单调鞅运输计划与Skorohod嵌入

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收藏 2022-05-31

英文标题：
《Monotone Martingale Transport Plans and Skorohod Embedding》
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作者：
Mathias Beiglboeck and Pierre Henry-Labordere and Nizar Touzi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
We show that the left-monotone martingale coupling is optimal for any given performance function satisfying the martingale version of the Spence-Mirrlees condition, without assuming additional structural conditions on the marginals. We also give a new interpretation of the left monotone coupling in terms of Skorokhod embedding which allows us to give a short proof of uniqueness.
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中文摘要：
我们证明了对于满足Spence-Mirrlees条件的鞅版本的任何给定性能函数，左单调鞅耦合都是最优的，而无需在边缘上假设额外的结构条件。我们还根据Skorokhod嵌入对左单调耦合给出了一种新的解释，这使得我们能够给出唯一性的简短证明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Monotone_Martingale_Transport_Plans_and_Skorohod_Embedding.pdf
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大多数88

2022-5-31 02:18:36

单调鞅输运平面和Skorohod嵌入mathias-Beiglb¨ock*Pierre Henry Labord\'ere+Nizar Touzi2018年3月28日摘要我们证明，对于满足Spence-Mirrlees条件鞅版本的任何给定性能函数，左单调鞅耦合都是最优的，而无需在边缘假设其他结构条件。我们还根据Skorokhod嵌入对左单调耦合给出了新的解释，这使我们能够给出唯一性的简短证明。关键词优化运输；鞅；斯科罗霍德嵌入式AMS 2010学科分类60G42；49N051简介优化运输作为一个数学领域的根源可以追溯到Monge【22】和Kantorovich【19】，他们建立了其现代公式。最近，在Brenier定理[8]和McCann里程碑式的博士论文[21]的推动下，它经历了急剧的发展。该领域现在以其在数学物理和偏微分方程理论到几何和泛函不等式等领域的惊人应用而闻名。关于这一理论的最新解释，我们参考了[28，29，1]。最近，人们还对运输计划必须满足附加鞅约束的最优运输问题感兴趣。这类问题自然会出现在反金融中，但也具有独立的数学意义，例如，反映经典最优运输，它们对鞅不等式的研究具有重要影响（参见[7，14，25]）。早期研究此类问题的论文包括[18，4，12，11，9]，这个主题通常被称为鞅最优运输。在数学金融中，运输技术补充了Skorokhod嵌入方法，以建立独立/稳健的金融模型（我们参考[24，16]了解概述，请参见[2]与最优运输理论的联系）。*图维也纳，马蒂亚斯。beiglboeck@tuwien.ac.at.

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能者818

2022-5-31 02:18:41

通过P26736和Y782-N25支持。+Soci'et'e G'en'erale，全球市场定量研究，pierre。亨利-labordere@sgcib.com.巴黎理工学院，数学研究中心，尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.这项工作得益于ERC高级赠款321111的财政支持，以及金融风险和金融与可持续发展主席。鉴于Brenier定理在最优运输中所起的核心作用，在鞅设置中获得类似结果也是一个有趣的问题。在这个方向上，[5，15]提出了Brenier单调迁移映射的鞅版本。在基本概率分布的某些结构性质下，在[15]中建立了单调鞅迁移计划，解决了满足Spence-Mirrlees条件的所有耦合函数的给定变量问题。在本文中，我们表明，对于一般的连续分布u，ν，这实际上是正确的。一个基本结果是单调鞅运输计划是唯一的。然而，最初的推导（[5]）是复杂的，依赖于势函数的微妙性质和精细的近似过程。我们提供了这一结果的简短概念证明。这是基于与经典斯科罗霍德嵌入问题的新联系，这可能是独立的兴趣所在。正则空间上的2鞅最优输运Ohm := R×R，我们用（X，Y）表示正则过程，即X（X，Y）=X和Y（X，Y）=Y表示所有（X，Y）∈ Ohm. 我们也用PRand P表示OhmR上全概率测度的集合Ohm, 分别地对于固定u，ν∈ P在第一时刻，我们对以下P的子集感兴趣Ohm:P（u，ν）：=P∈ POhm: 十、~Pu，Y~Pν, （2.1）M（u，ν）：=P∈ P（u，ν）：EP【Y | X】=X，u- a、 s。. （2.2）集合P（u，ν）不为空，因为它包含产品度量值u ν。

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大多数88

2022-5-31 02:18:45

通过Strassen[27]的经典结果，我们还知道M（u，ν）是非空的当且仅当u 对流序中的ν，即u（g）≤ ν（g）对于所有凸函数g.（2.3），我们假设c：Ohm -→ R是与c的可测耦合函数≤ 一⊕ B对于某些a∈ L（u）和b∈ L（ν）。这里是a⊕ b（x，y）：=a（x）+b（y）表示所有（x，y）∈ Ohm.那么EP[c（X，Y）]是R中定义良好的标量∪ {-∞}. 鞅最优运输问题，如【4】中介绍的离散时间情形和【13】中所述，定义为：P（c）：=P：=支持∈M（u，ν）EP[c（X，Y）]。（2.4）该问题的动机是金融数学中的无模型超边缘问题：D：=D（c）：=inf（Д，ψ）∈Du（ν）+ν（ψ）, （2.5）其中，表示h（x，y）：=h（x）（y- x）适用于所有（x，y）∈ Ohm,D：=（Д，ψ）：Д+∈ L（u），ψ+∈ L（ν）和ν⊕ ψ+h≥ c、对于一些h∈ L∞（R）. （2.6）在【4】中确定了以下结果。定理2.1。Letu ν∈ PR，并假设c∈ 南加州大学(Ohm) 带c≤ 一⊕ b对于某些低阶连续函数a∈ L（u），b∈ L（ν）。然后P=D，P=EP*[c（X，Y）]对于某些P*∈ M（u，ν）。我们还回顾了[5]的变分结果，它提供了最优鞅测度P的一个特征*.定理2.2（单调性原理）。Letu ν∈ 那么，如果P*∈ M（u，ν）是P的解，存在一个支撑（即Borel集Γ Ohm 带P*[（X，Y）∈ Γ]=1）对于所有P∈ P（u，ν），u，ν∈ 提供有限支持的项目和支持（P） Γ，我们有c（X，Y）≥ EP公司c（X，Y）对于所有P∈ P（u，ν），其中EP【Y | X】=EP【Y | X】。不存在对偶间隙（如定理2.1所示）意味着与定理2.2中给出的结果类似的变量结果，这一事实在运输文献中是众所周知的，参见。g、维拉尼的书【28，第88页】。【30，3，6】中提供了定理（2.2）的扩展，参见【2】中适用于斯科罗霍德问题的变体。

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可人4

2022-5-31 02:18:48

特别是Zaev【30】获得了定理2.2的一个版本（作为其结果的特例），并在对偶P=D成立的假设下进行了简单的证明。为了方便读者阅读，我们报道了扎耶夫的论点【30】。证据容许对偶函数φn，ψn，hn，n的Pick序列≥ 1使得u（φn）+ν（ψn）→ P和fix P*∈ M（u，ν），使得EP[c（X，Y）]=P，因为φn⊕ ψn+hn≥ c和P*[φn（X）+ψn（Y）+hn（X）（Y- 十） ]=u（φn）+ν（ψn）→ P=EP*[c（X，Y）]可以得出φn⊕ ψn+hk.kL中的ntends到c（P*). 通过对一个子序列的传递，我们发现这种收敛在一个具有P的集合上是逐点的*（Γ）=1。假设P∈ P（u，ν），u，ν∈ 提供有限支持的项目和支持（P） Γ，和P∈ P（u，ν）满足EP【Y | X】=EP【Y | X】。注意，然后EP[h（X）（Y- 十） ]=EP【h（X）（Y- 十） ]适用于任意函数h。因此，我们得到ep[c（X，Y）]=limnEP[φn（X）+ψn（Y）+hn（X）（Y- 十） ]=limnEP[φn（X）+ψn（Y）+hn（X）（Y- 十） ]≥ EP【c（X，Y）】，因此Γ符合要求。tu3单调运输计划以下定义源自【5】。定义3.1。我们说P∈ 如果存在支撑（即Borel集Γ），则M（u，ν）为左单调（分别为右单调 R×R，带P[（X，Y）∈ Γ]=1）使得对于所有（x，y），（x，y），（x，y）∈ Γ当x<x（分别为x>x）时，必须保持y6∈ （y，y）。虽然扎耶夫的论点更直接和直观（在我们看来），但[5，3]的方法也适用于对偶P=D可能失败的情况（例如，如果c不是定理2.1意义上的上界），我们以稍微更一般的形式陈述了定理2.2。这一概念的相关性主要是由于以下极值结果表明，对于一类鞅运输问题，单调鞅耦合测度是最优的。定义3.2。

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大多数88

2022-5-31 02:18:52

我们说函数c:R×R-→ 如果c是可测量的，且与x和cx（x，）连续可微，则满足鞅-斯宾塞米尔斯条件x在R上是严格凸的∈ R、 [15，备注3.15]中引入了鞅Spence-Mirrless条件，参见[17，定义4.5]。定理3.3。假设性能函数c:R×R-→ 满足鞅Spence-Mirrlees条件。那么，任何解P*鞅输运问题的解是左单调的。特别是对于所有u ν∈ PR，存在左单调迁移计划。证据最后一个存在结果是最大化子P存在的结果*关于满足定理2.1条件的性能函数c的问题P（c）。让P*是鞅输运问题P的一个解，相反，假设P*不是左单调。设Γ为P的任意支撑*. 通过定义左单调性的概念，我们可以发现标量x<x，y<y<y，如（x，y），（x，y），（x，y）∈ Γ。然后我们介绍：P：=λδ（x，y）+（1- λ） δ（x，y）+δ（x，y），P：=δ（x，y）+λδ（x，y）+（1- λ） δ（x，y）,式中λ∈ （0，1）由λy+（1）定义- λ） y=y。显然，Supp（P）={（x，y），（x，y），（x，y）} Γ。此外，RP（dx，.）=RP（dx，.）=u（dx）：=（δx+δx）（dx）。类似地，RP（，dy）=RP（，dy）=ν（dy）：=（λδy+δy+（1-λ） δy）（dy）。这表明P，P∈ P（u，ν）。我们还直接计算出EP[Y | X=X]=EP[Y | X=X]=λY+（1- λ） yand EP[Y | X=X]=EP[Y | X=X]=Y，从λ的定义来看，这表明EP[Y | X]=EP[Y | X]。然后我们可以应用变分定理2.2，并得出以下结论：EP[c（X，Y）]≥ EP[c（X，Y）]，即（X）：=λc（X，Y）+（1- λ） c（x，y）- c（x，y）≥ g（x）。现在我们证明了这个不等式与鞅Spence-Mirrleescondition相矛盾。

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nandehutu2022

2022-5-31 02:18:56

事实上，由于c在x中是连续可微的，我们有g（x）- g（x）=Zxxλcx（ξ，y）+（1- λ） cx（ξ，y）- cx（ξ，y）dξ>0，其中严格不等式源自密度cxin y的严格凸性∈ R、 Tu对于一个无原子度量u，下面从[5]中报告的简单结果表明，左（和右）单调鞅输运计划的结构非常简单。也就是说，支持集中在两个图上。提案3.4。Letu ν为凸序，并假设u没有原子。让P∈ M（u，ν）是左单调迁移计划。然后存在函数Tu，Td:R-→ R带TD（x）≤ x个≤ Tu（x），{Td（x）=x}={Tu（x）=x}，并且p（dx，dy）=u（dx）q（x）δTu（x）+（1-q（x））δTd（x）（dy）带q（x）：=x- Td（x）Tu（x）- Td（x）{Td（x）<Tu（x）}。此外，该对（Td，Tu）是唯一的u- a、 e.满意度：1。Tuis非递减。2、如果x<y，则Td（y）/∈ （Td（x），Tu（x））。给定无原子概率测度u的左单调输运规划的结构，我们将这种鞅输运测度称为左单调输运映射。命题3.4应与标准最优运输问题中的情况进行比较，在标准最优运输问题中，Fr’echet-Hoe-ffing耦合定义了一个集中在一个图上的运输计划，该图同时解决了Monge和Kantorovich问题。显然，我们不能期望鞅传输映射集中在一个图上，因为这意味着鞅是确定性的，因此是常数，这只能在退化情况下发生u=ν。鞅输运问题P的以下唯一性结果是命题3.4的直接结果。提案3.5（参见【5，第5.1节】）。Letu，ν∈ PRbe应确保u ν在对流序中，u没有原子。设c:R×R-→ R是满足鞅Spence-Mirrlees条件的性能函数。

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可人4

2022-5-31 02:19:00

那么，对于马丁格尔输运问题P（c），至多存在一个解。证据假设P（c）有两个解Pand Pin M（u，ν）。根据Thorem 3.3和命题3.4，可以得出Pand-Pare都是左单调的，并且都集中在两个图上。接下来，我们考虑概率度量“P：=（P+P）/2。很明显，\'P∈ M（u，ν）和E'P[c（X，Y）]=EP[c（X，Y）]=EP[c（X，Y）]，因此'P也是P（c）的溶液。然而，这与定理3.3和命题3.4相矛盾，因为“P”集中在两个以上的图上。tu4左单调传递映射的唯一性在[5]中建立，对于固定的边缘u，ν存在一个唯一的左单调传递映射，单位为M（u，ν）。由于最初的论点相当冗长，而且可能不完全透明，因此似乎有必要重新讨论这一基本（但重要）结果。在本文的其余部分中，我们假设u没有原子，我们假设P和相应的P：=（Td，Tu），如命题3.4所示。我们的目的是证明P是M（u，ν）中唯一的左单调变换平面。为此，我们利用一个左单调鞅迁移计划给出了Skorokhod嵌入问题的一个特殊解：对于测度u，ν，在凸序下，Skorokhod问题是构造一个停止时间τ，对于B中开始的布朗运动~ u，Bτ的分布等于ν。我们参考[24，16]了解最近关于Korokhod嵌入问题的调查。通常，人们有兴趣找到Skorokhod问题的最小解，即除了Bτ之外的一个最小映射时间~ ν满足所有σ≤ 带Bσ的τ~ ν1具有τ=σ。门罗（Monroe）[23]在u=δ的情况下引入了这一概念，考克斯（Cox）[10]进一步将其扩展到一般启动定律的情况。我们首先观察到，命题3.4中引入的一对映射TP=（Td，Tu）建议引入停止时间τP：=inft>0:Bt6∈Td（B）、Tu（B）.

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mingdashike22

2022-5-31 02:19:03

（4.1）提案4.1。设B是从B开始的布朗运动~ u。然后（B，BτP）~ P、 τPis是最小停止时间。证据（B，BτP）~ P通过构造是明确的。接下来，由于τPis是命中时间，我们现在证明它是从u开始的ν的最小嵌入。门罗（Monroe）[23]（在定义1之后）观察到具有起始度量δ的命中时间最小，我们在这里报告了完整的论点，以强调这一结果很容易扩展到任意起始度量u。表示A：=Td（B）、Tu（B）. 停车时间σ≤ τP，我们有{BτP/∈ A} {Bσ/∈A} 。那么，如果σ也嵌入ν，那么{BτP/∈ A} ={Bσ/∈ A} ，并等效{BτP∈ A} ={Bσ∈ A} 。由于τPis是A的第一个退出时间，这意味着在事件集{σ<τP}上，我们有BτP/∈ A而Bσ∈ A、然后{BτP∈ A} ={Bσ∈ A} 意味着τP=σA.s.Tu在Skorokhod嵌入问题中，屏障是R×R的可测子集，因此对于屏障中包含的任何点（x，y），整条线[x，∞) ×{y}是势垒的子集。我们使用映射Tu、Td来定义barrierR：=Ru∪ Rdwith Ri：=[x∈R[Ti（x）- x，∞) ×{Ti（x）}，i∈ {d，u}。（4.2）接下来，我们引入另一个被定义为该障碍物第一次击中时间的停止时间：τR：=inf{t：（Bt- B、英国电信）∈ R} 。（4.3）很明显，τR≤ τP.以下重要结果表明，事实上等式成立。引理4.2。停车时间τRandτPare相等。尤其是τRis a最小停止时间和（B，BτR）~ P、证明。我们只关注非平凡不等式τR≥ τP.为了看到这一点，我们将验证从x开始的布朗路径在（Tu（x）中到达R-x、 Tu（x））或in（Td（x）-x、 Td（x））。事实上，假设布朗路径碰到了势垒BτR的不同线∈ [Td（y）-y∞)×{Td（y）}或BτR∈ [Tu（y）- y∞) ×{Tu（y）}，对于某些y 6=x。

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kedemingshi

2022-5-31 02:19:06

从我们的构造（见图1）中，我们观察到，y>x和轨迹STD（x）xTu（x）Tu（x）- xTd（x）- xBt公司- BBtRB公司~ uBτ~ νBrownianFigure 1：作为势垒型嵌入的左单调耦合：左部分描述势垒R的构造。右侧显示集合R如何在这个特定相图中产生势垒型停止时间在BτR的情况下∈ [Td（y）-y∞) ×{Td（y）}，我们有Td（x）<Td（y）<Tu（x），与命题3.4的性质2相矛盾在BτR的情况下∈ [Tu（y）-y∞)×{Tu（y）}，我们有Tu（y）<Tu（x），与命题3.4的性质1相矛盾。因此，τR=τP，且最小值性质源自命题4.1。因此，tuWe根据Skorokhod问题的Abarier型解，对左单调运输计划进行了解释。这种解释对我们的目的很有用，因为它允许我们使用Loynes[20]的一个简短论点（它反过来又建立在根[26]的基础上），来表明只有一个左单调迁移计划。引理4.3（参见Loynes[20]）。设P，Pbe左单调鞅运输计划inM（u，ν），相应的映射TP=（Tiu，Tid）满足命题3.4的条件，并用RPi，i=1，2表示（4.3）中定义的相应势垒。然后τRP=τRP，a.s.证明。对于集合a R、我们缩写为Ri（A）：=RPi∩ （R×A），i=1，2。表示K：=x:m（x）<m（x）其中mi（x）：=inf{m：（m，x）∈ RPi}，i=1，2。固定轨迹（Bt）t=（Bt（ω））t∈ K、然后（Bt- B、 Bt）在进入R（KC）之前先稀释R（K）。但之后（Bt- B、 Bt）塔尔索在进入R（KC）之前击中R（K）。亨塞布τRP∈ K级==> BτRP∈ K、由于两个停止时间都嵌入了相同的度量，因此这一含义几乎肯定是等价的，我们可以设置OhmK： ={BτRP∈ K} ={BτRP∈ K} 。在…上OhmKwe haveτRP≤ τRPwhileτRP≥ τRPonOhmCK。

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nandehutu2022

2022-5-31 02:19:10

然后，对于所有Borel子集A R:PBτRP∧τRP∈ A.= PBτRP∈ A、 BτRP∈ K+ PBτRP∈ A、 BτRP∈ Kc公司= PBτRP∈ A、 BτRP∈ K+ PBτRP∈ A、 BτRP∈ Kc公司= PBτRP∈ A.,自BτRPi~ ν。因此τRP∧τRp嵌入ν。类似地，我们看到τRP∨τRp也嵌入ν。由于τRP和τRP都是最小嵌入，我们推断τRP∧ τRP=τRP∨ τRP，因此τRP=τRP。tuAs Tu，Td可以从停止时间中恢复u-a.s。τRit表明Tu，Td是唯一确定的，我们得到了定理4.4。假设u ν和u没有原子。u，ν精确地存在一左单调鞅耦合。备注4.5。在文献[5]中，定理4.4是在不假设u没有原子的情况下证明的。可以使用目前的方法来确定这一更普遍的结果；basicidea将度量u表示为setL上的无原子度量u：=[x∈Suppu{x}×[0，u（{x}）]。由于上述引申到更一般情况的论点是直截了当的，并且结果是从[5]中知道的，因此我们不进行详细阐述。最后，我们给出了单调鞅迁移计划的Skorohod嵌入解释的一个附加性质。提案4.6。流程B∧τRis是一致可积鞅。证据根据命题4.1和引理4.2，τR=τPis是具有起始度量u的ν的最小嵌入。自E起BτP= E[B]，我们从引理12和定理17 inCox[10]中知道，极小值等价于过程B的一致可积性∧τP。为方便读者，我们还提供了设置中一致性的直接证明。观察B∧τP∈Td（B）、Tu（B）, a、然后，条件B，过程B∧τP是有界鞅。根据Jensen不等式，这提供了φ（Bt∧τP）| B≤ Eφ（BτP）| B, a、 s。

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何人来此

2022-5-31 02:19:14

对于所有凸函数φ。特别是，对于任何常数c>0:E|英国电信∧τP | 1 | Bt∧τP|≥c≤ E2 | Bt∧τP |- c+≤ E2 | BτP |- c+,它提供了过程B的一致可积性∧τP。图参考文献[1]L.Ambrosio和N.Gigli。最佳运输用户指南。《网络流量建模与优化》，数学课堂讲稿2062卷。，第1-155页。施普林格，海德堡，2013年。[2] M.Beiglb¨ock、A.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokhod嵌入。发明数学2016年出版。[3] M.Beiglb¨ock和C.Griessler。最优性原理及其在最优性运输中的应用。ArXiv e-prints，2014年4月。[4] 贝格洛克先生、亨利·劳德埃先生和彭克纳先生。期权价格的模型独立界限：大众运输方法。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。[5] M.Beiglb¨ock和N.Juillet。关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。概率。，44（1）：42–1062016年。[6] M.Beiglb¨ock、M.Nutz和N.Touzi。线上鞅最优运输的完全对偶性。安。概率。，2016年出版。[7] B.Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。《应用概率年鉴》，25（2）：823–8592015。[8] Y.Brenier。D'ecomposition polaire et r'arrangement单调的矢量冠军。C、 R.Acad公司。Sci。巴黎塞尔。我学数学。，305（19）：805–8081987年。[9] L.Campi、I.Laachir和C.Martini。二边鞅输运问题中数值的变化。财务Stoch。，2017年6月发布。[10] A.M.G.考克斯。扩展Chacon-Walsh：最小值和广义起始分布。在《数学课堂讲稿》1934卷S'eminaire de probabilit'es XLI中。，第233-264页。柏林斯普林格，2008年。[11] 多林斯基和索纳。鞅最优运输和鲁棒套期保值不连续时间。概率。理论关系。

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mingdashike22

2022-5-31 02:19:19

Fields，160（1-2）：391-4272014。[12] A.Galichon、P.Henry Labord\'ere和N.Touzi。一种随机控制方法，用于给定边缘的无轨边界，并应用于回溯选项。安。应用程序。概率。，24（1）：312–3362014。[13] A.Galichon、P.Henry Labord\'ere和N.Touzi。一种随机控制方法，用于给定边缘的无轨边界，并应用于回溯选项。《应用概率年鉴》，24（1）：312–3362014。[14] P.Henry Labord\'ere、J.Ob l\'oj、P.Spoida和N.Touzi。给定n个边值的阿马丁格尔最大值。安。应用程序。概率。，26（1）：2016年1月1日至44日。[15] P.Henry Labord\'ere和N.Touzi。一维Brenier定理的显式鞅版本。财务Stoch。，20（3）：635–6682016年。[16] D.霍布森。Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型无关界。巴黎普林斯顿2010年数学金融讲座，2003年数学课堂讲稿。，第267-318页。柏林斯普林格，2011年。[17] D.Hobson和M.Klimmek。为方差掉期建立独立对冲策略模型。ArXiv e-prints，2011年4月。[18] 霍布森和纽伯格。前向启动选项的鲁棒边界。MathematicalFinance，22（1）：31–562012。[19] L.坎托洛维奇。关于群众的迁移。C、 R.（Doklady）Acad。Sci。URSS（N.S.），37:199–2011942。[20] R.M.Loynes。布朗运动的停止时间：根结构的一些性质。Z、 WAHRSCHEINLICHKEITSTOREIE和Verw。Gebiete，16:211–2181970年。[21]R.McCann。相互作用气体和平衡晶体的凸性理论。普林斯顿大学博士，1994年。【22】G.Monge。德布雷斯和雷姆布雷斯理论备忘录。巴黎科学史，1781年。【23】I.梦露。关于在布朗运动中嵌入右连续鞅。安。数学统计员。，43:1293–13111972。【24】J.Ob l'oj。

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