命题2.4用于将随机变量的条件熵风险解释为惩罚条件期望，在最优测度P下. 命题3。2使用EMT获得了一个方便的公式，用于计算一个过程的条件期望，该过程可以表示为一个在相关度量下的有效过程。理论2。然后，利用命题2.6和命题2.4，通过构造熵测度变换问题，从新的角度刻画了无违约债券的定价问题。这些问题的解包括熵测度变换和值过程，其特征是解一个解耦的非线性FBSDE。ATSMs和QTSMs下FBSDE的显式解决方案可在Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）中找到。我们提供了最佳控制方法inGombani和Runggaldier（2013）与熵测度变换方法之间的等价关系。由于本文介绍的EMT方法很容易包含跳跃，因此它比OSC方法更灵活。我们还将EMT问题扩展到包括跳跃。我们给出了带跳跃的相关FBSDE的显式解，推广了Shyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）。最后，我们提出了可违约债券的EMT问题，在这种情况下，由于依赖于违约时间的一般规定和BSDE随机终值的恢复量，相关的FBSDE通常没有完全明确的解决方案。然而，部分显式解仍然简化了非线性FBSDE的求解问题。未来的研究可以考虑defaulttime和recovery方案的特殊模型，在这些模型中可能会给出更明确的解决方案。

将EMT问题与其他衍生证券的定价问题结合起来考虑也很有趣。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日附录本附录讨论了关于Riccati方程的技术结果。A.1 Riccati方程式建议A.1。以下解耦的Ri-ccati方程允许一对唯一的显式解。˙qs+qsA+A′qs+（q′s+qs）∑′（q′s+qs）- Q=0n×n，s∈ [0，T]（A.1）˙us+usA+B′（q′s+qs）+us∑′（q′s+qs）- R′=01×n，s∈ [0，T]（A.2）qT=0n×n，uT=01×n.（A.3）证明。我们首先证明方程（A.1）允许一个唯一的显式解。通过对方程（A.1）的两边进行转置，我们发现˙q′s+A′q′s+q′sA+（q′s+qs）∑∑′（q′s+qs）- Q=0n×n，（A.4）将方程（A.4）加到方程（A.1）中，得到（˙qs+˙Q′s）+A′（qs+Q′s）+（qs+Q′s）A+（Q′s+qs）∑∑∑（Q′s+qs）- 2Q=0n×n，（A.5）并从方程式（A.1）中减去方程式（A.4）以得出（˙qs）- ˙q′s）+A′（qs）- q′s）+（qs）- q’s）A=0。（A.6）定义=q′s+qs，Vs=qs- q’s，根据终端条件（A.3），我们得到了=0n×n，VT=0。因此，Us和Vs满足以下等式˙Us+A′Us+UsA+Us∑′Us- Q=0n×n，（A.7）˙Vs+A′Vs+VsA=0n×n，（A.8）UT=0n×n，VT=0n×n（A.9）ByGombani和Runggaldier（2013，定理B.1）存在一对唯一的（Us，Vs）满足方程（A.7）-（A.9）。此外，我们实际上有Vs=0n×n，这意味着qs=q′，所以qs是对称的，qs=Us。在我们获得解qs后，方程（A.2）被简化为我们的常微分方程，可以像Gombani和Runggaldier（2013，推论B.3）那样显式求解。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2009年2月20日参考。奥特曼、A.雷斯蒂和A.西罗尼。信用风险模型中的违约恢复率：文献回顾和经验证据。《经济注释》，33（2）：183–208，2004年。T.R。比莱基和M·鲁特科夫斯基。信用风险：建模、估值和对冲。

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