给定一个可测函数κ：X→ [1, ∞), 我们用Cκ（X）表示所有连续函数f:X的stone向量格→ 使得| f |/κ有界。例如，如果κ是有界的，那么Cκ（X）=Cb（X），或者如果κ（X）=1+| X | on X=Rd，那么空间Cκ（Rd）包含所有连续函数f:Rd→ 线性增长的R。此外，假设ca+κ（X）是X上满足yRκdu<∞. 丹尼尔·斯通定理的以下非线性版本直接来自于[15]中的命题1.1。提案A.1。Letφ：Cκ（X）→ R是一个自上而下连续的递增凸泛函，即φ（fn）↓ 每个序列（fn）为0，因此fn↓ 0。然后，它具有对偶表示φ（f）=maxu∈钙+κ（X）nZf du- φ*（u）OF或所有f∈ Cκ（X），（A.1），其中凸共轭φ*: 钙+κ（X）→ R∪{+∞} 由φ给出*（u）=supf∈Cκ（X）{Rf du-φ（f）}。上述连续性与紧密性概念密切相关，在风险度量的背景下，这是由F"ollmer和Schied引入的，见【25】。典型的例子包括运输类型问题，其中紧密性由边缘约束施加，参见Bartl等人【5】。关于表示（A.1）对上半连续函数和相关定价对冲二元论的扩展，我们参考Cheridito等人【16】。作为应用，我们考虑超边缘函数φ（f）：=infnZh du：h≥ f代表一些h∈ Hoon Cκ（X），其中u∈ ca+κ（X）是一个概率测度，H Cκ（X）是一个凸锥，使得κ∈ H、 直接检验表明φ是一个实值递增凸泛函onCκ（X）。此外，如果φ由命题A.1从上面连续，则它具有对偶表示（A.1）。其凸共轭由φ给出*（u）=supf∈Cκ（X）nZf du- infh公司∈H： H类≥fZh duo=suph∈Hsupf∈Cκ（X）：h≥fnZf du-Zh duo=suph∈HnZh du-Zh duo。

（A.2）由于H是一个包含常数的凸锥，因此φ*（u）=0，每当u∈ ca+κ（X）是一个概率度量，使得所有h的Rh du=Rh du∈ H、 和φ*(u) = +∞ 其他的特别是，如果Cκ（X）=Cb（X），我们得出对偶表示（2.2）。参考文献【1】M.Abadi、A.Agarwal、P.Barham、E.Brevdo、Z.Chen、C.Citro、G.S.Corrado、A.Davis、J.Dean、M.Devin、S.Ghemawat、I.Goodfello、A.Harp、G.Irving、M.Isard、Y.Jia、R.Jozefowicz、L.Kaiser、M.Kudlur、J.Levenberg、D.Mané、R.Monga、S.Moore、D.Murray、C.Olah、M.Schuster、J.Shlens、B.Stein Ner、I.Sutskever、K.Talwar、P.Tucker、V.Vanhoucke、V.Vasudevan、F.Viégas、，O.Vinyals、P.Warden、M.Wattenberg、M.Wicke、Y.Yu和X.Zheng。TensorFlow：《异构系统上的大规模机器学习》，2015年。tensor Flow提供的软件。组织。[2] A.Alfonsi、J.Corbetta和B.Jourdain。凸序概率测度的抽样与鞅最优运输问题的逼近。2017年φ（f）≥ φ（g）每当f≥ g、 【3】M.Arjovsky、S.Chintala和L.Bottou。Wasserstein GAN。arXiv预印本arXiv:1701.078752017。[4] P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。MathematicalFinance，9（3）：203–2281999年。[5] D.Bartl、P.Cheridito、M.Kupper和L.Tangpi。具有可数个边缘约束的增凸泛函的对偶性。《巴纳赫数学分析杂志》，11（1）：72–892017。[6] D.Bartl、M.Kupper、T.Lux和A.Papapantoleon。改进的Fréchet-Hoeff-dingbounds的清晰度：最佳运输方法。arXiv预印本arXiv:1709.006412017。[7] M.Beiglb"ock、P.Henry Laborère和F.Penkner。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。[8] A.Ben Tal和M.Teboulle。

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