部分观测和终端财富下的均值-方差套期保值

2022-5-31 09:33:17

关于部分观测和终端财富约束下的均值-方差套期保值Vitalii MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURAAbstract。本文研究了具有部分观测值的终端财富约束下的均方极小化问题。该问题自然与不完全信息下的均值-方差套期保值问题相联系。提出了一种解决这一问题的新方法。本文给出了当基本定价过程是平方可积半鞅时的一个解。所提出的研究方法是基于鞅表示的。在特殊情况下，可以使用Clark-Ocone表示来获得显式解。以两个相关的几何布朗运动为例说明和支持了该结果和方法。让我们从商品市场上可能出现的问题开始。特别是，以下示例在[Weisshaupt（2003）]的论文中给出。假设一家矿业公司想开采某个矿区。矿业公司在此次投资后将生产的矿产目前尚未进行交易，但市场上已经对另一种具有类似特征的矿产进行了交易。然后，矿物的不可观测价格过程与矿物的价格过程密切相关。矿业公司希望为投资期T后的矿产A价格低于生产成本c的风险投保。矿业公司将资金投资于矿产期权。在这种情况下，公司希望找到一种策略，使a的价格与投资组合价值之间的平方差的预期价值最小化。这种问题被称为均值-方差套期保值（MVH）问题。自[F¨ollmer&Sondermann（1986）]的开创性工作以来，均值方差对冲一直是数学金融领域的一个研究领域。

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nandehutu2022

2022-5-31 09:33:21

起初，假设概率测度是鞅测度，这个问题就成立了。在这种情况下，[F¨ollmer&Sondermann（1986）]在完全信息的情况下获得了一些结果。在不完全信息的情况下，许多论文后来发展了这种对冲。例如，参见[Schweizer（1992）]的论文，其中考虑了两个相关的维纳过程，对冲策略可以依赖于这两个过程，以及[Schweizer（1994）]，其中使用投影技术获得结果。我们对本文的模型介绍如下。假设一个代理在著名的简单金融市场上工作，并且这个市场是可观察到的。代理人只想使用这个市场上的金融工具，他想开始开发一个新的不可观察的市场。我们认为这个新市场是不完整的。在我们的模型中，有两个偶然性目标和H。第一个是可观察的，从2 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA Mishura可观察市场的完整性来看，代理人是超级边缘人，即他选择了终端财富超过索赔价值的策略。第二个索赔H来自新的不完全市场，为了降低新的风险，代理人使用均值方差方法，即他同时最小化终端财富和不可观察索赔的均方差。该模型最简单的例子是在投资组合价值在时间T非负的条件下，即在这种情况下，eh=0，使用可观察资产对不可观察索赔H进行均值-方差对冲。我们假设两个市场上都没有套利，因此具有非负终值的可接受投资组合的价值过程也是非负的。

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mingdashike22

2022-5-31 09:33:24

它使我们能够考虑终端约束，而不是时间点方向的约束。据作者所知，现有文献中未考虑这种方法。在[F¨ollmer&Leucert（2000）]的论文中，在财富过程在区间[0，T]上非负的条件下，最小化了某个损失函数加权的空头预期。在[Korn&Trautmann（1995）]的论文中，投资者的交易方式是在整个时间间隔内获得非负财富[0，T]。作者的分析基于预期效用或均值-方差方法，通过考虑具有最终财富约束的投资组合问题，他们给出了一个通用框架，包括两种类型的选择标准作为特例。在[Korn（1997）]的论文中，考虑的问题是Black Sholes模型在终端财富仅为非负的条件下的平均方差最小化。但作者的目标集中在确定最终财富价值上，并没有给出最小化策略的确切形式。在[Bielecki et al.（2005）]的论文中，研究了一个连续时间均值-方差组合选择问题，其中所有市场系数都是随机的，并且在任何允许的交易策略下，财富过程在任何时候都不允许低于零。在论文【Fujii&Takahashi（2014）】中，研究了部分可观测市场中的均值-方差套期保值问题，其中漂移过程只能通过观察资产或指数过程来进行。在[Ceci et al.（2014）]的论文中，作者提供了在部分信息框架中工作的或有权益的Galtchouk Kunita Watanabe分解。论文【Hubalek等人（2006）】考虑了具有静态独立增量的过程的方差最优套期保值。在[Jeanblanc等人。

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能者818

2022-5-31 09:33:27

（2012）]一般半鞅模型的均值-方差套期保值问题是通过随机控制方法解决的。从数学上讲，“不可观测”信息由过滤F={Ft，t≥ 0}和“可观察”信息由其子过滤因子={eFt，t≥ 0}。我们将自己限制在有限的地平线T>0。标的资产的价格由EF适应的平方可积随机过程={eSt，t∈ [0，T]}。我们假设这是一个半鞅。交易策略由EF可预测平方可积随机过程ξ={ξt，t描述∈ [0，T]}这样就可以很好地定义随机积分ξT。该积分描述了与ξ相关的自融资投资组合策略所产生的交易收益。设偶然条件为可测平方可积非负随机变量。在时间T，从初始资本x开始并使用策略ξ的套期保值者必须支付随机金额，以便投资组合价值不应小于eh。在部分观测和终端财富约束3终端财富条件下，该或然条件可以解释为aON MVH的随机下界。同时，套期保值者希望通过投资组合价值来近似一个随机数量。与H相反，我们假设H是FT可测平方可积非负随机变量。在这种情况下，带有部分观测值的均值-方差套期保值问题意味着解决优化问题最小化EH- x个-ZTξt测试！总体ξ∈ Ξ（x，eH），其中Ξ（x，eH）={ξ：x+RTξtdeSt≥eH a.s.}这个问题自然与均值-方差对冲有关。

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2022-5-31 09:33:31

解决均值-方差套期保值问题的主要挑战是找到更明确的最优策略描述，本文介绍了这种新方法。在适用的情况下，可以通过Clark-Ocone公式获得最小化策略的具体形式。当可观测资产和不可观测资产的定价过程是两个相关的几何维纳过程时，我们考虑这个问题的例子。在这种情况下，我们可以使用delta对冲，但我们通过在布朗环境中应用Clark-Ocone定理来说明我们的方法是如何工作的。对于内含权利要求H为看涨期权的情况，我们提供了精确的解公式，并进行了数值说明。本文的组织结构如下。在第二节中，我们在一般半鞅条件下，研究了不完全信息下的条件均值方差套期保值问题。在第3节中，我们将其简化为简化声明，以避免技术细节。我们证明了关于所逼近的随机变量表示的辅助结果，并证明了给出最小化问题解的主要结果。在第4节中，借助具有两个相关几何维纳过程的模型说明了相应的结果。在第4.1小节中，我们给出了数字说明。2、预备知识和一个小问题的表述我们有完全概率空间(Ohm, F、 P）过滤F={Ft，t≥0}，对应于“完整信息”。假设存在asub filtrationef={eFt，t≥ 0}，对应于“不完整信息”。考虑c\'adl\'ag风险资产={eSt，t≥ 0}这样ES是非负的，并且适应“不完整信息”，或者，对于我们来说，eF适应。我们假设非风险资产Bt≡ 1且市场∑在(Ohm, F、 P）过滤F。

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2022-5-31 09:33:34

此外，我们认为∈ ∑和可观测市场∑={1，eS}在上完成(Ohm, F、 P）与filtrationef F、我们将自己限制在单位水平，因此我们考虑区间[0，T]上的所有过程。设P为∑的所有等价鞅测度集。那么任何P的限制*∈ PoneF是可观测市场∑的相同唯一等价鞅测度，因此是iseF鞅w.r.t.eP。表示DT=deptdpt对depdponinterval[0，T]的限制。现在我们引入两个平方可积非负随机变量，H和H，H是FT可测的，H是ingeft可测的。相应地，我们可以将其描述为“不可观测”和“可观测”的随机变量或未定权益。4 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA Mishura为了保持在平方可积方法的框架内，weintroduce提出以下假设。（A1）eS={eSt，t≥ 0}是半鞅，表示est=fNt+fAt，其中en是平方可积鞅，andeA是平方可积变分的可预测过程。假设Thateef是generatedbyeN={eNt，t≥ 0}。（A2）EDT<∞, EH<∞ 和EeH<∞.这些条件特别意味着，我们可以考虑随机积分w.r.t。半鞅，I（t，ξ）=ZtξsdeSs=ZtξsdeNs+ZtξsdeAs，t∈ [0，T]对于此类可预测过程ξthattrtξsdheNis<∞ andRT |ξs | d | eA | s<∞ a、 s.表示此类可预测策略的类别。markete∑和条件（A2）的完整性意味着对于任何初始值x≥ 我们可以构造条件claimeHa的超边。s、在这种ξ的帮助下∈ ΞE（I（T，ξ））<∞. 换句话说，存在suchξ∈ Ξx+I（T，ξ）≥eH a.s.进一步，对于任何x∈ R表示Ξ（x，eH）={ξ∈ Ξ：x+ZTξsdeSs≥eH a.s.}。注意，如果x<EePeH，则可接受策略的空间为空。

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2022-5-31 09:33:38

下面我们可以假设x≥ EePeH。现在我们可以在半鞅框架下描述一个条件极小化问题。问题[S（x，eH；H）]。从固定值x开始≥ EePeH，构建套期保值策略eξ∈ Ξ（x，eH）所以- x个-中兴通讯ξsdeSs！=最小ξ∈Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！，和ξ，对于ξ∈Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=呃- x个-中兴通讯ξsdeSs！。注意，如果ifeN具有鞅表示性质，那么markete∑是完整的。例如，布朗运动和补偿泊松过程就具有这一性质。3、主要结果为了简化问题[S（x，eH；H）]的求解，我们作如下评论。备注3.1。我们呈现EH- x个-RTξsdeSs亚欧会议- E（H | eFT）+E（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！部分观测和终端财富约束下的MVH 5=EH- E（H | eFT）+ EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！，自H起-E（H | eFT）和任何平方可积eFT可测随机变量是正交的。因此，问题[S（x，eH；H）]被简化为（3.1）minξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！，和ξ，对于ξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！=EE（H | eFT）- x个-中兴通讯ξsdeSs！。备注3.2。表示H=E（H | eFT）。考虑扩展H=HH≥eH+HH<eH，表示H=HH≥eH+eHH<eH≥呃。一方面，对于任何ξ∈ Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=呃- x个-ZTξsdeSs！H<eH+eH- x个-ZTξsdeSs！H≥呃≥ 呃- x个-ZTξsdeSs！H<eH+eH- x个-ZTξsdeSs！H≥eH（3.2）=eH- x个-ZTξsdeSs！。另一方面，对于任何ξ∈ Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=EHH公司≥eH+HH<eH- x个-ZTξsdeSs！=EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！+EHH<eH- 2Ex+ZTξsdeSs！HH<eH≤ EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！+EHH<eH- 2E类eHHH<eH≤ EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！- EHH<eH,（3.3）和（3.2）、（3.3）中的等式，当且仅当H≥eH a.s.因此，我们可以将自己限制在案例H中≥裕利安怡a.s.和其他情况下的适用范围6 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA（3.2），（3.3）（如何处理（3.3）中的上限将在备注3.5中具体说明。）备注3.3。

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nandehutu2022

2022-5-31 09:33:41

现在，让H≥eH a.s.并考虑x=EePH时的情况。从市场∑的完备性可以看出，对于某些ξ，我们有表示h=x+RTξsdesss∈ Ξ（x，eH）。因此，我们将ξ=ξ，得到了极小化问题的平凡零解。因此，考虑两种情况是合理的：x<EePHand x>EePH。然而，由于我们的目标是用最少的初始资源来解决最小化问题，因此我们假设在接下来的过程中x<EePH。备注3.4。此外，让EePeH≤ x<EePH。显然，EH- x个-RTξsdeSs= EH-呃-x+RTξsdeSs-呃. 从市场的完整性来看，存在η∈ Ξ使eh=EePeH+RTηsdeSs。现在，重写- x个-ZTξsdeSs！=呃-呃-x个- EePeH+ZT（ξs- ηs）deSs！！，表示G=H-eH，g=x-ex，ζs=ξs-ηs，注意G≥ 0 a.s.，例如>0。然后显然是0≤ g<EePG和g+RTζsdeSs=x- ex+RT（ξs- ηs）deSs≥呃-eH=0a。s、情形g=0对应于x=EePeH，然后[s（x，eH；H）]的平凡解是策略ηs。因此，我们进一步假设g>0或x>EePeH。这意味着我们将问题[S（x，eH；H）]简化为以下问题。问题[S（g，0；g）]。对于固定平方可积非负EFT可测随机变量G和固定数0<G<EePG to findminξ∈Ξ（g，0）EG- g级-ZTξsdeSs！，和sucheξ∈ Ξ（g，0），其中minξ∈Ξ（g，0）EG- g级-ZTξsdeSs！=EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！。备注3.5。考虑术语E（x，eS）：=EHH小时≥呃- x个-RTξsdeSs来自（3.3）。我们可以将其表示为asE（x，eS）=E（H-eH）H≥呃-x+ZTξsdeSs-eHH公司≥嗯！！。从市场的完整性来看≥EH允许代表EHH≥eH=ex+中兴通讯γsdeSs，其中ex=EePeHH≥呃≤ EePeH公司≤ x和x+RTξsdeSs-eHH公司≥呃≥ 因此，术语E（x，eS）的最小化是在g=x的问题[S（g，0；g）]的框架内进行的- ex公司≥ 0和G=（H-eH）H≥呃≥ 0

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2022-5-31 09:33:44

所以，在一般情况下，当非MVH在部分观测和终端财富约束下，不等式H≥eH不持有a.s.，我们可以在问题[s（g，0；g）]的框架内最小化（3.3）的右侧，并找到最小化策略eξt。最小值minξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-RTξsdeSs将介于（3.2）右侧评估的策略eξt+eγ和（3.3）右侧的最小值之间。为了解决问题[S（g，0；g）]，调用DT=dePTdPTis是depdpon[0，T]的限制，并注意对于任何v（x）∈ REeP（G+v（x）DT）+≤ EDTG+| v（x）| EDT<+∞.现在，对于任何0<x<EePG，考虑v（x），这是方程（3.4）EeP（G+v（x）DT）+=x的解。我们看到v（x）是非递减的。引理3.6。函数v=v（x），x∈ （0，EePG）是唯一确定的，在区间（0，EePG）上连续且严格递增。此函数的值范围为间隔（r，0），其中r=-ess supω∈Ohm克/吨。证据显然，函数f（y）=EeP（yDT+G）+在R，limy上是非递减的和连续的→-∞f（y）=0和limy→+∞f（y）=+∞. 因此，对于anyx∈ 存在方程（3.4）的（0，EePG）解。此外，对于y<y（3.5）EeP（yDT+G）+=EeP（yDT+G）+=x>0。下一步{G>-因此，yDT}>0，正概率（yDT+G）+>（yDT+G）+，这与（3.5）相矛盾。因此，方程（3.4）的解是唯一的，且函数v=v（x），v∈ （0，EePG）是唯一确定的。现在，EeP（v（x）DT+G）+严格地增加x∈ （0，EePG）。实际上，让EePG>x>x>0，且EeP（v（x）DT+G）+=x>EeP（v（x）DT+G）+=x>0。它特别意味着{v（x）DT+G>0}-{v（x）DT+G>0}>0，正概率。因此，（v（x）DT+G）{v（x）DT+G>0}>（v（x）DT+G）{v（x）DT+G>0}具有正概率，其中v（x）>v（x）。在间隔（0，EePG）上建立v（x）的连续性。

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2022-5-31 09:33:48

让xn↑ x>0则深（v（xn）DT+G）+=xn↑ EeP（v（x）DT+G）+=x。这意味着当n>n时，EeP（v（xn）DT+G）+>x>0。因此，v（xn）∈ （v（x），v（x））是递增且有界的，如果v（xn）↑ v 6=v（x）thenEeP（v（xnk）DT+G）+↑ EeP（vDT+G）+6=EeP（v（x）DT+G）+这是一个矛盾。从右开始的连续性也是这样证明的，所以v（x）在x中是连续的∈ （0，EePG）。关于v（x）值的范围，设xk↓ 0.然后一方面EeP（v（xk）DT+G）+↓ 0表示（v（xk）DT+G）+↓eP-a.s.和P{G>-v（xk）DT}↓ 0，或者，相同的，P{v（xk）DT≤ -G}↑ 1、另一方面v（xk）↓ v∈ R∪{-∞}. 因此P{v≤ essinfω∈Ohm(-G/DT）}=8 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA1，根据v（x）的连续性，v=r，其中r=-ess supω∈OhmG、显然，EeP（0+G）+=EePG，so，v（x）↑ 0作为x↑ 证明了EePG和引理。请注意E（G+v（x）DT）+≤ 2EG+2v（x）EDT<+∞.然后，从市场的完备性来看，（G+v（x）DT）+加入表示（3.6）（G+v（x）DT）+=EeP（G+v（x）DT）+中兴通讯ξsdeSs=x+中兴通讯ξsdeSswith someξ∈ Ξ。定理3.7。让g∈ （0，EePG）固定。考虑v（g），这是方程（3.4）的唯一解，x=g，并且表示（3.6）随机变量（g+v（g）DT）+：（3.7）（g+v（g）DT）+=g+ZTeξsdeSs。则neξ是极小化问题的解[S（g，0；g）]。证据一方面，eξ∈ Ξ（g，0）。另一方面，让η∈ Ξ（g，0）。

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2022-5-31 09:33:51

ThenEG公司- g级-ZTηsdeSs！=E-v（g）DT+（g+v（g）DT）+- （G+v（G）DT）-- g级-ZTηsdeSs！=E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ZT（eξs- ηs）deSs！=E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ EZT（eξs- ηs）deSs！+2E类-v（g）DT- （G+v（G）DT）-ZT（eξs- ηs）deSs！。请注意- v（g）DT- （G+v（G）DT）-= G- g级-中兴通讯ξsdeSs；ZT（eξs- ηs）deSs=（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs；- E（G+v（G）DT）-（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs！=E（G+v（G）DT）-g+ZTηsdeSs！≥ 0；部分观测和终端财富约束下的MVH 9EDTZT（eξs- ηs）deSs！=EePZT（eξs- ηs）deSs=0。考虑到这一点，我们继续：E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ EZT（eξs- ηs）deSs！+2E类-v（g）DT- （G+v（G）DT）-ZT（eξs- ηs）deSs！=EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！+EZT（eξs- ηs）deSs！- 2E（G+v（G）DT）-（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs！≥ EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！+EZT（eξs- ηs）deSs！，证明如下。备注3.8。（1）在ep=P的情况下，过程是P-鞅，DT≡1.（2）在EP=P的情况下，解决均值-方差混合问题的方法可以描述如下。我们关注的是0<x<E H和E（H | eFT）的情况≥呃。首字母大写x应分为两部分ex=EeH≥ 0和x- ex公司≥ 具有初始资本的套期保值者构建策略eη，该策略使用informationeF复制claimeH。过程eη和新的初始资本由h的鞅表示得到。然后套期保值者应构建策略eξ，使最终财富x- ex+RTeξt估计为非负的a.s.和Eξ最小化新类别的均方差：=E（H | eFT）和终端财富。策略eξ由随机变量（eG+v（x））的鞅表示得到- ex））+，其中v（x- ex）为e（G+v（x- ex））+=x- 因此，得到的策略是eη+eξ。4、对具有两个相关几何布朗运动的模型的应用示例4.1。LetfW，cW是两个独立的Wiener过程，在measureP下，W=ρfW+p1- ρcW。

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2022-5-31 09:33:55

让过滤F由二维维纳过程（fW，cW）生成，过滤EF由fW生成。考虑一个不可观测风险资产是半鞅S={St=exp的情况Wt+Rta ds, t型≥0}，可观测的风险资产是半鞅={eSt=exp（fWt+at），t≥0}和市场∑={1，S，eS}。设{a（s），s≥ 0}是L[0，T]中的确定函数，a是某个正常数。设未定权益G=H（ST）10 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURAbe为平方可积随机变量，其中H:R→ R+是多项式增长的实值非减损可测函数。初始资本G∈ （0，EePG）我们找到了最小化问题的解[S（g，0；g）]。LeteBt：=fWt+（a+1/2）t，t≥ 0.TheneSt=exp（fWt+at）=exp（eBt-t/2），t≥ 如果EB是aeP-维纳过程，则NES是aeP-鞅。表示a：=a+1/2。根据Girsanov定理，（fBt，cWt），t∈ [0，T]是在Radon-Nikodym导数为dePdP的被测二维维纳过程[0，T]=经验值(-ZTadeBs公司-ZTads）=exp-aeBT公司-在= 经验值-alneST+T（a-).为了给出极小化问题[S（g，0；g）]的显式解，我们做了以下步骤。首先，我们定义为EeP（G | eFT）。我们有G=HeWT+RTa ds= HeρfWT+√1.-ρcWT+RTa（s）ds= HeρeBT+√1.-ρcWT+RTa（s）ds-aρT= H（eST）ρe√1.-ρcWT+RTa（s）ds-aρT.表示AT=ρRTa（s）ds- 在然后我们得到eg=E（G | eFT）=ZRHeρfWT+y√1.-ρ+ρAT+ρAT经验值-y2T√2πTdy（4.1）=ZRH（eu）exp-（u）-ρ（fWT+aT+aT））2T（1-ρ）p2πT（1-ρ）杜。（4.2）介绍函数（4.3）f（x）=ZRH（ez）exp-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） dz，得到它eg=ffWT+aT= feBT公司= flneST+T/2.第二步，我们需要找到方程（3.4）的解。

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2022-5-31 09:34:06

在这种情况下，（3.4）等式的左手侧保持f（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT+.定义辅助函数h:R→ R+：（4.4）h（x）=f（x）expax-在, x个∈ R、然后f（x）+v（g）exp-ax+aT≥ 0当且仅当h（x）≥ -v（g）。注意f是非递减函数。实际上，H是非递减的事实意味着在部分观测和终端财富约束11下，对于任何x<xf（x）=ZRH（eρx），在MVH上+√T（1-ρ） y+ρAT）exp(-是/2）√2πdy≤ZRH（eρx+√T（1-ρ） y+ρAT）exp(-是/2）√2πdy=f（x）。此外，h也是非递减的，对于h，我们可以定义一个广义逆函数h(-1）（x）：=inf{y:h（y）>x}，x∈ R、因此，方程式（3.4）改写为以下格式G=EePf（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT+= EeP公司f（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}=Z+∞h类(-（1）(-v（g））f（x）exp-x2T型√2πTdx+v（g）eaTΦ-h类(-（1）(-v（g））√T- 一,式中Φ（x）=Rx-∞经验值(-是/2）√2πdy，x∈ R是标准的正态累积分布函数。解v（g）的存在性来自引理3.6。现在，我们找到值EePeG。EePeG=EePG=EePHeρeBT+√1.-ρcWT+ρAT=ZRH公司ey+ρAT经验值-y2T√2πTdy。下一步，我们需要指定eG+v（g）DT+.定义辅助函数eh（x，β）=（f（x）- βexp{-ax+aT/2}{x≥ h类(-1）（β）}=经验值{-ax+aT/2}（h（x）- β） {x≥ h类(-1）（β）}，x∈ R、 β>0。（4.5）在本例中，我们处理的是随机积分，因此我们使用布朗环境中的ClarkOcone表示法来表示空间D1,2中的随机变量（Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理4.1，定义3.1）。从（4.3）中，我们可以看到f∈ C（R）。然后根据链式法则（【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理3.5.】）我们有EG=f（eBT）∈ D1,2andeG=EePeG+ZTEeP（DteG | eFt）deSt=EePeG+ZTEeP（DteG | eFt）债务，其中DtF是随机变量F的随机导数。关于随机导数的性质，我们参考【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009）】。

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mingdashike22

2022-5-31 09:34:09

在布朗环境中，我们有dteg=Dtf（eBT）=f（eBT）x[0，T]（T）。从（4.3）中，我们获得f（x）x个=xZRH（ez）扩展-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） dz12 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA=ZRH（ez）exp-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ）（z）- ρx- ρAT）ρT（1- ρ） dz=ρZRH（eρx+y√T（1-ρ） +ρAT）exp(-y/2）p2πT（1-ρ）伊迪。（4.6）然后eG+v（g）DT+=eh（fBT，-v（g））和EePeh（fBT，-v（g））=g。从定理3.7中，极小化问题的解ξ[S（g，0；g）]是随机变量Eh（eBT，-v（g））=g+RTeξtdeSt=g+RTeξt（eSt）-1制动。我们使用Clark-Ocone公式（4.7）eh（eBT，-v（g））=EePef（eBT，-v（g））+中兴通讯[Dteh（eBT，-v（g））| eFt]债务，我们从（4.5）中可以看出，函数h在x=h时是不可区分的(-（1）(-v（g）），因此我们不能直接使用链规则来计算Dteh（eBT，-v（g））。然而，使用与[Oksendal（1996），示例5.15]中相同的参数，我们可以通过CfunctionseHn来近似Eh，其属性为：，-v（g））=eh（x，-v（g））表示| x-h类(-（1）(-v（g））|≥n、随机变量SEHN（eBT，-v（g））是维纳多项式，对于所有n>1 Dtehn（eBT，-v（g））存在（见【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），引理A.12】）。空间D1,2包含所有F∈ L（P），使得存在具有Fn性质的swiner多项式Fn→ L（P）中的F，n→ ∞ 和{DtFn}∞n=1在L（P×λ）中收敛。自{Dtehn（eBT，-v（g））}∞n=1收敛且（eBT，-v（g））→eh（eBT，-在L（P）中，我们有eh（x），-v（g））∈ D1,2。因此，Dteh（eBT，-v（g））存在。通过算子Dt的可闭性，我们得到了（参见【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理A.14）】Dteh（eBT，-v（g））=limn→∞Dtehn（eBT，-v（g））={eBT≥ h类-1个(-v（g））}Dtf（eBT）+v（g）e-aeBT+aT/2.我们知道ifRTδsdeBs=0 a.s.然后δs=0 a.s。

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2022-5-31 09:34:14

因此，h（fBT，-v（g））是唯一确定的。因此，解ξtof最小化问题[S（g，0；g）]等于ξt=eStEePhDteh（eBT，-v（g））eFti=ESTEP{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}Dtf（eBT）+v（g）exp-aeBT+aTeFt公司=eStEeP{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}f（eBT）x个- v（g）aexp-aeBT+aT!eFt#=ESTEP{eBT-eBt公司≥ h类(-（1）(-v（g））-eBt}f（eBT-eBt+eBt）x！eFt公司#- v（g）aeStexp-aeBt+aT部分观测和终端财富约束下的MVH 13×EeP{eBT-eBt公司≥ h类(-（1）(-v（g））-eBt}exp-a（eBT-eBt）eFt公司.使用（4.6），我们得到ξt=eStZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBt公司f（x+eBt）xexp-x2（T-t）p2π（T- t） dx公司- v（g）aeStexp-aeBt+aTZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBtexp(-ax）扩展-x2（T-t）p2π（T- t） dx=ρeStZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBtZRHexp（ρx+ypT（1- ρ） +ρeBt+ρAT）×y扩展(-y/2）p2πT（1-ρ）经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dydx- v（g）aeStexp-aeBt+aTea（T-t） /2ΦeBt- h类(-（1）(-v（g））√T-t型- 一（4.8）最后，我们给出了EG- g级-RTeξsdeSs. 根据备注3.1，后一个值等于E（G-eG）+EeG公司- g级-RTeξsdeSs. 注意E（G-eG）=eG- 2E（Gf（fWT+aT））+Ef（fWT+aT）。我们有EG=ZRHeu+ρAT+ρAT经验值-u2T√2πTdu。ThenE（G-eG）=ZRHeu+ρAT+ρAT经验值-u2T√2πTdu- 2ZRZRHeρx+y√1.-ρ+ρAT+ρATf（x+aT）扩展-x+y2T2πTdydx+ZRf（x+aT）exp-x2T型√2πTdx=ZRHeu+ρAT+ρAT- f（x+aT）经验值-x2T型√2πTdx。它由（eG+v（g）DT）+thatEeG的积分表示得出- g级-中兴通讯ξsdeSs！=E（例如- （eG+v（g）DT）+=E（eG）{eG+v（g）DT≤ 0}+（v（g））EDT{eG+v（g）DT>0}=Zh(-（1）(-v（g））-∞f（x+aT）扩展-x2T型√2πTdx14 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA+（v（g））Z+∞h类(-（1）(-v（g））exp(-2ax- aT）exp-x2T型√2πTdx=Zh(-（1）(-v（g））-∞f（x+aT）扩展-x2T型√2πTdx+（v（g））exp（aT）Φ-h类(-（1）(-v（g））√T- 2a级.（4.9）示例4.2。考虑与示例4.1中相同的问题，具体函数h（y）=（y- K） +，y∈ R

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大多数88

2022-5-31 09:34:26

首先，（4.3）中的函数f具有以下形式f（x）=ZRexp（ρx+pT（1- ρ） y+ρAT）- K+经验值(-是/2）√2πdy=expρx+T（1- ρ） /2+ρATΦρx- ln K+ρATpT（1- ρ） +pT（1- ρ）哦！- KΦρx- ln K+ρATpT（1- ρ）！。（4.10）表示α=-lnk+ρAT+T（1- ρ） /2和β=pT（1- ρ） /2。Thenf（x）=K exp（ρx+α）Φρx+α√2β+β√- KΦρx+α√2β-β√.（4.11）我们评估fx、使用（4.11）我们得到f（x）x=ρK exp（ρx+α）Φρx+α√2β+β√+ρK√2βexp（ρx+α）Дρx+α√2β+β√-ρK√2βДρx+α√2β-β√.（4.12）深{eBT≥ h类-1个(-v（g））}f（eBT）x个eFt=EeP{eBT-eBt公司≥ h类-1个(-v（g））-eBt}f（eBT-eBt+eBt）x个eFt=ρK√2βeρeBt+αZ+∞h类-1个(-v（g））-eBteρxΦρx+ρeBt+α√2β+β√!经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dx+ρKeρeBt+α2πp（t-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexpρx-ρx+ρeBt+α√2β+β√!-x2（T-t）dx公司-ρK2πp（T-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexp-ρx+ρeBt+α√2β-β√!-x2（T-t）dx。（4.13）在部分观测和终端财富约束条件下的MVH上，结合（4.8）和（4.13），我们得到了ξtof最小化问题的解[（S（g，0；g）]：eξt=ρKeSteρeBt+α√2βZ+∞h类-1个(-v（g））-eBteρxΦρx+ρeBt+α√2β+β√!经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dx+ρKeSteρeBt+α2πp（t-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexpρx-ρ（x+eBt）+α2β+β！-x2（T-t）dx公司-ρKeSt2πp（T-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexp-ρx+ρeBt+α2β-β！-x2（T-t）dx公司- v（g）aeSte-aeBt公司-at+atΦeBt- h类(-（1）(-v（g））√T-t型- 一（4.14）4.1。说明性示例。在T=2，K=1，a=0.5和a（S）的情况下，考虑最小化问题[S（g，0；g）]的一个数值示例≡ 1，s≥ 0、出租∈ {g，g，g，g}={0.5，1，2，3}，和ρ∈ {0.3、0.5、0.75}。我们模拟了维纳过程fwton时间间隔[0，2]的轨迹，因此我们得到了bt=fWt+（a+1/2）t和est=exp（eBt- t/2）。我们采用图2所示的获得的样本路径之一。根据公式（4.14），对于该轨迹，我们构造了eξt的样本路径，g=3，ρ=0.3，0.5，0.75。

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2022-5-31 09:34:30

在图1中，我们展示了这些按ρ分组的样本路径。方程（3.4）的解的值，E（G）的值-eG）和EePeG如表1所示。我们看到，当ρ增大时，G的ep平均值减小。表2给出了（4.9）的值，它们自然减小为0（g↑ EePeG。然而，总风险始终大于E（G-例如）。在表2的第二部分中，我们通过计算以下值minimini+1来表示（4.9）对g的灵敏度-minigi+1-gi，其中mini=E（例如- （eG+v（gi）DT）+），i=1，2，3。表1：。方程（3.4）的解g=0.5 g=1 g=2 g=3ρ=0.3 83.7419 41.1694 17.2824 9.18066ρ=0.5 99.4493 40.1427 12.4501 4.90082ρ=0.75 110.058 31.6334 5.00461 0.60940问题值[S（g，0；g）]E（g-例如，EePeGρ=0.3 2497.04 10.0949ρ=0.5 2315.28 6.50358ρ=0.75 1738.17 3.67076参考文献【Bielecki等人（2005）】T.R.Bielecki、H.Jin、S.R.Pliska和X.Y.Zhou（2005）《破产禁令下的连续时间均值方差投资组合选择》，《数学金融》15（2），213–244.16 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURATable 2。（4.9）g=0.5 g=1 g=2 g=3ρ=0.3 361.328 306.613 225.509 165.277ρ=0.5 412.641 308.070 177.939 98.553ρ=0.75 506.590 291.153 92.440 15.821（4.9）g=0.5 g=1 g=2ρ=0.3-30.3%-26.5%-26,7%ρ=0.5-50.7%-42.2%-44.6%ρ=0.75-85.1%-68.3%-82.9%图1。g=4的极小化问题[S（g，0；g）]解的样本路径图2。ES、eB、fW的样本路径【Ceci等人（2014）】C.Ceci、A.Cretarola和F.Russo（2014）受限信息下的GKW表示定理：风险最小化、随机性和动力学的应用14（02），1350019【23页】。[Cern\'y（2004）]A.Cern\'y（2004）《离散时间中的动态规划和均值-方差套期保值》，应用数学金融11（1），1–25。【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009）】G.Di Nunno，B.K。

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nandehutu2022

2022-5-31 09:34:40

Oksendal&F.Proske（2009）L'evy过程的Malliavin演算及其在金融中的应用。柏林：斯普林格。【Fischer等人（1999）】P.Fischer、E.Platen和W.J.Runggaldier（1999）部分观察下风险最小化的享乐策略。随机分析、随机场与应用研讨会，175–188。巴塞尔：Birkhauser。关于部分观察和终端财富约束下的MVH 17【F¨ollmer&Leuert（2000）】H.F¨ollmer&P.Leuert（2000）有效对冲：成本与短缺风险，金融与随机4（2），117–146。【F¨ollmer&Sondermann（1986）】H.F¨ollmer&D.Sondermann（1986）非冗余或有债权的对冲。《对数学经济学的贡献》（W.Hildenbrand&A.MasColell编辑），205–223。北荷兰。【Fujii&Takahashi（2014）】M.Fujii&A.Takahashi（2014）《在部分可观察市场中实施均值-方差套期保值》，《定量金融》第14（10），1709–1724页。【Hubalek等人（2006）】F.Hubalek，J.Kallsen&L.Krawczyk（2006）《具有固定独立增量的过程的方差最优套期保值》，《应用概率年鉴》16（2），853–885。【Jeanblanc等人（2012）】M.Jeanblanc，M.Mania，M.Santacroce&M.Schweizer（2012）《通过随机控制和一般半鞅的BSDE进行均值方差对冲》，《应用概率年鉴》22（6），2388–2428。【Korn&Trautmann（1995）】R.Korn&S.Trautmann（1995）《终端财富约束下的连续时间投资组合优化》，运营数学方法研究42（1），69–92。【Korn（1997）】R.Korn（1997）《二级套期保值在非负财富过程中的一些应用》，应用数学金融4（1），65–79。[Lef\'evre等人（2001）]D.Lef\'evre，B.Oksendal&A.Sulem（2001）部分观察最优消费简介。在数学金融中，趋势数学。239–249。巴塞尔：Birkhauser。【Oksendal（1996）】B.K。

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