有限多边际约束下的最优Skorokhod嵌入

2022-5-8 08:49:08

尼扎尔。touzi@polytechnique.eduWhile在制作本文的最终版本时，我们从Mathias Beiglb¨ock那里了解到[2]中的新发展，这也是最终制作版本中的新发展，并将之前的工作[1]扩展到了许多边际约束的情况。我们强调，我们的方法完全不同，我们的结果是在更一般的条件下建立的，尽管两篇论文中的双重公式略有不同（更多细节见第2.3节）。在本文中，我们考虑将其推广到多个边际约束的情况。也就是说，设u：=（u，··，un）是一个给定的中心概率测度族，使得该族在凸序中增加，即对于每个凸函数φ：R→ R、一个hasZRφ（x）uk（dx）≤ZRφ（x）uk+1（dx）对于所有k=1，·n- 1.扩展SEP是为了找到一个不断增加的停止时间族τ：=（τ，···，τn），使得Wτk~ uk对于所有k=1，··，n和停止的过程Wτn∧·是统一整数的。我们研究了一个相关的优化问题，它包括在所有这些嵌入中最大化某些奖励函数的期望值。研究这一问题的动机之一是将其应用于金融领域，以计算与普通期权市场价格相关的或有索赔的无套利模型独立价格界限。从数学上讲，根据无套利条件，标的资产必须是鞅，并且市场校准允许在某些到期日恢复标的资产的边际规律（参见Breeden&Litzenberger[8]）。然后通过考虑满足给定边际分布的所有鞅，我们可以得到无轨道价格界。

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2022-5-8 08:49:12

基于Dambis Dubins Schwarztheorem认为每一个连续鞅都是一个时变布朗运动的事实，Hobson在他的论文[33]中利用SEP研究了回望期权的无模型套期保值。他的开创性工作的主要思想是利用满足某些最优性准则的SEP的一些解，这将产生无模型套期保值策略，并允许同时解决无模型定价和套期保值问题。从那时起，最优SEP得到了数学金融界的大量关注，并在文献中实现了各种扩展，如Cox&Hobson[13]、Hobson&Klimek[35]、Cox、Hobson&Ob l\'oj[14]、Cox&Ob l\'oj[15]和Davis、Ob l\'oj&Raval[16]、Ob l\'oj&Spoida[47]等。霍布森的调查论文[34]提供了详尽的文献。Beiglb–ock、Cox和Huesmann推广了这种启发式思想，并在[1]中公式化了最优SEP，它通过统一的公式恢复了许多以前已知的结果。也就是说，他们的主要结果是双重的。首先，他们建立了最优SEP和相应的套期保值问题模型之间的预期一致性。其次，他们通过几何路径性质推导出最优嵌入的特征，该性质允许恢复文献中所有已知的嵌入。无模型套期保值的问题也通过鞅最优运输进行了探讨，如Beiglb¨ock、Henry Labord`ere&Penkner[3]在离散时间情况下提出的，以及Galichon、Henry Labord`ere&Touzi[27]在连续时间情况下提出的。进一步的发展丰富了这方面的文献，如Beiglb–ock&Juillet[4]、Henry Labord`ere&Touzi[32]、Henry Labord`ere、Tan&Touzi[31]等。Dolinsky&Soner[21,22]对连续时间鞅最优输运做出了显著贡献。

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2022-5-8 08:49:15

我们还参考了Tan和Touzi[52]，了解更一般受控随机动力学下的最优运输问题。本文的目的是重温[1]的对偶结果，并在更一般的条件下将对偶性推广到多个边缘约束的情况。我们的方法使用完全不同性质的工具。首先，通过遵循凸对偶方法，我们将最优SEP转化为经典最优停止问题的一个极小值。接下来，我们使用标准的动态编程方法将此类最优停止问题与模型问题联系起来。我们观察到，导出的对偶性允许重现[1]中介绍的最优嵌入的几何特征，参见例[28]。最后，我们证明了我们的结果导出了连续路径空间中一类鞅最优运输问题的对偶性。论文的结构如下。在第2节中，我们在许多边际约束下给出了最优解，并给出了两个对偶结果。第三，最优SEP的对偶性和时变参数给出了多边际约束下鞅最优运输问题的对偶性。我们最终在第4节中提供了相关证据。符号。（i）让Ohm := C（R+，R）是所有连续路径的空间ωonR+，ω=0，B是标准过程，Pbe是维纳测度，F:=（Ft）t≥0是由B生成的标准过滤，Fa:=（Fat）t≥0为P.（ii）定义中某些固定整数的建议过滤≥ 1.扩大的正则空间Ohm := Ohm ×Θ（见El Karoui&Tan[25,26]），其中：=（θ，··，θn）∈ Rn+：θ≤ · · · ≤ θn. 所有的元素Ohm 表示为ω：=（ω，θ）和θ：=（θ，·θ，θn）。用（B，T）（T:=（T，···，Tn））进一步表示Ohm, i、 e.Bt（\'ω）：=ωtandT（\'ω）：=每ω=（ω，θ）的θ∈Ohm.

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能者818

2022-5-8 08:49:19

放大的标准过滤表示为byf:=（Ft）t≥0，其中FTI由（Bs）0生成≤s≤看完所有的布景{Tk≤ s} 所有的∈ [0，t]和k=1，··，n。特别是，所有随机变量t，··，TnareF-停车时间。（三）捐赠Ohm 对于紧致收敛拓扑，以及对于经典吕氏拓扑，则Ohm 和Ohm 这两个空间都是波兰空间（可分离、完全可量化的空间）。尤其是F∞:=Wt≥是波雷尔σ吗-波利斯空间的领域Ohm （见引理A.1）。（iv）用C:=C（R）表示R上具有线性增长的所有连续函数的空间。（v）在本文中，a.s.和q.s.分别是一致可积、几乎肯定和拟肯定的缩写。此外，在某个可测空间上给定一组概率测度N（例如，下面的N=P和N=M），我们写出N-q、为了表示某些性质在N.2的每一个概率下都有一个最优Skorokhod嵌入问题和对偶性，在这一节中，我们构造了一个在许多边际约束下的最优Skorokhod嵌入问题（SEP），以及它的对偶问题。然后我们提供了两个对偶结果。2.1最优Skorokhod嵌入问题在本文中，u：=（u，···，un）是n个概率测度onR的向量，我们表示，对于任何可积函数φ：R→ R、 uk（φ）：=ZRφ（x）uk（dx）对于所有k=1，··，n。如果每个概率uk为有限的第一时刻，即uk（|x |），则向量u称为孔雀+∞, μ在凸序中增加，即k7→ 对于每一个凸函数φ，uk（φ）都是不变的。如果uk（x）=0表示所有k=1，···，n，则称孔雀u为居中。用P表示所有孔雀的集合。最佳SEP正如Beiglb–ock、Cox&Huesmann[1]中所述，我们将在弱环境下考虑问题，即停车时间可以通过扩大空间上的概率测量来确定Ohm.

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nandehutu2022

2022-5-8 08:49:22

回想一下Ohm 用ω表示：=ω、 θ=（θ，··，θn）标准元素用B、 T=（T，·Tn）, 尤其是T，TN都是F-停车时间。让P(Ohm) 上所有概率测度的空间Ohm, 和定义：=nP∈ P(Ohm) : B是F- 布朗运动与BTn∧·用户界面在Po下。（2.1）为任何给定的概率度量族设置u=（u，···，un）P（u）：=nP∈ P:BTkP~ uk对于所有k=1，···，no.（2.2）作为[42]中凯勒定理的结果，P（u）是非空的当且仅当u∈ P.让我们：Ohm → R是一个Borel可测函数，如果Φ（ω，θ）=Φ，则Φ称为非预期函数ωθn∧·, θ对于每个（ω，θ）∈Ohm. 定义非激励函数ΦbyP（u）：=supP的最佳SEP∈P（u）EPΦ（B，T）, （2.3）其中，随机变量ξ的期望值由EP[ξ]=EP[ξ+]定义- EP[ξ-]与公约∞ - ∞ = -∞. 如果至少存在aP，则问题是适定的∈ P（u）使得EP[|Φ（B，T）|]+∞. 我们强调，在本文中，Φ被认为是非预期的。备注2.1。（i） Au-嵌入是一个集合=Ohmα、 Fα，Pα，Fα=（Fαt）t≥0，Wα，τα=（τα，·τα，ταn）,其中Wα是Fα-布朗运动，τα，··，τα增加Fα-停止时间，使Wαταn∧·是一致可积的，Wαταk~ uk对于所有k=1，···n.我们观察到，对于每一只居中的孔雀u-嵌入α会导致一种可能性测量ep:=Pαo （Wα，τα）-1.∈ P（u）。相反，每一个概率测量∈ P（u）与正则空间(Ohm, F∞), 标准元素（B，T）是μ-嵌入。然后用（u）表示所有u的集合-嵌入时，最佳SEP（2.3）相当于tosupα∈A（u）EPαΦ（Wα，τα）.（ii）问题（2.3）可被视为最优SEP的弱公式。强公式包括考虑所有停车时间w.r.t。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:49:25

布朗过滤，它可能不等同于弱配方（尤其是当μ的原子为0时，参见示例2.11）。虽然大多数著名的嵌入都是“强”停止时间，但一些最优嵌入是在“弱”意义下构造的，如Hobson&Pedersen[36]中的嵌入。我们还注意到，在一般情况下，考虑弱公式以获得优化器的存在是自然的，因为在weakconvergence拓扑下，所有“弱”嵌入的空间都是紧凑的，如下所示。2.2对偶结果我们引入两个对偶问题。回想一下，Pis的Wiener measureOhm =C（R+，R），其中标准过程B是标准布朗运动，F=（Ft）t≥0是标准过滤，Fa=（Fat）t≥0是P吗-强化过滤。指所有不断增加的家族的集合-停止时间τ=（τ，···，τn）使得过程Bτn∧·是一致可积的。定义函数类∧：=Cn=nλ：=（λ，···，λn）：λk∈ c对于所有k=1，····否（2.4）表示u=（u，···，un），λ=（λ，··，λn）和ω、 θ=（θ，··，θn）∈Ohm, 我们用ωθ表示u（λ）：=nXk=1uk（λk）和λ（ωθ）：=nXk=1λk（ωθk），ωθ：=（ωθ，···，ωθn）。然后给出了最优SEP（2.3）的第一个对偶问题byD（u）：=infλ∈∧nsupτ∈塔普Φ（B，τ）- λ（Bτ）+ u（λ）o.（2.5）至于第二个对偶问题，我们回到放大的空间Ohm. 给定P∈ P、安非他命-可选流程M=（Mt）t≥0被称为强P-超级艺术家MτFτ≤ Mτ，P- a、 s代表所有F-停止时间τ≤ τ. 让我们分享所有F的空间-渐进可测量过程H=（Ht）t≥0使zthsds<+∞ 每一个t≥ 0，P- q、 s。。因为∈ Lloc，随机积分（H·B）：=R·hsdbs是定义良好的P-a、 s.福尔普∈ P

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2022-5-8 08:49:29

我们引入了一个子过程：H:=nH∈ Lloc:（H·B）是P- 对所有P∈ 阿宝。表示进一步的d:=n（λ，H）∈ ∧×H:λ（BT）+（H·B）Tn≥ Φ（B，T），P- q、第二个对偶问题是比亚迪（u）：=inf（λ，H）∈Du（λ）。（2.6）粗略地说，这两个对偶问题分别将原始问题（2.3）的不同约束二元化。通过惩罚边际约束，我们得到了（2.5）的第一个对偶问题D（u），其中每个固定λ出现一个多周期最优停止问题∈ Λ. 然后（2.6）中的第二个对偶问题D（u）接着通过斯奈尔包络法和杜布-迈耶分解来解决最优停止问题。我们的主要对偶结果需要以下条件。假设2.2。奖励功能：Ohm → R是Borel可测的，非能动的，从上方有界，θ7→ Φ（ωθn）∧·, θ）上半连续forP-a、 e.ω∈ Ohm.假设2.3。下列条件之一成立。（i） n=1。（ii）n≥ 2和映射ω7→ Φ（ω）是上半连续的。（iii）n≥ 2和奖励函数Φ允许表示Φ（°ω）=nXk=1Φk（ω，θ，··，θk），其中每个k=1，··，n，Φk：Ohm ×Rk+→ 满足Φk（ω，θ，··，θk）=Φk（ωθk∧·, θ、和（θ，θ，θk）-1) 7→ Φk（ωθk）∧·, θ、 ··，θk）对0是一致连续的≤ θ≤ · · · ≤ θk-1.≤ θk，在θk中一致。定理2.4。（i）在假设2.2下，有一些*∈ P（u）使*[Φ]=P（u）=D（u）。（ii）另外假设假设2.3成立，则p（u）=D（u）=D（u）。当Φ是假设2.3（iii）中引入的形式时，我们可以考虑一个更强的对偶公式。

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2022-5-8 08:49:32

用H表示所有F的集合-可预测过程H:R+×Ohm → R，使得stocstic积分（H·B）t:=rthsdbs是P和（H·B）t下的鞅≥-C（1+| Bt |）对于某些常数C>0。在过滤过的空间里(Ohm, F、 P，F），我们说一个进程X是（DL）类的，如果对于每个进程≥ 0，族{Xτ：τ≤ t是停止时间}是一致可积的；我们说F-类（DL）的可选进程X是F- 对于所有有界停止时间σ≤ τ、一个有Xσ≥ EP[Xτ| Fσ]。用S进一步表示所有F的集合-超级艺术家(Ohm, F、 P）使| St |≤ C（1+| Bt |）对于某些常数tc>0。定义d′：n（λ，H，··，Hn）∈ ∧×（H）n:nXk=1λk（ωθk）+Zθkθk-1HksdBs≥ Φω, θ对于所有0≤ θ≤ · · · ≤ θn和P- a、 e.ω∈ Ohmo、 and d′：=n（λ，S，·Sn）∈ ∧×（S）n:nXk=1λk（ωθk）+Skθk- Skθk-1.≥ Φω, θ对于所有0≤ θ≤ · · · ≤ θn和P- a、 e.ω∈ Ohmo、提议2.5。假设假设2.2和假设2.3（iii）成立。另外假设Φk（ω，θ，··，θk）仅依赖于（ω，θk）。然后p（u）=D′（u）：=inf（λ，H）∈D′u（λ）=D′（u）：=inf（λ，S）∈D′u（λ）。（2.7）2.3更多讨论和示例标记2.6。在（ω，θ）7的条件下，上述对偶公式（2.6）已由[1]在一个边际情形（n=1）中初步给出并证明→Φ(ωθ ∧·, θ）是从上到上半连续的。当n=1时，我们的对偶结果在更一般的条件下成立：Φ是非预期的，从上面有界，θ7→ Φ(ωθ ∧·, θ） u.s.c.代表P-a、 e.ω∈ Ohm. 特别是，这允许包括Φ是停止的布朗运动的局部时间的函数的情况，因为布朗运动的局部时间在θ中是连续的，但在ω中没有规律性。作为一个重要的例子，Vallois的sembedding提供了最优嵌入w.r.t.局部时间的凸函数，参见。

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2022-5-8 08:49:35

[14, 11].尽管如此，我们在对偶问题（2.6）中使用了准肯定公式，在（2.7）中使用了冷漠公式。[1,2]中的对偶问题使用了一个路径公式。此外，在我们的例子中，他们没有使用随机积分（H·B），而是在对偶公式中使用在（t，ω）中连续的鞅。对于多重边缘情况（n≥ 2）当Φ在ω中没有正则性时，我们需要时间变量（θ，···，θn）的一致连续性条件-1）一致连续性条件是聚合经典最优停止问题中出现的超鞅族的技术条件。我们可以通过一系列Lipschitz函数来逼近u.s.c.函数。然而，为了保留Φ的非预期性质，我们需要假设Φ是假设2.3（ii）中的两个变量（ω，θ）（参见第4.3.2节中的证明）。这也是K–allblad，Tan&Touzi[39]中ω的正则性条件的主要原因，在这里，对偶结果被推广到了完全多边缘的情况。备注2.7。优化器的一个特征*已在[1]中提供，称为单调性原理。我们随附的论文[28]给出了这一结果的另一种证明。（ii）对于一般鞅最优运输问题，对偶优化器λ*可能不存在，如贝格洛克、亨利·劳德埃和彭克纳[3]所示。最近，通过放松一维离散时间鞅输运的对偶公式，Beiglb¨ock，Nutz&Touzi[5]得到了“弱”意义下对偶优化器的存在性。在我们的环境中，对偶优化器的存在仍然是一个开放的问题。（iii）然而，当函数Φ有一种特殊形式时，我们有双优化器λ*, 优化器呢*λ*可以显式构造。

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2022-5-8 08:49:40

例如，霍布森[33]提供了当n=1且Φ是运行最大值的递增函数时的构造，霍布森和克里梅克[35]研究了向前开始跨坐的情况，考克斯、霍布森和Ob l\'oj[14]考虑了本地时间的函数，参见布朗、霍布森和罗杰斯[9,10]、考克斯和Ob l\'oj[15]、戴维斯、Ob l\'oj和拉瓦尔[16]等，了解更多具体情况。我们还参考了Hobson[34]对这些结构的详细回顾。备注2.8。基于（2.5）中的第一个对偶问题D（u），Bonnans和Tan[7]给出了上述最优9月的数值算法。备注2.9。为了证明等式D（u）=D（u），我们使用反向迭代方法研究了多重最优停止问题，因为停止时间t···，tn被假定为有序的。订单条件T≤ · · · ≤ Tnis naturalas的动机在于其在金融领域的应用（见第3节），并且在我们的论证中具有技术上的必要性。如果没有顺序条件，人们总是可以制定非最优SEP，但相应的对偶问题似乎并不清楚。例2.10。（i）设φ：R+×（R）nbe是一个连续函数，从上面有界，表示ωt:=sup0≤s≤tωsandωt:=inf0≤s≤tωs.自ω7→ （ωt，ωt，ωt）是连续的，由Φ（ω，θ）定义的奖励函数Φ：=φθi，ωθi，ωθi，ωθi，i=1，··，n满足度明显高于假设2.2和2.3（ii）。（ii）让我：Ohm ×R+→ R是布朗运动的局部时间。我们可以选择成为F-从任何一位足总都可以预测-可预测的过程与anF难以区分-可预测的过程。然后t 7→ 对于P，Lt（ω）是连续的并且是递增的-a、 e.ω∈ Ohm. 设φ：R+→ R是一个连续函数，从上面有界，那么Φ（°ω）：=φ（Lθn（ω））满足假设2.2和2.3（iii）。例2.11（强公式和弱公式之间的不等效性）。当u在0处有一个原子时，可以很容易地显示强公式和弱公式之间的不等价性。

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nandehutu2022

2022-5-8 08:49:43

设n=1，u：=δ{0}+δ{1}+δ{-1} Φ（ω，θ）：=1{0}（θ）。定义τ：=inf{t:| Bt |≥ 1} ，andP:=Po （B，0）-1+Po （B，τ）-1，那么∈ P（u）和EPΦ（B，T）=. 进一步，让τ∈ Tasuch表示Bτ~ 在维纳测度P下，然后P[τ>0]>0。由于增广布朗滤波满足Blumenthal的零一定律，那么P[τ>0]=1。接下来是supτ∈Ta，Bτ~uEPΦ（B，τ）= 0 <≤ 晚餐∈P（u）EPΦ（B，T）.最后我们给出了一个例子，当Φ（ω，θ）在θ中具有非正则性时，对偶性失效。例2.12。设n=1，Φ（ω，θ）：=1Q（θ），其中Q表示所有有理数的集合，u：=δ{1}+δ{-1}. 我们首先注意到p（u）只有一个元素，这是由（B，τ）引起的概率度量，其中B是标准布朗运动，τ：=inf{t:|Bt|≥ 1}. 事实上，对于任何一个P∈ P（u），一个hasEP[T]=EP[BT]=EP[τ（B）]和T≥ τ（B），P-a、此外，由于命中时间τ是R+上连续分布的随机变量，因此p（u）=supP∈P（u）EPΦ（B，T）= EPQ（τ（B））= 关于对偶问题，我们注意到λ∈ ∧是一个连续函数，我们可以通过停止时间取Q，然后取supτ来近似停止时间∈塔普Q（τ）- λ（Bτ）]=supτ∈塔普1.- λ（Bτ）]，对于所有λ∈ Λ.然后根据（2.5）中的定义，D（u）=infλ∈Λu（λ）+supτ∈塔普1.-λ（Bτ）]= 1.类似地，我们可以很容易地推断出，对于Φ（°ω）=1Q（θ），D（u）=1，在上面的上下文中，p（u）=0 6=1=D（u）=D（u）。3.应用于一类鞅输运问题在本节中，我们利用最优SEP的对偶结果来研究多个边际约束下的连续时间鞅输运问题。作为研究鲁棒超边缘问题的金融应用，多边缘情况非常自然。

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能者818

2022-5-8 08:49:47

也就是说，当普通期权可用于多个到期日的交易，从而导致标的资产多次出现边际分布时，我们可以将鲁棒超边缘问题描述为多个边际约束下的鞅运输问题。3.1鲁棒超边缘和鞅传输定义标准过程X:=（Xt）0≤T≤1by Xt=B1∧t所有t∈ [0,1]且其自然过滤系数F=0≤T≤1.用M进一步表示所有鞅测度P的集合，即X是鞅的概率测度。设I:=（0<t<···<tn=1）是一组时间点，并定义了一组可移动的运输计划∈ PM（u）：=nP∈ M:Xtk＠P~ uk对于所有k=1，···，无。根据Karandikar[40]，存在一个非递减的F-渐进过程hXi取[0]中的值，∞], 使得hXi与X，~P的二次变化一致-a、 s.对于每个鞅测度P∈ M.表示hXi-1t:=infs≥ 0:hXis>t∧ 1和重量：=XhXi-1t{t<hXi}+X+cWt-hXi{t≥hXi}，（3.8），其中cw是一个独立的布朗运动。然后，根据DambisDubins-Schwarz定理（参见Revuz&Yor[49，定理1.7，第五章]），过程W是一个布朗运动。我们还表示W（X）：=（XhXi-1t）0≤T≤在一般情况下，我们需要扩大空间来获得一个独立的布朗运动。然而，在下文中，我们将始终考虑非预期函数Φ（WhXitn∧·, hXit，··，hXitn）表示0≤ T≤ · · · ≤ tn=1，这并不真正取决于Cw。这只取决于X。对于可测函数ξ：Ohm → R、多重边际约束下的鞅输运问题定义为P（u）：=supP∈M（u）EPξ（X）. （3.9）用H表示所有F的集合-渐进过程H:=（~Ht）0≤T≤1如此之多+∞, M- q、美国。

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2022-5-8 08:49:50

（H·X）是P- 所有人的超级马丁格尔∈ M.然后，这两个对偶问题由∧D（u）：=infλ给出∈∧nsupP∈我ξ十、- λ（XI）+ u（λ）oandD（u）：=inf（λ，~H）∈其中λ（XI）：=nXi=1λi（Xti），其中XI:=（Xt，···，Xtn）和D:=n（λ，~H）∈ λ××H:λ（XI）+（H·X）≥ ξ十、, M- q、 s.o.很容易检查弱对偶性是否成立：~P（u）≤~D（u）≤~D（u）。（3.11）3.2对偶性和财务解释利用定理2.4中最优SEP的对偶结果，我们可以建立上述鞅运输问题的对偶性。定理3.1。假设奖励函数ξ允许表示ξ（X）=ΦW、 hXit，···，hXitn对于某些Φ，W=W（X）：Ohm → R满足假设2.2和2.3。然后，P（u）=D（u）=D（u）。财务解释示例3.2。让我们：R+×RN→ R是一个连续函数，从上到下有界，ξ由ξ（X）=φ定义hXiti，Xti，Xti，Xti，i=1，·n, （3.12）其中xt:=sup0≤s≤tXsand Xt:=inf0≤s≤tXs。然后用Φ（ω，θ）：=φθi，ωθi，ωθi，ωθi，i=1，··，n,式中ωt:=sup0≤s≤tωsandωt:=inf0≤s≤tωs，很明显，ξ满足定理3.1中的条件（另见示例2.10）。形式（3.12）涵盖了回望期权、障碍期权、方差期权等一大类支付函数。定理3.1中的对偶结果将无套利价格边界问题与最小稳健超边问题联系起来。鞅测度P∈ M可以看作一个市场模型，在阿马丁格尔测度下的ξ期望提供了期权ξ的无套利价格。然后是一个概率测度P∈ M（u）可以被认为是一个根据市场信息校准的鞅模型，因为当市场上某些到期日的普通期权足够丰富时，可以恢复基础期权的边际分布u（参见E.g.[8]）。

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2022-5-8 08:49:54

因此，原始问题（3.9）提供了一个无套利的价格边界。对于对偶问题（3.10），λ和∧H定义了一个半静态策略，在所有可能的鞅模型下，几乎可以肯定地超级复制支付ξ。然后，D（u）使用一类可能的静态和动态策略，提供了奇异选项ξ的最小稳健超边缘成本。这里的稳健性指的是，潜在的概率度量不是预先确定的，因此在所有可能的模型下都会施加超级套期保值要求∈ M.在Dolinsky&Soner[21]中，对于n=1的情况，对于一般支付函数ξ，建立了对偶性（在更强的意义上），该函数相对于统一度量是Lipschtiz。在我们的定理3.1中，奖励函数ξ更具体，但它可能包括对基础过程二次变化的依赖，这与金融中的方差期权有关。此外，我们的结果考虑了多边缘病例，他们的技术的这种扩展似乎并不明显，另见Hou&Ob l\'oj[37]和Biagini，Bouchard，Kardaras&Nutz[6]的工作。最近，在Dolinsky&Soner[22]中的Skorokhod空间下适条件中证明了一种类似的对偶性，其中假定基础资产在c`adl`ag函数的某个子空间中取值（另见[29]）。定理3.1的证明。将OREM 2.4中的对偶P（u）=D（u）=D（u）与弱对偶P（u）相结合≤~D（u）≤~D（u），足以证明（u）≤~P（u）和D（u）≥§D（u），其中P（u）和D（u）分别在（2.3）和（2.6）中用奖励函数Φ定义。（i）定义流程M:=（Mt）0≤T≤1byMt:=BTk+t-tktk+1-T∧Tk+1适用于所有t∈ [tk，tk+1）和0≤ K≤ N- 1，T=T=0，M=BTn。很明显，M在每个概率下都是连续鞅∈ P和Mtk=btk对于所有k=1，··，n，这特别意味着MtkP~ ukfor everyP∈ P（u）。

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2022-5-8 08:49:57

让P∈ P（u）可以是任意的，那么P:=Po M-1.∈ M（u）。此外，我们发现P-a、美国，hMitk=TK对于所有k=1，···，nand Bt=MhMi-1t，即得出ξ（M）=ΦB、嗯。。。，嗯= Φ（B，T），P- a、 s.P（u）≥ EPξ（M）= EPΦB、 T. （3.13）它遵循这一点（u）≤~P（u）。（ii）现在让我们来证明D（u）≤ D（u）。Let（λ，H）∈ D、即（λ，H）∈ λ×H等于λ（BT）+（H·B）Tn≥ ΦB、 T,P- q、 s。。对于每一个P∈ M、根据Dambis-Dubins-Schwarz定理，在（3.8）中定义的时变过程是关于时变过滤的布朗运动~FhXi-1tT≥0在每t的P和xt=whxit下∈ [0,1]，~P- a、此外，hXiI:=（hXitk）1≤K≤鼻孔停止时间w.r.t.时间变化过滤~FhXi-1tT≥0.让我们定义：=~PoW、 hXit。。。，Hxitin-1，那么∈ 我们有-a、 s.λWhXiI+Hs·WhXi≥ ΦW、 hXit。。。，Hxitin.定义Hs（X）：=HhXisW、 hXit。。。，Hxitin,然后是Revuz和Yor[49]的命题V.1.4和V.1.5，即H是＠F-逐步可测量，使ZHsdhXis=ZhXiHsds<+∞,~P- a、美国，以及H·WhXit=每0≤ T≤ 1，~P- a、 s.λ（XI）+（H·X）≥ ΦW、 hXit。。。，Hxitin= ξ十、,~P- a、 s.（3.14）注意∈ H、因此（H·W）在＠P下是一个强上鞅，这是由随机积分H·WhXi·在P（就其自然过滤而言）下是可分的，在H·X下也是如此。因此H∈~H及进一步（λ，~H）∈~D.~D（u）≤ D（u），由此得出结论。4定理2.4的证明为了证明我们在定理2.4中的主要结果，我们从4.1节中的一些技术引理开始。

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2022-5-8 08:50:00

然后在第4.2节中，我们提供了优化器的存在性*∈ P（u）和定理2.4中的第一对偶性P（u）=D（u），其中主要参数是紧性以及芬切尔-莫罗定理。最后，在第4.3节中，我们使用最优停止理论的经典结果，完成了定理2.4中第二对偶P（u）=D（u）和命题2.5中第二对偶P（u）=D′（u）=D′（u）的证明。第二对偶公式中的超套期保值策略可以直接从D（u）中停止问题的Snell包络的Doob-Meyer分解和鞅表示定理得到。在第2.5.4.1条技术引理的证明中，第4.3.3节更好地说明了这一论点表示全中心孔雀的集合，这是R上概率测度向量的集合。我们首先引入收敛的概念强于弱收敛。一系列有中心的孔雀um=（um，··，umn）M≥1. P据说在Wtou=（u，···，un）下趋同∈ P如果umk收敛到ukunder，则allk=1，···，n的瓦瑟斯坦度量（我们用umW表示）-→ u). 请注意，巴塞尔斯坦度量下的收敛等价于弱收敛拓扑下的收敛以及一阶矩的收敛（Villani[53]中的定义6.1]）。更准确地说，根据[53]的定理6.9，收敛性为umW-→ u仅适用于iflimm→∞umk（φ）=所有φ的uk（φ）∈ Cand k=1，···，n.（4.15）此外，为了应用芬切尔-莫罗定理，我们将考虑包含所有中心孔雀的线性拓扑空间。设M表示R上所有有限有符号测度的空间1+| x||ν|（dx）<+∞. 我们用Wasserstein拓扑赋予WM，即（νm）m≥1. M和ν∈ M、我们说在Wiflimm下，νmconverge到ν→∞ZRφ（x）νm（dx）=所有φ的ZRφ（x）ν（dx）∈ C

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2022-5-8 08:50:03

（4.16）设Mn:=M×。。。×M是n-M的乘积，赋予乘积拓扑。很明显，在W，P是MNP的一个闭凸子空间，且该收敛性对P的限制与Wasserstein收敛相同。众所周知，具有弱收敛拓扑的所有有限有符号测度的空间是局部凸拓扑向量空间，其对偶空间是所有有界连续函数的空间（参见Deuschel&Stroock[20]第3.2节）。通过完全相同的论证（见[29]的附录），我们得到了以下类似的结果。引理4.1。MNW存在一个与W兼容的拓扑-收敛，使得（Mn，On）是一个hausdorff局部凸空间。此外，它的对偶空间是（Mn）*= Λ.我们下一步转到spaceP(Ohm) 在Polishspace上所有的Borel概率测度中Ohm. 用Cb表示(Ohm) 上所有有界连续函数的集合Ohm, 和Bmc(Ohm) 所有有界可测函数φ的集合，使得θ7→ φ（ω，θ）对所有ω都是连续的∈ Ohm. 注意，弱收敛拓扑(Ohm) 定义为P7→ EP[ξ]对所有ξ都是连续的∈ Cb(Ohm). 继Jacod&M\'emin[38]之后，我们介绍了P上的稳定收敛拓扑(Ohm) 作为p7下的最粗糙拓扑→ EP[ξ]对所有ξ都是连续的∈ Bmc(Ohm). 回想一下，P中的每个概率度量（由（2.1）定义）在Ohm. 然后作为[38]中命题2.4的直接结果，我们得到以下结果。引理4.2。空间P上的弱收敛拓扑和稳定收敛拓扑。引理4.3。让（um）m≥1是一系列居中的孔雀，使得umW-→ u和（Pm）m≥1a具有Pm的概率测度序列∈ P（um）适用于所有m≥ 1.然后（下午）m≥1在弱收敛拓扑下是相对紧凑的。

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2022-5-8 08:50:07

此外，任何（Pm）m的累积点≥1至P（u）。证据（i）对于任意ε>0，存在一个紧集D Ohm 使Pm（D×Θ）=P（D）≥ 1.- ε每m≥ 1.此外，根据门罗[45]的命题7，对于任何常数C>0，PmTn≥ C≤ C-1/31 +umn（|x |）≤ C-1/31 +卸荷点法≥1umn（|x |）.选择立方体[0，C]n足够大，以便T∈ [0，C]n≥ 1.- ε表示所有m≥ 1.密封性（Pm）m≥1弱收敛下的拓扑遵循byPmD×[0，C]n≥下午D×Θ+下午Ohm ×[0，C]n- 1.≥ 1.- 2ε适用于所有m≥ 1.不设任何限制点。通过可能减去一个子序列，我们假设→ 糟糕。（ii）注意B isF-每个P下的布朗运动，以及由此产生的过程φ（Bt）-Rt k′（Bs）ds是aF-Pm k下的鞅是有界的，光滑的，有界导数的。注意，映射（ω，t）7→ ν（ωt）-Rt~n′（ωs）ds也是有界连续的，然后是nepmh~n（英国电信）- ~n（Br）-Ztrа′（Bu）duψi=0，对于每个s<r<t和有界连续andFr-可测随机变量ψ。接受极限→ ∞, 就在那一刻~n（英国电信）- ~n（Br）-Ztrа′（Bu）duψi=0，（4.17）表示所有fr-可测有界连续随机变量ψ。自从财政司司长Fr-, Fr在哪里-由所有Fr的类生成-可测有界连续随机变量（见引理A.1），因此（4.17）对于所有边界和Fs仍然成立-可测ψ。让r→ s、根据支配收敛定理，可以得出（4.17）适用于每一个s<t和有界F-可测随机变量ψ。这意味着B是anF-P.（iii）下的布朗运动，我们接下来假设∈ P（um）和proveBTn∧·是一致可积的。（4.18）μm的收敛性≥1到u特别意味着BTn- R+= umn（|x |- R）+-→ un（|x |- R）+< + ∞.因此，对于每一个ε>0，都有足够大的Rε>0，使得umn（|x）|-Rε）+<ε每m≥ 1.

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2022-5-8 08:50:12

接下来是詹森不等式和|x | 1{|x |>2R}≤ 2（|x |- R） +thatEPmBTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ 下午2点BTn- Rε+≤ 2ε适用于所有t≥ 注意函数|x | 1{|x |>2Rε}是下半连续的，我们通过Fatou的lemmaEP得到BTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ lim infm→∞EPmBTn∧T{| BTn∧t |>2Rε}≤ 2ε，这证明了索赔（4.18）。此外，由于映射（ω，θ）7→ ωθkis连续，因此BTkP~ uk对于所有k=1，··，n.因此，P∈ P（u），由此得出结论。4.2第一对偶的证明我们现在在定理2.4中提供第一对偶结果的证明。主要想法是显示u7→ P（u）是凹的，上半连续的，然后使用Offrenchel-Moreau定理。引理4.4。在假设2.2下，地图∈ P7.→ P（u）∈ R是凹面的，上半连续的w.R.t.w.此外，对于每u∈ P, 有一些*∈ P（u）使EP*[Φ]=P（u）。证据（i）让我们来看看∈ P,P∈ P（u）和P∈ P（u）和α∈ （0,1），然后根据他们的定义，一个人有αP+（1）- α） P∈ P（αu+（1）- α)u). 紧接着，地图显示为u7→ P（u）是凹的。（ii）我们现在证明u7→ P（u）是上半连续的w.r.t.w.Let（um）m≥1. P和μm→ u∈ P在W中，在可能传递到子序列之后，我们可以有一个族（Pm）m≥1就这样下午∈ P（um）和lim supm→∞P（um）=limm→∞EPmhΦB、 Ti、通过引理4.3，我们可以找到一个仍然用（Pm）m表示的子序列≥1弱收敛于someP∈ P（u）。此外，引理4.2表示映射P7→ EPΦ（B，T）是上半连续onP w.r.t.所有Φ满足假设2.2的弱收敛拓扑。然后我们通过法图的Lemmattlim supm获得→∞P（um）=limm→∞EPmhΦB、 T我≤ EPhΦB、 T我≤ P（u）。（iii）让我们∈ P, 选择um=u并使用相同的参数，紧接着就会出现someP*∈ P（u）使EP*[Φ]=P（u）。引理4.4中的结果以及芬切尔-莫罗定理暗示了定理2.4中的第一对偶性。

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2022-5-8 08:50:16

在提供证明之前，我们考虑对偶公式（2.5）中出现的最优停止问题。表示每λ∈ Λ,Φλ(ω, θ) := Φ(ω, θ) - λ（ωθ）表示所有（ω，θ）∈Ohm. （4.19）回顾Tadenotes收集了所有增加的Fa家族-停止时间τ=（τ，···，τn）使得Bτn∧·是一致可积的。回忆alsoP在（2.1）中定义为布朗运动和停止时间的一组度量。设N>0，也用TaN表示 t族的子集τ=（τ，···，τn）使得τn≤ N、 P-a、 s.进一步用PN表示 P的集合∈ P使Tn≤ N、 P-a、 s.引理4.5。设Φ有界，则对于每个λ∈ ∧，supτ∈TaEP[Φλ（B，τ）]=limN→∞supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]（4.20）=limN→∞晚餐∈PNEPΦλ（B，T）= 晚餐∈打气Φλ（B，T）.特别是，让我们∈ c用φconcits凹包络表示，一个hassupτ∈TaEP[φ（Bτn）]=φconc（0）。（4.21）证据。（i）给定λ∈ ∧，有一个常数C>0，这样Φλ（B，τ）≤ C1+nXk=1Bτk. （4.22）让τ∈ Ta，定义τN:=（τN，···，τNn），其中τNk:=τk∧ N、那么很明显limN→∞Φλ（B，τN）=Φλ（B，τ），P-a、由（4.22）中的支配和Bτn∧·是一致可积的，我们有limN→∞EPΦλ（B，τN）=EPΦλ（B，τ）. 然后是τ的任意性∈ 还有谭的事实 Tathatsupτ∈TaEP[Φλ（B，τ）]=limN→∞supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]。根据同样的论点，很明显我们也有支持∈打气Φλ（B，T）= 画→∞晚餐∈PNEPΦλ（B，T）.（ii）我们现在应用引理A.7来证明，对于每个固定常数N>0，supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]=supP∈PNEPΦλ（B，T）. （4.23）首先，我们假设n=1。放松∈ PN，表示Yt:=Φλ（B，t∧ N）很明显，EP监督≥0Yt< ∞. 表示byFP=（FPt）t≥0底层和FB增加的过滤，P B在Ohm 通过FB，P=（FB，Pt）t≥0itsP-强化过滤。很明显，FB，PtFPt。

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2022-5-8 08:50:19

更重要的是B是aFP-根据布朗运动，很容易检查概率空间(Ohm, FP，P）以及过滤FP和Fb，诗篇假设（K）（假设A.6）。然后是引理A.7，EPΦλ（B，T）≤ supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]，因此支持∈PNEPΦλ（B，T）≤ supτ∈TaNEP[Φλ（B，τ）]。然后我们得到等式（4.23），因为逆不等式是明确的。最后，当n>1时，使用相同的参数和归纳法来证明（4.23）就足够了。（iii）证明（4.21）有必要≡ 0和n=1。然后由（4.20）得出supτ∈塔普φ（Bτ）= 画→∞supτ∈TaNEPφ（Bτ）≤ φconc（0）。通过考虑布朗运动从一个开放区间的存在时间，这个逆不等式是明显的。因此，我们得出结论。定理2.4（i）的证明。引理4.4已经证明了最优嵌入的存在性。对于第一个对偶结果，我们将使用Fenchel-Moreau定理。让我们首先扩展地图u7→ 来自P的P（u）通过设置P（u）=-∞,每微升∈ Mn\\P. 使用引理4.4很容易检查扩展映射u7→ 从拓扑向量空间mn到R的P（u）仍然是凹的和上半连续的。然后用芬切尔-莫罗定理和引理4。1，它遵循P（u）=P**（u）=infλ∈∧nsupν∈P晚餐∈P（ν）EPΦλ（B，T）+ u（λ）o=infλ∈∧nsupτ∈塔普ΦλB、 τ+ u（λ）o，其中最后一个等式后跟（4.20）。因此我们有P（u）=D（u）。备注4.6。

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2022-5-8 08:50:23

当Φ有界时（这与第4.3.2节的约化有关），我们可以进一步证明d（u）=infλ∈∧+nsupτ∈塔普Φλ（B，τ）+ u（λ）o，（4.24），其中∧+：=λ=（λ，··，λn）∈ ∧：λk≥ 0表示所有k=1，··，n.事实上，使用（4.21）很容易看出，在定义D（u）时，它足以对所有函数λ类进行精确定义∈ λ+使得凸包络λconvk（0）>-∞ 对于所有k=1，··，m，因为由（4.21）和Φ，supτ的有界性∈TaEP[Φλ]=+∞ 什么时候(-λk）conc（0）=∞ 对于某些k.因此，在所有λ中取数值∈ 使λconvk（0）>-∞ 对于所有的k=1，··，m，因此λkis由下面的某个函数控制。因为EP[Bτk]=0表示每个τ∈ Ta，我们看到，通过可能从λk减去最后一个函数，就足以对类∧+.4.3第二对偶性的证明我们现在证明定理2.4（ii）中的第二对偶性P（u）=D（u），以及命题2.5中的P（u）=D′（u）=D′（u）。主要技术是使用最优停止问题的斯奈尔包络特征，以及Doob-Meyer分解。我们将逐步提供证据。在4.3.1节中，我们证明了弱对偶结果P（u）≤ D（u）在定理2.4和命题2的上下文中。5.然后在4.3.2节中，我们证明了有界奖励函数Φ的定理2.4（ii）和命题2.5已经足够了。接下来，在第4.3.3节中，我们提供了命题2.5的证明，该命题在假设2.2和2.3（i）下立即暗示了定理2.4（ii）。

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2022-5-8 08:50:26

最后，我们在第4.3.5节和第4.3.6节的假设2.2和2.3（ii）或（iii）下完成定理2.4（ii）的证明。在本小节中，我们称之为过滤空间上的过程X(Ohm, F、 P，Fa），如果每个t≥ 0，族{Xτ：τ∈ Ta，τ≤ t} 是统一整数的；我们说安法-类（DL）的可选进程X是所有有界停止时间σ的上乘IFF≤ τ，有Xσ≥ EP[Xτ| Faσ].4.3.1关于弱对偶我们注意到，从它们的定义来看，我们很容易在定理2.4和命题2.5的上下文中得到弱对偶。引理4.7。让我们：Ohm → R非预期，则一个搭扣（u）≤ D（u），P（u）≤ D′（u）和P（u）≤ D′（u）。证据（i） Let（λ，H）∈ D、一个定义为λ（BT）+（H·B）Tn≥ Φ（B，T），P- q、在美国，（H·B）是一个强大的超级艺术家。让P∈ P（u），根据上述不等式的期望值，可以得出u（λ）=EP[λ（BT）]≥ EPΦ（B，T）.随之而来的是P的任意性∈ P（u）和（λ，H）∈ D其中一个有P（u）≤D（u）。（ii）我们接下来证明P（u）≤ D′（u）。注意，对于任何H∈ H、一个人有（H·B）t≥-C（1+| Bt |）。那么无论如何∈ P、自进程BTn∧·是一致可积的，它由Fatou引理thatEPhZTk+1TkHsdBsi跟随≤ 0，每k=0，··，n- 1、使用与上述完全相同的参数，我们可以得出以下结论：P（u）≤ D′（u）。（iii）同样，我们可以很容易地证明P（u）≤ D′（u）。4.3.2减少到有界奖励函数建议4.8。为了证明定理2.4（ii）和命题2.5，在Φ有界的附加条件下证明结果就足够了。证据我们将在定理2.4（ii）的上下文中证明它，因为在命题2.5的上下文中的论点是相同的。假设当Φ有界且满足假设2.2和2.3时，对偶P（u）=D（u）成立。我们现在考虑Φ无界的情况。

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2022-5-8 08:50:29

设Φm:=Φ∨ (-m）（或Φm:=Pnk=1）(-m）∨ Φkin假设2.3（iii）），则Φmis-bounded满足假设2.2和2.3。用Pm（u）和Dm（u）表示与奖励函数Φm相关的对应原始值和对偶值，这样我们就得到了二元数m（u）=Dm（u）。此外，请注意Φm≥ Φ，一个有Pm（u）=Dm（u）≥ D（u）≥ P（u），其中最后一个不等式是引理4.7中的弱对偶。那就足以证明Lim supm→∞Pm（u）≤ P（u）。莱普姆∈ P（u），使lim supm→∞Pm（u）=lim supm→∞EPm[Φm]。然后在可能传递到子序列之后，我们可以假设lim supm→∞Pm（u）=limm→∞EPm[Φm]。通过引理4.3，我们知道（Pm）m≥1紧密，每个极限点都属于顶部（u）。设Pbe为（Pm）m的极限点≥1，并用m再次标记会聚子序列，即Pm→ P.然后通过单调收敛定理（u）≥ EP[Φ]=limm→∞EP[Φm]=limm→∞极限→∞EPl[Φm]≥ 林姆→∞极限→∞EPl[Φl]= 林苏普→∞Pl（u），这是所需的结果。4.3.3除命题2.5外，我们还可以通过命题4.8假设Φ是有界的，没有一般性损失。然后给出第一对偶P（u）=D（u），有必要研究最优停止问题SUPτ∈TahΦλB、 τi=limN→∞supτ∈塔恩Φλ（B，τ）, （4.25）对于给定的λ∈ ∧+（备注4.6）和有界Φk。注意，在这种情况下，有一些C-C1+nXk=1 |ωθk|≤ Φλ(ω) ≤ C.（4.26）假设n=1，那么通过引理A.3，有一个Fa-可选的l`adl`ag过程（Z1，Nt），每N∈ N、哪个是Fa-超鞅与最优停止问题supτ的Snell包络∈TaNE[Φλ（B，τ）]。很明显，Z1，N增加了9。此外，由于Z1，N通过（4.26）使φλ减小，因此-C（1+| Bt |）≤ 新界Z1≤ 对于一些与N无关的常数C。

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2022-5-8 08:50:32

然后利用支配收敛定理和引理4.5，Z:=supN∈NZ1，仍然是一个adl ag Fa-（DL）类的上鞅，使得z=supτ∈TaE[Φλ（B，τ）]，和Zt≥ Φλ（B，t），对于所有t≥ 0，P- a、现在，通过Doob Meyer分解（参见下面的引理a.4），对于没有右连续性的类（DL）的超鞅，以及鞅表示定理，有一个-λ（Bt）+（H·B）t≥ Φ（B，t），对于所有t≥ 0，P- a、此外，由于任何Fa-可预测的过程（或等效）-可选流程）可与F区分-可预测过程（参见Dellacherie&Meyer[18]的定理IV.78和RemarkIV.74），我们也可以选择Hto为F-可预测的这尤其证明了D′（u）≤ D（u）=P（u）和D′（u）≤ D（u）=P（u）。结合弱对偶P（u）≤ D′（u）和P（u）≤ 在引理4.7中，我们得到了p（u）=D（u）=D′（u）=D′（u）=D′（u）。假设现在n=2，我们首先考虑最优停止问题supτ∈TNΦ（B，τ）- λ（Bτ）,其Snell包络由Z2，Nb引理A.3给出，其中-C（1+| Bt |）≤ Z2，新界≤ 对于与N无关的常数C和z2，Nθ≥ Φ（B，θ）- λ（Bθ），对于所有θ≤ N、 P- a、然后，我们将多重最优停止问题（4.25）简化为n=1的情况，即supτ∈塔恩Φλ（B，τ）= supτ∈特恩Z2，Nτ+Φ（B，τ）- λ（Bτ）.再次使用n=1的情况下的程序，我们得到一个新的斯奈尔包络，用Z1，n表示，这样Z1，Nt≥ -C（1+| Bt |）。因此，Z1，N，Z2，Nare都是（D）类的上鞅，从上面以byC为界，从下面以byC为主导-C（1+| Bt |）对于一些与N无关的常数C>0。更重要的是，我们有Z1，N=supτ∈塔恩Φλ（B，τ）, 和z1，Nθ+Z2，Nθ- Z2，Nθ≥ Φλ（B，θ，θ），对于所有θ≤ θ≤ N、 P- a、 s.自Z1、Nand Z2、N同时增加以来，定义Z：=supNZ1、Nand Z：=supNZ2、N，遵循支配收敛定理，Zand-Zareboth类超鞅（DL）。

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能者818

2022-5-8 08:50:35

此外，引理4.5得出z=supτ∈泰Φλ（B，τ）andZθ+Zθ- Zθ≥ Φλ（B，θ，θ），对于所有θ≤ θ、 P- a、然后（s，s）：=（Z，Z）是对偶公式中所需的上鞅。此外，利用Doob-Meyer分解和Zand Z上的鞅表示，我们得到了对偶公式D′中所需的过程H=（H，H）。最后，n>2的情况可以用完全相同的递归论证来处理。对于假设2.3（i）下定理2.4（ii）的n=2.4.3.4情形，当n=1时，定理2.4是定理2.4（ii）的命题2.5.4.3.5的直接结果。假设2.3（iii）让n>0，我们首先研究多重最优停止问题∈TaNEPΦλ（B，τ）= supτ∈TaNEPhnXk=1Φk（B，τ，··，τk）- λk（Bτk）i、（4.27）式中λ∈ λ+和Φkis有界，所以-C1+nXk=1 |ωθk|≤ Φλ(ω) ≤ C、（4.28）对于某些常数C，表示vNn+1（ω，θ，·θ，θn，θn）：=Φλ（ω，θ，·θ，θn）。引理4.9。

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可人4

2022-5-8 08:50:39

有泛函（vNk）k=1，··，n，其中vNk：Ohm ×（R+）k→ R、 suchthatvN（ω，0）=supτ∈TaNEPΦλ（B，τ）,在P下，对于每个k=1，··，n和θ≤ · · · ≤ θk-1，过程θ7→ vNk（B，θ，··，θk）-1，θ）是Fa- 上鞅，vNk（B，θ，θk）-1, θ) ≥ vNk+1（B，θ，··，θk）-1，θ，θ），P- a、此外，VNK增加了N和满意度-C（1+Pki=1 |ωθi |）≤ vNk（ω，θ，··，θk）≤定理2.4（ii）的证明通过注释4.6和命题4.8，我们可以在不损失一般性的情况下假设每个Φkis有界并选择λ∈ 双公式D（u）中的∧。（i）假设vNkbe由引理4.9给出，我们进一步定义vk（·）：=supNvNk（·），使v（ω，0）=supτ∈塔普Φλ（B，τ）.根据支配收敛定理，对于所有k=1，···，和0=：θ≤ θ≤ · · · ≤ θk-1.过程vk（B，θ，··，θk）-1.t）T≥θk-安法-超鞅与vk（B，θ，··，θk）-1.t）≥ vk+1（B，θ，··，θk）-1，t，t），对于所有t≥ θk-1，P- a、 s.（ii）通过Doob-Meyer分解（见下面的引理a.4）和鞅表示定理，可以得出，对于每个k=1，···，n，都有-可预测过程Hkt（ω）：=Hkt（ω，θ，…，θk）-1）使得vk（ω，θ，…，θk-1，θk-1） +Zθkθk-1香港浸会大学≥ vk（ω，θ，…θk）-1，θk）≥ vk+1（ω，θ，…θk）-1，θk，θk），P- a、 s.（4.29）（iii）接下来，遵循（a.38）中二次协变量Q的路径构造-对于一个超鞅和一个连续鞅，有一个二次共变hvk（B，θ，··，θk）的Borel版本-1，·），B·它。然后通过引理A.5，下面定义的过程是F-可预测，Hkt（θ，··，θk-1）：=lim supε→0hvk（B，θ，··，θk）-1，·），位- hvk（B，θ，··，θk）-1，·），位-εε.特别地，映射（ω，θ，··，θk）7→ Hkθk（ω，θ，·θk）-1） Borel是可测量的，ztθk-1.Hks（·，θ，·，θk）-1)ds<+∞ 尽管如此，t≥ θk-1，P- a、美国。

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