熵测度变换 - 外文文献专区

2022-5-9 12:35:20

王仁杰的熵测度*科迪·海德曼*Anastasis KRATSIOS+2019年2月20日摘要我们介绍了一个一般过程的熵测度变换（EMT）问题，并证明了描述该解的唯一最优测度的存在性。在一般条件下，利用半鞅BSDE刻画了最优测度的密度过程。EMT用于重新解释条件熵风险度量，并为允许在相关度量下进行有效表示的过程的条件期望获得一个方便的公式。然后，当资产受到跳跃差异驱动时，熵测度变换可用于提供可违约债券价格、远期价格和期货价格的新特征。EMT对这些定价问题的描述提供了一种经济解释，即收益最大化，受到通过总相对熵表示的消除金融风险的惩罚。EMT扩展了Gombani和Runggaldier违约自由债券价格的最优随机控制特征（Math.Financ.23（4）：659-6862013）。这些方法通过默认键设置中的一个示例进行了数值说明。关键词：相对熵；自由能；可违约债券价格；期货价格；远期价格；一个任期结构；二次项结构；正倒向随机微分方程；最优随机控制。数学学科分类（2010）：91G30、91G40、91G80、60H20、60H30、93E20*加拿大魁北克省蒙特勒尔市迈松纽韦大道1455号康科迪亚大学数学与统计系H3G 1M8。电子邮件：cody。hyndman@concordia.ca+瑞士苏黎世苏黎世ETH苏黎世数学系。ORCID ID:0000-0001-6791-3371。

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2022-5-9 12:35:24

电子邮件：阿纳斯塔西斯。kratsios@math.ethz.chThis这项研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。作者要感谢W.Runggaldier教授（Padova）对本文早期版本的有益评论。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度转换20191年2月20日简介基于基础短期利率过程r（t）的零息债券定价问题∈ R+是金融数学中一个基本而重要的话题。在风险中性措施下，已经提出了各种r（t）模型。单因素模型使用瞬时s pot率r（t）作为基本状态变量，如Vascek（1977）和Cox等人（1985）。短期利率取决于多维因素过程的多因素模型包括Longstaff和Schwartz（1992）、Hull和White（1994）以及Duffee和Kan（1996）的模型。有几种方法可以描述债券价格。在无套利市场中，债券价格可以被视为一个称为期限结构方程的偏微分方程的解（见Bj"ork（2004年，命题21.2）），或者通过Feynman-Kac公式联系起来，使用风险中性估值（见Bj"ork（2004年，命题21.3））。最近研究了其他方法，包括随机流量法（seeElliott and van der Hoek（2001）、Hyndman and Zhou（2015）和Hyndman（2009））、前后向随机微分方程法（Seehydman（2007、2009）和Hyndman and Zhou（2015）），以及冈巴尼和龙加尔迪耶（2013）的最优随机控制方法。Gombani和R unggaldier（2013）通过将期限结构方程转化为等效的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，将无违约债券的定价问题与最优随机控制（OSC）问题联系起来。

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能者818

2022-5-9 12:35:27

受Gombani和Runggaldier（2013）以及相对熵概念的启发，我们提出了一个熵测度变换（EMT）问题，其价值函数与债券价格有关。我们探讨了EMT问题和OSC问题之间的等价性。与OSC问题相比，EMT问题的一个优点是可以直接扩展到带跳跃的模型，甚至可以扩展到可违约债券的模型。EMT问题还从财务角度解释了定价问题，即收益最大化受到量化财务风险的熵惩罚项的影响。我们证明了EMT问题的最优测度和价值过程完全可以用一个正反向随机微分方程（FBSDE）来描述。此外，如果相关FBSDE允许显式解，熵测度变换有一个表达式。从熵测度的显式表示中，我们注意到解决EMT问题的测度与使用债券价格作为数值的鞅测度或前向测度一致。这些联系提供了一些见解，可以解释为什么亨德曼（2009）的FBSDE方法中采用的前向度量转换是有效的。在有效期限结构模型（ATSMs）和QTSMs的框架下，Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）为相关的FBSDE提供了明确的解决方案。论文的其余部分组织如下。在第二节中，全面介绍了熵测度变换（EMT）问题，并用一个向后半鞅来解决和刻画该问题。第3节介绍了EMT、条件风险度量和有效流程之间的联系。

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2022-5-9 12:35:30

利用EMT，可以使用熵测度变换简单地计算出一个特定等价测度下的一个有效过程的条件期望。在第4节中，熵测度变换应用于定价问题，从无违约零息债券开始，然后扩展到可违约零息债券，最后应用于期货和远期价格。在所有这些情况下，表征最优测度的向后半鞅被简化为FBSDE，其解由Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换给出。2019年2月20日，Riccati方程。我们还建立了债券定价的OSC问题和ETM问题之间的等价关系。第5节包含在可违约债券情况下实施该方法的数值说明。第6节结束，附录讨论了某些Riccati方程的可解性。2熵测度变换在本节中，我们介绍概率测度的熵测度变换，并描述如何计算它。让P(Ohm) 是关于P的绝对连续的概率测度集吗(Ohm, F）。以下定义将Dai Pra等人（1996年）给出的自由能和相对熵的经典定义推广到包含过滤定义2.1的聚合或动态版本。为了P∈ P(Ohm) 一个FT可测量的随机变量，相对于P，εt，t（~n）的总自由能由εt，t（~n）=ln（EP[e|FT]），t定义∈ [0，T]。（2.1）定义2.2。除了P，考虑另一个Q∈ P(Ohm). 假设Q对P isdQdP的Radon-nikodymp导数Fs=Γs，0≤ s≤ T

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2022-5-9 12:35:34

（2.2）那么，对于t∈ [0，T]，Q相对于P的总相对熵定义为asHt，T（Q | P）=（EQhlnΓTΓT|如果ΓTΓs∈ L（P）+∞ 否则（2.3）聚合自由能和聚合相对熵之间的对偶关系依赖于以下一组度量。对于t∈ [0，T]，且对于每一个P-a.s.正且一致可积（P，Ft）-鞅∧T，满足（i）Ehlimt7→∞∧ti=1，（ii）比亚迪定义的测量值PPdP=limt7→∞λ相当于P。我们可以定义一系列概率测度Pt（λ） P(Ohm) 从p到时间t，它们是不可区分的∈ P(Ohm)Q~ P、 dPdQ英尺=dQdP英尺-1(T∈ [0, ∞)) 和dqdpFs=λs(s∈ [0，t]）。（2.4）定义2.3（φ兼容）。给定一个FT可测量的随机变量φ，如果满足以下条件，则FT可预测过程θ称为φ兼容：Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换1991年2月20日。θ是P-a.s.阳性，2。EPeθtφ英尺是一个一致可积（P，Ft）-鞅，对于每个t∈ [0，T]。与Dai Pra等人（1996）相似，以下命题揭示了聚集自由能和聚集相对熵之间的二元关系。提议2.4。对于t∈ [0，T]和任何FT-可测随机变量φ和任何非负可预测过程θT，αT，如果θtisφ兼容，则以下公式成立：- εt，t（θtφ-αt+ln（λt））=θtinfQ∈Pt（λ）情商-φ+αtθt英尺+θtHt，T（Q | P）. （2.5）在P由氡-尼科德姆导数测定数据处理FT=eθtφEP[eθtφ|FT]。（2.6）证据。首先假设θt=1 P-a.s.如方程（2.2）中我们假设的qdpFs=Γs，0≤ s≤ T.由于φ·ΓTΓ是可测的（Jacod和Shiryaev，2003，定理3.8），并且假设以下广义Bayes公式适用于SDPDQ英尺=dQdP英尺-1对于每个t≥ 0，implethateqφΓtΓt英尺= EPφΓtΓtΓtΓt英尺= EP[φ| Ft]。

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2022-5-9 12:35:43

（2.7）因此对于任何FT可测随机变量φ和任何Q∈ Pt（λ）以下可逆性Stract-Bayes公式holdsEP[φ| Ft]=等式φΓtΓt英尺. （2.8）自-ln（·）是一个凸函数，詹森不等式暗示-εt，t（φ）=-ln（EQheφΓtΓtFti）≤情商[-φ| Ft]+EQhlnΓTΓTFti=EQ[-φ| Ft]+Ht，T（Q | P）。（2.9）安萨茨，ΓTΓT=eφEP[eφ| Ft]。（2.10）可以用等式（2.9）进行验证。因为每s≤ 方程（2.10）表示Γt=eφ∧tEP[eφ| Ft]。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日这建立了θt=1的情况。在一般情况下，设φ为FT可测量的随机变量。那么φ，θt~n是FT可测量的。因此，第一部分意味着-εt，t（φ）=-εt，t（θt~n- αt）=infQ∈Pt（λ）{EQ[-θt|Ft]+Ht，t（Q | P）}（2.11）=infQ∈Pt（λ）θt{EQ[-ν+αtθt | Ft]+θtHt，t（Q | P）}，（2.12），其中最后一行来自以下事实：θ和α皮重Ft是可预测的，不会进入优化。此外，由于P-a.s.取（0，∞). 最后，将∧t保留在期望值之外，并注意到ln（∧t）是P-a.s.定义良好的，因为∧t>0，P-a、 s.给出了方程（2.6）的存在性。方程式（2.6）中定义的过程实际上是一个定义密度很低的过程，因为定义2中描述了θt的消耗。3（i-ii），当s从左边接近时，EP[eθs|Fs]EP[eθt|Ft]收敛到方程（2.6）的右边。唯一性由损失函数θt{EQ的凸性保证[-关于Q.definition 2.5（熵测度变换），φ+αtθt | Ft]+θtHt，t（Q | P）}。P的函数(Ohm) 将任意概率测度P映射到测度P定义为等式（2.5）的（唯一）极小值，称为熵测度变换。密度过程dP | FTA用一个解耦的前后半鞅给出了一个方便的描述。

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2022-5-9 12:35:46

我们回顾了一些定义，并定义了一些符号，以陈述本文的下一个和中心定理。设mpm表示初始状态为0的平方可积（Ft，P）鞅集。对于MP的任何子集A，稳定子空间S（A）是M的最小线性子空间，包含A和~M∈ S（A）~M∈ S（A）=>Zφd~M。此外，我们将用M（A）表示(Ohm, 每米∈ S（A）是平方可积鞅。定理2.6。设P是Pt（1）中的概率测度，M，Mnbe是（P，Ft）-鞅的正交集，XTbe是（P，Ft）-平方可积随机变量。如果P是M（M，…，Mn）的极值点，如果S（M，…，Mn）包含所有常数，如果对于每个S∈ [t，t]下半鞅倒向随机微分方程存在一个解-自然对数EP提取财政司司长=XT-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s-TXu≥sEP提取傅-nXi=1Ziu-缪！，（2.13）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日然后密度过程被测量数据处理Fs的特征是dp数据处理Fs=exp-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s！×exp-TXu≥sEP提取傅-nXi=1Ziu-缪！. （2.14）证据。对于s∈ [t，t]，让我们-Y，lnEP提取财政司司长, thene-Ys=EP提取财政司司长. （2.15）定义ηs，EP提取财政司司长; 注意η是Doob（P，Fs）-鞅。由于P是极值M（M，…，Mn），S（M，…，Mn）包含所有常数，那么中心定理mofjacod和Yor（1977）暗示MP=S（M，…，Mn）。特别是，{Mi}ni=1具有可预测的表示属性。因此，存在P-a.s.唯一的平方可积过程φIs，每个φIs都是不可预测的，因此ηs=η+nXi=1ZsφiudMiu。（2.16）自e-Xt是P-a.s.正，然后ηsis P-a.s.严格正。因此，对于每个i=1，n、过程Zis，φ的定义很好。

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2022-5-9 12:35:50

因此，方程（2.16）可以改写为ηs=η+nXi=1Zsηszismiu。（2.17）自Ys=-ln（ηs），然后是广义It^o引理（Cohen and Elliott，2015，Theorem14.2.1），方程（2.17），以及i6=j时的Mito mji的正交性，这意味着ys=Y+nXi=1Zsηu-齐奥-ηu-德米-nXi=1Zsηs（Zis）ηsd[Mi]s-TX0≤U于-nXi=1ηu-ηu-!=Y+nXi=1ZsZiu-德米尔-nXi=1Zs（Zis）d[Mi]s-TX0≤U于-nXi=1Ziu-缪！。（2.18）因为ηT=E提取英尺= 分机，然后是s∈ [0，T]，等式（2.18）让位于下面的半鞅BSDEYs=XT- Y-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s（2.19）-TXu≥s于-nXi=1Ziu-缪！。（2.20）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度从P∈ Pt（1），我们注意到等式（2.6）意味着ηt=1；thusYt=0。此外，Ys=-自然对数EP提取财政司司长, 因此，方程式（2.20）可改写为-自然对数EP提取财政司司长- XT=-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s-TXu≥s于-nXi=1Ziu-缪！。（2.21）取方程（2.21）两侧的指数，并注意到extep[eXT|Fs]是方程（2.6）的右侧，得到方程（2.13）和（2.14）。熵测度变换、聚合相对熵、有效过程和风险测度之间的关系将在下一节讨论。3与风险度量和有效过程的联系有效过程是一大类具有许多理想性质的可处理随机过程。例如，Inuchiero（2011）利用广义Riccati方程描述了过程的矩母函数，随后inGonon和Teichman（2018）开发了高精度近似滤波方法。在下一节中，EMT被用来获得一个方便的闭式表达式，用于一个函数过程的条件期望，它允许一个辅助等式测度下的函数表示为P。

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可人4

2022-5-9 12:35:54

随后连接到熵风险度量。3.1有效过程累积量的表征支持XT是一个时间齐次马尔可夫过程，其中分别存在C和Cn值函数p和q，因此XT的特征函数可以写成Phehu，XTiXt=xi=exp（p（t，u）+hq（t，u），Xti）。（3.1）根据Keller Restel和Mayerhofer（2015），我们做出以下假设。假设3.1。每一个u，x∈ RnExPehu，Xti< ∞.根据假设3。Keller-Ressel和Mayerhofer（2015）证明了以下广义Riccati方程具有唯一（实）极小解Pt（t，y）=F（q（t，u））；p（0，y）=0（3.2）Qt（t，y）=R（q（t，u））；q（0，y）=y，（3.3）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日∈ [0，T]，其中函数F和R在Keller Ressel和Mayerhofer（2015）中定义。此外，还证明了唯一极小解（p，q）刻画了xt，通过hehu，XTi的矩Xt=xi=exp（p（t，u）+hq（t，u），Xti）。提议3.2。设Q是一个等价于P的测度，其EMT为P，即isQ= P、（3.4）其中XT是一个R值的有效过程，满足假设3。1.那么XT的期望可以用ep[XT | Ft]=p（T）来表示- t、 1）+hq（t- t、 1），Xti+Ht，t（P | Q）。（3.5）证据。设（p，q）是方程（3.3）的Riccati系统在q下的最小解。因此，（Keller Ressel和Mayerhofer，2015，推论2.16）意味着对于每x∈ Rn，θ∈ R、 u∈ Sn和t∈ [0，T]它遵循以弗θhu，XTiFti=exp（p（T- t、 θ·u）+hq（t- t、 θ·u），Xti）。（3.6）对于θ6=0，结合方程（3.6）和（2.5）yieldsp（T- t、 u）+hq（t- t、 u），Xti=p（t-t、 θ·u）+hq（t- t、 θ·u），Xtiθ=EP[hu，XTi | Ft]-θHt，T（P|P）。

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2022-5-9 12:35:57

（3.7）设置u=1=θ，结合方程式（3.7）、方程式3.4和方程式（2.5）得出方程式（3.5）。3.2与条件熵风险的关系风险规避水平θ>0的条件熵风险度量，用ρentt表示，θ，是一个研究充分的动态凸风险度量。通过ρentt、θ（X）、θln定义合适的随机变量（详细信息见Seedtelefsen和Scandolo（2005））以弗-θX | Fti.理论2。14，命题2.4和（Jacod和Shiryaev，2003，定理3.8），给出了通过公式ρentt，θt（XT）=EP明确计算FT可测随机变量的条件熵风险的方法[XT | Ft]-Ht，T（P|P） θt，（3.8），其中风险规避水平θ与XT兼容。风险规避水平的可预测性被解释为随着新信息的到来而调整风险规避的能力。方程（3.8）可以解释为，在P. 通过术语Ht，T（P|P）。下一节将探讨熵测度变换的财务解释。这些例子将集中于利率的期限结构、可违约债券、期货价格和远期价格。Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换1994年2月20日定价vi a熵测度变换我们首先探索orem（2.6）在数学金融中的联系和应用。具体而言，我们考虑债券定价、期货价格和远期价格的应用。我们首先探讨了熵测度变换与债券定价的关系。4.1可违约债券价格的短期利率模型T>0，即投资期限，P是短期利率的鞅度量，使用货币市场账户作为数值。

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mingdashike22

2022-5-9 12:36:01

短期利率将被建模为r（Xt），其中ris是从Rnto（0，∞) Fs适应因子dxs=f（s，Xs-)ds+g（s，Xs）-)dWPs+zNP（ds，dz），（4.1），其中wp是一个n维（F，P）-布朗运动，其中随机测度NPisan是一个具有补偿器η（ds，dz）=v（dz）λ（Xs）的Rn值随机测度-)ds，其中v（·）是Rn上的一个度量，λ（·）是从Rn到R指定的一个函数。补偿随机度量是NP（dt，dz）=NP（dt，dz）- v（dz）λ（Xt）-)dt。。（4.2）无违约零息债券在时间t的价格∈ [0，T]由p（T，T）=EPhe给出-RTtr（Xs）dsFti；T≥ T≥ 0.（4.3）我们考虑到期时承诺支付1美元的可违约零息债券，并表示时间t的价格∈ [0，T]乘以D（T，T）。与无违约债券不同，可违约债券（如公司债券）的发行人可能会在到期前违约，在这种情况下，债券持有人将不会收到承诺的全额付款，而是收回付款。如果违约发生在债券到期之前，根据偿还付款的时间和金额，有不同的偿还方案（见比耶莱斯基和鲁特科夫斯基（2002年，第1.1.1节）和奥尔特曼等人（2004年））。例如，如果在违约情况下，债券面值的固定部分在到期时支付给债券持有人，则债券在到期时具有随机支付效应T=1{τ>T}+η1{τ≤T}其中τ是默认时间。如果在违约时支付了债券价值违约前市场价值的固定部分，那么债券的等价随机支付isCT=1{τ>T}+ηP（τ-, T）eRTτrvdv{τ≤T}。违约时间τ也进行了不同的建模。根据结构信用风险模型Originating with Merton（1974），公司债券的违约发生在公司债券的价值达到某个较低的阈值时。

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2022-5-9 12:36:04

简化形式的信用风险模型，如杜菲和辛格尔顿（1999），假设违约是由外部违约过程驱动的。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度转换2019年2月20日由于回收方案不是本文主要关注的问题，我们通常将用随机支付效应表示可违约债券的等价支付，并假设价格由（s ee Du ffee and Singleton（1999））D（t，t）=EPhe给出-RTtr（Xv）dv·CTFti，（4.4），其中CTI是一个FT可测量的随机变量，取值为[0,1]。在极端情况下，完全违约的CT=0，即债券持有人在违约时无法获得任何回报，债券变得一文不值。在本文中，我们假设P（CT=0）=0，排除了完全违约的发生。稍后我们将解释为什么我们必须做出这个技术假设。如果我们假设P（CT=1）=1，那么我们的模型中就包含了无违约债券的另一种极端情况。如果P（CT=1）=1，则默认自由情况由等式（4.4）得出。定理2.6和等式（4.1）直接暗示可违约债券价格D（t，t）由以下EMT问题表征。推论4.1。在方程（4.1）和（4.3）描述的建模方案下，零息债券的价格isD（t，t）=expEPZTtr（徐）杜- ln（CT）英尺κt，（4.5）κt，expEPZTtZvZ′vdv-ZTtZvdWPv英尺,其中，Zt通过解耦的FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）定义-)ds+Zstg（v，Xv）-)dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz），（4.6）Ys=-ln（CT）+ztsr（Xv）-) -ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）λ（Xv）-) -ZvZ′vodv（4.7）+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz），Ys，lnnEP[e]-这里，熵测度变换，P对于P，由dq给出数据处理FT=exp-ZTtZvZ′vdv+ZTtZvdWPv-zTZrNλ（Xv）-)（例如（v，z）- 1） v（dz）dv+ZTtZRnG（v，z）NP（dv，dz）. （4.8）证据。

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2022-5-9 12:36:07

将反向方程（2.13）、方程（4.2）和SDE（4.1）结合起来，形成方程（4.6）的解耦FBSDE。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日备注4.2。假设一个金融代理支付c在t时间购买一个单位的债券，并收到CTat到期日的付款。在时间段[t，t]内投资的内部对数回报率为γ=LNTC。超过无风险利率的超额收益率γ由γ=γ给出-ZTtr（Xv）dv，用于衡量投资绩效。注意，在可违约债券价格设置中，P的熵测度变换等价于nd（t，t）c=- infQ∈Pt（1）情商[-γ| Ft]+Ht，T（P|P）= supQ∈Pt（1）等式[|γ|英尺]- Ht，T（P|P）. （4.9）总相对熵Ht，T（P|P）式（4.9）中，可以解释为在我们的模型框架内消除由市场风险（波动性风险）和信用风险组成的金融风险的惩罚。等式（4.9）的右侧使投资的超额（经风险调整的）回报最大化，这等于等式（4.9）左侧给出的等效瞬时回报。我们将分别讨论ATSMs和QTSMS情况下FBSDE（4.6）-（4.7）的显式解。与Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）所考虑的因素相比，违约的可能性导致了一个额外组成部分的解决方案。4.1.1与ATSMI的不可违约债券案例在带跳跃的ATSMs框架内，我们对FBSDE（4.6）-（4.7）的系数做出如下规定（i）f（s，x）=Ax B（ii）g（s，x）=Sdiag√αi+βix（iii）r（x）=r′x+k（iv）λ（x）=L′x+lw其中A是标量的（n×n）-矩阵，B、r和L是（n×1）-向量，对于每个i∈ {1，…，n}每个i的αi标量∈ {1，…，n}βi=（βi1，…，βin）是（1×n）-向量，S是非奇异（n×n）-矩阵，k和l是标量。

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可人4

2022-5-9 12:36:10

然后FBSDE（4.6）-（4.7）变成x=Xt+ZstAXv-+ Bdv+ZstSdiagpαi+βiXv-dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz），（4.10）Ys=ZTsnZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）L\'-R′十五--ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）l+k-ZvZ′vodv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz）。（4.11）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日，我们将通过应用类似于Hyndman（2009）的技术，给出FBSDE（4.10）-（4.11）的显式解，该技术扩展了马和勇（1999）的线性FBSDE方法。在以下命题的陈述中，正如在yndman（2009）中，我们将采用b"ork和Landén（2002）的符号来编写对称（n×n）矩阵kj的diag（αi+βix）S′=k+nXj=1kjxj，其中xjis是向量x的第j个元素∈ D.定义（n×n）矩阵K，给定（1×n）行向量y，n×n矩阵β（y）由K确定=kk。。。千牛和β（y）=y1×n··01×n1×ny。。。。。。。。。1×n·y分别地定理4.3。如果Riccati方程˙Us+UsA+UsK′[β（Us）]+hZRn（eUsz- 1） v（dz）iL′- R′=0，t∈ [0，T]（4.12）UT=0，（4.13）在区间[0，T]上允许唯一有界解U（·），然后FBSDE（4.10）-（4.11）允许唯一解，并且（Y，Z，G）在X的项s中有显式表达式，如下所示=-（UsXs+ps），（4.14）Zs=UsSdiag（pαi+βiXs-), （4.15）G（s，z）=Usz，（4.16），其中由Ps给出的Ps=-中兴通讯K- lZRn（eUvz）- 1） v（dz）-乌夫库夫- 中波紫外线dv（4.17）证明。我们首先证明了解耦的FBSDE（4.10）-（4.11）允许一个唯一的解（X，Y，Z，G）。SDE（4.10）提供了一个独特的解决方案。正如XSK所知，我们考虑单个BSDE（4.11）。如果我们让y=e-Ys，~Zs=-~Ys·Zs，~G（z，s）=-~Ys（1）- 例如（s，z）），BSDE（4.11）变为Ys=1+ZTsnZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）L\'- R′十五--ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）l+ko＠Yvdv+ZTs＠ZvdWPv+ZTsZRn＠G（v，z）＠NP（dv，dz）。（4.18）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日。通过德隆（2013年，定理3.1.1），我们知道BSDE（4.18）允许一个唯一解（~Y，~Z，~G）。

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2022-5-9 12:36:15

因此，FBSDE（4.10）-（4.11）允许一个唯一的解（X，Y，Z，G）。为了证明（Y，Z，G）的显式表达式，我们需要证明等式（4.14）-（4.16）给出的（Y，Z，G）满足BSDE（4.11）。将其公式应用于函数φ（s，x）=-（Usx+ps），其中USI是Riccati方程（4.12）和PSSaties方程（4.17）的解。LetYs=φ（s，Xs），其中Xs由方程（4.10）给出，那么我们有- Ys=-中兴通讯˙UvXv-+ 紫外线（AXv）-+ B） +kU′v+K′[β（Uv）]Xv-dv-ZTsUvSdiag（pαi+βiXv）dWPv-中兴通讯K- lZRn（eUvz）- 1） v（dz）-乌夫库夫- 中波紫外线dv-ZTsZRnUvz*NP（dv，dz）=-中兴通讯˙Uv+UvA+UvK′[β（Uv）]+hZRn（eUvz- 1） v（dz）iL′- R′Xv+hR′Xv-+ k+UvK′[β（Uv）]′Xv-+ 乌夫库夫我dv+ZTshZRn（eUvz）- 1） v（dz）i（L′Xv-+ l）dv-nUvSdiag（pαi+βiXv）-)odWPv-ZTsZRnUvzNP（dv，dz）（4.19）将方程（4.14）-（4.16）代入方程（4.19），我们得到y=YT+ZTs（R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv-ZTsZRn（L′Xv）-+ l）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（s，z）NP（ds，dz）通过（4.13）和（4.17）的边界条件，我们得到：-（UTXT+pT）=0。因此，Ys=ZTs（R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv-ZTsZRn（L′Xv）-+ l）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz），因此（Y，z，G）由等式（4.14）-（4.16）给出，满足BSDE（4.11）。备注4。4.关于（4.12）中形式的Riccati方程的完整讨论可参见Induffee等人（2003年，第6节）。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194.1.2 ATSM框架下无跳跃的默认情况下，FBSDE（4.6）-（4.7）变为Xt+Zst（AXv+B）dv+ZstSdiagpαi+βiXvdWPv（4.20）Ys=-ln CT+ZTs（R′Xv+k-ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv（4.21）下面的结果可以被看作是对yndman（2009，定理3.2）的一个推广，通过合并一个随机终端条件来表示违约情况下的恢复量。定理4.5。

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2022-5-9 12:36:18

如果Riccati方程˙Us+UsA+UsK′[β（Us）]- R′=0，s∈ [0，T]（4.22）UT=0（4.23）允许唯一有界解U（·）∈ Rn在区间[0，T]上，则FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解，且解（Y，Z）有明确的表达式，表示为XYs=-（UsXs+ps）和（4.24）Zs=UsSdiag（pαi+βiXs）+Zs，（4.25），其中（ps，Zs）求解以下bsdep=-在CT上-中兴通讯K-乌夫库夫- UvB+zvz′vdv-ZTszvdWPv。（4.26）证据。我们首先证明了解耦的FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解（X，Y，Z）。在我们的假设下，SDE（4.20）承认了一个独特的解决方案。给定Xs，我们考虑BSDE（4.21）。如果我们让y=e-Ys，~Zs=-~Ys·Zs，BSDE（4.21）变为~Yt=CT+ZTtR′Xs+k~Ysds+ZTt ~ZsdWPs。（4.27）很明显，BSDE（4.21）允许一个唯一的解决方案（Y，Z），因此FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解决方案（X，Y，Z）。使用同样的技术，我们也可以证明BSDE（4.26）允许一个唯一解（p，z）。为了证明（Y，Z）的显式表示，我们需要证明等式（4.24）-（4.25）给出的（Y，Z）满足BSDE（4.21）。将其公式应用于函数φ（s，x，p）=-（Usx+p），其中Usis是（4.22）的解决方案。设Ys=φ（s，Xs，ps），其中Xs由（4.20）给出，psWang，Hyndman和Kratsios熵测度变换为2019年2月20日的satis（4.26）。那么我们就有了-˙UsXs+Us（AXs+B+kU′s+K′[β（Us）]Xs+Sdiag（pαi+βiXs）z′sds- UsSdiag（pαi+βiXs）dWPs-K-UskU\'s- UsB+zszds- zsdWPs=-˙美国+美国+UsK′[β（美国）]- R′Xs+hR′Xs+k+UsK′[β（Us）]Xs+UskU′s+2UsSdiag（pαi+βiXs）z′s+zsz′s我ds-nUsSdiag（pαi+βiXs）+zsodWPs。

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2022-5-9 12:36:21

（4.28）将等式（4.22）和（4.25）代入等式（4.28），我们得到：-（R′Xs+k+ZsZ′s）ds- 由方程（4.24）-（4.25）定义的ZsdWPsThus（Ys，Zs）满足度Ys=YT+ZTs（R′Xv+k+ZvZ′v）dv+ztszvdwpvb通过方程（4.23）和（4.26）中的边界条件我们得到：-因此，ln-ctys=-ln CT+ZTs（R′Xv+k-ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv。备注4.6。Riccati方程（4.22）解的存在性和唯一性isshown i nduffee等人（2003年，第6节），其中考虑了一类广义Riccati方程。请注意，FBSDE（4.24）-（4.25）的（Y，Z）表示并不完全明确，因为Zt一词将由二次BSDE（4.26）确定。幸运的是，我们可以将二次型BSDE（4.26）转换为线性BSDE，方法是≈pt=e-然后BSDE（4.26）变为pt=CT+ZTt（k-UskU\'s- UsB）~psds+ZTt ~zsdWPs。（4.29）在P（CT=0）>0的排除情况下，则（4.29）将是具有奇异终端条件的BSDE。通过一个特定的默认机制和恢复模式进一步指定CTDE，线性BSDE（4.29）可以解析或数值求解。有一篇关于BSDE数值解格式的扩展文献，我们将不讨论。然而，理论4。5.将求解耦合非线性FBSDE（4.20）（4.21）的过程简化为求解Riccati方程（4.22）和线性BSDE（4.29）。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194.1.3有QTSM和无跳跃的默认情况在无跳跃的QTSM框架中，FBSDE（4.6）-（4.7）变为x=Xt+ZstAXv+Bdv+Zst∑dWPv（4.30）Ys=-ln CT+ZTs（X′vQXv+R′Xv+k-Z′vZv）dv+ZTsZvdWPv。（4.31）与ATSMs的情况一样，我们获得了以下定理中所述的FBSDE（4.30）-（4.31）的部分显式解。我们省略了这个证明，因为它类似于定理4的证明。5.定理4.7。

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mingdashike22

2022-5-9 12:36:25

如果Riccati方程˙qs+qsA+A′qs+（q′s+qs）∑∑（q′s+qs）- Q=0n×n，s∈ [0，T]（4.32）˙us+usA+B′（q′s+qs）+us∑′（q′s+qs）- R′=01×n，s∈ [0，T]（4.33）qT=0n×n，uT=01×n（4.34）在[0，T]上承认唯一的有界解q（·），u（·），那么FBSDE（4.30）-（4.31）承认唯一的解并且（Y，Z）以X的形式显式表示，如下所示：-（X′sqsXs+utXs+ps），（4.35）Zs=X\'s（qs+q\'s）+us∑+zs，（4.36），其中（ps，zs）解出以下bsdep=-在CT上-中兴通讯K- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑-uv∑∑u′v+zvz′vdv-ZTszvdWPv。（4.37）通过与ATSM相同的技术，我们改变变量ps=e-ps，~zs=~ps·zs，这样BSDE（4.37）就可以得到线性BSDE ~ps=CT+ZTs（k- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑′）~pvdv+ZTs~zvdWPv。（4.38）上述BSDE的形式与BSDE（4.29）的形式相同，也可以通过分析或数值求解。备注4.8。解耦的Riccati方程（4.32）-（4.34）与LQ控制问题密切相关。Riccati方程（4.32）-（4.34）解的存在性和唯一性已在Yndman和Zhou（2015）中讨论过。我们在附录中根据冈巴尼和龙格尔迪耶（2013）的结果提供了类似的证据。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194年2月20日。1.4带跳的QTSMs和跳的不可违约情况在带跳的QTSMs框架中，我们做出以下规定（i）f（s，x）=Ax+B（ii）g（s，x）=∑（iii）r（x）=x′Qx+r′x+k（iv）λx）=x′Lx+lw其中A是标量、B、r和Lare（n×1）列向量的（n×n）矩阵，Q，∑andLare n×n s对称正半有限矩阵，k和l是标量。

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2022-5-9 12:36:29

然后FBSDE（4.6）-（4.7）变为comesxs=Xt+ZstAXv-+ Bdv+Zst∑dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz）（4.39）Ys=ZTs（X′v-QXv-+ R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv-ZTsZRn（X′v-LXv-+ 十五-+ L）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz）。（4.40）类似于带跳跃的ATSMs中的结果，我们得到了以下fBSDE（4.39）-（4.40）的显式解。定理4.9。如果Riccati方程˙qs+qsA+A′qs+（q′s+qs）∑′（q′s+qs）+hZRn（ez′qsz+usz-1） v（dz）iL′- Q=0n×n，（4.41）˙us+usA+B′（Q′s+qs）+us∑′（Q′s+qs）+hZRn（ez′qsz+usz）- 1） v（dz）iL′- R′=01×n，（4.42）qT=0，uT=0（4.43）允许区间[0，T]上的唯一有界解q（·），u（·），那么FBSDE（4.39）-（4.40）允许唯一解，并且（Y，Z，G）在X的项s中有显式表达式，如下所示：-（X′sqsXs+usXs+ps），Zs=X\'t-（qs+q+us）∑，and g（s，z）=z′qsz+usz，其中由ps给出的p=-中兴通讯K- LhZRn（ez′qvz+uvz）- 1） v（dz）i- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑-uv∑′u′vdv。我们省略了定理的证明。9，因为它类似于定理4.3的证明。我们现在考虑期货和远期价格的EMT问题。Wang、Hyndman和Kratsios熵测度转换1994年2月20日。2期货和远期价格采用等式（4.1）给出的因子过程X不仅驱动短期利率，还驱动arisky资产价格。我们假设风险资产价格是因素的函数，对于某些函数S（·，·）：[0，∞) ×Rn→ (0, ∞).

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2022-5-9 12:36:33

例如，S（·，·）可以通过（S，x）=eA′sx+hs来指定，我们称之为有效价格模型（APM），或者（S，x）=ex′Bsx+a′sx+hs，我们称之为二次价格模型（QPM），其中Bs:[0，T]→ Rn×n，As:[0，T]→Rn，hs:[0，T]→ R.我们接下来考虑风险资产的期货和远期合约，并将期货价格和远期价格与EMT问题联系起来。4.3期货价格风险资产S的期货价格由g（t，t）=EP[S（t，XT）|Ft]，（4.44）在t时给出，表示到期日t，并让dXs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPsVGt，T=infQG∈Pt（1）EQG[-ln S（T，XT）|Ft]+Ht，T（QG | P）.（4.45）根据命题2。4 EMT问题（4.45）的解由最优测度qg给出, 这是由dqg决定的数据处理FT=S（T，XT）EP[S（T，XT）|FT]，（4.46）VGt，T=-ln{EP[S（T，XT）|Ft]}。（4.47）等式（4.47）将EMT问题（4.45）与期货价格asVGt联系起来，T=-lng（t，t）。这种关系允许我们给出以下财务解释。备注4.10。假设金融代理人在时间t持有天空资产S期货合约的多头头寸，期货价格为c。如果风险资产在交易时间t有价格S（t，XT），通过在整个时间段[t，t]内按市值计价，投资的对数回报率为γ=lnS（t，XT）c.Wang，Hyndman，&Kratsios熵测度转换2月20日，2019年，EMT问题（4.45）等价于tolnG（t，t）c=supQ∈Pt（1）EQG[γ|英尺]- Ht，T（QG | P）. （4.48）等式（4.48）的右侧使QG下的对数收益γ最大*期货合约中有一个非对称惩罚条款，用于消除标的风险资产的波动风险导致的市场风险。根据理论2。6.测量P其特征是以下解耦FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）dv+Zstg（v，Xv）dWPv，（4.49）Ys=-ln[S（T，XT）]-ZTsZvZ′vdv+ZTtZvdWPv。

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2022-5-9 12:36:37

（4.50）Ys，lnnEP[e-RTtr（Xu）du·CT | Fs]o.如果上述FBSDE允许一个解三（X，Y，Z），那么值函数和测量定义为vgt，T=Yt，dQG数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）分别在ATSMs和QTSMs的框架下研究了FBSDE（4.49）-（4.50）的问题，并给出了明确的解决方案。接下来我们考虑风险资产的远期合约。4.4远期价格风险资产的远期价格S由F（t，t）=EP[e]给出-RTtr（Xv）dvS（T，XT）| Ft]P（T，T），（4.51）在时间T为到期日T。为了确保远期价格不仅仅等于期货价格，我们假设利率过程是随机的，影响利率的因素不独立于影响基础资产价格的因素。此外，为了排除等式（4.51）的分子在假设资产支付s-tochastic股息或便利收益时降低为标的资产价格的情况。与第4节中EMT问题的推导类似，我们让φ=（ln S（T，XT）-RTtrvdv），并将远期价格与以下EMT问题关联dXs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPsVFt，T=infQF∈Pt（1）EQF- ln S（T，XT）+ZTtrvdv |英尺+ Ht，T（QF | P）.（4.52）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日通过命题2.4，EMT问题（4.52）的解由最优测度qf给出, 这由DQF决定数据处理FT=S（T，XT）e-RTtrvdvEP[S（T，XT）e-RTtrvdv | Ft]，（4.53）和vft给出的最优值函数，T=-自然对数EP[e-RTtr（Xv）dvS（T，XT）| Ft]. （4.54）等式（4.54）将EMT问题（4.52）与远期价格asVFt联系起来，T=-自然对数F（t，t）P（t，t）.因此，我们对EMT问题有以下财务解释（4.52）。备注4.11。假设一名财务代理人签订了一份远期协议，以在时间T接收资产，但在时间T支付c。

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mingdashike22

2022-5-9 12:36:41

在到期时间T时，代理人收到S（T，XT），并且在时间段[T，T]内投资的对数回报率为γ=lnS（T，XT）c。超过无风险利率的超额回报率γ由γ=γ给出-ZTtr（Xv）dv。然后EMT问题（4.52）等价于tolnF（t，t）P（t，t）c=supQF∈Pt（1）EQF[|γ|英尺]- Ht，T（QF | P）. （4.55）与债券和期货合同的EMT问题的财务解释类似，等式（4.55）m的右侧最大化了QF下的超额收益γ*具有一个entropype术语，用于消除远期承诺价值的市场风险，因为决定利率和潜在波动性的因素过程的波动风险。使用定理2。6.我们通过FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）dv+Zstg（v，Xv）dWPv（4.56）Ys=-ln[S（T，XT）]+ZTs[r（Xv）-ZvZ′v]dv+ZTsZvdWPv（4.57）如果上述FBSDE允许一个解三（X，Y，Z），那么EMT的值函数和最佳度量可以表示为vft，T=Yt，dQF数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日Hyndman（2009）和Hyndman和Zhou（2015）也分别在ATSMs和QTSMs的框架下研究了FBSDE（4.56）-（4.57），并给出了明确的解决方案。与OSC方法相比，EMT方法在因素过程的动力学方面似乎更灵活。在下一节中，我们将扩展EMT方法，以包括使用OSC方法很难纳入的因素。下一节将熵测度变换问题与Gombani和Runggaldier（2013）提出的最优随机控制问题进行比较。

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2022-5-9 12:36:44

研究发现，在利益期限结构的范围内，这两种方法之间存在等价性。4.5债券定价FollowingGombani和Runggaldier（2013）中的EMT问题和OSC问题之间的等价性，在我们在上一节中建立的相同一般框架下考虑了债券定价问题。为了避免混淆，我们在Gombani和Runggaldier（2013）的上下文中用xs表示因子过程。此外，假设＠x用于解决SDEd＠x=f（s，~Xs）+g（s，~Xs）u\'sds+g（s，~Xs）dWPs；Xt=x.（4.58），因此在时间t时，无违约债券的价格，用P（t，t，x）表示，由P（t，t，x）=EP[e给出-RTtrvdv | Ft]=EP[e-RTtrvdv | Xt=x]。假设P（t，t，x）∈ C1,2，P（t，t，x）诱导的期限结构无套利的一个有效条件是P（t，t，x）满足以下偏微分方程（见比约克（2004年，命题21.2））tP（t，t，x）+f′（t，x）xP（t，t，x）+trg′（t，x）xxP（t，t，x）g（t，x）- P（t，t，x）r（t，x）=0P（t，t，x）=1。（4.59）Gombani和R unggaldier（2013）将方程（4.59）转换为等效的Hamilton-JacobiBellman方程，该方程对应于以下最优随机控制（OSC）问题。问题4.12。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Fs，0≤ s≤ 式（4.64）给出了马尔可夫过程。设U为容许控制集，则对于任何控制U∈ U和t∈ [0，T]，考虑一个形式为<<Jt，T（u）=Et，xP的性能标准>>Jt，T（u）ZTtuvu′v+r（~Xv）dv, （4.60）式中，Et，xp表示给定的条件期望Xt=x。最优控制问题是wt，T=infu∈UJt，T（U）。王、海德曼和克拉西奥熵测度变换2月。

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可人4

2022-5-9 12:36:47

2019年，Gombani和R unggaldier（2013）在违约自由债券的价格和OSC问题之间建立了联系4。12通过显示p（t，t，x）=e-Wt，T（x）。接下来，我们将探讨EMT问题和OSC问题之间的等价关系。任何问题∈ Pt（1），Radon-Nikodym衍生过程的形式如下：数据处理Fs=（1,0）≤ s≤ t、 ∧s，t<s≤ 其中∧是从T到T的（F，P）-鞅。由于∧sis几乎肯定是正的，根据鞅表示定理，存在一个F-可预测（1×n）-向量过程u，使得dp数据处理Fs=e-Rstuvu′vdv+RstuvdWPv，t<s≤ T（4.61），其中u是F-可预测（1×n）-向量过程。在本节的剩余部分中，我们使用与等式（4.61）中密度过程相关的概率度量。然后，根据Girsanov定理，过程wqus定义为wqus=WPs-Zstu′vdv，t<s≤ 这是在Qu下的布朗运动。然后我们计算Qu相对于pex的相对熵，用u表示如下，T（Qu | P）=eq[ln（dQudP）| Ft]=eq[-ZTtuvu′vdv+ZTtuvdWPv|英尺]=相等[ZTtuvu′vdv+ZTtZvdWQuv|Ft]=eq[ZTtuvu\'vdv | Ft]。（4.62）将方程（4.62）中相对熵的显式表达式替换为jt，T（Q）=EQhZTtr（Xv）dvFti+Ht，T（P|P），（4.63）我们将EMT问题重申为以下问题4.13。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Fs，0≤ s≤ T}，P）假设factorprocess（Xs，0≤ s≤ T）由dxs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPs给出。（4.64）找到最佳测量值Q∈ Pt（1）使得vt，T=Jt，T（Q) = infQu∈Pt（1）EQuhZTtr（Xv）+uvu′vdvi。（4.65）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日在OSC问题4.12中，控制过程u改变了x的分布。在ETT问题4中。13.XSI的分布受从P到QU的度量变换的影响。

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2022-5-9 12:36:51

请注意，方程（4.58）和方程（4.64）在不同的度量下遵循相同形式的SDE，换句话说，在P下，u控制过程XS的分布与在Qu下的过程XSD的分布相同。因此，对于OSC问题中的每个容许控制u，性能函数为Jt，T（u），在性能函数Jt，T（Qu）和Jt，T（u）=Jt，T（Qu）的情况下，存在相应的度量Quin theEMT问题。所以最优控制u也对应于熵测度变换Q= 曲. 从这个意义上讲，OSC问题相当于EMT问题。例4.14。现在我们比较了在QTSM框架下的EMT问题和OS C问题，其中A是标量的（n×n）矩阵，B和r是（n×1）列向量，Q和∑是n×n对称正半限定矩阵，k是标量。OSC问题4。12变成dXs=AXs+B+∑u′sds+∑dWPs，Vt，T=infu∈UJt，T（U）=infu∈UEt，x[ZTt~X′vQXv+R′Xv+k+uvu′vdv]。（4.66）OSC问题4。66实际上是一个线性二次高斯（LQG）控制问题反馈形式的sis（seeGombani和Runggaldier（2013年，提案3.4））us=u（s，~Xs）=X′s（qs+q′s）+vs∑，t≤ s≤ T（4.67）的值函数Wt，T（x）由Wt，T（x）=x′qtx+vtx+pt（4.68）给出，其中qs，vs，pss满足以下ODE系统˙qs+A′qs+qsA- 2qs∑∑′qs+Q=0˙vs+vsA+2B′Q\'s- 2vs∑′q′s+R=0˙ps+vsB+tr（∑′qs∑）-v∑′v′s+k=0qT=0，vT=0，pT=0。（4.69）在QTSMs框架下，EMT问题具体如下：dXs=AXs+Bds+∑dWPs，Vt，T=infQ∈Pt（1）EQ[ZTtX′vQXv+R′Xv+kdv | Ft]+Ht，T（P|P）。（4.70）Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换2月。

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2022-5-9 12:36:54

20，2019从推论4.1中，我们知道EMT问题（4.70）完全是通过相关的fbsdexs=Xt+Zst表征的AXv+B+∑Z′vdv+Zst∑dWPv（4.71）Ys=ZTs（X′vQXv+R′Xv+k-Z′vZv）dv+ZTsZvdWPv。（4.72）值函数由vt给出，T=Yt，（4.73），熵测度变换由dq确定数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。（4.74）Hyndman和Zhou（2015）证明了FBSDE（4.71）-（4.72）允许唯一解（X，Y，Z），并且（Y，Z）具有XYs=X′sqsXs+vsXs+ps，Zs的显式表达式=X′s（qs+q′s）+vs∑，其中qs、vs、pss满足相同的ODE系统（4.69）。毫不奇怪，Girsanov内核支持从P到Q的转换与最优控制u相同, i、 e.Zs=us、它们给出了相同的值函数Vt，T=Wt，T。在可违约债券的设定中考虑了EMT方法的数值实现示例。5数值说明我们考虑一个一维因子过程X满足dxt=（aXt+b）dt+σpα+βXvdWPt。利率由r（Xt）=RXt+k给出。我们假设基础公司价值V satifiesvt=Vexp{Zt（r（Xv）-σV）dv+σVWPt}。如果值过程V在某个水平κV以下交叉，即τ：=inf{t，则触发默认值≥ 0，Vt≤ κV}。（5.1）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日，然后随机支付效应由ct=ξ·1τ给出≤T+1τ>T其中ξ是违约情况下的恢复率。可违约债券的价格由比亚迪（t，t）=EP[e给出-RTt（RXv+k）dv·CT | Ft]。相关EMT问题的解决方案的特点是FBSDEXt=X+Zt（aXv+b）dv+Ztσpα+βXvdWPv（5.2）Yt=-ln CT+ZTt（RXv+k-Zv）dv+ztzvdwpv。

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2022-5-9 12:36:57

（5.3）对于FBSDE（5.2）-（5.3）Yt=-（UtXt+pt），（5.4）Zt=σUt（pα+βXt）+qt，（5.5），其中，我们将Riccati方程˙Ut+aUt+βσUt进行了拟合- R=0，t∈ [0，T]（5.6）UT=0，（5.7）和（p，q）求解BSDEpt=-在CT上-ZTtK-ασUv- bUv-qvdv-ZTtqvdWPv。（5.8）可违约债券价格可以用asD（t，t）=exp表示{-Yt}。（5.9）最优测度Q的总相对熵关于P，由ht，T（Q）给出|P） =EQ[ZTtZvdv |英尺]。我们引入下面的命题，它给出了一类特殊的二次BSDE的显式解。提议5.1。关于概率空间(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，P，考虑以下BSDEyt=ξ-ZTt（z′szs+gs）ds-ZTtzsdWPs，其中（yt，zt）∈ R×Rn，ξ是实值FT可测随机变量，GT是满足EP[sup0]的实值FTA适应过程≤T≤T|gt|]<∞. 然后可以显式表示为asyt=-ln{EP[e-ξ| Ft]}-Ztgsds。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日证明。进行指数变换yt=e-yt，根据公式Ytsatiesyt=e-ξ+ZTtgsysds+ZTtyszsdWPs。定义伴随过程xs=eRstgudu，s≥ t、请注意，xt=1，并将其应用于xs·~ysfrom t to t，to find ~~yt=xTe-ξ+ZTtysxszsdWPs=eRTtgsds-ξ+ZTtyseRstguduzsdWPs。（5.10）对（5.10）两边的ftt取条件期望，我们得到yt=EPT[eRTtgsds-ξ| Ft]=eRTtgsdsEP[e-ξ| Ft]。最后我们有了-lnyt=-ln{EP[e-ξ| Ft]}-Ztgsds。备注5.2。Kobylanski（2000）证明了一般二次BSDE解的存在唯一性。命题（5.1）只是一个特例，在这个特例中我们可以给出明确的解决方案。将提案5.1应用于BSDE（5.8），我们可以明确表示：-ln{EP[CT|Ft]}-ZtK-乌夫库夫- 中波紫外线dv。（5.11）然而，我们没有过程qt的明确表达式。或者，我们可以用数值方法求解BSDE（5.8）。

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2022-5-9 12:37:00

我们可以将二次BSDE（5.8）转换为等效的线性BSDE，方法是定义pt=e-pt，~qt=~pt·qt，因此BSDE（5.8）相当于~pt=CT+ZTt（k-ασUs- 总线）~psds+ZTt ~qsdWs。（5.12）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日，我们通过考虑以下离散化BSDEptm+1=ptm来近似BSDE（5.12）的解- （k）-ασUtm- bUtm）~ptmT- ~qtmWPtm，t≤ 商标≤ tM，~ptM=CT。离散化的BSDE可以使用以下递归方案求解（seeGobet al.（2005））~qtm=tE[ptm+1WPtm | Ftm]，ptm=E[ptm+1 | Ftm]1- （k）-ασUtm- （但是）t、我们通过Gobet等人（2005）提出的蒙特卡罗回归方法估计条件期望。通过[0，T]上的时间离散，我们使用Euler格式生成用Xtm近似的正向过程Xtin（5.2）的路径。我们用Riccati方程（5.6）的数值解表示。然后估算可违约债券价格（ttm，T）≈ exp（UtmXtm+ptm）。最优测度Q的总相对熵关于P，估计为asHtm，T（Q|P） =EQ[Xt≤商标≤TσUtmpα+βXtm+qtmt |英尺]。考虑参数a=-1 × 10-2，b=1×10-5, σ = 7.4 × 10-3，R=1，k=0，T=1，V=20，σV=0.2，κ=0.8，ξ（回收率）是[0.4,0.6]上的统一随机变量。图1显示了已实现利率过程的一个示例路径。图2显示了当价值过程跨越违约壁垒时，违约发生在到期日T之前的情况。图2还显示了可违约债券价格的演变。违约时间之前，可违约债券价格的影响更大，这不仅受价值过程和违约障碍之间的距离影响，还受到期时间的影响。违约时间后的可违约债券价格几乎不变，这取决于回收率。

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