利岑伯格（1978年）。期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》51（4），621-651。卡尔，P.和A.周（1997）。打破障碍。风险10，139-146。卡尔，P.，K.埃利斯和V.古普塔（1998年）。奇异期权的静态对冲。《金融杂志》53（3），1165-1190。卡尔，P.和R.李（2009）。Put call对称：扩展和应用。数学金融19（4），523-560。卡尔，P.和D.马丹（1998年）。走向波动性交易理论。R.Jarrow（编辑），《波动性：衍生产品定价的估计技术》，第417-427页。风险书。卡尔·P·a和S·纳托奇（2011）。时间同质差异下的静态套期保值。暹罗金融数学杂志2（1），794-838。Carr，P.和L.Wu（2013）。标准期权的静态套期保值。《金融计量经济学杂志》（PublishedDonline），1-44。考克斯，J.（1975）。期权定价注1：差异的恒定弹性。未出版的草稿，斯坦福大学。该论文的修订版后来于1996年由《投资组合管理杂志》出版。Derman，E.，D.Ergener和I.Kani（1995年）。静态选项复制。衍生工具杂志27885。德里马斯，G.G.（2012）。通过变换方法实现方差的选项：一个非有效的随机波动模型。定量。财务12（11），1679-1694年。杜菲德（2001年）。动态资产定价理论（第3版）。普林斯顿大学出版社。赫斯顿，S.（1993）。随机波动率期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。牧师。财务部。螺柱。6 (2), 3 27–343.Hobson，D.，P.Laurence和T-H.Wang（2005）。基本期权价格的静态套利上界。定量金融5（4），329-342。˙Ilhan，A.和R.Sir c ar（2005年）。障碍期权的最优静态动态对冲。数学金融16359–385。梁、T、M.洛里格和A.帕斯库奇（2014年）。

杠杆ETF隐含波动率来自ETF动态。arXiv预印本arXiv:1404.6792。梁、T和R.Sircar（2009年）。带最优停止的经验套期保值及其在ESO估值中的应用。暹罗控制与优化杂志48（3），1422-1451。Leung，T.和R.Sircar（2015）。杠杆式ETF期权的隐含波动率。应用数学金融22（2），162-188。Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci（2015a）。抛物方程的解析展开。SIAMJournal应用数学75468–491。Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci（2015b）。多因素局部随机波动率模型的显式隐含波动率。数学金融。出现。马科维茨，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》7（1），77-91。Pagliarani，S.和A.Pascucci（2012年）。局部挥发模型中跃迁密度的解析近似。分欧元。J.数学。10(1), 2 50–270 .Pagliarani，S.和A.Pascucci（2015年）。隐含波动率的pa-rab-olic-Taylor公式。可从NSRN获得。http://ssrn.com/abstract=2673028Zalinescu，C.（2002年）。一般向量空间中的凸分析。相关性的世界科学效应ρ成本约束的效应C0。81.01.21.40.81.01.21.40.20.40.60.81.0π*（K） π*（K） 0.81.01.21.40.10.20.30.40.81.01.21.4-0.2-0.10.10.20.3Φ（ST）vs（VT）- K′）+Φ（ST）vs（VT- 图1：左：对于无约束静态套期保值问题，我们绘制了最优密度π*（K） 在无约束静态套期保值问题（左上）中使用的K个看跌期权/看涨期权上绘制，以及根据（5.3）绘制的终端por TFOLIOPROFILEΦ（ST）（左下）。虚线、点虚线和虚线分别对应于ρ=（0.9,0.7,0.5）。实线代表要对冲的收益-K′）+。使用的参数分别为：ar eu=u=0.1、σ=σ=0.2、S=V=K′=1和T=0.5。右图：设c为无约束最优投资组合的成本。

我们绘制了最佳密度π*（K） （右上角），以及（5.3）给出的投资组合比例Φ（ST），都是针对成本受限的静态套期保值问题。虚线、点虚线和虚线分别对应于成本约束C=（C，0.75c，0.5c）。在右面板上，使用的参数为u=u=0.1，σ=σ=0.2，S=V=K′=1，ρ=0.55和T=0.5。相关性的影响ρ成本约束的影响C0。750.80.850.90.951.1.051.11.151.2-0.50.00.51.00.750.80.850.90.951.1.051.11.151.2-1.0-0.50.00.51.0π*（Ki）π*（Ki）0.91.01.11.20.050.100.150.200.250.91.01.11.2-0.050.050.100.150.200.25Φ（ST）vs（VT）- K） +Φ（ST）vs（VT）- K） +图2：左图：对于无约束静态套期保值问题，以离散套期保值为集合，我们绘制了最优数π*（Ki）在离散罢工中的看跌期权/看涨期权。黑色、灰色和白色条分别对应于ρ=（0.9、0.7、0.5）（左上）。由（5.4）给出的投资组合参数Φ（ST）被绘制为ST的函数（左下）。虚线、点虚线和虚线分别对应于ρ=（0.9,0.7,0.5）。实线对应于要套期保值的收益- K′）+，作为VT的函数绘制。对于顶部/左下面板，默认参数为u=u=0.1，σ=σ=0.2，S=V=1和T=1.0。右图：设c为无约束d最优投资组合的成本。我们给出了最佳密度π*（Ki）成本约束静态套期保值组合的看跌期权/看涨期权，对应于成本约束静态套期保值组合（c，0.75c，0.5c）（分别为黑色、g射线和白色条）（右上角）。成本约束最优投资组合的终值Φ（ST）如（5.4）所示，成本约束为C=（C，0.75c，0.5c）（右下角）。

对于右上/右下面板，默认参数a reu=u=0.1，σ=σ=0.2，S=V=1，ρ=0.9和T=1.0。l = +3.l = -3π*（Ki）π*（Ki）Φ（ST）Φ（ST）图3：在Hesto n模型（5.7）中，我们考虑r静态对冲三倍长的LETF（左，l = +3） 和三倍短LETF（右，l = -3） 通过包括债券，以及在discr ete Strokes（Ki）i的参考指数上的买入/卖出∈上图：我们绘制了基托最优数π的函数*（Ki）无约束最优静态套期保值策略中的看跌期权/看涨期权。底部：两种情况下，投资组合Φ（ST）作为ST的函数（见（5.4））。使用的参数为x=0、x=0.04、L=K′=1、m=0.1、θ=0.04、κ=1、ρ=0、δ=0.1和T=0.25。π*（K） Φ（ST）图4：在CEV模型（5.13）中，我们考虑使用债券、远期和标的股票在所有K点的看涨期权/看跌期权对亚洲看涨期权进行静态对冲∈ [0, ∞). 对于非约束静态套期保值组合中的看跌期权和看涨期权，我们绘制了最优密度π*（K） 作为罢工K（左）的函数。此外，我们根据（5.3）将Portfolio pro fi leΦ（ST）绘制为ST（右）的函数。此处使用的参数为x=0、K′=1、θ=0.04、m=0.1、δ=0.2、η=0.7和T=1.0。