基于这一讨论，我们可以通过以下方式将定理4.3的结论扩展到备注4.2的一般框架。假设短期利率满足随机微分方程dr（t）=α（t，r（t））dt+σ（t，r（t））dW（t），W在Q下仍然是标准布朗运动，其中α和σ是满足特定Lipschitz条件的函数。施加适当的附加规则性条件，唯一的风险最小化投资策略h由h（t）=ZTt1给出- γF1-γr（t，r（t），s）Fr（t，r（t），t）Y-δZ（t-)（t，s）ds，~h（t）=s-1（t）V1-γ、 δZ（t）（t）-h（t）S（t）.关联的值过程为stillV（≈h，t）=V1-γ、 δZ（t）（t）。4案例研究：经典的多州人寿保险支付4.3讨论定理4.3给出的唯一风险最小化投资策略h是对经典策略的修改，不含税收和费用。数量Y-δZ（t-)（t，s）是考虑到t时保险合同的当前状态，同时考虑到未来各州的费用，s时的预期未来（多样化）付款率；它可以解释为预期费用变动现金流。为了在s时支付未来的最低预期付款，该策略规定了r（t，r（t），s）Fr（t，r（t），t）F1的投资-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s）Y-δZ（t-)（t，s）ds（4.8）进入债券。因此，对于风险资产的投资，通过将投资增加系数1来考虑税收-γ（t，r（t），s）F（t，r（t），s）≥ 1，还应与第4节【5】中的讨论，特别是第4.3.2小节【5】中的讨论进行协商。（4.8）w.r.t.的产品结构。

税收和费用是市场风险和保险风险之间独立性的直接结果，税率不依赖于保险合同的历史，也不依赖于市场，而费用率仅依赖于保险合同的历史。要明确计算风险最小化投资策略和相关的价值过程，需要计算F、Fr和F1-γ以及费用减少的转移概率p-δij。对于Vasicek期限结构模型，尤其是t 7→ (1-γ） ris另一个Ornstein-Uhlenbeck过程，前者的量有闭合形式的表达式，因此易于计算。因为费用降低了转移概率p-δij可以通过求解一个普通微分方程组（类似于toKolmogorov的前向微分方程）来找到，见附录a，这为计算风险最小化投资策略和相关价值过程建立了一个简单的方案。在备注4.4中，我们阐述了如何将定理4.3扩展到一般短期利率模型。如果模型是一个函数，则计算风险最小化投资策略和相关价值过程所需的相关数量，即F，F1-γr和F1-γ、 可通过求解普通微分方程组进行计算，见【7，4】。因此，第4节的模型可以很容易地在实践中实现；此外，对一般期限结构模型的扩展相对简单。缩减的转移概率确认和利益声明Christian Furrer的研究部分由丹麦创新基金会（IFD）资助，文件编号7038-00007。作者声明没有相互竞争的利益。衰减的转移概率let(Ohm, F、 P）为背景概率空间，设Z为马尔可夫跳跃过程，其值在有限集J={0，1。

n- 1}. 设N是与Z相关的多元计数过程。Z的转移概率由0的N×N矩阵sp（t，s）给出≤ t型≤ s<∞, 其中，pij（t，s）=P[Z（s）=j | Z（t）=i]，跃迁概率满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。我们假设连续跃迁强度ujk的存在，当每个计数过程Njkhas强度过程λjk由λjk（t）=1{Z（t）给出-)=j} ujk（t）。然后我们可以取转移概率p满足u（t）=limh和0p（t，t+h）的条件分布的正则版本- p（t，t）h，其中u是具有对角线元素的n×n矩阵ujj=-Xk：k6=jujk。此外，转移概率满足Kolmogorov的向后和向前微分方程。设δ为n×1维，含确定性和连续元素t 7→ δi（t）。感兴趣的量是（相应的正则版本）pδij（t，s）=Eh{Z（s）=j}e-RstδZ（u）（u）duZ（t）=ii，我们称之为δ-衰减跃迁概率。当δ≡ 0n×1，我们看到这些量实际上是跃迁概率。当δ≡ 某些确定性连续函数t的1n×1f 7→ f（t），我们看到pδij（t，s）=e-Rstf（u）dupij（t，s）。δ-衰减跃迁概率满足普通微分方程系统，类似于Kolmogorov的后向和前向微分方程：衰减跃迁概率引理A.1。δ衰减跃迁概率满足正向常微分方程组spδ（t，s）=pδ（t，s）[u- diag（δ）]（s）和后向常微分方程组tpδ（t，s）=- [u - diag（δ）]（t）pδ（t，s），边界条件pδ（t，t）=diag（1n×1）。证据边界条件很明显。我们首先证明了前向微分方程。

定义1×n维指标过程I byIi（t）=1{Z（t）=I}。对于固定t≥ 0，还可定义1×n维过程X×X（t）=I（t）e-RttδZ（u）（u）du。将N视为N×N矩阵，对角线元素snjj=-Xk：k6=jnjk以类似的方式，将λ视为具有对角元素λjj=-Xk:k6=jλjk，因此λjj（t）=Ij（t-)ujj（t）。回顾dIi=Pj6=i（dNji- dNij）=PjdNji，我们看到di=11×ndN。因为补偿跳转过程测试7→ Nij（t）-Ztλij（s）ds是鞅，我们发现di（t）=dM（t）+11×nλ（t）dt=dM（t）+I（t-)u（t）dt=dM（t）+I（t）u（t）dt，（A.1）缩减转移概率，其中M是由dM（t）=11×n（dN（t）给出的1×n维鞅- λ（t）dt）。按部件集成现在yieldsdX（t）=（dI（t））e-RttδZ（u）（u）du- I（t）δZ（t）（t）e-RttδZ（u）（u）dudt=X（t）u（t）dt- X（t）δZ（t）（t）dt+e-RttδZ（u）（u）dudM（t）。通过定义X，E[Xj（t）| Z（t）=i]=pδij（t，t），EδZ（t）（t）Xj（t）Z（t）=i= δj（t）pδij（t，t）。后者对应于pδ（t，t）的矩阵积的（i，j）第个元素和对角线δ（t）的对角矩阵。收集所有项，然后根据Fubini的定理和M的鞅性质得出pδ（t，t）=pδ（t，t）+Zttpδ（t，s）[u- 诊断（δ）]（s）ds。前向微分方程之后是微分w.r.t.t。我们现在将注意力转向后向微分方程。对于固定的≥ 0定义1×n维鞅Y byY（t）=EhI（s）e-RsδZ（u）（u）duF（t）i=i（t）e-RtδZ（u）（u）dupδ（t，s），其中0≤ t型≤ s、 按部件积分现在yieldseRtδZ（u）（u）dudY（t）=dI（t）pδ（t，s）- I（t）δZ（t）（t）pδ（t，s）dt=I（t）pδ（dt，s）+I（t）u（t）pδ（t，s）dt- I（t）δZ（t）（t）pδ（t，s）dt+dM（t）pδ（t，s），其中我们使用了（A.1）。

由于Y和M是1×n维鞅，我们得出鞅表示理论，即pδ（t，s）在t和thatI（t）中是可微的tpδ（t，s）=-I（t）u（t）pδ（t，s）- I（t）δZ（t）（t）pδ（t，s）.参考现在可以通过仔细查看每个事件{Z（t）=i}上的表达式来建立后向微分方程，以改变i。例如，在{Z（t）=i}上，hI（t）δZ（t）（t）pδ（t，s）ij=δi（t）pδij（t，s），它对应于具有对角线δ（t）的对角矩阵和矩阵pδ（t，s）之间矩阵乘积的（i，j）第个元素。通过类似的额外观测，后向微分方程如下。这就完成了证明。参考文献【1】A.巴托兹。具有离散随机股息的资产衍生品的二次套期保值。《保险：数学与经济学》，32（2）：229–2432003年。内政部：10.1016/S0167-6687（02）00212-3。[2] T.比约克。连续时间套利理论。牛津金融系列。牛津大学出版社，第三版，2009年。内政部：10.1093/0199271267.001.0001。[3] 国际会计准则委员会。IFRS 17保险合同。https://www.idc.ac.il/he/specialprograms/accounting/fvf/Documents/IFRS17/WEBSITE155.pdf, 2017.[4] K.Buchardt。连续过程：变换、马尔可夫链和人寿保险。《应用概率进展》，48（2）：423–4422016。内政部：10.1017/2016年4月8日。[5] K.Buchardt和T.Moller。人寿和养老保险中存在税收和费用的对冲和现金流。风险，6（3），2018年。内政部：10.3390/risks6030068。[6] M.C.Christiansen。健康保险中的多州模型。统计分析进展，96（2）：155–1862012。内政部：10.1007/s10182-012-0189-2。[7] D.杜菲、J.潘和K.辛格尔顿。针对跳跃式差异的转型分析和资产定价。《计量经济学》，68（6）：1343–13762000。内政部：10.1111/14680262.00164。[8] 霍尔默和桑德曼。

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