毕达哥拉斯夏普比定理

2022-5-31 06:02:44

Sharpe ratioTakashi Shinzato的毕达哥拉斯定理*日本东京一桥大学Mori Arinori高等教育和全球流动中心，邮编：1868601（日期：2018年9月19日），我们研究了之前工作中处理的投资组合优化问题，并讨论了在预算和预期收益约束下，每项资产收益率均值和方差的超参数分布不限于特定概率族的情况下，投资风险最小化的问题。将使用所提出的方法得出的结果与之前的工作进行比较，以验证我们所提出方法的有效性。进一步，我们推导了夏普比率的Pyth agorean定理和机会损失的宏观关系。通过数值实验，证明了我们提出的方法在特定情况下的有效性。PACS编号：89.65。Gh，89.90+n、 02.50-国际扶轮社。简介如今，大多数金融活动在全球范围内相互影响，我们的生活直接或间接地受到许多金融危机的影响。金融危机的教训包括需要采取个人努力来保护我们的资产。在这种氛围下，随着改革的推进，正确投资和管理风险的重要性得到了重新认识。一般来说，投资意味着为预期未来的回报而支付成本，而且往往涉及风险。Markowitz指出了投资管理的重要性，并首先提出了投资组合优化问题，该问题是对最优资产管理策略进行专题分析的框架[1，2]。继这项开创性工作之后，已经进行了几项研究[3-8]。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:02:47

最近，有许多研究从复杂系统的角度出发，积极地将研究领域以外的分析方法（如复制分析、信念传播和随机m矩阵理论）应用于投资组合优化问题【9-21】。在这些研究中（见表一），Ciliberti等人描述了一个使用Boltzmann分布的多元化投资系统，以分析在预算约束下形成最大风险的最佳投资组合。特别是，他们使用绝对零温度极限下的基态（即该优化问题的最佳状态）分析了绝对偏差模型和预期短缺模型的最小投资风险【9，10】。此外，Caccioli et al.通过使用副本分析，检验了具有Lregular ization的预期短缺模型和作为特例的maxloss模型，并确定了最优资产管理策略的典型行为【11】。此外，Pafka等人。详细讨论了使用可提取的下三角矩阵各分量随机加权和的方差协方差矩阵定义的投资风险行为*电子邮件地址：takashi。shinzato@r.hit-u、 ac.JP通过使用Cholesky分解，从资产回报率的真实方差协方差矩阵中提取，通过使用agiven回报率生成的随机矩阵的渐近谱，从样本内风险中提取[12]。随后，Shinzato分析了投资组合优化问题，即均值-方差模式l，并利用大偏差原理表明，最小投资风险及其投资集中度满足自平均特性[13]。

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2022-5-31 06:02:51

Shinzato还比较了使用副本分析得出的每项资产的最小投资风险与使用随机优化的统一vie W点的运营研究得出的每项资产的最小预期投资风险，并指出，能够将预期投资风险降至最低的投资组合并不一定会将投资风险降至最低。此外，Shinzato等人开发了一种更快的算法，通过使用概率推理中经常使用的信念传播方法，找到能够最小化风险函数的最优投资组合，并验证了算法的计算时间是按资产数量的平方计算的（而标准算法要求按资产数量的立方计算时间）。此外，他们还发现，之前在退火无序系统中证实的Konno–Yamazaki猜想也适用于淬火无序系统[14]。此外，Shinzato使用了参考文献[13]中的投资组合优化问题，并在资产回报率差异不是唯一的情况下，使用复制分析和置信传播[15]，研究了能够在预算约束下最小化投资风险的投资组合。Shinzato还利用r-eplica分析研究了在预算和卖空约束下的投资风险最小化问题，并表明该投资系统涉及相变。此外，他开发了一种基于置信传播的更快算法，用于获得最佳投资组合【16】。此外，Ko ndor et al.还分析了相同的投资组合优化问题，即在每项资产回报率的方差e不同的情况下，使用副本分析，并再次确认该无序系统涉及先前研究的稳定I.目标。

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2022-5-31 06:02:53

在统计物理的范围内，这些模型与哈密顿量有关，约束s对应于先验。研究人员采用模型约束优化分析方法Sciliberti，Ciliberti等人【9，10】绝对偏差模型el，预计短缺模型预算最小化副本分析Caccioli等人【11】预计短缺模型e，最大损失模型预算最小化副本分析Pafka等人【12】均值方差模型预算最小化随机矩阵法Shinzato【13】均值方差模型预算最小化副本分析Shinzato等人【14】任何模型预算最小化置信传播Shinzato【15】均值方差模型预算最小化副本分析，置信传播Shinzato，Kondor等人【16，17】均值方差模型预算，卖空最小化副本分析Shinzato【18】均值方差模型预算，投资集中度最小化副本分析Shinzato【19】均值方差模型预算，投资风险最小化和最大化副本分析Shinzato【20】均值方差模型预算，预期收益，投资风险最小化和最大化副本分析Varga Haszonits等人【21】特定模型预算、预期收益最小化和最大化副本分析阶段过渡【17】。此外，Shinzato还利用文献[13]中处理的投资组合优化问题，通过复制分析来检验在预算和投资集中度约束下的投资风险最小化；在此背景下，他从随机优化和二元性的统一观点分析了预算和投资风险下投资集中度的优化【18，19】。

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2022-5-31 06:02:56

此外，Shinzato利用之前工作[1 3]中处理的投资组合优化问题，通过复制分析[20]，研究了在所有资产的回报率方差相同的情况下，在预算和预期回报约束下投资风险的最小化。此外，他还分析了在预算和投资风险约束下的预期收益最大化问题，并指出了对偶对评估这些优化问题的重要性。此外，VargaHaszonits等人使用副本分析研究了在预算和预期回报的约束下，特定风险函数（回报与其样本平均值之间偏差的样本方差）的最小化，并对使用副本分析得出的重复对称解进行了稳定性分析【21】。如上所述，之前的几项研究进一步证实了参考文献[13]中介绍的模型[15，20]。这些研究的结果紧密相连，因此有可能利用它们来解决一个重要的问题。即，在参考文献[20]中，详细讨论了在每个资产的收益率方差唯一的情况下，在预算和预期收益约束下的投资风险最小化，而在参考文献[15]中，讨论了在as集合的收益率方差不唯一的情况下，在预算约束下的投资风险最小化。作为数学金融模型的一种自然应用，我们还可以在预算和预期回报的约束下，检查投资风险的最小化，因为资产回报率的方差s不是唯一的。此外，在参考文献[20]中，假设资产收益率均值的超参数是独立且相同的高斯分布。

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2022-5-31 06:03:00

在本文中，在上述前期工作的基础上，我们讨论了在平均值和方差的超参数分布不限于特定概率族的情况下，在预算和预期回报约束下的投资风险最小化问题，并分析了每项资产的最小投资风险、投资集中度和夏普比率。此外，我们根据数学金融中的宏观理论（如热力学关系），推导了机会损失的夏普e比率和宏观关系的毕达哥拉斯理论。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将阐述在预算和预期收益约束下的投资风险最小化，这是本研究的重点。在第三节中，我们使用复制分析法分析了这些约束条件下的投资风险最小化，并得出了最小投资风险、投资集中度和边际收益率。在第四节中，我们详细检查了使用我们提出的方法获得的结果，在第五节中，我们使用数值模拟来考虑所提出方法的有效性。最后一节给出了我们的结论并列出了未来的工作。二、模型设置在本研究中，我们考虑一个稳定的投资市场，该市场可以处理N项资产，而不受短期出售的限制。我们假设资产i（=1，2，···，N），xi的回报率独立且整体地分布在平均值E[·xi]=RIA和方差v[·xi]=vi。此外，假设p个投资期，xiu表示资产i在周期u（=1，2，··，p）的回报率。此外，资产组合iis wi∈ N资产的投资组合用~w=（w，w，···，wN）T来描述∈ RN，w这里的符号t表示矩阵或向量的换位。

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nandehutu2022

2022-5-31 06:03:03

与之前的工作类似，由于没有对卖空进行限制，por tfolio可以采用任何实数。此外，投资组合w仅在预算和预期回报NXi=1wi=N，（1）NXi=1wiri=NR，（2）分别的约束下，其中R是预期回报系数。然后，在这两个约束条件下，组合w的投资风险H（~ w | X）定义为：H（~ w | X）=2NpXu=1NXi=1wi'xiu-NXi=1wiri=~wTJ ~ w，（3）其中修改后的回报率xiu=(R)xiu-riand returnrate矩阵X=nxiu√不∈ 使用RN×pare。此外，我们需要矩阵J={Jij}=XXT∈ RN×N，其中i，j元素如下：Jij=NpXu=1xiuxju。（4）此后，包括系数，以简化以下讨论。两种约束条件下投资风险最小化的分析方法与参考文献基本相似。[15、20]。在参考文献[20]中，每项资产的最小投资风险ε=NH（~ w*|十），投资集中度qw=N（~ w*)T ~ w*, 夏普比S=R√2ε分别为ε=s（α- （1）1+（R- m） σ, （5） qw=αα- 1.1+（R- m） σ, （6） S=Rrs（α- 1） h1+（R-m） σi，（7），其中~w*是能够最小化投资风险H（~ w | X）的投资组合，因此它们都依赖于周期比率α=p/N~ O（1）。夏普比率是一个标准，定义为每项资产的预期回报率与每项资产投资风险两倍的平方根之比。注意，如果投资风险不变，预期回报越大，投资组合越好；如果预期收益不变，投资风险越小，投资组合就越好。在任何一种情况下，理性投资者都会寻求能够最大化夏普比率的投资组合。有关投资集中度的解释，请参见参考。

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2022-5-31 06:03:06

[15] 。在上述之前的工作中，假设每个资产组合回报率的方差是唯一的，即V[\'xi xiu]（=vi）=s，平均值E[\'xi xiu]=的超参数是独立的，并且以平均值m和方差σ的身份呈高斯分布。正如参考文献[15]中所述，本文的目的是在均值和变量的超参数分布不限于特定概率族的情况下，分析这两种约束下的投资风险最小化；本文提出了一种基于副本分析的分析方法。三、副本分析在本节中，我们使用先前研究开发的副本分析技术来分析预算和预期回报约束下的投资风险最小化【13、15、16、18–20】。该投资系统在反温度β（>0）Z（R，X，~ R）下的配分函数定义如下：Z（R，X，~ R）=Z~w∈Wd ~我们-βH（~ w | X），（8），其中w=~w∈ RN | ~ wT ~ e=N，~ wT ~ r=NR是以方程为特征的可行投资组合子集空间。（1）和（2），~e=（1，1，···，1）T∈ RN，和~r=（r，r，····，RN）T∈R重新雇用。然后，使用φ=limN→∞NE[对数Z（R，X，~ R）]=limN→∞Nlimn公司→0nlog E[Zn（R，X，~ R）]，（9）每项资产的最小投资风险ε由ε=- limβ→∞φβ、（10）式中，符号E[f（X，~r）]表示期望值off（X，~r），其中返回率ma trix为X，平均值的超参数向量为~r。使用先前研究[13，15，18–20]中讨论的副本s对称解的Ansatz，E[Zn（r，X，~r）]表示n∈ 对Zandφ进行了评估。

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2022-5-31 06:03:09

这里的复制对称解决方案qwab=NNXi=1wiawib=χw+qwa=bqwa 6=b，（11）qsab=NNXi=1viwiawib=χs+qsa=bqsa 6=b，（12）~qwab=χw- qwa=b-qwa 6=b，（13）qsab=χs- qsa=b-qsa 6=b，（14）ka=k，（15）θa=θ，（16）式中~ wa=（w1a，w2a，··，wNa）T∈ RN，（a，b=1，2，···，n），~qwabandqsab分别是qwaband qsab的辅助变量，Kai是等式（1）中与预算约束相关的辅助变量，θais是等式（2）中与预期回报约束相关的辅助变量。根据这些设置，使用replicasymmetric解决方案，φ=ExtrΘ-αlog（1+βχs）-αβqs2（1+βχs）- k- Rθ-hlog（▄χw+v▄χs）i+qw+v▄qs▄χw+v▄χs+（k+rθ）~χw+v▄χs+（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs（17）分析，其中α=p/N~ O（1），符号extrmg（m）表示g（m）相对于tom的极值。此外，Θ={k，θ，χw，qw，▄χw，▄qw，χs，qs，▄χs，▄qs}表示序参数集。符号HF（r，v）i=limN→∞NNXi=1f（ri，vi），（18）也被使用。注意，附录A中讨论了公式（17）中φ的偏差。根据公式（17）中关于这些参数的极值条件，一阶参数如下：χs=β（α- 1），（19）qs=α（α- 1）高压-1i1+（R- R） V！，（20） χw=v-1.β（α- 1），（21）qw=α- 11+（R- R） V+v-2.c（R）高压-五、（22）其中=v-1r级高压-1i，（23）R=v-2r级高压-2i，（24）V=v-1r级高压-1i-v-1r级高压-1i！，（25）V=v-2r级高压-2i-v-2r级高压-2i！，（26）c（R）=V（R- R） +（V+（R- R）（R）- R））。（27）根据这些结果，使用ε=-limβ→∞φβ=limβ→∞αχs2（1+βχs）+αqs2（1+βχs）式（10）中：ε=α- 12hv-1i1+（R- R） V！。（28）此外，夏普比S=R√2ε由S=rhv给出-1iα- 1Rq1+（R-R） V.（29）请注意，投资集中度qww源自等式（22）。四、在本节中，将详细讨论拟议方法的几个特性。A.

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大多数88

2022-5-31 06:03:12

与使用拉格朗日乘数法得出的结果进行比较首先，我们将使用拉格朗日乘数法得出最小投资风险perassetε，并将结果与复制分析的结果进行比较。这里，拉格朗日乘数L定义如下：L=~ wTJ ~ w+k（N- ~wT~e）+θ（N R- ~wT ~ r）。（30）然后是最优投资组合w*通过求解L ~w=0，Lk级=Lθ=0表示w*= 千焦-1~e+θJ-1～r，（31）kθ=D ~ rTJ-1～rN-~rTJ公司-1～eN-~rTJ公司-1～eN～eTJ-1 ~恩！R, （32）其中=~eTJ公司-1～eN“~ rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e#. （33）因此，根据ε=2N~wTJ~w=k+Rθ的关系，每项资产的最小投资风险为ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e. （34）此外，根据附录B（方程式（B10）toEq中的论点。（B12）），在大量资产的限制下-1～e=高压-1iα-1，N~rTJ-1～e=高压-1riα-1，andN ~ rTJ-1～r=高压-1riα-1获得brie fly。我们将其代入式（34），以获得ε=α- 12hv-1i1+（R- R） V！（35）根据Rin公式（23）和Vin公式（25）。因此，使用拉格朗日多重法的结果与使用公式（28）中的副本分析的结果相同。B、对偶优化问题接下来，我们将讨论预算和预期收益约束下的投资风险最小化问题的对偶问题，即预算和投资风险约束下的预期收益最大化问题。根据之前工作【19，20】中的一个论点，每个sset R=NPNi=1的预期回报的最大值和最小值可以写为：Rmax=limN→∞最大~w∈W′（NNXi=1riwi），（36）Rmin=limN→∞最小~宽∈W′（NNXi=1riwi）。（37）也就是说，我们可以使用以预算和投资风险约束为特征的可行投资组合子集空间，系统地定义两个对偶问题，其内容如下：W′=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wTJ~w=Nε.

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2022-5-31 06:03:15

（38）如之前的工作【20】所示，通过使用副本分析很容易解决这个双重问题（另见附录A）。具体而言，我们可以使用公式（28）来确定预期回报的上下限，如下所示：Rmax=R+sV2高压-1iα- 1ε- 1., （39）Rmin=R-sV公司2高压-1iα- 1ε- 1.. （40）C.与仅在预算约束下的结果进行比较，我们将确定仅在先前工作[15]中分析的预算约束下的投资风险最小化问题是否包含在本论文的分析结果中。在之前的工作中，资产回报率的差异并不完全相同。也就是说，由于V[(R)xiu]（=vi）=si，v-1.= 画→∞NNXi=1si，（41），右侧重写为s-1.. 那么，仅在预算约束下的最小化投资组合问题的每项资产的最小投资风险ε可以描述为ε=α-12小时-1i，这是第一个最小等式（28）。由此，方程中的第二项。（28），α-12小时-1i（R-R） V，与预期收益相关。此外，使用E[(R)xiu]（=ri）=R，由于等式（1）中的预算约束可以等效于等式（2）中的预期回报约束，因此每项资产的最小投资风险ε取其最小值；也就是说，fromR=R，等式（28）中的第二项，α-12小时-1i（R-R） V，is0，如果V=V→ 0，然后是c（R）/V→ 1，表示ε=α- 12小时-1i，（42）qw=α- 1个+s-2.hs公司-1i。（43）也就是说，在之前的工作（等式（5）和等式（6））中获得的结果包括在本分析中（重新调用s-2.= 画→∞NPNi=1si）。D

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大多数88

2022-5-31 06:03:18

与预算和预期回报约束下的结果进行比较，现在让我们澄清一下，我们提出的方法复制了之前报告的预算和预期回报约束下投资风险最小化问题的分析结果。这里，每项资产的收益率变化是一个常数，即V[\'xiu]（=vi）=s，E[\'xi xi]=riareindependent and identially Gaussian distributed with mean m and varianceσ。然后v-1.= s-2，R=R=m，V=V=σ，c（R）=σ（R- m） +σ，ε=s（α- （1）1+（R- m） σ, （44）qw=αα- 1.1+（R- m） σ. （45）因此，我们这里的结果与先前工作中的结果一致。此外，当RIA和VIA彼此不相关时，R=R=hri=m，V=V=r- hri=σ，对qwin公式（45）没有影响。注意，使用关系s=v-1.-1，式（44）ta表示如下形式：ε=α- 12 hv-1i1+（R- m） σ. （46）E.毕达哥拉斯夏普比率定理作为拟议方法的创新亮点，让我们讨论夏普比率=R的宏观关系√2ε。根据公式（29），最大夏普比（R*) 在R=R时发生*=R+VR=高压-1rihv-1ri，带S（R*) =rhv-1iα- 1qR+V.（47）此外，仅具有预算约束的情况（R=R）和收益系数R设置为单位的情况，S（R）=rhv-1iα- 1R，（48）S(∞) =rhv-1iα- 也可获得1pV（49）。利用这些结果，可以证明以下关系，我们称之为夏普比的勾股定理：S（R*) = S（R）+S(∞). （50）方程式（50）解释如下。

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2022-5-31 06:03:21

使用公式（28），由于最小投资风险根据集合εisa的四次函数R，R=Ris可以最小化最小投资风险的回报系数，以及R→ ∞ 是能够最大化最小投资风险的回报系数，为了方便起见，可以解释为两个极端S（R）+S的夏普比率平方和(∞) 与最大夏普比S（R）的平方一致*). 注意，对于任何α>1和超参数E[\'xiu]=Ri和V[\'xiu]=vi的任意分布，E q.（50）中的强定理都成立。此外，该定理与矩形三角形的勾股定理不同；虽然几何解释尚不清楚，但该定理可能暗示与数学金融相关的新宏观关系（类似于热力学关系）。F、 Sharpe理性的最大化，我们将讨论最大Sharpe比率，而不使用副本分析。通过使用等式。（2）和（3），Sharperatio S=R√2ε推广到S=N~rT~w√N~wTJ~w，基于auchy–Schwarz不等式~在~ b≤√~在~ ap ~ bT ~ b，自~ aT ~ b√~bT ~ bT取最大值√~在~ a ~ b=K ~ a时，（K>0）。然后最大夏普比S（R*) isS（R*) =rN ~ rTJ-1~r，（51），其中~a=J-~r和~b=J~w已经被采用。此外，从~ b=K ~ a，~ w=KJ-1~r，当系数K为K=N~rTJ时-1~e，等式（1）是满足的。由此，可以最大化比率R的预期回报率*=N~rT~w，由*=~rTJ公司-1～r～rTJ-1~e.（52）引自附录B，R中的一个论点*=高压-1rihv-1ri，与上一小节的结果一致。此外，以类似的方式，fromN ~ rTJ-1～r=高压-1riα-1，S（R*)式（51）中，由S（R）给出*) =rhv-1iα- 1shv-1rihv-1rishv公司-1rihv-1i=rhv-1iα- 1sR+VRpR，（53），其中HV-1rihv-1ri=R+VRandhv-1rihv-1i=R已应用。因此，该结果与公式（47）一致。G

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2022-5-31 06:03:24

与基于OperationsResearch的结果进行比较最后，我们应该将使用运筹学标准方法得出的结果与复制分析得出的结果进行比较。首先，按照标准分析程序，预计投资风险E【H（~ w | X）】估计如下：E【H（~ w | X）】=αNXi=1viwi。（54）其次，在inEq预算约束下，能够最小化预期投资风险E[H（~ w | X）]的投资组合。（1）式（2）中的预期回报约束，~ wOR=（wOR，·····，磨损）T=arg min ~ w∈WE[H（~ w | X）]∈RN，可确定，给出以下每项资产的最低预期投资风险：ε或=limN→∞NE【H（~ wOR | X）】=α2hv-1i1+（R- R） V！，（55）因此，通过运筹学方法提供的投资组合机会损失，即κ=ε或ε，计算如下：κ=αα- 1.（56）也就是说，能够最小化预期投资风险E[H（~ w | X）]（但不是投资风险H（~ w | X）），~ wOR的投资组合并不总是最小化H（~ w | X）。由此可以看出，标准分析程序提供的投资组合不考虑风险的分散，这与我们提出的方法获得的最佳投资组合不同（详情见附录C）。请注意，由于式（56）中的机会损失取决于α，而不是超参数E[\'xiu]=Ri和V[\'xi xi]=vi的分布，因此风险之间的宏观关联与式（50）中给出的夏普比的皮萨戈里定理类似。同样，标准分析程序的投资集中度qORw=limN→∞NPNi=1（wORi）评估如下：qORw=v-2.c（R）高压-1iV。（57）也就是说，qorw与式（22）中的第二项相同。此外，当α接近1时，一般来说，理性投资者倾向于集中投资风险相对较小的资产。

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2022-5-31 06:03:27

如果参考返回率设置为X=nxiu√不∈ RN×p[13，15，20]，这种投资行为是众所周知的，因为投资集中度qwto很大。也就是说，qwin公式（22）成功地表达了最优投资行为，qORwin公式（57）没有考虑到最优投资策略。因此，能够最小化预期投资风险的投资组合wOR=arg min ~ w∈不幸的是，我们[H（~w | X）]没有包括~w拥有的一些重要投资性房地产*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X）。此外，除了最小投资风险H（~ w）以外的其他风险*|十）可以考虑最小预期投资风险E[H（~ wOR | X）]。例如，可以用最优投资组合w*=参数最小值~ w∈将WH（~ w | X）转换为等式（54）中的预期投资风险[H（~ w | X）]，以获得最优投资组合的每项资产的预期投资风险w*, 即表二。比较每项资产的典型风险。请注意，左上角入口ε和右下角入口ε定义了机会损失κ，左上角入口ε和左下角入口ε′定义了机会损失κ′，每个右入口的上升与右下角入口一致，即h（~ wOR | X）的期望值~w*~wORH（~ w | X）εε矿石[H（~ w | X）]ε′ε或ε′=limN→∞lim ~ w→~w*NE【H（~ w | X）】估计如下：；ε′=αlimN→∞NNXi=1vi（w*i） =α（χs+qs），（58），其中qsaa=χs+qsin等式（12）。如果β→ ∞, χs→获得0。也就是说，我们的副本分析中定义的QS将ponds与ε′相关联，ε′是最优投资组合的预期投资风险*. 此外，ε′相对于最小投资风险perassetε的机会性损失，即κ′=ε′ε，如下所示：=αα- 1.. （59）注意，Eq.（59），κ′中的机会损失取决于α，而不是超参数[\'xiu]=Ri和V[\'xi xiu]=Vi的分布，其方式与等式中的机会损失κ类似。

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2022-5-31 06:03:32

（56）（见表二）。五、数值实验在本节中，我们通过数值实验验证了我们提出的方法的有效性。根据第IV D小节的讨论，如果RIA和VIA相互独立分布，则使用提出的方法得到的结果与使用我们之前报告的方法得到的结果一致【20】；因此，我们接下来将考虑riand VIA与ea ch other相关的情况。对于实例e，回顾thatri=e[\'xiu]和vi=e[\'xiu]- （E[\'xi xiu]），我们假设E[\'xi xi]与ri成比例，即E[\'xi xi]=（hi+1）ri。这里，Hi是一个随机系数，用于简化等式（60）中的描述，方差vi使用均值、ri和hiasfollows的超参数的平方来描述：vi=hiri。（60）然后在有界区间（lr）内，以帕累托分布独立分布RIA和HIA≤国际扶轮社≤ ur，lh≤ 你好≤ uh）和这些概率密度函数（我们分别称之为具有幂crand ch的有界帕累托分布）定义如下【22】：fr（ri）=1.-cru1-crr公司-l1级-crrr-crilr公司≤ 国际扶轮社≤ ur0否则，（61）fh（hi）=（1-chu1-chh公司-l1级-chhh公司-奇尔≤ 你好≤ 否则为uh0。（62）即，ri和hiare（lr，ur，cr）和（lh，uh，ch）的密度函数fr（ri）和fh（hi）的参数，其中假设lr，lh，cr，ch>0。此外，在λ、λ′在区间0上独立且相同地分布的情况下≤ λ、 λ′≤ 1，ri，hiare赋值为ri=（λu1-crr+（1-λ） l1级-crr）1-crandhi=（λ′u1-chh+（1-λ′）l1-chh）1-分别为ch。也就是说，它们来自概率密度函数inEq。（61）和等式（62）。我们可以使用以下步骤从数值上推导出每项资产的最小投资风险ε：步骤1：将riand Hi独立地分配给等式中的有界Pareto分布。

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2022-5-31 06:03:35

（61）和（62）；除了设置平均ri的超参数外，我们还可以准备方差VI（=hiri）的超参数。步骤2：从概率分布中得出周期uxiu处资产i的回报率，使E[\'xi xiu]=Ri，V[\'xi xiu]=vi。计算修改后的回报率xiu=\'xiu- rito构建回报率矩阵X=nxiu√不∈ RN×p。步骤3：计算J=XXT∈ RN×Nand逆矩阵J-1、步骤4：EvaluateN ~ eTJ-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1~r.步骤5：使用公式（34）评估每项资产的最小投资风险ε。为了评估使用此程序的每项资产最低投资风险的典型行为，进行了M次试验。具体而言，我们构建了返回率矩阵Xm=nxmiu√不∈ RN×p，（m=1，2，···，m），资产均值的超参数的m向量~ rm=（rm，rm，···，rmN）T∈ 影院方差超参数的RN、andM向量~ vm=（vm，vm，···，vmN）T∈ r在步骤1和2中，并在每次试验中确定每项资产的最小投资风险εmin步骤3至5。然后，每项资产的最小投资风险预期ε估计如下：ε=MMXm=1εm。（63）同样，也使用上述步骤评估投资集中度qwandSharpe-ratio，并将结果与使用复制分析得出的结果进行比较-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3（a）每资产最小投资风险回报系数R数值实验副本分析结果-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（b）投资集中度回报系数R数值实验副本分析结果-0.20.20.40.60.81.21.4-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（c）夏普比率回报系数R数值实验结果数值试验的副本分析结果。1、复型分析和数值试验的结果（α=p/N=2）。

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大多数88

2022-5-31 06:03:39

横轴表示回报系数R，纵轴表示（a）每项资产的最小投资风险ε，（b）投资集中度qw，以及（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）式（28），（b）式（22）和（c）式（29）的复型分析结果。带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，虚线（黑色）表示（a）ε=α的结果-1hv-1i，（b）α-1+高压-2ihv-1i和（c）S（R*) =rhv-1riα-1、在本实验中，我们使用以下设置：（lr、ur、cr）=（lh、uh、ch）=（1、2、2），资产数量N=1000，周期数量p=200 0（即α=p/N=2），试验数量M=100。对于这些数字设置，我们评估了每项资产的最小投资风险、投资集中度和夏普比率，如图1所示。从这些数据来看，结果与其他数据明显一致。也就是说，这些比较验证了我们提出的基于副本分析的方法的适用性。六、结论和未来工作，以重新确定先前工作【20】中讨论的投资组合优化问题，该问题在预算和预期回报率的约束下，前提是每项资产的收益率方差是唯一的，并且资产均值的超参数是独立且相同的高斯分布，在本研究中，当资产的均值和方差的超参数具有任意分布时，我们考虑了这两个约束下的组合优化问题（尽管为了验证我们的方法，超参数的分布在数值模拟中受到限制）。利用复制分析，分析得出上述优化问题的每项资产的最小投资风险、投资集中度和夏普比率。

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2022-5-31 06:03:42

此外，通过比较以前的工作（使用拉格朗日乘子法推导的结果）和我们的数值结果，验证了基于副本分析的建议方法的适用性。此外，由等式（50）中的Sharperatio勾股定理表示的宏观变量与等式中的两个机会损失之间的关系。（56）和（59）分别得出。此外，运筹学中讨论的能够最小化预期投资风险（与投资风险本身不同）的投资组合并不总是与能够最小化投资风险的最优投资组合一致。由于上述机会服务水平ses大于1，从本文的论证来看，这是一个不幸的结果，因此可以验证，应该基于anill开发的理念的方法不可能实现理性投资者所期望的最优资产管理。幸运的是，跨学科研究领域利用统计机械信息学中成熟的分析方法，为理性投资者提供了一步步丰富的知识和新颖的见解，以实现最佳投资，我们应该继续努力，进一步探索未开拓的前沿，以便开发出一种能够获得满足投资者期望的最佳投资管理的方法。作为未来的工作，虽然本文没有从数学上充分讨论我们获得的宏观变量之间的关系，但为了提高数学金融知识体系的复杂性，我们需要对夏普比率的毕达哥拉斯定理进行几何解释。

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2022-5-31 06:03:45

此外，除了式（50）中夏普比的Pytha Gorean定理和式（56）和式（59）中的机会损失之外，我们还需要确定宏观变量之间的其他关系。感谢作者感谢与K.Kobayashi、D.Tada和H.Yamamoto进行的宝贵讨论。这项工作得到了第15K 20999号赠款的部分支持；秋田县大学青年科学家驻地项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究基金会研究所的研究项目；曾金经济和金融研究基金会第1414号研究项目；统计数学研究所2068号研究项目；坎波基金会第二研究项目；三菱UFJTrust奖学金基金会研究项目。附录A：副本计算在本附录中，我们将在本文主要关注的背景下解释副本分析。与之前的工作相同[13，15，18-20]，E[Zn（R，X，R）]，（n∈ Z）描述如下：E[Zn（R，X，~R）]=外向k，~θ（2π）N+pnZ∞-∞Yad ~ wad ~ uad ~ zaE“exp-βXu，azua+XakaXiwia- N+XaθaXiriwia- NR+iXu，auuazua-√NXiwiaxiu！！#，（A1）此处为方便起见，Pi表示SpNi=1，Pu表示SpPu=1，PaisPna=1，QaMeansqna=1。此外，~ wa=（w1a，w2a，····，wNa）T∈ RN，（a，b=1，2，··，n），~ ua=（u1a，u2a，··，upa）T∈ Rp，~ za=（z1a，z2a，····，zpa）T∈ Rp，~ k=（k，k，···，kn）T∈ Rn和~θ=（θ，θ，····，θn）T∈ 注册护士。此外，可行投资组合子集空间上的整数（~ wa）（即满足Eq.（1）中的预算约束和Eq.（1）中的预期收益约束）。

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2022-5-31 06:03:48

（2），W，近似如下：Z~wa∈Wd ~ wag（~ wa）=Extrka，θa（2π）NZ∞-∞d ~ wag（~ wa）expkaXiwia- N！+θaXiriwia- N（A2）接下来，我们可以按如下步骤评估积分的每个部分：log E经验值-我√NXi，uxiuXauuawia= ExtrQw、~Qw、Qs、~Qs-Xu，a，bqsabuuauub-Xa，bqwabXiwiawib- Nqwab！-Xa，bqsabXiviwiawib- Nqsab！. （A3）作为订单参数，我们定义qwab=NNXi=1wiawib，（A4）qsab=NNXi=1viwiawib，（A5）和▄qwaband▄qsabe相应的辅助参数。此外，Qw={qwab}∈ Rn×n，Qs={qsab}∈Rn×n，Qw={qwab}∈ Rn×n，和▄Qs={▄qsab}∈ 使用Rn×nare。此外，使用关于~ua、~za、（2π）pnZ的高斯积分∞-∞Yad ~ uad ~ zaexp-βXu，azua+iXu，auuazua-Xu，a，bqsabuuauub= ex p公司-plog det | I+βQs|, （A6）其中I是n×n标识矩阵。以类似的方式，使用关于~wa，（2π）N nZ的高斯积分∞-∞Yad ~ waexp-Xi，a，bqwabwiawib-Xi，a，bqsabviwiawib+Xi，akawia+Xi，aθariwia= ex p公司-Xilog det公司Qw+vi▄Qs+Xi（~ k+ri~θ）TQw+vi▄Qs-1（~ k+ri~θ）！。（A7）由此可知，log E[Zn（R，X，~ R）]=外向k，~θ，Qw，~ Qw，Qs，~ QsNXa、bqwabqwab+NXa、bqsabqsab-恩萨卡- NRXaθa-plog det | I+βQs|-Xilog det公司Qw+vi▄Qs+Xi（~ k+ri~θ）TQw+vi▄Qs-1（~ k+ri~θ））。（A8）并且，在大量资产的限制下，使用等式中给出的重复对称解。（11）至（16），limN→∞Nlog E[锌（R，X，~ R）]=外n（χw+qw）（~χw- qw）-n（n- 1） qw▄qw+n（χs+qs）（▄χs- qs）-n（n- 1） qsqs- nk公司- nRθ-α（n- 1）对数（1+βχs）-αlog（1+βχs+nβqs）-n- 1hlog（▄χw+v▄χs）i-hlog（▄χw+v▄χs- n（▄qw+v▄qs））i+n（k+rθ）~χw+v▄χs- n（▄qw+v▄qs）（A9）可以计算。将结果代入式（9），式。

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2022-5-31 06:03:52

（17）通过使用α=p/N获得~ O（1）。通过类似的论证，我们可以通过副本分析轻松解决第IV B小节中的对偶问题。根据之前工作[20]中的讨论，分区函数Z（ε，X，~r）和哈密顿量H′（~w | ~r）定义如下：Z（ε，X，~r）=Z~w∈W′d~weβH′（~W | ~r），（A10）H′（~W | ~r）=NXi=1riwi，（A11），其中以预算和投资风险约束为特征的可行投资组合子集的速度，W′=~w∈ 注册护士~wT~e=N，Nε=wTJ~w, 使用（A12）。由此，利用这个无序系统的自平均特性，为了执行这个优化问题，φ=limN→∞NE[对数Z（ε，X，~r）]，（A13）已定义。然后，根据以下等式，Rmax=limβ→∞φβ、（A14）Rmin=limβ→-∞φβ、（A15）可以评估每项资产的最大和最小预期收益Rmax和Rmin。以与上述副本分析类似的方式，使用副本对称解决方案，φ=ExtrΘεθ- k-αlog（1+θχs）-αθqs2（1+θχs）+（χw+qw）（△χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs+qw+v▄qs▄χw+v▄χs-hlog（▄χw+v▄χs）i+（k+rβ）×χw+v×s, （A16）也可以估计，其中Θ={k，θ，χw，qw，Θχw，Θqw，χs，qs，Θχs，Θqs}是一组有序参数。从极值条件出发。（A16）关于这些参数，就参数θ而言，原始参数如下：χs=θ（α- 1），（A17）qs=α（α- 1）高压-1i+αv-1.V（α- （1）βθ, （A18）k=θ（α- 1）高压-1i- βR.（A19）此外，φβ=βv-1r级θ（α- 1） +千v-1r级θ（α- 1） =R+v-1.Vα- 得到1βθ（A20）。然后，为了分析每个集合的预期收益的上下界，我们需要评估θ，它需要满足以下方程：ε=αχs2（1+θχs）+αqs2（1+θχs）=2θ+α- 12 hv-1i+v-1.V2（α- （1）βθ. （A21）Rearaging，这可以写为βθ=2（α- 1）高压-1iVε-2θ-α- 12 hv-1i.

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2022-5-31 06:03:56

（A22）考虑极限为|β|→ ∞, 我们假设β/θ~O（1）；那么βθ=±α- 1hv-1isV2高压-1iα- 1ε- 1.. （A23）注意，对于β→ ∞, 右侧必须为正，如果β→ -∞, 它必须是负数。将该表达式代入式（A20），我们得到Lim |β|→∞φβ=R+rV2hv-1iα-1ε- 1.β→ ∞R-rV2hv-1iα-1ε- 1.β→ -∞.（A24）因此，Rmax和Rmin与等式一致。（39）和（40）。附录B：momentsHereN ~ eTJ的副本分析-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1～r进行了分析。首先，为了确定它们，分区函数Z（k，θ，X）定义如下：Z（k，θ，X）=（2π）NZ∞-∞d~我们-~wTJ~w+~wT（k~e+θr），（B1），其中J=XXT∈ RN×N.配分函数用log Z（k，θ，X）=log det | J |+k~eTJ计算-1~e+θ~rTJ-1~r+kθ~rTJ-1~e.（B2）自平均性质，在大N的极限下，φ（k，θ）=limN→∞NE[log Z（k，θ，X）]，（B3）来自φ对k，θ的二阶导数，n~eTJ的典型行为-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1 ~罕见，易于确定。这里，在资产数量N较大的限制下，使用重铺层分析和复制对称解，φ（k，θ）=Extrχs，qs，￠χs，￠qs（χs+qs）（~χs- qs）+qsqs-αlog（1+χs）-αqs2（1+χs）-hlog vi-对数▄χs+▄qs2▄χs+2▄χs（k+rθ）v, 获得（B4）。根据公式（B4）的极值条件，χs=α- 1，（B5）qs=α（α- （1）（k+rθ）v, （B6）～χs=α- 1，（B7）~qs=α- 1.（k+rθ）v, （B8）通过使用复制对称解inEqs获得。（12）和（14）。将其插入公式（B4），φ（k，θ）=-αlogα- 1.-对数（α- （1）-hlog vi+2（α- （1）（k+rθ）v, 获得（B9）。因此，N~eTJ-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1～稀有，计算如下：limN→∞N ~ eTJ-1～e=φ（k，θ）k级=v-1.α- 1，（B10）limN→∞N ~ rTJ-1～e=φ（k，θ）θk级=v-1r级α- 1，（B11）limN→∞N ~ rTJ-1～r=φ（k，θ）θ=v-1r级α- （B12）附录C：随机优化在本附录中，我们总结了随机优化的框架【13】。

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2022-5-31 06:03:59

首先，对于给定的随机变量X，使用相对于控制参数w有界的实值函数∈ W、 f（W，X），讨论了能使f（W，X）最小的最优解W，f（W，X）的最小值及其典型性质。假设随机变量X遵循一个已知分布，控制参数w的可行子集空间为w。从下面的讨论中，以下结果并不总是要求f（w，X）相对于w是凸的。对于一对w，X，f（w，X）≥ minw公司∈Wf（w，X），（C1）保持不变。让w*（十）是实现右侧最小值的w值，即w*（十） =参数最小值∈Wf（w，X）。（C2）因此，等式（C1）的等式情况可以重写如下：f（w*（十），X）=最小值∈Wf（w，X），（C3）即f（w，X）≥ f（w*（十），X），（C4），其中应注意，最优解w*（十）取决于随机变量X，如符号所示。接下来，我们可以取等式（C4）两边对随机变量X的期望值：EX[f（w，X）]≥ EX[f（w*（十），X）]。（C5）由于等式（C5）的右侧为常数，且左侧适用于任何控制参数w∈ W、以下不等式成立：minw∈WEX[f（w，X）]≥ EX[f（w*（十），X）]。（C6）我们可以将等式（C3）代入右侧，以获得MinW∈WEX[f（w，X）]≥ EX公司minw公司∈Wf（w，X）. （C7）因此，对于控制参数w，minw，f（w，X）的期望值的最小值∈WEX[f（w，X）]，并不总是小于关于w的最小off（w，X）w的期望值，EX[minw∈Wf（w，X）]。此外，通过类似的论证，我们还可以考虑上有界实值函数相对于w，g（w，X）的最大化，并得到maxw∈WEX【g（w，X）】≤ EX公司最大值W∈Wg（w，X）. （C8）返回到最小化问题，假定minw∈Wf（w，X）满足以下自平衡特性：minw∈Wf（w，X）=EXminw公司∈Wf（w，X）. （C9）然后来自等式。

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2022-5-31 06:04:02

（C7）和（C9），最小值∈WEX[f（w，X）]≥ minw公司∈Wf（w，X），（C10），参考文献[13]对此进行了讨论。也就是说，根据正文中的讨论，控制参数是一个por tfolio，随机变量X是一个收益率矩阵，从低到低的实值函数f（w，X）是投资风险，可行子集空间w对应于投资组合上的各种约束。因此，这里的讨论表明，能够最小化运筹学中讨论的预期投资风险的普通投资组合，wOR=arg minw∈WEX[f（w，X）]，并不总是与能够最小化投资风险的最优投资组合一致，w*（十） =参数最小值∈Wf（w，X），这是由理性投资者提出的。即，作为式（C10）的物理解释，式（C10）的左侧对应于退火无序系统，右侧对应于淬火无序系统。此外，在之前的工作【13】中，验证了每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qw（以及夏普比率S，使用最小投资风险perassetε和预期收益系数R定义）满足自平均属性。[1] H.Markowitz，《投资组合选择》，J.Fin。7、77（1952年）。[2] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》（J.Wiley&Sons，纽约，1959）。[3] Z.Bodie、A.Kane和d A.J.Marcus，《投资》（McGraw-Hill，纽约，2014）。[4] D.G.Luenberger，《投资科学》（牛津大学出版社，1997年）。[5] J.-L.Prigent，《投资组合优化和绩效分析》（Chapman和H-all/CRC，2007）。[6] A.Ang，《资产管理》（牛津大学出版社，2014年）。[7] J.C.Francis和D.Kim，《现代投资组合理论》（J.Wiley&Sons，纽约，2013）。[8] E.J.Elton M.J.Gruber、S.J.Brown和W.N.Goetzmann，《现代投资组合理论和投资分析》（J。

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2022-5-31 06:04:07

Wiley&Sons，纽约，2014年）。[9] S.Ciliberti和M.M’ezard，《通过Portfolio复制实现风险最小化》，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[10] S.Ciliberti、I.Kondor和M.M’ezard，关于预期短缺下投资组合优化的可行性，Quant。鳍7389（2007年）。[11] F.Caccioli、S.Still、M.Marsili和I.Kondor，《最优清算策略规范投资组合选择》，欧元。J、财务部。19554（2013年）。[12] S.Pafka和I.Kondor，《噪声协方差矩阵与投资组合优化II》，Physica A，319487（2003）。[13] T.Shinzato，《均值-方差模型最小投资风险的自平均性质》，PLoS One，10，e0133846（2015）。[14] T.Shinzato和M.Yasuda，《投资组合优化问题的信念传播算法》，PLoS One，10，e0134968（2015）。[15] T.Shinzato，《使用统计机械信息学的资产收益率方差不相同的投资组合优化问题》，Phys。修订版。E、 94062102（2016）。[16] T.Shinzato，《无Short S elling的投资组合优化问题统计机械信息学》，技术代表IEICE，110（461），23（2011）。[17] I.Kondor、G.Papp和F.Caccioli，《无卖空情况下方差优化的解析解》，arxiv。org/abs/1612.07067（2016）。[18] T.Shinzato，《具有预算和投资集中约束的投资组合优化问题的最小投资风险》，J.Stat.Mech。023301（2017）。[19] T.Shinzato，《在预算和投资风险约束下最大化和最小化投资集中度》，arxiv。org/abs/1608.04522（2016）。[20] T.Shinzato，《投资组合优化问题对偶的复制分析》，Phys。修订版。E、 94052307（2016）。【21】I.Varga Haszonits、F.Caccioli和I.Kondor，《均值-方差组合优化的复制方法》，J.Stat.Mech。123404（2016）。【22】I.B.Aban、M.M.Meerschaert和A.K。

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