初始扩展的强可预测表示性

2022-5-8 22:20:39

这种情况（也称为贾科德密度假说）在扩大过滤的理论中起着重要作用，并被广泛应用于金融数学，尤其是在内幕信息建模方面（参见[GP98、AIS98、Ame00、GP01、Bau03、Cam05、EL05、GVV06、ACJ15、AFK16]）。日期：2010年9月6日数学科目分类。60G07，60G44。关键词和短语。初步扩大过滤；密度假说；鞅表示性质；套期保值；内幕消息。作者感谢Huy N.Chau、Andrea Cosso和2015年伦敦-巴黎数学金融学士工作室的与会者就本文主题进行了有价值的讨论，并感谢副主编和评审们详细而深刻的评论，这些评论有助于改进论文。2 C.Fontana在本文中我们加入了以下基本问题：假设每个F-局部鞅都可以写成给定F-局部鞅S=（St）t的随机积分≥0，是否存在G-局部鞅SG=（SGt）t≥0（如果是的话，它与S有什么关系），这样每个局部鞅都可以写成SG的随机积分？换句话说，是否有可能将强可预测表示属性从原始过滤F转移到初始放大的过滤G？假设雅科德密度假设的有效性，我们将全面地回答这个问题。由于鞅表示结果在数学金融、随机滤波和倒向随机微分方程中起着基础性作用，上述估计已经在几篇论文中进行了研究。

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2022-5-8 22:20:42

特别是，初始放大过滤中的鞅表示定理首先由[GP98]在布朗环境中建立，然后由[Ame00，ABS03，CJZ13]在更一般的环境中建立。然而，据我们所知，现有的鞅表示结果总是假设雅科德密度假设的一个更强版本，即Ft条件定律和L的无条件定律之间的等价性，对于所有t∈ R+。相比之下，在本文中，我们将只假设一个绝对连续性关系，如原始文件[Jac85]中所述。这似乎是对现有文献的一个轻微概括，但恰恰相反，它需要对鞅表示性质采用不同的方法。此外，它还可以研究一些现有结果未涵盖的有趣示例，这些示例对于内幕信息的建模特别重要。如果雅科德的密度假设是L的条件定律和无条件定律之间的等价性，如之前文献中所假设的，那么关键工具是由一个等价的概率测度表示的，该测度使得随机变量L独立于原始过滤F，并且在该测度下，每个F-鞅也是一个G-鞅。这种度量的概念在[ABS03]中被称为鞅保持概率度量，可以追溯到早期关于扩大过滤的工作，也出现在[FI93]中。与Girsanov定理一起，该度量允许在F和G之间轻松移动，从而允许将可预测的表示属性从F转移到G。

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2022-5-8 22:20:45

相比之下，如果只假设Jacod的密度假设以[Jaco85]的绝对连续形式成立，则保留鞅p的概率测度可能不存在（至少在原始概率空间上），并且必须依赖不同的方法。关于更详细的介绍，请参考第4.1节，让我们简要描述一下我们在初始放大过滤中对一般martin gale表示的方法，假设[Jac85]中所述的Jacod密度假设的有效性，以及F-局部鞅在F中具有鞅表示性质。首先，作为初步步骤，我们将研究初始放大过滤G的一般结构，建立其正确的连续性，并根据F-鞅的参数化族对G-鞅进行有用的刻画。作为第二步，我们得到了一个同时适用于f-鞅的参数化f族的所有元素的表示结果。最后，根据[SY78]关于随机积分的结果——最初放大的过滤3中的强可预测表示性质，并根据一个参数，我们返回放大的过滤G，以获得所需的鞅表示。在最后一步中，一个关键因素是[ACJ15]中最近建立的F-局部鞅的G-最优分解，以及[AFK16，ACJ15]关于初始放大过滤中F-局部鞅行为的结果。本文所采用的方法在初始放大过滤中建立鞅表示性质，关键是利用了Jacod的密度假设。然而，证据中使用的一些技术已经出现在扩大过滤的理论中。

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2022-5-8 22:20:49

特别是，参考以下章节以获得更精确的参考文献，第4.2节中关于G-鞅结构的结果与[CJZ13，JLC09，EKJJ10，GVV06]中的类似结果有关。此外，即使鞅保留概率测度不一定存在于原始概率空间上，我们也证明了存在一个过程，在F-鞅和g-鞅之间起着类似的作用，并提供了一个精确的联系（见Remark4.12）。后一个事实也与[Son87]中发展的局部解方法有关，该方法基于在辅助概率空间上局部构造鞅保持概率测度的观点。通过将测量变化与过滤变化相结合，可以证明局部解决方法为过滤问题的扩大提供了一种通用方法（最近的报道见[S on 15a]）。由于Jacod的密度假设可以嵌入局部解方法（见[Son15a，第6.1节]），该方法也可以提供一种策略，替代本文中采用的策略，以证明初始放大过滤中的鞅r表示性。[JS15]中采用了局部解方法，在过滤相对于非负随机变量逐步（而非初始）扩大的情况下，建立了关于强可预测表示性有效性的一般结果。我们还提到，当F被一个满足Jacod密度假设的非负随机变量逐步放大，并且在所有F-鞅都是连续的附加假设下，在[JLC10]中得到了amartingale表示结果。本文的结构如下。第2节介绍了概率框架、主要结果陈述和两个示例。

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2022-5-8 22:20:52

特别是，我们给出了几个备选的鞅表示结果，这取决于随机变量L的条件密度是否达到零（见第2.4小节）。第3节介绍了内幕信息下或有权益套期保值的应用。第4节包含第2节所述结果的所有证明，以及一些辅助结果。最后，附录包含第4.3.2小节的替代方法。设置和主要结果2。1.符号和序言。在本文中，我们将研究几个随机基。因此，我们为泛型概率空间引入以下符号(Ohm′, A′，P′）被赋予过滤F′=（F′t）t≥0满足右连续性和P′-完备性的一般条件。4 C.FONTANAWe参考[JS03]和[HWY92]了解所有与随机过程和随机积分有关的未解释概念M（P′，F′）（Mlo c（P′，F′），resp.）表示所有马丁鞅（分别为局部鞅）的集合在(Ohm′, F′，P′（鉴于[JS03，备注I.1.37]，我们将始终假设局部鞅有c`adl`ag路径）；o如果X=（Xt）t≥0是Mlo c（P′，F′）中的一个Rd值过程，我们用Lm（X；P′，F′）表示所有Rd值F′-可预测过程的集合，这些过程在局部马丁盖尔意义下，在测度P下可积如果X=（Xt）t≥0是一个Rd值F′-半鞅，我们用L（X；P′，F′）表示所有Rd值F′-可预测过程的集合，在半鞅意义下，这些过程在测度P下可积。采用[JS03]的符号，我们用（H·X）t:=R（0，t）表示H关于X的随机积分，对于所有t∈ R+，其中（H·X）=0。

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2022-5-8 22:20:55

我们分别通过O（F′）和P（F′）off′-可选和F′-可预测σ场在Ohm′×R+。让我们回顾一下强可预测表示性的概念（参见[Jac79，第四章]以及[HWY92，第13章]关于一维情况），这里是关于anRd值局部鞅X=（Xt）t的公式≥0在一般的过滤概率空间上(Ohm′, A′，F′，P′）。定义2.1。局部鞅X=（Xt）t≥据说0在上具有强可预测表示属性(Ohm′, F′，P′）ifMlo c（P′，F′）=ζ+ζ·X:ζ∈ L（F′）和ν∈ Lm（X；P′，F′）,L（F′）表示所有F′-可测随机变量的集合。换言之，局部鞅X在上具有强可预测表示性质(Ohm′, F′，P′）当且仅当s空间零点上的每个局部鞅都可以写成关于X的astochastic积分。在这种情况下，局部鞅X也被称为具有关于X的（强）鞅表示性质(Ohm′, F′，P′）.2。背景作为我们框架的第一个主要组成部分，我们考虑概率空间(Ohm, A、 P）被赋予过滤F=（Ft）t≥0满足右连续性和P-完全性的一般条件。我们不一定假设初始σ-场是平凡的，并且通常是Wt≥0英尺=F∞- A、由于包含可能很严格。我们还让S=（St）t≥0是一个给定的Rd值局部鞅(Ohm, F、 P）。作为我们框架的第二个主要组成部分，我们考虑了一个A-可测的随机变量在Lusin空间（E，BE）中的取值，其中BEdenotes是E的Borelσ场→ [0，1]是L的（无条件）定律，因此λ（B）=P（L∈ B）对所有人都适用∈ 是

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nandehutu2022

2022-5-8 22:20:59

然后，我们通过将r和dom变量L的信息添加到初始σ-字段F中来放大过滤F，即，在最初放大的过滤5中，我们认为过滤G=（Gt）t具有强可预测的表示特性≥0由过滤系数（Gt）t的右连续增加给出≥0定义为Gt:=英尺∨ σ（L），对于所有t≥ 0.作为一个辅助工具，我们还将介绍产品空间（bOhm,英国石油公司）viabOhm := E×Ohm,是的 A、 bP:=λ P、配备正确的连续过滤BF=（bFt）t≥0，由bft定义：=Tε>0（BEFt+ε）。Welet O（bF）和P（bF）分别是与过滤bF相关的可选和可预测的σ场。正如[Jac85]中所述，它认为O（F） O（bF）和BEP（F）=P（bF）。此外，ifA∈ O（bF），那么截面Ax:={（ω，t）∈ Ohm ×R+：（x，ω，t）∈ A} 是O（F）-可测量的吗∈ 最后，我们将bybE[·]表示为关于产品度量EBP的期望算子。2.3. L.对所有t.的条件密度∈ R+，设νt：Ohm ×是→ [0，1]是L的Ft条件定律的正则版本（因为空间（E，be）是Lusin，所以它一直存在）。以下假设将在我们的分析中发挥核心作用。假设2.2。尽管如此，t∈ R+，νt<< λ在P-a.s.意义上成立。假设2.2对应于[Jac85]中引入的经典密度假设。事实上，如[Jac85，命题1.5]（另见[Pro04，定理VI.11]）所示，假设2.2成立，且仅当∈ R+，存在一个正的σ-有限测度γt（E，BE），例如<< P-a.s.意义上的γtholds。下面的引理给出了条件密度的一个良好版本，本质上对应于[Jac85，引理a 1.8]（见第4节的证明）。引理2.3。假设假设2.2成立。

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2022-5-8 22:21:03

然后存在一个（BE） O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ qxt（ω）∈ t中的R+，c`adl`ag∈ R+这样：（i）对于每一个t∈ R+，νt（dx）=qxtλ（dx）保持P-a.s；（ii）每x∈ E、过程qx=（qxt）t≥0上有鞅吗(Ohm, F、 P）。每x∈ E和n∈ N、让我们定义以下F停止时间：ζxn:=inf{t∈ R+|qxt<1/n}和ζx:=inf{t∈ R+| qxt=0}。每x∈ E、它认为{ζxn}n∈Nis是一个非减量序列，P（limn→∞ζxn=ζx=1，且[ζx]上的qx=0，∞[（另见[Jac85，Lemm a 1.8]）。还要注意的是，由于[Jac85，推论1.11]，它认为P（ζL<∞) = 0，其中ζL（ω）：=ζL（ω）（ω）。如[ACJ15，AFK16]中所述，每x∈ E、我们考虑Fζx-可测事件∧x:={ζx<∞, qxζx-> 定义（2.1）ηx:=ζx∧x=ζx∧x+∞1.Ohm\\λx，这是一个F-停止时间，表示qx跳到零的时间。6 C.Fontana[Jac85]的一个基本结果是，在假设2.2下，任意F-局部鞅的正则分解可以写成条件密度（在x=L时计算）。然而，G中F-局部鞅的不同类型的分解更适合我们的分析。最近在[ACJ15，定理5]中建立了以下命题，并提供了F-局部鞅（St）t的可选分解（与正则分解相反）≥G.提案2.4中的0。假设假设假设2.2成立，空间L(Ohm, A、 P）是可分离的。然后过程SG=（SGt）t≥0定义为（2.2）SG:=S-qL·[S，qL]+Sηx[[ηx，∞[[p、 Fx=Lis上的局部鞅(Ohm, G、 P）与(Sηx[[ηx，∞[[]p，F表示过程的双F-可预测投影的可测量版本Sηx[[ηx，∞注释2.5。

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2022-5-8 22:21:06

命题2.4中出现的可分性假设只需要确保存在一个版本的双F-可预测投影Sηx[[ηx，∞[[这在x中是可测量的，参见[SY78，命题4].2.4。G中的强可预测表示性质。本节包含主要结果的陈述。由于证明是相当技术性的，并且涉及多个中间测试和辅助结果，因此它们被推迟到第4节。我们从下面的定理开始，它代表了中心结果，参考第4.1节以获得其证明的概要。定理2.6。假设假设2.2成立，空间L(Ohm, A、 P）是可分离的。如果S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后进程ssSG=（SGt）t≥（2.2）中定义的0在(Ohm, G、 P）。根据定义2.1，定理2.6表明，如果S在(Ohm, F，P），然后每个局部鞅M=（Mt）t≥0on(Ohm, G、 P）允许所有t的随机积分表示（2.3）Mt=M+（ν·SG）t，P-a.s∈ R+，式中为（ηt）t≥0是一个G-可预测的过程，允许其进行显式表征（见（4.14））。如文献中所述，定理2.6概括了先前在关于初始放大过滤的文献中获得的鞅表示结果。特别是，没有对家庭{qx:x进行假设∈ E} L的条件密度，除了它的存在。在本小节的剩余部分中，我们给出了L的条件密度在附加假设下的一些替代鞅表示结果。

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2022-5-8 22:21:10

我们从以下内容开始，如[SY78，命题4后的备注1]所述，这种可分性假设在实践中总是得到验证的，因此不需要进一步考虑其推广。初始放大过滤7的强可预测表示性推论（在第4.5节中证明）表明，如果F-鞅qxc只能连续地达到零（而不是由于跳跃），对于λ-a.e.x∈ E、然后讨论了S的强可预测表示性(Ohm , F、 P）可以很容易地转换为(Ohm, G、 P）关于工艺（qLt）的适当“变更标准”≥0.推论2.7。假设假设2.2成立，P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E.如果过程S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后是Rd+1值进程（1/qLt，St/qLt）t≥0是一个G-局部鞅，并且在上具有强可预测表示性质(Ohm, G、 P）。备注2.8。定理2.6和推论2.7表明，只要P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E、 G中的鞅表示性质可以用SGand（1/qL，S/qL）表示。定理2.6的表示结果显然更一般，并适用于d维过程（即，与原始过程的维数相同）。推论2.7的表示结果不太一般，需要（d+1）维过程。然而，这个过程（1/qL，S/qL）承认了一个重要的解释，尤其是在财务建模的背景下。事实上，在推论2.7的假设下，鉴于[AFK16]，流程QL代表了放大过滤G中S的总投资组合（见[KK07]）。

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mingdashike22

2022-5-8 22:21:14

从这个意义上说，推论2.7表明，鞅r E表示属性可以通过改变数值，选择G中的数值组合作为基准资产，从F转移到G。还要注意的是，从应用的角度来看，过程（1/qL，S/qL）可以立即从模型的基本成分中推导出来，并且不需要任何计算，这与定理2.6中出现的过程不同。如引言中所述，最初扩大过滤的现有鞅表示结果是在更强的假设下获得的，即~ λ（参见[GP98，定理4.3]，[Ame00，定理4.2]，[ABS03，定理3.2]和[CJZ13，建议5.3]）。这种情况对应于下面的建议，这可以很容易地从我们的一般方法中推断出来，如第4.5节所示。提议2.9。假设~ λ保持所有t的P-a.s∈ [0，T]，对于某些固定T<∞. IfS=（St）t∈[0，T]在(Ohm, F、 P），然后deP:=（qL/qLT）dp定义一个概率度量~ P这样∈ Mlo c（eP，G）和S具有强可预测性(Ohm, G、 eP）。在与推论2.7相同的假设下，我们用最后一个鞅表示结果来结束这一小节。作为预备，我们记得，鉴于[Jac85，定理2.5]，SGand（1/qL，S/qL）之间的精确关系的过程如推论2.7的证明所示，见第4.5.8节C.FONTANAhS，qxiFx=Lis充分定义和流程-qL-·hS，qxiFx=Lis上的局部鞅(Ohm, G、 P）。在[CJZ13，命题5.5]中建立的以下结果（在第4.5节中证明）h，在更强大的假设下~ λP-a.s.f或所有t∈ R+。推论2.10。假设假设2.2成立，P（ηx<∞) = λ-a.e.为0。

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2022-5-8 22:21:17

十、∈ E.如果S=（St）t≥0在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P），然后进程ss¨SG:=S-qL-· hS，qxiFx=Lhas是上的强可预测表示属性(Ohm, G、 P）。我们可以观察到，虽然推论2.7将鞅表示性质与数值的变化联系在一起（见备注2.8），但推论2.10将鞅表示性质与局部等价的度量变化联系在一起，如第4.5.2.5节给出的证明所示。两个例子。现在，我们给出了两个简单的例子，说明在最初放大的过滤G中，过程具有强可预测的表示特性。为简单起见，我们考虑固定时间范围T<∞. 在这两个例子中，假设2.2都是满足的，但等价物是νt~ λ不成立。因此，现有文献并未涵盖以下鞅表示结果。我们首先给出了一个例子，其中条件密度可以通过跳跃达到零，然后给出了一个例子，其中条件密度只能连续达到零（即P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ E）。在金融背景下，S代表arisky资产的价格（见第3节），这两个例子承认了与内幕信息建模相关的有趣解释，并分别在[AFK16]和[CT15]中进行了考虑。2.5.1. 一个基于泊松过程的例子。设N=（Nt）t∈[0，T]是标准泊松过程，F=（Ft）T∈[0，T]其P-增强自然过滤，用{τn}n表示∈N的ju mp乘以N。我们让A=f，考虑随机变量L=N以及相应的初始放大过滤G。

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mingdashike22

2022-5-8 22:21:21

与[AFK16，示例1.5.3]类似（另见[GVV06，§4.3]），可以简单地检查每n∈ N、 qnt=P（L=N | Ft）P（L=N）=et（T- t） n-NtTnn！（n）- （新界）！{Nt≤n} ，对于所有t<t，且qnT=eTT-nn！1{NT=n}，从而表明假设2.2是满足的。同时观察条件密度（qnt）t∈[0，T]在τn+1处跳到零（如果τn+1≤ T），表示ηn=τn+1，表示所有n∈ N.补偿泊松过程S:=（Nt）- t） t∈[0，T]在上具有强可预测的representationproperty(Ohm, F，P）（参见[JYC09，提案8.3.5.1]）。因此，理论假设如二次变化[·，·]，可预测的二次变化取决于过滤。根据[Jac85，定理2.5]，这里存在一个（BEP（F））-映射（x，ω，t）7的可测版本→ hS，qxiFt（ω），它在集合{qx上定义得很好-> 0}. 因此，hS，qxiFx=L注意到在x=L时评估的F-可预测二次变化。初始放大过滤92.6中的强可预测表示特性得到满足，过程SG=（SGt）t∈（2.2）中定义的[0，T]在(Ohm, G、 P）。此外，SGt可以显式表示如下：（2.4）SGt=（Nt- （t）-NTXn=1{τn≤t}1.-T- τnNT- n+1+ （t）- τNT∧ t）。事实上，注意到[S，qL]=P0<u≤·怒族qLu=PNTn=1qLτn{τn≤·}而且qLτn=eτn（T- τn）NT-NTNT！（新界）- n） !！1.-T- τnNT- n+1,它认为qL·[S，qL]=NTXn=1{τn≤·}1.-T- τnNT- n+1.此外，请注意Sηn[[ηn，T]=1[[τn+1，T]]，对于所有n∈ 因此，鉴于命题2.4，为了证明（2.4），仍然需要计算递增过程（1{τN+1）的双F-可预测投影≤t} ）t∈[0，T]。观察{τn+1≤ t} ={Nt≥ n+1}，所以1{τn+1≤t} =fn（Nt），其中fn（x）：=1{x≥n+1}。根据[JYC09，命题8.2.3.1]，N的最小生成元L由L（f）（·）=f（·+1）给出- f（·），对于任何有界可测函数f。

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2022-5-8 22:21:25

因此，流程fn（Nt）-ZtL（fn）（Nu）du=1{τn+1≤t}-Zt{n≤Nu<n+1}du=1{τn+1≤t}- （τn+1）∧ T- τn∧ t）是局部鞅吗(Ohm, F、 P），每n∈ N.通过有界子鞅（1{τN+1）的Doob-Meyer分解≤t} ）t∈[0，T]，它也是上的一致可积鞅(Ohm, F、（参见[JS03，定理I.3.15]）。根据[HWY92，推论5.31]，这意味着（τn+1∧·-τn∧·)是（1{τn+1）的对偶F-可预测投影≤t} ）t∈[0，T]，对于所有n∈ N、因此提供（2.4）。2.5.2。一个基于布朗运动的例子。如[CT15，第5.1节]所述，让我们定义流程=（St）t∈[0，T]乘以S:=1+W，其中W=（Wt）T∈[0，T]是标准布朗运动，f=（Ft）T∈[0，T]其P-增强的自然过滤。我们让A=F，并考虑离散变量L=1{inft∈[0，T]St>0}。由于L是一个离散的随机变量，假设2.2成立（参见[Pro04，定理VI.10的推论2]），并且在g[C T15]之后，我们可以计算qt=P（infu∈[0，T]Su>0 | Ft）P（infu∈[0，T]Su>0）=1+P（infu∈[0，T]Su>0）rπZσ∧T√T- 东南方-Ss2（T）-s） dWs，qt=P（infu∈[0，T]St≤ 0|Ft）P（infu∈[0，T]Su≤ 0)= 1 -P（infu）∈[0，T]Su≤ 0）rπZσ∧T√T- 东南方-Ss2（T）-s） dWs，其中σ：=in f{t∈ R+|St=0}。观察qand qcan以严格的正概率连续地达到零。因为W在空间上具有强可预测的表示性质(Ohm, F、 P），推论2.10的假设是满足的。注意到qLt=qt{σ>T}+qt{σ≤T}，10 C.Fontana上的强可预测表示性质(Ohm, G、 P）与流程“SGt=St”相关的保持-ZtqLsdhS，qxiFsx=L=St-{infu∈[0，T]Su>0}P（infu∈[0，T]Su>0）rπZtqs√T- 东南方-Ss2（T）-s） ds+{infu∈[0，T]Su≤0}P（infu∈[0，T]Su≤ 0）rπZσ∧tqs√T- 东南方-Ss2（T）-s） ds。3.内幕信息下的套期保值在本节中，我们研究了带有内幕信息的抽象金融市场中鞅表示性质的含义。

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2022-5-8 22:21:29

为便于演示，我们考虑固定时间范围T<∞ 一个Rd值局部鞅S=（St）t∈[0，T]在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。在本节中，我们还假设初始σ场是平凡的。如第2.2节所述，我们考虑一个随机变量L和相关的初始放大过滤G，并假设假设假设2.2满足，因此{qx:x∈ E} 定义明确且A:=GT=FT∨ σ（L）（见引理4.2）。对上述设置的解释如下。过程S代表在市场上交易的d风险资产的价格（相对于一些基准证券贴现），过滤F代表每个市场参与者公开获得的信息。相反，随机变量L代表一个额外的信息（内幕信息），只有一些知情的代理才能获得这些信息。知情的代理可以在同一组证券上交易，而不知情的代理在选择策略时可以依赖其私人信息。对于H∈ {F，G}，我们用H（H）表示基于信息流H的容许策略集，即H（H）：=H∈ L（S；P，H）：（H·S）t≥ -所有t的P-a.s∈ [0，T]，对于一些∈ R+,这相当于排除了需要无限信用额度的交易策略。数学金融中的一个基本问题是连续债权的套期保值。我们将任何非负随机变量ξ解释为一个偶然目标。关于过滤H的套期保值问题∈ {F，G}包括找到一个策略∈ H（H）使得ξ=vH（ξ）+（H·S）Tholds P-a.S.，对于某些初始财富vH（ξ）。

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2022-5-8 22:21:32

如果这是可能的，那么策略H被称为复制或有索赔ξ，而vH（ξ）代表了复制ξ并获得信息流H的初始成本。如果每个有界或有索赔都可以复制，那么金融市场就被称为是完整的。除了自身的利益外，初始放大过滤问题中的强可预测表示性在数学金融中也有基本应用，尤其是在定价和投资组合优化方面。因为S在(Ohm, F、 P），众所周知，每个未定权益ξ∈ L+（FT）可以复制。实际上，必须考虑非负F-鞅M=（Mt）t∈[0，T]由Mt定义：=E[ξ| Ft]，适用于所有T∈ [0，T]。然后，根据定义2.1，存在一个Rd值过程H∈ Lm（S；P，F）使得ξ=MT=M+（H·S）TP-a.S。此外，它认为（H·S）t=MT- M≥ - E[ξ]，从而表明H∈ H（F）。复制ξ的初始成本由vF（ξ）=M=E[ξ]给出。这解决了anFT可衡量或有权益的套期保值问题，从一个不知情的代理人有权获得信息流F的角度来看。显然，一般不存在GT可衡量或有权益的F-可预测套期保值策略。以下命题是本节的核心结果，表明假设2.2与金融市场的完整性基于(Ohm, F、 P）确保金融市场基于(Ohm, G、 P）也是完整的（达到σ（L）-可测量的初始财富）。提议3.1。假设假设2.2成立，S=（St）t∈[0，T]在上具有strongpredictable representation属性(Ohm , F、 P）。设ξ为有界非负GT可测随机变量。

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2022-5-8 22:21:36

然后存在一个策略H∈ H（G）以初始成本vg（ξ）=E[ξ/qLT |σ（L）]复制ξ。证据设M=（Mt）t∈[0，T]是由Mt定义的非负G-鞅：=E[ξ/qLT | Gt]，对于所有T∈ [0，T]。根据下面的命题4.10（回顾所有x的qx=1）∈ E、因为在这一部分中，Fis被认为是微不足道的），所以存在一个G-可预测的过程，比如thatqLtEξqLT燃气轮机= qLtMt=M+（KL·S）t，所有t的P-a.S∈ [0，T]，其中KL∈ L（S；P，G）。自ξ≥ 0 P-a.s.，它认为（KL·s）t≥ -MP-a.s.适用于所有t∈[0，T]。此外，还讨论了ξ的有界性以及过程（1/qLt）t的上鞅性质∈[0，T]（参见[AFK16，命题3.4]或[ACJ15，引理5]）得出≤ C P-a.s.，对于某些C∈ R+，因此表明KL∈ H（G）。对t=t y ieldsξ=E[ξ/qLT |σ（L）]+（KL·S）TP-a.S.的上述表达式进行评估，从而证明该主张。特别是，上述命题可以应用于FT可测量的未定权益ξ。在这种情况下，对于不知情的代理人和知情的代理人，都存在一种对冲策略。然而，由于这两个代理可以访问不同的信息流（分别为F和G），对冲策略不一定相同，复制ξ的初始成本将取决于可用信息。这是以下推论的内容，这表明在即将发表的论文中，我们将把目前的结果应用于存在可以产生套利机会的内部信息的效用最大化问题，通过依赖[CCFM17]12 C.Fontana的对偶方法，知情的代理人总能利用内幕信息，以较低的成本复制任何可测量的或有权益。推论3.2。假设假设2.2成立，S=（St）t∈[0，T]在上具有强可预测表示属性(Ohm, F、 P）。

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2022-5-8 22:21:40

然后，对于每一个有界的非负FT可测随机变量ξ，它认为vG（ξ）≤ vF（ξ）。证据让我们来看看→ R是一个有界可测函数。下面的公式（4.1）给出g（L）ξqLT= Eg（L）ξqLT{qLT>0}=ZEg（x）E[ξ1{qxT>0}]λ（dx）=Ehg（L）Eξ1{qxT>0}x=Li，其中期望E[ξ1{qxT>0}]可通过Fubini定理测量。通过函数g（·）的任意性，这意味着E[ξ/qLT |σ（L）]=E[ξ1{qxT>0}]|x=L。然后，该主张由命题3.1遵循，指出E[ξ1{qxT>0}]≤ E[ξ]=vF（ξ），每x∈ E在上述推论的背景下，对于给定的未定权益ξ，当复制ξ时，两个值vF（ξ）和vG（ξ）之间的差异可被视为随机变量L中包含的附加信息的货币价值。备注3.3（关于套利的可能性）。自从∈ Mlo c（P，F），在信息流F的基础上交易S的市场不允许套利（在没有风险消失的免费午餐的意义上，见[DS94]）。然而，当过滤扩大到G时，流程S可能会允许免费午餐，带有van ishing风险，甚至是第一种套利（如[AFK16，第1.5.3节]所示，例如第2.5.1节中考虑的示例中的情况）。如[AFK16，定理1.12]和[ACJ15，定理6]所示，条件P（ηx<∞) = λ-a.e.x为0∈ 推论2.7和2.10中出现的a是一个必要且有效的条件，以便在最初扩大的过滤G中排除任何半鞅S的第一类套利。然而，我们想指出的是，本节的结果并不取决于套利的存在，这意味着即使内幕信息产生套利，市场也可以是完整的。4.证明和辅助结果在本节中，我们给出了第2节所述结果的证明，以及几个辅助结果。

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2022-5-8 22:21:44

我们从证明引理2.3开始，遵循[Ame00，附录A.1]，它表明了L的条件密度存在一个好的版本。引理2.3的证明。根据[Jac85，引理1.8]，假设2.2意味着负函数（x，ω，t）7上存在O（bF）可测n→ qxt（ω）使（i）-（ii）保持。因为，每x∈ E、过程qxis F-optional、F-adapted和c`adl`ag[SY78，命题3后的备注1]给出了a（BE）的存在 O（F））-可测函数（x，ω，t）7→ qxt（ω）使得（qxt）t≥0可与（~qxt）t区分≥0，每x∈ E引理2.3W的强可预测表示性质在最初扩大的过滤13中会被多次使用：∈ R+和（BE Ft）-可测函数E×Ohm （x，ω）7→ fxt（ω）∈ R+，它认为（4.1）E外语教学= EZEfxtqxtλ（dx）=ZEE[fxtqxt]λ（dx）。通常，等式（4.1）可以扩展为可积（be）可测量的功能。4.1. 定理2.6的证明提纲。定理2.6的证明是相当技术性的，需要几个辅助结果，并且需要处理一些可测性问题。然而，由于这些隐藏的想法相当简单和透明，让我们给出一个证明的概要（参考以下小节了解全部细节）。第一步是证明假设2.2已经暗示了过滤（Gt）的正确连续性≥0，从而扩展了[Ame00，命题3.3]（见引理4.2）。

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nandehutu2022

2022-5-8 22:21:47

与公式（4.1）一起，这个性质可以表示每个过程M=（Mt）t≥0∈ M（P，G）可以表示为Mt=mLt，其中（x，ω，t）7→ mxt（ω）是a（BE） O（F））-可测量函数，使得（mxtqxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E（见建议4.4）。在这个阶段，如果进程S=（St）t≥假设0在上具有强可预测的representationproperty(Ohm, F、 P），这意味着表示F-鞅（mxtqxt）t≥0和（qxt）t≥0，每一个∈ E、分别为mxtqxt=mxqx+（Kx·S）和qxt=qx+（Hx·S）t，其中，对于每个x∈ E.如果随机积分Kx·Sand Hx·S在x中是可测量的，并且在最初放大的过滤G中是有意义的，那么可以在x=L时评估两个随机积分表示。因为qLt>0 P-a.S（见[Jac85，推论1.11]），我们最终可以将分部积分公式应用于Mt=（mLtqLt）/qlt，并获得M in G的随机积分表示。上述论点中的主要问题是，通过将S的强可预测表示性质应用于（mxtqxt）t≥0和（qxt）t≥每个x分别为0∈ E、上述积分表示中出现的F-可预测过程KX和HX具有关于x的先验不可测性。因此，必须执行（mxtqxt）t的鞅表示≥0和（qxt）t≥0同时适用于所有x∈ E.为此，受最近论文[EI15]的启发，我们将研究产品空间（b）Ohm,bF，bP），并建立该水平上的鞅表示定理（见引理4.8和命题4.9），从而确保被积函数Kx和Hx具有良好的可测性。

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2022-5-8 22:21:51

人们可以回到原来的空间(Ohm, F、 P）并结合[SY78]和[Jac85]的结果，证明所有随机积分都允许x-可测版本，并在最初放大的过滤G中有意义。在最后一步，我们评估x=L时的积分表示，并按部分进行积分。与命题2.4一起，这将给出SGon的强可预测表示性(Ohm, G、 P）。备注4.1。在开创性的论文[Jac85]中，作者建立了一个（弱）鞅表示结果，它同时保持f或所有{qx:x∈ E} （见[Jac85，提案3.14]）。正如附录14 C.Fontana所详述的，人们可以在当前环境中应用类似的推理，避免引入产品空间（bOhm,bF，bP），以依赖更复杂的工具为代价（尤其是[Jac79，§IV.4d]中关于随机度量和马丁-盖尔表示的精细属性的随机积分）。相比之下，我们的方法只使用了随机演算的基本概念和关于强可预测表示性质的基本事实。4.2. 最初扩大的过滤G的结构。作为证明主要结果的准备，我们首先确定扩大的过滤G的一些初步性质。第一个结果涉及过滤G的正确连续性。如果假设2.2被更强的假设取代，则~ λP-a.s.适用于所有t∈ [0，T]，对于某些固定的视界T<∞,众所周知，过滤是连续的，见[Ame00，命题3.3]和[ABS03，引理2.2]。下面的引理扩展了这个结果，并表明假设2.2实际上有助于确保G引理4.2的正确连续性。假设假设2.2成立。然后G=G.证明。设ξ：E×Ohm → 做一个 FT）-可测量函数，对于某些T∈ (0, ∞).

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2022-5-8 22:21:54

无论如何∈ Ft，带t∈ [0，T]和g:E→ R b应该是可测量的，使用（4.1）并回顾（qxt）t≥0是一个非负鞅（见引理2.3），因此包含{qxT>0} {qxt>0}对每x保持（最多一个P-nullset）∈ E、我们在这里ξ（L）1Atg（L）=ZEg（x）Eξ（x）1AtqxTλ（dx）=ZEg（x）Eξ（x）1AtqxT{qxt>0}λ（dx）=ZEg（x）EAtE[ξ（x）qxT | Ft]qxtqxt{qxT>0}λ（dx）=EY（ξ）t（L）1Atg（L）,Y（ξ）t（x）：=E[ξ（x）qxT | Ft]1{qxT>0}/qxT，对于所有x∈ E、在这里，我们可以得到随机变量ξ（x）qxT的F-可选投影的c`adl`ag和x可测量版本（见[SY78，命题3]）。由于At和g（L）是任意的，并生成σ场Gt，且随机变量Y（ξ）t（L）是Gt可测的，这表明ξ（L）|Gt= Y（ξ）t（L），对于所有t∈ [0，T]。特别是，我认为（4.2）Eξ（L）|Gt+ε= Y（ξ）t+ε（L），对于每个ε>0。通过鞅收敛定理（参见[HWY92，推论2.23]）和（Y（ξ）t（x））t的右连续性∈[0，T]，对于所有x∈ E、取（4.2）中ε0的极限，得到Eξ（L）|Gt= Y（ξ）t（L），对于所有t∈ [0，T]。ξ和T的任意性∈ (0, ∞) 那么就意味着Gt=Gt，对于所有的t∈ R+。反过来，引理4.2暗示了与初始放大过滤G相关的可选σ-场的重要特征，如以下引理所示。假设2.2有助于确保GHA过滤的正确连续性，这一事实已在[GVV06]中重新标记。然而，提交人没有提供他们的主张的证据。引理4.2的证明源于[Son14，引理6.8]。最初扩大的过滤中的强可预测表示性15引理4.3。假设2.2成立。然后对于eve ry G-可选过程Z=（Zt）t≥0存在一个（BE） O（F））-可测量的函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ zxt（ω）使得Zt（ω）=zL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s≥ 0.证明。

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2022-5-8 22:21:58

如果（Zt）t≥0∈ M（P，G），th-E[Zn | Gt]=所有t∈ [0，n]，每n∈ 引理4.2的极限给出了a（BE）的存在 O（F））-可测函数Ynt（x），使得zt=Ynt（L）对所有t保持P-a.s∈ [0，n]每n∈ 注意，Yn+1t（L）=Ynt（L）P-a.s.适用于所有t∈ [0，n]。因此，让zxt:=P∞n=1[n-1，n）（t）Ynt（x），证明了该结论适用于任意鞅Z。显然，该结果也适用于任意过程（Zt）t≥形式Zt的0=α（t）Mt，其中α：R+→ R和（Mt）t≥0∈ M（P，G）。根据[DMM92，§XX.22]，σ-场O（G）由该形式的所有过程生成，从而完成了论证。引理4.3与公式（4.1）一起，给出了由x参数化的F-鞅族中G-鞅的一个有用的刻画∈ E.以下命题是[CJZ13，命题3.1]的延伸，适用于假设2.2得到满足，但等价物νt~ λP-a.s.不一定成立。提案4.4。假设假设2.2成立。然后是一个过程（Mt）t≥0是G-鞅当且仅当存在（BE）时 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）这样的（mxtqxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、 Mt（ω）=mL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s∈ R+。证据如果（Mt）t≥0∈ M（P，G），引理a4.3给出了a（BE）的存在性 O（F））-可测函数e×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ emxt（ω）使得Mt（ω）=emL（ω）t（ω）对所有t保持P-a.s∈ R+。让我们，t∈ Q+（其中Q+表示正有理数的s集）与s≤ t并将任意事件视为∈ f和有界可测函数g:E→ R

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2022-5-8 22:22:03

然后，考虑到公式（4.1）以及（Mt）t的G-鞅性质≥0，它认为ZEg（x）E[emxsqxsAs]λ（dx）=E[emLsAsg（L）]=E[MsAsg（L）]=E[MtAsg（L）]=E[emLtAsg（L）]=E[emLtAsg（L）]=ZEg（x）EhE[emxtqxt | Fs]1Asiλ（dx），（4.3），其中在上一项中，我们采用条件期望E[emxtqxt | Fs]的一个可测量版本（见[SY78，引理3]）。这表明（x，ω）∈ E×Ohm : emxs（ω）qxs（ω）6=E[emxtqxt|Fs]（ω）有零（λ） P） -测量。反过来，如[Jac85，引理1.8]中所述，这意味着集合B:={x∈ E:emxsqxs=E[emxtqxt | Fs]P-a.s.适用于所有s，t∈ 带s的Q+≤ t} 满意度λ（B）=1。然后定义bmxt（ω）：=emxt（ω）1B（x），对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohmx R+，使（bmxtqxt）t∈Q+是一个鞅(Ohm, F、 P），对于所有x∈ E.对于每一个t∈ Q+，它认为P（Mt=bmLt）=P（emLt=bmLt）=ZEE{emxt=bmxt}qxtλ（dx）=ZBE[qxt]λ（dx）=λ（B）=1，其中第一个等式使用P（Mt=emLt）=1，第二个等式来自（4.1）。因此，对于所有的有理数t，Mt=bmLtholds P-a.s∈ Q+。对于t≥ [Jac85，引理1.8]的证明，让我们用所有（x，ω）的集合表示∈ E×Ohm 这样，bmx·（ω）qx·（ω）在每s的有理数上允许从左到右的有限极限∈ [0，t]。对于t>0，集合Ctis Ft可测，以及（bmxtqxt）t的鞅性质∈Q+意味着p（{ω：（x，ω）∈ Ct}=1，每x∈ E.对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohm x R+，定义nxt（ω）：=林斯∈Q+，s↓tbmxs（ω）qxs（ω），if（x，ω）∈Ts>tCs；否则为0。函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ nxt（ω）是O（bF）-可测的，因为nx·（ω）是c`adl`agfor every（x，ω）∈ E×Ohm, 这也是 O（F））-根据[SY78，第3条后的备注1]可测量。因此，每x∈ E、（nxt）t≥0是鞅（bmxtqxt）t的右连续正则化∈Q+。回顾[0，ζx[]上的qx>0（参见。

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mingdashike22

2022-5-8 22:22:07

[HWY92，定理2.62]），设thenmxt（ω）：=nxt（ω）/qxt（ω）1{t<ζx（ω）}，对于所有（x，ω，t）∈ E×Ohm ×R+。由于[ζx]上的qx=0，∞[[，它保持mxtqxt=nxt{t<ζx}=nxt，因此（mxtqxt）t≥0还表示（bmxtqxt）t的右连续正则化∈Q+。根据引理2.3，函数（x，ω，t）7→ mxt（ω）是（BE） O（F））-可测量，mx·（ω）是c`adl`ag，对于每一个（x，ω）∈ E×Ohm. 无论如何≥ 0，设{tn}n∈Nbe Q+中的递减序列，使limn→∞tn=t，然后它保持mlt=nLtqLt=limn→∞bmLtn=limn→∞Mtn=MtP-a.s.，其中我们使用了M·=bmL·与（Mt）t的右连续性一起适用于所有正理性P-a.s≥这证明了命题的必要性。相反的含义（效率）后面是（4.3）中使用的相同参数，以及σ-场G是由形式为1Asg（L）的随机变量生成的事实，例如：∈ FSG和g:E→ R是可测量的（见引理4.2）。命题4.4通过利用密度{qx:x，将对原始过滤F的依赖性从L生成的附加信息中分离出来，从而刻画了G-鞅性质∈ E} 。类似的结果已经出现在扩大过滤的理论中。特别是，命题4.4的结果符合[Jac85，第5节]中提出的类似于Girsanov的初始放大解释的精神。此外，注意到fw相对于L的初始放大与F相对于L在[[L]上的渐进放大一致，∞[[（参见[KLP13，引理3]），在[EKJJ10，命题5.5]中建立了一个类似的结果。相关结果也可以在[GVV06].4.3中找到。产品空间（b）上的可预测表示属性Ohm,英国石油公司）。

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2022-5-8 22:22:11

本小节的主要目的在于证明F-局部鞅S=（St）t的强可预测r表示性质≥0可以转移到产品空间（bOhm,英国石油公司）。特别是，如果{（mxt）t≥0:x∈ E} 是一个由x参数化的F-鞅族∈ E、在初始放大的筛选中，我们应该利用强可预测的表示性质，建立一个同时适用于所有（mxt）t的鞅表示结果≥0，x∈ E、表达式中出现的被积函数的可测性（参见命题4.9，并与备注4.1和附录A进行比较）。本小节给出的结果不依赖于假设2.2。在[FI93]一行中，致力于产品空间（bOhm,bF，bP）允许将随机变量L与原始过滤F解耦。因此，通过将原始概率空间嵌入乘积空间，情况变得类似于带有独立随机变量的F的初始放大，因此可以从初始放大过滤的已知结果中推导出引理4.5和4.8。然而，为了使演示内容完整，我们更愿意为所有结果提供完整的证明。让E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ uxt（ω）是an（bA）BR+——可测量的功能。我们使用符号u·=（u·）t≥0表示映射（x，ω，t）7→ uxt（ω）被视为产品空间（b）上的随机过程Ohm,作为初步证明，我们证明了乘积空间（b）上的鞅性质Ohm,bF，bP）可以用原空间上一类过程的鞅性质来刻画(Ohm, F、 P）。以下引理的效率部分最近已在[EI15，命题4.7]中建立。尽管以下引理的证明与命题4.4的证明非常相似，但为了方便读者，我们提供了全部细节。引理4.5。

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2022-5-8 22:22:15

安（文学士） BR+-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ uxt（ω）满足λ（dx）<∞, 尽管如此，t∈ R+，i是（b）上的鞅Ohm,bF，bP）当且仅当存在（BE）时 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ mxt（ω）使得（mxt）t≥0∈ M（P，F），代表所有x∈ E、对于mx-t和ω∈ R+。证据设（x，ω，t）7→ uxt（ω）是满足自由[|uxt |]λ（dx）<∞, 无论如何∈ R+，并且（u·t）t≥0∈ M（bP，bF）。由于t和bf是右连续的，映射（x，ω，t）7→ uxt（ω）是O（bF）可测量的，因此过程（uxt）t≥0是O（F）-可测量的，对于每个人来说∈ E（见第2.2节）。在不失去普遍性的情况下，我们可以 O（F））-映射（x，ω，t）的可测版本7→ uxt（ω），见[SY78，命题3后的R标记1]。考虑任意的s，t∈ 带s的Q+≤ t、作为∈ f和有界可测函数g:E→ R.然后是随机变量g（·）1和（b）Ohm,bA）isbFs是可测的，因此，（u·t）t的鞅性质是可测的≥0意味着Zeg（x）EuxsAsλ（dx）=bE[u·sg（·）1As]=bE[u·tg（·）1As]=ZEg（x）EE[uxt | Fs]1Asλ（dx），其中我们取条件期望E[uxt | Fs]的可测量版本。通过命题4.4证明中使用的相同等式，我们得到了集合B的存在性∈ 因此λ（B）=1和a（BE）的 O（F））-可测函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ bmxt（ω）如（bmxt）t∈Q+是一个鞅(Ohm, F、 P），对于所有x∈ E、 bmxt（ω）=uxt（ω）对allt保持P-a.s∈ Q+和x∈ B.此外，对于每一个t∈ Q+，它认为bp（u·t=bm·t）=REP（uxt=bmxt）λ（dx）=λ（B）=1。定义然后（mxt）t≥0as（bmxt）t的右连续正则化∈Q+，每x∈ E、 18 C.Fontanas在命题4.4的证明中构造，因此（mxt）t≥0∈ M（P，F），每x∈ E

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