最优Skorokhod嵌入问题的优良性质

2022-6-14 06:42:53

最优SkorokhodEmbedding问题的精细性质*Mathias Beiglb"ock+Marcel NutzFlorian Stebegg§2020年4月15日摘要我们研究在给定分布ν下停止布朗运动的问题，同时优化取决于（可能随机的）停止时间和布朗运动的奖励函数。我们的第一个结果表明，停止时间嵌入ν的集合T（ν）在随机嵌入的集合R（ν）中是弱稠密的。特别是，当奖励函数为半连续时，T（ν）上的最优Skorokhod嵌入问题与R（ν）上的松弛嵌入问题具有相同的值，这与最优传输中Monge-mapsand-Ka-ntorovich耦合的一个基本结果平行。第二部分研究线性规划意义下的对偶优化问题。虽然在以前的公式中对偶解的存在性是失败的，但我们引入了对偶问题的松弛，这拓展了一个新的紧性性质，并产生了解的存在性以及对偶映射的不存在性，即使对于不规则的奖励函数也是如此。这导致了一个单调性原则，它补充了Beiglb"ock、Coxand Huesmann的关键定理【最优传输和Skorokhod嵌入，发明数学，208:327–4002017】。我们证明了这些结果可以通过一个变分条件来刻画最优嵌入的几何性质。Skorokhod包埋；随机停止时间；DualityAMS 2010学科分类60G4 0；60G44；90C08*作者感谢两位匿名推荐人的详细评论。+维也纳大学数学系，mathias。beiglboeck@univie.ac.at.Research由FWF拨款Y-782支持哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.阿尔弗雷德·P·斯隆奖学金和国家科学基金会资助的研究资助了DMS-1512900和DMS-1812661。

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2022-6-14 06:42:57

MN感谢Alex Cox和JohannesRuf分别就第6节和第7.1节进行了有益的讨论。§哥伦比亚大学，佛罗里达州圣统计学系。stebegg@columbia.edu .1简介给定一个中心且适当可积的概率分布ν和aBrownian运动B，Skorokhod嵌入问题【79】包括找到嵌入ν的停止时间τ；也就是说，Bτ具有分布ν。存在许多解，我们用T（ν）表示所有这些τ的集合。示例包括经典的根嵌入[77]和Rost嵌入[78]；有关各种解决方案的调查，请参见[71]。最优Skorokhod嵌入问题是最大化（或最小化）τ上的期望E[Gτ]∈ T（ν），其中gt=G（Bs）s≤t、 t）是适应的功能。例如，根嵌入使E[τ]最小，Rost嵌入使其最大；参见[78]。与最佳Skorokhod嵌入相关的一些早期工作有【16、47、53、61】。最近，出现了与概率、分析和金融领域众多问题的联系，以及诸如多边际c as e[7、24、42]等扩展，并导致了大量活动；我们参考[48]了解更多参考文献的调查。文献[6]提出的一个观点是沿着最优运输理论的路线来研究Skorokhod嵌入：最优停车时间类似于Monge对维纳测度和ν之间的最优运输问题的解决方案。嵌入问题的更一般公式允许随机停止时间；这可以解释为使用扩大过滤或允许外部随机化（见定义2.1）。相应的集合表示为R（ν），并给出了最优Skorokhod嵌入问题的松弛公式。

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2022-6-14 06:42:59

继续类比，随机停车时间对应于康托洛维奇意义上的运输。我们参考[4、74、75、83、84]了解最佳运输的背景。在关于最优Skorokhod嵌入问题的现有文献中，已经发现了一些特定奖励函数G的最优嵌入；e、 g.，[23、47、50、51、52]。在这些例子中，最优嵌入通常是唯一的，并且属于停止时间的T（ν）类，即使事先允许随机停止时间。另一方面，结果考虑到最优Skorokhod嵌入问题的一般结构，如[6，41，42]，使用具有随机停止时间的公式。因此，一个显而易见但尚未解决的问题是如何弥合这一差距：何时可以通过停车时间实现随机停车时间上的最大值？更一般地说，随机停止时间是否可以用适当意义上的停止时间来近似？与经典最优运输理论的类比是显而易见的。虽然坎托洛维奇松弛对发展该理论至关重要，但大多数特殊兴趣的例子都会导致Monge意义上的运输图。例如，Brenier定理指出，如果第一个边际测度是绝对连续的（或者更一般地说，是正则的[62]），则二次成本（或者改变符号后的回报）的最优运输由凸函数的梯度给出。当第一个边缘是无原子的时，在[3]中显示，Monge运输形成了Kantorovich耦合的稠密s子集，Monge和Kantorovich运输问题的值符合有界连续奖励函数。这个结果在[73]中推广到无界连续函数；有关相关密度特性的调查，请参见[59]。在本文的第一部分中，我们为最优Skorokhod嵌入问题提供了可比较的结果。

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2022-6-14 06:43:03

在定理2.3中，我们证明了当报酬泛函G在时间上是下半连续的时，T（ν）和R（ν）上的最优嵌入问题具有相同的值。当G不是下半连续时，该断言可能失败（例2.4），该失败突出了与无规则条件下的随机停止时间的类近似结果的对比【5、27、34、37】：固定嵌入目标ν给出的约束与经典结果和技术不兼容。在定理3.1中，我们建立了更一般的结果，即T（ν）对于弱收敛，R（ν）是稠密的。我们的证明是有建设性的，并深入了解了当Gis不规则时第一个结果可能失败的原因。简而言之，我们的想法是使用布朗路径的一个短初始段作为问题其余部分的随机化工具。事实上，我们证明了对于随机停止时间ξ∈ R（ν）和不依赖于路径初始段的回归函数G（在某种意义上要精确），在ξ处停止的G的期望值可以通过停止时间τ精确计算∈ T（ν），无需任何近似（参见命题3.9）。这些想法在文学作品中似乎很新颖。R（ν）上的最优Skorokhod嵌入问题是一个带约束的线性规划问题，因此具有对偶规划问题。形式上，对偶问题的域是所有对（M，ψ）的集合，其中M是M=0且ψ：R的鞅→ R是Mt+ψ（Bt）这样的函数≥ Gtfor t公司≥ 然后，对偶问题包括在所有这类对（M，ψ）上最小化ν（ψ）：=Rψdν。更具体地说，[6]使用满足二次增长条件的鞅M，相对于连续且满足增长条件的带函数ψ，或者[42]使用类似的函数ψ和超鞅M。

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2022-6-14 06:43:06

这种双重问题已经在许多例子中被用来帮助确定特定的最优Korokhod嵌入；e、 g.，[22、23、25、44、47、50、51]。此外，在[6]（另见[41]）中，它在推导一般单调性原则方面起着至关重要的作用，该原则描述了代表最佳Skorokhod嵌入时间的障碍。虽然在这些特例中发现了对偶解，但在[6]中观察到对偶问题通常没有解；也就是说，没有达到最小值。我们参考调查[48]以获取更多参考。本文的第二部分介绍了对偶问题的一种新的松弛方法，并证明了其解的存在性以及对偶间隙的存在性。这两个结果都是在G没有连续性条件的情况下得到的，因此平行于Kellerer定理[58]在非最佳传输中的普遍性，并改进了在没有对偶gapin的情况下的结果[6，42]。我们的设置中没有以前存在的结果。我们可以提到[39]在不同的双重问题中实现PDE方法。这里，奖励G由指数衰减的连续、有限维Allagrangian积分给出，边缘在紧支撑下是绝对连续的。值得注意的是，[39]允许多维布朗运动。即使G是连续且有界的，我们的主要问题是鞅分量缺乏紧性。广义地说，对于给定的极小化序列（Mn，ψn），函数ψnma可能有较大的正值，因此不等式Mnt+ψn（Bt）≥ -公斤-k∞不会立即导致Mn的下限。另一方面，在没有下界的情况下，连续时间（超）鞅的s等式的极限可能不是超鞅。

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2022-6-14 06:43:09

我们放松的一个关键特征是处理在集合上具有一致下界的局部鞅，其中布朗运动有界且有界远离ν支撑的极值。事实证明，在这样的集合上，我们可以获得足够的紧性，同时保留对偶的“弱”一面。不那么令人惊讶的是，我们的函数ψ仅在L（ν）中，而不是连续的。我们提供了一个反例，表明如果我们的对偶结果是反（超）鞅或连续函数，那么我们关于对偶的正结果可能会失败；参见第7节。文献[12]（另见文献[11]）中给出了单周期鞅最优运输问题的类似对偶结果。上述主要压实度问题不会在该设置中出现；基本上，鞅的极限在离散时间条件下仍然是鞅。我们证明的一个软部分与[12]有重叠，即使用能力理论将连续奖励泛函推广到可测量奖励泛函。鞅最优运输是指运输被约束为鞅的运输问题。最初是出于金融应用中的模型不确定性[47]，围绕这一主题出现了丰富的文献；s曲线见[48、71、82]，离散时间模型见[1、8、15、9、18、19、31、35、38、40、54、67、69、70、85]，连续时间见[14、20、23、32、33、36、44、45、46、49、56、66、68、80、10、81]。其中许多工作利用了与Skorokhod嵌入问题的联系。特别地，最优Skorokhod嵌入问题可以通过时间变化与两个边缘之间的连续时间鞅传输相关。虽然对于后一个运输问题，具有双重存在性的双性理论一直是难以捉摸的，但由于紧性问题是相似的，本文中的论点预计会导致这样的结果。

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2022-6-14 06:43:12

这将在未来的工作中进行调查。我们关于对偶性的结果允许我们在[12]的精神中，在G上的可积条件下推导出一个单调性原理。即，存在一个表征所有最优嵌入的通用支撑：ξ∈ R（ν）等时当且仅当ξ（Γ）=1。这补充了文献[6]中的单调性原理，该原理给出了支撑上的几何条件，这是最优性所必需的，但不是有效的。相比之下，我们的结果产生了一个必要且有效的条件。然而，通过将Γ构造为一个集合，其中AdualOptimizer等于奖励函数（我们在第6节中举例说明了如何利用它来获得更具体的几何陈述），支撑的几何结构以较弱的形式描述。如何统一这些结果是未来研究的一个有趣的问题，尽管目前的概念和知识似乎无法给出答案。值得注意的是，可积条件对于任何单调性原理的成立都是至关重要的；实际上，我们提供了一个令人惊讶的例子，表明对于一般G，嵌入的最优性不能用支持来表征。这与经典最优运输中的循环单调性【84】以及【12】的结果形成了对比，后者表明运输的最优性可以通过其几何特征来表征，具有极大的普遍性。在第6节中，我们说明了我们关于对偶存在性的结果对于描述具体情况下最优Skorokhod嵌入的几何结构非常有用。也就是说，我们专门研究一类特殊的凸凹向函数Gt=g（t），这类函数产生的嵌入可以表示为（t，x）-平面中由左和右边界组成的集的命中时间。

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2022-6-14 06:43:14

[6]中介绍了这类具有双重边界的“洞穴”嵌入，统一了根和冠的边界。与toRoot和Rost的相反，这些屏障不是由ν单独决定的，而是取决于函数g的细节，并且[6]中的参数不会导致最佳屏障的非特征化。我们通过一个变分条件提供了这样的特征，这在很大程度上受到了研究不同类别奖励函数的[22]的启发。该条件与自由边界问题的光滑性原则有关，因此最优性的有效性以验证参数的形式出现也就不足为奇了。在[22]中，必要性的证明是通过在单独的论文[21]中进行的离散化进行的一次令人印象深刻的旅行。利用我们关于对偶存在性的结果，我们可以提供更直接的证明。首先，我们证明了当奖励函数是马尔可夫函数（即时间和当前状态的确定函数）时，抽象鞅Min对偶可以被两个变量的函数代替。然后，我们可以应用相对频繁的概率参数来推导变分特征。重要的是，我们的证明揭示了类似的条件应该扩展到更一般的嵌入类，并且还表明可以通过二次最大化得到停止边界的正则性结果。这些方面将在单独的工作中进行调查。本文的其余部分组织如下。第2节详细介绍了最优Skorokhod嵌入问题，并说明了正则奖励函数的随机和非随机停止时间公式的等价性。第3节给出了证明，其中更一般地说明了随机停止时间如何可以近似为非随机停止时间。

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能者818

2022-6-14 06:43:17

第4节介绍了松弛对偶问题并给出了解的存在性。第5节证明了不存在对偶间隙，其中我们还陈述了单调性原则。在第6节中，我们讨论了洞穴嵌入，并利用我们的抽象结果描述了最佳屏障。第7节收集了关于对偶问题公式和单调性原理的反例。为了说明的简洁性，我们在整篇文章中对ν使用了一个二阶矩条件。附录A解释了如何在没有太大影响的情况下，用一个确定的时机来取代这一点。2原始问题集C（I）是连续实值函数集ω=（ωt）t∈iω=0，对于任何间隔0∈ 我 R、我们用S表示S顶连续路径的空间；也就是说，对（ω，t）与t∈ R+和ω∈ C（[0，t]）。Theset S是由metricd（（f，S），（g，t））=| t诱导的拓扑下的波兰空间- s |∨ supu公司≥0 | fu∧s-顾∧t |。我们注意到，any（ω，t）∈ C（R+）×R+投射到S的一个元素（ω|[0，t]，t）。相反，我们可以将S嵌入到C（R+）×R+，比如以恒定的方式继续任何停止的路径。有时会隐式使用此标识。我们定义了一个奖励函数G:S→ [0, ∞]. 任何这样的G都可以被视为正则空间C（R+）上的“适应”过程（在Galmarino检验的意义上），因为Gt（ω）：=G（ω，t）仅依赖于ω|[0，t]。如果G是可测量的，则当C（R+）上的可选过程配备（原始）标准过滤F=（Ft）t时，可将其识别为C（R+）上的可选过程≥0由坐标映射过程B生成；i、 e.，Ft=σ（Bs，s≤ t）其中Bt（ω）=ωtfor（ω，t）∈ C（R+）×R+。相反，任何自适应（可选）过程都会在S上产生一个函数（Borel函数）。我们记得，关于F，任何可测量的自适应过程都已经是可选的（甚至是可预测的），请参阅[29，No.IV.94–103，pp。

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2022-6-14 06:43:20

145–152]或[6，第3节]，进一步了解道路空间及其过滤的背景。我们用维纳测度W来装备C（R+），使得B是一个具有初始分布B的标准布朗运动~ δ. 在下文中，概率概念通常指维纳测度和规范过滤，除非给出不同的上下文。所有度量空间都配备了它们的Borelσ场，（in）过程的等式要理解到消失（意味着例外集的投影为W-null）和（in）随机变量的等式几乎是确定的意义。考虑具有有限二阶矩的R上的中心分布ν（但关于有限一阶矩的概括，请参见附录a）。设T为所有a.s.有限F-停止时间的集合，T（ν）为所有τ的子集∈ t使E[τ]<∞ 和Bτ~ ν. 集合T（ν）是非空的；若干经典嵌入τ∈ T（ν）可以在[71]中找到。关于停止时间的最优Skorokhodembedding问题isST（G）=supτ∈T（ν）E[Gτ]。这里和下面，当被积函数不可测时，使用外积分。最优Skorokhod嵌入问题通常与随机停止时间有关，定义如下。定义2.1。如果几乎所有ω和ω7的ξω（R+）=1，则分解ξ（dω，dt）=W（dω）ξω（dt）的C（R+）×R+上的概率测度ξ是随机停止时间→ ξω（[0，t]）对于所有t是Ft可测量的≥ 0.我们用R表示随机停车时间集。我们强调，我们的随机停车时间定义为停车时间。我们可以用规范的方式将T嵌入R中：τ映射到随机停止时间ξτ，核ξτω：=Δτ（ω）。嵌入后的图像用RT表示；我们将其元素称为非随机stoppin g次。

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nandehutu2022

2022-6-14 06:43:23

我们注意到R和Kantorovichtransports与RTA和Monge transports之间的类比。定义2.2。集合R（ν）由所有随机停止时间ξ组成∈ R使得ξ（t）<∞ 和ξo B-1= ν. 我们为非随机停止时间的子集写RT（ν）。这里，t是由t（ω，t）=t给出的投影，这两个条件对应于有限的一阶矩和边缘约束ν。特别是，如果ξ=ξτ表示停止时间，则ξ（t）=E[τ]和ξoB-1是Bτ定律。最优Skorokhod嵌入问题由s（G）=supξ给出∈R（ν）ξ（G），其中ξ（G）：=RG dξ。更简单地说，我们也将其称为pri马尔问题。这是一个明显的问题，文献中以前没有讨论过，给出了一个一般条件，在这个条件下，最优korokhod嵌入问题的两个公式具有相同的值。我们提供的答案是：当奖励函数G有足够的正则路径时。定理2.3。设G:C（R+）×R+→ [0, ∞) 博雷尔和适应，一个傻瓜→ Gt（ω）对于所有ω都是低s emi连续的∈ C（R+）。然后再补充ξ∈R（ν）ξ（G）=supτ∈T（ν）E[Gτ]。证据将在下一节中说明；这是下面定理3.1的结果，对后者的证明也将有助于理解G的正则性在何处以及如何发挥作用。定理2.3应与无约束最优停止的结果进行对比，其中停止时间上的值函数和随机停止时间对于一般可测量的奖励函数是一致的；参见示例【43，定理2.1】。特别是，下面（众所周知）的例子表明，G的下半连续性是定理2.3中的一个重要假设：由边际ν给出的非标准约束显著改变了问题的性质，第3节将对此进行更详细的讨论。示例2.4。

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2022-6-14 06:43:26

设ν有一个质量为a的原子∈ （0，1）在原点，设G为有界上半连续函数G（ω，s）=1{0}（s）。然后再补充ξ∈R（ν）ξ（G）=a>0=supτ∈T（ν）E[Gτ]。实际上，任何τ∈ 满足度W{τ=0}∈ {0，1}根据Blumenthal 0-1law。因此，任何τ∈ T（ν）必须是严格正的a.s.，这意味着e[Gτ]=0。另一方面，我们可以找到ξ∈ R（ν），其中ξ（{0}）=a，任何此类ξ都达到上确界。3固定边缘随机停止时间的近似本节的主要目的是关于C（R+）×R+（通常由该空间上的连续有界函数诱导）上的弱拓扑的密度结果。我们记得RT（ν）是T（ν）在R中的嵌入。定理3.1。设ν为R上具有有限秒矩的中心概率。然后RT（ν）对于弱收敛拓扑，R（ν）是稠密的。同样，这应该与关于（凸组合）停止时间收敛于随机时间的经典结果进行比较，如[5，27，34，37]。通常，这种近似可能不符合边际ν给出的约束。事实上，与无约束设置相反，R（ν）的极值点不一定包含在RT（ν）中（反例可从[6，示例6.19]中推断）。定理2.3的证明。当G有界时，该主张是定理3.1和[55，推论2.9和命题2.11]弱收敛特征的直接结果。（文献[55]的主要观点是，由于我们处理的测度都具有相同的第一个边缘W，弱收敛意味着在有界测试函数下收敛，这些测试函数在t中连续，但仅在ω中可测。）一般G的结果现在遵循单调近似。我们对定理3.1的证明（见本节剩余部分）是有建设性的，并给出了原点奇点（如示例2.4）为什么是障碍的直接见解。

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2022-6-14 06:43:29

作为预测的一部分，一个结果是，对于不依赖于路径初始段的随机停止时间ξ和奖励函数G（在某种意义上是精确的），期望ξ（G）可以通过停止时间τ精确复制∈ T（ν），无需任何近似值（参见下文第3.9条）。3.1定理3.1的证明我们的首要目标是形式化并证明任何ξ∈ R（ν）可以通过随机停止时间来近似，这些时间不会在时间0之后立即停止。任何维的欧几里德范数。定义3。设η>0且τη=inf{t：|（t，ωt）|≥ η}. 我们说，如果ξω（[τη（ω）），则随机停止时间ξ的下界η>0，且远离0，∞)) = 几乎所有ω为1∈ C（R+）。所有这些ξ的集合表示为Rη。我们还设置R+=∪η> 0Rη；任何ξ∈ R+称为以0为界。最后，Rη（ν）：=Rη∩ R（ν）和R+（ν）：=R+∩R（ν）。下限这个术语很方便，但有点滥用：直觉上，ξ∈ 上述Rη表示ξ发生在时间τη之后（但时间τη并非通常意义上的远离零）。更多的符号将很有用。定义3.3。设ω，ω′∈ C（R+），t∈ R+，τ∈ T和ξ∈ R、（i）在时间t粘合的ω和ω′的路径为（ω⊕tω′（s）：=ω（s∧ t） +ω′（s）- t型∨ 0），s≥ 0。（ii）时间t后ω的路径为ωt7→（s）：=ω（t+s）- ω（t），s≥ 0。（iii）随机停止时间ξ移动τ，表示τ⊕ξ、由其内核（τ）定义⊕ξ） ω（[0，t]）：=1τ（ω）<tξωτ（ω）7→（[0，t- τ（ω）]），t≥ （iii）中的定义可以理解为应用于（τ，Bτ）处开始的布朗运动的随机停止时间ξ。例如，如果τ=确定性，ξ=ξσ对应于非随机停止时间σ>0，则τ⊕ξ对应于停止时间（t⊕σ）（ω）=t+σ（ωt7→).引理3.4。

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2022-6-14 06:43:32

对于0<η<1，定义ρ′η（ω）：=inf{t：|ωt |=η}，ρη（ω）：=inf{t≥ ρ′η（ω）：|ωt |∈ {0,√η}}.几乎所有ω∈ C（R+），w有（i）ρη（ω）→ 0为η→ 0，（ii）d（（ωρη（ω）7→, t），（ω，t））→ 0为η→ 0，对于所有t≥ 0.证明。我们证明了（i），（ii）保持所有路径ω的集合i∈ C（R+）最初不是常数；i、 e.，ω|[0，ε]6≡ 0表示所有ε>0。请注意，W（I）=1。（i）如果ω∈ C（R+）使得ρη（ω）不收敛于0，我们可以发现ε>0和序列ηn→ 0，使得ρηn（ω）≥ 对于所有n.尤其是，这意味着SUP≤|ω（s）|≤√η为所有n，因此ω|[0，ε]≡ 0; 也就是ω/∈ 一、（ii）固定ω∈ I和t>0。设η>0足够小，以便ρη（ω）<并考虑一些0<s<t≤ ρη（ω）我们显然有ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤ supu公司≤2ρη（ω）3 |ω（u）|。而对于ρη（ω）<s≤ 我们有|ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤√η+sups≤t |ω（ρη（ω）+s）- ω（s）|。结合这两个不等式，我们得到≤t |ωρη（ω）7→（s）- ω（s）|≤ supu公司≤2ρη（ω）3 |ω（u）|+√η+s ups≤t |ω（ρη（ω）+s）- ω（s）|。由于ω在紧致区间上是一致连续的，当ρη（ω）为→ 0，后者由（i）保持为η→ 0、备注3。5.如果G∈ Cb（C（R+）×R+）和ξ∈ R、那么ξ（G）=ξ（G（B·∧t、根据ξ的适应性性质∈ R、因此，自适应函数G的子集也会导致弱收敛R，而自适应函数G又可以与Cb（S）识别。现在我们可以证明任何ξ∈ R（ν）可以用f从0开始的嵌入来近似，除非在平凡的情况下ν=δ，断言显然失败。提案3.6。设ν6=δ。那么R+（ν）在R（ν）中是弱稠密的。证据当ν6=δ时，其势函数x 7→ uν（x）：=R | x-y |ν（dy）satis uν（0）>0，然后通过uν的连续性，我们甚至有miny∈[-√η,√η] uν（y）≥√η对于η>0足够小。这表明μη：=（δ-√η+ δ√η) ≤cν其中≤C表示凸序。

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2022-6-14 06:43:35

因此，当η>0足够小时，我们可以通过停止时间χη和E[χη]<∞. （相关背景见【71】。）给定ξ∈ R（ν），设ρη如引理3.4所示，并定义一系列随机停止时间ξη∈ R通过其崩解，ξηω：=1{ω（ρη（ω））=0}（ρη⊕ξ)ω+ 1{|ω(ρη(ω))|=√η}(ρη⊕ χη)ω.那么我们有ξη∈ Rη（ν）通过构造。接下来，我们展示ξη→ ξ弱asη→ 设G:C（R+）×R+→ R是有界的、连续的和自适应的，然后ξ（G）=ZC（R）+ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω）=ZC（R）+”ZC（R）+ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω′）。利用布朗增量的平稳性和独立性，我们可以类似地将期望ξη（G）写成ZC（R）+”ω′（ρη（ω′））=0ZC（R）+ZR+G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）ξω（ds）W（dω）+1ω′（ρη（ω′）6=0ZC（R+）×R+G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）χη（dω，ds）#W（dω′）。因此，|ξ（G）- ξη（G）|≤ZC（R+）ZC（R+）ZR+| G（ω，s）- G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）|×ξω（ds）W（dω）#W（dω′）+2kGk∞W{ω′：ω′（ρη（ω′））6=0}。我们注意到W{ω′：ω′（ρη（ω′））6=0}=√η → 0作为Martingale属性的结果。另一方面，引理3.4得出ρη（ω′）→ 0表示所有ω′超理想零集，对于这样的ω′，引理的第二部分和G的连续性意味着| G（ω，s）- G（ω′）⊕ρη（ω′）ω，s+ρη（ω′）|→ 0表示所有ω。通过有界收敛，我们得出|ξη（G）-ξ（G）|→ η为0→ 需要时为0。为了简洁起见，让我们为C（R+）×R+上的有界连续函数集编写cb。接下来，我们引入测试函数的子集，这些测试函数独立于路径的初始段，或者更准确地说，它们的值取决于时间τη之前的路径ω，仅通过当时的水平ωτη（ω）。定义3.7。给定η>0，我们为所有G的s集写Cηb∈ Cb的性质是，如果ω，ω′∈ C（R+）满足τη（ω）=τη（ω′）=：tandω|[t，∞)= ω′|[t，∞), 然后G（ω，t）=G（ω′，t），对于所有t≥ 0

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2022-6-14 06:43:38

我们设置C+b：=∪η> 0Cηb。选择此定义时，应确保单调性cηb η的Cη′b≤ η′（3.1）保持不变。特别地，C+bis是Cηbasη的增长极限→ 引理3.8。C+b诱导的R（ν）上的弱拓扑与通常的弱拓扑一致。证据让G∈ Cb；那么Gk（ω，t）：=G（ωτ1/k（ω）7→, t）定义属于C1/kb的函数 C+b。我们有d（（ωτ1/k（ω）7→, t），（ω，t））→ 0类似于inLemma 3.4和as（Gk）一致有界，这意味着ξ（Gk）→ ξ（G）表示所有ξ∈ R（ν）。因此，C+B分离R（ν）的点；i、 e.诱导的弱顶理论T+是Hausdor ff。因为R（ν）在通常的弱拓扑T中是紧的（例如参见[6，定理3.14]）和T+ 这已经暗示了结果。事实上，从T到T+的单位映射是连续的，并且将紧映射到紧，因此是同胚。一个关键的见解是G∈ C+b，在适当远离零的随机停止时间下的期望由非随机停止时间（精确）复制。特别是，当G∈ cb可归因于路径的初始部分。提案3.9。设η>0和ξ∈ Rη（ν）。然后存在一个非随机停止时间e′ξ∈ Rη（ν），使得所有G的|ξ（G）=ξ（G）∈ 在陈述证明之前，让我们展示如何结合上述结果得出定理3.1。定理3.1的证明。ν=δ的情况微不足道；我们认为ν6=δ。固定ξ∈ R（ν），然后通过命题3.6，我们可以找到ξn∈ R1/n（ν），使得ξn→ ξ. N例如，我们使用命题3.9来查找相应的非随机停止时间ξN∈ R1/n（ν）。让G∈ C+b，然后G∈ Cηb对于某些η>0和所有n≥ 通过（3.1）我们得到了ξn（G）=ξn（G）。

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2022-6-14 06:43:41

特别地，引理3.8暗示（(R)ξn）和（ξn）具有相同的弱极限；也就是说，ξn→ ξ.3.2命题3.9证明的基本思想是将路径的初始段用作随机化装置，因为我们只使用G∈ Cηb不影响G的评估。我们首先陈述了两个辅助结果。设λ为[0，1]上的勒贝格测度。我们认为产品空间“C（R+）：=C（R+）×[0，1]配备有产品σ-字段“F=F”B（[0，1]），产品度量值W=Wλ和产品过滤F。让B为t 7定义的过程→\'Bt（ω，u）=ωtfor（ω，u）∈(R)C（R+）；注意，B是W下的布朗运动。下面的内容是众所周知的（例如参见[6，定理3.8]的证明和随后的引理）。引理3.10。Letξ∈ R具有崩解ξ=W（dω）ξω（ds）。存在F-停止时间ρ，使得ρ（ω，u）=inf{t≥ 0：ξω（[0，t]）≥ u} 对于a.e.（ω，u）∈\'C（R+）（3.2）和\'Wo （\'B，ρ）-1= ξ; 也就是说，对于每个G，E'W[G（'B，ρ）]=ξ（G）∈ Cb。第二个辅助结果与“内部”随机化装置有关，该装置将代替递减引理中的外部随机化（[0，1]，λ）。这有点复杂，因为随机化需要在B级τη（ω）上有条件地实现-实际上，G∈ Cηbis与路径在时间τη（ω）时如何达到该水平无关，但当然与水平本身无关。固定η≥ 我们注意到，在时间τη满足h（ω）时，路径ω的水平h（ω）：=Bτη（ω）∈ (-√η,√η). 此外，τη（ω）=pη- h（ω）仅通过h=h（ω）依赖于ω。给定h∈ R、我们引入setCh：={ω∈ C（R+）：τη（ω）<∞, Bτη（ω）=h}；我们认为Chas是一组初始路径段（因为不会使用τη之后的路径）。给定f∈ Chandω∈ C（R+），我们设定F⊕ ω：=f⊕为简洁起见，τη（f）ω。

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能者818

2022-6-14 06:43:44

我们还用给定Bτη=h的B的条件律表示。也就是说，Whis是一个随机核(-√η,√η） ×C（R+），使得w[A | Bτη=h]=Wh（A）=Wh（A∩ Ch）对于h∈ (-√η,√η）和A∈ B（C（R+）。特别是，W（A）=ZRWh（A）u（dh），u：=定律（Bτη）。引理3.11。所有h的测量都是无原子的∈ (-√η,√η).证据考虑图Φ：C（R+）→ C（R+）由Φ（ω）=ωτη（ω）7给出→.利用布朗增量的平稳性和独立性，推导出了布朗增量的前推公式o Φ-1是维纳测度，尤其是无原子测度。作为一个序列，Whis是无原子的，因为如果wh有一个原子，那么任何向前推也会有一个原子。引理3.12。设（Py（dz））为随机核（Y，Y）×（Z，B（Z））→ [0，1]其中Z是抛光空间，（Y，Y）是可测量空间。如果Pyis atomlessfor all y∈ Y，存在一个联合可测图（Y，z）7→ φy（z）∈ [0，1]这样Pyo φ-1y=λ表示所有y∈ Y证据回想一下，任意两个基数不可数的Polish空间与Borel空间同胚；参见[72，定理2.12，第14页]。由于无原子测度只能存在于不可数空间上，我们推导出存在Borel同胚Φ：（Z，B（Z））→ （[0，1]，B（[0，1]））。考虑因素Qy=Pyo Φ-1.然后（Qy）是无原子概率测度；i、 e.，他们的IRC。d、 f.\'s Fy（x）：=Qy((-∞, x] ）在x中是连续的。通过构造，它们在y中也是可测量的。特别是，作为Caratheodory函数，它们在（x，y）中是可联合测量的；参见[2，引理4.51，第153页]。最后，重新调用，如果F是连续分布的随机变量X的c.d.F，则F（X）~ λ. 因此，φy=Fyo Φ满足Lemma的要求。结合前面的两个引理，我们得到以下结果。推论3.13。存在一个联合Borel可测量的mapC（R+）×(-√η,√η) → [0，1]，（ω，h）7→ φh（ω）使得Whoφ-1h=每个h的λ。我们现在可以提供命题的证明。提案证明3.9。

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2022-6-14 06:43:47

设ξ=W（dω）ξω（ds）是给定随机停止时间ξ的分解∈ Rη（ν）和定义ξ=W（dω）ξω（ds）到ξf⊕ω： =ZCh（f）ξg⊕ωWh（f）（dg），f，ω∈ C（R+）。清晰的ξf⊕ω仅通过h（f）依赖于f。我们在下面显示了\'ξ∈Rη（ν）和'ξ（G）=ξ（G）（对于所有G）∈ Cηb。承认这一时刻的f，它可以构造一个非随机停止时间，其规律与ξ相同。根据引理3.10，我们可以关联一个停止时间（ω，u）7→ 概率空间（C（R+）×[0，1]上的ρ（ω，u），W λ）对于ξ，我们可以选择ρ的厌恶，使得ρ（f⊕ω、 u）仅通过h（f）取决于f。最后，让φhbe如引理3.13中所示，然后通过构造，τ（ω）：=ρ（ω，φh（ω）（ω））是C（R+）上的一个映射时间，使得Wo（B，τ）-1=(R)Wo（\'B，ρ）-1=ξ. 因此，其嵌入ξτ∈ RTI是所需的非随机停止时间。仍需验证“ξ”∈ Rη（ν）和'ξ（G）=ξ（G）（对于所有G）∈ Cηb.Let f∈ Chandω∈ C（R+）；然后是ξf⊕ω被调整并集中于[τη（f），∞)) 自ξg起⊕ω对所有g都具有这些性质∈ Ch（回想一下，τη在Ch上是常数）。这就产生了ξ∈ Rη。接下来，让G∈ Cηb。然后‘ξ（G）等于toZC（R+）ZR+G（ω，s）’ξω（ds）W（dω）=ZRZC（R+）ZChZR+G（f⊕ω、 s）’ξf⊕ω（ds）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZRZC（R+）ZChZChZR+G（f⊕ ω、 s）ξg⊕ω（ds）Wh（dg）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZRZC（R+）ZChZChZR+G（G⊕ ω、 s）ξg⊕ω（ds）Wh（dg）Wh（df）W（dω）u（dh）=ZC（R+）ZR+G（ω，s）ξω（ds）W（dω）=ξ（G）。这也意味着ξ（t）=ξ（t）<∞, 自t起∧ n∈ Cηb对于所有n∈ N、最后，为了证明ξ和ξ嵌入了相同的分布ν，我们证明了φ的ξ（φ（B））=ξ（φ（B））∈ Cb（R）。实际上，考虑G：=φ（Bt∨τη) ∈ Cηb（回想一下，适应性不是必需的）。既然我们已经知道ξ，’ξ∈ Rη，我们有ξ（φ（B））=ξ（G）=？ξ（G）=？ξ（φ（B）），证明是完整的。4对偶问题我们首先介绍对偶问题的领域。为此，重新定义ν是R上的中心分布，具有有限的二阶矩和letJ R是ν（J）=1的最小凸集。

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2022-6-14 06:43:50

因此，当且仅当J是ν原子时，J的边界点包含在J中。我们确定紧致区间0的递增序列（Kn）∈ 千牛其并集为J且letTn=inf{t≥ 0：Bt∈ Kn}是边界的第一次击中时间千牛。回想一下，概率概念是关于正则空间C（R+）理解的，可以嵌入C（R+）×R中。我们定义了一个（不一定可测量）函数G:S→ [0, ∞] 并介绍以下内容。定义4.1。设D（G）是所有对（M，ψ）的集合，其中Borelfunctionψ：J→ R∪{∞} 在L（ν）中，M是一个（连续的）局部（W，F）鞅，M=0，使得M+ψ（B）≥ G开启∪n【0，Tn】（直至消失）和M·∧tn对于所有n都有下界。对偶问题isI（G）=inf（M，ψ）∈D（G）ν（ψ）。M的连续性是指其路径是a.s.连续的。我们记得，布朗局部鞅总是承认连续的版本，并隐含地假设所有局部鞅在下面的内容中都是连续的。我们还注意到∪n【0，Tn】=R+×Ohm 如果J=R，则在第7节中，如果M被限制为真鞅或ψ被限制为连续函数，则对偶问题I（G）的值可以改变。由于松弛素定义4.1是新颖的，我们详细介绍了一些技术观察结果。以下结果不取决于Kn的选择。当ν在两个端点上都有原子的有界支撑时，我们可以简单地取Kn=J表示所有n。备注4.2。设置T=lim Tn=inf{T≥ 0：Bt∈ J} ，我们有∪如果J闭合且∪n【0，Tn】=【0，T）如果J是开放的，但通常为任一夹杂物【0，T】 ∪n【0，Tn】 [0，T]可以是严格的，如果∪在定义4.1中，n【0，Tn】替换为【0，T】。但是，可以替换∪n【0，Tn】乘以【0，T】，不改变I（G）的值，因为给定（M，ψ）∈ D（G）我们可以通过设置ψ=∞ 在…上J\\J不影响ν（ψ）。

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2022-6-14 06:43:53

（尽管如此，我们还是发现写作并不令人困惑∪n【0，Tn】无处不在。）备注4.3。假设G是Borel可测的；i、例如，G可以看作是一个可选的过程。然后不等式M+ψ（B）≥ G开启∪n[0，Tn]toevancence等价于几乎确定的不等式Mτ+ψ（Bτ）≥ 所有停车时间τ和τ的Gτ≤ tn对于某些n.这来自于光学横截面定理；参见[29，定理IV.84，第137页]。备注4.4。利用Fatou引理，M的下有界性·∧tn表示所有停车时间σ≤ τ ≤ Tn，随机变量Mσ，Mτ是可积的，并且满足可选的抽样性质E[Mτ| Fσ]≤ Mσ。引理4.5。Let（M，ψ）∈ D（G）。（i）我们有W{τ≤ Tn}→ 1和m+ψ（B）≥ G on[0，τ]表示所有τ∈ T（ν）。（ii）我们有M+ψ（B）≥ Gξ-a.s.适用于所有ξ∈ R（ν）。证据（i） Letτ∈ T（ν）；特别是，E[τ]<∞. 自B起·∧τ是一个统一可积鞅，Bτ在J上有支撑，我们有W{τ≤ Tn}→ 1因此[0，τ] ∪n【0，Tn】。特别是M+ψ（B）≥ G在【0，τ】上，直到变光。（ii）考虑扩展空间'C（R+）上与ξ相关的停止时间ρ；参见引理3.10。作为“W”o （\'B，ρ）-1=ξ，我们可以通过将（i）的参数应用于ρ和'B引理4.6来推导定理。Let（M，ψ）∈ D（0）并写入ψ**对于J.Then（M，ψ）上的凸包络**) ∈ D（0）；i、 e.，M+ψ**（B）≥ 0开∪n【0，Tn】，（4.1），尤其是ψ**(0) ≥ 0.证明。我们首先观察到x∈ J、 ψ**（x） =infba+bψ（x- a） +aa+bψ（x+b）：a，b∈ R+，[x- a、 x+b] J其中，如果a=b=0，则总和被理解为ψ（x）。假设（4.1）失败，则根据可选截面定理，存在n≥ 1和停止时间σ≤ t使w{Mσ+ψ**（Bσ）<0}>0。根据上述ψ公式**（x）还有一个可测量的选择论证，它得出的结论是≥ n和Fσ-可测随机变量a，b≥ 0带[Bσ- a、 Bσ+B] Km因此WMσ+ba+bψ（bσ- a） +aa+bψ（bσ+b）<0> 0

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nandehutu2022

2022-6-14 06:43:56

（4.2）设τ=inft型≥ σ：Bt- Bσ/∈ (-a、（b）注意τ≤ 商标。可选抽样（参见备注4.4）意味着mσ+ba+bψ（bσ- a） +aa+bψ（bσ+b）≥ E[Mτ+ψ（Bτ）| Fσ]。但（M，ψ）∈ D（0）表示Mτ+ψ（Bτ）≥ 0，现在出现了与（4.2）的矛盾。特别是ψ**(0) ≥ 因此，凸函数ψ**从下方以线性函数为界，从上方以ψ为界，因此ψ**∈ L（ν）。下面将重复使用以下规范化。备注4.7。Let（M，ψ）∈ D（G）和c∈ R、定义M′=M+cB，ψ′（x）=ψ（x）- cx。然后（M′，ψ′）∈ D（G）因为M′＋ψ′（B）=M＋ψ（B），而B是[0，Tn]上B=0的有界鞅。将其与（左）导数c一起使用：=-ψ**（0）并回顾ψ**(0) ≥ 0通过引理4.6，我们可以看到任何（M，ψ）∈ D（G）可以归一化，使得ψ**≥ 0，因此也是ψ≥ 接下来，我们建立了“弱”对偶的关键不等式，尤其是我们对对偶域的定义足够严格，尽管存在松弛。引理4.8。Let（M，ψ）∈ D（0）。（i）我们有E[Mτ]≤ 0表示所有τ∈ T（ν）。（ii）我们有ξ（M）≤ 0 f或全部ξ∈ R（ν）。证据（i）我们证明了关于任何停止时间τ的索赔，使得B·∧τ是一致可积的，E[ψ（Bτ）]<∞ 和[0，τ] ∪n【0，Tn】；尤其是，满足τ∈ T（ν）。事实上，通过备注4.7，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设ψ≥ 0，然后0≤ ψ**≤ ψ. 自ψ起**isconvex和ψ**（Bτ）是可积的，因此ψ**（B）·∧τ）是一个非负均匀可积子鞅，因此属于（D）类。另一方面，引理4.6产生M≥ -ψ**（B）在[0，τ]上，我们得出结论，M-·∧τisof类（D）。Fatou引理（在一致可积下界的版本中）现在意味着E[Mτ]≤ 0.（ii）Letξ∈ R（ν），设ρ为扩展空间‘C（R+）上与ξ相关的停止时间；参见引理3.10。

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2022-6-14 06:43:59

然后ξ∈ R（ν）意味着ρisan将ν嵌入到'B中，且（i）的参数应用于'C（R+）上，得到ξ（M）=E'W[M（'B）ρ]≤ 定义4.1是为了暗示以下密切性属性而定制的；在下一节中，它将用于推导不存在对偶间隙的情况，并立即暗示存在对偶优化器。提案4.9。考虑Gk，G:S→ [0, ∞] 和（Mk，ψk）∈ D（Gk）叉≥ 1、假设Gk→ G逐点和supkν（ψk）<∞. 然后存在（M，ψ）∈ D（G）使得ν（ψ）≤ lim infν（ψk）。证据设c=supν（ψk）。通过传递到一个子序列，我们可以假设limν（ψk）存在。通过注释4.7，我们可以规范化ψksuch，即ψ**k≥ 0.Asψk≥ ψ**k≥ 0，Komlos引理（见[28，引理A1.1]及其后续注释）允许我们找到凸组合φkof（ψk，ψk+1，…）收敛于ν-a.s.Letψ：=lim supφ，注意0≤ ν（ψ）=ν（lim infφn）≤ limν（φk）=limν（ψk）通过Fatou引理。用相应的凸组合替换mk后，我们可以假设φk=ψk。我们有0≤ ν(ψ**k）≤ ν（ψk）≤ c、正如在[12，命题5.5]的证明中，这意味着ψ的Lipschitz常数有一个统一的（k）界**kon J的每个紧子集，因此是一致界0≤ ψ**k≤ cnon Kn，独立于k，引理4.6，它遵循thatMk≥ -ψ**k（B）≥ -cnon【0，Tn】。这保证了（Mk）在合适的意义上允许极限超鞅Z。更准确地说，[26，定理2.7]和对角参数表明，在采用适当的凸组合Nkof（Mk，Mk+1，…）后，存在一个可选过程Z，它是一个强大的超鞅（被定义为完全精确，[26]假设过滤的通常条件）。

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2022-6-14 06:44:02

例如，我们可以将其结果应用于W-增强过滤法，然后将本段末尾的内容传递给Fat：局部鞅M必须是连续的，并且是可预测的，但我们可以选择Mby的F-可预测版本（直至消失）[30，附录I.7，第399页]。在【30，附录I】中，【0，Tn】中的所有n和nkτ→ Zτ在任何停止时间τ的概率中，使得τ≤ 对于某些n，我们可以假设nk=Mk。当Z=0时，过程Z允许Mertens分解Z=M-A其中A是非减量的，M是局部鞅，A=M=0；参见[30，附录I.20，第414页]。还需要证明（M，ψ）∈ D（G）。集合H=lim su pk（Mk+ψk（B））；那么H是可选的，H≥ G开启∪n【0，Tn】至消失。因此，它是如何（M，ψ）的∈ D（H）。实际上，我们有mτ≥ Zτ≥ -Cn和Mτ+ψ（Bτ）≥ Zτ+ψ（Bτ）≥ 所有τ的Hτ≤ 由于H是可选的，我们得出结论（M，ψ）∈ D（H）使用备注4.3。将命题4.9应用于一个常数序列，我们推断，对偶存在性适用于一般的奖励函数，这与对偶问题的先前公式【6，42】相反，在对偶问题中，存在性甚至可能不适用于更正则的奖励函数。推论4.10。让G:S→ [0, ∞]. 如果I（G）<∞, 存在一个双优化器（M，ψ）∈ D（G）。5对偶在本节中，我们将命题4.9的贴近度结果与容量理论和关于最优Skorokhod嵌入的事实相结合，以确定不存在对偶缺口。我们首先陈述弱对偶性。引理5.1。让G:S→ [0, ∞]. 然后S（G）≤ I（G）。证据我们需要证明ν（ψ）≥ ξ（G）（M，ψ）∈ D（G）和ξ∈ R（ν）。实际上，通过引理4.5，我们得到了M+ψ（B）≥ Gξ-a.s.根据ξ提出期望并回顾ξ（M）≤ 通过引理4.8得到0，则该要求后面是（外部）积分的单调性。接下来，我们陈述了半连续函数的对偶结果。

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能者818

2022-6-14 06:44:05

以下是[6，定理1.2]和[42，定理2.4]的结果，它们的对偶域是我们的子集。为了方便读者，我们提供了一个proof的草图。提案5.2。让G:S→ R有界且上半连续。然后S（G）=I（G）。证明草图。不等式S（G）≤ 引理5.1表示I（G）成立。Wesketch为[42]后面的反向不等式提供了一个论证（详情请参阅后面的）。关键思想是将约束ν二元化并使用thevenchel–Moreau定理。事实上，设V为具有有限第一时刻的所有中心概率测度ν的集合，配备1-Wasserstein度量。一个验证是，如果νn→ V和ξn中的ν∈ R（νn），则存在ξ∈ R（ν），是子序列（ξnk）的弱极限。Letν∈ 设S（ν）=S（G，ν）为相应的原问题。取ξn∈ R（νn）是原始问题S（νn）的（1/n）优化器；i、 e.，ξn（G）≥ supξ′∈R（νn）ξ′（G）- 1/n，则S（ν）≥ ξ（G）≥ lim su p S（νn）。简而言之，ν7→ S（ν）在V上是上半连续的，很明显它也是凹的和有限值的。空间V可以看作是有符号测度和ν7的hausdorff局部凸向量空间V的闭凸子空间→ S（ν）可以通过赋值扩展到V-∞ 在V之外。拓扑对偶是V*= C、连续函数空间ψ：R→ 线性增长的R。Fenchel–Moreau定理表明S（ν）与其双共轭相等，S（ν）=S**（ν） =infψ∈Csupν′级∈VS（ν′）- ν′(ψ)+ ν(ψ). （5.1）让我们计算ψ∈ Cand f关注内部优化，supν′∈VS（ν′）- ν′（ψ）=s upν′∈Vsupξ∈R（ν′）ξ（G- ψ（B））。查看函数Y：=G- ψ（B）作为最优停止问题的奖励函数，可以检查v（ψ）：=supν′∈Vsupξ∈R（ν′）ξ（Y）=supξ∈Rξ（Y）=supτ∈TE[Yτ]只是相关标准最优停止问题的值函数。

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2022-6-14 06:44:08

特别地，v=v（ψ）是相关Snellenvelope Z的初始值；i、 e.，最小超鞅支配Y。我们把它的doob–Meyer分解写成Z=v+M-其中M是局部鞅，A是递增的，A=M=0。然后V+M≥ Y或等效v+M+ψ（B）≥ G、由于ψ具有线性增长且G有界，因此v+M+ψ（B）≥ G意味着M·∧对于所有n，tn的下界。因此，（M，(R)ψ）∈ D（G）对于函数？ψ：=v+ψ。因为这适用于所有ψ∈ C、（5.1）得出S（ν）=S**（ν） =infψ∈Cv（ψ）+ν（ψ）≥ inf（(R)ψ，M）∈D（G）ν（(R)ψ）=I（G），根据需要。利用命题4.9中的封闭性，我们可以利用容量理论将对偶性推广到可测函数。让[0，∞]Sbe所有功能集G:S→ [0, ∞], 设USA+为上半解析函数的子格，U为有界上半连续函数的子格；请注意，U相对于可数单位是稳定的。A映射C：[0，∞]S→ [0, ∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为U-容量，∞]在U引理5.3上连续向下砂。映射S：[0，∞]S→ [0, ∞] 是U型容量。证据Asξ（t）=所有ξ的Rxdν∈ R（ν），集R（ν）是S上概率测度的非空紧空间；例如参见【6，定理3.14】。这意味着相关的次线性映射G 7→ supξ∈R（ν）ξ（G）≡ S（G）是一个容量。事实上，通过交换twosuprema，向上的连续性是即时的。让Gn∈ U减小到G∈ U、然后是ξn∈ R（ν）ξn（Gn）≥ S（Gn）-1/n.传递到子序列后，ξn→ ξ对某些ξ不利∈ R（ν）。然后S（G）=limmξ（Gm），对于每个m，我们有ξ（Gm）≥ lim supnξn（Gm）≥ S（Gm）；因此S（G）≥ lim supmS（总经理）。反之则是单调的。引理5.4。映射I：[0，∞]S→ [0, ∞] 是U型容量。证据

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何人来此

2022-6-14 06:44:11

当命题5.2中I=S时，引理5.3已经表明I在U上是连续向下的∈ [0, ∞]Sbe使GNI逐点增加到G；我们需要证明I（Gn）→ I（G）。很明显，我很单调；特别是，I（G）≥ lim sup I（Gn）和I（Gn）→ I（G）如果supnI（Gn）=∞.如果集合{G，则称函数G为上半解析函数≥ c} 对allc进行分析∈ R、其中，S的子集称为解析子集，如果它是Borel映射下Polishspace的Borel子集的图像。任何Borel函数都是上半解析函数，任何u上半解析函数都是普适可测函数。参见，例如，【13，第7章】了解背景。因此，我们只需要显示I（G）≤ 在supnI（Gn）<∞. 事实上，根据I（Gn）的定义，存在（Mn，ψn）∈ 带ν（ψn）的D（Gn）≤ I（Gn）+1/n。命题4.9然后得出（M，ψ）∈ 带ν（ψ）的D（G）≤ lim inf【I（Gn）+1/n】，表示I（G）≤ lim inf I（Gn）。我们现在可以证明主要的对偶结果。（回想一下，推论4.10中已经说明了双重成就，但没有可测量性假设。）定理5.5。让G:S→ [0, ∞] 是上半解析的。那么就有了无度间隙：S（G）=I（G）∈ [0, ∞].证据根据引理5.3，Choquet的电容性定理（例如参见[58，命题2.11]）表明s（G）=sup{s（G′）：G′∈ U、 G′≤ G} ，G∈ 美国+。根据引理5.4，类比适用于I，因此，Uby命题5.2上的S=I这一事实已经暗示了USA+上的S=I。我们推导出原始优化器和对偶优化器的以下特征。推论5.6。让G:S→ [0, ∞] be上半解析和S（G）<∞.给定（M，ψ）∈ D（G）和ξ∈ R（ν），以下是等效的：（i）（M，ψ）对于i（G）是最优的，ξ对于S（G）是最优的，（ii）M+ψ（B）=Gξ-a.S.，ξ（M）=0，（iii）M+ψ（B）=Gξ-a.S.和ξ（M）≥ 0.证明。

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2022-6-14 06:44:14

定理5.5表明ξ（ψ（B））=ν（ψ）≥ I（G）=S（G）≥ ξ（G）。给定（iii），我们有ξ（ψ（B））≤ ξ（G），因此上述必须相等；也就是说，（i）保持不变。给出（i），这些都是等式，然后（ii）在回顾M+ψ（B）之后≥ Gξ-a.s.和ξ（M）≤ 0; 参见引理4.5和引理4.8。从（ii）到（iii）的含义微不足道。备注5.7。我们的主要对偶结果中G的下界可以放宽到以下条件：存在ψ∈ L（ν）和一个局部鞅，对于所有n，该鞅在[0，Tn]上有界，这样g≥ -M- ψ（B）。实际上，所述结果可以应用于G′：=G+M+ψ（B）≥ 0为了推导G的相应断言。接下来，我们按照[12，推论7.8]的精神提供了一个单调性原则，该原则在G上的可积条件下提供了表征所有嵌入的普遍支持Γ。如引言所述，这补充了文献[6]中的单调性原则，该原则给出了支持度上的年龄计量条件，这对优化是必要的，但并不有效。以下条件是必要且有效的。然而，通过（5.2）中合适的双重优化器的构造，Γ的几何结构仅以较弱的形式描述。我们将在第6节中举例说明如何利用这种描述。对于该语句，请注意∈ R定义为C（R+）×R+上的一个度量，它自然会在S上产生一个度量：forΓ∈ B（S），设ξ（Γ）=ξ{（ω，t）∈ C（R+）×R+：（ω|[0，t]，t）∈ Γ}.推论5.8。让G:S→ [0, ∞] 为Borel，属于（D）类。存在Borel s etΓ S使得随机停止时间ξ∈ R（ν）对于S（G）是最优的当且仅当R（ν）集中于Γ；i、 e.，ξ（Γ）=1。证据因为G是（D）类的，所以存在一个（D）类鞅N，使得G≤ N参见[30，附录I.24，第419页]。特别是ξ（G）≤ ξ（N）=所有ξ∈ R（ν），表示S（G）<∞.

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