Orlicz空间中凸集的闭性及其在对偶中的应用

2022-5-26 21:23:54

本文的部分研究是在第二位作者访问阿尔伯塔大学数学和统计科学系时进行的。他感谢东道主弗拉基米尔·特洛伊（VladimirTroItsKy）和国防部提供的温暖的医院和有利的工作环境。thirdauthor承认NSERC拨款的支持。2 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS1。引言在这篇开创性的论文【4】中，为根据一致的风险度量量化金融头寸风险的问题奠定了理论基础。此后，风险度量理论一直是数学金融领域一个活跃而富有成果的研究领域（参见[2、3、5、6、8、11、14、16、23、25]）。它还推动了凸分析和泛函分析的新发展（参见[9，15，21，26]）。在风险度量的公理化处理中，财务头寸由向量空间X建模，其中包含概率空间上随机变量的常数(Ohm, ∑，P）。X上的一致风险度量是函数ρ：X→ (-∞, ∞]这是正确的（即不完全相同∞) 并满足以下性质：（1）（次加）ρ（X+X）≤ ρ（X）+ρ（X），对于所有X，X∈ 十、（2）（单调）ρ（X）≤ ρ（X）如果X，X∈ X和X≥ Xa。s、（3）（现金添加剂）ρ（X+m1）=ρ（X）- m表示任意X∈ X和任意m∈ R、（4）（正齐次）ρ（λX）=任意X的λρ（X）∈ X和任何0<λ∈R、观察一致风险度量是凸的，即ρ（λX+（1- λ） X）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（X）对于ll X，X∈ X和所有λ∈ [0，1]。风险测度理论中的一个重要课题是确定X上的风险测度何时允许关于涉及X的对偶的表示。Delbaen[1 0]获得了这个方向上的第一个主要结果，他使用了smodel空间X所有有界随机变量的空间L∞（P）考虑到二元性（L∞, 五十）。定理1.1（D elbaen）。

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mingdashike22

2022-5-26 21:23:57

对于L上的每个相干风险度量ρ，以下是等效的∞（P）。（1）有一组非负随机变量，期望值为1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ L∞,（2） ρ满足（L∞-) Fatou性质：ρ（X）≤ 当（Xn）在L中有界时，lim infnρ（Xn）∞和Xna。s--→ 十、对偶表示3在Delbaen定理中，集合Q可以解释为一组概率分布（情景），而风险度量X是该集合情景（压力测试）中最坏的预期损失。一般来说，这种双重代表在优化问题和投资组合选择中发挥着重要作用。定理1.1（1）中的表示与σ（L）有关∞, 五十） -通过凸分析中的Fenchel-Moreau对偶定理降低ρ的微连续性。这里，σ（L∞, 五十） ρ的下半连续性是指集合{ρ≤ λ} ={X∈ L∞（P）：ρ（X）≤ λ} 为σ（L∞, 五十） -闭合f或任意λ∈ R、另一方面，定理1.1中的条件（2）等价于集合{ρ≤ λ} ar e以序列的收敛为主而闭合。在定理1.1中，与其他早期风险度量框架一样，模型空间由有限的财务头寸组成。领导可以参考F¨ollmer和Schied[17]，以全面处理这种情况下的主要结果。更现实的财务状况模型可能涉及无界随机变量；这推动了L以外模型空间上风险测度的研究∞. Orliczspaces LΦ和Orlicz hearts HΦ是Banach函数空间的自然类，是Lpspaces的推广，已成为（无界）金融头寸的重要模型空间。Cheridito和Li【8】、Biagini和Fritelli【5】以及最近的Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle【24】以及G ao和Xanthos【19】对LΦ和HΦ风险度量的研究做出了贡献。

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2022-5-26 21:24:00

参见alsoGao等人【18】和本文的参考文献t。设（Φ，ψ）是Orlicz函数的共轭对。（有关Orlicz空间的定义和基本事实，请参阅§2。）在论文[5]中，Biagini和Fritelli开始研究LΦ上风险度量相对于度（LΦ，Lψ）的表示。观察到LΦ中随机变量序列的支配收敛意味着σ（LΦ，Lψ）-收敛，他们提出了LΦ上Fatou性质的以下版本：如果ρ（X），则称LΦ上的函数ρ满足Fatouproperty≤ 当（Xn）在LΦ和Xna中有阶界时，lim infnρ（Xn）。s--→ 十、 4 N.GAO、D.LEUNG和F.Zanthosthey然后对每个共轭对（LΦ，Lψ）声明了一个类似于定理1.1的结果。具体而言，声称每个一致风险度量ρ：LΦ→ (-∞, ∞],ρ具有Fatou性质当且仅当(*) Lψ中有一组非负随机变量Q，每个变量的期望值为1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。如定理1.1所示(*) 与σ（LΦ，Lψ）闭性和凸集在支配收敛下的闭性的等价性密切相关。他们的观点是基于这样一个断言，即每个Orlicz空间都享有一个技术属性（关于凸集），他们称之为C属性。总之，当ψ满足条件因此，上述等效性的真实性(*) 对于每一个共轭pair（LΦ，Lψ），在风险度量的双重表示理论中都是一个重要的突出问题。例如，参见[26，第3585页]，其中明确提出了这个问题。本文的主要结果是对这一问题的全面解决。结果表明，等效性(*) 当且仅当Φ或ψ满足-条件

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2022-5-26 21:24:03

首先，我们将问题与LΦ中凸集的阶闭性和σ（LΦ，Lψ）-闭性的等价性联系起来。结果表明，对于LΦ中的范数有界凸集，阶闭度与σ（LΦ，Lψ）闭度是等价的。因此(*) 对于双pa，ir（LΦ，Lψ）取决于拓扑σ（LΦ，Lψ）的Krein-Smulian定理是否成立。我们通过证明拓扑σ（LΦ，Lψ）的Krein-Smulian定理成立，当且仅当Φ或ψ满足-条件在最后一节中，我们还研究了HΦ上关于对偶对（HΦ，Hψ）的对偶表示问题。这补充了第3节中双对（LΦ，Lψ）的结果、Gao和Xanthos的双对（LΦ，Hψ）[19]和Cheridito a和Li的双对（HΦ，Lψ）[8]。双重代表52。在这一部分中，我们收集关于或licz空间的基本事实并设置旋转。我们分别采用[1]和[13，27]作为Banach格和Orlicz空间上未解释术语和事实的标准参考。回想一下函数Φ：[0，∞) → [0，∞) 如果它是凸的、递增的且Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。通过ψ（s）=sup{ts定义Φ的联合函数- Φ（t）：t≥ 所有s的0}≥ 0、如果限制→∞Φ（t）t=∞ （等价地，如果ψ是有限值的），则ψ也是一个奥尔利兹函数，其共轭为Φ。在本文中，（Φ，ψ）代表Orlicz对，使得→∞Φ（t）t=∞ 对于任何t＞0的情况，Φ（t）＞0。Φ的限制很小，因为它们只消除了LΦ与Lor L重合的情况∞, 在这种情况下，我们的主要结果要么微不足道，要么已知。在本文中(Ohm, ∑，P）表示非原子概率空间。理论空间LΦ：=LΦ(Ohm, ∑，P）是所有实值随机变量X的空间（模a.s。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:24:07

等式）使得kxkΦ：=infλ>0:EΦ|X |λ≤ 1.< ∞.LΦ上的| |·|Φ称为卢森堡范数。由所有X组成的LΦ的子空间∈ LΦ这样eΦ|X |λ< ∞ 对于llλ>0，通常称为LΦ的Orl i cz心脏，并用HΦ表示。众所周知，我∞ HΦ LΦ HΦ是LΦ的范数闭子空间。我们总是赋予共轭Orlicz空间Lψ和共轭Orlicz炉膛ψOrlicz normkY kψ：=supX∈LΦ，kXkΦ≤1.E[XY]对于所有Y∈ Lψ，相当于Lψ上的卢森堡标准。Orlicz函数Φ满足-条件（如果存在t）∈ （0，∞) andk公司∈ R使得Φ（2t）<kΦ（t）对于所有t≥ t、众所周知，Lψ=（HΦ）*Lψ是LΦ的阶连续对偶，是（LΦ）中的格理想*.此外，以下条件是等效的。（1） Lψ=（LΦ）*,6 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS（2）LΦ=HΦ，（3）Orlicz函数Φ满足-条件，（4）LΦ具有阶连续范数，即Xα↓, infαXα=0 in LΦ==> infαkXαkΦ=0。如果存在X，则LΦ中的序列（Xn）是有序的∈ LΦ使得| Xn |≤ Xa。s、对于所有n，LΦ阶的序列（Xn）收敛到X∈ LΦ，书写为XNO-→ X in LΦ，如果Xna。s--→ X和（Xn）在LΦ中有阶界。如果LΦ具有ordercontinuous范数，则Xno-→ X英寸LΦ==> kXn公司- XkΦ→ 0.3。关于偶（LΦ，Lψ）的对偶表示这一节是本文的主要部分，在这里我们证明了等价性(*) 在引言中，当且仅当Φ或ψ满足-条件对于LΦ的子集C，将其在LΦ中的顺序闭包定义为setCo：=十、∈ LΦ：Xno-→ C中某些序列（Xn）的X.如果C=Co，我们说C是LΦ中的订单关闭。尽管有术语，但COI不一定是订单关闭的。

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kedemingshi

2022-5-26 21:24:10

由支配收敛定理，Xno-→ X英寸LΦ==> E【XnY】→ E[XY]，对于任何Y∈ Lψ。图斯科 Cσs（LΦ，Lψ） Cσ（LΦ，Lψ）对于任何集合C LΦ，其中Cσs（LΦ，Lψ）表示C的σ（LΦ，Lψ）-顺序闭包。特别是，每个σ（LΦ，Lψ）-闭包集都是或序闭包。我们首先检查(*) 以及LΦ中凸集的序闭性与σ（LΦ，Lψ）-闭性的等价性。接下来的两个命题基本上是已知的。为了完整起见，我们加入了证明。提案3.1。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 则ρ具有Fatou性质当且仅当集Cλ={X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} 任意λ的i s orderclosed∈ R、在定义订单闭包时，我们可以等效地使用网络而不是序列。实际上，由于LΦ具有可数s up性质，如果Xαo-→ X在LΦ中，则存在可数个（αn），使得Xαno-→ X英寸LΦ。双重代表7证明。如果ρ满足Fatou性质，则Cλ是顺序闭合的，这一事实直接来自定义。相反，假设Cλ对于任何λ都是阶闭的∈ R、设（Xn）是LΦ中的一个序列，或der收敛到X∈ LΦ。如果lim infnρ（Xn）=∞,然后ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）微不足道。否则，设λ∈ R应为λ>lim infnρ（Xn）。选择一个子序列（Xnk），使ρ（Xnk）<λ表示所有k。然后选择Xnk∈ 所有k和Xnko的Cλ→ 十、因此X∈ Cλ和ρ（X）≤ λ。因为这适用于任何λ>lim infnρ（Xn），ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）。因此，ρ具有fat偶性。A函数ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 称为σ（LΦ，Lψ）-下半连续，如果集合{X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} σ（LΦ，Lψ）-闭合f或所有λ∈ R、提案3.2。对于一个适当的凸泛函ρ，以下是等价的：LΦ→ (-∞, ∞] .（1） ρ是低σ（LΦ，Lψ）-半连续。（2）定义ρ*（Y）=supX∈LΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Lψ。

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2022-5-26 21:24:14

ρ（X）=supY时∈Lψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ LΦ。如果ρ是一致风险度量，则上述条件也等价于（3）Lψ中有一组n个负相关随机变量，每个变量都有期望1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。证据（1）<==> （2）是Fenchel-Moreau对偶定理（[7，定理1.11]）的结果。对于其余的证明，假设ρ是LΦ上的一致风险度量。启示（3）==> （1）是私人的。（2）==> （3）。假设（2）成立。选择Z∈ LΦ使ρ（Z）<∞ . 从ρ的正同质性可以很容易地推断出ρ*（λW）=λρ*（W）对于anyW∈ Lψ和任何0<λ∈ R、因此ρ*（W）=0或∞ 对于任何W∈ Lψ。假设W∈ Lψ和ρ*（W）=0。设A={ω：W（ω）>0}，设X=1A。然后0≤ 十、∈ LΦ和E【XW】≥ 对于任何λ>0，通过ρ的单调性，λE[XW]+E[ZW]=E[（λX+Z）W]≤ ρ（λX+Z）+ρ*（W）≤ ρ（Z）+ρ*（W）<∞.由于λ是任意的，因此E[W 1{W>0}]=E[XW]=0，因此W≤ 0 a.s.定义：={Y∈ Lψ：ρ*(-Y）=0}。根据前面的参数，Y≥ 任何Y均为0 a.s∈ Q、同样，通过（3）和ρ*(-W）=∞ 对于所有W∈ Lψ，我们看到ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]8 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOSany X∈ LΦ。最后，对于纽约m∈ R、 ρ（Z）- m=ρ（Z+m1）=supY∈Q(-E[ZY]- mE[Y]）。从那里，对于任何Y∈ Q和任意m∈ R、 ρ（Z）≥ -E[ZY]+m（1- E【Y】）。因此，对于任何Y，E[Y]=1∈ Q、这就完成了（2）的证明==> （3）。设ρ是LΦ上的一致风险测度。等效性(*) 声称，当且仅当LΦ上的任何一致风险度量满足命题3.2的条件（3）时，才具有Fatou性质。因为集合C={X∈ LΦ：ρ（X）≤ 根据前面的命题，0}是凸的，等价(*) 对于LΦ，如果对于LΦ中的任何凸集，阶闭度和σ（LΦ，Lψ）-闭度是等价的。考虑到这一点，在[5]中引入了以下属性。

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2022-5-26 21:24:18

如果给定LΦ中的任何网络（Xα），拓扑σ（LΦ，Lψ）收敛于toX，则称拓扑σ（LΦ，Lψ）具有C-性质∈ LΦ，存在（Xα）的凸组合序列（Zn），因此Zno→ 十、显然，如果σ（LΦ，Lψ）具有C-性质，那么Cσ（LΦ，Lψ）对于LΦ中的任意凸集C。由于反向包含总是成立的，因此它遵循的顺序是闭合的，对于LΦ中的任何凸集，σ（LΦ，Lψ）-闭合性都是一致的。因此，等效性(*) 将保持f或LΦ。不幸的是，下一个命题表明C属性的出现相当稀少。提案3.3。Co=LΦ中每个凸集C的Cσ（LΦ，Lψ），当且仅当Φ满足-条件证据如果Φ满足-条件，则LΦ=HΦ，因此σ（LΦ，Lψ）是LΦ上的弱拓扑。根据Mazur定理，Cσ（LΦ，Lψ）=Ck·k。由于每个标准收敛序列都允许一个子序列的阶收敛到相同的极限（参见，例如，[20，引理3.11]），Cσ（LΦ，Lψ）因此，Co=Cσ（LΦ，Lψ）。相反，假设Φ使-条件根据【27，pp.1 39，定理5】（或【1，定理4.51】），LΦ中存在一个成对不相交的随机变量序列（Xn）和LΦ的一个闭合子格X，使得映射T：l∞→ Xde由T定义（an）n=PnanXn（pointwise sum）是一个Banach格同构。用e表示相同的1序列l∞. 如果Y∈ Lψ，thenXnE【XnY】≤XnE[Xn | Y |]=ET e | Y|< ∞.对偶表示9因此（E[XnY]）∈ l. 因此，如果w=（an）∈ l∞, 然后（1）E[（T w）Y]=EhXanXn公司Yi=氧烷[XnY]=（E【XnY】），w.根据Ostrovskii定理（参见[22，定理2.34]），存在l∞和w∈Wσ(l∞,l)使得w不是σ(l∞, l)-W中任意序列的极限。设C=T（W）。显然，C是LΦ中的凸集。取一个网（wα） W该σ(l∞, l)-收敛到w∈ l∞. 让Y∈ Lψ。By（1），E[（T wα）Y]=h（E[XnY]），wαi→ h（E[XnY]），wi=E[（T w）Y]。因此，（T wα）σ（LΦ，Lψ）-收敛于T w和T w∈Cσ（LΦ，Lψ）。

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kedemingshi

2022-5-26 21:24:21

如果可能，假设T w∈Co.在W中取一个序列（wk），使T wko-→ T w in LΦ。显然，（T wk）是有序有界的，在LΦ中是范数有界的，所以（wk）是范数有界的l∞. 写入wk=（akn）和w=（an）n。因为Xn是不相交的，T wk=PnaknXna。s--→ T w=PnanXn，Limkann=anf，对于每个n，它遵循（wk）σ(l∞, l)-收敛到w，与选择w相反。然而，对于范数有界凸集C，等式C=Cσ（LΦ，Lψ）通常是成立的 LΦ。定理3.4。设C是LΦ中的任意范数有界余凸集。ThenCo=Cσ（LΦ，Lψ）。特别地，Cois阶闭，C是阶闭的i f，并且仅当它是σ（LΦ，Lψ）闭的。证据正如所观察到的，inclusionCo Cσ（LΦ，Lψ）始终保持不变。为了证明逆包含，必须证明如果C是单位巴洛夫LΦ的凸子集，则0∈Cσ（LΦ，Lψ），然后0∈ 我们将证明分为三个步骤。第一步：每n≥ 1和每个0≤ Y∈ Lψ，存在一对不相交的随机变量ZY，nand WY，n满足以下条件：（1）ZY，n∈ LΦ和WY，n∈ HΦ，（2）ZY，n+WY，n∈ C、（3）E[Φ（| ZY，n |）]≤n、（4）E[| WY，n | Y]≤ 1、由于Lψ是（LΦ）中的latt冰理想值*, 根据[1，定理3.50]，LΦ在|σ|（LΦ，Lψ）下的拓扑对偶正是Lψ。因此，根据马祖定理，0∈Cσ（LΦ，Lψ）=C |σ|（LΦ，Lψ），10 N.GAO，D.LEUNG和F.Xantosso认为存在X∈ C使得E[| X | Y]≤ 1、由于C在单位球中，我们得到了E[Φ（| X |）]≤ 1、现在拿k≥ 1这样E{| X |>k}Φ（| X |）≤n、 SetZY，n=X1{| X{k}和WY，n=X1{| X|≤k} 。很明显，ZY，nand WY，nare不相交。条件（1）-（3）很容易验证。条件（4）之所以成立，是因为[| WY，n | Y]≤ E[| X | Y]≤ 1、第二步：LΦ中存在序列（Zn）和（Wn），因此对于每个n≥ 1，（1）Xn：=Zn+Wn∈ C、（2）E[Φ（| Zn）]≤n、（3）kWnkΦ≤n、对于任何n，保留步骤I.的符号≥ 1，定义An={WY，n:0≤ Y∈ Lψ}HΦ。L等，Yk公司∈ Lψ并设ε>0。设置Y=εPki=1 | Yi |∈ （Lψ）+。

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2022-5-26 21:24:24

第I步，E【WY，nYi】≤ E|WY，纽约州|≤ εE|WY，n | Y≤ ε。这表明0位于An的σ（HΦ，Lψ）-闭凸包中。由于σ（HΦ，Lψ）是HΦ上的弱拓扑，0位于An的范数闭凸包中。现在拿WYi，n∈ An，1≤ 我≤ k、凸组合Wn=Pki=1ciWYi，nsuch表示kWnkΦ≤n、将Zn=Pki=1ciZYi，n。然后，n：=Zn+Wn=kXi=1ci（ZYi，n+WYi，n）∈ C的Cby凸性。此外，由于Φ是凸函数，E[Φ（| Zn |）]≤kXi=1ciEΦ（| ZYi，n |）≤n、步骤III.在步骤II的表示法中，（Xn）阶的子序列收敛到0。因此0∈从第二步开始，我们知道kWnkΦ≤对于所有n和henceP∞|Wn |∈ LΦ。此外，由于Φ是连续且不断增加的，因此EhΦ（supn | Zn |）i=EhsupnΦ（| Zn |）i≤∞XE[Φ（| Zn |）]≤Xn=1，对偶表示11，从该表示中，supn | Zn |之后为∈ LΦ。因此，eX：=supn | Zn |+∞X | Wn |∈ LΦ。显然，| Xn |≤eX代表所有n≥ 因此（Xn）是一个序有界序列inLΦ。根据马尔可夫不等式，Φ（ε）P{| Zn |>ε}≤ E[Φ（Zn）]≤对于任何ε>0。它遵循（Zn）在概率上收敛到0的t。辛塞普∞|Wn |∈LΦ，（Wn）收敛到0 a.s.因此，（Xn）的子序列收敛到0 a.s.，因此按顺序，因为整个序列（Xn）是有界的。定理3.4允许我们在拓扑σ（LΦ，Lψ）的LΦ中间对一般阶闭凸集进行特征化。推论3.5。由B表示LΦ中的闭合单元球。对于LΦ中的凸集C，以下陈述是重新等价的：（1）C是顺序C L o sed，（2）C是σ（LΦ，Lψ）-顺序闭的。（3） C类∩ kB是σ（LΦ，Lψ）-对于所有k都是闭合的≥ 1、证明。含义（2）==> （1）根据本节开头的观察结果。定理3.4给出了（1）==> （3）。含义（3）==> （2）从每个σ（LΦ，Lψ）-收敛序列都是范数有界的这一事实出发。设X是具有闭单位球B的Banach空间，τ是X上的局部对流。

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2022-5-26 21:24:27

假设当C∩ kB是所有k的τ-闭合≥ 著名的KreinSmulian定理说，对于任何Banach空间X，弱*拓扑σ（X*, X）在X上*拥有克莱恩·斯穆利安的财产。推论3.5引出了表征成对（Φ，ψ）的自然问题，因此σ（lΦ，lψ）具有Krein-Smulian性质。下一个引理是解决这个问题的关键结构。A组C 如果X，LΦ是（i）单调的≥ 十、∈ C表示X∈ C、（ii）正齐次ifλC C表示任意λ≥ 0和（iii）如果C+C，则为添加剂 C、正齐次可加集是凸集。12 N.GAO、D.LEUNG和F.Xantoslemma 3.6。如果Φ和ψ均未通过-条件，则LΦ允许一个单调、正齐次且可加的子集C，该子集是阶闭的，但不是σ（LΦ，Lψ）-闭的。此外，对于任何X∈ LΦ，存在k∈ R所以X- k1级/∈ C、证明。假设Φ和ψ均未通过-条件我们声称存在不相交正随机变量{Xn}n的范数有界集≥1.∪ {W}∪{Wij}i，j≥LΦ与不相交正随机m变量{Yn}n的范数有界集≥1.∪ {Z}∪ {Zij}i，j≥1在Lψ中，使（a）supp Yn 支持Xn，支持W supp Zand supp Wij公司所有人的支持，i，j≥ 1，（b）点态sumseX：=PnXnandeZ：=π，jZijbelong分别到LΦ和Lψ，（c）E[XnYn]=E[WZ]=E[WijZij]=1，对于所有n，i，j≥ 由于P是非原子的，因此有三个不相交的可测子集Ohm, Ohm, Ohm属于Ohm,每一个都是无原子的，都有正测度。选择任意0≤ W∈ LΦ(Ohm)和0≤ Z∈ Lψ(Ohm) 以便支持 supp Zand E[WZ]=1。由于Φ使-条件，我们可以将[27，pp.1 39，定理5]应用于LΦ(Ohm) 获得LΦ中归一化不相交正随机变量的序列（Xn），使得ex：=PnXn∈ LΦ。

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2022-5-26 21:24:33

选择范数有界序列（Yn） Lψsothat supp Yn 对于所有n，supp Xnand E[XnYn]=1。同样，由于ψ使-条件，存在归一化不相交正序（Zij）i，j≥1. Lψ(Ohm)所以thateZ：=π，jZij∈ Lψ。然后选择（Wij）具有所需特性的LΦ。对于任何X∈ LΦ，Xi，jE【XZij】≤ EXeZ公司≤ kXkΦeZ公司ψ。因此，地图定义了byT X=E[XYn]n⊕ E【XZ】⊕E【XZij】ij是从LΦ到的有界线性算子l∞⊕ R⊕ l（N×N）。显然，T是一个正算子。定义求和运算符：l→ l∞byS公司（aj）j=nXj=1ajn、任意y的对偶表示13=（y（i，j））i，j≥1.∈ l（N×N），put yi=（y（i，j））j∈ l对于任何i≥ 1、LetC是由所有函数X组成的LΦ的子集∈ LΦ，如果我们写X=u⊕ 一⊕ v、有λ∈ R和y∈ l（N×N）λ≥ 0，y≥ 0，且xiikyik=1，a≥ -λ、五≥ λy和u≥ λlXi=1所有≥ 1、如果出现上述情况，我们写X~ （λ，y）。权利要求一：C为单质、正均质性和加性。确实，如果X′≥ 十、∈ C和X~ （λ，y），然后是X′~ （λ，y）和uX~ （μλ，y）对于任何u≥ 0，因此X′，uX∈ C、现在假设X~ （λ，y）和X′~ （λ′，y′）。自y，y′起≥ 0，即xiikλyi+λ′y′ik=λXiikyik+λ′Xiiky′ik=λ+λ′。因此，我们可以找到0≤ y′\'∈ l（N×N）这样的t hat tPiiky′ik=1，（λ+λ′）y′=λy+λ′y′。让我们展示X+X′~ （λ+λ′，y′）。实际上，写入T X=u⊕ 一⊕ v和T X′=u′⊕ a′⊕ v′，thenT（X+X′）=（u+u′）⊕ （a+a′）⊕ （v+v′）。Nowa+a′≥ (-λ） +(-λ′）=-（λ+λ′），v+v′≥ λy+λ′y′＝（λ+λ′）y′，andu+u′≥λlXi=1iSyi+λ′lXi=1iSy′i=lXi=1iS（λyi+λ′y′i）=（λ+λ′）lXi=1iSy′i，对于所有≥ 1、这证明了X+X′~ （λ+λ′，y′），因此X+X′∈ C、根据需要。自订单插入以来l是范数紧的，对于l, 集合∪p[0，vp]在l.14 N.GAO、D.LEUNG和F。

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2022-5-26 21:24:38

xantosclaim II:C是LΦ中的订单关闭。设（Up）为C中的一个序列，其阶收敛于某个U∈ LΦ。我们想展示你∈ C、 WriteT Up=向上⊕ ap公司⊕ VP和T U=U⊕ 一⊕ v、对于每个n≥ 1，用x（n）表示向量x的n-t h坐标l∞. 关于任意n的ByDominated收敛定理≥ 1，limpup（n）=limpE[UpYn]=E[UYn]=u（n）。此外，由于（Up）是阶有界的，因此，范数有界，在LΦ中，很容易看到t（Up）是范数有界的l∞. 由此得出（up）σ(l∞, l)-收敛到u。类似地，（ap）收敛到a。对于任何（bij）∈ l∞（N×N），Xi、jbi、jE（向上- U） Zij]≤ Eh |以上- U | Xi，j | bij | Ziji≤ supi，j | bij | E|向上的- U | eZ→ 因此（vp）相对于拓扑σ收敛到v(l（N×N），l∞（N×N））。自从l（N×N）具有Schur性质，（vp）范数收敛到v。对于每个p，假设Up~ （λp，yp），写入ypi=（yp（i，j））∞j=1对于每个i.选择M，以便kupk∞≤ 所有p的M如果l≥ 1，然后（2）M≥ 向上（n）≥ λplXi=1iSypi（n）→ λplXi=1ikypikas n→ ∞.特别是，M≥ λpPiikypik=λp≥ 0，因此（λp）是一个bo unded序列。如有必要，取一个子序列，假设（λp）收敛到某个λ≥ 如果λ=0，则y为l（N×N）使得piikyik=1，其中yi=（y（i，j））∞j=1。那么很容易看出≥ -λ、五≥ λy和u≥ λPli=1isyif对于所有l.因此，U~ （λ，y）和U∈ C、对于其余的证明，假设λ>0。自副总裁起≥ λpyp≥ 0表示allp和（vp）的范数收敛于l（N×N），可以得出（λpyp）在l（N×N）。通过一个子序列，我们可以假设（λpyp）pC在范数上收敛于l（N×N）。设置y=zλ。然后是y≥ 0，且（yp）在无rm时收敛到y。为了完成证明，我们将验证~ （λ，y）。显然，对于任何我≥ 1，我们有2个Kypik→ 2ikyikas p→ ∞. 选择psuch thatDUAL EXPRESSION 15λp≥λ表示所有p≥ p、根据（2），如果p≥ p、然后0≤ 2基皮克≤Mλ2i-1对于纽约i≥ 1.

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2022-5-26 21:24:47

根据支配收敛定理（3）Xiikyik=limpXiikypik=1。此外，（4）a=lim ap≥ - limλp=-λ、和（5）v=limpvp≥ limpλpyp=λy。最后，对于每个n和每个i，Sypi（n）→ Syi（n）作为p→ ∞. 因此，对于任何l，u（n）=跛行（n）≥ limpλplXi=1iSypi（n）=λlXi=1iSyi（n）。这证明（6）u≥ λlXi=1isyif对于任何l。清楚地，（3）-（6）表明U~ （λ，y），根据需要。权利要求三：-W∈ Cσ（LΦ，Lψ）\\C因此C不是tσ（LΦ，Lψ）-闭合的。ClearlyT公司(-W） =0⊕ -1.⊕ 0、如果-W∈ C、那么就存在λ≥ 0和0≤ y∈ l（N×N）使得-1.≥ -λ、 0个≥ λy，且piikyik=1，其中yi=（y（i，j））j。λ≥ 1，强制y=0，这是不可能的。这证明了-W/∈ C、接下来，我们展示-W∈Cσ（LΦ，Lψ）。让V，Vl∈ Lψ和ε>0。设置V=εPlt=1 | Vt |。自supijE【WijV】起≤ （supijkWijkΦ）kV kψ<∞, 存在≥ 1足够大，使E【WijV】<2秒-1对于所有i，j.Sincepene【XnV】≤ E【eXV】<∞, 存在r≥ 1此类文件∞Xn=rE【XnV】<s+1.16 N.GAO、D.LEUNG和F.Xantoslet y∈ l（N×N）由y（i，j）=sif（i，j）=（s，r）a定义，否则为0。简单计算表明t hat ifX：=2s∞Xn=rXn- W+WSR然后X~ （1，y），因此X∈ C、此外，如果1≤ t型≤ l、然后E[XVt]- E类[(-W） Vt]≤ εE|X+W | V≤ ε2s∞Xn=rE【XnV】+εsE【WsrV】<ε。这证明了-W∈Cσ（LΦ，Lψ）。最后，假设存在X∈ LΦ使X- k1级∈ C代表所有k∈ R、假设u是t X的第一个分量。然后是t（X）的第一个分量- k1）智能开关单元- k（E[Yn]）n.自X起- k1级∈ C、 u型- k（E[Yn]）n≥ 0.因此E【Yn】n≤ukfor所有k≥ 1，由此得出所有n的E[Yn]=0，与Yn的选择相反。我们现在准备介绍本节的主要结果。定理3.7。对于非原子概率空间上定义的Orlicz空间LΦ，以下陈述是等效的。（1） Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 成为一致的风险衡量标准。

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2022-5-26 21:24:51

当且仅当存在一组非负随机变量inLψ，每个变量的期望值为1，使得ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。（2） Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的凸泛函。定义ρ*（Y）=supX∈LΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Lψ。那么ρ具有Fatou性质，并且仅当ρ（X）=supY∈Lψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ LΦ。（3） LΦ中的每一阶闭凸集都是σ（LΦ，Lψ）-闭的。（4） LΦ中的每个σ（LΦ，Lψ）-顺序闭合conv ex se t都是σ（LΦ，Lψ）-闭合的。（5） σ（LΦ，Lψ）具有Krein-Smulian性质。双重表示17（6）Φ或ψ满足-条件证据（3）==> （2）==> （1）从命题3.1和3.2以及观察到每个σ（LΦ，Lψ）-闭集都是顺序闭的。根据推论3。5、我们有（3）<==> （4）<==> （5）。如果Φ满足-条件，则σ（LΦ，Lψ）是弱拓扑，具有Krein-Smulian性质。如果ψ满足条件，则LΦ是Lψ的范数对偶，σ（LΦ，Lψ）是弱的*拓扑，通过Krein-Smulian定理具有Krein-Smulian性质。这表明（6）==> （5）。最后，假设Φ和ψ均未通过-条件设C为应用引理3.6得到的集。定义ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 由ρ（X）=inf{m∈ R:X+m1∈ C} 。利用集合C的性质，可以很容易地检查ρ是否是一致的风险度量。很明显，C {ρ≤ 0}和{ρ<0} C的单调性。从C的阶封闭性得出X∈ 如果ρ（X）=0，则为C。因此，{ρ≤ 0}=C，因此{ρ≤ m} =C- m1表示任意m∈ R、因此{ρ≤ m} 是所有m的闭序。根据命题3.1，ρ具有fat-ouple性质。如果条件（1）成立，则从表达式ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ，很明显C={ρ≤ 0}是σ（LΦ，Lψ）-闭合的，与C的选择相反。这证明了（1）==> （6）。备注3.8。

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2022-5-26 21:24:54

在特殊情况下，ψ满足-Delbaen和Owari于2016年9月12日至14日在维也纳数学金融大会上宣布了条件定理3.4。从中，当ψ满足-条件他们的论文于2016年11月在ArXiv上发表，之前的第一版论文（2016年10月ArXiv）已经包含了完整的结果定理3.4和3.7.4。除了§3中考虑的对偶性（LΦ，Lψ）之外，基于Lψ=18 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS（HΦ）的事实，在[8]中研究了关于HΦ对（HΦ，Lψ）的风险度量的对偶理论*. 我们的动机是研究HΦ上风险度量的对偶表示，使用较小且更易于管理的空间Hψ作为对偶。尽管定理3.7断言，具有Fatou性质的LΦ上的一致风险度量可能无法对该对（LΦ，Lψ）进行adual表示，但论文[19]建立了当LΦ6=L时，LΦ上的风险度量对（LΦ，Hψ）的adual理论。在这种情况下，Hψ精确地由所有随机变量Y组成，因此（Xn）在LΦ，Xna中是范数有界的。s--→ X个==> E【XnY】→ E[XY]。这一观察结果推动了FatoupProperty更强大版本的推出。A函数ρ：HΦ→ (-∞, ∞] 如果（Xn）在HΦ，Xna中非m有界，则满足强Fatou性质。s--→ X个==> ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）。在本节中，为了补充和完成上述三种情况，我们研究了HΦ上的相干风险测度或预凸泛函的强Fatou性质与其对偶（HΦ，Hψ）的对偶r表示之间的联系。假设a集合C HΦ是c中任意范数有界序列（Xn）的有界a.s.c l osedif，a.s.收敛到某个X∈ HΦ，X∈ C、提案4.1。

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2022-5-26 21:25:03

设C是HΦ中的凸集，设X∈ HΦ。如果X∈Cσ（HΦ，Hψ），那么X是C中a序列的a.s-极限。如果C是范数有界的，则反之成立。因此，HΦ中的范数有界凸集C是σ（HΦ，Hψ）-闭的当且仅当它是有界的a.s.闭的。证据设C是HΦ中的凸集，设X∈Cσ（HΦ，Hψ）。因为Hψ是Lψ=（HΦ）的格数*, 根据[1，定理3.50]，HΦ在|σ|（HΦ，Hψ）下的拓扑对偶正是Hψ。因此，根据马祖定理，X∈ Cσ（HΦ，Hψ）=C |σ|（HΦ，Hψ）。因此，自1∈ Hψ，在C中有一个序列（Xn），使得e[| Xn- X |]≤对于所有n≥ 1、Sincesupn≤m级≤k（| Xm- X |∧ 1） x个ksupm公司≥n（| Xm）- X |∧ 1），双重表示法19如下所示≥n（| Xm）- X |∧ 1） i=limkEhsupn≤m级≤k（| Xm- X |∧ 1）我≤ limkEhXn≤m级≤k | Xm- X | i≤n-1、因此，Ehinfnsupm≥n（| Xm）- X |∧ 1） i=0，因此infnsupm≥n（| Xm）- X |∧ 1） =0。它遵循Xna。s--→ 十、假设C是HΦ中的范数有界凸集，（Xn）是C中的一个序列，它将a.s.收敛到某个X∈ HΦ。因为LΦ=（Hψ）*对于任何Y，Hψ都有阶连续范数，根据[1，定理4.18]∈ Hψ和任何ε>0，存在X∈ LΦ这样e（| Xn）- X |- 十） +| Y|< ε。因此E[（Xn- 十） Y]≤ E|Xn公司- X | | Y|= E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|+ E（| Xn）- X |- 十） +| Y|≤ E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|+ ε。由支配收敛定理E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|→ 0和thuslim supnE[（Xn- 十） Y]≤ ε。由于ε>0是任意的，我们得出结论，（Xn）σ（HΦ，Hψ）-收敛于X下一个推论是推论3.5的对应项，可以得到类似的证明。推论4.2。用B表示HΦ的闭合单位球。对于HΦ中的凸集C，以下是等价的：（1）C是有界a.s.闭的。（2） C是σ（HΦ，Hψ）-顺序闭合，（3）C∩ kB是σ（HΦ，Hψ）-对于所有k都是闭合的≥ 1、定理4.3。以下陈述相当于非原子概率空间上定义的Orlicz心脏HΦ。20 N.GAO、D.LEUNG和F。

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2022-5-26 21:25:06

xantos（1）Letρ：HΦ→ (-∞, ∞] 成为一致的风险衡量标准。那么ρ具有强Fatou性质，当且仅当Hψ中有一组非负随机变量Q，每个都有期望值1，使得ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ HΦ。（2） Letρ：HΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的凸泛函。定义ρ*（Y）=supX∈HΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Hψ。则ρ具有强Fatouproperty当且仅当ρ（X）=supY∈Hψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ HΦ。（3） HΦ中的每个有界a.s.闭凸集都是σ（HΦ，Hψ）-闭的。（4） HΦ中的每个σ（HΦ，Hψ）-顺序闭凸x都是σ（HΦ，Hψ）-闭的。（5） σ（HΦ，Hψ）具有Krein-Smulian性质。（6） Φ或ψ满足-条件证明草图。我们省略了暗示的证明（5）==> （4）==> （3）==>（2）==> （1）因为它们类似于OREM 3.7中相应含义的证明。如果Φ满足-条件，则HΦ=LΦ是Hψ的对偶空间，因此σ（HΦ，Hψ）是弱*拓扑，具有Krein-Smulia n属性，由Krein-Smulian定理确定。如果ψ满足-条件，则Hψ=Lψ是HΦ的范数对偶，因此σ（HΦ，Hψ）是一个弱拓扑，并且具有Krein-Smulian性质。这证明了（6）==> （5）。再次证明（1）==> （6）依赖于一个建筑，我们暂时推迟其验证。如果Φ和ψ均未通过-条件，设C为引理4.4给出的HΦ的子集。然后用ρ（X）=inf{m定义HΦ上的函数ρ∈ R:X+m1∈ C} 是HΦ上的一致风险度量，具有强Fatou性质（由于C的有界a.s.闭合性），但不是σ（HΦ，Hψ）-下半连续的。因此ρ不能表示为条件（1）。引理4.4。假设Φ和ψ均未通过-条件HΦ有一个单调的、正的、齐次的、可加的子集C，该子集有界a.s.闭，但没有σ（HΦ，Hψ）-闭。双重表示21证明草图。

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2022-5-26 21:25:10

观察到，对于LΦ中的任何正Random变量X（分别为Lψ），截断X1{X≤k} 位于HΦ（分别为Hψ）。此外X1{X≤k}↑kkXk。在引理3.6的证明中，应用适当的截断，我们找到了不相交的正函数{Xn}n的范数有界集≥1.∪{W}∪ {Wi}i≥1in HΦ与不相交正函数的范数有界集{Yn}n≥1.∪ {Z}∪ {Zi}i≥1in Hψ，使（a）supp Yn 支持Xn，支持W SUP Zand SUP Wi 支持所有人，i≥ 1，（b）逐点sumseX=PnXn∈ LΦandeZ=PiZi∈ Lψ，（c）E【XnYn】=E【WZ】=E【WiZi】=1，对于所有n，i≥ 1、由于Yn不相交，因此Yna。s--→ 0，所以对于任何X，that limnE[XYn]=0∈ HΦ。因此E[XYn]n∈ c、还有，自从XIE【XZi】≤ E|X | eZ< ∞,E【XZi】我∈ l. 因此，mapT:X 7→E[XYn]n⊕ E【XZ】⊕E【XZi】从HΦ到c的有界正线性算子⊕ R⊕ l. 对于任何y=（y（i，j））i，j≥1.∈ l（N×N），put yi=（y（i，j））j∈ l对于任何i≥ 让（sj）jbe为r c的求和基，即sj=（1，…，1，0，…），1出现在第一个j坐标中，且（wj）是l, i、 e.，wj=（0，…，0，1，0，…），当1出现在j-th坐标t e中时，设C是HΦ的子集，由o个fall随机变量X组成∈ HΦ，如果我们写下T X=u⊕ 一⊕ v、有λ∈ R和y∈ l（N×N）λ≥ 0，y≥ 0，Xiikyik=1，且Xiikyik<∞.一≥ -λ、五≥ λXjXiiy（i，j）wj，u≥ λXjXiy（i，j）sj。如果出现上述情况，我们写X~ （λ，y）。22 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOSWe省略了C是单调的、正齐次的和加性的验证。对于j≥ 1、确定投影PjonlbyPj（b，b，…）=（0，…，0，bj，bj+1，…）。那么u上的条件等价于（7）u≥ λxiPyi公司,xiPyi公司, . . ..索赔一：U∈ C只要存在一个常模bo unded sequence（Up）引脚C，使得（Up）Pconverge a.s。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:25:14

至U∈ HΦ。假设that Up=向上⊕ ap公司⊕ vp，T U=U⊕ 一⊕ v、上浮=（上浮（j））jand u=（上浮（j））j.然后上浮（j）=E【上浮（j）】→ E[UYj]=每个j的u（j）。此外，由于（Up）在HΦ中是范数有界的，（Up）在c中是范数有界的。因此，Upσ（c，l)----→ u、有一系列凸组合，（Ppnj=pn-1+1cjuj），0=p<p<p<····，在c的范数中收敛到u。通过用相应的凸组合替换Up\'s（也将e a.s.转化为u），我们可以假设（Up）在c范数中收敛到u。同样，vp→ v坐标和KVPK≤谢|向上| Zi]=E|向上| eZ]≤ kUpkΦkeZkψ。因此，vpσ(l,c）----→ v、很明显，ap→ a、对于每个p，放松~ （λp，yp）。写入ypi=（yp（i，j））∞对于每个i，j=1。然后存在一些M>0，使得（8）M≥ kvpk≥ λpXi，jiyp（i，j）=λpXiikypik。特别是，M≥ λpPiikypik=λp≥ 因此（λp）是一个有界序列。通过一个子序列，我们可以假设（λp）收敛到某个λ≥ 如果λ=0，则将y设置为l（N×N）使得piikyik=1和对偶表示23Piikyik<∞. 很容易检查U~ （0，y），因此U∈ C、假设λ>0。By（8），对于所有有效的ge p，λkPj（2yipi）k≤ λPK2YPIK≤Mifor all i，j≥ 因此，对于每个j，序列（kPj（2yipi）k）ip≥1，包含在间隔l, 相对标准紧凑l. 通过传递到asubsequence，我们可以假设存在（bij）i∈ l这样，limp（kPj（2yipi）k）i=（bij）iinl-标准，对于每个j≥ 1、特别是bi，j+1≤ bijandXibi1=limpXik2iypik=1。Sety（i，j）=bij- bi，j+1对于所有i，j≥ 1、安迪：=y（i，j）≥ 我们声称~ （λ，y），因此U∈ C、请注意，BIJ- bi，j+1=跛行（kPj（2yipi）k- kPj+1（2yipi）k）=limpiyp（i，j）。因此，yp（i，j）→ y（i，j）表示任何i，j≥ 1、它来自Fatou引理和（8）thatpikyik<∞. 由于（up）在c中收敛到u，limjup（j）=0一致inp。根据up的条件（7），limjPikPjypik在p中均匀=0。

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2022-5-26 21:25:18

特别地，对于每个i，limjkPjypik=0在p中统一，因此limjbij=0。因此，k2iyik=Pj（bij- bi，j+1）=所有i的BI1，XIK2Iyik=Xbi1=1。Fatou引理还暗示v（j）=limpp（j）≥ lim infpλpXiiyp（i，j）≥ λXiiy（i，j），且（使用（7）表示up）u（j）=limpup（j）≥ lim infpλpXikPjypik≥ λXikPjyik。这就完成了U~ （λ，y）。24 N.GAO、D.LEUNG和F.Xantosclaim II：C不是σ（HΦ，Hψ）-闭合的。精确地-W∈ Cσ（HΦ，Hψ）\\C.自T(-W） =0⊕ -1.⊕ 0，很容易看到-W/∈ C、另一方面，观察任何s，r≥ 1，Xsr：=srXn=1Xn- W+2sWr~ （1，y），其中y（i，j）=sif（i，j）=（s，r），否则为0，因此Xsr∈ C、在引理3.6的顶部，可以显示-双序列（Xsr）s，r的σ（HΦ，Hψ）-闭包中的Wlies≥1.参考文献[1]C.Aliprantis，O.Burkinshaw，《正算子》，荷兰斯普林格出版社，2006年。[2] T.Arai，Orlicz空间上的凸风险度量：inf卷积和短缺，数学和金融经济学3（2），2010，73–88。[3] T.Arai，M.Fukasawa，《良好交易边界的凸风险度量》，数学金融24（3），2014，464–484。[4] P.Artzner，F.Delbaen，J.M.Eber，D.Heath，Cohere-nt风险度量，MathematicalFinance 9299203-228。[5] S.Biagini，M.Frittelli，关于Namioka-Klee定理的推广和风险度量的FatoupProperty。《现代金融优化与风险趋势》，施普林格-柏林-海德堡，2010年，1-28。[6] S.Biagini，M.Frittelli，M.Grasse lli，《一般半鞅的差异价格》，数学金融21（3），2011，423–446。[7] H.Brezis，函数分析，Sobolev空间和偏微分方程，SpringerScience&Business Media，2010年。[8] P.Cheridito，T.Li，《Orlicz心脏的风险度量》，数学金融19（2），2009189–214。[9] S.Drapeau、A.Jameshan、M.Karliczek和M。

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2022-5-26 21:25:26

Kupper，《条件集代数与条件拓扑和紧性的概念》，《数学分析与应用杂志》437（1），2016，561–589。[10] F.Delbaen，《通用概率空间的一致风险度量》，载于：金融和随机学进展，施普林格-柏林-海德堡出版社，2002年，1-37。[11] F.Delbaen，《不可积随机变量的风险度量》，数学金融19（2），2009，329–333。[12] F.Delbaen，K.Owari，关于-Orlicz spac es公司。P再版：arXiv:1611.06218【13】G.A.Edgar，L.Sucheston，《停止时间和定向过程》。数学及其应用百科全书，47，剑桥：剑桥大学出版社，1992年。双重代表25【14】E.Farkas，P.Koch Medina，C.Munari，《超越现金加成风险度量：当改变数字失败时，金融与随机》18（1），2013，145-173。[15] D.Filipovic，M.Kupper，N.Vogelpoth，《局部L-凸模中的分离与对偶》，J.Func。肛门。256（12），2009，3996-4029。[16] M.Frittelli，E.Rosazza Gianin，《在风险度量中排序》，《银行与金融杂志》26（7），20 02，14 73–1486。[17] H.Follmer，A.Schied，《随机金融》，《离散时间导论》，《数学研究》27。第二个edn。Walter de Gruyter，纽约，2004年。[18] N.Gao，D.Leung，C.Munari，F.Zanthos，Fatou property，关于general Orlicz spa C es的法律不变风险度量的表示和扩展，已提交。预印本：arXiv:1610.08806【19】N.Gao，F.Zantos，关于C属性和w*-风险度量的表示，数学金融，即将出现。预印本：arXiv:1511.03159【20】N.Gao，F.Xanthos，《无界o阶收敛与无概率马丁酒的应用》，J.Math。肛门。一个ppl。415（2），2014，931-947。[21]T.X。

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