ds·(σ- σ)TeRtσsdWs-Rtσsds-eσT+ ηtZt（σ）- σs）ds#≤ 0，我们通过证明上一个表达式是由上面的bylimN限定的来完成证明→∞C（N）EP“（σ-σ)TeRtσsdWs-Rtσsds- eσT+ ηtZt（σ）- σs）ds！I{RtσsdWs<N}#≤ 画→∞C（N）(σ- σ)T1.- eσT+ ηtEPZt（σ）-σs）ds≤ 画→∞C（N）(σ- σ)T1.- eσT+ ηt（σ）- σ)< 0，其中最后一个不等式来自条件（4.44），C（N）是每个N的正常数f∈ N.通过推广|ηt |的分解，扩展定理4.14的结果，从而完成我们方案的第二步，是非常简单的。定理4.16。考虑一个形式为H=EG[H]+ZtθsdBs+ηt的索赔HhBit-2G（ηt）t+ηthBit-2G（ηt）t、 其中0=t<t<t=t，（θs）s∈[0，t]∈ MG（0，t），ηt∈ R、 ηt∈ LG（Ft）和|ηt |=EG[|ηt |]+ZtusdBs+ξthBit- 2G（ξt）t、 （4.48）对于特定过程（us）∈[0，t]∈ MG（0，t）和ξt∈ R.最优均值-方差组合由φ给出*tXt=θt-ut（σ）- σ)TI（t，t）（t）+θtI（t，t）（t）和v*= 例如[H]-(σ- σ)tEG[|ηt |]- ，哪里∈ R solvesinfEG“|ηt |（σ- σ)t+ +ηt-(σ- σ） ξtThBit+- 2.G（ηt）-(σ- σ)tG（ξt）T!#.证据证明遵循与定理4.14相同的步骤，省略。终端风险的5个界一般分段常数情况的扩展要复杂得多。然而，鉴于第4节的明确成果，为了获得一般结果，研究|ηt |=|η|+ZtusdBs情况下的均值-方差问题至关重要，对于每个t∈ [0，T]，带（uT）T∈[0，T]∈ MG[0，T]。作为对这个问题的部分回答，我们在这里提供了最优终端风险的上下限。引理5.1。

考虑一个形式为H=EG[H]+ZTθsdBs+ZTηsdhBis的索赔H-2ZTG（ηs）ds，其中（θs）s∈[0，T]∈ MG（0，T），（ηs）s∈[0，T]∈ MG（0，T）和|ηT |=|η|+ZtusdBs，对于特定过程（us）s∈[0，T]∈ MG（0，T），每T∈ [0，T]。最优终端风险（3.2）位于封闭区间[J（V，φ），J（V，φ）]，其中J（V，φ）=嗯-RTηsdhBis+2RTG（ηs）dsi=例如[KT],J（V，φ）=EG“(σ- σ） ZT |ηs | ds#.证据我们从计算J（V，φ）的上界开始：EG“例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds#≤ 例如“例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs∨例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs- (σ- σ） ZT |η| sds#（5.1）=例如“例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs∨例如[H]- 五+- |η|(σ- σ） T+ZTθs- φsXs- （T）- s） （σ）- σ） us星展银行#,（5.2）我们使用的是ztηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds∈ [-(σ- σ） ZT |η| sds，0]in（5.1）和th atZT |η| sds=ZT|η|+ZsuudBuds=|η| T+ZTZsuudb=|η| T+TZTusdb-ZTsusdBs=|ηT+ZT（T- s） usdBsin（5.2）。我们现在通过设置：=EG[H]来执行命题4.9中所示的变量变化- 五、-T（σ）- σ） |η|，ψt:=θt- φtXt-（T）- s） （σ）- σ） ut，重写（5.2）asEG“T（σ）- σ） |η|+ZT（T- s） （σ）- σ） uSDB++ZTψsdBs#=例如“(σ- σ） ZT |η| sds++ZTψsdBs#当=0和dψ时，这是最小的≡ 0，另请参见4.9提案的pro。另一方面，通过G-Jensen不等式得到了一个下界。如定理4.7所示，我们得到以下不等式链例如[H]- V+ZT（θs）- φsXs）dBs+ZTηsdhBis- 2ZTG（ηs）ds#≥（例如[H]- V）∨例如[H]- V+EG-ZTηsdhBis+2ZTG（ηs）ds(5.3)≥嗯-RTηsdhBis+2RTG（ηs）dsi, （5.4）我们在（5.3）中使用了命题2.8，并选择了“V=EG[h]-嗯-RTηsdhBis+2RTG（ηs）dsito使Vand获得的表达式最小化（5.4）。参考文献[1]P.卡尔和R.李。Robus t复制波动性衍生品。《金融中的数学》工作论文系列，纽约大学数学科学研究所，2008年。[2] L.丹尼斯、M.胡和S.彭。

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