保险支付的税费修正风险最小化

2022-6-24 08:08:59

保险支付流程的税费调整风险最小化克里斯蒂安·布查德，克里斯蒂安·富勒尔1,2，？，和Thomas Moller2，3PFA Pension，Sundkrogsgade 4，丹麦哥本哈根DK-2100。丹麦哥本哈根大学数学科学系，丹麦丹麦丹麦第五大学，DK-2100CopenhagenO。AP Pension，丹麦哥本哈根DK-2100 stbanegade 135号。？通讯作者。电子邮件：furrer@math.ku.dk.AbstractWe研究在税收和费用存在的情况下，保险支付过程中风险最小化投资策略的确定问题。我们考虑了税费连续对称支付的情况，并引入了税费调整风险最小化的概念。在存在税收和费用的情况下，风险最小化策略与Galtchouk Kunita Watanabe分解相关，并与原始支付流程的修改版本相关。此外，我们展示了与涉及由税后和税后资产组成的艺术市场的替代方法的等效性，并且我们在某种意义上与经典的风险最小化建立了一致性。最后，一个典型的多州人寿保险支付与债券市场结合的案例研究验证了结果。关键词：二次套期保值；不完全市场；市场一致性估值；内在价值过程；Galtchouk Kunita Watanabe分解2010数学学科分类：62P05；91G99；91B30；60G44JEL分类：G10；G221导言根据经合组织（OECD）最近一份关于不同国家私人养老金计划税收的报告[9]，对养老金回报征税的现象非常普遍。

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2022-6-24 08:09:02

因此，此类保险负债的市场一致性估值需要考虑与投资策略密切相关的相关未来税款。同样，与保险合同管理和投资策略相关的未来费用也应包括在套期保值和估值的考虑因素中。SolvencyII法规（见【12】第77-78条和【13】第28条）以及即将出台的IFRS17法规（见【3】第34段和B65（j）段）也反映了考虑税收和费用的必要性。我们的印象是，在存在税收和费用的情况下，市场一致性估值的统一理论尚待开发，因此，在从业者中，通过对远期利率曲线的某些特殊调整来考虑税收和费用是很常见的，参见[5]。在本文中，我们考虑税收和费用存在时保险支付过程的二次套期保值。我们考虑了取决于投资策略的理想化税费，并提出了税费调整风险最小化的概念。税收被定义为投资策略回报的一部分，费用被定义为投资策略价值的一部分，因此两者都是对称且持续支付的。

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2022-6-24 08:09:05

主要想法是引入所谓成本过程的atax和费用修正版本，然后随时最小化相关风险过程，根据当前可用的信息，该过程被定义为四次未来税收和费用修正成本的条件预期值。作为我们的主要结果，我们证明了最优策略的存在性和唯一性，并将其应用于与税费调整支付过程相关的内在价值过程的Galtchouck Kunita Watanabe分解。考虑到不完全市场中的支付过程，研究了如何应用风险最小化的二次套期保值标准来找到最优投资策略并为合同定价。风险最小化准则最初由[8]提出，并在[15]中扩展到保险支付过程；有关概述，请参阅[18]。税费调整后的风险最小化与经典的风险最小化不同，因为税费调整后的储蓄账户被用作计分表，因此这是不必要的。我们认为，税费调整后的风险最小化与经典风险最小化是一致的，因为经典风险最小化的后续应用确认了投资策略，因此不会进一步降低风险。除了税收和费用调整后的风险最小化方法外，我们还通过创建一个特殊的税后和税后市场来解决这个问题：资产的构建使得回报在支付税收和费用之后。在这个市场上，我们能够应用经典的风险最小化，从而找到最佳的投资策略，这与税收和费用调整风险最小化的投资策略基本相同。

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2022-6-24 08:09:08

这是两种方法中的成本过程在某种意义上相同的结果。2保险支付流程的风险最小化与保险合同和投资策略管理相关的投资回报和费用可被视为负股息。从这个意义上讲，税收和费用调整风险最小化的概念对应于负股息情况下的一种风险最小化。虽然文献中深入研究了将风险最小化扩展到包括交易成本的问题，如[14]和[10]，但文献中似乎没有对股息的类似处理；一个例外是[1]存在离散随机股息的二次套期保值。在文献[5]中，研究了在完全市场中存在对称且连续支付的税收和费用的情况下保险支付过程的估值。通过确定并明确构建固有的税收和费用支付流程，并将其添加到现有的保险支付流程中，[5]能够得出复制策略并确定合并负债的市场价值。特别是，通过忽视系统性保险风险和通过多元化隐性处理非系统性保险风险，我们能够证明当前的精算实践是谨慎的。在本文中，我们基本上扩展了[5]的结果，通过不完全市场方法考虑了非系统性和非系统性保险风险。在确定了合并负债的价值以及相关的风险最小化投资策略后，研究将其分解为收益、税收和支出部分是一件有趣的事情，正如[5]中针对完整市场所做的那样。

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2022-6-24 08:09:12

然而，这与扩展税收和费用设置，以包括不对称和离散支付，推迟到未来的研究。本文的结构如下。在第2节中，我们简要回顾了保险支付过程中风险最小化的主要结果。在第3节中，我们研究了在存在对称且连续支付的税收和费用的情况下的风险最小化。第4节以一个案例研究作为结束，在该案例中，我们考虑了债券市场中的经典多国人寿保险付款，其税率和费用取决于保险合同的当前状态。2保险支付过程的风险最小化在本节中，我们简要回顾了[15]中关于保险支付过程风险最小化的主要结果，另见[18]，然后在下一节中介绍税收和费用。关于技术细节和必要的规则性条件，我们通常参考【15】及其参考文献。考虑由d+1交易资产组成的无套利金融市场，其价格过程和（S，…，Sd）在概率空间中定义(Ohm, F、 P）配备过滤器F=（F（t））t∈满足F（0）平凡的一般条件。这里T>02保险支付过程的风险最小化是一个固定的时间范围。我们假设Sis是储蓄账户，它的形式（t）=expZtr（u）du,其中，r是所谓的短期利率过程。所有数量都直接在等价鞅测度Q下建模，这样折扣价格过程S*j=Sj/Sare Q-鞅。总的来说，结果几乎可以肯定是w.r.t.Q。

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kedemingshi

2022-6-24 08:09:15

我们在本节最后一段讨论了等价鞅测度的选择。我们研究了未贴现的保险支付过程，这是一个随机过程，描述了与某些保险合同相关的累计福利减去保费。让我们*= （S）*, . . . , S*d）。在[17，19]之后，存在一个有界的、严格递增的、可预测的过程B，0为null，这样*i、 S*冀 b h·i表示可预测的变化。确定矩阵值可预测过程σSbydhS*i=σSdB。（2.1）这里，每个σS（t）是一个正半有限对称d×d矩阵。为了确保某些分解和最优策略的唯一性，即每项资产的投资金额是唯一的，我们进一步假设每个σS（t）实际上是正定义的。投资策略h是一个（d+1）维过程。折扣价格流程*j、保险支付过程A、短期利率过程r和投资策略h满足一定的规律性条件。与h相关的未贴现值过程v由v（h，t）=dXj=0hj（t）Sj（t）定义。（2.2）价值过程衡量A所述付款后投资策略的价值，即V（h，t）是[0，t]期间付款A（t）后的投资价值。我们说，如果时间T的值为0，即如果V（h，T）=0，则投资策略h是0-容许的。与h相关的未贴现成本过程C由C（h，t）=V（h，t）定义-dXj=0Zthj（u）dSj（u）+A（t）。（2.3）2保险支付流程的风险最小化价值流程衡量投资策略h的当前价值，成本流程衡量与投资策略h和保险支付流程A相关的累计成本。

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2022-6-24 08:09:18

时间t的累计成本由投资组合的当前价值、过去支付的金额和实现的交易收益得出。通过V定义贴现价值过程*= V/S，贴现保险付款流程A*由A*（0）=0和DA*（t） =秒-1（t）dA（t），贴现成本过程C*按C*（0）=0和DC*（t） =秒-1（t）dC（t）。（2.4）如下DC*（h，t）=dV*（h，t）-dXj=1hj（t）dS*j（t）+dA*（t）。（2.5）与h和A相关的风险过程R由R（h，t）=EQh（C）定义*（h，T）- C*（h，t））F（t）i.（2.6）该过程在与未来成本（C）相关的度量Q下测量二次风险*（h，T）- C*（h，t））考虑到目前可用的信息。如果一个投资策略h是0-容许的，并且在任何时间点都使风险过程最小化，则称其为A的风险最小化。在【8】和【15】之后，定义所谓的内在价值过程VA*与A关联*byVA公司*（t） =等式[A*（T）| F（T）]=A*（t） +均衡器中兴通讯-Rsr（u）杜达（s）F（t）. （2.7）VA存在唯一分解*在formVA上*（t） =VA*（0）+dXj=1ZthA*j（u）dS*j（u）+LA*（t），（2.8）其中hA*, . . . , 哈*D满足某些正则性条件，其中LA*是一个与折扣价格过程S正交的零均值鞅*. 分解（2.8）也被称为Galtchouk Kunita Watanabe分解。[15]中的定理2.1表明，对于d=1的情况（有可能扩展到多维情况；遵循（2.1）的正不确定性假设确保了唯一性），3在存在税收和支出的情况下，风险最小化存在唯一的风险最小化投资策略h*对于h给定的A*j=公顷*j对于j=1，d和H*（t） =VA*（t）- A.*（t）-dXj=1公顷*j（t）S*j（t）。

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2022-6-24 08:09:21

（2.9）因此，如果可以明确写出相关的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition，这将立即为保险支付过程产生明确的风险最小化投资策略。与风险最小化投资策略相关的价值过程isV（h*, t） =VA*（t）- A.*（t），=等式中兴通讯-Rstr（u）杜达（s）F（t）. （2.10）尤其是在任何付款之前的投资价值isV（h*, 0-) := V（h*, 0）+A（0）=VA*（0）=A（0）+等式中兴通讯-Rsr（u）杜达（s）（2.11）由于（2.9）。如果折扣价格处理为S*是连续的，则P下的F¨ollmer-Schweizer分解可作为Galtchouk Kunita Watanabe分解，在所谓的最小鞅测度^Q下计算，参见例[19]。因此，对于Q=^Q，风险最小化等同于局部风险最小化（对于连续贴现价格过程）。这使得最小鞅测度成为一个自然的候选测度，但风险最小化的概念原则上可以用于任何等价鞅测度。3存在税收和费用时的风险最小化我们将第2节中的设置扩展为包括对称的税收和持续支付的费用。如前一节所述，我们考虑保险支付流程，描述与某些保险合同相关的累计福利减去保费。我们研究了两种不同的方法。首先，我们直接从基本税前和税前价格流程中定义税后和税后价格流程。这些价格过程的构造完全是这样的，即在存在税收和费用的情况下，回报率对应于3风险最小化或税后原始回报率。在这种情况下，在一个特殊的税后和税后市场中，我们直接应用风险最小化的标准。

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2022-6-24 08:09:24

其次，我们遵循[5]，明确构建与税费相关的支付流程，并引入税费调整风险最小化的概念。这两种方法在概念上是不同的，但正如我们所揭示的，它们在数学上在特定意义上是等价的，我们稍后将对此进行解释。第3.1小节详细介绍了第一种使用税后和支出后价格过程的方法，而第3.2小节则涉及税和支出调整后的风险最小化。在第二种方法之后，我们采用了税收和费用调整风险最小化，风险最小化投资策略将导致特定的税收支付和费用支付。我们调查以下问题：如果另一个投资者假设这些付款，它是否会使用第2节中所述的经典风险最小化，采用与原始投资者不同的临时投资策略，而原始投资者使用的是税费调整后的风险最小化标准？不出所料，答案是否定的；不可能进一步降低风险。第3.3.3.1小节介绍了税后和税后市场中的风险最小化调查。为了对税费进行建模，我们引入了税率γ和费用率δ；bothare适应流程。

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2022-6-24 08:09:27

我们假设γ取[0，1]中的值，从左边开始有限制，并且远离1，而δ仅假设有界（且可测量）。税收以γ作为所有收益的分数（正和负）连续支付从投资策略中，费用也会持续支付，但作为投资策略价值的一部分。这里介绍的税收和费用计划是现实生活制度的理想化。例如，丹麦PAL税是对养老基金收益征收15.3%的浮动税，但它是按年（非连续）支付的，并且是不对称的：负的年度收益将导致未来的税收扣除，而不是负的税收支付。通过设置γ≡ 0.153我们实现了丹麦税收制度的理想化。总的来说，我们认为我们的理想化方法是朝着理解和处理广泛的税收和费用制度迈出的重要一步。考虑税后和税后价格过程71sj（0）=Sj（0）和d71sj（t）=Sj（t-)(1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- δ（t）dt, （3.1）对于j=0，1，d、其中，SJ是第2节中介绍的税前和费用前价格过程。在下文中，我们假设分数ˇSj/Sj定义良好，并且（3.1）存在适当的正则（强）解。我们将税后和费用后价格过程解释为在费用后市场存在税收和费用的情况下，人工税后和3风险最小化的价格过程；这是基于以下观察：重写（3.1），我们看到dˇSj（t）ˇSj（t-)= (1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- δ（t）dt，表明税后和费用后资产的相对收益是原始税前和费用前资产相对收益的有效转换。相对回报率按系数（1）进行缩放- γ）并减少δ。

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2022-6-24 08:09:30

换言之，回报（3.1）对应于投资者根据本小节开头描述的方案支付税费所获得的回报。储蓄账户的税后和税后版本采用ˇS（t）=exp的形式Zt（（1- γ（u））r（u）- δ（u））du= e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duS（t）。（3.2）这可以解释为使用税后和税后短期利率（（1- γ） r- δ）而不是最初的短期利率r。我们现在在第2节的设置中研究税后和税后市场（S，S，…，Sd）。因此，我们使用税后和税后储蓄账户作为计价单位，并为税后和税后市场中的保险支付流程寻找风险最小化的投资策略。可以看出，税后和税后折扣价格过程由*j=ˇSj/ˇShave dynamics*j（t）=ˇS*j（t-) (1 - γ（t-))dSj（t）Sj（t-)- r（t）dt=ˇS*j（t-)Sj（t-)S（t）（1- γ（t-))（S（t））-1dSj（t）- r（t）S*j（t-) dt公司=ˇS*j（t-)S*j（t-)(1 - γ（t-)) dS公司*j（t）。（3.3）请注意，在定义税后折扣和费用后价格过程中，使用了比Sis更大的数值。由于税前和税前折扣价格处理*jare Q-鞅，从（3.3）可以看出，税后和税后价格处理*jare Q-局部鞅。

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2022-6-24 08:09:33

在下面，为了简单起见，我们假设税后和税后价格过程实际上是Q鞅。3存在税收和费用时的风险最小化从（3.2）我们看到*j（t）=ˇSj（t-)Sj（t-)eRt（γ（u）r（u）+δ（u））du（1- γ（t-)) dS公司*j（t），（3.4），将税后折扣价格和费用后价格过程的动态与税前折扣价格和费用前价格过程的动态联系起来。在此设置中，贴现保险支付流程ˇAb，*由ˇAb给出，*（0）=Ab（0）和DˇAb，*（t） =ˇS-1（t）dAb（t）=eRt（γ（u）r（u）+δ（u））duS-1（t）dAb（t），（3.5）未贴现和贴现价值过程*与h相关的是ˋV（h，t）=dXj=0h（t）ˋSj（t），V*（h，t）=dXj=0h（t）ˇS*j（t），以及未贴现和贴现成本过程ˇC和ˇC*与h相关的是ˋC（h，t）=ˋV（h，t）-dXj=1Zthj（u）dˇSj（u）+Ab（t），（3.6）ˇC*（h，t）=V*（h，t）-dXj=1Zthj（u）dˇS*j（u）+Ab，*（t）。（3.7）从第2节审查的结果可以看出，在税后和税后市场中，保险支付过程的风险最小化投资策略可以用Galtchouk Kunita WatanabedecompositionVˇAb表示，*（t） =EQhˇAb，*（T）F（t）i=VˇAb，*（0）+dXj=1ZtˇhˇAb，*j（u）dˇS*j（u）+LˇAb，*（t），（3.8）其中零均值鞅ˇLˇAb，*与税后折扣和费用后价格过程正交*, . . . ,ˇS*d）。有了这个符号，我们可以写出以下结果，这是第2.3节风险最小化（在存在税收和费用的情况下）建议3.1中审查的结果的直接顺序。独特的风险最小化投资策略*在税后和税后市场中，由ˇh给出*j（t）=hˇAb，*j（t）（3.9）对于j=1，d和h*（t） =VˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-dXj=1ˇh*j（t）ˇS*j（t）。

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2022-6-24 08:09:36

（3.10）关联值过程为ˋV（ˋh*, t） =相等中兴通讯-Rst（（1-γ（u））r（u）-δ（u））dudAb（s）F（t）. （3.11）从（3.11）中我们可以看出，投资策略的现值可以作为未来付款的有条件预期值获得，并用税后和税后短期利率（1- γ） r- δ）而不是最初的短期利率r。回想一下，我们的兴趣在于税前和费用前市场，而不是特定的税后和费用后市场。因此，我们现在将根据税前和税前市场的数量重申风险最小化投资策略。VˇAb的另一种Galtchouk Kunita Watanabe分解，*通过采用税前和费用前折扣价格过程获得*, . . . , S*d）作为积分器，yieldsVˇAb，*（t） =VˇAb，*（0）+dXj=1ZthˇAb，*j（u）dS*j（u）+LˇAb，*（t），（3.12）其中零均值鞅LˇA*,bis与税前和费用前折扣价格过程正交*, . . . , S*d）。此外，它来自（3.4）thats*j（t）=Sj（t-)ˇSj（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））du1- γ（t-)dˇS*j（t）。（3.13）因为洛杉矶*,bis与（S）正交*, . . . , S*d）因此，我们发现它也与（S）正交*, . . . ,ˇS*d）。根据（3.13），我们还发现VˇAb，*（t） =VˇAb，*（0）+LˇAb，*（t） +dXj=1ZthˇAb，*j（u）Sj（u-)ˇSj（u-)e-Ru（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτ1- γ（u-)dˇS*j（u）。（3.14）3存在税收和支出时的风险最小化CE（3.14）是VˇAb的另一个Galtchouk Kunita Watanabe分解，*w、 r.t.（ˇS*, . . . ,ˇS*d）。分解的唯一性则意味着ˇLˇA*,b=LˇA*,带ˇSj（t-)Sj（t-)ˇhˇAb，*j（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhˇAb，*j（t）（3.15）对于j=1，d、虽然提案3.1中的风险最小化投资策略涉及税后和支出后市场，但可以根据税前和支出前资产进行重述。

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2022-6-24 08:09:38

假设价格过程是连续的，thusSj（t-) = Sj（t）。时间t为h时的投资*税后和税后资产j中的j（t）对应于h的投资*j（t）=ˇSj（t）Sj（t）h*税前和税前资产j中的j（t）（3.16）。根据（3.15）和（3.9）得出*j（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhˇAb，*j（t），（3.17），对于j=1，d、从（3.10）和（3.2）得出*（t） =e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-ˇS（t）S（t）dXj=1ˇh*j（t）ˇS*j（t）=e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVˇAb，*（t）-ˇAb，*（t）-dXj=1h*j（t）S*j（t）。（3.18）即使价格过程不是连续的，我们也可以考虑投资策略*byh给出*j（t）=ˇSj（t-)Sj（t-)ˇh*j（t）（3.19）对于j=1，d和H*（t） =ˇS（t）S（t）ˇh*（t） +（S（t））-1dXj=1ˇh*j（t）ˇSj（t）1.-Sj（t）Sj（t-)ˇSj（t-)ˇSj（t）, （3.20）税前和费用前储蓄账户的投资已准确确定，总价值保持不变，即V（h*, t） =ˋV（ˋh*, t）。（3.21）3存在税收和费用时的风险最小化特别是h*0-可接受（与税前和税前市场相关）。此外，直接计算表明h*此外，在不连续案例满意度（3.17）和（3.18）中。在下一小节中，我们通过明确构建与税收和费用相关的支付流程，并应用税收和费用调整风险最小化的新概念，而不是经典的风险最小化，从而得出相同的投资策略。3.2税费调整风险最小化在本小节中，我们考虑了一种替代方法，并明确构建了与税费相关的支付流程。设γ和δ为第3.1小节中产生的税费率。

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2022-6-24 08:09:41

由于税收和费用导致的支付取决于投资策略和投资回报，我们引入了两个额外的税收和费用支付过程Atax（h）和Ae（h），分别由Atax（h，0）=0、Ae（h，0）=0和DATAX（h，t）=γ（t）定义-)dXj=0hj（t）dSj（t），（3.22）dAe（h，t）=δ（t）V（h，t）dt。（3.23）我们注意到，税收是对称的，即正投资回报导致纳税，而负投资回报导致税收收入（负支付）。通过引入Dj（0）=0和ddj（t）=给出的dividend过程Dj，我们可以将税费解释为负股息-γ（t-) dSj（t）- δ（t）Sj（t）dtj=0，d、当DAX（h，t）+dAe（h，t）=-dXj=0hj（t）dDj（t）。然后，具有价格过程（S、S、…、Sd）的交易资产将被视为交易除息（或税前和费用）。相比之下，第3.1小节中价格过程（S，S，…，Sd）的艺术市场被解释为后轴和费用。如第1节所述，存在分歧时的风险最小化似乎是一个尚未探索的研究领域；有关连续时间股息的一般介绍，请参阅第16章【2】。我们感兴趣的是确定组合支付的风险最小化投资策略的问题，该组合支付包括三个支付流程Ab、Atax（h）和三个存在税收和支出的风险最小化SAE（h）。因此，我们将存在税收和费用的未贴现成本过程定义为总付款的成本过程，这取决于我们的利益目标选择，即投资策略h。从这个意义上讲，我们面临着一个定点问题。定义3.2。

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2022-6-24 08:09:44

存在税收和支出的未贴现成本过程C与投资策略h和保险支付过程Abis定义为C（h，t）=V（h，t）-dXj=0Zthj（u）dSj（u）+Ab（t）+Atax（h，t）+Ae（h，t），（3.24），其中Atax（h）和Ae（h）分别由（3.22）和（3.23）定义。我们看到，C（h，t）包括[0，t]期间的累计成本，包括付款SAB（t）、Atax（h，t）和Ae（h，t）。因此，时间t的价值过程，即V（h，t），应以与之前类似的方式，解释为在[0，t]期间的所有付款后，在时间t持有的投资组合h的价值，包括税收和费用。贴现成本过程C*通过（2.4）从未贴现成本流程中定义，即*（h，t）=C（h，0）+ZtS-1（u）dC（h，u）。（3.25）我们现在分别介绍以下税务和费用调整价值、成本和风险流程的定义。定义3.3。税收和费用修正价值和成本过程通过▄V（h，t）=eRt（γ（u）r（u）+δ（u））duV确定*（h，t），（3.26）~C（h，t）=C*（h，0）+ZteRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdC*（h，u），（3.27），其中C*定义为（3.25），其中C定义为（3.24）。在税收和费用存在的情况下，如果一个策略是0-可容许的，并且对于所有t∈ [0，T]R（h，T）=等式C（h，T）-C（h，t）F（t）.

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2022-6-24 08:09:47

（3.28）请注意，税费修改数量与通常的折扣数量相对应，但使用税后和税后储蓄账户作为计数，而不是税前和税前储蓄账户。3在存在税收和费用的情况下，风险最小化使用类似于[5]中应用的方法，我们观察到ERT（γ（u）r（u）+δ（u））dudC*（h，t）=deRt（γ（u）r（u）+δ（u））duV*（h，t）+ eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（t）-dXj=1hj（t）（1- γ（t-)) eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudS*j（t）。根据（3.27）给出的定义和上述计算，dC（h，t）=dV（h，t）-dXj=1hj（t）（1- γ（t-)) eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudS*j（t）+eRt（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（t）。（3.29）因此，与（2.5）相比，税费调整成本流程的动态结构与传统环境下贴现成本流程的动态结构相似。这一观察结果使我们能够使用与经典环境中类似的技术来确定风险最小化的投资策略，而无需缴纳税款和费用。为了做到这一点，我们首先定义了一个税务和费用修改版本，即贴现保险支付流程Ab，*通过▄Ab（t）=Ab，*（0）+ZteRs（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb，*（s）。请注意，税费调整后的保险支付流程与通常的贴现保险支付流程相对应，但以税后和税后储蓄账户而非税前和税前储蓄账户为基数，即▄Ab=ˇAb，*, （3.30）其中ˇAb，*由（3.5）给出。

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2022-6-24 08:09:50

新注释仅强调与第3.1小节相比的解释变化。我们再次定义了与▄Abas相关的内在价值过程，即Q-鞅v▄Ab（t）=EQh▄Ab（t）F（t）i（3.31）=Ab（t）+等式中兴通讯-Rsr（u）dueRs（γ（u）r（u）+δ（u））dudAb（s）F（t）, （3.32）和（重新）将其Galtchouk Kunita Watanabe分解写入asV▄Ab（t）=V▄Ab（0）+dXj=1Zth▄Abj（u）dS*j（u）+LAb（t）。（3.33）3存在税收和费用时的风险最小化由于分解的唯一性，我们有VAb=VˇAb，*, L▄Ab=LˇAb，*, andhAbj=hˇAb，*j对于j=1，d、还可与（3.30）和（3.12）协商。下面的定理包含了本文的主要结果。定理3.4。存在一种独特的风险最小化投资策略▄h for abin存在税收和费用▄hj（t）=1- γ（t-)e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duhAbj（t），（3.34），j=1，d和▄h（t）=e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVAb（t）-Ab（t）-dXj=1hj（t）S*j（t）。（3.35）相关风险过程由▄R（▄h，t）=等式LAb（T）- LAb（t）F（t）, （3.36）和相关的值过程isV（|h，t）=等式中兴通讯-Rst（（1-γ（u））r（u）-δ（u））dudAb（s）F（t）. （3.37）结果证明如下。首先，我们对结果进行解释，并将其与税后和税后市场中的风险最小化投资策略联系起来，讨论命题3.1及其后的讨论。通过比较（3.33）和（2.8），我们可以看出，数量hAbj（t）可以被解释为在无税收和费用的经典环境下，修改支付流程的风险最小化投资策略中时间t的资产数量j，见第2节。

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2022-6-24 08:09:53

定理3.4的解决方案是对该策略的修改，通过因子（1）调整税费- γ（t-))-1和e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））du。从（3.37）中，我们可以看出，如果信息当前可用，但使用修改后的短期利率贴现（1），投资策略的现值可以作为未来付款的有条件预期值获得-γ） r-δ）而不是原始短期利率r。修改后的贴现系数对应于使用税后和税后储蓄账户，而不是税前和税前储蓄账户作为货币时间价值的参考。此外，该值与第3.1节中获得的税后和税后市场的值一致，与（3.11）一致，即V（|h，t）=V（h*, t） 3存在税收和费用时的风险最小化*由（3.9）和（3.10）给出。实际上，我们看到▄h=h*带h*由（3.19）和（3.20）给出。这证明了第3.1小节末尾提到的税后和费用后风险最小化与税后和费用调整风险最小化之间的关系。换言之，两种概念上不同的策略在数学上是等价的，即投资于每个问题集的金额是相等的。定理3.4的证明原则上可以基于命题3.1。直截了当的计算表明，修改和贴现的成本过程▄C和▄C*, 分别通过根据（3.19）和（3.20）给出的映射调整投资策略直接相关。因此，通过将（3.15）和（3.12）与它们的同一性（3.30）基本结合，可以建立证明。为了更好地揭示场景背后的情况，我们提供了直接证据。定理3.4的证明。通过确定数量（3.28）并将其最小化，证明了该结果。

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mingdashike22

2022-6-24 08:09:56

由于定义Atax（h，0）=0和Ae（h，0）=0，我们看到▄C（h，0）=▄V（h，0）+▄Ab（0）。现在，根据（3.29）和修改后成本流程的定义，C（h，t）=V（h，t）+Ab（t）-dXj=1Zt（1- γ（u-)) hj（u）eRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdS*j（u）。（3.38）对于0-容许策略▄h，我们得到V（▄h，T）=0，因此▄V（▄h，T）=0。此外，（3.33）意味着▄Ab（T）=V▄Ab（T）=V▄Ab（0）+dXj=1ZTh▄Abj（u）dS*j（u）+LAb（T）。（3.39）现在将（3.39）插入（3.38）中，t=t，并使用▄V（▄h，t）=0，以查看▄C（▄h，t）=V▄Ab（0）+L▄Ab（t）+dXj=1ZThAbj（u）- (1 - γ（u-))~hj（u）eRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdS公司*j（u）=VAb（t）+LAb（T）- LAb（t）-dXj=1Zt（1- γ（u-))~hj（u）eRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdS*j（u）+dXj=1ZTthAbj（u）- (1 - γ（u-))~hj（u）eRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdS公司*j（u），3存在税收和费用的风险最小化，最后一个等式来自（3.33）。通过组合▄C（▄h，T）和▄C（▄h，T）的表达式，并利用Q鞅的正交性*jand L▄Ab，我们发现▄R（▄h，t）=R（▄h，t）+等式LAb（T）- LAb（t）F（t）+ R（▄h，t）与Rand Rgiven byR（▄h，t）=VAb（t）-V（￠h，t）-Ab（t）R（￠h，t）=等式dXj=1ZTthAbj（u）- (1 - γ（u-))~hj（u）eRu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdS公司*j（u）F（t）.现在可以按如下方式删除术语Rand RCA。首先，通过根据（3.34）选择（▄h，▄hd）来消除术语Ris。通过检验R，我们认识到，当且仅当ifeRt（γ（τ）R（τ）+δ（τ））dτV时，此项next可以消除*（▄h，t）=▄V（▄h，t）=V▄Ab（t）-Ab（t），即如果且仅当ifV*（h，t）=e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτVAb（t）-Ab（t）,然后根据（3.35）选择huniquely获得。这表明，（3.34）和（3.35）是在税收和费用存在的情况下，针对ABI的风险最小化投资策略，并进一步确定了（3.36）和（3.37）。为了证明唯一性，仍需证明j=1时的每个▄hj。

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2022-6-24 08:09:59

，d是唯一确定的。首先请注意，通过It^o等距和（2.1），R（￠h，0）=dXi=1dXj=1EQZTαi（t）αj（t）dhS*i、 S*ji（t）= 均衡器ZTαtr（t）σS（t）α（t）dB（t）,式中，α=（α，…，αd）由αj（t）=hAbj（t）给出- (1 - γ（t-))对于j=1，…，hj（t）eRt（γ（u）r（u）+δ（u））du，d、回想一下，每个σS（t）都假设为正定义，B为零且严格递增。因此，当且仅当每个αjis为零时，R（h，0）=0，即当且仅当（h，hd）根据（3.34）选择。这证明了风险最小化投资策略的唯一性。3存在税费的风险最小化3.3两步风险最小化在本小节中，我们从以下意义上研究两步风险最小化。假设原始投资者，如保险公司，在存在定理3.4给出的税收和费用的情况下，采用风险最小化投资策略h。然后，除了原始的保险支付Ab之外，它还面临特定税收支付Atax（h）和费用支付Ae（h）。我们考虑系统投资者（如再保险公司）承担支付的情况，并在第2节的设置中面临经典风险最小化（在没有税收和费用的情况下）的问题。因此，相关的经典保险支付流程A由A（t）=Ab（t）+Atax（~h，t）+Ae（~h，t），（3.40）给出，其中h由定理3.4确定，因此是固定的。为了确定A的经典风险最小化投资策略，我们现在研究内在价值过程VA*与关联的*. 下面的引理是关键。引理3.5。

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2022-6-24 08:10:02

根据（3.40）给出的A，相应的固有值过程VA*具有以下Galtchouk Kunita Watanabe分解：VA*（t） =VA*（0）+dXj=1Zthj（u）dS*j（u）+中兴通讯-Ru（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdLAb（u），在定理3.4给出的税收和费用存在的情况下，Abi的风险最小化投资策略，以及VAb的Galtchouk Kunita Watanabe分解中的LAbas，与（3.33）一致。此外，VA*（t） =A*（t） +e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVAb（t）-Ab（t）.证据通过简单的计算，我们得到以下表达式：A*（t） =中兴通讯-Rur（τ）dτdA（u）=Ab，*（t） +dXj=1Ztγ（u-)hj（u）dS*j（u）+Zt（γ（u）r（u）+δ（u））e-Rur（τ）dτV（～h，u）du。因为折扣价格过程是Q-鞅，所以它遵循thatVA*（t） =等式[A*（T）| F（T）]=VAb，*（t） +Atax，*（￠h，t）+Ae，*（￠h，t）+等式ZTt（γ（u）r（u）+δ（u））e-Rur（τ）dτV（￠h，u）duF（t）.3存在税收和费用时的风险最小化从（3.37），V（≈h，u）=等式ZTue公司-Rsu（（1）-γ（τ））r（τ）-δ（τ））dτdAb（s）F（u）.根据迭代期望定律和交换积分顺序，simplemanipulations yieldEQZTt（γ（u）r（u）+δ（u））e-Rur（τ）dτV（￠h，u）duF（t）= 均衡器中兴通讯-Rsr（τ）dτZst（γ（u）r（u）+δ（u））eRsu（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdu dAb（s）F（t）= 均衡器中兴通讯-Rsr（τ）dτeRst（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτ- 1.dAb（个）F（t）= e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτVAb（t）-Ab（t）-VAb，*（t）- Ab、，*（t）,另见（2.7）和（3.32）。收集一切，我们得到*（t） =VAb，*（t） +Atax，*（￠h，t）+Ae，*（￠h，t）+e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτVAb（t）-Ab（t）-VAb，*（t）- Ab、，*（t）= Ab、，*（t） +Atax，*（￠h，t）+Ae，*（￠h，t）+e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτVAb（t）-Ab（t）= A.*（t） +e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτVAb（t）-Ab（t）,根据需要。

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2022-6-24 08:10:05

现在，使用部件集成和▄Ab的定义，我们发现DVA*（t） =dXj=1γ（t-)hj（t）dS*j（t）+e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdVAb（t）。从VAb的Galtchouk Kunita Watanabe分解，与（3.33）和恒等式（3.34）进行讨论，得出如下结论：*（t） =dXj=1γ（t-)hj（t）dS*j（t）+dXj=1（1- γ（t-))hj（t）dS*j（t）+e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdLAb（t）=dXj=1hj（t）dS*j（t）+e-Rt（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdLAb（t）。3存在税收和费用的风险最小化注意，最终项是与贴现价格过程正交的零均值Q鞅，因为这是LAb的情况。我们得出结论，VA*Galtchouk KunitaWatanabe分解是否由VA给出*（t） =VA*（0）+dXj=1Zthj（u）dS*j（u）+中兴通讯-Ru（γ（τ）r（τ）+δ（τ））dτdLAb（u），根据需要。将引理3.5与第2节回顾的经典结果相结合，我们得到了本小节的主要结果：命题3.6。根据（3.40）给出的A，A存在一个独特的经典风险最小化投资策略，该投资策略与存在税收和费用的唯一风险最小化投资策略相同。证据从第2节审查的结果可以看出，存在一种独特的classicrisk最小化投资策略h*对于h给定的A*j=~hj对于j=1，d、根据EMMA 3.5和H*（t） =VA*（t）- A.*（t）-dXj=1hj（t）S*j（t）。为了建立这个定理，还有待证明h*（t） =▄h（t）。从（3.35），~h（t）=e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVAb（t）-Ab（t）-dXj=1hj（t）S*j（t），因此它必须显示thatVA*（t）- A.*（t） =e-Rt（γ（u）r（u）+δ（u））duVAb（t）-Ab（t）.但引理3.5也紧随其后，从而完成了证明。提案3.6允许我们得出以下结论。

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2022-6-24 08:10:08

如果系统投资者在存在税收和费用的情况下，假设采用风险最小化投资策略的原始投资者的所有付款，包括税收和费用，并面临经典风险最小化问题（在没有税收和费用的情况下），则最优策略与原始投资者采用的投资策略一致；特别是，额外的风险降低是不可能的，在这种特定意义上，税收和费用调整后的风险最小化与经典的风险最小化是一致的。4案例研究：经典的多州人寿保险付款4案例研究：经典的多州人寿保险付款我们扩展了经典的人寿保险设置，例如[11、16、6]，允许按照Vasicek期限结构模型在债券市场进行投资，税率和费用取决于保险合同的当前状态。我们的设置和结果与风险最小化文献中的早期示例相似，请参见。g、【15】第3.1款，新的主要供款包括税费；特别是，我们使用第3节中开发的工具推导出了税收和费用存在时的风险最小化投资策略。在整个演示过程中，我们解释了如何将结果扩展到一般的期限结构模型。在第4.1小节中，我们介绍了市场模型、保险支付流程以及税费。接下来，第4.2小节推导了税收和费用存在时的风险最小化投资策略。最后，我们在第4.3.4.1小节的设置中讨论了估值和可计算性，以期精算实践。金融市场由两种资产组成，其价格过程（S，S）由Vasicek模型下的随机短期利率过程r驱动。

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2022-6-24 08:10:11

换句话说，r是满足随机微分方程dr（t）=κ（θ）的anOrnstein-Uhlenbeck过程- r（t））dt+σdW（t），其中κ、θ和σ是正常数，W是等价鞅测度Q下的标准布朗运动。基础人寿保险合同（或多份合同）的发展由经典的多状态马尔可夫模型描述。设Z是一个马尔可夫跳跃过程，其值位于描述契约状态的有限集J={0，1，…，J}。合同的初始状态为0，因此Z（0）=0。多元计数过程N=（Njk）j，k∈J，k6=通过设置Njk（0）=0和Njk（t）=#{s与跳转进程z关联的jis∈ （0，t）：Z（s-) = j、 Z（s）=k}表示t∈ （0，T）。数量Njk（T）可以解释为在时间间隔[0，T]内从合同状态j到状态k的转换次数。我们假设Z和W给出的金融市场在Q下是独立的，我们将过滤F作为Z和W自然过滤的Q-增强。4案例研究：传统的多州人寿保险付款与之前一样，Sis是采用（t）=exp形式的储蓄账户Ztr（u）du.除储蓄账户外，市场还包含到期时间T>0的零息票债券。价格过程为：S（t）=EQS（t）S（t）F（t）= EQhe-RTtr（s）dsF（t）i.我们假设存在连续函数[0，t]3，t 7→ ujk（t），j，k∈ J，k 6=J，因此Z的跃迁强度u完全表征了Z的分布。因此，过程Mjkgiven by mjk（t）=Njk（t）-Zt{Z（s-)=j} ujk（s）dsare正交鞅。此外，每个MJKI也与折扣价格过程S正交*= 我们对与保险合同制定相关的付款流程感兴趣。

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2022-6-24 08:10:15

具体而言，保险支付流程Abhas dynamicdab（t）=Xj∈J{Z（t）=j}bj（t）dt+Xk:k6=jbjk（t）dNjk（t）（4.1）对于t∈ （0，T），而Ab（0）是某种初始确定性溢价。这里，bjare确定性逗留支付和bjkare确定性转移支付均假设可测量且在有界区间上有界。为了保持符号简单，我们忽略了一次性付款。扩展到更普遍的付款是很简单的。最后，我们详细说明了税费结构。税率γ∈ [0，1）被假定为时间常数和确定性。特别是，税率不取决于保险合同的历史或金融市场的历史。费用率δ的形式为δ（t）=Xj∈J{Z（t）=J}δJ（t），对于t∈ （0，T），其中δjare连续状态费用率假设为确定性。因此，费用率仅取决于当前状态下保险合同的历史，而费用率不取决于金融市场的历史。4案例研究：经典的多州人寿保险支付4.2基于短期利率r、定义F和F1的马尔可夫性的税费调整风险最小化-γbyF（t，r（t），s）=等式-Rstr（u）dur（t）i=等式-Rstr（u）duF（t）i，F1-γ（t，r（t），s）=等式-Rst（1-γ） r（u）dur（t）i=等式-Rst（1-γ） r（u）duF（t）i.注意F（t，r（t），t）=S（t）。还要注意D（1- γ） r（t）=κ（（1- γ)θ - (1 - γ） r（t））dt+（1- γ） σdW（t），因此t 7→ (1 - γ） r（t）是另一个Ornstein-Uhlenbeck过程。使用Vasicek期限结构模型的显式结果，参见。

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2022-6-24 08:10:18

[2] 提案24.3，我们发现F1-γr（t，r（t），s）=（1- γ） Fr（t，r（t），s）F1-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s），（4.2），其中Fr（t，r，s）=rF（t、r、s）和类似的F1-γr（t，r，s）。定义所谓的费用变动转移概率p-δbyp-δij（t，s）=EQh{Z（s）=j}eRstδZ（u）（u）duZ（t）=ii。如果费用率为零，这些实际上是通常的转移概率。在一般情况下，从附录A可以看出，费用衰减的转移概率满足与Kolmogorov的后向和前向微分方程类似的普通微分方程系统。折扣保险支付流程的税务和费用修改版本由Ab（t）=Ab（0）+中兴通讯给出-卢比（（1-γ） r（u）-δ（u））dudAb（s），例如（3.30）。以下方法遵循【15】第3节的思路。利用Z与金融市场之间的独立性，可以证明与▄Ab相关的内在价值过程可以写成V▄Ab（t）=EQh▄Ab（t）F（t）i（4.3）=Ab（t）+e-Rt（（1-γ） r（u）-δ（u））duZTtF1-γ（t，r（t），s）Y-δZ（t）（t，s）ds，（4.4）4案例研究：经典的多州寿险支付-δiis由y给出-δi（t，s）=Xj∈日本-δij（t，s）bj（s）+Xk:k6=jujk（s）bjk（s）.本征值过程的表达式与[15]第426页的表达式类似，因此我们可以使用与[15]第442–444页相同的技术继续进行。确定所谓的国家级远景储量V1-γ、 δibyV1-γ、 δi（t）=ZTtF1-γ（t，r（t），s）Y-δi（t，s）ds。我们现在准备好陈述相关的高尔乔克·库尼塔·渡边分解：引理4.1。由V▄Ab（t）=V▄Ab（0）+Zt{Z（s）给出的V▄Abis的Galtchouk-Kunita-Watanabe分解-)=i} ξi（s）dS*（s） +Xj∈JXk:k6=jZtvjk（s）dMjk（s）。式中ξi（t）=（1- γ） eRt（γr（u）+δ（u））duZTtFr（t，r（t），s）Fr（t，r（t），t）F1-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s）Y-δi（t，s）ds，（4.5）vjk（t）=e-Rt（（1-γ） r（u）-δ（u））dubjk（t）+V1-γ、 δk（t）- V1-γ、 δj（t）.

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mingdashike22

2022-6-24 08:10:22

（4.6）证明。这个证明反映了引理3.2的证明，尽管是在放松的正则条件下。因此，我们仅概述了基本步骤，重点是由于包含税收和费用而带来的复杂性。首先，我们更仔细地看一下电子的动力学-Rt（（1-γ） r（u）-δ（u））duV1-γ、 δi（t）。使用与Kolmogorov的后向微分方程类似的普通微分方程系统，见附录a，然后沿着[15]pp.443–444的路线进行，可以显示VAb（t）=VAb（0）+Zt{Z（s-)=i} ξi（s）dW（s）+Xj∈JXk:k6=jZtvjk（s）dMjk（s），其中vjk由（4.6）和ξi（t）=e给出-Rt（（1-γ） r（u）-δ（u））duσZTtF1-γr（t，r（t），s）Y-δi（t，s）ds。（4.7）4案例研究：经典的多州人寿保险支付使用Vasicek期限结构，我们下一步发现i（t）=e-Rt（（1-γ） r（u）-δ（u））du（1- γ） σZTtFr（t，r（t），s）F1-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s）Y-δi（t，s）ds=eRt（γr（u）+δ（u））du（1- γ） ZTtFr（t，r（t），s）Fr（t，r（t），t）F1-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s）Y-δi（t，s）ds×e-Rtr（s）dsFr（t，r（t），t）σ，另见（4.2）。换句话说，ξi（t）=ξi（t）e-Rtr（s）dsFr（t，r（t），t）σ，ξ由（4.5）定义。现在回想一下*（t） =e-Rtr（s）dsFr（t，r（t），t）σdW（t），由此得出￠ξi（t）dW（t）=ξi（t）dS*（t），完成证明草图。备注4.2。对于一般的短期利率模型，引理4.1的证明技术仍然适用，并且仍然可以获得类似于Vasicek期限结构模型的结果。假设短期利率满足随机微分方程dr（t）=α（t，r（t））dt+σ（t，r（t））dW（t），W在Q下仍然是标准布朗运动，其中α和σ是满足特定Lipschitz条件的函数。

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