更重要的是，这里给出的证明表明，variationalcondition适用于更一般的嵌入类，这是一个需要在未来工作中解决的问题。我们首先确定了一些术语（另请参见[6、22、71]）。Let（R+×R）*=（R+×R）\\{（0，0）}是被刺穿的半平面。在根的嵌入之后，右障碍是一个闭集R （R+×R）*靠近右侧；即，（s，x）∈ R和t≥ s暗示（t，x）∈ R、 这种势垒的特征是函数x 7→ r（x）∈ [0, ∞] 追踪其左边界，r（x）=inf{t≥ 0：（t，x）∈ R} ，inf := +∞.类似地，根据Rost的精神，左势垒L是（R+×R）的闭子集*它靠近左边。其特点是函数x 7→ l（x）∈{-1} ∪ [0, ∞) 这里我们现在设置l（x）=sup{t≥ 0：（t，x）∈ 五十} ，sup := -1、请注意，我们使用-1表示左侧安全栅中的间隙。定义6.1。给定tp∈ R+，一个洞穴屏障，带分离tpis a set L∪R此处L [0，tp]×R是左势垒，R [tp，∞) ×R是右屏障。很明显，洞穴屏障∪R由两个函数l表示≤ tp≤ r、 我们用D表示（开放）补码（r+×r）*\\ （L）∪ R） 并将toD称为洞穴屏障的延续区域（或与洞穴一样，如果没有歧义）。设τ=inf{t≥ 0：（t，Bt）/∈ D} 是D的第一个退出时间。这是两个停止时间τl=inf{t中的最小值≥ 0：Bt∈ L}∈ [0，tp]∪ {∞},τr=inf{tp≤ t<τl:Bt∈ R}∈ [tp，∞].xminxmaxtpLL R（a）-1.-2（b）图1：（a）将深色区域添加到左侧屏障L，使其单调。

（b） 备注6.2的示例。类似地，如果ν=定律（Bτ）是洞穴屏障嵌入的量度，则ν=νl+νris分解为与左右屏障吸收的质量相对应的亚粒子；或者更精确地说，νl=定律（Bτl）和νr=定律（Bτr），其约定为：∞在外部墓地州进行估价，法律限制在R。两个不同的洞穴屏障可能具有相同的撞击时间。首先，考虑一个具有相应函数L的左势垒L。如果L上有一个“接收器”（0，∞), 比方说，那么（t，Bt）不能到达边界的那一部分，因为时间坐标总是向前运行（见图1）。如果我们用增加的包络线x 7来代替l→ l（x）开（0，∞) 其递减包络打开(-∞, 0），新屏障具有相同的命中时间。如果L已经等于这个信封，我们称之为单调L。注意，给定L，存在一个包含L的最小单调left势垒。N ex t，考虑一个洞穴势垒，注意（t，Bt）只能触及包含（0，0）的D分量的边界。因此，如果D是，我们说洞穴是连通的。为了简洁起见，我们说如果L是单调的，D是连通的，那么cavebarrier是正则的，并且注意到everycave barrier有一个包含它的最小正则cavebarrier。这一概念之所以重要，是因为以下事实：当且仅当两个规则洞穴相等时，两个规则洞穴的首次撞击时间是a.s.相等的。我们省略了细节，而是参考了[71，p.365]和[6，定理2.4]的证明结尾，以进行类似和详细的讨论。值得注意的是，l的恒定区间对应于νlhas无质量的区间。另一方面，在r=∞. 最后，ν中的原子由L或R边界上的水平部分生成；即l或r的不连续性。备注6.2。

给定分布ν的洞穴嵌入通常是非均匀的，因为任何洞穴都可以在不改变嵌入分布的情况下正则化。然而，与根和喙嵌入相比，洞穴嵌入不是唯一的，即使采用了这种规律。从某种意义上说，之所以会出现这种歧义，是因为给定的ν“片段”可以被左边界或右边界吸收。取ν=（δ）可以得到一个简单的例子-2+ δ-1+δ+δ）/4，因此左右势垒是这些f四个位置的水平尖峰的包络线；参见图1。我们可以在±1处缩短右侧的尖峰，并适当地放大左侧的尖峰，从而改变νlandνr，而不改变嵌入分布ν=νl+νr。接下来，我们转向奖励函数gt=g（t）的最佳Skorokhod嵌入，该函数是确定性的，dep仅在时间变量上结束。更具体地说，我们总结如下。假设6.3。奖励函数Gt=g（t）由有界Lipschitz连续函数g:R给出+→ 时间的R，对于某些tp≥ 0，g在（tp，∞) andg在（0，tp）上严格凸且严格递减，g在（tp）上严格凹且严格递增，∞).我们还定义了(∞) 作为明显的限制。这种奖励功能导致洞穴嵌入如下。提案6.4。假设ν（{0}）=0，且g满足假设6.3。存在一个最佳停止时间τ∈ T（ν）；也就是说，我们有e[g（τ）]=supξ∈R（ν）ξ（g（t））。此外，τ是R（ν）内唯一的优化器，由具有分离tp的规则洞穴屏障的击中时间给出。这个洞穴是所有普通洞穴中独一无二的。最后，对于所有t，P{τ=t}=0∈ [0，tp]。证据[6，定理2.5]中阐述了前两个断言，这本身就是[6，定理1.3]中单调性原则的直接结果。

后者指出，如果τ∈ T（ν）是最优的，然后（B·∧τ, τ) ∈ ΓW-a.s.用于aBorel setΓ S S满意G∩ (Γ<× Γ) = , （6.1）其中< S定义为<={（f′，t′）∈ 对于某些（f，t），在[0，t′]上，S:t′<t且f′=f∈ 减少/增加可替换为：+所有0的g（s）<g′（t）≤ s<tp<t，SG是所谓的stop-go对的集合；参见[6，定义1.4]。在当前设置中，由于g的凸性和单调性，SG={（（f，t），（f′，t′）∈ S×S：f（t）=f′（t′），t′<t≤ tpor tp≤ t<t′}。（6.2）（在[6]中，对g有进一步的假设，但在证明中未使用这些假设。）[6，定理2.5]还指出，每个最优ξ∈ R（ν）是洞穴的到达时间，这意味着τ的唯一性，类似于[60]。事实上，如果τ和τ是优化器，我们可以通过以1/2的概率独立选取τ或τ来定义随机停止时间τ′。但τ′是最优的，因此τ′是非随机的，因此τ=τa.s。洞穴的唯一性是成立的，因为如上所述，规则洞穴与其命中时间一一对应。对于t<tp，P{τ=t}=0，因为左势垒不能使τ中的原子上升。要知道P{τ=tp}=0，考虑一个可测集Γ 带P{（B）的S·∧τ, τ) ∈ Γ}=1，并假设P{τ=tp}>0。tp>0和Γ必须包含路径f，路径f在tp处为s，且满足：=f（tp）∈ （xmin，xmax）。因此，l（x）<tp，我们有（t′，x）∈ 对于所有l（x）<t′<tp。因此，存在一条停止路径（f′，t′）∈ Γ<与f′（t′）=x和t′<tp，但随后（f，tp）和（f′，t′）形成了一个停-走-对（6.2），现在（6.1）产生了一个矛盾。前面的命题为如何描述对应于最优屏障的函数SL，r留下了空白。直观地说，嵌入ν的波的非唯一性源于这样一个事实，即给定的一段ν可以在两个屏障中的任何一个被吸收。

然而，将质量从一个转移到另一个会改变报酬E[g（τ）]，这是变量表征的基础。考虑在点x处g的最佳洞穴∈ R其中两个屏障都吸收质量，或者更精确地说，x∈ 支持νl∩ s uppνr。直观地说，围绕x局部变形l和r对应于将质量从一个边界转移到另一个边界，如果洞穴是最优的，则与此变化相关的导数应该消失。当然我们不能吸收负质量，所以如果x∈ suppνl\\suppνor反之亦然，只能进行单边变化。因此，下面定理6.5中的精确陈述将包括每个支承的不等式条件，仅在交点上等于等式。似乎很难为acave的所有变体找到一个易于处理的参数化，以保持嵌入分布。相反，我们应该利用双重问题；形式推导如下所示。为简单起见，请考虑案例x∈ 支持νl∩ suppνrand回想一下，对偶问题允许一个解（M，ψ）。由于g是马尔可夫的（时间和状态的函数），我们可以预期鞅M也可以选择为马尔可夫形式M=M（t，Bt）。此外，对偶解满足Mτ+ψ（Bτ）=g（τ），其中τ是D的退出时间，大致转化为M（t，x）=g（t）-ψ（x）表示t∈ {l（x），r（x）}。假设边界平滑，形式上生成的衍生品tm（t，x）=t的g′（t）∈ {l（x），r（x）}。因为M是鞅，所以M是热方程的解，所以M是鞅商标。对费曼-科航公式的厌恶现在产生了tm（t，x）=Et，x【g′（τ）】，对于l（x）≤ t型≤ r（x）。因此，差异（r（x））- g（l（x））=m（r（x），x）+ψ（x）- m（长（x），x）- ψ（x）=m（r（x），x）- m（l（x），x）可以表示为rr（x）l（x）tm（t，x）dt=Rr（x）l（x）Et，x【g′（τ）】dt。

标识G（r（x））- g（l（x））=Zr（x）l（x）Et，x[g′（τ）]dt不再指对偶解。如上所述，如果x不支持两个度量值νl，νr，则需要将该等式减弱为不等式。在下文中，我们假设ν是一个中心分布，具有有限的秒矩，且ν（{0}）=0。该保护的一些技术方面取决于ν在其支持的端点是否有原子。我们关注的是ν在两个端点上有原子的情况：ν集中在一个紧凑的区间J=[xmin，xmax]，其中ν（xmin）>0，ν（xmax）>0。值得注意的是，考虑到ν的这些性质，讨论中的规则洞穴在两个端点满足l（x）=tp=r（x），l和r的必要跳跃意味着D沿{x=xmin}和{x=xmax}方向；可以说，地板和天花板的地板部分包含tp。当Dis为有界高度时，它可以是无界的，因为r（x）=∞ 是一个可能的值。在下面的结果中，我们使用右导数+g、 但左导数的相同holds。定理6.5。设D是一个分为tpembeddingν和letl的正则洞穴，r是界定D的函数。然后τ=inf{t≥ 0：（t，Bt）/∈ D} 如果一个D仅当Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（r（x））- g（l（x））表示x∈ suppνl，Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≤ g（r（x））- g（l（x））表示x∈ suppνr，其中Et，x[+g（τ）]：=E[+g（τt，x）]对于τt，x：=inf{s≥ t：（s，x+Bs）-t）/∈ D} 。我们使用第4节中的对偶问题设置，tn=T：=inf{T≥ 0：Bt∈ J} ，n≥ 1、由于在此设置中，我们对双鞅M beyondtime T不感兴趣，因此我们稍微重新定义了D（G），即M仅定义为T。

显然，这并不影响之前的结果，因为人们可以以一种恒定的方式将M扩展到T之外，以检索前一种意义上的对偶元素。接下来，我们考虑最优洞D，并重点讨论变分条件的必要性。证明的第一步是构造f函数（t，x）。重要的是，我们通过一个最优停止问题来表示m，该问题将用于推导商标。我们为J的内部写I；也就是说，I=（xmin，xmax）。提案6.6。存在一个对偶优化器（M，ψ）∈ D（G），对于普适可测函数m:R+×J，Mt=m（t，Bt）【0，τ】→ R∪{-∞} 这是C∞此外，m可以被视为具有报酬g（t）的最优停止问题的值函数- ψ（x）。证据Let（￠M，ψ）∈ D（G）是任何双重优化器；参见推论4.10。根据标记4.7，我们可以假设ψ≥ 设TT={σ∈ T：σ≤ T}并考虑最优停止问题supσ∈TTE[Gψσ]，Gψt：=Gψ（t，Bt），Gψ（t，x）：=G（t）- ψ（x）。（6.3）下面，ul可以将其视为梅尔滕意义上的马尔可夫最优停止问题（我们通过这个证明使用完成的布朗过滤）。事实上，设置Yt=（t，Bt），我们可以将过程Y定义为吸收R+×R中R+×I的补码的过程Y。然后（6.3）相当于右连续马尔可夫过程的有限期最优停止问题。接下来，我们证明了我们可以从下面截断Gψ，而不改变（6.3）的值。由于g是有界的，我们可以假设g≥ 我们有g（t）- ψ（x）≥ -ψ（x）和supσ的值∈TTE公司[-ψ（Bσ）]，初始条件Bt=x∈ I由给出-ψ**（x） ，其中ψ**≥ 0是区间J上的凸hullofψ。因此，最优停止问题的值supσ∈TTE[\'Gψσ]，\'Gψt：=\'Gψ（t，Bt），\'Gψ（t，x）：=（G（t）-ψ（x））∨(-ψ**（x） ）（6.4）与（6.3）相同。

我们有ν（ψ）**) ≤ ν(ψ) < ∞ 根据D（G）的定义和ν的假定形式，这意味着ψ**在致密层段J的端点处是有限的；即ψ**是一个有界函数，而gψ（t，x）从下面有界。因此，（6.4）中的奖励函数“Gψ”属于（D）类，是可选的（但不一定是右连续的），将我们置于[63，64，34]的设置中。考虑（6.4）中的斯奈尔包络，如[63，定理T4]或[34]中所述；也就是说，S是满足S的最小强上鞅≥[0，T]上的Gψ，and具有S=E[S]=supτ的性质∈TTE[(R)Gψτ]。（我们在引用的参考文献中使用符号Sas；不应与停止路径的空间混淆。）注意到'Gψ是有界的，因此·∧有界。As（￠M，ψ）∈ D（G），局部鞅M是另一个满足M的超鞅≥ Gψ≥\'Gψ，所以≤最小值M，尤其是S≤M=0。另一方面，设τ为初选限制器。ThenS公司≥ E[(R)Gψτ]≥ E[Gτ- ψ（Bτ）]=E[Gτ]- ν（ψ）=0自τ起∈ t不存在二元性缺口；参见定理5.5。因此，S=0，τ是（6.4）和（6.3）的最佳停止时间。特别地，S是[0，τ]上的阿马丁格尔。强超鞅S具有M ertens分解=M- 这里M是局部鞅，M·∧Tis为（D）类，A为可预测的增长过程，M=A=0；参见[30，附录I.20，第414页]。我们观察到（M，ψ）∈ D（G）是一个双重优化器。事实上，斯内尔包络的定义特性表明≥ St公司≥ 燃气轮机- 自Mt以来，[0，T]上的ψ（Bt）和m在[0，T]上的b下一致有界≥ St公司≥ -ψ**（Bt）如上所述。最后，最优性仅取决于ψ。最优停止问题（6.4）是一个马尔可夫形式，如[34，64]所述。

更准确地说，[34，定理3.4]或[64，定理3]表明，斯内尔包络由St=v（t，Bt）给出，其中v是一个普遍可测函数，是超过|gψ的最小超中值函数（见下文[64，定理1]），并且v与马尔可夫意义下的最优停止问题的值函数一致。由于S是鞅[0，τ]，我们在[0，τ]上有M=S=v（t，B），因此M：=v满足M（t，Bt）=Mton[0，τ]。D上m的光滑性来自于von D的鞅性质，这是由最优停止问题所隐含的。实际上，对于（t，x）∈ D、 考虑（t，x）周围的开放矩形R，其闭包包含在D中。然后v | Ris光滑，因为它是具有光滑核的卷积，即v（t，x）是v的卷积|R当Bis开始于（t，x）时，出口分布为（t，B）。我们可以观察到，前面的参数扩展到具有空间依赖性的更一般的函数g（t，x）。以下结果连接tm和+g无需经历如上图所示的复杂光滑条件。相反，它通过最佳停车利用了m的表示，这在障碍物不光滑的情况下是至关重要的（对于一般ν）。引理6.7。让x∈ 一、 那么tm（t，x）=Et，x[+g（τ）]=Et，x[-g（τ）]，对于l（x）<t<r（x）。证据让x∈ I和l（x）<t<t<r（x）。根据命题6.6的pro，m（t，x）是从（t，x）开始的停止问题的值函数，D的第一次退出时间τ是最优的。将初始条件（t，x）的停止时间τ定义为区域的第一次退出时间：=D+{（t-t、 0）}；也就是说，区域D向右平移t-t、 然后Et，x[ψ（Bτ）]=Et，x[ψ（Bτ）]和hencem（t，x）- m（t，x）≥ Et，x【g（τ）】- ψ（Bτ）]- Et，x【g（τ）】- ψ（Bτ）]=Et，x[g（τ）]- Et，x[g（τ）]=Et，x[g（τ+t- t） ]- Et，x[g（τ）]=Et，x[g（τ+h）- g（τ）]，其中h=| t- t |。

类似地，使用t<t得到m（t，x）- m（t- h、 x）≤Et，x【g（τ）】- g（τ- h） 】。回想一下，m是可区分的。除以h并取h↓ 0，主导收敛，然后收益tm（t，x）≤ Et，x[-g（τ）]≤ Et，x[+g（τ）]≤ tm（t，x），其中中间不等式成立，因为-g级≤ +g；查阅假设6.3。该声明如下。我们注意到Et，x[-g（τ）]=Et，x[+g（τ）]也可以直接从τ的性质得出；参见提案6.4。定理6.5的证明，必要性。设D为最优。对于x∈ {xmin，xmax}结果是平凡的，因为l（x）=r（x）。给定l、r和g的性质，那么就需要知道Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（r（x））- 对于νl-a.e.x，g（l（x））为∈ 一、 Zr（x）l（x）Et，x[+g（τ）]dt≤ g（r（x））- νr-a.e.x的g（l（x））值∈ 一、 让x∈ I和l（x）≤ l≤ r≤ r（x）带r<∞. 根据引理6.7和微积分基本定理，ZrlEt，x[+g（τ）]dt=Zrltm（t，x）dt=m（r，x）- m（长，x）。通过m的构造，我们得到了m（t，x）≥ g（t，x）- ψ（x）在D上，当fort=l（x）时，该不等式适用于νl-a.e.x，对于t=r（x），它适用于νr-a.e.x。针对第一种情况，我们得到了νl-a.e.thatZrnl（x）Et，x[+g（τ）]dt≥ g（rn）- 序列rn的g（l（x））↑ r（x），并且在回顾了g在[0]上是连续的之后，该权利要求如下，∞] 和Et，x[+g（τ）]≥ t为0≥ tp。νr-a.e.不等式如下所示。定理6.5的证明，效率。我们只提供论点的概要；细节类似于[22，定理4.1]的证明。假设s型不等式适用于l，r。

我们的目标是构造一对（M，ψ）∈ D（G）使得Mτ+ψ（Bτ）=G（τ）和E[Mτ]≤ D定义的出口时间τ为0；这将通过推论5.6暗示τ的最优性。为便于标注，leth（t，x）=Et，x[+g（τ）]，Γ（x）=g（l（x））- g（r（x））+Zr（x）l（x）h（s，x）ds。作为第一步，我们考虑函数h（t，x）=g（r（x））-Zr（x）th（s，x）ds+Γ（x）+并表示g（t）≤ H（t，x）表示t≥ 0，x∈ J、 （6.5）g（l（x））=H（l（x），x）表示x∈ 对于x，suppνl，（6.6）g（r（x））=H（r（x），x）∈ 补充意见（6.7）实际上，（6.5）直接来自定义。对于t≥ t我们得到g′（t）在减小，henceg（t）=g（r（x））-Zr（x）t+g（s）ds≤ g（r（x））-Zr（x）th（s，x）ds+Γ（x）+=H（t，x），而对于0≤ t<t我们有+g（s）≤ +g（u）表示t≤ s≤ u和henceg（t）=g（l（x））+Ztl（x）+g（s）ds≤ g（l（x））+Ztl（x）h（s，x）ds≤ H（t，x）。此外，定理6.5中的假设表明Γ（x）≥ x为0∈suppνlandΓ（x）≤ x为0∈ suppνr。这得到（6.6）和（6.7）。其余的证明包括证明H（t，Bt）=Mt+ψ（Bt）（在[0，τ]上）和H（t，Bt）≤ M=0的局部鞅M在[0，T]上的Mt+ψ（Bt），M=0的局部鞅M在函数ψ下有界∈ L（ν）。一旦实现，（6.5）–（6.7）表明（M，ψ）∈ D（G）具有所需的特性。为了得到分解，我们考虑函数m（t，x）：=g（r（x））-Rr（x）th（s，x）ds。如【22】所示，可以证明‘m（t，Bt）是一个次马氏体[0，τ】，并得出结论，在[0，τ]上有一个独特的递增可预测过程a，使得‘m（t，Bt）- Atis是[0，τ]上的鞅。可以进一步证明A与[0，τ]上的连续加性泛函一致，使得'm（t，Bt）- Atis在[0，T]和超鞅上定义良好。因此，使用加法泛函的表示结果，可以写出=z（Bt）- z（B）-Rtz′型-（Bs）dbs对于凸函数z，得出'm（t，Bt）-z（Bt）仍然是[0，τ]上的鞅和[0，T]上的超鞅。

我们可以选择z，这样z≥ z（0）=？m（0，0）。设置ψ（x）=z（x）+Γ（x）+，使h（t，x）=m（t，x）- z（x）+ψ（x）。此外，设M是上鞅M（t，Bt）的鞅部分-z（Bt）。为了证明（M，ψ）确实是一个对偶元素，我们证明了'M和zare有界。然后，z（x）+Γ（x）+有界（正如我们假设的Γ有界一样），m（t，x）- z（x），因此M，从下面开始。实际上，m的有界性来自于恒等式m（t，x）=g（r（x））-Ztpth（s，x）1s<tpds-Zr（x）tph（s，x）1s>tds。前两项是平凡有界的。在最后一学期中，观察到在积分域上，我们有0≤ h（s，x）≤ +g（s），表示有界。接下来，假设z是无界的，那么我们必须有z（xmin）=+∞ 或z（xmax）=+∞ 因为z是凸的，并且从下面有界。请注意，Bτ=xminand Bτ=xmax，具有正概率，但e[(R)m（τ，Bτ）-z（Bτ）]=m（0，0）-z（0）=0，由鞅性质决定。因此，必须以z为基础，证明是完整的。7反例在本节中，我们证明放松对偶域中的正则性对于实现一般报酬函数的完整对偶理论是必要的。还表明，如果没有可积性条件，单调性原理将失效。7.1 MWe的局部鞅性质构造了一个例子，表明使用局部鞅M而不是像以前工作中那样使用真鞅是至关重要的。更准确地说，我们构造了一个连续的奖励函数G，使得对于一类广泛的边值ν，任何对偶优化器（M，ψ）∈ D（G）不具有真鞅性质；事实上，对于所有t>0的情况，E[Mt]>0。设ν为中心分布，相当于R上的Lebesguemeasurement，满足ν（f）<∞, 式中，f（x）=exp（x）。

（7.1）我们注意到J=R，因此∪定义4.1中的n【0，Tn】=C（R+）×R+。奖励函数的一个重要组成部分是过程lt:=经验英国电信- 2Zt（3Bs+4Bs）ds, t型≥ 0（7.2），也可以写成随机指数Lt=EtR·4BSDB.我们感谢约翰内斯·鲁夫向我们展示了严格局部鞅的这个非常简单的例子。引理7.1（J.Ruf）。随机指数Lt=EtR·4BSDB对于所有t>0，是E[Lt]<1的正局部鞅。特别地，对于任何t，L不是[0，t]上的m artingale∈ (0, ∞).我们将证明推迟到本小节末尾。作为Payoff函数，我们选择G=1- L+f（B）；注意，G是S上的一个连续函数。此外，从（7.1）和（7.2）直接得出f（Bt）≥ Lt和G≥ 1、同L≥ 0和F∈ L（ν），一个特别简单的对偶元素是（M，ψ）：=（0，1+f）∈ D（G）；因此，D（G）6= 和I（G）≤ 1+ν（f）<∞, 因此，我们在第4节和第5节中的主要结果的条件都是满足的。这个对偶元素特征是真鞅；然而，这并不是最优的。提案7.2。（i） （M，ψ）：=（1- 五十、 f）∈ 对于对偶问题I（G），D（G）是最优的。此外，任何ξ∈ R（ν）对于S（G）是最优的。（ii）If（M，ψ）∈ D（G）是I（G）的任何优化器，然后E[Mt]>0表示所有t>0，因此M不能是鞅。证据（i） Letτ∈ T（ν）和（M，ψ）：=（1- 五十、 f）∈ D（G）。很明显，M+ψ（B）=Gξ-a.s.，和ξ（M）≥ 0，因为L是L=0的非负上鞅。现在的说法来自推论5.6。（ii）Let（M，ψ）∈ D（G）。我们首先证明存在c∈ R使得ψ（x）+cx≥ f（x），x∈ R、 （7.3）事实上，让a，b≥ 0和σ=inf{t≥ 0：Bt/∈ (-a、 b）}。注意局部鞅L·∧σ是有界的，因此是一致可积鞅。另一方面，作为σ≤ tn对于足够大的n，M·∧σ必须在（定义4.1）以下有界，因此为上鞅。

特别是，E[Lσ]=1和E[Mσ]≤ 0，因此Mσ+ψ（Bσ）≥ Gσ=1- Lσ+f（Bσ）表示[ψ（Bσ）]≥ E[f（Bσ）]。由于a，b是任意的，这产生了引理4.6的证明，即凸壳满足（ψ- f）**(0) ≥ 0、取c=-(ψ - f）**（0），我们有（(R)ψ- f）**≥ 0表示ψ（x）=ψ（x）+cx，如下所示。根据（7.3）和备注4.7，我们可以假设ψ≥ f如果（M，ψ）是等时的，那么ν（ψ）=I（G）=ν（f）乘以（I），那么ψ=fν-a.s，因此是Lebesgue-a.e，但现在是M+ψ（B）≥ 1.-L+f（B）表示Mt≥ 1.-LtW-a.s.，尤其是E【Mt】≥ 1.- E[Lt]对于所有t>0，因此E[Mt]>0由Emma 7.1决定。引理7.1的证明。（i） 我们首先提供一个辅助结果。设W是在具有测度Q的过滤概率空间上的布朗运动。然后，对于所有T，DedXT=4Xtdt+dWt，X=0有一个唯一的强解X，直到其爆炸时间τ，且Q{τ<T}>0∈ (0, ∞). 事实上，X的存在性和唯一性来自于系数的局部Lipschitz连续性（参见，例如，[76，练习2.10，第383页]）。X的标度函数是p（X）=Rxe-2ydy，速度测量值为m（dx）=2e2xdx。Thusv（x）：=Zx（p（x）- p（y））m（dy）=ZxZxye2（y-z） dz dyand，尤其是v(∞) := 林克斯→∞v（x）由z给出∞Z∞e2（y-（y+u））du dy=Z∞Z∞e-2（u+4uy+6uy-4uy）du dy.与高斯积分的比较表明，该量是有限的。v（x）=v对称视图(-x） ，v也适用(-∞). 因此，Feller的测试表明，两个边界±∞ 是具有正概率的X时间的极限点；事实上，爆炸时间τ甚至满足τ<∞ 【57，提案5.5.32，第350页】的Q-a.s。使用X的同质性，这已经意味着所有T的Q{τ<T}>0∈ (0, ∞); 参见，例如，【17，定理1.1】，了解一个优雅的论点。（ii）我们现在可以证明引理。作为连续局部鞅的指数，很明显L是局部鞅且严格正，因此是上鞅。

让T∈ (0, ∞) 假设E[LT]=1，或者等价地，L是[0，T]上的鞅。然后我们可以在FTvia上引入等价概率Q，dQ/dW=LTandGirsanov定理表明过程Wt：=Bt- 4RtBsds是[0，T]上的QBrownian运动。此外，在Q下，B满足dBt=4Btdt+dWtandB=0。如（i）所示，这意味着对于B的爆炸时间τ，Q{τ<T}>0，这与Wis下的布朗运动B是非爆炸性的相矛盾。7.2ψ的正则性下例表明，如果要求对偶域D（G）中的函数ψ连续，则可能出现对偶间隙。奖励G=1Q（t）之前曾在[42]中使用，以说明当奖励函数在时间上不规则时，它们的对偶结果可能会失败。在我们的框架中，对偶性适用于定理5.5。尽管如此，详细说明优化器是有指导意义的，因为这突出了我们定义的机制。示例7.3。设G=1Q（t），ν=（δ-1+ δ)/2.（i） 我们有S（G）=i（G）=0，原始优化器由stoppingtimeτ=inf{t给出≥ 0：| Bt |=1}，双优化器由M给出≡ 0和ψ=1(-1,1).要看到这一点，让τ，M，ψ如上所述，并注意J=[-1, 1]. 我们选择kn=J，因此T：=Tn=τ表示所有n。我们声称ψ（B）≥ G在[0，T]上直到消失。实际上，ψ（B）=1在[0，T]上，因此{ψ（B）<G}包含在T的图中，当然也包含在{G=1}中∈ Q} =0，因此为[T]∩ {G=1}={T∈ Q} ×R+在消失之前可忽略不计。因此，（M，ψ）∈ D（G）。考虑到ν（ψ）=0和E[Gτ]=0，（M，ψ）和τ的最优性现在遵循推论5.6。（ii）如果对偶域被限制为连续函数ψ，则会出现对偶映射：连续ψ上的对偶问题的值为1而不是0。的确，让（M，ψ）∈ D（G）使得ψ是连续的。

我们声称存在c∈ R使得ψ（x）≥ 1+cx f或所有x∈ [-1, 1]; 特别是，这意味着ν（ψ）≥ 设σ<T为停止时间，设σ′n=inf{T≥ σ：t∈ 2.-nN}是通常的并矢近似σ′n↓ σ，设σn=σ′n∧T那么我们有mσn+ψ（Bσn）≥ Gσn=1，因为σn是{σn<T}上的有理值。As W{σn<T}→ ψ和M的连续性得到Mσ+ψ（Bσ）≥ 1，因此E[ψ（Bσ）]≥ 1、由于这一点尤其适用于任何集合的命中时间σ{-a、 b}其中-1 < -一≤ 0≤ b<1，则ψ**(0) ≥ 0，其中ψ**convexhull是否打开(-1, 1). 设c=-ψ**（0），然后再次使用ψ（x）之后的连续性≥ 所有x的1+cx∈ [-1，1]，如权利要求所述。7.3单调性原则在这一部分中，我们证明了推论5.8的单调性原则在没有可积条件的情况下是不成立的。事实上，我们有以下几点。提案7.4。存在一个Borel函数G:S→ [0, ∞), 所有力矩有限且S（G）<∞, 和随机停止时间ξ，ξ∈ R（ν）等价于S上的测度，例如ξ对于S（G）是最优的，而ξ对于f或S（G）不是最优的。对于任何Borel集Γ，ξ（Γ）=1等于ξ（Γ）=1 S、 它遵循ξ的最优性∈ R（ν）不能由其支持度来确定。我们从一些将用于施工的初步结果开始。回想一下ξ∈ R定义为C（R+）×R+上的度量，并通过ξ（Γ）：=ξ{（ω，t）诱导B（S）上的度量∈ C（R+）×R+：（ω|[0，t]，t）∈ Γ}; 事实上，ξ完全以后者为特征。A产品度量值WλonC（R+）×R+以相同的方式诱导S上的度量。在下面的内容中，我们设置f（x）=exp（x），并用L表示严格的局部鞅定义（7.2）。引理7.5。存在^ξint∈ R使得^ξint（f（B））+^ξint（t）<∞ 和^ξint>> W λ在S上，其中λ是Lebesgue测度。证据

对于n≥ 1我们定义τn=inf{t：| Bt |≥ n} andSn={（ω，t）∈ S：sups≤t |ωs |<n}={（ω，t）∈ S:t<τn（ω）}。我们首先构造ξn∈ R使得ξn【0，τn】=1和ξn>> W λ在Sn上。（7.4）考虑适应的、增加的过程和确定的因素：=1- e-tt<τn；它严格地增加和微分到τ，然后跳到值1。因此，核ξnω（dt）=dAnt（ω）=e-tt<τn（ω）dt+e-τn（ω）Δτn（ω）（dt）通过满足（7.4）的ξn=W（dω）ξnω（dt）定义随机停止时间。显然（7.4）意味着ξn（f（B））≤ exp（n）和ξn（t）≤ E[τn]=n≤exp（n）。让（an）n≥（0，1）中的一个序列≥1an=1和PN≥1anexp（n）<∞. 我们定义ξ：=Pn≥1anξn；然后ξ∈ 满足ξn（f（B））<∞ 和ξn（t）<∞. 由于每个停止的路径都是有界的，因此∪n≥1Sn=S，因此（7.4）表示ξ>> W λ根据需要在S上。引理7.6。设σ=inf{t:t+Bt=1}。存在一个与Bσ无关的Fσ-可测伯努利随机变量X。证据定义σ′=inf{t:t+Bt=1/2}。那么Bσ′是Fσ-可测的，并且其条件分布给定Bσ是无原子的。特别是，如果Bσ=x，则存在条件中值m（x）；也就是P[Bσ′≥ m（x）| Bσ=x]=1/2。按构造，X：=1Bσ′≥m（Bσ）具有伯努利分布且与Bσ无关。引理7.7。我们有ξ（L）≤ 1表示所有ξ∈ R、 如果ξ用ν（f）<∞, 那么ξ（L）=1。证据由于L是L=1的正局部鞅，我们有ξ（L）≤ 1通过法图引理。假设ξ∈ R（ν），其中ν（f）<∞ 并重新调用0≤ 书信电报≤ f（Bt）。由于f是凸的，f（Bt）是一个正s次鞅，直到ξ，因此属于（D）类，其中我们可以使用ξ表示为放大过滤中的非随机停止时间（参见引理3.10），以应用随机分析的标准结果。这意味着L是（D）类的阿马丁格尔，直到ξ，尤其是ξ（L）=1。提案证明7.4。

让G≥ 0是由gt=1t>σ，X=0+Lt确定的付款-σ（Bσ7→)1t>σ，X=1其中σ=inf{t:t+Bt=1}，随机变量X如引理7.6所示，用定义3.3表示，Lt-σ（Bσ7→) = 经验值（英国电信- Bσ）- 2Ztσ（3）（Bs- Bσ）+4（Bs- Bσ））ds.设ξint=σ⊕^ξintbe通过σ将^ξ移到引理7.5中得到的随机停止时间（参见定义3.3）；也就是说，如果ξint=W（dω）ξintω（ds），那么ξint=W（dω）ξintω（ds），其中ξintω[0，t]=1σ（ω）<tξintω·-ωσ（ω）[0，t- σ(ω)].利用引理7.7，我们得到ξint（G）=ξint（L）=1。接下来，设^ξexp为指数随机时间，由其核^ξexpω（ds）=e定义-sds。当引理7.1表示t>0时，E[Lt]<1时，我们有^ξexp（L）=R∞e-tE[Lt]dt<1。此外，^ξexp显然等同于Wλ在S上，因此^ξexp<<^ξint。相反，如果我们设置^ξavg=（^ξexp+^ξint）/2，那么^ξavgis等于^ξinton S，我们也有^ξavg（L）<1。定义ξ平均值=σ⊕^ξavg.那么ξavgandξintalready的性质接近所需的性质，但它们尚未嵌入相同的分布。为此，我们使用X随机混合两个停止时间。实际上，我们通过它们的核ξω：=ξavgωX（ω）=0+ξintωX（ω）=1，ξω：=ξavgωX（ω）=1+ξintωX（ω）=0来确定随机停止时间ξ和ξ。然后ξ（G）=ξ平均值（1）+ξint（L）=1，而ξ（G）=ξ平均值（L）+ξint（1）<1。通过构造，ξ和ξ在S上是等价的，并且嵌入了相同的分布ν。^ξ的可积性性质扩展了^ξintentail，即ν具有所有矩（甚至一些指数矩），且ξ（t）=ξ（t）<∞.附录：有限一阶矩的扩展在本文正文中，我们假设嵌入测度ν具有有限的二阶矩，但通过使用众所周知的事实，结果可以扩展到有限一阶矩的情况，代价是稍微复杂一些的定义。

关键的观察结果是，在二阶矩条件下，E[τ]<∞ 对于τ∈ T（ν）相当于τ是最小的（或一致可积的），并且在第一个动量情况下仍然可以使用最小值。对于随机停止时间，最简单的定义是通过在更大的过滤中引用其停止时间表示来获得的。在本节的其余部分中，ν是R上的中心分布，具有有限的一阶矩。定义A.1。设τ为有限停止时间，使得Bτ~ ν. 如果不存在较小的嵌入，则称τ为极小值；也就是说，如果σ是另一个停止时间，那么Bσ~ ν和σ≤ τa.s.，然后τ=σa.s。我们用T（ν）表示所有这些τ的集合。设ξ为随机停止时间，使得ξoB-1=ν，并让ρ为相关的F-停止时间；参见引理3.10。那么ξ被称为min imalifρ在上述意义上是最小的。我们用R（ν）表示所有这类ξ的集合。我们现在可以说明宣布的延期。备注A.2。第3–5节中的结果在最初的情况下仍然有效。证据修改如下。（i） 在引理3.8的证明中，我们使用了R（ν）是弱紧的。这在目前的情况下仍然适用；参见【6，第7.1节】。（ii）当且仅当B·∧τ是一致可积的；参见[65，定理3]。因此，在引理4.5和4.8的证明中，我们可以直接将B·∧τ是一致可积的，而不是从E[τ]<∞. （iii）命题5.2仍然成立，例如，根据【6，定理7.2和示例7.2.1】。（iii）引理5.3的证明再次使用了R（ν）是弱紧的；参见（i）。其他证明没有直接使用ν具有有限的秒矩。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制理论的无模型版本。数学《金融》，26（2）：233–251，2016年。[2] C.D.Aliprantis和K.C。

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