一般情况下，可采用完全相同的后呼吸道手术治疗。我们将在最优停止理论中使用聚合程序（参见El Karoui[23]、Peskir&Shiryaev[48]、Karatzas&Shreve[41]orKobylanski、Quenez&Rouy Mironescu[43]等）。每τ∈ TN，我们首先考虑最优停止问题supτ∈TN，τ≥τEPhΦB、 τ，τ）- λ（Bτ）i，其斯奈尔包络由（Z2，Nτ，t）τ表示≤T≤N.我们将在下面的第2步中证明，上述过程可以聚合成一个函数u2，N（ω，θ，θ），它是Borel可测量的，作为Ohm ×（R+）→ R、 在θ和u2中一致连续，N（·τ，τ）=Z2，Nτ，τ，P-a、 s.对于所有τ≤ τ≤ NN.Letv2，N（ω，θ，θ）：=u2，N（ω，θ，θ）+Φ（ω，θ）- λ（ωθ），并考虑最优停止问题supτ∈TNEPv2，N（·，τ，τ）= supτ∈TaNEPΦλ（B，τ）.. （4.33）由（Z1，Nt）0表示≤T≤对应的斯奈尔信封，即Fa-可选（或等效）-可以预测，因为fa是增强的布朗过滤），那么Z1，ntf可以被选择为F-可预测（参见Dellacherie&Meyer[18]的定理IV.78和RemarkIV.74）。此外，鉴于（4.28），通过使用-C（1+|ωt |）和C（1+|ωt |）从下面和从上面，我们可以假设Z1，nti有界于-C（1+|ωt |）和C。此外，由于u2，Nis在N中增加，那么对于每N<N，我们知道Z1，N∨ Z1，Nis仍然是问题（4.33）的斯奈尔包络，那么我们可以另外假设和w.l.g.Z1，Nis在N.定义v1，N（ω，θ）：=Z1，N（ω，θ），因此v1，N（·），v2，N（·）是所需的泛函。2.我们现在构建可测量地图u2，Nsatissing（4.32）。让τ≤ τ∈TN，定义一个随机变量z2，Nτ，τ：=ess supτ∈TN，τ≥τEPhΦB、 τ，τ）- λ（Bτ）Faτi.（4.34）然后，对于每个固定τ，（Z2，Nτ，τ）τ≥τ可以聚合成一个上鞅，用Z2，Nτ，t（引理a.3）表示，这样Z2，Nτ，τ=Z2，Nτ，τ，P-a、 美国。

对于每个τ≥ τ.注意，Z2，Nτ，是Fa-可选和等效Fa-可以预测，我们可以选择z2，Nτ，t为F-可预测（[18，定理IV.78和备注IV.74]）。此外，由于Z2，Nτ，τ在N，P中增加-a、 那么对于任何N≤ N、 Z2，N∨ （Z2，Nτ，τ）τ的聚集超鞅≥τ、 因此我们可以假设，Z2，Nis在N中增加。此外，鉴于（4.28），通过截断，我们还可以假设-C（1+|ωt |+|ωt |）≤ Z2，Nt，t≤ C.还要注意，对于两个停止时间τ和小于τ的τ，我们有Z2，Nτ，τ=Z2，Nτ，τ，P- a、 在a={τ=τ}上。（4.35）此外，由于Φ（ω，θ，θ）在θ中是一致连续的，用ρ表示连续性模量。然后，根据（4.34）中的定义，随机变量族s2，Nτ，τ是一致连续的w.r.t.τ，在这个意义上Z2，Nτ，τ- Z2，Nτ，τ≤ ρ(|τ- τ|），P- a、 s.用于停止时间τi≤ τ.我们现在定义u2，Nbyu2，N（ω，θ，θ）：=Z2，Nθ，θ（ω），表示所有θ∈ Q、 andu2，N（ω，θ，θ）：=lim supQθ′→θu2，N（ω，θ′，θ），对于所有θ/∈ Q.很明显，u2，Nis Borel可测量w.r.t.每个变量，因为Z2，Nθ，θ（ω）是F-可预测的此外，通过（4.35），我们得到了u2，N（ω，τ，θ）=Z2，N（ω，τ，θ）≥ τ、 P-a、 s.，对于每个停止时间τ取数值inQ。因为我们可以通过取Q值的停止时间来近似任何停止时间，然后通过Z2，Nτ，τw.r.t.τ的一致连续性，我们得到了Z2，Nτ，τ=Z2，Nτ，τ=u2，N（·τ，τ）P- a、 s.所有停车时间τ≤ τ∈ 特别地，u2，N（ω，θ，θ）在θ，P中是一致连续的-a、 这是权利要求（4.32）所要求的。备注4.10。我们注意到，Kobylanski、Quenez和Rouy Mironescu[43]研究了一般的多重最优停止问题，其中停止时间不被假定为有序的。特别是，他们用一种构造性的方法证明了最优多次停止时间的存在性。

这里我们是在一个布朗运动的特殊背景下，我们感兴趣的是找到一个过程H，它的随机积分支配着价值过程。4.3.6定理2.4（ii）在假设2.3（ii）下，让Φ满足假设2.2和假设2.3（ii），即ω7→ Φ（°ω）是上半连续的，并且从上面有界。定义波兰空间的度量dOhm 比亚迪（\'ω，\'ω\'）：=nXk=1|θk- θ′k |+kωθk∧·- ω′θ′k∧·K,然后定义Φm：Ohm → R乘以Φm（‘ω）：=sup‘ω’∈OhmΦ(ω′) - md（\'ω，\'ω′）. （4.36）然后-Lipschitz奖励函数，以及满意度，尤其是假设2。2和假设2.3（i）。此外，随着m成为所有ω的单位，Φm（ω）减小为Φ（ω）∈Ohm.用Pm（u）和Dm（u）表示与奖励函数Φm相关的相应原始值和对偶值。因为Φm表示假设2.2和假设2。3（i），我们已经在第4.3.5节中证明了dualityPm（u）=Dm（u）。然后，按照命题4.8中相同的论证线，我们推导出P（u）=D（u）。附录。1关于对Ohm最后，我们给出了标准过滤F=（Ft）t的一些性质≥正则空间的零点Ohm. 回想一下Ohm 表示为B、 T=（T，·Tn）, σ-由Bt工艺产生的现场FTI∧·和（Ttk，k=1，··，n），其中Ttk（ω）：=θkθk≤T- ∞1θk>t对于所有ω=ω、 θ=（θ，··，θn）∈Ohm.等价地，由随机变量B和集合{Tk生成的FTI≤ s} 对于allk=1、·n和s∈ [0，t]。更重要的是，（Tk，k=1，··，n）都是ALF-暂停时间。引理A.1。σ-F区∞波雷尔是σ吗- 由Ohm. 此外，所有有界连续的类-可测函数Ohm 生成σ-菲尔德夫特-:=Ws<tFs。证据（i） 因为TK和B都是B(Ohm)-可衡量的，一个人有F∞ B(Ohm).

另一方面，过程（Bt，t≥ 0）生成Borelσ-B区(Ohm) 所有集合的集合{Tk≤ s} 生成Borelσ-首先是B（Θ），然后是B(Ohm) = B(Ohm)  B（Θ） F∞.（ii）让t≥ 0，表示FBt:=σ（Bs，0≤ s≤ t） ，FTkt:=σ{Tk≤ s} ，s∈ [0，t]通过gtktσ-由所有有界连续和FTkt生成的场-可测函数。首先，对于每个s<t，很明显FTK GTkt，因此FTkt- GTkt。进一步，让φ：R+→ R是一个有界连续函数，使得φ（Tk）为ftkt-可测量的，那么每t就有φ（t）=φ（t）≥ T≥ t、 因此Φ（Tk）是FTkt--可测量的因此，我们有FTkt-= GTkt。此外，众所周知，FBt-= 这是σ-由所有有界、连续和FBT生成的场-可测量的功能。接下来就是《金融时报》-= ∪nk=1FTkt-∪ FBt-实际上是∑-由所有有界、连续和Ft生成的场-可测量的功能。我们现在考虑过滤F.Let t≥ 0和ω=（ω，θ，··，θn）∈ Ohm, weintroduce[？]t=（ωt∧·, [θ] t，··，[θn]t）由[θk]t:=θkθk≤t+∞1θk>t引理A.2。（i） Y:R+×Ohm → R是F-可选当且仅当其为B（R+×）Ohm)-所有s的可测量和满意度（\'ω）=Ys（[\'ω]s）≥ 0和ω∈Ohm. （A.37）（ii）因此，FTkis可数生成，并且每个概率测度P都在(Ohm, F∞) 允许一个r.c.p.d.（p\'ω）\'∈Ohm关于满足a）（P’ω）’ω∈Ohm是关于FTk，b）P′ω（Tk=θk，BTk）的P的条件概率族∧·= ωTk∧·) = 1表示所有ω=（ω，θ，··，θn）∈ Ohm.证据（i） 首先，如果Y是F-可选，那么Y是可测量的，F是可测量的-改编，即YsisFs-可测量的因为Fs是由ω7生成的→ （ωs）∧·, [θ] 因此（A.37）是正确的。另一方面，过程（s，\'ω）7→ （ωs）∧·, [θ] s）被改编为c\'adl\'ag，因此F-可选择的因此，对于每个可测量的过程Y，由（A.37）定义的过程Y是f-可选择的（ii）注意(Ohm) 是可数生成的。

根据陈述（A.37），关闭-可选σ-场由地图生成∈ R+×Ohm 7.→ [ω]s∈ Ohm, 因此也是可数生成的。此外，根据Dellacherie&Meyer[18，p.122]的定理IV-64，我们得到了ftk=σ{BTk∧·, Tk}和henceFTkis可数生成。因此，根据定理1.1.6 inStroock&Varadhan[50]，每个概率测度P(Ohm, F∞) 承认与σ有关的ar.c.p.d-FIELDFTK满足本协议第（ii）项中的条件。A.2关于最优停止问题的事实我们接下来回顾经典最优停止理论的一些有用结果（参见E.g.El Karoui[23]、Peskir&Shiryaev[48]、Karatzas&Shreve[41]等）(Ohm*, F*, P*) 是一个抽象的完全概率空间，带有过滤F*= （F）*t） t≥0满足通常的条件。表示F*∞:= ∨T≥0F*坦比*所有F类*-停止时间取[0]中的值，∞). 让Y成为F*-可选流程定义于Ohm*（D）类，即（Yτ）τ类∈T*每τ∈ T*, 我们用T表示*τT中所有停止时间σ的集合*这样∑≥ τ . 然后我们定义了一系列随机变量zτ：=ess supσ∈T*τEYσFτ, 无论如何∈ T*τ.然后根据动态规划原理，将族（Zτ）τ∈T*是一个超鞅系统，即Zσ≥ E[Zτ| F*σ] 所有停车时间σ≤ T中的τ*. 使用Dellacherie&Lenglart[17，Thm.6和Rem.7 c]），可以找到al`adl`ag（左极限和右极限）可选过程Z=（Zt）t≥0集合了（Zτ）τ族∈T*, i、 e.Zτ=Zτ，P*- a、 s.对于所有τ∈ T*.特别地，Z=（Zt）t≥0是类（D）的强上鞅，它被称为过程Y的斯奈尔包络，或者等价地称为支配可选过程Y的最小强上鞅，即Z=ess supτ∈T*EYτF和Zτ≥ YτP*-a、 s.对于所有τ∈ T*. 使用可选截面定理（参见。

定理IV.86在[18]中，它遵循Zt≥ 是的，尽管如此≥ 0，P*- a、 我们在下面的引理中总结了上述事实。引理A.3。让Y成为F*-（D）类的可选过程，然后是aF*-可选的l\'adl\'ag过程Z，它是最小的强上鞅，如Z=ess supτ∈T*EYτF和Zt≥ YTT≥ 0，P*-a、 特别是，有一个E[Z]=supτ∈TF*EYτ.接下来，我们回顾具有完全连续性的超鞅的Doob-Meyer分解（参见[19，定理20，附录I]或Mertens[44，定理T3]）。引理A.4。让(Ohm*, F*, P*) 成为一个概率空间，配备过滤F*=（F）*t） t≥0满足通常条件，X=（Xt）t≥成为一个F*-可选的processclass（DL）和F*-超级马丁格尔。那么X有一个唯一的分解X=X+M- A、 其中M=A=0，M是c`adl`agf*-鞅，A是anF*-可预测的增长过程。上述分解允许我们以路径方式定义（l`adl`ag）超鞅与连续鞅的二次共变，如inKarandikar[40]。让我们继续讨论引理A.4，并假设Wis是过滤概率空间中的连续鞅(Ohm*, F*, P*, F*). 这里X可能不是（D）类，X是F*-如果E[Xτ| Fσ]≤ 所有边界f的Xσ*-停车时间σ≤ τ.用FX表示，W=（FX，Wt）t≥0由（X，W）生成的原始过滤，即FX，Wt:=σ（Xs，Wss）≤ t） 。接下来，definex+t:=limQstXs=X+Mt+A+t，其中A+t:=limQstAs。那么X+显然仍然是F*-超级马丁格尔，几乎肯定有c\'adl\'ag路径。设τn:=0，τni+1:=inf{t≥ τni:|X+t- X+τni|≥ 2.-nor | Wτni- Wt|≥ 2.-n} ，Qnt:=∞Xi=0X+τni+1∧T- X+τni∧TWτni+1∧T- Wτni∧T, Qt:=lim supn→∞Qnt，（A.38）和最后的Q-:= Q和Q-t:=limQstQsfor t>0。引理A.5。在(Ohm*, F*, P*, F*), 过程Q-与X和W（或M和W的等价物）的二次共变hX，W i无法区分。

此外，Q-是一个外汇，W-可预测的过程。证据注意，X+的路径是c`adl`ag，P*-a、 然后遵循Karandikar[40]的定理3，过程（Qt）t≥0，接受值(-∞, ∞], 与X+和W之间的二次共变异无法区分。因为A+有有限的变量，W是连续的，那么Q也是X和W（或M和W）之间的二次协变，而且Q有连续的路径，P*-a、 s.然后Q-和Q是无法区分的。此外，通过它的构造，很明显Q-是FX，W+-改编，其中FX，W+=（FX，W+t）t≥0是FX定义的正确的连续过滤，W+t:=limstFX，Ws。自从Q-如果是左连续的，那么Q-是FX，W+-可预测，相当于外汇，W-可预测的最后，我们给出了最优停止问题的等价结果。让(Ohm*, F*, P*) 是一个抽象的完全概率空间，它有两个过滤F*= （F）*t） t≥0和G*= （G）*t） t≥0，其中F*T G*t每t≥ 0，两种过滤都满足通常条件。表示F*∞:= ∨T≥0F*坦德G*∞:=∨T≥0G*t、 我们用TF进一步表示*所有F类*-停止时间，以及TG*所有G的集合*-停车时间。让Y成为F*-可选工艺定义Ohm*（D）类学生。假设A.6（K）。每一个t≥ 0，每个Gt-可测有界随机变量X满意度X | F*T= EX | F*∞, P*- a、 s.引理a.7。在假设A.6下，我们有supτ∈TF*E[Yτ]=supτ∈甘油三酯*E[Yτ]。证据结果遵循Szpirglas和Mazziotto[51]的定理5。注意，在[51]中，Y被假定为l`adl`ag，通过考虑Y w.r.t.的斯奈尔包络，它可以很容易地推广到任何可选过程中。过滤F*, 因为它的Snellenvelop是l\'adl\'ag，P*-a、 美国。

此外，在[51]中，Y也被假定为正，当Y是类（D）时，这会立即产生相同的结果，因为类（D）的过程可以由一致可积鞅从下面控制。参考文献[1]M.BEIGLBOCK，A.COX和M.HUESMANN，《最佳运输和斯科罗霍德嵌入》，预印本，2013年。[2] M.BEIGLBOCK，A.COX，M.HUESMANN，N.PERKOWSKI和J.PROMEL，《时不变导数的鲁棒超级复制》，预印本，2015年。[3] M.BEIGLBOCK，P.HENRY-Laborder和F.PENKNER，《期权价格的独立模型界限：一种大众运输方法》，金融科技。17（2013），第3号，477-501。[4] M.BEIGLBOCK和N.JUILLET，关于边际鞅约束下的最优运输问题，Ann。Probab。，出现。[5] M.BEIGLBOCK、M.NUTZ和N.TOUZI《线上鞅最优运输的完全对偶》，预印本，2015年。[6] S.BIAGINI，B.BOUCHARD，C.KARDARAS和M.NUTZ，《连续过程的鲁棒基本定理》，预印本，2014年。[7] J.F.BONNANS和X.TAN，《方差期权约束的无模型无套利价格》，应用数学与优化，第68卷，第1期，43-73，2013年。[8] D.T.BREEDEN和R.H.LITZENBERGER，《期权价格中的国家或有索赔的价格》，J.Business，511978年。[9] H.布朗、D.霍布森和LCG。罗杰斯，《障碍期权的稳健对冲》，数学金融，11（3）：285-3142001。[10] H.布朗、D.霍布森和LCG。罗杰斯，《中间定律约束下的阿马丁格尔最大值》，概率论及相关领域，119:558-5782001。[11] J.CLAISSE，G.GUO和P.HENRY-Laborder，《当地时间期权的稳健对冲》，预印本，2016年。[12] J.CLAISSE，D.TALAY和X.TAN是受控扩散过程的伪马尔可夫性质。《暹罗控制与优化杂志》即将出版。[13] A.考克斯和D。

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