加法均值-方差套期保值的一种闭式表示

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《A closed-form representation of mean-variance hedging for additive
processes via Malliavin calculus》
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作者：
Takuji Arai and Yuto Imai
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We focus on mean-variance hedging problem for models whose asset price follows an exponential additive process. Some representations of mean-variance hedging strategies for jump type models have already been suggested, but none is suited to develop numerical methods of the values of strategies for any given time up to the maturity. In this paper, we aim to derive a new explicit closed-form representation, which enables us to develop an efficient numerical method using the fast Fourier transforms. Note that our representation is described in terms of Malliavin derivatives. In addition, we illustrate numerical results for exponential L\\\'evy models.
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中文摘要：
我们主要研究资产价格服从指数加性过程的模型的均值-方差套期保值问题。已经提出了跳跃型模型的均值-方差套期保值策略的一些表示，但没有一种表示方法适合开发任何给定时间到到期的策略值的数值方法。在本文中，我们的目标是导出一种新的显式闭式表示，这使我们能够利用快速傅立叶变换开发一种有效的数值方法。请注意，我们的表示是用Malliavin导数描述的。此外，我们还举例说明了指数L趵evy模型的数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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A_closed-form_representation_of_mean-variance_hedging_for_additive_processes_via.pdf
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能者818

2022-5-31 04:53:34

基于Malliavin calculusTakuji Arai的可加过程均值方差套期保值的闭式表示*和Yuto Imai+2021年6月28日摘要我们关注资产价格遵循指数加性过程的模型的均值-方差套期保值问题。跳跃型模型的均值-方差对冲策略的一些表示已经被推荐，但没有一种适合于开发任何给定时间到到期的策略值的数值方法。在本文中，我们旨在推导一种新的显式闭合形式表示，这使我们能够利用快速傅立叶变换开发一种有效的数值方法。请注意，我们的表示是用Malliavin导数描述的。此外，我们还说明了指数L'evy模型的数值结果。关键词：均值-方差对冲、加性过程、Malliavin演算、快速傅立叶变换。AMS 2010主题分类：91G20,60H07,91G60.1简介不完全市场中或有权益的套期保值问题是数学金融的核心。事实上，针对不完全市场提出了许多套期保值方法。最重要的是，我们关注均值-方差套期保值（MVH）问题，这一问题已经被很好地研究了大约三十年。然而，由于MVH策略的任何现有表示都不适合计算，因此尚未开发出跳跃型模型在任何给定时间之前的MVH策略值的数值方法。因此，我们的目标是推导指数加性模型的一种新表示，这使得开发有效的MVH数值方法成为可能*庆应义塾大学经济系，2-15-45 Mita，Minato ku，Tokyo，108-8345，Japan(arai@econ.keio.ac.jp，电话：+81-3-5427-1411，传真：+81-3-5427-1578）+早稻田大学数学系，3-4-1 Okubo，Shinjyuku，Tokyo 169-8555，Japan（y。imai@aoni.waseda.jp)战略。

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能者818

2022-5-31 04:53:47

此外，在【11】中获得的封闭形式表示也不适合为任何给定时间t开发有效的数值模式∈ [0，T]有以下两个原因：首先，它们的闭式表示是使用一般随机指数作为反馈形式的直接扩展，也就是说，为了计算θHt，仍然需要一个涉及的递归计算。其次，关于S的二次变化的随机积分包含在其闭合形式表示中，但S的二次变化是不可观测的。因此，为了开发一种有效的数值方法，我们需要导出一种新的显式闭式表示，其中不包括关于不可观测数据的随机积分。这是本文的第一个主要目的。为此，利用[4]的结果，我们得到了L'evy过程的Malliavin演算的EθHbymeans表示。此外，我们依赖于[1]的参数，该参数基于与FSdecomposition不同的H分解。作为我们表示的另一个优点，如例3.5和3.6所示，涵盖了路径依赖，而[11]排除了它们。利用获得的EθH的闭合形式表示，我们将开发基于anFFT的数值方法来计算任意给定t∈ [0，T]对于指数L'evy模型。有一些关于跳跃型模型的MVH策略数值分析的文献，如De Franco等人[8]、[9]、[11]等，所有这些文献都计算了初始套期保值或MVH策略引起的套期保值误差，或两者都单独计算，但没有人针对任何给定的∈ 据我们所知。最困难的是EθHtis取决于S到时间t的整个轨迹-. 然而，从实用的角度来看，我们无法连续观察S的轨迹。

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大多数88

2022-5-31 04:53:50

因此，我们使用S的离散观测数据近似计算θhts。本文发展的数值方法具有以下三个特点。首先，我们的方法不需要任何涉及的递归计算，尽管需要一个简单的递归计算来计算离散指数。其次，我们仅使用S的离散观测数据，换句话说，我们的方法不需要任何不可观测的数据。第三，我们利用Arai等人[3]的结果，该结果利用[4]的结果为指数L'evy模型开发了基于FFT的LRM策略数值方案。原则上，计算MVH策略非常耗时，因为它的表达式包含随机积分。然而，基于FFT的方法使我们能够实现高速计算。本文概述如下：第2节给出了模型描述和数学预备知识。特别地，我们介绍了L'evy过程的方差最优鞅测度和Malliavin演算。第3节介绍了主要结果及其证明。第3.2小节介绍一些示例。第4节致力于发展数值格式并介绍数值结果。2准备工作2.1模型描述我们考虑的整个金融市场由一个风险资产和一个无风险资产组成，有限时间范围T>0。为简单起见，我们假设市场利率为0，即无风险资产集的价格始终为1。让(OhmW、 FW，PW）是[0，T]上的一维维纳空间；和Wits坐标映射过程，即W=0的一维标准布朗运动。(OhmJ、 FJ，PJ）表示具有L'evy测度ν的纯跳跃L'evy过程J在[0，T]上的正则L'evy空间，即，OhmJ=∪∞n=0（[0，T]×R）n，其中Jt（ωJ）=∑ni=1zi{ti≤t} 对于t∈ [0，T]和ωJ=（（T，z）。

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何人来此

2022-5-31 04:53:52

，（tn，zn））∈ 注意，（[0，T]×R）表示一个空序列。有关正则L'evy空间的更多详细信息，请参见Sol'e等人【20】。现在，我们假设rrzν（dz）<∞; 并表示(Ohm, F、 P）=(OhmW×OhmJ、 FW×FJ、PW×PJ）。设F={Ft}t∈[0，T]是P完成的规范过滤。设X是以平方可积为中心的L'evy过程(Ohm, F、 P）表示为XT=Wt+Jt- tZRzν（dz）。用N表示定义为N（t，A）的泊松随机测度：=∑s≤助教(Xs），A∈ B（R）和t∈ [0，T]，其中Xs：=Xs- Xs型-, 我们有Jt=RtRRzN（ds，dz）。此外，我们定义了其补偿度量aseN（dt，dz）：=N（dt，dz）-ν（dz）dt。因此，X表示为xt=Wt+ZtZRzeN（du，dz）。（2.1）假设风险资产的波动由以下随机微分方程的解给出：dSt=St-αtdt+βtdWt+ZRγt，zeN（dt，dz）, S> 0，（2.2）其中α和β是[0，T]上的确定性可测函数，γ是[0，T]×R上的确定性联合可测函数。此外，我们表示ΓT：=ZRγT，zν（dz），λT：=αtSt-（βt+Γt）表示t∈ [0，T]。现在，我们在本文中假设如下：假设2.1 1。γt，z>-任何（t，z）为1∈ [0，T]×R.2。支持∈[0，T]（|αT |+βT+ΓT）<C，对于某些C>0.3。存在ε>0，使得λtSt-γt，z<1- ε和βt+Γt>ε，（t，z，ω）-a.e.备注2.2 1。在假设2.1下，（2.2）有一个解S满足所谓的结构条件（SC），即S具有以下三个性质：（a）S是空间S的半鞅，即一个特殊的半鞅，其正则分解S=S+M+a[M] 1/2T+ZT | dAs|L（P）<∞, （2.3）其中dMt=St-（βtdWt+RRγt，zeN（dt，dz））和dAt=St-αtdt。（b）我们有A=RλdhMi。（c）均值-方差权衡过程bkt：=Rtλsdhmis fite，即bKTis fite P-a.s。SC与无套利条件密切相关。有关theSC的更多详细信息，请参见[18]和[19]。2.

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nandehutu2022

2022-5-31 04:53:56

processbK和A是连续的。特别是，bK是确定性的。3.（2.3）表示支持∈[0，T]| St |∈ L（P）根据Protter的定理V.2【16】。假设2.1中的第1项确保了S的正性。因此，在假设2.1下，S是加性过程的指数，即其对数对数对数具有以下特性：（a）（概率连续）：对数没有固定的不连续时间。（b）（独立增量）：对数（St）- log（St）独立于Ftfor0≤ t<t≤ T、 2.2方差最优鞅测度在本小节中，我们讨论了方差最优鞅测度，这是讨论MVH策略必不可少的。粗略地说，方差最优鞅测度定义为一个等价鞅测度，其密度最小化其L（P）-范数。我们从可接受策略的定义开始。我们用所有R值可预测S-可积过程的空间表示，这些过程的随机积分是空间S的半鞅。在本文中，weregard是所有可容许策略的集合。备注假设2.1：=θR值可预测S-可积过程：EZTθuSu-杜邦< ∞接下来，我们将方差最优鞅测度定义如下：定义2.3（Schweizer[17]第1节）1。签名度量Q on(Ohm, F）称为有符号Θ-鞅测度，如果Q(Ohm) = 1，Q P、 dQ/dP∈L（P）和dQdP·GT（θ）= 0对于任何θ∈ 式中，GT（θ）=RTθudSu。我们用Ps（Θ）表示所有有符号的Θ-鞅测度集，Ds（Θ）：={dQ/dP | Q∈ Ps（Θ）}。2、Q∈ 如果Ps（Θ）是与P.3等价的概率测度，则称其为等价鞅测度。

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kedemingshi

2022-5-31 04:53:59

一个等价鞅测度P*∈ Ps（Θ）称为方差最优鞅测度，如果其密度dP*/dP使整个D中的kDkL（P）最小化∈Ds（Θ）。我们将证明方差最优鞅测度是由概率测度P给出的*定义的asdP*dP=ET-Z·λudMu式中，E（Y）表示Y的随机指数，即，随机微分方程dEt（Y）=Et的解-（Y） dYtwith E（Y）=1。从今以后，我们表示D*:=数据处理*dp和Zt：=Et(-R·λudMu）。注意，Z是假设2.1下的正平方可积鞅，如[4]的示例2.8所示，即P*是一个等价的鞅测度。我们证明以下命题，以确保我们的设置满足[1]中的所有标准假设。命题2.4在假设2.1下，我们有以下内容：1。P*是方差最优鞅测度。2.Z满足反向H¨older不等式R（P），即存在常数C>0，因此，对于任何停止时间τ≤ T、 “我们有”ZTZτFτ#≤ C、 3。存在一个C>0，这样Zt-≤ CZT适用于任何t∈ [0，T]。证据要查看第1项，我们定义为：=EP*[D]*|英尺]。注意EZT=D*andeZ=E[（D*)]. 现在，我们计算Ez如下：eZt=EP*ET公司-Z·λudMu英尺= 经验值ZTλudAuEP公司*ET公司-Z·λudSu英尺= 经验值ZTλudAuEt公司-Z·λudSu= E[（D*)]Et公司-Z·λudSu对于任何t∈ [0，T]，sinceR·∧udau由备注2.2确定。请注意，eZ是以下方程式的解：eZt=eZ-茨特祖-λudSu。对于任何Q∈ Ps（Θ），我们有dQdPL（P）=dQdP- D*L（P）+2EdQdPD公司*- 杜兰特*kL（P）≥ 2尺寸dQdPET-Z·λudSu-eZ=eZ，第1项紧随其后。从Choulli等人的命题3.7来看，第2项是正确的。此外，由于我们可以找到ε>0，因此λtMt<1- ε对于任何t∈ [0，T]由于假设2.1的第3项，我们有Zt/Zt-= 1.- λtMt>1- （1）- ε） =ε，其中第3项紧随其后。备注2.5上述证明的本质在于RTλudAu（=bKT）是确定性的。

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nandehutu2022

2022-5-31 04:54:03

一般来说，在确定性条件下，方差最优鞅测度与最小鞅测度重合，最小鞅测度被定义为等价鞅测度，在此等价鞅测度下，与M正交的任何平方可积P-鞅都是鞅。实际上，[4]中的示例2.8表明*是最小鞅测度。注意，在LRM方法中，最小鞅测度是必不可少的。现在，我们准备了一些符号以供以后使用。Girsanov定理意味着wp*t： =Wt+ZtλuSu-P下的一维标准布朗运动*. 此外，表示νP*t（dz）：=（1- λtSt-γt，z）ν（dz），（2.4）和NP*（dt，dz）：=N（dt，dz）- νP*t（dz）dt用于t∈ [0，T]和z∈ R、我们有EP*亨普*（A，B）对于任何A，i=0∈ B（[0，T]）和B∈ B（R）。因此，我们可以重写随机微分方程（2.2）asdSt=St-βtdWP*t+ZRγt，zeNP*（dt，dz）, S> 0。（2.5）2.3 Malliavin演算本文的目的之一是根据L'evy过程的Malliavin演算获得MVH策略的闭式表示。现在，我们介绍一些与Malliavin微积分相关的符号和定义。我们采用了[20]提出的规范L'evy空间框架，这是（2.1）中给出的L'evy过程X上的Malliavincalculus。首先，我们定义了[0，T]×R asq（E）：=ZEδ（dz）dt+ZEzν（dz）dt，和Q（E）：=ZEδ（dz）dWt+ZEzeN（dt，dz），其中E∈ B（[0，T]×R），δ是0处的狄拉克测度。对于n∈ N、我们用LT，q，N乘积可测的确定性函数集f表示：（[0，T]×R）N→ R满足k f kLT，q，n：=Z（[0，T]×R）n | f（（T，Z），··，（tn，zn））| q（dt，dz）···q（dtn，dzn）<∞.对于n∈ N和f∈ LT，q，n，we定义（f）：=Z（[0，T]×R）nf（（T，Z），··，（tn，zn））q（dt，dz）··q（dtn，dzn）。形式上，我们表示LT，q，0：=R，I（f）：=f表示f∈ R

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能者818

2022-5-31 04:54:06

在此设置下，任何F∈ L（P）具有唯一的表示F=∑∞n=0英寸（fn），带功能fn∈ 在n对（ti，zi）中对称的LT，q，nth，1≤ 我≤ n、我们有=∑∞n=0n！k fnkLT，q，n。现在，我们定义了一个Malliavin导数算子Das如下：定义2.6 1。设D1,2denote随机变量集F∈ L（P）带F=∑∞n=0英寸（fn）满足∑∞n=1nn！k fnkLT，q，n<∞.2、对于任何F∈ D1,2，DF：[0，T]×R×Ohm → R由DT、zF定义=∞∑n=1nIn-1（fn（（t，z），·））表示q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×R，P-a.s.Let H∈ L（P）是一个随机变量，表示对冲索赔的收益。除假设2.1外，我们还假设如下：假设2.7 1。ZTH公司∈ L（P）。2、H∈ D1、2和ZTDt、zH+HDt、zZT+zDt、zH·Dt、zZT∈ L（q×P）。请注意，假设2.7对H没有限制。事实上，许多典型的权利要求在第3.2小节所述的温和条件下满足假设2.7。在假设2.1和2.7下，【4】的示例3.9意味着H被描述为ash=EP*[H] +ZTItdWP*t+ZTZRJt，zeNP*（dt，dz），（2.6），其中：=EP*[Dt，0H | Ft-], 和Jt，z：=EP*[zDt，zH | Ft-] 对于t∈ [0，T]和Z∈ R、现在，为了以后使用，我们另外表示Kt：=RRJt，zγt，zν（dz）和ht：=EP*[高|英尺]=EP*[H] +ZtIudWP*u+ZtZRJu，zeNP*（du，dz）用于t∈ [0，T]。3主要结果在本节中，我们得出了针对aclaim H的MVH策略的闭合表达式∈ L（P）在Malliavin导数方面。如引言所述，H的MVH策略定义为一对（ecH，eθH）∈ R×Θwhichminimizesminc∈R、 θ∈ΘEh（H- c- GT（θ））i。

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何人来此

2022-5-31 04:54:09

（3.1）第3.1小节给出了以下定理，第3.2小节将介绍一些示例。定理3.1在假设2.1和2.7下，MVH策略（ecH，eθH）∈ R×Θ索赔H∈ L（P）以闭合形式表示，asecH=EP*[H] andeθHt=eξHt+λtEt-Zt公司-dHu-eξHudSuEu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）欧盟-（βu+Γu）du（3.2）对于t∈ [0，T]，其中Et：=eZt/eZ=Et(-R·λudSu）和ξHt：=βtIt+KtSt-（βt+Γt）。（3.3）备注3.2如【4】所示，（3.3）中定义的eξHde代表权利要求H的LRM策略，即，对于每个t∈ [0，T]，eξh给出了T时LRM策略中风险资产的份额。备注3.3 Benth等人[5]在假设S是鞅的情况下，使用Malliavin演算forL’evy过程处理MVH策略。这一假设非常有限，简化了问题。例3.4（指数L'evy模型）作为S的一个典型和简单的模型框架，我们考虑指数L'evy模型，即，log（St/S）是表示为log（St）的L'evy过程的情况- 对数=ut+σWt+ZRzeN（[0，t]，dz）表示t∈ [0，T]，其中u∈ R、 σ≥ 在假设2.1下，S是以下随机微分方程的解：dSt=St-uSdt+σdWt+ZR（ez- 1） eN（dt，dz）,式中，uS=u+σ+RR（ez- 1.- z） ν（dz）。另外假设假设2.7，根据定理3.1eθHt=eξHt+u集-苏-（σ+Γ）Zt公司-dHu-eξHudSuEu+Zt-uSσ（ΓIu- σKu）Eu-（σ+Γ）du,（3.4）式中，Γ：=RR（ez- 1） ν（dz）。如【4】所示，条件Zrnz+（ez- 1） oν（dz）<∞第3.2小节中引入的期权的担保假设2.7。此外，[3]还介绍了一种数值方法来计算H是全部期权的情况下的Kt，Htandeξht。3.1定理3.1的证明步骤1：[1]对于更一般的间断半鞅模型，得到了与[11]类似的反馈形式表示。在[1]中，他定义了一种新的H分解，它不同于FS分解。

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何人来此

2022-5-31 04:54:13

备注【1】处理了以下最小化问题，而不是（3.1）：minθ∈ΘEh（H- GT（θ））i.（3.5）现在，我们介绍一下[1]中的论点大纲，作为准备步骤。回想一下，假设2.1下，命题2.4成立。这一事实确保我们的设置满足[1]中的假设1。因此，（3.5）的解存在，我们用bθH表示它∈ Θ。我们定义了一个新的概率度量asdeQdP*=eZTeZ=ET-Z·λudSu.如【1】的（4.7）所示，H允许以下分解：H=EP*[H] +GT（bηH）+bNHT，（3.6），其中bηH∈ Θ，和B这是一个P*-bnh=0的鞅。此处表示为BNHT=ZteZu-dbLHu+[eZ，bLH]t（3.7），带平方可积鞅bLH。注意，processesblhandblh两者都是P*-鞅。请注意，分解（3.6）在我们的设置中既不是渡边功也不是FS。此外，[1]中的（4.5）规定bθHis由bθHt=bηHt+EP给出*[H] λtEt-+bLHt公司-λteZt-. （3.8）步骤2：将H替换为（3.5）中的常数1，我们考虑以下最小化问题：minθ∈ΘEh（1- GT（θ）i.（3.9）出租bθt：=λtEt-, 我们有∈ Θ，自E[RT（bθ）uSu-du]≤ CE【ZT】<∞对于某些C>0。此外，我们还有1个- GT（bθ）=ET，E[ETGT（θ）]=eZ-1E[eZTGT（θ）]=eZ-1EP*[GT（θ）]=0表示任何θ∈ Θ，E[ET]=E[ET（1- GT（bθ））]=E[ET]。因此，我们得到[（1- GT（θ））]=E[（GT（θ）- GT（bθ））]+2E[ET（1- GT（θ））]- E[（1- GT（bθ））]≥ 2E【ET】- E[（1- GT（bθ））]=E[（1- GT（bθ））]适用于任何θ∈ 这意味着bθ是（3.9）的解。因此，Hou和Karatzas【10】的定理4.2意味着ech=EP*[H] ，和BθH-c=bθH- cbθ对于任何c∈ R、其中bθH-cis以下最小化问题的解决方案：minθ∈ΘEh（H- c- GT（θ））固定c∈ R、因此，我们从（3.8）eθHt=bθH-ecH=bθH- EP公司*[H] bθ=bηHt+bLHt-λteZt-. （3.10）步骤3：我们所要做的就是导出bηHandbLH的表示。为此，我们准备了一些符号。

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mingdashike22

2022-5-31 04:54:18

Girsanov定理意味着（WeQt：=WP*t+RtλuSu-βudueNeQ（dt，dz）：=eNP*（dt，dz）+λtSt-γt，zνP*t（dz）dt分别是eq下的一维布朗运动和N的补偿泊松随机测度。从Eq（Jacod和Shiryaev[12]的定理III.4.34）下的鞅表示性质来看，bLHis描述为，对于任何∈ [0，T]，bLHt=ztblwudeq+ZtZRblNu，zeNeQ（du，dz）（3.11），对于一些可预测的过程blwandbln。由于产品工艺在P*, 我们得到了βtblWt+ZRγt，zblNt，zνP*t（dz）=0（3.12），对于任何t∈ [0，T]。因此，我们可以重写（3.11）为BLHT=ZtblWudWP*u+ZtZRblNu，zeNP*（du，dz）。（3.13）接下来，（3.7）提供BNHT=ZTeZu-blWudWP公司*u+ZTZReZu-blNu，z（1- λuSu-γu，z）eNP*（du，dz），（3.14），因为条件（3.12）和（2.5）意味着[eZ，bLH]T=-ZTλueZu-d【S，bLH】u=-ZTλueZu-苏-βublWudu+ZRγu，zblNu，zN（du，dz）= -ZTλueZu-苏-ZRγu、zblNu、zeNP*（du，dz）。然后，（3.6）与（2.5）和（3.14）一起提供H=EP*[H] +ZT（bηHuSu-βu+eZu-blWu）dWP*u+ZTZRbηHuSu-γu，z+eZu-blNu，z（1- λuSu-γu，z）eNP公司*（du，dz）。（3.15）将（3.15）与（2.6）进行比较，我们得到∈ [0，T]，（bηHtSt-βt+eZt-blWt=It，bηHtSt-γt，z+eZt-blNt，z（1- λtSt-γt，z）=Jt，z，（3.16），其中yieldsblWt=eZt-（It-bηHtSt-βt），和blnt，z（1- λtSt-γt，z）=eZt-Jt，z-bηHtSt-γt，z.使用（2.4）和（3.12）求解方程（3.16）onbηHby，wehavebηHt=βtIt+KtSt-（βt+Γt）。（3.3）意味着BηHcoincides with EξH，这是H的LRM策略。因此，我们得到BLWT=eZt-ΓtIt- βtKtβt+Γtas以及blnt，z（1- λtSt-γt，z）=eZt-Jt，z-βtIt+Ktβt+Γtγt，z.因此，（3.13）意味着DBLHT=eZt-ΓtIt- βtKtβt+ΓtdWP*t+eZt-ZRJt，z-βtIt+Ktβt+Γtγt，z1- λtSt-γt，zeNP*（dt，dz）。

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kedemingshi

2022-5-31 04:54:21

（3.17）步骤4：从（3.10）和（3.17）的观点出发，我们计算θhas如下：eθHt=bηHt+bLHt-λteZt-=eξHt+λteZt-Zt公司-埃祖-ΓuIu- βuKuβu+ΓudWP*u+Zt-兹雷祖-1.- λuSu-γu，zJu，z-βuIu+Kuβu+Γuγu，zeNP公司*（du，dz）=:eξHt+λteZt-（ΞWt-+ ΞNt-).我们有ΞWt-=Zt公司-埃祖-ΓuIu- βuKuβu+ΓudWP*u=Zt-IueZu公司-dWP公司*u-Zt公司-βuIu+Kuβu+ΓuβueZu-dWP公司*u=Zt-IueZudWP*u-Zt公司-eξ霍祖苏-βudWP*u、（3.18）和ΞNt-=Zt公司-兹雷祖-1.- λuSu-γu，zJu，z-βuIu+Kuβu+Γuγu，zeNP公司*（du，dz）=Zt-兹雷祖-1.- λuSu-γu，z（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）=Zt-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）N（du，dz）eZu-νP*u（dz）dueZu-（1）- λuSu-γu，z）=Zt公司-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）eZu-λuSu-γu，zν（dz）dueZu-!=Zt公司-ZR（Ju，z-eξHuSu-γu，z）eNP*（du，dz）eZu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）eZu-（βu+Γu）du，（3.19），其中第三个等式由Zrezu给出-1.- λuSu-γu，zN（du，dz）=ZRN（du，dz）eZu。因此，从（3.18）和（3.19）中，我们得到ΞWt-+ ΞNt-=Zt公司-dHu-eξHudSueZu+Zt-αuβu（ΓuIu- βuKu）eZu-（βu+Γu）du。这就完成了定理3.1的证明。3.2示例示例3.5（看涨期权和亚洲期权）我们将两种代表性期权视为持续的对冲索赔：看涨期权（ST- K） +和亚洲选项（TRTSudu-K） +表示K>0。为了获得此类选项的eθhf的明确表示，我们只需从（3.2）的视图中显示Itan和Jt，zf的表达式。除了假设2.1之外，我们还假设以下条件：对于某些C>0，ZR{γt，z+| log（1+γt，z）}ν（dz）<C，这确保了假设2.7，如[4]第4节和第5节所示。对于K>0和T∈ [0，T]，我们有It=βtEP*[1{ST>K}ST | Ft-],Jt，z=EP*[（ST（1+γt，z）- K）+- （ST- K） +|英尺-]对于看涨期权（ST- K） +，和It=βtEP*[1{V>K}Vt | Ft-],Jt，z=EP*[（V+γt，zVt- K）+- （五）- K） +|英尺-],其中Vt=TRTtSudu，适用于亚洲期权（TRTSudu- K） +。例3.6（回望期权）买入期权的收益作为ST的函数给出。另一方面，亚式期权的收益取决于S的整个轨迹。这种期权被称为路径依赖型。

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kedemingshi

2022-5-31 04:54:23

近年来，各种类型的路径依赖关系交易活跃，但在[11]中被排除在外。作为定理3.1中涉及的路径相关期权的一个更典型的例子，我们处理回溯期权，其收益取决于S的运行最大值。特别是，我们考虑H=（MS- K） +，其中MS：=支持∈[0，T]支架K>0。对于例3.4中引入的指数L'evy模型，【4】第6节暗示，在假设2.1和条件RR下z+（ez- （1）ν（dz）<∞,It=σEP*[MS{log（MS）>log（K/S）}{τ≥t} |英尺-],Jt，z=EP*supu公司∈[0，T]Suez1{t≤u}- K+- （毫秒- K）+英尺-,其中τ：=inf{t∈ [0，T]| St∨ St公司-= MS}。4数值分析我们将为任意给定时间t的MVH策略值制定一个简单的数值方案∈ [0，T]对于指数L'evy模型，并说明了第4.1节中的一些数值结果。据我们所知，尚未开发出Eθhts值的数值方法。请注意，EθHtis的值不仅取决于St-还有S从0到-. 然而，从实用的角度来看，不可能连续观察S的轨迹。因此，我们使用离散观测数据S、St、St……近似计算θhT。在本节中，我们考虑示例3.4中引入的指数L'evy模型；将时间间隔[0，t]等分为0=t<t<···<tn+1=t表示n≥ 1为了简单起见。标志Htk=EP*[H | Stk]，Itk=EP*[Dtk，0H | Stk-1] ，Ktk=RREP*[zDtk，zH | Stk-1] （ez- 1） ν（dz），eξHtk=σItk+KtkStk-1（σ+Γ）对于k=1，n+1。

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kedemingshi

2022-5-31 04:54:28

注意，初始日期的MVH策略值由θHt给出；所有Htk、ITK和Ktkare可通过【3】中开发的基于FFT的方法计算。然后，从（3.4）aseθHt的角度近似eθHtis≈eξHt+uSEtnStn（σ+Γ）n∑k=1Htk公司-eξHtkStkEtk+n∑k=1uSσ（ΓItk- σKtk）Etk-1（σ+Γ）tk公司,（4.1）其中Xtk：=Xtk- Xtk公司-1对于任何序列{Xtk}，且Ht：=EP*[H] 。此外，我们使用递归计算将Etkus近似为E=1和Tk+1=Etk1.-uSσ+ΓStk+1Stk=k∏l=11.-uSσ+ΓStl+1Stl（4.2）对于k=1，n、这是一个随机指数的离散化。备注4.1使用反馈形式表达式的近似值基本上是作为一般随机指数的离散化，定义为以下类型随机微分方程的解Y：Yt=Ut+ZtYu-dVu，其中U和V是半鞅。【16】中的定理V.52暗示，如果V是连续的，则Y被给定为asYt=Et（V）U+Zt0+Eu（V）-1（dUu- d[U，V]U）,这比普通的随机指数要复杂得多。因此，与（4.2）相比，涉及Y离散化的递归计算，这意味着反馈形式表达式不适合为H开发近似方法。备注4.2使用【11】获得的闭合形式表达式，几乎不可能开发出与（4.1）类似的近似方法，因为它们的表达式是以一般随机指数形式给出的，并且包含一个关于S的二次变化的随机积分，这是我们无法直接观察到的。4.1数值结果我们关注的是过程日志（=：LS）作为方差gamma过程给出，H是看涨期权H=（ST- K） +K>0。注意，方差伽马过程定义为服从伽马从属的时变布朗运动。

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大多数88

2022-5-31 04:54:30

总之，LSI表示为LST=mGt+ΔBGT或t∈ [0，T]，其中δ>0，m∈ R、 B是一维标准布朗运动，GT是参数（1/κ，1/κ）为κ>0的伽马过程。其L'evy度量则表示为ν（dz）=C{z<0}e-G | z |+1{z>0}e-M | z|dz | z |，其中c：=κ>0，G：=δrm+2δκ+mδ>0，m：=δrm+2δκ-mδ>0。注意，Ls没有布朗分量，即示例3.4中的σ由0给出。因此，近似值（4.1）foreθHtsimpli fies toeθHt≈eξHt+uSEtnStnΓn∑k=1Htk公司-eξHtkStkEtk，其中uS=ZR（ez- 1） ν（dz），eξHtk=KtkStk-1Γ和Etk+1=Etk（1-uSStk+1StkΓ）。回想一下，Htkand-Ktkare是用[3]中开发的基于FFT的方案计算的。我们考虑2017年5月19日到期的标准普尔500指数的欧洲看涨期权，并将套期保值的初始日期设定为2016年5月20日。我们将T固定到1。自2016年5月20日起至2017年5月19日，共有251个营业日。因此，例如，2016年5月20日和2016年5月23日分别对应于时间0和1/250，因为2016年5月20日是星期五。我们于2016年11月10日计算了MVH战略的价值。由于2016年11月10日是2016年5月20日之后的第121个工作日，让t=121/250，我们计算EθHt的值。备注EθHtis于2016年11月9日建造。因此，使用2016年5月20日当天和之后至2016年11月9日（含）的标准普尔500指数的121个乳品收盘价作为离散观测数据进行计算。作为对冲的未定权益，我们考虑行使价格为1500、1550等的看涨期权，2500.此外，我们将模型参数设定为C=6.7910、G=30.1807和M=33.1507，这些参数由2016年4月20日标准普尔500指数上的欧洲看涨期权数据集校准。请注意，上述参数集用于Arai和Imai【2】，满足假设2.1和2.7。图1显示了EθHt的值。

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可人4

2022-5-31 04:54:35

图1中获得21个EθHton值的计算时间为28.85秒，这表明我们使用基于FFT的方法实现了快速计算，然而MVH策略的计算通常很耗时。此外，我们还计算了eθHt的值-eξHt，即MVH和LRM策略值之间的差异。图2显示差异非常小，更准确地说，是绝对值fθHt-eξHtare不大于0.0025。请注意，我们的数值实验是使用MATLAB（9.0.0.341360 R2016a）在Intel Core i7 3.4 GHzCPU上进行的，该处理器具有16 GB 1333 MHz DDR3内存。1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 K00.10.20.30.40.50.60.70.80.91e#HtFigure 1:t=121/250时认购期权的EθHTO值，而按50.1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500K-2.5-2.5-1-0.500.511.52e的步骤，履约价格K从1500到2500！e9Ht#10-3图2:EθHt值-eξHTV。敲定价格K.Acknowlements这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号15K04936的支持。参考文献【1】T.Arai，均值-方差对冲对不连续情况的扩展，Finance Stoch。，9（2005），第129-139页。[2] T.Arai和Y.Imai，关于指数L'evy模型的局部风险最小化和增量对冲策略之间的差异，日本J.Indust。应用程序。数学34（2017），第845858页。[3] T.Arai，Y.Imai和R.Suzuki，《指数Levy模型局部风险最小化的数值分析》，国际J.Theor。应用程序。《金融》，19（2016），1650008。[4] T.Arai和R.Suzuki，《利维市场的局部风险最小化》，国际金融杂志。工程，2（2015），1550015。[5] F.Benth、G.Di Nunno、A.Lokka、B.Oksendal和F.Proske，《由L’evyprocess驱动的市场中最小方差投资组合的显式表示》，数学。《金融》，13（2003），第55-72页。[6] A.ˇCern'y和J.Kallsen，关于一般均值-方差对冲策略的结构，Ann。

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mingdashike22

2022-5-31 04:54:38

概率。，35（2007），第1479-1531页。[7] T.Choulli、L.Krawczyk和C.Stricker，《E-鞅及其在数学金融中的应用》，Ann。概率。，26（1998），第853-876页。[8] C.De Franco，P.Tankov和X.Warin，《带跳跃的马尔可夫模型中二次套期保值问题的数值方法》，计算机杂志。《金融》，19（2015），第29-67页。[9] S.Goutte、N.Oudjane和F.Russo，《连续时间加性过程和应用的方差最优对冲》，随机86（2014），第147-185页。[10] C.Hou和I.Karatzas，《随机积分对随机变量的最小二乘逼近》，京都随机分析和相关主题，H.Kunita，S.Watanabe和Y.Takahashi ed.，日本数学学会，东京，2004年，第141-166页。[11] F.Hubalek，J.Kallsen和L.Krawczyk，《平稳独立增量过程的方差最优套期保值》，Ann。应用程序。概率。，16（2006），第853-885页。[12] J.Jacod和A.Shiryaev，《随机过程的极限定理》，第2版。，柏林斯普林格，2003年。[13] M.Jeanblanc、M.Mania、M.Santacroce和M.Schweizer，《通过随机控制的均值方差对冲和一般半鞅的BSDES》，Ann。应用程序。概率。，22（2012），第2388-2428页。[14] J.Kallsen和R.Vierthauer，《精细随机波动率模型中的二次套期保值》，修订版。《衍生品研究》，12（2009），第3-27页。[15] A.E.B.Lim，《有跳跃时的均值-方差对冲》，暹罗J.控制优化。，44（2006），第1893-1922页。[16] P.Protter，《随机积分和微分方程》，第二版，柏林斯普林格出版社，2004年。[17] M.Schweizer，《近似定价与方差最优鞅测度》，Ann。概率。，24（1996），第206-236页。[18] M.Schweizer，《二次套期保值方法导览》，收录于《数学金融手册：期权定价、利率和风险管理》，E.Jouini，J.Cvitanic和M。

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大多数88

2022-5-31 04:54:41

Musiela ed.，剑桥大学出版社，剑桥，2001年，第538-574页。[19] M.Schweizer，《多维资产和支付流的局部风险最小化》，巴纳赫中心出版社。，83（2008），第213-229页。[20] J.L.Sol'e、F.Utzet和J.Vives，标准L'evy过程和Malliavincalculus，随机过程。应用程序。，117（2007），第165-187页。

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