通过计算最优运输和相关套期保值问题

2022-6-8 18:00:29

基于惩罚和神经网络的最优运输及相关混杂问题计算*Stephan Eckstein+Michael Kupper2019年1月28日摘要本文提出了一种通过神经网络解决（多边际鞅）最优运输及相关问题的广泛适用方法。其核心思想是在对偶公式中惩罚优化问题，并将其简化为一个有限维问题，该问题对应于优化具有光滑目标函数的神经网络。我们给出了来自最优运输、鞅最优运输、不确定性下的投资组合优化和生成性对抗网络的数值例子，展示了该方法的通用性和有效性。关键词：最优运输、鲁棒套期保值、数值方法、对偶性、正则化、前馈网络、奈特不确定性、分布鲁棒性1简介本文提出了一种惩罚方法，它允许计算φ（f）=supν形式的一类广泛的优化问题∈QZf dν通过神经网络实现。这种泛函最广为人知的代表出现在优化运输问题中，稍后将介绍。更一般地说，这些泛函表现为，例如，一致风险度量的表示【4】是情景概率等级Q上的最坏情况预期损失，表现为非线性预期【41】，或者是未定权益f的无套利价格上限，参见【25】。

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2022-6-8 18:00:33

为了解决初始问题φ（f），我们将利用它的对偶公式，并将其限制在那些优化问题的子类中，这些优化问题可以实现为最小超边缘价格φ（f）=infh∈H： H类≥fZh du。*我们感谢Daniel Bartl、Fabian Duth、Jens Jackwerth、Mathias Pohl、Stefan Volkwein和两位匿名裁判的宝贵意见。+斯蒂芬康斯坦茨大学数学与统计系。eckstein@uni-康斯坦茨。德国康斯坦茨大学数学与统计系，kupper@uni-康斯坦茨。对于某些u，de∈ Q、其中H是一组连续且有界的函数H:X→ R、其中H和Q的关系在第2节开头给出。文献[21]研究了抽象Banach格框架中一类非常相似的优化问题。在充分正则条件下，原问题supν的值∈QRf dν及其对偶问题infh∈H： H类≥fRh du可以显示为一致，有关定价对冲双重性，请参见例如[16]。一个典型的例子是Monge最优运输问题的Kantorovich松弛[36]，其中Q是乘积空间X=X×X上给定边缘u和u的概率测度集，其中H是所有连续和有界函数H（X，X）=H（X）+H（X）和rh du=RXhd+RXhdu的集。这一类中的进一步经常研究的问题包括多边际最优运输和瓦瑟斯坦距离（参见[5，50，51]）、鞅最优运输（参见[7，26，31，33]）、依赖不确定性下的风险值（参见[11，22，44]），或计算最坏情况下的copula值和改进的Fréchet-hoeff界限（参见[6，40]）。此外，φ（f）还可以作为其他几个问题的构建块，如生成性对抗网络（此外，优化包括生成分布，参见。

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2022-6-8 18:00:39

[3、23、30]）、依赖不确定性下的投资组合选择（此外，投资组合权重得到优化，见[10、43]）或稳健优化的确定性等价物（见[20]）。在这些情况下，本文提出的解决方法仍然适用。方法概述：目标是数值求解φ（f）。实现将基于φ（f）的对偶表示。第一步是进行有限维设置，其中集合H被子集Hm替换：φm（f）=infh∈Hm:h≥fZh du理论上，我们将看一个序列（Hm）m∈N带H H ... H使得H∞:=∪m级∈从某种意义上讲，NHmis在H中是稠密的。更具体地说，HM可以是一组具有固定结构（但参数值不明确）的神经网络，m测量神经元层的数量。为了允许逐步更新空间Hm的参数（例如通过梯度下降法），不等式约束h≥ f将被处罚。为此，我们在状态空间X上引入了一个参考概率测度θ。直观地说，该度量将用于对不等式约束h≥ f可以测试。此外，我们引入了一个可微且不可减的罚函数β：R→ R+。这导致了惩罚问题φmθ，β（f）=infh∈HmnZh du+Zβ（f- h） dθo。出于理论考虑，我们还引入了φθ，β（f）=infh∈HnZh du+Zβ（f- h） dθo。从理论上讲，我们将再次考虑由近似因子γ参数化的惩罚函数序列（βγ）γ>0，并使用符号φθ，γ（f）：=φθ，βγ（f）和φmθ，γ（f）：=φmθ，βγ（f）。在这里，递增的惩罚因子可以被视为对不等式约束越来越精确的强制执行≥ fφmθ，γ（f）是数值求解的问题。第2章和第3章研究最终实现的这个问题与初始问题φ（f）之间的关系。

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kedemingshi

2022-6-8 18:00:46

至φ（f）（初始问题）φθ，γ（f）（φ（f）的惩罚版本）φm（f）（φ（f）的有限尺寸版本）φmθ，γ（f）（数值求解问题）γ→∞（第2.2节）m→∞（第2.3项）（引理3.3）m→∞（备注3.5）γ→∞（第3.7条）最小{γ，m}→∞（第2.4项，备注3.5）图1：发生的问题及其关系。第2节研究了描述的收敛性，第3节研究了更具体的神经网络背景下的收敛性。为此，我们分析了引入的近似问题在m→ ∞ 和γ→ ∞.图1总结了出现的问题及其关系。值得注意的是，我们只对最优值的收敛感兴趣，而不是对优化器的收敛感兴趣。最后一步是找到φmθ，γ（f）的数值解，这意味着在实践中可以找到网络Hm的最佳参数。为此，我们使用张量流[1]和Adam优化器[38]，因此，这一步主要被视为黑箱。我们将用^φmθ，γ（f）表示数值最优解。实施方法：相关文献对最优运输问题的惩罚进行了多方面的研究（参见[9、14、17、18、27、30、45、46、48]）。熵惩罚法（Entropic penalization）尤其常用，这与薛定谔问题密切相关[39]。Cominettiand San Martín 1994年关于任意线性规划熵惩罚的工作【17】可以应用于纯离散最优运输。[17]中的基本思想是通过惩罚得到一个严格对流问题，该问题可以更快地求解并收敛到初始问题，因为惩罚因子会增加。最近，Cuturi【18】基于熵惩罚和Sinkhorn的矩阵缩放算法，给出了一种计算具有两个边缘的离散最优运输问题的有效算法。Genevay等人【27】和Solomon等人。

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nandehutu2022

2022-6-8 18:00:49

[48]在这个方向上更进一步，给出计算具有两个边缘的任意最优传输问题的算法，其中算法（对于连续边缘的情况）分别基于再生核希尔伯特空间方法和离散化。在[27]中，作者已经提到了熵正则化之外的更多一般正则化是可能的。Benamou等人[9]和Schmitzer[45]使用与[18]相关的缩放算法处理更大类别的问题，包括（离散）多边际、约束和不平衡的最优运输。Carlier等人【14】表明熵惩罚的Wasserstein-2距离与非熵惩罚的Wasserstein-2距离收敛。类似的Γ-收敛也是薛定谔问题相关研究的主题【39】，甚至对于更一般的成本函数也是如此。Arjovsky等人[3，30]最近的研究受到了生成性敌对网络的启发，包括基于Lpenalization解决特定的最优传输问题（Wasserstein-1距离）。在这些工作中，通过神经网络对对偶变量进行参数化来解决最优运输问题的数值方法应运而生。Seguy等人【46】将基于神经网络的方法应用于具有两个边缘的任意最优传输问题。他们的理论结果广泛基于熵惩罚、离散化和最优运输问题对边缘的弱连续依赖性。本文给出了基于惩罚和神经网络的φ（f）型问题统一数值解法。

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能者818

2022-6-8 18:00:53

重点在于问题选择的一般适用性，以及解决方法的灵活框架。与现有文献相比，我们的理论结果具有广泛的适用性。现有文献通常只关注φ（f）形式问题中的一个代表性问题（通常是最优输运问题）。类似地，本文中的惩罚方法和由此产生的对偶关系允许许多不同形式的参考测度θ和惩罚函数βγ，而现有文献通常局限于统一或乘积参考测度和指数惩罚函数。我们在定理2.2的理论上和第4节的数值例子中都展示了不同参考测度和不同惩罚函数的影响。在某些示例中，选择适当的参考度量值至关重要，如第4.4节。定理2.2的方程式（2.6）也激励了参考度量的更新程序，以减少惩罚产生的误差，这在第4.5节中得到了应用。文中给出了几个例子，这些例子主要是现有论文中的玩具问题。我们使用玩具问题的原因是为了评估可以基于解析解的数值方法。在第二节中，我们给出了近似和正则化的理论结果。第3节讨论了由多层前馈网络构建HMA的特殊情况。在第4节中，我们用几个例子来说明所提出的方法。所有证明推迟到第5.2节套期保值函数的正则化和近似设P（X）是波兰空间X上所有Borel概率测度的集合，并用Cb（X）表示所有连续有界函数f:X的线性空间→ R

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2022-6-8 18:00:56

我们考虑超边缘泛函φ（f）：=infnZh du：h≥ f代表一些h∈ f的Ho（2.1）∈ Cb（X），其中u∈ P（X）是一个定价指标，H Cb（X）。在本节中，我们假设H是一个包含常数（即常数函数）的线性空间。为了推导对偶表示，我们假设φ从上面是连续的，即φ（fn）↓ 0对于Cb（X）中的每个序列（fn），使fn↓ 根据非线性Daniell-Stone定理，它有一个表示φ（f）=maxu∈QZf du（2.2）在离散设置中，参考度量通常是均匀分布（参见例如[18]，其中惩罚没有明确包括参考度量。应用的惩罚只是度量的熵，对应于具有均匀参考度量的相对熵）。在非离散设置中，通常使用最优运输问题指定的边缘的乘积度量（参见[27，46]）。对于所有f∈ Cb（X）与非空集Q=u ∈ P（X）：相对湿度du=所有h的相对湿度du∈ H. 特别是u∈ Q、问题（2.2）和（2.1）是二元的，我们将（2.2）称为首要问题（2.1）称为二元公式。有关详细信息，请参阅附录A。这里概述了对偶如何扩展到无界函数。然而，为了可读性，我们将重点放在B（X）上。以下示例说明了基本设置：示例2.1。设X=Rd，并用∏（u，…，ud）表示所有u的集合∈ 假设Q 6= 它是向前延伸的，以验证相应的超边缘功能从上面开始是连续的。（a）（多边缘）最优传输【36，51】：Q=∏（u，…，ud），H={H∈ Cb（Rd）：h（x，…，xd）=h（x）+。。。

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2022-6-8 18:00:59

+hd（xd）适用于所有（x，…，xd）∈ Rd和一些hi∈ Cb（R）}（b）鞅最优输运[7，26]：Q={u∈ π（u，…，ud）：Rdis au-鞅}H={H上的正则过程∈ Cκ（Rd）：h（x，…，xd）=dXi=1hi（xi）+dXi=2gi（x，…，xi-1） ·（xi）- xi-1）对于所有（x，…，xd）∈ Rd和一些hi∈ Cb（R）和gi∈ Cb（Ri-1） }式中，Cκ（Rd）表示与κ（x）相对应的线性增长的所有连续函数的空间：=1+| x |，见附录A。根据Strassen定理[49]，如果边缘u，…，则集Q是非空的，按凸顺序排列。（c）具有附加约束的最佳传输：Q={u∈ ∏（u，…，ud）：Zgjdu=CJ对于所有j=1。。。，N} H={H∈ Cb（Rd）：h（x，…，xd）=dXi=1hi（xi）+NXj=1λj（gj（x，…，xd）- cj）对于某些hi∈ Cb（R），λj∈ R} 对于某些g，gN公司∈ Cb（Rd）和c，中国大陆∈ R、关于相关问题，我们参考文献[6]及其参考文献。2.1通过惩罚正则化超边缘泛函我们的目标是通过考虑卷积φθ，γ（f）：=infh来正则化超边缘泛函φ∈Cb（X）φ（h）+ψθ，γ（f- h）= infh公司∈HnZh du+Zβγ（f- h） dθo（2.3），其中ψθ，γ（f）：=Rβγ（f）dθ，用于取样测量θ∈ P（X）和βγ（X）：=γβ（γX）是一个惩罚函数，其参数化为γ>0。我们假设β：R→ R+是一个可微的不可减凸函数，使得limx→∞β（x）/x=∞. 其凸共轭β*γ（y）：=supx∈R{xy- 所有y的βγ（x）}∈ R+，满意度β*γ（y）=β*（y） /γ。常见的例子是（a）指数惩罚函数β（x）=exp（x- 1）带共轭β*（y） =y log（y），（b）带共轭β的lp惩罚函数β（x）=p（max{0，x}）p*（y） =qyqq，其中q=pp-1对于某些p>1。如果H=R，则函数（2.3）是所谓的优化确定性等价物，见Ben-Tal和Teboulle【8】。在下面的结果中，我们给出了正则化超边函数φθ，γ的对偶表示及其收敛到φ的结果。定理2.2。让f∈ Cb（X）。

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kedemingshi

2022-6-8 18:01:03

假设存在π∈ Q使得π θ和rβ*dπdθdθ<∞.那么φθ，γ（f）=最大u∈QnZf du-γZβ*dudθdθo.（2.4）此外，φθ，γ（f）-β(0)γ≤ φ（f）≤ φθ，γ（f）+γZβ*duεdθdθ+ε（2.5）每当|ε∈ Q是（2.2）的ε-优化器，因此|ε θ和rβ*γduεdθdθ<∞.If^h∈ H是（2.3）的最小值，然后是^u∈ P（X）定义为d^udθ：=βγ（f-^h）（2.6）是（2.4）的最大值。2.2超边缘功能的近似在本小节中，我们考虑序列H H · · · H的子集的，集H∞:=sm∈NHm。每m∈ N∪ {+∞}, 我们通过φm（f）：=infnZh du：h定义近似的超边缘函数≥ f代表一些h∈ Hmo。（2.7）为了用φm（f）近似φ（f），我们需要H上的以下密度条件∞.条件（D）：对于每ε>0和u∈ P（X）每h保持（a）∈ H存在H∈ H∞这样R | h- h | du≤ ε、（b）存在h∈ H∞这样1Kc≤ handRhdu≤ 一些紧子集Kof X的ε。在第3节中，我们将讨论多层前馈网络中的条件（D）。该条件考虑以下近似结果。提案2.3。假设H∞是一个包含常数的线性空间。在条件（D）下，一个Haslim→∞φm（f）=φ∞（f） =φ（f），对于所有f∈ Cb（X）。如前一小节所述，给定采样测度θ和参数化惩罚函数βγ，我们通过φmθ，γ（f）=inf定义正则化超边缘函数的近似版本∈HmnZh du+Zβγ（f- h） dθo（2.8），对于所有f∈ Cb（X）。作为两个近似步骤φθ，γ（f）的结果→ γ的φ（f）→ ∞ 内孔2.2和φm（f）→ φ（f）表示m→ ∞ 在命题2.3中，我们得到以下收敛结果。提案2.4。假设H∞满足条件（D），对于每一个ε>0，存在一个ε-优化器uε（2.4），使得uε θ和rβ*duεdθdθ<+∞.

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2022-6-8 18:01:06

然后，对于每个f∈ Cb（X）onehasφmθ，γ（f）→ φ（f）表示最小值{m，γ}→ ∞.例如，定理2.2和命题2.4中所要求的ε-优化器的存在性在[12]中建立在具有绝对连续边际的RDM中的多边际最优运输问题的背景下。通常，此类ε优化器的存在主要取决于θ的选择，请参见示例3.6中的简单说明。3用多层前馈网络建模有限维子空间本节解释了神经网络构建的近似子空间的具体选择。一般来说，神经网络的一种可行替代方法是通过基函数（如多项式）来构建这些空间，例如，在鞅最优运输的背景下，在[33]中所追求的。与基方法不同，基方法将函数表示为固定基函数的加权和，神经网络依赖于简单函数层的组合。这是一种用相对较少的参数来近似一大类函数的有效方法。在研究结果之前，我们给出了神经网络所需的符号。3.1符号我们考虑的神经网络类型是完全连接的前馈神经网络。formRd3 x 7的Thoseare映射→ Al公司o φ o Al公司-1 |{z}（l-1). 层o... o φ o A{z}1。层（x），其中Aiare a ffine transformations和Д：R→ R是一个非线性激活函数，适用于delementwise，即Д（（x，…，xn））=（Д（x）。。。，用于（x，…，xn）∈ 注册护士。关于尺寸，有一个输入尺寸d∈ N和一个隐藏维度m∈ N、这意味着从Rdto Rm、A、…、。。。，Al公司-1map从Rm到Rm，Almaps从Rm到R。对于矩阵mj和向量bj，每个a ffine转换Aj可以简单地表示为Aj（x）=Mjx+bj。

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nandehutu2022

2022-6-8 18:01:09

所有这些矩阵和向量一起是网络的参数，对于某些数据，可以将其视为RDD的一个元素∈ N、我们需要包含所有前馈神经网络的集合，这些神经网络具有固定的结构（即固定的层数和尺寸），但参数值不明确。我们用Ξ表示 Rd固定网络结构的可能参数集（形式上，D取决于网络结构），通过Nl、D、m（ξ）=Alo φ o Al公司-1.o ... o φ o 具有l层、输入维d、隐维m和参数ξ的特殊神经网络∈ Ξ. 我们用ξ表示所有此类网络的集合Nl，d，m（ξ）∈ 由Nl、d、m（Ξ）执行。在本节的其余部分，我们将处理固定数量的层和输入维度，但允许增加隐藏维度。对于不同的隐藏尺寸m，用Ξm表示相应的参数集。我们定义，d：=[m∈NNl，d，m（Ξm）。我们希望这一定义独立于参数集的精确选择，这就是为什么我们假设集Nl、d、m（Ξm）以m为单位增长。一种明确的方法是：假设3.1。对于任何l，d∈ N和一系列参数集Ξ，Ξ。。。，其中，Ξ被错误地视为某些Dm的RDM的子集∈ N、我们总是假设[-m、 m]Dm ΞmandNl，d，m（Ξm）所有m的Nl、d、m+1（Ξm+1）∈ N、我们不只是设置Ξm的唯一原因≡ 在命题3.7中，我们假设了紧参数集。此外，我们假设假设3.2。激活函数Д是连续的、不衰减的，并且满足limitproperties limx→-∞Д（x）=0和limx→+∞ν（x）=1.3.2通过神经网络建模HM在以下情况下，我们假设H的形式为H=nJXj=1ejhjo πj+a:hj∈ Cb（Rdj），a∈ Ro，其中ej∈ Cb（X）和πj:X→ 所有j=1，…，的Rdjare连续函数，J

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2022-6-8 18:01:12

这种形式的H包括许多不同的问题，例如示例2.1中考虑的问题（例如，在（a）中，H={Pdj=1hjo prk：hj∈ Cb（R）}其中prj（x）：=xjdenotes j-thmarginal组件上的投影）。我们近似H byH∞=nJXj=1ejhjo πj+a:hj∈ Nlj、dj、a∈ Ro，及其子空间Hm=nJXj=1ejhjo πj+a:hj∈ Nlj，dj，m（Ξj，m），a∈ Ro。在这种情况下，问题φmθ，γ（f）由φmθ，γ（f）=infh给出∈HmnZh du+Zβγ（f- h） dθo=infa∈Rinfhj公司∈Nlj，dj，m（Ξj，m）nZJXj=1ejhjo πjdu+a+Zβγf-JXj=1ejhjo πj- 一dθo=infa∈Rinfξj∈Ξj，mnZJXj=1ejNlj，dj，m（ξj）o πjdu+a+Zβγf-JXj=1ejNlj，dj，m（ξj）o πj- 一全部f的dθ∈ Cb（X）。最终公式表明，问题φmθ，γ（f）现在简化为在神经网络中找到最佳参数的有限维问题。此外，总体目标平滑地依赖于参数，并且参数是无约束的。简而言之，问题φmθ，γ（f）属于机器学习问题的框架，可以通过基于标准随机梯度下降的方法进行数值求解。在现有假设3.1和3.2下，以下引理确定了命题2.3所需的条件（D）在神经网络设置中满足时的情况。引理3.3。（a） H类∞满足条件（D）的第一部分。（b）如果X=Rd=Rd×。。。×RdJandπj=prj，对于j=1，…，ej=1。。。，J≤ J、式中，prjis是从Rdj到第J个边际分量Rdj的投影，然后H∞满足条件（D）的第二部分。此外，只要X是紧的，条件（D）的第二部分就可以满足。值得注意的是，第（b）部分可以被视为一个大型但仍然是示例性的情况。直观地说，只要空间H∞他足够富有了。备注3.4。在后面的数字中，我们通常使用ReLU激活函数，即Д（x）=max{0，x}。

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2022-6-8 18:01:15

虽然这不满足假设3.2的后一个极限性质，但这是很容易接受的：基本上，在整个理论中，这些假设仅用于保证具有某些性质的神经网络的存在。假设3.2，我们只需要两层（l=1）即可获得必要的结果。然而，在数字中，我们使用了更多的层。如果给定更多层，也可以将多个层捆绑起来，并将其视为一个层，具有不同的激活功能。例如：Alo φ o Al公司-1.o ... o A.o Д|{z}ДoAWheneverД是形式（x，…，xm）7的映射→ （Д（x）。。。，ν（xm）），具有激活功能的（l+1）层网络可以表示具有激活功能的两层网络可以表示的任何功能。对于Д（x）=max{0，x}，我们可以很容易地看到，Д（x）=min{1，max{0，x}}是可行的，这满足了假设3.2.3.3收敛。在本节中，我们研究了神经网络近似下φmθ，γ（f）收敛到φ（f）的意义。首先，我们研究了m和γ一致收敛的情况，即收敛φmθ，γ（f）的条件→ φ（f）表示最小值{m，γ}→ ∞. 这是下文备注3.5的主题，该备注是第2节和第3.2节中确定的结果总结。导致一致收敛的两个近似步骤是φθ，γ（f）→ γ的φ（f）→ ∞ φm（f）→ φ（f）表示m→ ∞.另一方面，有时收敛φθ，γ（f）→ γ的φ（f）→ ∞ 即使实际上获得了很好的近似值，也不能令人满意。示例3.6中给出了一种这种情况。即使一致收敛不成立，人们仍然可以将问题φmθ、γ（f）和φ（f）联系起来。这是通过近似步骤φm（f）完成的→ φ（f）表示m→ ∞ φmθ，γ（f）→ γ的φm（f）→ ∞,其中，后者是提案3.7的主题。

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2022-6-8 18:01:18

这里，代替φθ，γ（f）所需的强假设→ φ（f），收敛φmθ，γ（f）→ φm（f）可以通过假设神经网络的所有参数集都是紧的来表示。备注3.5。在引理3.3的假设下，命题2.3暗示φm（f）→ φ（f）形式→ ∞. 此外，根据定理2.2，收敛φθ，γ（f）的要求，对于每个ε>0，都存在ε-优化器→ γ的φ（f）→ ∞ 持有。在两种假设下，命题2.4得出φmθ，γ（f）→ φ（f）表示最小值{m，γ}→ ∞. 收敛φmθ，γ（f）→ m的φθ，γ（f）→ ∞ 是一个微不足道的后果。示例3.6。设X=[0，1]，u=u=δ，f（X，X）=-|x个- x |。设Q=π（u，u）为X中所有度量值的集合，其中包含第一个边缘u和第二个边缘u，因此φ（f）=supu∈∏（u，u）Zfdu显然，φ（f）=f（0，0）=0。请注意，Q={u u}使u=u u= δ(0,0).考虑两种可能的参考度量，θ（1）=U（[0，1]）是[0，1]上的均匀分布，θ（2）=u u= δ(0,0). 对于θ（2），很明显，定理2.2中所要求的ε优化器的存在性已经给出，因为θ（2）本身就是φ（f）的优化器。因此φθ（2），γ（f）→ γ的φ（f）→ ∞ 持有。另一方面，不存在ν∈ 带ν的∏（u，u） θ（1），因此φθ（1），γ（f）=-∞. 然而，通过首先用φm（f）近似φ（f），函数变得更平滑：粗略峰值，边缘约束稍微放松。这在研究双公式φθ（1），γ（f）=infh，h时变得很明显∈Cb（[0,1]）nh（0）+h（0）+Zβγ（f- h类- h） dθ（1）oφmθ（1），γ（f）=infh，h∈Nl，1，m（Ξm）nh（0）+h（0）+Zβγ（f- h类- h） dθ（1）虽然很容易在Cb（[0，1]）中找到函数序列，使0处的值变为负值，但惩罚项保持有界，但如果激活函数是连续的，参数集是紧凑的，那么对于Nl，1，m（Ξm）中的函数，这是不可能的。

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2022-6-8 18:01:21

因此有希望建立收敛φmθ（1），γ（f）→ γ的φm（f）→ ∞, 这确实是以下结果的结果。提案3.7。修复m∈ N、假设所有参数集Ξj，mfor j=1。。。，出现在Hmare紧致中的神经网络的J，θ是严格正的（即θ给everynon空开集带来正质量），它保持φmθ，γ（f）→ γ的φm（f）→ ∞.4数值示例本节旨在展示如何使用神经网络简单有效地实现前几节理论框架中经常研究的各种问题。这些例子侧重于玩具问题，这些问题允许对数值结果进行客观评估，并让读者了解所提出方法的优缺点。我们选择了使用Tensor Flow和Adam优化器的avery basic实现。至于网络架构：在所有示例中，H如第3节所述，Nlk，malways近似于Cb（Rd）。为了接近Cb（Rd），我们使用了一个五层（上一章中l=4）ReLU网络和hiddendimension 64·d。我们没有执行超参数搜索以获得此架构，但我们将自己定位在具有类似设置的论文中（例如，在[19，30，46]）。值得注意的是，增加复杂性（层数或隐藏维度）不会进一步显著改变测试案例中的数值结果，因此我们认为所选结构足以解决所考虑的问题。简单地说，实现工作如下：我们对一定数量的迭代执行常规随机梯度型优化（外包给Adam优化器），以找到网络的近似最优参数。

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2022-6-8 18:01:24

在该过程中的每次迭代中，目标函数中的期望值都被相应分布中固定数量（称为批次大小）随机点的平均值所取代。为了获得φmθ，γ（f）的数值近似值φmθ，γ（f），我们最终在大约5%的迭代中平均样本目标值。这被称为双值。或者，可以使用公式（2.6）从近似优化器ν获取样本点*原始问题和数值求值器f dν*, 它被称为原始值（关于如何使用这种近似优化器ν的更多详细信息*见第4.5节）。如果未另行说明，则所有报告值均为双值。我们使用的数值程序可能会通过调整参数或使用更复杂的网络架构来改进。例如，在【13】中的相关设置中应用了批量标准化，这似乎显著加快了优化速度。4.1最优运输和FREéchet Hoe effeding bounds在第一个问题中，我们研究了不同惩罚函数、惩罚因子、批次大小和Adam优化器迭代次数的影响。设X=[0，1]d，θ=U[0，1]d（其中U（·）表示均匀分布）和Q={ν∈ P（X）：νi=U（[0，1]）}，其中νiis是ν的第i个边缘。对于某些固定z∈ [0，1]d，定义函数f:[0，1]d→ R+byf（x）=1，如果xi≤ Ziffor all i公司∈ {1，2，…，d}，0，else。值φ（f）=supν∈QRf dν对应于d维copula在点z处的最大值。通过Fréchet-hoeff定界，我们得到了该问题的解析解，即φ（f）=mini∈{1，…，d}子。在图2中，我们观察到^φmθ，γ（f）如何依赖于Adam优化器的迭代次数和批量大小。

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能者818

2022-6-8 18:01:27

我们观察到，虽然批量越大，收敛越稳定，但收敛速度似乎与批量大小关系不大。这表明，增加批量大小可能会导致快速和最终稳定的性能。由于Lpenalization的出现越来越多，所有使用的代码都可以在https://github.com/stephaneckstein/transport-and-related.The这里的函数f不是连续的。由于最优运输问题从下到下是连续的（参见[37]），因此表示法（2.2）适用于所有有界可测函数f。有关如何优化优化过程的相关概念，请参见[47]及其参考文献。然而，在本文中，我们决定坚持使用Adam优化器的标准参数和固定的批量大小。这样做是为了在评估数值结果时避免另一层复杂性。图2:Fréchet-Hoeff界限：d=2，z=0.5，z=0.75。Lpenaltyfunctionβγ（x）=γmax{0，x}与指数惩罚函数βγ（x）=exp（γx）的比较-1)γ. 绘制的值是过去1000次迭代的运行平均值。红色虚线是真值φ（f）。蓝色虚线是φθ，γ（f）的下界，由定理2.2中的方程式（2.5）获得，分别用于γ的选择。稳定，我们将主要对其余的应用程序使用这种惩罚。此外，图中还表明，数值解似乎近似获得了φθ、γ（f）的下界，如定理2.2中的方程式（2.5）所示。一、 e.一个约有φ（f）≈ φmθ，γ（f）+γRβ*（d^udθ）dθ，其中^u是φ（f）的优化器。4.2多边际最优运输本例的目的是将本文的方法与现有方法进行比较，以解决一个具有挑战性的问题。设X=（RD）M，其中M表示边缘数，D表示每个边缘的维数。

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nandehutu2022

2022-6-8 18:01:30

设uifor i=1。。。，M be K-具有随机选择参数的正态分布的混合物，定义Q=∏（u，…，uM）。对于p，q≥ 1 letf（x）：=-DXj=1MXi=1(-1） ixi，jqp/q，其中x=（xi，j）∈ X，i=1。。。，M、 j=1。。。，D、请注意，对于两个边距，一个有-φ（f）=Wpp，q（u，u），其中Wp，qis是Wasserstein-p距离与Rd上的Lqnorm。在表4.2中，我们比较了不同算法方法产生的该问题的最佳值。我们比较了基于边缘离散化的线性规划方法、本文提出的神经网络方法和[28，算法3]中描述的再生核希尔伯特空间（RKHS）方法。对于线性规划方法，我们使用边界附近的最大数量为10的变量，因此选择Gurobi[32]wasHere，^u作为优化器，它在立方体[0，z]和[z，1]上是一致的。LP NN RKHS RefMC量化对偶原始拉普拉斯Com。（M，D，K）p=q=2（2，1，1）0.403（0.084）0.408（0.026）0.413 0.4010.364（0.006）0.405（2，1，6）3.337（0.320）3.263（0.115）3.279 3.2582.444（0.018）3.269（5，2，6）8.978（8.233）3.073（0.231）3.123 3.041DNCp=1，q=2（2，1，6）1.536（0.071）1.537（0.025）1.537 1.5311.471（0.009）1.533（5，2，6）2.845（1.314）1.741（0.064）1.753 1.740DNC（10，3，6）10.235（3.576）6.744（0.074）6.759 6.743DNCf（x）=f（x）·sin（PMi=1xi，1）（5，2，6）16.814（0.893）17.380（0.043）18.001 17.539DNC（10，3，6）24.618（2.332）23.615（0.107）34.235 32.521DC表1：多边际最优运输：数值-φ（f）来自不同的数值格式。括号中的数字是100次运行的经验标准偏差。LP表示线性规划，基于随机抽样边缘（MC）或使用【42，算法4.5】中的量化方法来近似边缘（量化）。神经网络（NN）的实现基于γ=M·D·500的线性化。

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2022-6-8 18:01:33

对于[28，算法3]中描述的再生核希尔伯特空间解（RKHS），我们使用拉普拉斯核和与NN方法相同的惩罚。对于最后两行，我们报告了-φ（￠f）。DNC条目未聚合。最后一列是由两个边缘的共单调耦合给出的分析参考值。仍然能够在我们的计算机上求解得到的线性程序。关于RKHS算法，我们必须提到，它是唯一一种没有建立在Tensor Flow或Gurobi等已建立包上的方法。因此，对于这种方法，在运行时间和超参数调整方面的效率可能远远不是最佳的。值得注意的是，从【28】中使用的指数惩罚转换为L-惩罚已经是一个轻微的改进。有关每个算法和问题设置的精确说明，请参阅代码onhttps://github.com/stephaneckstein/OT_Comparison.Evaluating结果表明，基于神经网络的方法和带量化的线性规划方法似乎效果最好。令人惊讶的是，即使对于10个边线的情况（其中线性规划只能使用4个点来近似每个边线！），量化方法获得了与神经网络方法相似的值-φ（f）。我们认为原因是函数f是非常光滑的，量化方法可以利用它。在最后两个测试用例中，Hencewe将f略微更改为▄f，这使得函数不太规则。只有在这些情况下，神经网络解决方案和量化方法才有很大的不同。在最后一种情况下，量化方法仍然必须仅用4个点来近似每个边际分布，而神经网络方法可以使用数百万个点。

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2022-6-8 18:01:36

从这个角度来看，人们可以对神经网络解决方案给予更高的信任，即使我们没有分析参考值来比较它。最初，我们在本文方法的基础上加入了第四种方法，但使用了多项式代替神经网络。然而，这表现非常糟糕（至少在使用标准单项式基础时），因此我们省略了此表中的结果。4.3鞅最优运输在鞅最优运输中，通过在边际约束之上施加鞅约束来扩展最优运输问题。维数被视为离散时间步，Q中的测度是离散随机过程的分布（Xt）t=1，。。。，d具有固定的边际分布以及过程是鞅的条件。这里，我们考虑一个d=2的简单示例，其中已知解析解。此示例摘自[2]。设X：=[-1, 1] × [-2，2]，θ：=U（X）和setQ：=ν = ν K：ν=U([-1，1]），ν=U([-2，2]），x=Z-2yK（x，dy）保持ν-a.s。.对于f=-|x个- y |ρone得到φ（f）=-对于所有ρ>2，为1。我们用ρ=2.3来实现这个问题，其中我们对γ的不同值使用Lpenalty函数。结果如图3所示。我们可以看到，当γ值达到1280左右时，最佳值的行为近似于定理2.2中的方程式（2.5）所预测的，即如果γ增加了2倍，则误差大约减少了2倍。然而，对于较大的γ值，会出现数值不稳定，优化器无法找到真正的最优值。这可以通过以下事实来表明：值^φmθ，γ（f）isaboveφ（f）=-1.4.4投资组合优化考虑一个有两项资产的市场，其中给出了每项资产的回报分布，但没有给出联合分布。

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2022-6-8 18:01:39

投资者希望通过投资这两项资产来最大限度地发挥其最坏情况下的效用。在这里，投资者的效用以均值方差目标为特征。虽然平均值完全以边缘分布为特征，但最糟糕的图3：鞅最优运输：平均数值最优值和95%的密度界限，超过100次不同γ值的独立运行（Lpenalization）。该网络已训练20000次迭代，批大小为1024。unEnabledProblem的真正最佳值是-1。案例考虑了投资组合的所有可能差异，这些差异取决于资产的联合分布。下面的示例取自[43]：设X=[0，1]×[0，2]。设θ=U（[0，1]），θ=U（[0，1]）o φ-1，式中Д（x）=2x。设Q={ν∈ P（X）：ν=θ，ν=θ}。我们将解决以下稳健均值-方差投资组合优化问题SUPX∈[0,1]- φ(-fx）：=supx∈[0,1]infν∈QZ（1- x） ξ+xξ- λ(1 - x） ξ+xξ- (1 - x） Zζθ（dζ）- xZζθ（dζ）ν（dξ）。式中λ≥ 0表示风险厌恶。大括号内期限的积分是投资组合的方差。解析解见【43】例1。我们通过两种方式实现了上述问题。首先，我们选择参考度量θ（1）=θθ. 对于第二个，我们使用参考度量θ（2）=0.5θ（1）+0.5U（[0，1]）o （Id，^1）-1.,i、 e.一半是产品度量，一半是完全相关度量。第二个版本可能符合我们的直觉，即最优耦合应该包括正相关。更准确地说：参考度量θ的选择总是有一个隐式目标，即导致定理2.2中等式（2.5）中的狭窄边界。

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2022-6-8 18:01:42

在本例中，如果假设一个最佳度量ν*∈ Q的质量接近完美相关对角线，选择一个将质量置于该区域的参考度量值是有意义的，就像θ（2）一样。Id表示标识映射。图4：依赖不确定性下的投资组合优化：作为参考指标，我们可以采用产品指标或正相关指标。我们使用γ=160的lpenalization。该网络使用批量大小2进行40000次迭代的训练。结果如图4所示。正如预期的那样，第二个版本的结果更接近分析溶液。4.5相依随机变量和分布的界限在本节中，目标是确定概率P（X+X+…+Xd）的界限≥ s）对于somes∈ R、其中夏尔的个别分布已知，但不知道其联合分布。这个问题与计算依赖不确定性下风险的最坏和最佳情况值密切相关，另请参见【20、22、44】。设X=Rd.对于给定的边缘u。。。，ud∈ P（R）和Q=∏（u，…，ud），问题陈述为φ（f）：=supν∈QZ{x+…+xd≥s} ν（dx，…，dxd）。为简单起见，我们考虑情况d=2，ui=U（[0，1]）。设s=1.9。每个最优度量ν∈ Q为线段{（x，1.9）均匀地提供质量1/10- x）：0.9≤ x个≤ 1} ，而只要满足边缘条件，质量剩余值就无关紧要。这导致了最佳值φ（f）=0.1。对于参考度量θ=U（[0，1]）的自然选择，每个最优度量都是关于θ的奇异度量，因此可以通过惩罚来期望高误差。使用此参考测量和γ=320的线性化的实施导致^φmθ，γ（f）≈ 0.0881.更新参考度量：为了获得更精确的值，我们使用定理2.2中的方程式（2.6）。

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2022-6-8 18:01:45

回想一下，优化器∈ φθ的Q，γ（f）由d^νdθ=β（f）给出-^h），其中^h是φθ，γ（f）的对偶优化器。将^ν作为参考度量而不是θ只能通过惩罚来减少误差，因为φ^ν，γ（f）≥ φθ，γ（f）由β的凸性决定*γ. 由于真正的优化器^h未知，并且网络训练了20000次迭代，批次大小为1024，因此必须将^ν作为参考度量来实现问题。图5：因变量和分布的界限：数值最优测量ν的采样点*以及相应的经验边际分布。替换为数值最优解。我们用ν表示数值获得的最佳测量值*.实施φmν*,γ（f）要求从ν开始取样*. 这很重要，因为ν*只有givenbydν*dθ。我们通过【24】中所述的验收-拒收方法实现了这一点。这是非常低的，因为拒绝的数量随着氡-尼科德姆导数的最大值而增加。在这种情况下很难进行有效取样，有关现有方法和拟议新方法的概述，请参见示例[34]。图5说明了最佳度量ν*. 度量值ν*看起来与φ（f）的最优解相当，同时被推向参考度量θ。一个获得^φmν*,γ（f）≈ 0.0982，接近真正的最佳值0.1。在下文中，我们简要讨论了针对这类问题定制的重排算法[22，44]。与所提出的依赖于从所涉及的边缘分布中采样的方法相比，重排算法主要依赖于边缘的累积分布函数的倒数。重排算法在高维设置和不同边缘（如Pareto边缘）下实现了类似甚至更好的精确度。

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2022-6-8 18:01:48

更高维度的情况与这里采用的方法很好地匹配。然而，低维中的基时间比重排算法的基时间高，并且进一步的重尾边缘（如帕累托分布）会导致精度较低。4.6生成性对抗网络（GAN）GAN的目标是从度量值u中创建新的样本点，其中只有经验分布u已知（参见[3，29]）。通常，度量u可能是指在一些非常大的图像集上的均匀分布。然后，集合|u就是这些图像的所有子集上的均匀分布。目标是对给定子集中尚未出现的新图像进行采样，但这些图像可能是来自度量u的样本。为了继续，我们首先采用一些潜在概率测度τ。目标是获得一个函数，使得u和前推度量τo G-1非常接近（从某种意义上说是特定的），因此可以通过从τ中采样并应用G来获得u的伪样本。要从一类函数G中找到此类函数G，只能使用|u而不是u（因此u不进入正式的问题陈述）。σu和τ的接近度o G-1通过不同的距离测量。在Wasserstein GAN中，使用了第一个Wasserstein距离W（·，·）（参见示例[51]），目标为Arg minG∈GW（τo G-1, ~u).上述情况可以推广到任意传输距离，而不是第一个Wassersteinstance。为了将其应用到我们的设置中，让G有一组映射到X的函数。让X=X×X，表示G∈ G定义QG：={ν∈ P（X）：ν=τo G-1, ν= ~u}.

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能者818

2022-6-8 18:01:52

对于成本函数c，任意运输类型的GANs可以通过Arg-minG表示∈G-φG(-c） =arg minG∈Ginfν∈QGZc dν如果c是一个度量，则上述对应于Wasserstein GAN。由于很难客观地评估GAN设置，我们在本节中省略了数值结果。感兴趣的读者可以在GitHub上看到代码，其中[30]中出现的玩具问题是针对不同的函数实现的c.5证明5.1定理的证明2.21）我们首先通过验证φθ，γ是实值且从Cb（X）的上方连续来显示（2.4）。为此，如附录A所示，有φ*（u）=suph∈H（相对湿度du-Rh du）适用于所有u∈ P（X），因此u∈ Q如果且仅当所有h的ifZh du=Zh du∈ H、（5.1）自βγ（x）起≥ xy型-γβ*（y）对于所有x∈ R和y∈ R+，则zβγ（f- h） dθ≥采埃孚- h dπ-γZβ*dπdθ我们所指的dθhttps://github.com/stephaneckstein/transport-and-related，其中实施了本节中问题的不同规范（包括帕累托边缘）。对于实现，我们只调整了https://github.com/igul222/improved_wgan_training我们的方法。再次查看https://github.com/stephaneckstein/transport-and-relatedsoφθ，γ（f）=infh∈HnZh dπ+Zβγ（f- h） dθo≥Zf dπ-γZβ*dπdθdθ>-∞对于所有f∈ Cb（X）。这表明φθ，γ是Cb（X）上的实值。此外，设（fk）是Cb（X）中的序列，使得fk↓ f每小时∈ H单调收敛定理表示rβγ（fk-h） dθ→Rβγ（f-h） dθ，所以φθ，γ（fk）↓ φθ，γ（f）。因此，从非线性丹尼尔-斯通定理（见命题A.1）可以看出，φθ，γ（f）=maxu∈P（X）nZf du- φ*θ、 γ（u）或全部f∈ Cb（X），其中凸共轭由φ给出*θ,γ(u) = φ*(u) + ψ*θ、 γ（u）=（γRβ*dudθdθifu∈ Q和u θ∞ 其他的实际上，卷积inff的凸共轭∈Cb（X）{φ（f）+ψθ，γ（·）- f） }表示凸共轭φ的和*和ψ*θ,γ. 根据（5.1），一个具有φ*（u）=0如果u∈ Q和φ*(u) = +∞否则

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2022-6-8 18:01:55

此外，ψ*θ、 γ（u）=supf∈Cb（X）nZf du-Zβγ（f）dθo=supf∈Cb（X）nZfdudθ- βγ（f）dθo=Zβ*γdudθdθifu θ和ψ*θ,γ(u) = +∞ 否则2）我们下一个节目（2.5）。一方面，有φθ，γ（f）=infh∈HnZh du+Zβγ（f- h） dθo≤ infh公司∈H： H类≥fZh du+βγ（0）=φ（f）+β（0）γ。另一方面，对于每个ε-优化器uε∈ （2.2）的Q，使得u θ1有φ（f）≤Zf duε+ε≤Zf duε- φ*θ,γ(uε) + φ*θ,γ(uε) + ε ≤ φθ，γ（f）+γZβ*duεdθdθ+ε与约定-∞ + ∞ = +∞.3） Let^h∈ H是（2.3）的最小值，即φu，γ（f）=R^H du+Rβγ（f-^h）dθ。定义hλ：=任意h的^h+λh∈ H、一阶条件ddλλ=0Zhλdu+Zβγ（f- hλ）dθ= 0简化ZH du-Zβγ（f-^h）h dθ=0。这表明概率测度^u与Radon Nikod'ym导数^udθ：=βγ（f-^h）对于所有h，满足度du=相对湿度du∈ H、鉴于（5.1）满足∈ Q、积分恒等式βγ（x）=xβγ（x）- β*γ（βγ（x）），x=f-^h w.r.t.θ，一个得到szβγ（f-^h）dθ=Zf-^h d^u-Zβ*γd^udθdθ表示φθ，γ（f）=Z^h du+Zβγ（f-^h）dθ=Zf d^u-Zβ*γd^udθdθ。因此，^u∈ Q是（2.4）的最大值。5.2命题证明2.3Fix f∈ Cb（X）。那个limm→∞φm（f）=φ∞（f）≥ φ（f）源自H的定义∞. 此外，对于每个ε>0，条件（D）保证h∈ H∞和K X使1Kc≤ h和RH du≤ ε. 因此，φ∞（1Kc）≤相对湿度du≤ ε和Dini引理意味着φ∞从Cb（X）上的上方连续。根据命题A.1，可以得出φ∞（f） =最大u∈P（X）nZf du- φ∞*（u）o.与（A.2）类似，其凸共轭由φ给出∞*（u）=suph∈H∞Zh du-Zh du≤ suph公司∈HZh du-Zh du= φ*(u).还有待证明的是，对于h∈ H和u∈ P（X）带RH du-Rh du>0存在h∈ H∞这样Rhdu-Rhdu>0。但这直接来自概率度量u+u的条件（D）的第一部分。

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kedemingshi

2022-6-8 18:01:59

实际上，在H中存在一个序列（hn）∞这样hn→ h inL（u）和in L（u），表示Rhndu-n足够大时，Rhndu>0。5.3命题2.4的证明观察φm（f）+βγ（0）≥ infh公司∈Hm:h≥fnZh du+Zβγ（f- h） dθo≥ φmθ，γ（f）≥ φθ，γ（f）当第一个不等式使用βγ增加时，第二个不等式只是降低了约束条件≥ f，第三个不等式来自Hm H、固定ε>0。根据条件（D）和定理2.2，存在m∈ N和γ>0，使得φm（f）≤ φ（f）+ε和φ（f）≤ φθ，γ（f）+ε，对于所有m≥ mandγ≥ γ. 这表明φ（f）+ε+β（0）γ≥ φm（f）+βγ（0）≥ φmθ，γ（f）≥ φθ，γ（f）≥ φ（f）- ε表示所有m≥ mandγ≥ γ、这表明φmθ，γ（f）→ φ（f）每当min{m，γ}→ ∞.5.4 Hornik引理3.3（a）的证明[35]表明，对于每一个ν，Nlj，dj在Cb（Rdj）中相对于L（ν）是稠密的∈ P（Rdj）和所有j=1。。。，J、根据三角形不等式和ej的有界性，条件（D）的第一部分如下。（b）如果X是紧的，则条件一般满足。因此，假设X=Rd=Rd×。。。×RdJandπj=prj，对于j=1，…，ej=1。。。，J≤ J、其中，prjis是从Rdj到Rdj中第J个边缘分量的投影。设ε>0和ν∈ P（X）。我们首先定义j，用ν（j）表示：=νo 公共关系-1 JAND表明存在hj∈ Nlj、DJ，以便1Kcj≤ hjandRRdjhjdν（j）≤ 2ε，对于一些紧子集kjof Rdj。在不丧失一般性的情况下，假设lj=1。这总是可以做到的，因为函数hj将是紧值的，因此对于多个层，第一层以外的其余层可以简单地近似于上确界范数中的单位函数。FixKj=[-c、 +c]dj，使得ν（j）（Kcj）≤ ε/（4dj）。根据假设，对于每个i∈ {1, . . .

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2022-6-8 18:02:02

，dj}存在ai，bi，ai，bi∈ R使得Д（aixi+bi）+Д（aixi+bi）(≤ xi的ε/（2dj）∈ [-c、 c]≥ 1.- ε表示xi6∈ [-c- 1，c+1]。Thenhj：=djXi=1Д（aixi+bi）+Д（aixi+bi）+ε∈ N1、dj、2dj N1，djsatis 1Kcj≤ HJ对于紧凑型▄Kj：=[-c- 1，c+1]dj，以及Zrdjhjdν（j）≤ZRdjεKj+2d1Kcjdν（j）+ε≤ε+2dν（j）（Kcj）+ε≤ 2ε.现在，定义h：=Pdj=1hjo prj公司∈ H∞和K：=QJj=1Kj X，它是紧凑的。然后一个立即得到1摄氏度≤ handRhdν≤ 2Jε。5.5命题3.71）的证明，对于one fix网络Nlj，dj，m，映射ξ7→ Nlj，dj，m（ξ）是逐点连续的，即它保持ξn→ ξNlj，dj，m（ξn）（x）→ Nlj，dj，m（ξ）（x），对于所有x∈ Rdj，因为Д是连续的。此外，由于我们假设φ是有界的，函数Nlj，dj，m（ξn）是一致有界的，因此由支配收敛得到Nlj，dj，m（ξn）→ Nlj，dj，m（ξ）in L（ν），对于所有ν∈ P（Rdj）。通过三角不等式，这种连续性转移到映射（ξ，…，ξJ）7→PJj=1ejNlj，dj，m（ξj）o πj。因此，我们可以写ehm={η（A）+A:A∈ 我是一个∈ R} 其中A 7→ η（A）在L（u）和L（θ）中是连续的，并且是紧致的。2）对于每个ε>0，存在η（A）+A∈ HM，η（A）+A≥ f使得φm（f）+ε≥Zη（A）+A du=limγ→∞nZη（A）du+A+Zβγ（f- η（A）- a） dθo≥ lim supγ→∞φmθ，γ（f）自0起≤Rβγ（f- η（A）- a） dθ≤ βγ(0) =γβ(0).另一方面，设（γn）是R+中的一个序列，其中有γn→ ∞. 我们的目标是证明φm（f）≤ lim信息→∞φmθ，γn（f）。我们假设lim infn→∞φmθ，γn（f）<∞ 否则就没有什么可证明的了。

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