鞅最优运输对偶 - 外文文献专区

2022-6-14 10:33:57

鞅最优运输对偶*Patrick Cheridito+Matti Kiiski+David J.Pr¨omelH.Mete Soner§Abstracts我们使用商集获得了Skorokhod空间中定义的Kantorovich函数的对偶表示。我们的表示采用鞅测度生成的aChoquet容量的形式，满足额外的约束，以确保与商集的兼容性。这些集合包含路径定义的随机积分，并给出了从简单被积函数开始的两个此类定义。我们分析的另一个重要组成部分是Skorokhod空间上Jakubowski\'sS-topology的正则化版本。关键词：凸对偶、Skorokhod空间、Jakubowski的s-拓扑、无模型金融数学主题分类：60B05、60G44、91B24、91G201简介Kantorovich对偶[42、43]是经典最优运输理论中的重要工具[3、13、57]。抽象地，它提供了局部凸Riesz空间X上定义的凸下半连续泛函Φ的对偶表示，即局部凸格序拓扑向量空间。在Kantorovich设置中，X是定义在拓扑空间上的一组实值函数Ohm. 典型的例子是所有有界连续函数Cb的集合(Ohm) 或所有有界Borel可测函数集Bb(Ohm) 使用SUPREUM标准。对于凸锥I给出的商集，我们考虑Φ（ξ；I）：=inf{c给出的扩展实值泛函∈ R:c+l ≥ ξ对于某些l ∈ 一} ，ξ∈ 十、 Φ有几个直接性质。例如，它直接从Φ是单调和凸的定义出发。

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2022-6-14 10:34:00

而且，很明显，对于任何常数c，都有*该研究部分得到了瑞士国家基金会拨款SNF 200020-172815的支持。+瑞士苏黎世ETH数学系英国牛津大学数学研究所§美国普林斯顿大学运营研究与金融工程系Φ（c；I）≤ c和Φ（λξ；I）=每个λ的λΦ（ξ；I）≥ 此外，如果可以确定Φ是下半连续且适当的（即，不等于完整性且不等于负完整性），则可以应用芬切尔-莫罗定理【60，定理2.4.14】来获得表示Φ（ξ；i）=σΦ（ξ）：=supД∈Φφ(ξ), ξ ∈ 十、（1.1）其中Φ是拓扑对偶X的凸集*X givenby的Φ = Φ（0；I）：={Д∈ 十、*: φ(ξ) ≤ Φ（ξ；I）表示所有ξ∈ 十} 。该公式类似于[13]中给出的公式。除了许多其他应用之外，它还为风险管理提供了一个自然的框架[51，52]。最近，它还被用来减少定价问题中的模型依赖性[8，33]。在这些应用程序中，Φ是超级复制函数，I是对冲集。本文的主要目标是在以下情况下建立双重代表（1.1）Ohm 是Korokhod空间的一个合适子集，同时也考虑了运输轨迹。在经典的最优运输中Ohm = Rd×Rd和商集IoT是通过RdbyIot上的两个给定概率度量u，ν定义的：=f⊕ h:f，h∈ Cb（Rd）和u（f）=ν（h）=0,式中，u（f）=Rf du，ν（h）=Rh dν和（f⊕ h）（x，y）：=f（x）+h（y）。设Φotbe X=Cb上对应的凸泛函(Ohm) 具有最高范数。然后，指出Φotis真值和Lipschitz连续。此外Φot=φ ∈ Cb公司(Ohm)*: φ ≥ 0和Д（f⊕ h） =u（f）+ν（h），对于所有f，h∈ Cb（Rd）.因此，任何∈ Φotis非阴性，边缘为u和ν。

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2022-6-14 10:34:03

因此，ν是紧密的，因此氡概率测量值为Ohm.或者，可以使用Cb上的β-拓扑推断对偶元素的可数可加性(Ohm) 在下文附录B中回顾。如果拓扑打开Ohm 是完全正则Hausdor ff（T），则是Cb的拓扑对偶(Ohm) β拓扑等于有限总变差的所有有符号Radon测度集，不需要紧度参数。另一方面，必须证明Φ相对于该拓扑的连续性。我们在研究中使用了这一观察结果，它考虑了更复杂拓扑空间上的问题Ohm.Kellerer[45]利用Choquet的容量定理[20]表明，如果在商集的定义中使用了可测函数，则可测（和Suslin）函数的最优传输对偶也成立。类似地，对于鞅或约束最优运输，需要扩大集合I，以实现具有相同次梯度集的更一般函数的对偶性[9，29]。或者，我们可以固定商集I，并通过扩展子梯度集获得对偶性，正如在[29]中所做的那样。我们在这里不追求这种方法。本文研究了子集上的广义鞅最优运输问题Ohm 所有Rd+-值的c\'adl\'ag函数的Korokhod空间D（[0，T]；Rd+），即函数ω：[0，T]7→右起连续且左限有限的Rd+。我们假设Ohm 是关于Jakubowski的s-拓扑[39，40]的D（[0，T]；Rd+）的封闭子集，并赋予s的正则化版本。我们的主要目标是通过适当扩展商集，证明具有相同Choquetcapacity（由可数加法（鞅）度量定义）的对偶性，对于X的不同选择。鞅最优运输在[8]的离散时间模型和[33]的连续时间模型中首次引入。

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能者818

2022-6-14 10:34:06

从那时起，人们对其进行了广泛的调查。初始对偶结果[25，26，27，38]是用实分析技术证明的，并且仅适用于一致连续函数。或者，[4、5、6、18、19]使用功能分析工具。特别是，[18]提供了一般表示结果。[19] 证明了σ-紧集的离散时间对偶和[4，5，6]Ohm. 我们的方法类似于[6]，但没有σ-紧性的假设。相反，我们使用了雅库博夫斯基（Jakubowski）[39]引入的S拓扑，它通过上交有效地刻画了紧集。这个特征化允许我们在定理6.4中构造一个递增的紧集序列Knsuch，Φ(Ohm\\Kn）减至零。这一本地化结果对我们的方法至关重要。在类似的背景下，Jakubowski的s-拓扑首次用于[34、35、36]，以证明鞅最优运输的几个重要性质。他们的设置与[33]有关，与我们的不同。在鞅最优运输中，商集I包含“随机积分”。由于没有先验给定的概率结构，积分的定义必须是路径的，这是问题的一个微妙方面。从简单的被积函数开始，我们首先使用Vovk【58，59】提出的理论，然后是【49】提出的理论，并在【7】中使用该理论来证明对偶性。这种构造为上半连续函数提供了对偶性。然后，我们通过采用第2.3小节中定义的Fatou闭包进一步扩大商集I，并通过使用Choquet的CapacabilityTheorem证明可测函数的对偶性，如前面的[4、5、6、9]所述。这些结果如定理3.1所述。

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2022-6-14 10:34:14

第8节提供了一些示例，说明扩大被积函数集的必要性。对偶性与资产定价基本定理（FTAP）之间也有着深刻的联系，FTAP为对偶测度集不为空提供了等价条件。在经典概率设置中，[37]证明了它适用于Black-Scholes模型，[21]适用于离散时间，[22，23]完全通用。稳健离散时间模型在[1]和后来的[15、16、17]中进行了研究。[10，14]另一方面，研究没有或有很多静态选项的概率模型。作为主要对偶结果定理3.1的直接结果，我们还获得了一般鲁棒FTAP，推论9.7。本文的组织结构如下。在第2节中提供了必要的结构和定义之后，我们在第3节中陈述了主要结果。第4节证明了对偶元素的重要性质，第5节给出了一些近似结果。第6节Cb上的Φ分析(Ohm). 第7节给出了主要结果定理3.1的证明。第8节构造了几个示例。第9节讨论了无模型融资的应用。附录中给出了本文使用的拓扑结构和概率测度为鞅测度的充分条件。2组upLetOhm 是所有c\'adl\'ag函数ω：[0，T]的Skorokhod空间D（[0，T]；Rd+）的非空子集→ 相对于Jakubowski的s-拓扑是闭合的Rd+[39，40]。我们表示S的相对拓扑Ohm 同样由S和，类似于[46]，赋予Ohm 使用最粗糙的拓扑*使所有S-连续函数ξ：Ohm → R连续。更多详细信息*附录A中给出，其中显示(Ohm, S*) 是一个完全正态Hausdorff空间（T），且上的每个Borel概率测度(Ohm, S*) 自动进行aRadon测量。

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mingdashike22

2022-6-14 10:34:22

此外，我们从[39，46]中知道，对于所有s<t和每个i=1，d、 Rtsωi（u）d u相对于S和kωk是连续的∞:= sup0≤t型≤T |ω（T）|是S-下半连续的，其中|·|表示T在Rd上的欧氏范数∈ [0，T]，我们用Xt（ω）=ω（T）表示Ohm 设FX=（Ft）t∈[0，T]是X的自然过滤，由FXt=σ（Xs:s）给出≤ t）。通过F=（Ft），我们得出由Ft=FXt+=Ts>tFXs、t<t和Ft=FXt给出的右侧连续过滤。对于过滤F，定义了适应和可预测的过程以及停止时间。特别是对于Rd+的任何开放子集A，命中时间τA（ω）=inf{t≥0:Xt（ω）∈ A} 是一个停止时间；有关这些事实，请参见例如[24，50]。此外，来自【39，46】的论证表明，FT=FXTis等于(Ohm, S*).2.1 Riesz spacesLet B(Ohm) 是所有Borel可测函数ξ的集合：Ohm → [-∞, ∞] 和Bb(Ohm) B中的子tof有界函数(Ohm). 对于p∈ [1, ∞), 我们定义了(Ohm) := {ξ ∈ B类(Ohm) : ω 7→ ξ（ω）/（1+kωkp∞) 有界}，andB(Ohm) := {ξ ∈ Bb型(Ohm) : 对于所有ε>0，{ω∈ Ohm : |ξ（ω）|>ε}相对紧凑}。由Ub提供(Ohm) 和以上(Ohm) 我们在Bb中表示所有上半连续函数的集合(Ohm) 和BP(Ohm), 分别地C类(Ohm) 上所有实值连续函数的集合Ohm. Cb公司(Ohm) andCp(Ohm) 定义类似于Ub(Ohm) 和以上(Ohm). 此外，我们需要setCq，p(Ohm) :=ξ ∈ C类(Ohm) : ξ+∈ Cq公司(Ohm), ξ-∈ Cp公司(Ohm),式中ξ+=最大值（ξ，0）和ξ-= 最大值(-ξ, 0).按M(Ohm) 我们表示上有界全变差的所有有符号Radon测度集Ohm 和P(Ohm) M级(Ohm) 概率测度的子集。对于Q∈ P(Ohm) 和ξ∈ B类(Ohm),我们定义了期望公式[ξ]∈ [-∞, ∞] 通过公式[ξ]：=公式[ξ+]-公式[ξ-] 遵守公约∞ - ∞ = -∞. 对于p≥ 1，Lp(Ohm, Q）是所有函数ξ的集合∈ B类(Ohm) 满足eq[|ξ| p]<∞.Cb上的β-拓扑(Ohm) 由半范数k生成。

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2022-6-14 10:34:26

ηk∞, η ∈ B类+(Ohm), 其中，我们使用上标+表示非负元素的子集。关于β拓扑的更多详细信息见附录B。自(Ohm, S*) 是一个完全正规的hausdorff空间，也是完全正则的，因此Cb的对偶(Ohm) 用β-拓扑学(Ohm); 参见例如[41，54]。2.2持续假设We fix通用常数1≤ p<q。我们所有的定义和结果都依赖于它们，但我们在符号中没有显示这种依赖性。定义2.1。对于凸锥G B类(Ohm), 我们用Q（G）表示所有概率测度Q的（可能为空）集∈ P(Ohm) 使得等式[γ]≤ 所有γ为0∈ 而正则映射X是（F，Q）-鞅，即对于每t∈ [0，T]，Xt∈ L(Ohm, Q） andEQ[Y·（Xt- XT）]=0表示所有Ft可测量Y∈ Bb型(Ohm)d、本文采用以下假设。虽然所有的结果都假设了这一点，但我们并不总是明确地陈述这一假设。假设2.2。G Cq，p(Ohm) 是一个凸锥，存在cq∈ R+和ξq∈ G如此| XT | q≤ cq+ξq。然后，对于每个q∈ Q（G），等式[| XT | Q]≤ cq+EQ[ξq]≤ cq。我们将此与Doob\'smartingale不等式相结合，得出C*q： =supQ∈Q（G）EQ[Xq*] < ∞, 其中X*:= 支持∈[0，T]| Xt |。（2.1）特别是，等式[Y·（Xt- XT）]=0表示所有Q∈ Q（G），每t∈ [0，T]和任何可测量的FTY∈ Bq公司-1(Ohm)d、如果，对于给定u∈ P（Rd+），G包含所有函数G（ω（T））-u（g）带g∈ Cb（Rd+），然后是任何元素Q∈ Q（G）在最终时间T具有边缘u。因此，上述结构包括给定边缘体的经典示例。对于这个例子，著名的Strassen结果[55]为Q（G）非空提供了必要和充分的条件；另请参见下面的推论9.7。2.3积分和商集简单被积函数H由一系列对（τn，hn）n组成∈确保τ≤ τ≤ τ≤ ···是F停止时间，每个hn∈ Bq公司-1(Ohm)dis Fτn-可测量。

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mingdashike22

2022-6-14 10:34:30

我们假设对于每个ω∈ Ohm 有一个指数n（ω），使得τn（ω）≥ T相应的积分直接定义为（H·X）t（ω）：=∞Xn=0hn（ω）·（Xτn+1∧t（ω）- Xτn∧t（ω）），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.对于某些λ，一个简单的被积函数H称为可容许的∈ B+q(Ohm)（H·X）τm∧t（ω）≥ -λ（ω）表示所有（t，ω，m）∈ [0，T]×Ohm ×N.hs表示所有可容许简单被积函数的集合。可容许被积函数是简单被积函数H的集合：=（Hk）k∈N hs满意（Hk·X）t≥ -∧，每t∈ [0，T]，k∈N、对于一些∧∈ B+q(Ohm). H表示所有可容许被积函数的集合。对应的积分由（H·X）t（ω）：=lim infk沿路径定义→∞（Hk·X）t（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.我们使用以下商集：Is（G）：={γ+（H·X）T：γ∈ G、 H类∈ Hs}，I（0）：={（H·X）T:H∈ H} ，I（G）：={γ+（H·X）T：γ∈ G、 H类∈ H} 。此外，letbI（G） B类(Ohm) 是I（G）的Fatou闭包，即包含I（G）的扩展实值Borel可测函数的最小集合，其性质为每个序列{ln} n个∈N满足一致下界的bI（G）ln≥ -λ表示某些λ∈ B+q，lim infnln∈bI（G）。在金融应用的背景下，类似的积分在[58]中首次构造，后来在[7、49、59]中使用。最近对其性质进行了研究【48】。很明显，即（G） I（G）bI（G）和I（0）都是凸锥。3主要结果见表3.1。在假设2.2下，对于所有ξ，Φ（ξ；I（G））=σQ（G）（ξ）∈ 向上(Ohm) 和（3.1）Φ（ξ；bI（G））=σQ（G）（ξ）（对于所有ξ）∈ 英国石油公司(Ohm), （3.2）式中σQ（G）（·）：=supQ∈Q（G）EQ[·]是Q（G）的支持函数。第7节给出了证明。如果Q（G）为空，按照惯例σQ（G）等同于负整数，在这种情况下，上述等式的两边都等于负整数；见推论5.3。

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2022-6-14 10:34:33

第8节的反例表明，通常Is（G）可以小于I（G），而（3.2）通常不适用于I（G）。Q（G）召回X的4个性质*在（2.1）中。如果Q（G）为空，则此部分的所有结果都可以忽略不计。对于ξ∈ B类(Ohm),我们定义了每个常数c≥ 0，ξc（ω）：=（c∧ ξ(ω)) ∨ (-c），ω∈ Ohm. （4.1）引理4.1。limc公司→∞σQ（G）（ξc）=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ 英国石油公司(Ohm).证据修复Q∈ Q（G）和ξ∈ 英国石油公司(Ohm). 存在一个常数c>0，因此|ξ（ω）|≤cXp*（ω）每当|ξ（ω）|≥ c、使用（2.1），我们估计c≥ c、公式[|ξ- ξc |]≤ 公式[|ξ|{|ξ|≥c} ]≤ cEQ[经验值*{Xp*≥c/c}]≤ cEQ【Xq】*{Xp*≥c/c}（c/c）q/p-1.≤cq/pc*qcq/p-因此，通过次可加性，σQ（G）（ξ）- σQ（G）（ξc）≤ σQ（G）（|ξ-ξc |）≤ supQ公司∈Q（G）式[|ξ- ξc |]≤cq/pc*qcq/p-引理4.2。每小时∈ H、 t型∈ [0，T]和Q∈ Q（G），EQ[（H·X）t]≤ 0.因此，等式[l] ≤ 0表示每l ∈ I（G）和Q∈ Q（G）。证据修复Q∈ Q（G）和H=（τn，hn）n∈N∈ Hs。对于m≥ 1套lmt：=（H·X）τm∧t=m-1Xn=0hn·（Xτn+1∧t型- Xτn∧t），t∈ [0，T]。自定义起，每个hn∈ Bq公司-1(Ohm)dand X是（F，Q）-鞅，我们有等式[lmt]=0。根据H的可容许性，存在λ∈ B+q(Ohm) 因此lmt公司≥ -λ对于每个m和t∈ [0，T]。因此，根据Fatou引理和（2.1），等式[（H·X）t]≤ lim信息→∞均衡器[lmt]=0表示所有t∈ [0，T]。设H=（Hk）k∈N∈ H、然后，通过定义每个香港∈ hs并根据上述结果q（香港·X）t≤ 同样，根据可采性，存在∧∈ B+q(Ohm) 使（Hk·X）t≥ -每k∧≥ 1，t∈ [0，T]。用Fatou引理，对于t∈ [0，T]，EQ[（H·X）T]=EQhlim infk→∞（Hk·X）ti≤ lim信息→∞均衡器（香港·X）t≤ 最终声明直接来自定义。引理4.3。对于每个l ∈bI（G）和Q∈ Q（G），等式[l] ≤ 因此，σQ（G）（ξ）≤ Φ（ξ；bI（G））≤ Φ（ξ；I（G））表示所有ξ∈ B类(Ohm). （4.2）证明。设置K（G）：=ξ ∈ B类(Ohm) : σQ（G）（ξ）≤ 0. 引理4.2，I（G） K（G）。

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2022-6-14 10:34:36

考虑序列{ξn}n∈N K（G）满足一致下界ξn≥ -λ表示某些λ∈ B+q(Ohm).然后，通过Fatou引理和一致界（2.1），EQhlim infn→∞ξni≤ lim信息→∞公式[ξn]≤ 0表示所有Q∈ Q（G）。因此，lim infnξn∈ K（G）。由于bi（G）的定义是具有该性质的最小可测函数集，包含I（G），我们得出结论bi（G） K（G）。固定ξ∈ B类(Ohm). 假设ξ≤ c+l 对于一些c∈ R和l ∈bI（G）。SincebI（G） K（G），式[ξ]≤ 等式[c+l] ≤ 每Q为c∈ Q（G）。因此，σQ（G）（ξ）≤ c、由于Φ（ξ；bI（G））在所有此类常数的限值内，σQ（G）（ξ）≤ Φ（ξ；bI（G））。事实I（G）bI（G）表示Φ（ξ；bI（G））≤ Φ（ξ；I（G））。5近似结果引理5.1。^c*q： =Φ（Xq*; I（G））<∞.证据对于N∈ N、 {yk}Nk=0 R+和n≤ N、让y*n： =最大值0≤k≤纽约市。第1步。[2，命题2.1]表明（y*N） q+dqyq≤N-1Xn=0h（y*n）（yn+1- yn）+（dqyN）q，其中dq：=q/（q- 1） h（y）：=-qdqyq-1对于y∈ R+。第2步。设置τ：=0，对于每个ω∈ Ohm 和n∈ N递归定义τN（ω）：=inft>τn-1（ω）：| Xt（ω）| q>| Xτn-1（ω）| q+1∧ T、然后，τn是停止时间。对于ω∈ Ohm, i=1，d、 n=0，1，2，赛斯*,in（ω）：=h最大值0≤k≤nXiτk（ω）, h类*n（ω）：=h类*,1n（ω），h类*,dn（ω）.很明显，h*n∈ Bq公司-1(Ohm)D因此H*:= （τn，h*n） n个∈Nis是一个简单的被积函数。第3步。我们声称H*是可以接受的。实际上，fix t∈ [0，T]，ω∈ Ohm, i=1，d、 andset yn：=Xiτn∧t（ω）。对于k∈ N、集合▄N=▄N（ω，t，k）：=sup{m：τm（ω）≤ t}∧ （k）- 1).然后，对于n≤ ~n，yn=Xiτnand，因此，h*,in（ω）=h（y*n）。对于▄n<n<k，Xiτn+1∧t=Xiτn∧t=xit和yn+1=Xiτk∧t、步骤1，k-1Xn=0h*,in（Xiτn+1∧t型- Xiτn∧t） =▄nXn=0h（y*n）（yn+1- yn）≥ （y）*n+1）q- （dqyn+1）q=supn≤kXiτn∧t型q- （dqXiτk∧t） q.因此，对于每个t∈ [0，T]和整数k，（H*· 十） τk∧t型≥xi≤dsupn≤kXiτn∧t型q-xi≤d（dqXiτk∧t） q≥xi≤dsupn≤kXiτn∧t型q- c*|Xτk∧t | q≥ -c*Xq公司*, （5.1）对于某些常数c*仅取决于d和q。因此，H*是可以接受的。第4步。

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2022-6-14 10:34:39

我们将t=t输入（5.1），并将k发送到单位以获得xi≤dsupnXiτn∧Tq≤ （H）*· 十） T+c*|XT | q.选择常数^c*所以对于所有y=（y，…，yd）∈ Rd+，| y | q≤ ^c*圆周率≤d | yi | q.让cq，ξqbea在假设2.2中。然后，0≤ supn | Xτn∧T | q≤ ^c*xi≤dsupnXiτn∧Tq≤ ^c*[（H*· 十） T+c*|XT | q]≤ （^c*H*· 十） T+^c*c*（cq+ξq）=：l*+ ^c*c*cq。自从H*∈ Hs，ξq∈ G是一个圆锥体，l*:= （^c*H*· 十） T+^c*c*ξq∈ I（G）。第5步。通过定义τn，Xq*≤ supn | Xτn∧T | q+1≤ l*+ ^c*c*cq+1，从中可以得到Φ（Xq*; I（G））≤ ^c*c*cq+1<∞.推论5.2。对于任何凸锥I I（G）和ξ∈ 英国石油公司(Ohm), 一个有limc→∞Φ（ξc；I）=Φ（ξ；I）。证据固定ξ∈ 英国石油公司(Ohm). 存在c>0，因此|ξ|≤ cXp*每当|ξ|≥ c、第1步。对于c≥ c、（|ξ|- c） {|ξ|≥c}≤ cXp*{Xp*≥c/c}≤cXq公司*（c/c）q/p-1{Xp*≥c/c}≤cq/pcq/p-1Xq*.由于I包括I（G），Φ（（|ξ|- c） {|ξ|≥c} ；（一）≤ cq/pc1-q/pΦ（Xq*; I（G）），根据表5.1，给出lim supc→∞Φ((|ξ| - c） {|ξ|≥c} ；（一）≤ 0、步骤2。自|ξ起- ξc|≤ (|ξ| - c） {|ξ|≥c} ，一个从次可加性Φ（ξc；I）得出≤ Φ（ξc- ξ; 一） +Φ（ξ；I）≤ Φ((|ξ|- c） {|ξ|≥c} ；一） +Φ（ξ；I），通过上一步，得出lim supc→∞Φ（ξc；I）≤ Φ（ξ；I）。第3步。同样，Φ（ξ；I）≤ Φ(ξ - ξc；一） +Φ（ξc；I）≤ Φ((|ξ| - c） {|ξ|≥c} ；一） +Φ（ξc；I），因此Φ（ξ；I）≤ lim infc→∞Φ（ξc；I）。定义的直接结果是Φ（ξ；I（G））≤ kξk∞对于任何ξ∈ Bb型(Ohm).尤其是Φ（0；I（G））≤ 0。推论5.3。我们有以下备选方案：（i）如果Φ（0；i（G））=0，那么|Φ（ξ；i（G））|≤ kξk∞对于所有ξ∈ Bb型(Ohm).（ii）如果Φ（0；I（G））<0，则Q（G）为空，且Φ（·；I（G））≡ Φ（·；bI（G））≡ -∞ 在Bp上(Ohm).尤其是，（3.1）和（3.2）的内容微不足道。证据首先，假设Φ（0；I（G））=0，让ξ∈ Bb型(Ohm). 自ξ+kξk∞≥ 0，一个有Φ（ξ；I（G））=-kξk∞+ Φ（ξ+kξk∞; I（G））≥ -kξk∞+ Φ（0；I（G））=-kξk∞.现在假设Φ（0；I（G））<0。然后，存在c<0，l ∈ I（G）使得c+l ≥ 同样，对于任何常数λ>0，λ（c+l) ≥ 0

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能者818

2022-6-14 10:34:43

因为I（G）是一个圆锥体，λl ∈ I（G）和Φ（0；I（G））≤ cλ。由于上述λ>0是任意的，我们得到Φ（0；I（G））=-∞ 和Φ（ξ；I（G））≤ kξk∞+ Φ(ξ - kξk∞; I（G））≤ kξk∞+ Φ（0；I（G））=-∞.这表明-∞ ≤ σQ（G）（·）≤ Φ（·；bI（G））≤ Φ（·；I（G））≡ -∞ 在Bb上(Ohm), 根据推论5.2，也在Bp上(Ohm).此外，（4.2）意味着如果Q（G）非空，Φ（0；bI（G））=0。因此，如果Φ（0；bI（G））<0，则Q（G）必须为空。对于Rd值的c\'adl\'ag进程Y，setlY（ω）：=ZTYu（ω）·（Xu（ω）- XT（ω））du。引理5.4。设Y是一个Rd值、adap-ted、c\'adl\'ag过程。假设存在λ∈ Bq公司-1(Ohm) 满意|于|≤ λ每u∈ [0，T]。然后lY∈ I（0），对于任何包含I（0）的商集I，Φ(lY（一）≤ 0证明。对于k∈ N和N=0，k集τkn：=nT/k，Ykn：=Yτkn，Xkn：=Xτkn，hk：=-（电汇）Yand hkn：=hkn-1.- （电汇）YKNN≥ 1、自λ起∈ Bq公司-1(Ohm), 简单被积函数Hk：=（τkn，hkn）kn=0是允许的。此外，（Hk·X）T=k-1Xn=0hkn·（Xkn+1- Xkn）=Tkk-1Xn=0Ykn·（Xkn- XT）。设H：=（Hk）k∈N、由于Y和X都是c\'adl\'ag，（H·X）T=limk→∞（Hk·X）T=lY、可以直接验证H∈ H、因此，lY∈ I（0）。6 Cb上的连续性(Ohm)我们使用紧凑符号Φ（·）=Φ（·；I（G））。引理6.1。lim supc→∞Φ（{X*>c} （）≤ 0.证明。修复c>0，i∈ {1，…，d}和集合Xi*:= 支持∈[0，T]Xit。自退出以来≥ 0，c{Xi*>c} （ω）≤ XiT（ω）+（c- XiT（ω））{Xi*>c} （ω）对于所有ω∈ Ohm.设置hi=-1，对于j 6=i，τ（ω）：=inf{t，hj=0≥ 0：Xit∈ （c），∞)} ∧ T，τ：=T，设H为相应的被积函数。然后，（H·X）T=（Xiτ）- XiT）。根据右连续性，我们有xiτ≥ 集合{Xi上的c*> c} 其补码上的τ=T。因此，（H·X）T≥（c）-XiT）{Xi*>c} 和Φ（c）- XiT）{Xi*>c}≤ 因此，Φ（{Xi*>c} （）≤ Φ（XiT）/c，根据引理5.1，当c趋于完整时，其收敛于零。自{X*>√dc} ∪i{Xi*> c} ，引理的主张来自Φ的次可加性。定义6.2。

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2022-6-14 10:34:51

对于ω∈ D（[0，T]；R+，T∈ [0，T]，且a<b，上交叉数up to T，Ua，bt（ω），是可以找到0的最大整数n≤ t<···<t2n≤ 因此ω（t2k- 1） <a和ω（t2k）>b，对于k=1，n、对于ω∈ D（[0，T]；Rd+），我们设置Ua，b，it（ω）：=Ua，bt（ωi）。引理6.3。对于0<a<b且i=1，d、存在Ha、b、i∈ hsha，b，i·X）t（ω）≥ -a+（b- a） Ua、b、it（ω）f或所有（t、ω）∈ [0，T]×Ohm.证据对于k≥ 1，如果k是奇数整数且Ik：=（b，∞ ) 如果k是偶数，且τ：=0。通过τk（ω）：=inf递归定义随机时间序列t型≥ τk-1（ω）：Xit（ω）∈ Ik∧ T、其中空集的最小值是完整的。由于X是c\'adl\'ag且Ikis打开，τk是f停止时间。定义hk=（hk，…，hdk）如下：当k为奇数时，hik=1，对于keven，hik=0，对于j 6=i，hjk=0。设Ha，b，ibe为相应的简单被积函数。很明显，对于每一个t∈ [0，T]，ω∈ Ohm, （Ha，b，i·X）t（ω）≥ -a+（b- a） Ua，b，it（ω）。因此，Ha，b，i∈ Hs。6.1局部化定理6.4。比较子集{Kn}n存在一个递增序列∈Nof公司Ohm 令人满意，limn→∞Φ(Ohm\\千牛）≤ 0.证明。我们分几个步骤完成证明。第1步。设D是（0，∞) 和{（aj，bj）：j∈ N} 可数集{（a，b）的一个枚举∈ D×D:0<a<b}。适用于所有n∈ N、 defineki，jn：=Nω∈ Ohm : Uaj，bj，iT（ω）≤ cjno，bKn：=d\\i=1\\j∈NKi，jn，Kn：=Bn∩bKn，其中cnj：=2j+n（aj∨ 1） /（北京- aj）和Bn：={ω∈ Ohm : 十、*(ω) ≤ n} 。自从Ohm 是S-闭的，从[39，推论2.10]中可以得出Kijnand bn是D（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。因此，所有Knare S-紧，因此也*-的紧子集Ohm; 见附录Aor【46，推论5.11】。此外(Ohm \\ 千牛）在…上∪ (Ohm \\ Bn），其中On：=[i，j(Ohm \\ Ki，jn）。第2步。设Ha，b，ibe如引理6.3所示，设Hi，jn：=（cnj（bj- aj））-1哈吉，北京，i。

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2022-6-14 10:34:54

然后，forevery t∈ [0，T]，（Hi，jn·X）T≥ -ajcnj（北京- aj）+Uaj、bj、itcnj≥ -2.-（日本+日本）+阿联酋、北京、itcnj。因此，嗨，jn∈ hs和（Hi，jn·X）T≥ -2.-（j+n）+Ohm\\Ki，jn。对于k≥ 1，设置Hkn：=Pdi=1Pkj=1Hi，jn。然后，每k≥ 1和t∈ [0，T]，（Hkn·X）T≥-d 2-n、因此，对于每个n，Hn：=（Hkn）k∈N∈ H和（Hn·X）T=直线信息→∞（Hkn·X）吨≥dXi=1∞Xj=1Ohm\\Ki，jn- 2.-（j+n）≥在…上- d 2-n、因此，Φ（On）≤ d 2-n、第3步。根据前面的步骤和引理6.1，lim supn→∞Φ(Ohm\\千牛）≤ lim支持→∞Φ(Ohm\\Bn）+Φ（On）≤ 最后，由于对于每对（i，j），集合Ki，jn在n中增加，我们得出结论，Knis也在n.6.2β-连续性位置6.5中增加。假设Φ（0）=0。那么Φ是实值且β-连续的onCb(Ohm).证据根据推论5.3，Φ是实数，定理6.4中构造的紧集满足Φ(Ohm\\千牛）↓ 0，因为n趋于完整。让Kbe为空集，通过重新标记，我们可以假设Φ(Ohm\\Kk）≤ 2.-2k，每k≥ 0、定义η*:=∞Xk=1-kKk\\Kk-1、从Kk的补码开始-1, |η*| ≤ 2.-k、 η*∈ B类(Ohm). 固定整数n和ξ∈ Cb公司(Ohm).自Kk起\\Kk-1, η*= 2.-k、在Kk上\\Kk-1, (η*)-1=2k，所以，在Kn=∪nk=1（Kk\\Kk-1），|ξ| Kn=|ξ|η*(η*)-1Kn≤ kξη*k∞(η*)-1Kn=kξη*k∞nXk=1kKk\\Kk-1、假设Φ（0）=0，|Φ（ξKn）|≤ Φ（|ξ| Kn），因此，|Φ（ξKn）|≤ kξη*k∞nXk=1kΦKk\\Kk-1.≤ kξη*k∞nXk=1kΦOhm\\Kk公司-1.≤ kξη*k∞nXk=1k-2（k-1)≤ 4kξη*k∞= 4kξkη*.因此，根据定理6.4，|Φ（ξ）|≤ lim支持→∞|Φ（ξKn）|+kξk∞Φ(Ohm\\千牛）≤ 4kξη*k∞.对于ξ，ζ∈ Cb公司(Ohm), 按次加性，Φ（ξ）=Φ（（ξ- ζ) + ζ) ≤ Φ(ξ - ζ) + Φ(ζ). 因此，Φ（ξ）- Φ(ζ) ≤ Φ(ξ - ζ) ≤ 4k（ξ- ζ) η*k∞. 切换ξ和ζ的角色，我们得出|Φ（ξ）- Φ(ζ)| ≤ 4k（ξ-ζ) η*k∞. 因为β拓扑是由半范数生成的。ηk∞对于任意η∈ B类+(Ohm) 和η*∈ B类+(Ohm), 上述不等式得出Φ在Cb上是β-连续的(Ohm) （见下文附录B）。6.3子差异比例6.6。Q（G）=Φ := {φ ∈ M级(Ohm) : φ(ξ) ≤ Φ（ξ；I（G）），ξ∈ Cb公司(Ohm)}.证据

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2022-6-14 10:34:58

下限（4.2）表示Q（G） Φ. 为了证明相反的包含，fixq∈ Φ M级(Ohm). Φ的单调性意味着Q≥ 0、自Φ（c）≤ 对于每个常数c，我们得出结论Q∈ P(Ohm).第1步。Letξ∈ C类+(Ohm), 和定义ξc或c≥ 0，如（4.1）所示。然后，ξc≤ ξ和Q的by-thefining性质，EQ[ξc]≤ Φ（ξc）≤ Φ(ξ). 因此，通过单调收敛，等式[ξ]=极限→∞公式[ξc]≤ Φ(ξ).第2步。对于ε>0，setXεt（ω）：=εZt+εtXu∧Tdu，t∈ [0，T]。由于映射Xt和时间积分是S-连续的[39]，Xε是S*-不断的因此，forevery t∈ [0，T]，| XεT |∈ C类(Ohm) 和| Xεt |≤ 十、*, 其中X*如（2.1）所示。此外，limε→0Xεt（ω）=Xt（ω），对于每个ω∈ Ohm. 修复t∈ [0，T]并选择ξ=| XεT | qin步骤1以获得等式[| XεT | q]≤Φ（| Xεt | q）≤ Φ（Xq*). 通过Fatou引理，EQ[| Xt | q]≤ lim infε→0EQ[| Xεt | q]≤ Φ（Xq*) = ^c*q<∞,其中^c*引理5.1中的qis。因此，Xt∈ Lq公司(Ohm, Q）每t∈ [0，T]。第3步。修复t∈ [0，T）和Ft可测量Y∈ Cb公司(Ohm)d、对于ε∈ （0，T- t] ，设置lY、 ε：=εZt+εtY | Xu |+1·（Xu- XT）du，和lY： =Y | Xt |+1·（Xt- XT）。请注意lY、 ε∈ C类(Ohm), limε→0lY、 ε（ω）=lY（ω），对于所有ω∈ Ohm 根据推论5.4，Φ(lY、 ε）≤ 0.此外，lY、 ε≥ -kY k公司∞[1+| XT |]=> lcY，ε≥ -kY k公司∞[1+| XT |]∈ Lq公司(Ohm, Q）。然后，通过Fatou引理，EQ[lY]≤ lim infε→0EQ[lY、 ε]。现在我们再次使用法图引理、次微分不等式和推论5.2来获得等式[lY、 ε]≤ lim infc→∞均衡器[lcY，ε]≤limc公司→∞Φ(lcY，ε）=Φ(lY、 ε）≤ 0。因为此参数也适用于-Y，我们得出结论，eq[lY] =0。第4步。让Y与上一步一样。对于c>0，设置Yc：=Y[（| Xt |+1）∧ c] 。自XT起，XT∈ Lq公司(Ohm, Q），由支配收敛，等式[Y·（Xt- XT）]=limc→∞均衡器Yc | Xt |+1·（Xt- XT）= 上述等式、步骤2中证明的可积性和引理C.1意味着X是（F，Q）-鞅。如（2.1）所示，这也意味着*] < ∞.第5步。Letξ∈ Cp公司(Ohm).

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2022-6-14 10:35:01

那么，|ξ|≤ cξ（1+Xq*) 对于某些常数cξ和每一个大于0的常数，ξc≤ cξXq*. 自X起*∈ Lq公司(Ohm, Q），支配收敛产生等式[ξ]=极限→∞公式[ξc]。同样，根据推论5.2，limc→∞Φ（ξc）=Φ（ξ）和ξc处的次微分不等式∈ Cb公司(Ohm) 意味着等式[ξc]≤ Φ（ξc）。因此，等式[ξ]=limc→∞公式[ξc]≤limc公司→∞Φ（ξc）=每ξΦ（ξ）∈ Cp公司(Ohm).第6步。固定γ∈ G、然后，根据假设2.2，γ∈ Cq，p(Ohm) 因此，γ-∈ Cp公司(Ohm). 如果a>0，则设置γa：=γ∧ a、自γa起≤ γ、 Φ（γa）≤ Φ(γ) ≤ 0.同样，γa∈ Cp公司(Ohm) 通过上一步，等式[γa]≤ Φ（γa）≤ 此外，|γa |≤ |γ| ≤ cγ（1+Xq*) 对于某些cγ>0。自X起*∈ Lq公司(Ohm, Q），支配收敛产生等式[γ]=利马→∞等式[γa]≤ 因此，等式[γ]≤ 每γ0∈ G、这和步骤4意味着Φ Q（G）。上述结果也证明了集Q（G）的紧性。推论6.7。Q（G）是凸的，对于配对hCb诱导的拓扑，Q（G）既是紧的，也是序列y紧的(Ohm), M级(Ohm)i、证明。很明显，Q（G）是凸的。设Knbe为定理6.4的证明。然后，通过（4.2），σQ（G）(Ohm\\千牛）≤ Φ(Ohm\\Kn）=：αn。根据定理6.4，α等于零。因此，Q（Kn）≥ 1.- Q上的α非对称∈ Q（G）。由于αnConvergence为零，Q（G）是统一的。根据命题6.6，Q（G）=Tξ∈Cb公司(Ohm){Q∈ P(Ohm) : 公式[ξ]≤ Φ(ξ)}. 因此，Q（G）很弱*关闭然后，根据Prokhorov关于完全正则Hausdorff空间的定理[12，定理8.6.7]，Q（G）是弱的*契约根据[12，定理8.6.7]的第二个断言，由于紧集Knabove是可度量的[46，命题5.7]，Q（G）也是顺序弱的*契约7定理3.17.1 Cb对偶性的证明(Ohm)提案7.1。Φ（ξ；I（G））=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ Cb公司(Ohm).证据根据推论5.3，我们可以假设Φ（0；I（G））=0。然后，根据第6节的结果，Φ是凸的、有限值的和β-连续的。

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2022-6-14 10:35:04

所以，拓扑空间Cb上的芬奇-莫罗定理的假设(Ohm) 满足局部凸β-拓扑[60，定理2.3.3]。由于Φ是正同质的，Φ（ξ；I（G））=σΦ（ξ）预测ξ∈ Cb公司(Ohm). 然后，我们在Cb上完成了对偶性的证明(Ohm) 根据命题6.6.7.2上的对偶性(Ohm)我们首先扩展了Cb的对偶性(Ohm) 至Ub(Ohm) 通过极大极小参数。引理7.2。对偶Φ（ξ；I（G））=σQ（G）（ξ）适用于所有ξ∈ Cb公司(Ohm) 当且仅当itholds for allξ∈ 乌兰巴托(Ohm).证据假设二元性在Cb上成立(Ohm) 让η∈ 乌兰巴托(Ohm). 鉴于（4.2），我们需要证明σQ（G）（η）≥ Φ（η；I（G））。自S起*对于每一个Q∈ P(Ohm), 公式[η]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)公式[ξ]。显然，{ξ∈ Cb公司(Ohm) : η ≤ ξ} 是Cb的对流子集(Ohm) 取（ξ，Q）到等式[ξ]的映射是连续的双线性onCb(Ohm) ×Q（G）。此外，根据推论6.7，Q（G）是凸的，弱的*p的紧子集(Ohm). 因此，满足了标准极大极小参数的假设，参见示例【60，定理2.10.2】。由于Φ是单调的，σQ（G）（η）=supQ∈Q（G）infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)公式[ξ]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)supQ公司∈Q（G）EQ[ξ]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)σΦ（ξ）=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)Φ（ξ；I（G））≥ Φ（η；I（G））。因此，二元性在Ub上成立(Ohm).提案7.3。Φ（ξ；I（G））=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ 向上(Ohm).证据固定ξ∈ 向上(Ohm) 和ξcbe，如（4.1）所示。然后，ξc∈ 乌兰巴托(Ohm) 对偶性在ξc处成立。Wenow将其与引理4.1和推论5.2结合，得出σQ（G）（ξ）=limc→∞σQ（G）（ξc）=limc→∞Φ（ξc；I（G））=Φ（ξ；I（G））。7.3 Bp的对偶性(Ohm)在本节中，我们遵循[45]的方法，并通过Choquet电容性定理将对偶性扩展到可测函数[20]。提案7.4。Φ（ξ；bI（G））=σQ（G）（ξ），对于所有ξ∈ 英国石油公司(Ohm).证据如前所述，我们将Φ（·；bI（G））写成BΦ（·），将Φ（·；I（G））写成Φ（·）。第1步。SincebI（G） I（G），bΦ≤ Φ. 根据命题7.3和（4.2），对于每个η∈ 乌兰巴托(Ohm),σQ（G）（η）≤bΦ（η）≤ Φ（η）=σQ（G）（η）。

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2022-6-14 10:35:07

因此，Ub上的Φ=bΦ(Ohm).第2步。考虑序列{Qn}n∈尼姆(Ohm) 收敛到Q*在弱者中*拓扑结构。然后，EQn[ξ]收敛到EQ*[ξ] 对于每ξ∈ Cb公司(Ohm). 固定η∈ 乌兰巴托(Ohm). 自S起*在下面的引理A.6中，有一个递减序列{ξk}k∈N Cb公司(Ohm) 收敛到η和EQ*[ξk]收敛到EQ*[η]. 我们用这个和弱者*Qnto-arriveatlim-supn的收敛性→∞方程式[η]≤ infklimn公司→∞方程n[ξk]=infkEQ*[ξk]=等式*[η].因为根据推论6.7，Q（G）是弱的*紧凑，上述性质意味着对于每个η∈ 乌兰巴托(Ohm) 有Qη∈ Q（G）满足，公式η[η]=σQ（G）（η）。第3步。假设序列{ηn}n∈N 乌兰巴托(Ohm) 单调递减为函数η*∈ 乌兰巴托(Ohm). 然后，Qn：=Qηnsatis fies EQn[ηn]=σQ（G）（ηn）。由于Q（G）对于σ（M，Cb）是顺序紧的，因此有一个子序列（没有失去一般性，由Qn指出）和Q*∈ Q（G）使得qn收敛到Q*在弱者中*拓扑结构。然后，通过上一步，lim supn→∞方程n[ηn]≤ infklim支持→∞方程n[ηk]≤ infkEQ公司*[ηk]=等式*[η*],我们在最终等式中使用了单调收敛。第一步，Ub上的Φ=bΦ(Ohm). 然后，根据命题7.3和（4.2），lim supn→∞bΦ（ηn）=lim supn→∞σQ（G）（ηn）=lim supn→∞方程n[ηn]≤ 均衡器*[η*] ≤ σQ（G）（η）*) ≤bΦ（η*).因为ηn正在减小到η*, 相反的不平等是直接的。因此，limn→∞bΦ（ηn）=bΦ（η*) 无论何时Ub(Ohm) ηn↓ η*∈ 乌兰巴托(Ohm) 作为n→ ∞ . （7.1）步骤4。考虑{ζn}n∈N Bb型(Ohm) 单调递增至ζ*∈ Bb型(Ohm). 选择{ln} n个∈NbI（G）使bΦ（ζn）+n+ln（ω）≥ ζn（ω），对于每个ω∈ Ohm. 很明显，BΦ（ζ）≤bΦ（ζn）≤bΦ（ζ*). 自ζn起≥ ζ, ln≥ (ζ-bΦ（ζ*) - 1) ∧ 0 =: -λ. 然后，通过定义BI（G），l*:= lim信息ln∈bI（G）。因此，ζ*（ω） =limn→∞ζn（ω）≤ lim信息→∞bΦ（ζn）+n+ln（ω）= 画→∞bΦ（ζn）+l*（ω），对于每个ω∈ Ohm. 因此，limn→∞bΦ（ζn）≥bΦ（ζ*). 同样，相反的不平等是直接的。我们已经证明了Limn→∞bΦ（ζn）=bΦ（ζ*) 无论何时Bb(Ohm) ζn↑ ζ*∈ Bb型(Ohm) 作为n→ ∞ . （7.2）步骤5。

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能者818

2022-6-14 10:35:11

（7.1）和（7.2）意味着我们可以将Choquet电容性定理（见[45，命题2.11]或[4，命题2.1]）应用于functionalbΦ。让我们(Ohm) 表示Ub生成的所有Suslin函数的族(Ohm) i、 e.supφ表的功能∈NNinfk公司≥1ξφ| k，其中φ| k表示φ的限制∈ NNto{1，…，k}和每个ξφ| kis是Ub的一个元素(Ohm);详情请参阅【32，第42节】。自S*-拓扑打开Ohm 完全正常，见下面的Emma A.6(Ohm) 包含Bb(Ohm). 此外，bΦ=Ub上的Φ(Ohm). 因此，bΦ（ζ）=sup{Φ（η）：η∈ 乌兰巴托(Ohm), η ≤ ζ} 对于每个ζ∈ Bb型(Ohm). 这个近似与引理7.2中证明的对偶性结合在一起，屈服，bΦ（ζ）=sup{η≤ζ, η∈乌兰巴托(Ohm)}supQ公司∈Q（G）EQ[η]=supQ∈Q（G）sup{η≤ζ, η∈乌兰巴托(Ohm)}等式[η]=supQ∈所有ζ的Q（G）EQ[ζ]∈ Bb型(Ohm).因此，二元性在Bb上成立(Ohm).第5步。现在，我们按照命题7.3的证明进行必要的修改，以将结果扩展到Bp(Ohm).8本节中的计数器示例，d=1、T=1、p=1和q=2。对于给定u∈ P（R+），setGu：={g（X（ω））：g∈ C2,1（R+），u（g）=0}。示例8.1。假设在[1，3]中支持u，并让Ohm = D（[0，1]；[1，3]）。然后，存在一个可数集a Ohm 使得0=σQ（Gu）（A）=Φ（A；I（Gu）），Φ（A；Is（Gu））=1。具体而言，Is（Gu）6=I（Gu）。证据对于ω∈ Ohm, 设v（ω）：=supπPnk=1 |ω（τk）- ω（τk-1）式中，π在所有单元中的范围为0=τ<τ<····<τn=0，1中的1。设置t=1和k≥ 1，tk：=1/k，sk：=（tk+1+tk）/2，ck：=2f（sk）/（tk- tk+1），带f（x）：=x为x1/3≥ 0和bω（t）：=∞Xk=1ck（t- tk+1）（tk+1，sk）（t）+[f（sk）- ck（t- sk）]（sk，tk]（t），t∈ [0, 1].很明显，bω∈ A. Ohm bω（tn）=0，bω（sn）=f（sn）。集合bωn（t）：=bω（t∧ tn）对于t∈ [0, 1].那么，对于t，bωn（t）=0∈ [tn，1]andv（bωn）≥∞Xk=n（f（sk）- f（tk））=∞Xk=nsk=∞.设Q为[1，2]中的有理数集。设置Aq：={q+bωn:n∈ N} 和A：=∪q∈QAq。然后，A {ω ∈ Ohm : v（ω）=∞}.

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2022-6-14 10:35:14

对于任意鞅测度Q，Q（ω∈Ohm : v（ω）=∞) = 0，我们得出结论，σQ（Gu）（A）=0。假设对于某些c∈ R、 γ∈ G和H=（τm，hm）m∈N∈ Hs，我们有c+γ（ω）+（H·X）（ω）≥A（ω）表示每个ω∈ Ohm. 然后，对于每个ω，γ（ω）=g（X（ω）），u（g）=0，γ（ω）=g（q）∈ Aq。因此，c+g（q）+（H·X）（q+bωn）≥ 1，每q∈ Q、 n个≥ 1、通过H（H·X）（q+bωn）=（H·X）tn（q+bω）对每个q的适应性。因此，limn→∞（H·X）（q+bωn）=limn→∞（H·X）tn（q+bω）=0。这意味着c+g（q）≥ 此外，g是连续的，u（g）=0。因此，c≥ 由于Φ（A；Is（Gu））是所有此类常数中最小的，我们得出结论，Φ（A；Is（Gu））≥ 1、AsA≤ 1，Φ（A；Is（Gu））=1。接下来，我们按照引理6.3来说明Φ（A；I（Gu））=0。的确，对于k≥ 2，定义Hk=（τkm，hkm）m∈N∈ hs如下所示。设τk=0，对于m≥ 1，通过τk2m递归定义停止时间-1（ω）：=inf{t>τk2m-2（ω）：ω（t）>ω（0）+k-1/3/2} ∧ 1，τk2m（ω）：=inf{t>τk2m-1（ω）：ω（t）<ω（0）+k-1/3/3} ∧ 1、对于m≥ 0，设置hk2m=k-4/3，hk2m+1=0。设Ukt（ω）是下边界ω（0）+k之间的时间间隔[0，t]中的交点-1/3/3和上边界ω（0）+k-1/3/2.然后，如引理6.3，（Hk·X）t（ω）≥ -ω（0）k4/3+6k5/3Ukt（ω），对于所有t∈ [0，1]和ω∈ Ohm.特别是香港∈ Hs。观察Ukt（q+bωn）≥ k- n代表所有n≤ k、因此，对于anyq∈ [1，2]，（Hk·X）t（q+bωn）≥ -k4/3+（k- n） 6k5/3适用于所有1≤ n≤ k、对于ε>0，设Hε：=ε（bHj）j∈N、其中bhj：=Pk≤jHk。然后，对于每个j≥ 1，（Hj·X）t（ω）=εX1≤k≤j（Hk·X）t（ω）≥ -εX1≤kk4/3=：-εC*对于所有t∈ [0, 1].因此，Hε是容许的。同样，对于q∈ [1，2]，（Hε·X）t（q+bωn）=lim infj→∞X1≤k≤jε（Hk·X）t（q+bωn）≥X1≤k-2εk4/3+ε（k- n） +6k5/3=∞.因此，Φ（A；I（Gu））≤ εC*对于每ε>0。下面的例子促使使用Fatou closurebI（G）来建立定理3.1中可测函数的度。示例8.2。

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kedemingshi

2022-6-14 10:35:17

允许Ohm = D（[0，1]；R+）并考虑G={G（X（ω））：G给出的商空间∈ C2,1（R+），g（1）=0}。然后，存在一个开集B Ohm 使得0=σQ（G）（B）=Φ（B；bI（G））<1=Φ（B；I（G））。特别地，I（G）6=bI（G）。证据考虑开集B：={XT6=1}，集ω*≡ 1，让Q*是Dirac测度ω*. 那么，Q（G）={Q*}. 因此，σQ（G）（B）=等式*[B] =0。假设l ∈ I（G）和c∈ R满足c+l ≥B、根据I（G）的定义，有H∈ H和g（X（·））∈ G使l（ω） =（H·X）（ω）+g（X（ω））。考虑一个等速ω≡ x、那么，对于这条路径（H·x），T（ω）=0，因此，B（ω）=1≤ 每x 6=1，c+g（x）。由于g（1）=0且g是连续的，我们得出结论c≥ 因此，Φ（B；I（G））=1.9金融应用在本节中，我们假设X为d资产的贴现价格建模。或者，还可以对未贴现价格进行建模，并引入一个代表储蓄账户的额外流程。但这并没有改变基本的数学结构；见【19】。有关的示例和对Ohm 作为预测集，我们参考[5、6、38]。集合G代表流动衍生工具投资的净结果集合。它们的初始价格正常化为零。由于我们不假设任何概率结构，该集合在确定定价函数中起着至关重要的作用。我们给出了集合G的不同示例。它们表明，通过适当选择闭集，有限离散时间模型可以包含在我们的框架中Ohm.示例9.1（最终边缘）。在本例中Ohm = D（[0，T]；Rd+）。我们在Rd+上使用有限的q阶矩和setGu确定概率测量u：=γ（ω）=g（ω（T））- u（g）：g∈ Cq，p（Rd+）, 式中u（g）=ZRd+g du。然后，Q（Gu）由所有鞅测度Q组成，其最终边缘为u，即，对于所有h，等式[h（XT）]=u（h∈ Bq（Rd+）。备注9.2。

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kedemingshi

2022-6-14 10:35:20

示例9.3中一个固定边缘的二元性不会立即扩展到两个边缘的情况，假设Ohm = D（[0，T]；Rd+）。这种困难源于坐标映射Xis不是连续的。可以通过引入一个活动元素X0来消除此问题-在Skorokhod空间D（[0，T]；Rd+）上，即考虑Ohmx个-:= Rd+×D（[0，T]；Rd+）。示例9.3（初始值和最终边缘）。除了最终边际价值外，在本例中，我们希望确定初始资产价值x∈ Rd+。然而，正则映射Xt：ω∈ D（[0，T]；Rd+）7→ ω（t）∈ Rd+，仅在t=t时连续，在所有其他点处不连续。因此Ohmx： ={ω∈ Ohm : ω（0）=x}不是d（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。为了克服这一困难，我们确定了一个小的时间增量h>0并定义Ohmh、 x：={ω∈ Ohm : ω（t）=所有t的x∈ [0，h）}。可以直接验证Ohmh、 xis S-关闭。我们保持Gu，如前一示例所示。然后，Q（Gu）的元素限制为Ohmh、具有最终边缘u和满意度q（Xt=xf）的xare鞅测度∈ [0，h））=1，Q∈ Q（Gu）。如果rxu（dx）=x，则集合Q（Gu）为非空。示例9.4（多个边距）。在例9.1中，我们最终确定了双重度量的边际。在给定的应用程序中，其他时间点T={T，…，tN}的边缘可能是大致已知的。因此，人们可能也想固定这些边缘。因为Xtiare都是不连续的，所以g（Xti）形式的函数不一定是S*D上连续（[0，T]；Rd+）。因此，如前一个示例中所示，我们确定一个小的h>0，并考虑下式给出的集合OhmT： =N\\i=1{ω∈ Ohm : Xt（ω）=所有t的Xti（ω）∈ 【ti，ti+h）】。然后，Ohm这是D（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。此外，对于每个i，X限制为OhmTis S S公司*-不断的

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2022-6-14 10:35:23

给定概率测度{ui}Ni=1on Rd+和有限的q阶矩，我们考虑集合gt=（γ（ω）=NXi=1gi（Xti（ω））- ui（gi）：gi∈ Cq，p（Rd+）对于所有i=1，N）。然后，GT Cq公司(OhmT）。措施Q∈ Q（GT）是鞅测度，具有边际uiat乘以t∈ [ti，ti+h）。假设0≤ t<…<田纳西州≤ T根据Strassen的结果[55]，当且仅当ui以凸顺序增加时，Q（GT）为非空，即u（Д）≤ . . . ≤uN（Д），对于每个凸函数Д：Rd+→ R、在以下示例中，我们收集了一些满足定理3.1假设的常见期权支付。示例9.5。S的典型示例*-连续功能是Asiantype选项的回报。的确，设g：[0，T]→ R应连续。那么，ξ（ω）=ZTg（t）Xit（ω）dt，对于任何i∈ {1，…，d}，是S*-不断的然而，夏尔的运行最大值和最小值仅分别为下半连续和上半连续；参见【39】。我们请读者参考[39]、[46]了解更多示例。特别是，作为标的资产的可计量函数的每个衍生合约都具有双重性（3.2）。示例9.6。自从Ohm 是D（[0，T]；Rd+）的一个可测子集，我们从[44]中知道存在一个F-渐进可测D×D-矩阵值过程hXi=（hXit）T∈[0，T]打开Ohm 等于X Q-a.s.的可预测二次变化，对于每个F-鞅测度QOhm. 我们定义了d×d矩阵值波动率过程σ=（σt）t∈[0，T]作为非负对称矩阵值过程vt（ω）的平方根：=lim infε↓0hXit（ω）- hXi（t-ε)∨0（ω）ε，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.尤其是σ是一个可测量的过程Ohm. 因此，定理3.1给出了基于σ的衍生工具合约的独立于模型的价格界限。

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2022-6-14 10:35:27

然而，二次变分过程hXi的构造依赖于停止时间，因此依赖于区间[0，T]的F-逐步可测划分，这通常是不确定的；详见【11】。特别是，取决于σ的衍生合约通常不在上半连续Ohm.作为定理3.1的结果，我们得到了将Q（G）的非空性归为适当的无套利条件的资产定价基本定理。关于该结果的分类版本，参见例如[21]中的离散时间，参见[22，23]中的连续时间及其引用。[1、19、22、26]中推导出了稳健的版本。我们的无套利条件如下。推论9.7。资产定价的稳健基本定理。在假设2.2下，以下是等价的：（i）Q（G）不是n-空的。（ii）Φ（η；bI（G））是所有η的定义∈ 英国石油公司(Ohm).（iii）Φ（0；I（G））=0。附录：S和S*-拓扑学以下定义来自Jakubowski【39，40】。定义A.1。对于{νn}n∈N D（[0，T]；Rd+）和ν*∈ D（[0，T]；Rd+），我们写νnSν*如果每个ε>0，则存在函数{νn，ε}n∈Nandν*,ε在D（[0，T]；Rd+）中，其具有独立性，使得kν*- ν*,εk∞≤ ε、 kνn- νn，εk∞≤ ε每n∈ N、安德林→∞Z[0，T]f（T）dνn，εT=Z[0，T]f（T）dν*,εt，（A.1）对于所有f∈ Cb（[0，T]；Rd），其中（A.1）中的积分是具有νn，ε0的Stieltjies积分-=ν*,ε0-= 由这种顺序收敛生成的拓扑称为S拓扑。尤其是子集C D（[0，T]；Rd+）是S-闭的当且仅当它对于上述收敛概念是顺序闭的，即当{νn}n∈N C和νnSν*, 然后ν*∈ C、开放集是封闭集的补充。可以直接验证这些集合是否满足拓扑的定义。备注A.2。

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mingdashike22

2022-6-14 10:35:32

这种拓扑中的（后验）收敛可能不同于先验收敛Sde如上所述。这种拓扑的定义被称为Kantorovich-Kisy\'nski配方；参见第63-64页的[47]或[30，第1.7.18、1.7.19节]。特别是，在【40，附录】中讨论了{νn}n∈nConverge到ν*在（后验）S-拓扑中，如果每个子序列{νnk}k∈Nhas另一个子序列{νnkl}l∈确保νnklSν*.作为一个不同的例子，如果一开始几乎确定收敛为先验收敛（而不是如上文所述的收敛），则产生的后验收敛是概率收敛；参见【40】。[39，40]中的以下事实是我们连续性证明的重要组成部分。重新校准上游交叉口Ua、b、itof定义6.2。命题A.3（雅库博夫斯基[39]，定理2.13；[40]，定理5.7）。A s ubs e t KD（[0，T]；Rd+）是相对S-紧的当且仅当ifsupω∈Kkωk∞< ∞ 和supω∈KUa，b，iT（ω）<∞ 对于所有a<b a且i=1，d、（A.2）让我们表示S的相对拓扑Ohm 同样是由S。不知道是否(Ohm, S）是完全正常的。由于此属性在我们的分析中起着重要作用，我们将SOhm 类似于【46】。定义A.4。S*-拓扑打开Ohm 是使所有S-连续函数ξ：Ohm → R连续。从这一定义可以清楚地看出* S、函数ξ：Ohm → R是S*-continuous I仅当其为S连续时。此外(Ohm, S）以及(Ohm, S*) Hausdor ff和sincecompact集都是紧集吗？如果拓扑减弱，则Ohm is alsoS公司*-契约公式ξ，ε（ω）集合的有限交点集合*) := {ω ∈ Ohm : |ξ(ω) - ξ(ω*)| < 1} 对于任意S-连续函数ξ：Ohm → R、在ω处形成邻域基*.

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2022-6-14 10:35:36

特别是对于任何S*-开集O和ω*∈ O、 ω有一个邻域*形式n\\k=1{ω∈ Ohm : |ξk（ω）- ξk（ω*)| < 1} ，包含在O中，其中每个ξkis是S-连续函数Ohm 每k至R≤ n、设置ηk（ω）=ξk（ω）- ξk（ω*)| ∧ 1和η（ω）=maxk≤nηk（ω）。然后，η连续映射Ohm 转化为[0，1]和满足η（ω*) = 对于所有ω6，0和η（ω）=1∈ O、这是完全正则空间的定义性质。因此(Ohm, S*) 是一个完全正则的hausdorff空间（T）。事实证明，这是完全正常的。引理A.5。(Ohm, S*) 是完全正常的Hausdor ff（T）和Lusin空间。特别是，每个Borel概率测度(Ohm, S*) 是氡测量。证据众所周知，Skorokhod空间上的标准J拓扑是波兰的。此外，根据[39，定理2.13（vi）]，S J、所以，自从Ohm 是S-闭合的，也是J-闭合的。因此，如果我们将相对J拓扑表示为Ohm 再次由J(Ohm, J）仍然是抛光剂* J、因此，身份映射(Ohm, J）至(Ohm, S*) 是双射且连续的，这表明(Ohm, S*) 是一个Lusin空间。[31，命题I.6.1，第19页]证明了任何完全正则的Lusin空间都是完全正规的。我们注意到，【31】使用了术语“Espaces标准”【31，定义I.2.1，第7页】，这正是一个Lusin空间，而【31】第18页定义的术语“r'egulier”对应于完全规则。读者也可以参考【28】第64页，对这一含义进行简要讨论。最后，在Lusin空间上，每个Borel概率测度都是Radon；参见[53，第122页]。我们还需要以下关于S的事实*-拓扑结构。引理A.6。每S*-上半连续函数Ohm to R是S递减序列的逐点极限*-连续函数和Ub生成的Suslin函数族(Ohm) 包括Bb(Ohm).证据

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kedemingshi

2022-6-14 10:35:40

关于用连续函数逼近上半连续函数的说法在[56，定理3]中得到了证明。同样，参见【24，定理49（c）】或【30，第61页】。关于Suslin函数的陈述在[4]中得到了证明（见定理2.2证明的结尾）。或者，根据[32，143页]中关于任何拓扑空间的命题421L，everyBaire集是一个Suslin集。在完全正规的Hausdor ff空间上，Baire和Borel集是一致的【12，命题6.3.4】。因此，关于S的有界Borel函数*是苏斯林。备注A.7。【46】包含关于S的更多结果*-D（[0，T]；Rd）上的拓扑。特别地，S的紧集*S同意。此外，S*-拓扑是Skorokhod空间上最强大的拓扑，其紧性准则（A.2）成立，且β-拓扑的Riesz表示定理成立。附录B：β-拓扑学E是一个完全正则的Hausdorff空间，并且回顾一下，B（E）是E上的实值、有界、Borel可测函数集，这些函数在整体上消失。请注意，任何perfectlynormal拓扑，例如*在…上Ohm, 是完全正常的。对于每个η∈ B+（E）考虑Cb（E）上的半范数，kξkη：=kξηk∞:= supx公司∈E |ξ（x）η（x）|。Cb（E）上的β拓扑由半范数k.kη生成，因为η在B+（E）中变化。重要的是，Cb（E）与β拓扑的拓扑对偶是E上有界全变差的所有有符号Radonmeasures的集合；有关β-拓扑的更多详细信息，请参见[41，定理3，第141页]或[54]。C附录：鞅测度引理C.1。让Q∈ P(Ohm) 以便支持∈[0，T]EQ[| Xt | q]<∞ 对于某些q>1和EQ[Y·（XT- Xt）]=每t为0∈ [0，T]和所有Ft可测量Y∈ Cb公司(Ohm)d、然后，正则映射X是（F，Q）-鞅。证据固定t<t，并用A表示Ohm 可以写为形式X集合的有限交集-tj为1tj（Bj）≤ t和Rd的Borel子集Bj。

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2022-6-14 10:35:45

莱蒂∈ {1，…，d}。如果我们能证明eq[A（XiT- Xit）]=0表示所有A∈ A、（C.1）从单调类参数得出，等式[A（XiT- Xit）]=0表示所有A∈ FXt。通过X的一致可积性和右连续性，这意味着eq[A（XiT- Xit）]=limε↓0EQ[A（XiT- Xit+ε）]=0表示所有A∈ Ft证明了引理。要显示（C.1），请注意，对于每个集合∈ A的形式=X-1t（B）∩ ··· ∩ 十、-t，…，1tk（黑色），tk公司≤ t和Borel子集B，Bkof-Rd，存在有界连续函数fnj:Rd→ R使得等式[A（XiT- Xit）]=limn→∞等式[fn（Xt）···fnk（Xtk）（XiT- Xit）]。（C.2）另一方面，对于所有n，一个hasEQ[fn（Xt）····fnk（Xtk）（XiT- Xit）]=limε↓0EQ[fn（Xεt）···fnk（Xεtk）（XT- Xt+ε）]，（C.3）对于S-连续函数xεtj=εZtj+εtjXu∧Tdu，j=1，d、因为fn（Xεt）···fnk（Xεtk）是Ft+ε-可测的，属于Cb(Ohm), 根据（C.2）–（C.3）消失的假设，证明是完整的。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。《数学金融》，26（2）：233–251，2016年。[2] B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner、W.Schachermayer和J.Temme。Doob鞅不等式的轨迹解释。《应用概率年鉴》，23（4）：1494–15052013。[3] 安布罗西奥和吉利。最佳运输用户指南。Springer，2013年。[4] D.Bartl、P.Cheridito和M.Kupper。具有中间极限的鲁棒期望效用最大化。《数学分析与应用杂志》，471（1-2）：752–7752019。[5] D.Bartl、M.Kupper和A.Neufeld。预测集上的路径超边缘。ArXiv:1711.027642017。[6] D.Bartl、M.Kupper、D.J.Pr–omel和L.Tangpi。连续时间路径超边缘的对偶性。《金融与Stoc hastics》，23（3）：697–7282019年。[7] M.Beiglb¨ock，A.M.G.Cox，M.Huesmann，N。

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