最优静态二次套期保值

2022-5-8 07:59:03

最佳静态二次Hedging Tim Leung*Matthew Lorig+2015年11月20日摘要我们提出了一个灵活的框架，通过在普通欧洲看涨期权、看跌期权、债券和远期中持有静态头寸来对冲或有权益。本文推导了最优静态套期保值策略的无模型表达式，该策略在成本约束下使期望的套期保值误差平方最小。最佳对冲涉及计算反映或有权益和对冲资产之间依赖关系的大量预期。我们提供了一种在一般马尔可夫扩散市场中分析近似这些预期的一般方法。为了说明我们方法的多功能性，我们给出了几个数值例子，包括套期保值路径相关期权和相关资产上的期权。关键词：静态套期保值、杠杆式ETF期权、替代hedgingJEL分类：C52、D81、G11、G13数学主题分类（2010）：91G20、91G80、93E201简介使用标准金融工具静态组合的套期保值衍生工具是与标的资产进行动态套期保值的著名替代方案。静态投资组合很容易构建，不需要持续监控基础资产或随着时间的推移进行再平衡。因此，静态套期保值策略对于市场动荡中的重大潜在波动更为稳健。此外，静态套期保值组合通常有助于建立无套利关系或有界s f或异国情调的衍生工具。这一想法可以追溯到标准期权的Breeden and Litzenb er ger（1978年），并已应用于奇异衍生品，如篮子期权（seeHobson et al。

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2022-5-8 07:59:06

(2005)).*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027；电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，98195；电子邮件：mlorig@uw.edu.通讯作者。Carr和Madan（1998）关于静态套期保值的一个基本结果表明，通过持有固定数量的债券ds和远期，以及一篮子具有相同基础资产的欧洲看涨期权和看跌期权，可以完全复制针对单一基础资产的任何欧盟ropeanstyle债权。这一结果的重要性在于，它提供了一种无模型、完美的静态复制策略。因此，它也给出了未定权益和衍生工具之间的无套利价格关系。然而，也存在一些限制。特别是，静态混合策略需要无限连续的欧洲看涨期权和看跌期权，并且必须在投资组合中包括债券和远期。实际上，看涨期权和看跌期权只能在有限的时间间隔内以离散的方式进行。这就引出了一个实际问题：一个人如何才能最佳地构建一个只有有限数量的看涨期权和看跌期权的静态套期保值，在同一基础上有无远期？更一般地说，当没有足够的交易标准工具来实现完美的静态套期保值，或者套期保值者面临约束性成本约束时，Carr和Madan（1998）的结果没有提供如何进行的方向。在本文中，我们提出了一个灵活的框架，通过在普通的欧洲看涨期权、看跌期权、债券和远期期权中选择静态头寸来对冲或有权益。我们主要感兴趣的是，在给定一套套期保值工具的情况下，完美静态套期保值不可用的应用。为此，我们在成本约束下最小化预期的平方套期保值误差。

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2022-5-8 07:59:10

我们的主要结果是最优静态套期保值策略的无模型表达，包括计算反映或有权益和套期保值资产之间依赖性的大量预期。我们提供了一种在广义完全马尔可夫扩散环境中分析近似这些期望的通用方法，该环境包括但不限于众所周知的几何布朗运动（GBM）、Heston CEV和SABR模型。与Carr和Madan（1998）相比，我们的框架包含了许多附加功能。首先，我们允许对所使用的通话/看跌期权进行有限的上界和下界。我们的静态投资组合可以包括债券、远期、看涨期权和看跌期权中的任何套期保值资产子集，也可以包括所有这些资产。这增加了适用于未写入远期合同或某些认购/认沽的基础资产的灵活性。此外，成本约束也被纳入了这个问题中。当绑定时，这种约束可能会使完美的静态套期保值变得不可能，并迫使套期保值者只对投资组合进行广告，以最小化套期保值误差。虽然我们的方法没有先验地假设套期保值是完美的，但当它可用时，它可以恢复完美的静态套期保值。这使我们能够利用Carr和Madan（1998）中的结果作为我们框架的特例。在最近的文献中，Carr和Wu（2013）在单因素模型中工作，并提出了静态投资组合的确定近似，其权重是基于GaussHermite四元规则计算的。此外，一维扩散模型下的障碍期权有大量静态套期保值结果；见Derman等人（1995年）；卡尔和周（1997）；卡尔等人（1998年）；卡尔和李（2009）；卡尔和纳托奇（2011）；Bardos等人（2010），amongothers。

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2022-5-8 07:59:13

与这些工作相反，OUR框架适用于其他奇异的衍生产品和多维扩散模型。我们举例说明了静态对冲策略：亚洲期权、杠杆式交易所买卖基金（LETF）期权和基础非流动性期权。本文的其余部分如下：在第二节中，我们提出了最优静态Hedging问题。在第3节中，我们展示了我们关于用静态债券组合对冲或有权益的主要结果，包括远期和卖出期权。我们还得出了由一组固定资产组成的最优投资组合。在这两种情况下，我们都提供了明确的、无模型的最优对冲。在第4节中，我们讨论了一种在一般马尔可夫扩散环境下数值计算套期保值策略的实用方法。最后，在第5节中，我们在一些应用中实现并说明了我们的静态套期保值策略。2问题公式在背景中，我们定义了一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，P），其中P代表物理概率测量和过滤（Ft）t≥0代表资产在市场上的价格历史记录。市场被认为是无套利的，但可能是不完整的。我们给出了一个等价鞅（定价）测度~ P、根据当前市场衍生价格推断。为了简单起见，我们还假设利率为零，没有股息。我们的静态套期保值问题涉及一组套期保值资产Z=（Z（x））x∈一、因为我在德克斯组。I中套期保值资产的数量可能是有限的、可计算的或不可计算的。对冲资产可以是债券、股票、看涨期权、股票、远期或其他衍生证券。

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2022-5-8 07:59:16

每个资产在任何时间t的价格用Zt（x）表示。我们将静态投资组合定义为一个签名度量∏：B（I）→ 在任何时间t，静态门叶价值V∏tat由V∏t=ZI∏（dx）Zt（x）给出。（2.1）换句话说，∏（dx）表示x类资产Z（x）的数量∈ dx在静态投资组合中持有。观察∏（dx）可能为负值，表示空头仓位。注意，资产价格（Zt（x））x∈i和静态投资组合Vπtch和ge的值，所有t的单位数∏（dx）保持不变。备注2.1。在这篇手稿中，我们将考虑两个主要的例子：（i）在间隔K内使用calls/putswith-strikes K进行套期保值∈ [L，R]和（ii）使用固定数量的资产进行套期保值。在设置（i）中，签名度量∏映射B（[L，R]）→ R.在这种情况下，我们将假设∏与勒贝格测度绝对连续，并写入∏（dK）=π（K）dK，其中π是映射[L，R]的函数→ R.在设置（ii）中，s∏映射B（Z+）→ 在这种情况下，我们将写出∏（{i}）=πi，其中π·是映射Z的函数+→ R.我们现在考虑在未来时间T对或有权益进行套期保值。任何时候t的市场价格用Ξt表示。如果索赔在时间t到期，则Ξ为最终付款。我们主要感兴趣的是在给定一组边缘资产的情况下，完美的静态复制是不可能的。我们的目标是在可能的成本约束下，使静态投资组合的预期套期保值平方误差最小化。我们定义了最优静态投资组合∏*作为以下优化问题的解决方案：∏*:= arg m in∏∈SE[（V∏T- ΞT）]，S:={π：Vπ≤ C} 。（2.2）即∏*是使期望值e[（V∏T）最小的静态投资组合-ΞT）]受成本约束V∏≤ C.注意，（2.2）中的预期是根据物理概率测量P进行评估的。

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2022-5-8 07:59:19

显然，一个完美的静态对冲（V∏）*T=ΞTP-a.s.）是可能的，当且仅当E[（V∏*T-ΞT）]=0。注意，投资组合的价值V∏tat time t≤ T可以表示为v∏T=ZI∏（dx）eE[ZT（x）| Ft]，因为所有资产都是定价度量下的鞅。因此，成本约束V∏≤ 定价措施下的Cinvolves计算。当然，最优套期保值绩效和相应的静态投资组合∏*取决于市场上可用的对冲资产，以及潜在的价格动态。我们的主要目标有两个：（i）当套期保值资产包括债券、远期、普通欧洲看涨期权和看跌期权时，我们为最优静态套期保值策略提供了一个模型自由表达式；（ii）我们讨论了针对马尔可夫扩散动力学的若干索赔的套期保值策略的实施。3方法和主要结果在本节中，套保工具包含零息债券B，在时间T时支付一个单位的货币，以标的资产S为基础的远期合同，支付- S）和T-到期欧洲看跌期权和S上的看涨期权。我们认为每一次罢工都会有一个PUT∈ [L，S]并在每次罢工时呼叫K∈ [S，R]，带0≤ L≤ s≤ R≤ ∞. 让我们用K表示买入/卖出的收益，即G（K，ST）=（K）- ST）+K∈ [L，S）（圣- K） +K∈ （3.1）当我们观察到L>0和R<∞ 在实践和数值例子中，我们的模型也允许L=0和R=∞ 因此，我们可以与Carr和Madan（1998）中的结果相一致（见第。

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2022-5-8 07:59:22

（见下文3.1）。由q键、p远期和π（K）dK单位组成的s静态投资组合的终值由vπT=q+p（ST）给出- S） +ZRLdKπ（K）g（K，ST），（3.2），其中p，q和π（K）可以是正的，也可以是负的（表示多头或空头）。成本约束由h（π，q）给出：=q+ZRLdKπ（K）ez（K）≤ C、式中ez（K）：=eE[g（K，ST）]。（3.3）注意，由于期初签订远期合同的成本为零，静态投资组合p中的远期合同数量p在成本约束中不起作用。当Vπt由（3.2）决定，成本约束由（3.3）决定时，代数计算表明静态套期保值问题（2.2）等价于（π）的求解*, Q*, P*) := arg min（π，q，p）∈SJ（π，q，p），S:={（π，q，p）：H（π，q）≤ C} 。其中j（π，q，p）：=E[（VπT- ΞT）=q+p∑+ZRLZRLdKdK′π（K）ψ（K，K′）π（K′）+2qpβ+2qZRLdKπ（K）z（K）- 2qξ+2pZRLdKπ（K）y（K）- 2pθ-2ZRLdKπ（K）γ（K），我们定义了期望值：β=E[ST- S] ，θ=E[（ST- S） ΞT]∑=E[（ST-S） ]，ξ=E[K，T]，γ（K）=E[Tg（K，ST）]，ψ（K，K′）=E[g（K，ST）g（K′，ST）]，z（K）=E[g（K，ST）]，y（K）=E[（ST）]- S） g（K，ST）]。（3.5）为了说明和证明这种情况下的最优套期保值策略，我们需要以下引理。作为准备，可以方便地引入物理（即历史）和风险中性概率度量的概率密度函数ΓST（K）dK=P（ST∈ dK），eΓST（K）dK=eP（ST∈ dK）。（3.6）引理3.1。假设随机变量ST具有严格的正密度ΓST∈ C（R+）。重新调用（3.5）中定义的函数ψ，并设f:R+→ R是C（R+）。然后积分方程f（K）=ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′），（3.7）的解π由π（K）给出：KKf（K）ΓST（K）. （3.8）证据。在接下来的s中，假设∏是π的反导数，并且∏是∏的反导数，因此∏′=π和∏′=π。

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nandehutu2022

2022-5-8 07:59:26

从（3.1）中观察到0=limK′→Lg（K′，K）=limK′→LK′g（K′，K）=limK′→Rg（K′，K）=limK′的→RK′g（K′，K）。让我们进一步观察一下Kg（K，s）=δ（K- s）。那么，等式（3.7）意味着Kf（K）=KZRLdK′π（K′）ψ（K，K′）=ZRLdK′π（K′）KE[g（K，ST）g（K′，ST）]（by（3.5））=ZRLdK′π（K′）KZ∞ds g（K，s）g（K′，s）ΓST（s）=ZRLdK′π（K′）Z∞dsKg（K，s）g（K′，s）ΓST（s）=ZRLdK′π（K′）Z∞dsδ（K）- s） g（K′，s）ΓST（s）=ΓST（K）ZRLdK′π（K′）g（K′，K）=ΓST（K）g（K′，K）π（K′）RL- K′g（K′，K）π（K′）RL+ZRLdK′π（K′）K′g（K′，K）（按部分积分）=ΓST（K）π（K）（按（3.9））。（3.10）要得到（3.8），只需将（3.10）除以ΓST（K），将两边微分两次，然后使用∏′=π。利用引理3.1，我们现在可以陈述并证明最优套期保值策略。为此，我们定义了函数π（K，λ）：=KKγ（K）ΓST（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！，（3.11）其中K∈ [L，R]，λ∈ R、密度Γ标准Γ在（3.6）中定义，函数γ（K）在（3.5）中给出。定理3.2。假设随机变量ST具有严格的正密度ΓST∈ C（R+）底层和密度∈ C（R+）在EP下。进一步假设γ∈ C（R+）。最后，假设（3.12）和（3.13）中定义的投资矩阵定义良好。然后是最优策略（π）*, Q*, P*)这就解决了给定by（π）的最优静态套期保值问题（3.4）*, Q*, P*) =（π（·，λU），qU，pU）如果qU+ZRLdKπ（K，λU）z（K）≤ C，（π（·，λC），qC，pC）else，其中λU:=0，qUpU！：=1 ββ Σ!-1.ξ -RRLdK z（K）KKγ（K）ΓST（K）θ -RRLdK y（K）KKγ（K）ΓST（K）, （3.12）和qCpCλC:=1 β -+RRLdK z（K）KeΓST（K）ΓST（K）β∑RRLdK y（K）KeΓST（K）ΓST（K）1 0RRLdK ez（K）KeΓST（K）ΓST（K）-1.ξ -RRLdK z（K）KKγ（K）ΓST（K）θ -RRLdK y（K）KKγ（K）ΓST（K）C-RRLdK ez（K）KKγ（K）ΓST（K）.（3.13）证据。

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2022-5-8 07:59:30

首先，我们定义了与（3.4）：L（π，q，p，λ）：=J（π，q，p）相关的拉格朗日- λ（H（π，q）- C） =q+p∑-2pθ- 2qξ+2qpβ- λq+λC+ZRLZRLdKdK′π（K）ψ（K，K′）π（K′）+ZRLdKπ（K）2qz（K）+2py（K）-2γ（K）- λez（K）,其中L（·，q，p，λ）作用于C（[L，R]）中的函数。最优性所需的卡鲁什-库恩-塔克（KKT）条件是（下面，η是满足kηk的任意C（[L，R]）函数∞< ∞)平稳性：0=εL（π+εη，q，λ）ε=0=2ZRLdKη（K）qz（K）+py（K）-γ（K）-λez（K）+ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′）=> 0=qz（K）+py（K）- γ（K）-λez（K）+ZRLdK′π（K′）ψ（K，K′，（3.14）平稳性：0=qL（π，q，p，λ）=2q- 2ξ+2pβ- λ+2ZRLdKπ（x）z（K），（3.15）平稳性：0=pL（π，q，p，λ）=2p∑- 2θ+2qβ+2ZRLdKπ（x）y（K），（3.16）comp。松弛度：0=λ·（H（π，q）- C） =λ·q+ZRLdKπ（K）ez（K）- C. （3.17）注意，（3.14）是f（3.7）形式，f（K）=γ（K）+λez（K）- qz（K）- py（K）。因此，使用MMA 3.1我们得到π（K）=KKγ（K）+λ凯兹（K）- QKz（K）- PKy（K）ΓST（K）！。（3.18）接下来，注意到凯兹（K）=基[g（K，ST）]=KZ∞ds g（K，s）eΓST（s）=Z∞dsKg（K，s）eΓST（s）=Z∞dsδ（s）- K） eΓST（s）=eΓST（K），Kz（K）=克[g（K，ST）]=KZ∞ds g（K，s）ΓST（s）=Z∞ds千克（K，s）ΓST（s）=Z∞dsδ（s）- K） ΓST（s）=ΓST（K），Ky（K）=克[（圣- S） g（K，ST）]=KZ∞ds（s）- S） g（K，S）ΓST（S）=Z∞ds（s）- （S）千克（K，s）ΓST（s）=Z∞ds（s）- S） δ（S）- K） ΓST（s）=（K）- S） ΓST（K），并将这些表达式代入（3.18），我们看到（3.18）中的π（K）与（3.11）中给出的表达式一致。接下来，在KKT条件（3.15）、（3.16）和（3.17）中插入表达式（3.11），得到以下三个方程组0=2q-2ξ+2pβ-λ+2ZRLdK z（K）KKγ（K）+λeΓ（K）ΓST（K）！，（3.19）0=2p∑- 2θ+2qβ+2ZRLdK y（K）KKγ（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！，（3.20）0=λ·q+ZRLdK ez（K）KKγ（K）+λeΓST（K）ΓST（K）！-C上述系统h为两个可能的解，分别对应于λ=0和dλ6=0的情况。

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2022-5-8 07:59:33

对于λ=0的情况，三重态（p，q，λ）由（3.12）给出。另一方面，当λ6=0时，三重态（p，q，λ）由（3.13）给出。最后，KKT条件是必要条件。由于目标函数和约束都是凸的，且原始问题是可行的（斯莱特条件），KKT条件也适用于最优性（参见Zalinescu（2002，定理2.9.3））。在定理3.2中，解（π*, Q*, P*) = （π（·，λU），qU，pU）对应于无约束优化问题。但如果相关成本小于C，即qU+ZRLdKπ（K，λU）ez（K）≤ C、那么（π（·，λU），qU，pU）必须与初始成本（上界）为C的约束优化问题的解（π（·，λC），qC，pC）一致。另一方面，如果无约束优化问题允许成本大于C，则相应的约束优化问题具有解（π（·，λC），qC，pC），其中，通过构造，约束是有约束力的：qC+RRLdKπ（K，λC）ez（K）=C。事实上，从（3.11），括号中的第一项是最优策略π*可以解释为有条件的期望。试探性地说，我们有Kγ（K）ΓST（K）=ΓST（K）E[Kg（K，ST）ΞT]=ΓST（K）E[δK（ST）ΞT]=E[ΞT|ST=K]。（3.21）换句话说，在罢工K时持有的买入/卖出单位数涉及计算预期的最终索赔Ξt，该索赔以不实买入价值K的最终价格为条件。备注3.3。虽然我们考虑了对单一资产S进行欧洲看涨期权/看跌期权套期保值，但本节的结果可以扩展到对资产S、S、S进行欧洲看涨期权/看跌期权套期保值的情况。Sn。

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2022-5-8 07:59:37

唯一可能出现的困难是通过施加KKT条件来求解方程。3.1与Carr和Madan（1998）的联系让我们回顾一下Carr和Madan（1998）的主要结果：如果f:R+→ R.s.f∈ C（R+），然后f（ST）=f（S）+f′（S）（ST- S） +Z∞dK f′（K）g（K，ST）。（3.22）因此，通过持有f（S）债券、f′（S）远期合约和一篮子看跌期权和看涨期权，可以完美地对冲支付f（ST）的或有权益，其中看跌期权/看涨期权的权重为f′（K）。下面的推论证明方程（3.22）确实是我们定理3.2的一个特例。推论3.4。考虑一个欧式未定权益，其payoffΞT=f（ST），如（3.22）所示。假设f∈ C（R+）。设L=0，R=∞ 这样，每次罢工时都可以打电话/挂电话∈ [0, ∞). 然后，在定理3.2的假设下，无成本约束的最优静态套期保值组合由（π）给出*, Q*, P*) = 其中π（K，λU）=f′（K），λU=0，qU=f（S），pU=f′（S）。（3.23）证据。我们必须证明（π（·，λU），qU，pU），由（3.23）给出，满足（3.19）和（3.20）。首先，我们注意到Kγ（K）=克[g（K，ST）ΞT]=KZ∞ds g（K，s）f（s）ΓST（s）=Z∞dsKg（K，s）f（s）ΓST（s）=Z∞dsδ（s）- K） f（s）ΓST（s）=f（K）ΓST（K）。因此，使用λU=0，我们从（3.11）中看到π（K，λU）=KKγ（K）ΓST（K）= KΓST（K）f（K）ΓST（K）= f′′（K）。接下来，将方程（3.19）除以两个，重新排列f（ST）=q+pE（ST- S） +Z∞dK E[g（K，ST）]f′（K）。如果q=f（s）和p=f′，则该方程将明显满足。要了解这一点，只需考虑（3.22）的预期。接下来，将方程（3.20）除以2，重新排列我们得到的项[（ST- S） f（ST）]=qE（ST- S） +pE[（圣- S） ]+Z∞dK E[（圣彼得堡）- S） g（K，ST）]f′（K）。如果q=f（S）和p=f′，该方程也将满足。

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2022-5-8 07:59:40

要了解这一点，只需将（3.22）乘以（ST- S）带着期待。3.2与固定资产静态套期保值的联系我们的财务报表可能与固定资产数量的静态套期保值有关。在这种情况下，setI有固定数量的N个对冲资产单位，静态投资组合价值VπT可以表示为固定总和：VπT=NXi=1πiZT（i）。（3.24）这确实是（2.1）中静态投资组合的离散版本。假设3.5。我们假设随机变量（ZT（i））i∈L（P）和的元素是线性独立的。从财务角度来看，这一假设只是要求对冲工具中的非e项是多余的，如（杜菲，2001年，第2章）所述。在Vπt为（3.24）的情况下，直接计算表明，静态套期保值问题在一定程度上决定了最优策略π*:= arg m inπ∈SJ（π），S:={π：H（π）≤ C} 。（3.25）其中J（π）和H（π）由J（π）=XiXjπiψi，JπJ给出- 2Xiπiγi，H（π）=Xiπiezi，和ψi，j=E[ZT（i）ZT（j）]，γi=E[ZT（i）ΞT]，ezi=eE[ZT（i）]。（3.26）与（3.2）-（3.5）中的“连续”情况相比，目标函数再次涉及支付产品的预期，即E[ZT（i）ΞT]和E[ZT（i）ΞT]。请注意，在这种情况下，我们可以考虑一般索赔，而不限于远期、看跌期权和看涨期权，并继续明确推导最优静态投资组合。提议3.6。Le tψ是平方矩阵，其（i，j）-th分量为ψi，j。然后，在假设3.5下，最优静态投资组合π*, 定义在（3.25）中，由π给出*=πU=ψ-1γ如果ezTπU≤ C、 πC=ψ-1.γ +C- ezTψ-1γezTψ-1ez简单, 其他的（3.27）式中ψ-1是ψ的逆，ez、π和γ是列向量，其第i分量分别为ezi、π和γi。我们在附录a中提供了一个证明。向量πu与无成本约束的最优策略相对应。

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nandehutu2022

2022-5-8 07:59:43

如果无约束优化问题的代价为ezTπU≤ C、然后给出了约束优化问题的最优策略。另一方面，如果无约束优化问题的代价ezTπU>C，则约束优化问题的解由πC给出，通过构造，其代价等于C，即ezTπC=C.L，我们强调，离散罢工的最优静态对冲策略可能与连续罢工但在离散罢工时实施的最优策略截然不同。我们将在第5.1节中对差异进行可视化。备注3.7（与马科维茨均值-方差投资组合优化的关系）。在他的开创性工作中，马科维茨（1952）解决了在给定预期回报水平下最小化投资组合方差的问题。数学上，最小化问题由Minw给出∈WwT∑w，w:={w:uTw≥ m和kwk=1}，（3.28），其中w是要找到的投资组合权重，∑和u分别是一组资产的协方差矩阵和预期收益，m是预期收益的最低水平。有趣的是，投资组合优化问题（3.28）与静态套期保值问题（3.25）的结构相同，在矩阵表示法中，由minπ给出∈sπTψπ- 2γTπ, S:={π：ezTπ≤ C} 。（3.29）然而，显然，（3.28）和（3.29）的经济解释是不同的。4.在马尔可夫扩散框架下的实施迄今为止，我们没有对基础S的动态进行假设。为了说明我们静态对冲策略的性能，我们现在给出了在一般不完全马尔可夫扩散市场下的计算和数值实施。当被套期保值的索赔为欧洲风格时，我们下面给出的分析近似值可用。具体地说，Payo fffΞt可以是d维马尔可夫扩散X的最终值的函数h。

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2022-5-8 07:59:46

注意，通过允许X的组成部分是其他组成部分的二次变化或运行平均值，我们对欧式索赔的定义允许s具有路径依赖性，并包括亚洲期权和方差/波动性期权（例如方差互换）。将近似值扩展到具有屏障式索赔或回顾选项的案例并非微不足道，远远超出了本文的范围。设X=（X，X，…，Xd）∈ Rdbe是一个马尔可夫微分方程，在P和P下满足以下随机微分方程（SDE），分别为dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，（P）（4.1）dXt=eu（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dfWt。在这里，W（resp.fW）是P（resp.eP）下的m维布朗运动，函数u、eu和σmapu：R+×Rd7→ Rd，eu：R+×Rd7→ Rd，σ：R+×Rd7→ Rd×m+。假设资产的终值（Z（i））i∈如果从第3.2节中，第3节中的股票和要套期保值的债权由gi（XT）=g（Ki，eXT），ST=log XT，ΞT=h（XT）给出，其中函数h映射Rd7→ 对于每个i，函数gimaps R 7→ R+。由于S=log Xis交易，为了排除套利，我们必须有eu=-mXj=1σ1，j。为了实施最优套期保值策略（定理3.2和3.6），我们必须计算等式（3.5）和（3.26）中定义的预期。对于形式（4.1）-（4.2）的一般动力学，这些期望的封闭形式表达式不可用。此外，在Theorem3的情况下，通过蒙特卡罗模拟计算这些预期是不实际的。期望值出现在各种积分的被积函数中。因此，我们在这里提供了获得（3.5）和（3.26）中预期的分析近似值的方法。

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2022-5-8 07:59:51

我们下面描述的方法首先是在Pagliarani和Pascucci（2012）的标量设置中正式开发的，后来在Lorig等人（2015b）和Lorig等人（2015a）中扩展到具有严格误差范围的多维。在这里，我们简要回顾了这些方法，并提供了一些扩展，这些扩展是实现定理3.2和3.6所需要的。我们假设时间T>0，并考虑一般形式的期望值（T，x）=E[~n（XT）|XT=x]，T≤ T.（4.3）在温和条件下，漂移u、扩散系数σ和终端数据а的函数使用Kolmogorov向后方程。省略下面的x依赖性以简化符号，我们有(t+A（t））u（t）=0，u（t）=φ，（4.4），其中A（t）是概率测度P下X的生成元。明确地说，算子A（t）由A（t）=dXi=1ui（t，X）给出xi+dXi=1dXj=1（σσT）i，j（T，x）xixj=：X1≤|α|≤2aα（t，x）αx，（4.5），其中我们引入了标准的多指数符号α=（α，··，αd）∈ Nd，|α|=dXi=1αi，αx=dYi=1αixi。备注4.1。要计算eu（t，x）：=eE[（XT）|XT=x]，可以简单地用ea（t）=dXi=1eui（t，x）替换（4.4）中的A（t）xi+dXi=1dXj=1（σσT）i，j（T，x）xixj=：X1≤|α|≤2eaα（t，x）αx.我们的目标是找到PDE（4.4）的近似解，从而获得预期（4.3）的近似值。为此，我们将每个系数aα展开为关于a执行点x的泰勒级数∈ Rd:aα=∞Xn=0aα，n，aα，n（t，x）：=x |β|=nβxaα（t，\'x）|β|！（十）- \'-x）β，xβ=dYi=1xβii。（4.6）这里，我们隐含地假设系数aα是解析的。然而，我们将在定义4中看到。2.u r的n阶近似仅要求系数为CN（Rd）。把（4.5）和（4.6）结合起来，我们可以看到算子A（t）可以写成asA（t）=A（t）+B（t），B（t）=∞Xn=1An（t），An（t）=X1≤|α|≤2aα，n（t，x）αx。

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2022-5-8 07:59:54

（4.7）在PDE（4.4）中插入（4.7）我们有(t+A（t））u（t）=-B（t）u（t），u（t）=φ，因此，根据Duhamel的原理，P（t，t）φ+zttdttp（t，t）B（t）u（t），（4.8），其中P（t，t）是由A（t）生成的半群。明确地说，我们有p（t，t）Γ（x）=ZRddyΓ（t，x；t，y）Γ（y），（4.9），其中Γ（t，x；t，·）是一个高斯核，其平均向量m（t，t）和协方差矩阵C（t，t）是m（t，t）：=x+ZTtdsa（1,0，··，0），0（s）a（0,1，··，0），0（s）。a（0,0，·1），0（s）,C（t，t）：=ZTtds2a（2,0，·0），0（s）a（1,1，·0），0（s）。a（0,0，·1），0（s）a（1,1，·0），0（s）2a（0,2，·0），0（s）。a（0,1，·，1），0（s）。。。。。。。。。。。。a（1,0，··，1），0（s）a（0,1，··，1），0（s）。2a（0,0，·2），0（s）.观察到u出现在（4.8）的左侧和右侧，我们迭代该表达式以获得u（t）=P（t，t）~n+∞Xk=1ZTtdtZTtdt··ZTtk-1dtkP（t，t）B（t）P（t，t）B（t）·P（tk）-1，tk）B（tk）P（tk，T）~n=P（T，T）~n+∞Xn=1nXk=1ZTTDTTZTTDT··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，（4.10）In，k={i=（i，i，·ik）∈ Nk:i+i+···+ik=n}。（4.11）其中，在第二个等式中，我们使用了B（t）是有限和的事实，并且我们对Ai（t）运算符的下标和进行了划分。表达（4.10）激发了以下定义。定义4.2。设u为（4.4）的唯一经典解。假设所有t的系数aα（t，·）areCN（Rd）∈ [0，T]。

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2022-5-8 07:59:57

然后，用“uN”表示的u的n阶近似被定义为“uN:=NXn=0un，u（t）：=P（t，t）~n，其中P（t，t）是由A（t）和uN（t）生成的半群：=nXk=1zttdtdtzttdtt··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）Γ，（4.12）通过将终端数据设置为等于d维Dirac质量Γ=δy，可以得到跃迁密度ΓN（T，x；T，y）=pn 0ΓN（T，x；T，y）的N阶近似值。从（4.9）中可以看出，半群算子P（ti，tj）是积分算子。因此，如文中所述，表达式（4.12）很难评估。下面的定理表明，N阶项可以很容易地计算为作用于u的微分算子。定理4.3。（Lorig等人，2015b，Thorem 2.6）Let（un）n≥0应符合定义（4.2）中的规定。n（t）=Ln（t，t）u（t），Ln（t，t）=nXk=1zttdtdtzttdtt··ZTtk-1dtkXi∈In，kkYj=1Gij（t，tj），其中In，kis定义于（4.11）和gi（t，tj）：=X1≤|α|≤2aα，i（tj，X（t，tj））αx，x（t，tj）：=x+m（t，tj）+C（t，tj）x、定理4.3提供了一种分析近似（3.5）和（3.26）中期望值的方法。（3.26）中的预期足以实现定理3.6，该定理可用于计算具有离散数量对冲资产的最优静态对冲。为了计算出一系列看涨期权/看跌期权的最优套期保值，除了计算（3.5）中的期望值外，我们还需要对ΓST（K）ΓST（K）和Kγ（K）ΓST（K），其中ΓSTandeΓ分别表示发育迟缓者P和r的密度，γ在（3.5）中定义。为此，我们计算ΓST（K）ΓST（K）=K-1eΓXT（对数K）K-1ΓXT（logk）=eΓXT（logk）ΓXT（logk），其中ΓXTandeΓXT分别是XT=log studer P和P的密度。我们也有Kγ（K）ΓST（K）=ΓST（K）E[Kg（K，eXT）h（XT）]=ΓST（K）E[δK（eXT）h（XT）]=K-1ΓXT（log K）ZRddyδK（ey）h（y）ΓXT（y）=ZRd-1dy′h（（logk，y′）ΓXT（logk，y′）ΓXT（logk，y′），y′=（y，y。

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2022-5-8 08:00:01

，yd），（4.13）式中，ΓXT是xunder P的密度。注意，（4.13）实际上是E[h（XT）|XT=log K]（见（3.21））。4.1精度结果为了确定定义4.2中给出的近似精度，我们必须对系数（aα）进行一些假设。假设4.4。T这里存在一个正常数M，如下所示：。均匀椭圆度：M-1|ξ|≤Pα=2aα（t，x）ξα≤ M |ξ|，T∈ R+，x，ξ∈ 路，2号。正则性与有界性：系数aα（t，·）∈ CN+1（Rd）与偏导数βaα（t，·）与|β|≤ 对于所有t，N都以M为界∈ R+。我们首先确定近似值的准确性。定理4.5。假设假设4.4保持不变，且fix¨x=x。假设终端基准|在最大程度上呈负增长，且|∈ Ck-1（第三次）约为0≤ K≤ 2，其中C-1（Rd）表示不一定连续的函数空间。然后我们有| u（t，x）- \'uN（t，x）|≤ C（T）- t） N+1+k，其中C是一个正常数，取决于M，N，终端基准φ和x。参见（Lorig等人，2015a，定理3.10和备注3.11）。接下来，我们将导出nKΓST（K），这是计算（3.11）所需的，并确定该近似的准确性。为此，让我们定义（t，x；t，K）=E[（ST- K） +|Xt=x]，u（t，x；t，K）：=E[（eXT- ek）+|Xt=x]。由于X=logs，我们显然有c（t，X；t，K）=u（t，X；t，K（K）），K（K）：=logk。请注意，可以通过将c（t，X；t，K）与trikep（ST）相差两次来获得ST的密度∈ dK | Xt=x）≡ ΓST（t，x；t，K）dK=Kc（t，x；t，K）dK=Ku（t，x；t，k（k））dK。（4.14）因此，我们将ΓST的N阶近似定义为ΓST，N（t，x；t，K）：=K\'uN（t，x；t，K（K））。（4.15）以下定理给出了nKΓST，N（K）定理4.6。假设4.4保持不变，fix¨x=x。

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2022-5-8 08:00:04

然后我们有|nKΓST（t，x；t，K）- nKΓST，N（t，x；t，K）|≤ C（T）- t）（N）-n） /2，（4.16）其中C是一个正常数，这取决于M，n，K和x。Fr om（4.14）和（4.15），我们有nKΓST（t，x；t，K）-ΓST，N（t，x；t，K）= n+2Ku（t，x；t，k（k））- \'uN（t，x；t，k（k））=Kn+2n+2Xj=1an+2jjku（t，x；t，k（k））- \'uN（t，x；t，k（k））, （4.17）其中系数（an+2j）是精确值不重要的整数。接下来，根据定理4。Pagliarani和Pascucci（2015）的第4篇，我们有|nku（t，x；t，k）- nk|uN（t，x；t，k）|≤ C（T）- t）（N）-n+2）/2，（4.18），其中常数cd epend在M、n、k和x上。精度结果（4.16）直接来自（4.17）和（4.18）。一个类似的分析得出的近似值的准确度是相同的nKeΓST（K）和nKγ（K）。为了简洁起见，我们不在这里重复计算。5例在本节中，我们计算各种实际应用中的最佳静态对冲，以及敏感性分析。由此产生的静态投资组合绩效也证明了我们方法的有效性。5.1在我们的第一个例子中，我们考虑两个相关的假设S=eX和V=eX，其中对数价格p air X=（X，X）satis dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）（ρdWt+p1）- ρWt），（P）（5.1）dXt=eu（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dfWt，dXt=eu（t，Xt）dt+σ（t，Xt）（ρdfWt+p1）- ρfWt）。我们假设S是可交易的，因此是EP下的鞅。因此，我们必须有eu=-σ. 虽然我们不假设它，但如果V被交易，它也必须是ep下的鞅，在这种情况下，漂移eu必须满足eu=-σ.假设现在我们卖出了一个在V上写的欧洲看涨期权，到期日为T，执行价为k′。这是对冲的主张，所以我们表示ΞT=（VT- K′）+=（外部）- K′）+=：h（K′，XT）。

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2022-5-8 08:00:07

（5.2）我们希望通过债券、远期合约和欧洲看涨期权/看跌期权对该期权进行静态对冲，而不是在V上，而是在S上。这种情况可能会由于各种原因出现。首先，可能是V和V上的期权都不是流动交易，或者期权的交易价格很低，这在大宗商品市场很常见。第二，即使V被交易，投资者也可能因为法律原因而被禁止交易V和写在V上的期权。第三，与V相比，S期权市场的流动性可能更高。例如，人们可能会利用标准普尔500指数的远期和/或期权来对冲成分或非成分股票的期权。K连续统∈ [L，R）让我们回忆一下第3节的设置，在该节中，债券、S上的远期和d认购/卖出在每次敲打K时都可用∈ [L，R）（见（3.1））。计算最优套期保值策略（π）*, Q*, P*) 使用REM 3.2，我们需要（3.5）中预期的表达式。对于当前应用，它们由∑=E[（eXT）给出- ex）]，ψ（K，K′）=E[g（K，eXT）g（K′，eXT）]，β=E[（eXT- z（K）=E[g（K，eXT）]，y（K）=E[（eXT）]- ex）g（K，eXT）]，ξ=E[h（K′，XT）]，θ=E[（eXT- ex）h（K′，XT）]，γ（K）=E[g（K，eXT）h（K′，XT）]，ez（K）=eE[g（K，eXT）]，其中g在（3.1）中定义，h在（5.2）中定义。对于某些模型动力学，这些期望值可以显式计算。在无法明确计算期望值的情况下，可以使用定理4.3获得解析近似值。在图1中，我们考虑了X和X关联算术布朗运动的情况。我们假设S和V都是交易资产，这要求eu=-σ和eu=-σ.我们举例说明了最优静态投资组合（q*, P*, π*), 并检查相关性ρ和成本约束C的影响。

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2022-5-8 08:00:10

除了绘制持有的调用/卖出的单位外，它是π*（K）作为K的函数，我们还绘制了静态投资组合的终值Φ（ST）：=q*+ P*（圣- S） +ZRLdKπ*（K） g（K，ST）（5.3）作为函数ST，并将该投资组合的收益与（VT）进行比较- K′）+。从图1可以看出，当相关性增加到1时，有两个明显的影响。首先，在K=K′附近，最优套期保值组合中的买入/卖出的密度变得更加集中。第二，支付函数Φ与支付函数h（K′，log（·））=（·）更接近- 期权的K′）+被套期保值。这是一种直观的预期，因为，如果s和V完全相关（即ρ=1），那么这两种资产是相同的，即ST=VT，因此用strike K\'持有STK的看涨期权将是最佳和完美的对冲。成本约束对最优套期保值组合π的影响有点不那么直观*. 在图1中，我们看到，随着成本约束变得更加严重（即C降低），最优静态套期保值策略是在远离K′的地方出售更多看跌期权和看涨期权。直观地说，出售这些期权有助于降低套期保值成本，以满足成本约束，同时不增加K′附近的套期保值误差。如第3.2节所述，我们现在假设欧洲风格的看涨期权/看跌期权仅在discretestrikes（Ki）i可用∈I.我们将Zt（0）=Bt=1和Zt（I）=eE[g（Ki，ST）| Ft]设置为i6=0。为了计算最优静态投资组合π*利用定理3.6，我们计算了（3.26）中的期望值，它们由ψ0,0=1，ψ0，i=ψi，0=E[g（Ki，eXT）]ψi，j=E[g（Ki，eXT）g（Kj，eXT）]，γ=E[h（K′，XT）]，γi=E[g（Ki，eXT）h（K′，XT）]，z=ezi=1，zi=E[g（Ki，eXT）]，ezi=eE[g（Ki，eXT i，i，j=0。对于某些模型动力学，可以明确地计算上述期望值。

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2022-5-8 08:00:14

在无法明确计算上述期望值的情况下，可以使用定理4.3在阿马尔科夫框架下对其进行解析近似。与之前的连续罢工案例一样，我们假设原木价格X和X是相关的算术布朗运动。在图2（底部）中，我们展示了最优静态投资组合权重，并举例说明了相关参数ρ和成本约束C的影响。此外，我们绘制了静态投资组合曲线（终值作为ST的函数），由Φ（ST）：=π表示*+Xiπ*ig（Ki，ST）。（5.4）随着cr中的相关性从0.5降低到0.9，我们发现投资组合Φ与索赔支付h（K′，log（·））=（·）更接近- K′）+，尤其是对于ST的大小值。然而，与连续打击的情况相反，由于只有有限数量的打击可用，不可能实现完美匹配。另一方面，成本约束对π的影响并不直接。具体而言，有更严格的成本约束（即→ 0），最优静态投资组合往往对低罢工有负回报，而对高罢工有正且不断增加的回报，从而导致更高的四次比率误差。此外，当允许的投资组合成本C降低时，由此产生的投资组合成本较低。此外，在所有条件下，我们观察到π的大小对于K′来说是最大的。然而，由于套期保值资产的数量是离散的，因此π的符号随着罢工而振荡。相比之下，当使用从模型中导出的具有连续调用/放入条带的最优静态策略时，最优密度π的符号不发生变化。这具有重要的实际后果。

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2022-5-8 08:00:17

从套期保值者的角度来看，只持有多头头寸或大部分多头头寸更容易，而不是在期权中交替持有多头和短头头寸。因此，即使在实践中有一定数量的打击，也可以采用图1（上图）中最佳连续密度的离散化版本，作为图2（上图）中最佳离散策略π（Ki）的替代方案。因此，通过将定理3.2中的最优静态Hedging策略离散化（该定理假设期权交易与连续的期权交易），我们可以从一开始就假设离散的期权交易，从而获得一种替代策略。5.2套期保值交易所交易基金（ETF）的LETF期权和参考期权通常被设计为跟踪参考指数，用S=eX表示。物理度量P和定价度量EEP下的参考指数动态由二维SDE（5.1）给出，其中第二个分量V=log Xnow代表波动性而非交易资产的驱动力。现在，我们介绍杠杆式交易所买卖基金L。LETF是一种有管理的投资组合，可返回预先指定的倍数l 参考指数S的每日收益率。为了用最简单的形式来说明这一点，零管理费、利息和股息率、杠杆率的LETF动态l 相关数据如下所示：dLtLt=ldStSt。杠杆率的最常见值l 是吗{-3.-2.-1, 2, 3}. 正如Avellaneda和Zhang（2010）所示，LET F L在任何时间T>0的值由tl给出=STSl经验l(1 - l)ZTσ（t，Xt）dt（5.5）=expl（XT）- 十）+l(1 - l)hXiT.式中，hxit是x在区间[0，T]上的二次变化。观察到Ltn的值不仅取决于终端值ST=eXT，还取决于对数S=X的综合方差（二次方差）。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:00:20

因此，L的价值取决于S的整个路径。不同杠杆年龄比率的租赁基金的期权也在芝加哥期权交易所（CBOE）广泛交易。Leung等人（2014）最近研究了stoch-astic波动率模型下这些期权的定价；Leung and Sircar（2015）。在实践中，与非杠杆交易的期权相比，LETF期权可供选择的期权数量明显减少，有些期权的买卖价差更大。这种现象的部分原因是难以对冲出租期权，这反过来又阻碍了活跃的做市，通常会缩小买卖价差。因此，我们考虑了使用参考指数（非杠杆基础）上的期权的LE TF期权的静态套期保值问题。通过最优静态投资组合，我们获得了一个适用于LETF期权的候选实用套期保值策略，并且还可以说明LETF期权的价格和支付与普通期权的价格和支付之间的关系。在LETF L上写有杠杆年龄比的看涨期权l 有终端支付ΞT=（LT- K′）+=Lexpl（XT）- 十）+l(1 - l)hXiT- K′+=: h（K′，XT，hXiT）。我们希望使用债券对该期权进行静态套期保值，欧洲看涨期权和看跌期权将以指数S为参考。如果参考指数是流动交易的，也可以考虑通过动态交易对其进行套期保值，尽管这超出了本文的范围。我们考虑第3.2节的设置，使用离散罢工（Ki）和债券进行套期保值。具体地说，我们假设欧洲风格的看涨期权/看跌期权在离散的打击次数（Ki）i下可用∈I.我们设置ZT（0）=BT=1，对于i6=0，我们设置ZT（I）=g（Ki，ST）。为简单起见，我们考虑无成本约束的情况。

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2022-5-8 08:00:23

为了得到最优静态投资组合π*利用定理3.6，（3.26）中我们必须计算的期望值是ψ0,0=1，ψ0，i=ψi，0=E[g（Ki，eXT）]ψi，j=E[g（Ki，eXT）g（Kj，eXT）]，γ=E[h（K′，XT，hXiT）]，γi=E[g（Ki，eXT）h（K′，XT，hXiT）]，i，j6=0。（5.6）备注5.1。如果Xhas常数漂移u和波动率σ，那么xt=X+uT+σWT，hXiT=σT。此外，可以明确计算（5.6）中的预期值。事实上，由于hXiT=σT是确定性的，我们从（5.5）中可以看出，L上的期权只是S上的幂次期权，它也完全适用于一个静态投资组合，包括一个债券、一个远期合约和在所有K点买入/卖出S的期权∈ [0, ∞)没有成本限制。我们希望考虑一个不完全的市场模型，在这个模型下，市场是随机的。这导致我们与赫斯顿（1993）模型：dXt合作=M-Xtdt+qXtdWt，dXt=κ（θ）- Xt）dt+δqXt（ρdWt+p1- ρWt）。（5.7）虽然（XT，hXiT）的接缝密度不可用，但（XT，hXiT）的接缝特征弯矩生成函数是众所周知的。我们定义ψ（T，x，x；ξ，λ）：=Ex，x经验iξXT+λhXiT.（Drimus，2012，命题2.1）给出了ψ的明确表达式。对于合适的函数fwe-havex，xf（XT，hXiT）=2πiZ∞-∞dξZη+i∞η-我∞dηψ（T，x，x；ξ，λ）bf（ξ，λ），（5.8）bf（ξ，λ）=2πZRdxZR+dy e-iξx-λyf（x，y），（5.9），其中η>0是在（5.8）的被积函数中任何奇点右侧选择的正常数。注意，在某些情况下，可能需要在（5.9）中定义ξ的虚部，以使傅里叶-拉普拉斯变换收敛。例如，考虑函数f（x，y）=（e）l十、-θy- ek）+，l, θ > 0. （5.10）将（5.10）插入（5.9）并积分yieldbf（ξ，λ）=l经验K-ikξlξ(l - iξ）（θξ）- iλl), I(ξ) < -l, R(λ) > Iθξl.

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2022-5-8 08:00:26

（5.11）傅里叶-拉普拉斯变换bf允许我们计算h（K′，x，y）、g（Ki，ex）、h（K′，x，y）g（Ki，ex）和g（Ki，ex）g（Kj，ex）的傅里叶-拉普拉斯变换，因为这些函数与（5.10）中的f具有相同的形式。将（5.11）插入（5.8）并进行积分，可以用数值计算（5.6）中出现的期望值。图3显示了最优静态投资组合权重π*（Ki）对于三倍长度的LETF(l = +3）还有三重短乐透(l = -3），以及投资组合文件l（ST）由（5.4）给出。如果综合方差非常小，那么我们可以从（5.5）中看到对数（LT/L）≈ l 日志（ST/S）。因此，如果l 是正的，那么L向S的方向移动，如果l < 0，则L向S的相反方向移动。因为被套期保值的声明ΞT=（LT- 当且仅当ifLT>K′时，K′）+具有正的回报，我们预计l > 0，最佳对冲π*将是在罢工超过K′的情况下对S进行通话l < 0-最优对冲π*将是在K′以下的打击下保持推杆。事实上，这正是我们在图3中观察到的。此外，我们注意到(-3） -LETF看涨涉及参考指数看跌期权中的任意多头头寸。鉴于需要(-3） -LETF和参考指数上的看跌期权均为看跌头寸。另一方面，为了对冲（+3）-LETF看涨期权，静态投资组合权重可以抑制振荡行为，在OT M看涨期权中有更多的多头头寸。在这两种情况下，权重主要分配在实现正收益的期权上，而LETF期权也实现了正收益。5.3套期保值一个几何的亚洲c所有与欧洲期权作为我们的最后一个例子，我们考虑静态套期保值另一个路径依赖的衍生工具。首先，let=eXwheredXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，即Xhas局部波动动力学。

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2022-5-8 08:00:29

我们假设时间T>0，并引入过程a=Ex，其中xsatiesdxt=TXtdt，x=0。注意，Xt是间隔[0，T]上X的时间平均值。我们考虑一个终端payoff:ΞT=（在- K′）+=（外部）-K′）+=：h（K′，XT）。K连续统∈ [L，R]和债券根据第3节的设置，在没有成本约束的情况下，我们构建了一个静态组合，在每个K点都可以使用看涨期权/看跌期权∈ 在这个例子中，为了实现定理3.2需要计算的期望值是∑=E[（eXT- ex）]，β=E[（eXT- z（K）=E[g（K，eXT）]，（5.12）y（K）=E[（eXT）]- ex）g（K，eXT）]，ξ=E[h（K′，XT）]，θ=E[（eXT- ex）h（K′，XT）]，以及比率Kγ（K）ΓST（K）出现在（3.13）中。如果Xare常数的漂移u和波动率σ，那么（X，X）是联合高斯分布的。（XT，XT）的均值向量和协方差矩阵为m（0，T）=x+（ux-（σX））Tx+（uX-（σX））T！，C（0，T）=（σX）T（σX）T（σX）T（σX）T（σX）T！。近似相关系数为ρ=√3/2 ≈ 0.866. 在f act中，可以明确计算（5.12）中的所有期望值。由于我们已经在第5.1节中计算了相关高斯随机变量的最佳对冲，接下来我们将考虑一个复杂的模型。现在我们假设Xadmits恒定方差弹性（CEV）dynamicSxt=M-δe2（η）-1） Xtdt+δe（η）-1） XtdWt。（5.13）由于Cox（1975）的结果，CEV环境中已知的Xis密度，尽管（X，X）的联合密度必须通过数值计算得出。我们遵循第4节中概述的近似方法来计算最佳静态对冲。在图4中，我们绘制了最优无约束静态套期保值组合π*（K）作为K的函数。

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2022-5-8 08:00:33

请注意，静态投资组合包括围绕亚洲看涨期权K′的大部分期权。此外，除了为deepOTM看涨期权（图中K>1.25K\'）所做的小空头头寸外，大多数期权都是多头持有的。该文件类似于图1（左上）中使用相关资产期权进行套期保值的情况。这并不奇怪，因为S和它的几何平均值A正相关，但并不完全相关。我们还将套期保值投资组合的终值Φ（ST）绘制为ST的函数（见（5.3）），并且它似乎是凸的，与预期的看涨期权类似。然而，支付Φ的斜率明显小于1，即使是对于大型STS，因为亚洲看涨期权的支付不仅取决于STS，还取决于一段时间内的平均值。6结论我们考虑了静态套期保值问题，使用债券、远期和（可能是半无限）看涨期权/看跌期权以及这些工具的子集。最优策略是在不假设基础资产动态的情况下进行的，并且与Carr和Madan（1998）的结果相一致，这是我们框架的一个特例。在带有离散期权罢工的最优静态套期保值策略和我们提出的在离散罢工上实施的连续罢工策略之间建立了一个有用的联系，并且我们展示了这些策略的对比行为。最优策略的数值实施是在一般不完全马尔可夫扩散市场中进行的，并举例说明了非交易资产上的期权、亚洲期权和LETF期权等奇异/路径相关的债权。对于未来的研究，一个方向是将静态h边的结果推广到随机时间，而不是此处考虑的固定终端时间。这一扩展将提供新的替代方式来静态对冲索赔，如障碍期权和美式期权。

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