基于前向和后向约束的二次风险最小化

2022-5-9 16:16:26

基于前向和后向随机微分方程的约束二次风险最小化*Harry Zheng+本文研究了一个由数学金融引起的连续时间随机线性二次控制问题。我们用随机市场系数和凸约束的投资组合策略对资产动态进行建模。遵循凸对偶方法，我们证明了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件可以写成满足BSDES系统和其他条件的过程。我们明确地将最优财富和投资组合过程描述为ADDynamic Fashion中对偶FBSDE伴随过程的函数，反之亦然。我们将这些结果应用于求解带锥约束的二次风险最小化问题，并导出了这类问题的扩展随机Riccati方程解的显式表示。关键词：凸对偶、原始和du al FBSDE、随机线性二次控制、随机系数、控制约束MS MSC2010:91G80、93E20、49N05、49N151简介本文研究一个由数学金融产生的随机控制问题。目标是在具有随机市场参数和投资组合约束的连续时间完全市场中，最小化在财富过程和投资组合策略中均为四次的凸成本函数。

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kedemingshi

2022-5-9 16:16:29

这类问题在实际应用中自然会出现。我们假设投资组合必须在给定的闭凸集上取值，该闭凸集通常可以模拟卖空、借贷和其他交易限制，见[10]。关于随机线性二次（SLQ）最优控制及其在均值-方差投资组合选择问题上的应用，有大量文献，见[19,21]和其中的参考文献。在没有投资组合约束的情况下，利用随机最大值原理，可以通过将最优控制导出为状态的线性反馈控制，并证明所得到的随机riccati方程（SRE）解的存在唯一性，来求解SLQ问题。当不存在控制约束时，根据SR E的解构造的反馈控制是自动可接受的，参见[22]以获取该方法对具有随机系数但没有投资组合约束的问题的示例。当存在控制约束时，最优控制不再是状态的简单线性反馈控制，SRE方法变得更加困难和微妙。[8]展示了具有随机系数的约束SLQ问题的扩展SR E的可解性。对于凸SLQ问题，使用凸对偶方法也是很自然的，该方法已被广泛应用于解决数学函数中的效用最大化问题，*英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。电子邮件：y。li11@imperial.ac.uk+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uksee[11,12]及其参考文献。

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2022-5-9 16:16:33

当没有控制约束且过滤是通过驱动布朗运动生成时，可以首先将原始动态优化问题转化为等效静态优化问题，然后制定并解决静态对偶问题，并利用对偶关系和鞅性质找到原始问题的最佳状态过程，最后，使用鞅表示定理找到一个复制的投资组合，这是一个最优控制过程。当存在控制约束时，对偶方法变得更加复杂。[10] 介绍并解决了一系列辅助无约束问题，并展示了其中一个解决了原始约束问题。[14] 应用凸对偶方法，受[2,18]的启发，求解一个具有随机系数和投资组合约束的均值-方差问题，证明了对偶问题的最优解的存在性，并用最优对偶解构造了最优财富过程，用鞅表示定理构造了最优投资组合过程。[4] 在一般半鞅条件下，给出了在凸约束下均值-方差套期保值的综合处理方法。它在某种平方可积意义下建立了交易约束下所有可复制终端财富集的封闭性，并随后建立了均值-方差对冲问题解的存在性，并扩展了其他作者之前获得的原始和对偶问题的结果，详见[4，第5.3节]。[15] 将[12]的结果推广到动力学环境，并证明了正倒向随机微分方程（FBSDE）的最优解和伴随过程之间的密切关系。

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2022-5-9 16:16:36

具体地说，它表明，最优原始财富和投资组合过程可以表示为对偶问题的最优伴随过程的函数，反之亦然。这说明了效用最大化中原问题和对偶问题的最优解之间的不透明关系，即给定对偶问题的解，原问题的最优控制只能从鞅表示定理中导出。[15]中没有控制约束，但资产价格过程是一个具有一定技术条件的一般半鞅过程。受[15]工作的启发，我们使用凸对偶方法来解决具有随机系数和控制约束的二次风险最小化问题。为了得到对偶问题的正确表达式，我们遵循[14]的方法，首先将原始问题转化为抽象空间中的静态问题，然后应用凸分析来证明其对偶问题，最后得到一个特定的对偶随机控制问题。结果表明，对偶问题有三个控制，一个对应于控制约束集，一个对应于运行成本函数，一个对应于无对偶间隙关系。通过使用FBSDE，我们获得了原始和对偶问题的必要和充分条件，这使我们能够以动态方式明确地将原始控制描述为来自对偶FBSDE的伴随过程的函数，反之亦然，类似于[15]中的那些。此外，我们还发现，最优原始财富过程与对偶问题的最优伴随过程一致，反之亦然。

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2022-5-9 16:16:40

据我们所知，这是第一次用相应的FBSDE系统的解明确描述具有控制约束的原问题和对偶问题的动力学关系。在建立了原问题和对偶问题的最优条件后，我们求解了一个带锥约束的二次风险最小化问题。我们不是直接攻击原问题，而是从对偶问题开始，然后从对偶问题的最优解构造原问题的最优解。此外，我们根据对偶问题的最优解给出了[8]中引入的扩展SRE的解的明确表示。如[8]所述，解决对偶问题的简单性与直接解决扩展SRE的技术复杂性形成了鲜明对比。此外，我们还证明了当系数是确定性的时，可以构造对偶问题的闭式最优解。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了模型，并按照[14]中的方法来描述原始问题和对偶问题。在第3节中，我们描述了原始问题和对偶问题的必要和有效的最优性条件，并通过FBSDE建立了它们之间的动态联系。在第四节中，我们讨论了带锥约束的二次风险最小化问题，并演示了如何从对偶FBSDE的解显式构造扩展SRE的解。在第5节中，我们证明了主要结果。

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2022-5-9 16:16:44

第6节结束。2.市场模型和原、对偶问题通过本文，我们用T>0表示固定终端时间，{W（T），T∈ [0，T]}完备概率空间上具有标量项Wm（T），m=1，··，N的RN值标准布朗运动(Ohm, F、 P），{Ft}过滤FWt=σ（W（s），0的P-增强≤ s≤t）由W，P（0，t；RN）生成[0，t]×上所有RN值渐进可测过程的集合Ohm, H（0，T；RN）满足E[RT | x（T）| dt]的P（0，T；RN）中的过程x的集合<∞, S（0，T；RN）是P（0，T；RN）中满足E[sup0]的过程x的集合≤T≤T|xt|]<∞.我们为随机微分方程写SDE，为后向SDE写BSDE，为前向和后向SDE写FBSDE。我们也遵循习惯惯例，在SDE和积分中ω被抑制，除非在需要显式ω的地方。考虑一个由银行账户组成的市场，其价格{S（t）}给定比亚迪（t）=r（t）S（t）dt，0≤ T≤ T、 S（0）=1，（2.1）和N只股票的价格{Sn（T）}，N=1，···，N，由DSN（T）=Sn（T）“bn（T）dt+NXm=1σnm（T）dWm（T）#，0给出≤ T≤ T、 Sn（0）>0。（2.2）我们假设r∈ P（0，T；R）（标量利率），b∈ P（0，T；RN）（升值率向量）和σ∈ P（0，T；RN×N）（波动率矩阵）一致有界。我们还假设存在一个正常数k，使得z′σ（t）σ′（t）z≥ k | z |表示所有（z，ω，t）∈ RN×Ohm ×[0，T]，其中z′是z的转置。上述强非简并条件确保了矩阵σ（T），σ′（T）是可逆的且一致有界的。考虑一个初始财富x>0且具有自我融资策略的小投资者。定义一套可接受的投资组合策略：=π ∈ H（0，T；RN）：π（T）∈ K代表t∈ [0，T]a.e。,K在哪里 Rn是一个包含0的闭凸集，π是一个投资组合过程，其中每个πn（t）定义为n=1，N

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2022-5-9 16:16:49

给定π∈ A、投资者的总财富Xπ满足SDEdXπ（t）=[r（t）Xπ（t）+π′（t）σ（t）θ（t）]dt+π′（t）σ（t）dW（t），0≤ T≤ T、 Xπ（0）=X，（2.3），其中θ（T）：=σ-1（t）[b（t）- r（t）1]是时间t时风险的市场价格，并且是与1的统一组合∈ 有所有的单位条目。一对（X，π）是可容许的，如果π∈ A和X是控制过程π的SDE（2.3）的astrong解。定义功能J:a→ R byJ（π）：=EZTf（t，Xπ（t），π（t））dt+g（Xπ（t））,其中f：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R和g：Ohm ×R→ R定义为f（ω，t，x，π）：=Q（t）x+2S′（t）xπ+π′R（t）π,g（ω，x）：=ax+2cx.（2.4）我们假设随机变量a，c∈ L∞FT（R）满意度0<infω∈Ohma（ω）≤ supω∈Ohma（ω）<∞和过程Q∈ P（0，T；R），S∈ P（0，T；RN），R∈ P（0，T；RN×N）一致有界，R（T）是对称m矩阵，m矩阵Q（t）S′（t）S（t）R（t）是所有的非负定义（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。在这些假设下，我们知道J是π的凸泛函。我们考虑以下优化问题：最小化J（π）服从（X，π）容许。（2.5）如果J（^π），容许控制^π是最优的≤ J（π）表示所有π∈ 答：继[14]中介绍的应用程序roach之后，我们现在设置了双重问题。用b表示：=R×H（0，T；R）×H（0，T；RN）。我们写X∈ B当且仅当ifX（t）=x+Zt˙x（τ）dτ+Zt∧′x（τ）dW（τ），0≤ T≤ T、对于某些（x，˙x，∧x）∈ B.我们现在将（2.5）重新表述为整个集合B上的原始优化问题≡ （x，˙x，∧x）∈ B、定义（X）：={π∈ 对于˙X（t）=r（t）X（t）+π′（t）σ（t）θ（t）和∧X（t）=σ′（t）π（t）的suc hT∈ [0，T]，P- a、 e.}。集合U（X）包含所有可容许的控制π∈ A使X成为一个可接受的财富过程。

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2022-5-9 16:16:53

注意U（X）6= 当且仅当（˙X（t）∧X（t））∈ S（t，X（t））表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，其中S是由S（ω，T，x）定义的集值函数：={（v，ξ）：v=r（T）x+ξ′θ（T）和σ′-1（t）ξ∈ K} 。定义惩罚函数L：Ohm ×[0，T]×R×R×RN→ [0, ∞] byL（ω，t，x，v，ξ）=fω、 t，x，[σ′]-1（t）ξ+ ψS（ω，t，x）（v，ξ）与罚函数l:R→ [0, ∞] byl（x）=ψ{x}（x），其中ψU（U）是一个惩罚函数，如果U在集合U中且+∞ 否则为了X∈ B、将成本函数定义为Φ（X）：=l（X）+E[g（X（T））]+EZTL（t，X（t），˙X（t），∧X（t））dt.注意Φ（X）=∞ 如果X（0）6=xor U（X）=. 问题（2.5）相当于将Φ（X）最小化到X∈ B.我们现在在集合B上建立对偶问题。定义以下凸共轭函数（y）：=supx∈R{xy- l（x）}，mT（ω，y）：=supx∈R{-xy- g（ω，x）}，M（ω，t，y，s，γ）：=supx，v∈R、 ξ∈RN{xs+vy+ξ′γ- L（ω，t，x，v，ξ）}，表示所有（ω，t，y，s，γ）∈ Ohm ×[0，T]×R×R×RN。每一天≡ （y，˙y，∧y）∈ B、定义ψ（Y）：=m（Y）+E[mT（Y（T））]+EZTM（t，Y（t），˙Y（t），∧Y（t））dt.然后，通过最小化ψ（Y）并使其服从Y给出对偶p问题∈ 我们可以把对偶问题等价地写成一个随机控制问题。一些简单的计算公式给出了（y）=xy，mT（ω，y）=（y+c）2a，M（ω，t，y，s，γ）=φ（t，s+r（t）y，σ（t）[θ（t）y+γ]，（2.6），其中φ是∧f（ω，t，x，π）=f（ω，t，x，π）+ψK（π），即φ（ω，t，α，β）：=supx的共轭函数∈R、 π∈K{xα+π′β- f（ω，t，x，π）}。因此，对偶控制问题由minimize¨ψ（y，α，β）：=m（y）+E[mT（y（T））]+E给出ZTφ（t，α（t），β（t））dt, （2.7）式中Y满足度（dY（t）=[α（t）- r（t）Y（t）]dt+σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t）′dW（t）Y（0）=Y（2.8）这里我们用关系式（2.6）得到α（t）=˙Y（t）+r（t）Y（t）和β（t）=σ（t）（θ（t）Y（t）+∧Y（t）），这表示˙Y（t）=α（t）- r（t）Y（t）和∧Y（t）=σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t），对于对偶过程Y。

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何人来此

2022-5-9 16:16:56

Y的双重控制过程是（Y，α，β）∈ B.从[13，推论2.5.10]，我们有Y（Y，α，β）∈ S（0，T；R）。注意，对于对偶问题，控制约束是隐式的。例如，如果Q=0，S=0，R=0，那么α必须为零，并且可能是（2.7）和（2.8）中的S im ply。备注1。（推导对偶问题的替代方法）我们按照[14]推导对偶问题（2.7）和（2.8），首先将原始动力学问题转化为静态问题，然后应用凸分析得到静态对偶问题，最后恢复对偶动力学问题。可以直接使用数学金融中效用最大化的nga标准方法导出对偶问题（2.7）和（2.8）。具体来说，我们可以假设对偶过程Y由初始条件Y（0）=Y的SDEdY（t）=α（t）dt+β（t）dW（t）驱动，其中α和β是两个待确定的随机过程。伊藤引理给出了（Xπ（t）Y（t））=（Xπ（t）α（t）+π′（t）β（t））dt+局部鞅，其中α（t）=α（t）+r（t）Y（t）和β（t）=σ（t）（β（t）+θ（t）Y（t））。因为α（t）=α（t）-r（t）Y（t）和β（t）=σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（t），我们有Y个满意度SDE（2.8）。进程xπ（t）Y（t）-Rt（Xπ（s）α（s）+π′（s）β（s））ds是一个局部鞅和一个超鞅，如果我们进一步假设它下面有一个可积过程，特别是我们有一个关系式Xπ（T）Y（T）-ZT（Xπ（s）α（s）+π′（s）β（s））ds≤ Xπ（0）Y（0）=xy。（2.9）约束极小化问题（2.5）可以等价地写成asmaxπEZT(-f（t，Xπ（t），π（t））- ψK（π（t））dt- g（Xπ（T））.网络的双重功能-f（t，·，·）- ψK（·）和-g（·）由φ（t，α，β）=supx，π给出{-f（t，x，π）- ψK（π）+xα+π′β}和mT（y）=supx(-g（x）- xy）。结合上面和（2.9）的对偶关系，我们得到了maxπEZT(-f（t，Xπ（t），π（t））- ψK（π（t））dt- g（Xπ（T））≤ 米尼，α，βxy+EZTφ（t，α（t），β（t））dt+mT（Y（t））,这就产生了双重问题（2.7）。备注2。

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2022-5-9 16:17:00

（最优解的存在性）根据[14，命题5.4]中类似的论点，我们可以证明（2.7）中定义的ψ在B上是凸的，这是由于mTandφ的凸性和状态方程（2.8）的线性。因为)ψ（y，α，β）>xy>-∞ 对于所有（y，α，β）∈ 频带)ψ（0,0,0）=Ehc2ai<∞, 此外，通过φ和Fatou引理的非负性和半连续性，我们得出结论，在B上^ψ是下半连续的。最后，利用它的等轴测，我们可以证明^ψ是强制的（即ψ（y，α，β）→∞ 作为k（y，α，β）k→ ∞). 因此，对偶问题解的存在性由[7，第2章，命题1.2]保证，也就是说，存在一些（^y，^α，^β）∈ B使得inf（y，α，β）∈B~ψ（y，α，β）=ψ（y，α，β）∈ R.给定对偶最优解（^y，^α，^β），我们可以应用定理9构造问题（2.5）的最优控制^π，这证明了原问题解的存在性。直接证明主要问题的解的存在性更困难，但也是可以实现的，因为需要证明在逐点控制约束下所有可复制终端财富集的封闭性，有关详细讨论，请参见[4]（也可参见[5]）。3.主要结果在本节中，我们推导了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件，并通过相应的FBSDE证明了最优解之间的联系。为了突出主要结果并简化讨论，我们在第5节中保留了所有定理的顶部。给定任意容许控制π∈ A和未知过程p中关联伴随方程SDE（2.3）的解Xπ∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）是以下线性BSDE（dp（t）=[-r（t）p（t）+Q（t）X（t）+S′（t）π（t）]dt+Q′（t）dW（t）p（t）=-aXπ（T）- c、（3.1）从[16，定理6.2.1]我们知道BSDE（3.1）存在唯一解（p，q）。

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2022-5-9 16:17:04

我们现在陈述原始问题的必要和充分条件。定理3。（原始问题和相关的FBSDE）让^π∈ A.那么对于原始问题，当且仅当FBSDE的解（X^π，p，q）是最优的dX^π（t）=r（t）X^π（t）+^π′（t）σ（t）θ（t）dt+^π′（t）σ（t）dW（t）X^π（0）=xd^p（t）=-r（t）^p（t）+Q（t）X^π（t）+S′（t）^π（t）dt+^q′（t）dW（t）^p（t）=-aX^π（T）- c（3.2）满足条件^π′- π′h^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）i≥ 0（3.3）代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和π∈ K.评论4。如果知道最优控制^π，很容易找到最优财富过程x^π，伴随过程（^p，^q）as（3.2）是给定^π的解耦线性FBSD E。使用（3.2）和（3.3）找到最优控制^π是一件非常困难但最有趣的事情，这与完全耦合约束线性FBSDE的可解性有关。从备注2中，我们知道约束的FBSDE（3.2）和（3.3）存在一个解（X^π，p，q）。这是一个如何找到解决方案的挑战。如果K=RN，则条件（3.3）变成^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）=0。如果我们进一步假设R（t）为正定义，R（t）-1是一致有界的，那么我们可以将最优控制^π（t）代入FBSDE（3.2）中，得到一个具有随机系数的完全耦合线性FBSDE，有关线性FBSDE可解性的讨论，请参见[20]。给定任何容许控制（y，α，β）∈ 解Y（Y，α，β）到SDE（2.8），未知过程中的关联伴随方程p∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）是下列线性BSDEdp（t）=[r（t）p（t）+q′（t）θ（t）]dt+q′（t）dW（t）p（t）=-Y（Y，α，β）（T）+ca（3.4）从[16，定理6.2.1]中，我们知道BSDE（3.4）存在唯一解（p，q）。

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2022-5-9 16:17:08

为了得到必要条件，我们需要在最优对偶控制过程（α，β）中对φ施加以下假设。假设5。设（α，β）为可容许控制。然后就有了aZ∈ P（0，T；R）满足E[RT|Z（T）|dt]<∞ 安德兹（t）≥φ（t，^α（t）+εα（t），^β（t）+εβ（t））- φ（t，^α（t），^β（t））ε（3.5）表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和ε∈ （0，1）.备注6.以下是对假设5.1的几点评论。条件（3.5）是一个技术条件，确保人们可以应用单调收敛定理，并通过期望和积分为ε的极限↓ 0，用于证明（3.7）中的第二和第三个关系，参见第5节定理7的证明。[3，假设1.2]中对主要问题的数据使用了类似的假设。2.如果K=RN，S（t）=0，Q（t），R（t）为正定义，且其逆一致有界，则φ（t，α，β）=Q（t）-1α+β′R（t）-1β. 如果Zis选择beZ（t）：=Q（t），则条件（3.5）成立-1^α（t）α（t）+^β′（t）R（t）-1β（t）+Q（t）-1α（t）+β′（t）R（t）-1β（t）。如果Q（t）=0，S（t）=0，R（t）=0，那么对于对偶问题，α（t）=0。我们可以在φ的表达式中去掉α，它成为K的支撑函数，即φ由φ（t，β）=δ（β）：=supπ给出∈Kπ′β。如果我们进一步假设K是一个有界集，那么如果选择Z为Z（t）=δ（β（t），则条件（3.5）成立。然而，如果K是无界的，那么假设5可能不成立，我们不能使用单调收敛定理来证明（3.7）。可能需要使用其他方法，进一步讨论请参见备注13。我们现在陈述对偶问题的必要条件和充分条件。定理7。

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2022-5-9 16:17:12

（对偶问题和相关的FBSDE）Let（^y，^α，^β）∈ B满足假设5。然后（y，α，β）对对偶问题是最优的当且仅当解（y（y，α，β），p，q）ofFBSDEdY（y，α，β）（t）=hα（t）- r（t）Y（^Y，^α，^β）（t）idt+hσ-1（t）^β（t）- ^Y，^α，^β）（t）i′dW（t）Y（^Y，^α，^β）（0）=^yd^p（t）=[r（t）p（t）+^q′（t）θ（t）]dt+^q′（t）dW（t）p（t）=-Y（Y，α，β）（T）+ca（3.6）满足条件^p（0）=x，[σ′]-1（t）^q（t）∈ K^p（t），[σ′]-1（t）^q（t）∈ φ（α（t），β（t）），（3.7）表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。备注8。与备注4类似的讨论适用于此处。如果知道最优控制（^y，^α，^β），很容易找到最优对偶过程y和伴随过程（^p，^q），因为（3.6）是给定的解耦线性FBSDE（^y，^α，^β）。使用（3.6）和（3.7）找到最优控制（^y，^α，^β）要困难得多，但最有趣的是。如果K=RN，S（t）=0和Q（t），R（t）是正定义，那么从备注6中可以看出，φi是α和β的二次函数，我们可以根据伴随过程和Q写出最优控制，我们现在可以描述原始问题的最优投资组合和财富过程的动态关系，以及对偶问题的伴随过程，反之亦然。定理9。（从对偶问题到原问题）假设（y，α，β）是对偶问题的最优解。允许Y（Y，α，β），p，q是满足FBSDE（3.6）和条件（3.7）的相关流程。定义π（t）：=σ′-1（t）^q（t），t∈ [0，T]。（3.8）则^π是初始财富为x的原始问题的最优控制。

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2022-5-9 16:17:15

最优财富过程和相关伴随过程由下式给出：X^π（t）=^p（t），^p（t）=Y（^Y，^α，^β）（t），^q（t）=σ-1（t）^β（t）- θ（t）Y（^Y，^α，^β）（t）f或T∈ [0，T]。（3.9）备注10。定理9的关键好处是，如果可以解决对偶问题，那么可以使用（3.8）自动获得原始问题的最优控制^π。如备注4所述，通常很难直接使用（3.2）和（3.3）找到最优控制^π。第4.2节提供了一个例子来说明这一点。定理11。（从原始问题到对偶问题）假设^π∈ 对于初始财富为x的首要问题，A是最优的X^π，^p，^q是满足FBSDE（3.2）和条件（3.3）的相关流程。定义^y=^p（0），^α（t）=Q（t）X^π（t）+S′（t）^π（t），^β（t）=σ（t）[^Q（t）+θ（t）^p（t）]。（3.10）那么（y，α，β）是对偶问题的最优控制。最优对偶状态过程和相关伴随过程由下式给出：Y（Y，α，β）（t）=p（t），p（t）=X^π（t），q（t）=σ′（t）π（t）。（3.11）备注12。主要结果（定理3、7、9和11）可以推广到效用函数代替二次成本函数的效用最大化问题。它们的思想类似，但证明要复杂得多，因为效用函数仅定义在具有无界非李普希茨导数的正实线上，而二次函数定义在具有线性导数的整实线上。

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2022-5-9 16:17:19

作者有一篇单独的论文，通过极大值原理和FBS讨论了一般效用函数的原问题和对偶问题的动态关系，并将在其他地方发表结果。4带锥约束的二次风险最小化在本节中，我们考虑以下二次风险最小化问题：最小化J（π（·））=E斧头（T）,根据（X（·），π（·））是可容许的。（4.1）假设K 它是一个封闭的凸锥。对偶问题由最小化xy+E给出Y（T）2a+ EZTδ（β（t））dt（4.2）超过（y，β）∈ R×H（0，T；RN），其中Y满足SDE（2.8），α（T）=0，δ（β）=supπ∈Kπ′β，K的支持函数[14，命题5.4]指出，存在与最优状态过程相关联的非最优控制（^y，^β）到（4.2）。备注13。由于K是无界的，假设5可能不成立。利用δ的次可加性和正均一性，我们得到（见（5.9））EZTδ（β（t））- ^q′（t）σ-1（t）β（t）dt≥ 0.（4.3）设B:={（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：[σ′]-1（t）^q（t）∈ K} 。根据[10，引理5.4.2]，有e xi stsν∈ P（0，T；RN）使得|ν（T）|≤ 1和|δ（ν（t））|≤ 1和σ′-1（t）^q（t）∈ K<=> ν（t）=0，σ′-1（t）^q（t）6∈ K<=> δ（ν（t））- ^q′（t）σ-（P）的1（t）ν（t）<0 Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。ν的存在确保了B的补集的测度为零Ohm ×[0，T]（否则与（4.3）相矛盾）。因此我们得出[σ′]-1（t）^q（t）∈ K代表（P Leb）-a.e.也可以直接证明（3.7）中的第三个关系。4.1随机系数情况我们得到以下结果。引理14。设（^y，^β）为对偶问题（4.2）的最优控制，^y为相应的最优状态过程。如果（P）的^Y（t）=0，那么^β（t）=0 Leb）-a.e.（ω，t）∈Ohm ×[0，T]。证据

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2022-5-9 16:17:23

将伊藤公式应用于^Y（t），我们得到d^Y（t）=-2r（t）^Y（t）+σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）′σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）dt+2^Y（t）hσ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）i′dW（t）。定义过程S（t）：=Zt^Y（S）[σ-1（s）^β（s）- θ（s）^Y（s）]′dW（s）。根据定理3的证明中类似的论证，我们知道∧S是鞅。考虑到^Y（T）2a的期望值，我们得到了E^Y（T）2a#：：=E^y2a+ EZT-r（t）^Y（t）a+σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）′σ-1（t）^β（t）- θ（t）^Y（t）2adt.定义s et∏：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：^Y（T）=0，^β（T）6=0o。我们一定有（P Leb）（π）=0，否则，我们可以在集∏上用0替换^β（t），并在∏的补上保持相同的^β（t），这样我们得到的对偶值就严格小于处处使用^β（t）的对偶值，这与^β（t）的最优性相矛盾。设^β（t）=^γ（t）^Y（t）表示t∈ [0，T]。然后^Y遵循SDEd^Y（t）=-r（t）^Y（t）dt+σ-1（t）γ（t）- θ（t）′^Y（t）dW（t）^Y（0）=^Y。因此，我们有^Y（t）=^Y^H（t），其中^H（t）：=expZt-r（s）-σ-1（s）^γ（s）- θ（s）′σ-1（s）^γ（s）- θ（s）ds+σ-1（s）^γ（s）- θ（s）′德国西部(s).设Γ满足线性SDEdΓ（t）=Γ（t）[-r（t）dt- θ′（t）dW（t）]，Γ（0）=1。根据定理9，同时注意到Γ（t）^p（t）是鞅，我们得到了p（0）=E[Γ（t）p（t）]=E“-Γ（T）^Y（T）a#=-^yE“Γ（T）^H（T）a#=x，这意味着^y=-xE“Γ（T）^H（T）a#。此外，我们还有^p（T）=Γ（T）-1E“-Γ（T）^Y（T）a英尺#=-^yΓ（t）-1E“Γ（T）^H（T）aFt#，表明t的p（t）6=0 p-a.e∈ [0，T]。假设x>0，那么^Y（t）<0和^p（t）>0T∈ [0，T]，P-a.e。

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2022-5-9 16:17:31

定义+（t）：=-^Y（t）^p（t）=-^p（t）^X（t），T∈ [0，T]。应用伊藤公式，我们得到dp+（t）=“-2r（t）P+（t）- P+（t）π′（t）^X（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）^X（t）+P+（t）π′（t）σ（t）σ′（t）π（t）^X（t）#dt+”-^q（t）^X（t）- P+（t）σ′（t）π（t）^X（t）#′dW（t），=h-2r（t）P+（t）-^ξ′+（t）（σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）∧+（t））idt+∧′+（t）dW（t），（4.4）式中∧+（t）：=-^q（t）^X（t）-P+（t）σ′（t）π（t）^X（t），^ξ+（t）：=^π（t）^X（t）。定义+（t，v，P，λ）：=v′Pσ（t）σ′（t）v+2v′[σ（t）θ（t）P+σ（t）∧]，H*+（t，P，λ）：=infv∈KH+（t，v，P，λ）。我们有vH+（t，^ξ+（t），P+（t），λ+（t））=2“P+（t）σ（t）σ′（t）π（t）^X（t）+σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）λ+（t）#=2”-σ（t）^q（t）^X（t）- σ（t）θ（t）^p（t）^X（t）#。回想一下，根据定理3，我们有[^π（t）- π] ′[^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）]≥ 0（4.5）代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm×[0，T]和π∈ K.根据定理11，^X（t）=^p（t）>0。将（4.5）的两边除以^X（t），我们得到[^ξ+（t）- ξ]′vH+（t，^ξ+（t），P+（t），λ+（t））≤ 0代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]和ξ∈ K.通过[7，命题2.2.1]，我们得出结论：*+（t，P+（t，∧+（t））=H+（t，^ξ+（t），P+（t，∧+（t））T∈ [0，T]，P- a、 e.（4.6）此外，根据[6，第52页，推论]，我们有0∈ P+（t）σ（t）σ′（t）^ξ+（t）+σ（t）[θ（t）P+（t）+∧+（t）]+NK（^ξ+（t）），T∈ [0，T]P-a.e.其中NK（x）：={P∈ RN:p′（x）*- 十）≤ 0, 十、*∈ K} ，K在x处的法锥∈ K、对于所有p∈ NK（x），因为K是一个圆锥体，通过选择x*= 2x和x*=x、我们有p′x≤ 0和-p′x≤ 0，这表示p′x=0。因此，ξ′+（t）P+（t）σ（t）σ′（t）ξ+（t）+ξ′+（t）σ（t）[θ（t）P+（t）+∧+（t）]=0。（4.7）将（4.7）代入（4.6），我们得到*+（t，P+（t）∧+（t））=^ξ′+（t）[σ（t）θ（t）P+（t）+σ（t）∧+（t）]T∈ [0，T]。（4.8）将（4.8）代入（4.4），我们得到P+是下列g非线性方程的解dP+（t）=-2r（t）P+（t）+H*+（t，P+（t，∧+（t））dt+λ′+（t）dW（t），P+（t）=a，P+（t）>0。T∈ [0，T]。（4.9）类似地，如果x<0，则t的^Y（t）>0和^p（t）<0∈ [0，T]，P-a.e。

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2022-5-9 16:17:35

定义-（t）：=-^Y（t）^p（t）=-^p（t）^X（t），T∈ [0，T]。用类似的方法，可以证明P-是以下非线性问题的解决方案数据处理-（t） =-2r（t）P-（t） +H*-（t，P-（t），λ-（t） )dt+∧′-（t） dW（t），P-（T）=a，P-（t） >0，T∈ [0，T]。（4.10）其中-（t，v，P，λ）：=v′Pσ（t）σ′（t）v- 2v′[σ（t）θ（t）P+σ（t）∧]，H*-（t，P，λ）：=infv∈KH-（t，v，P，∧）。我们发现（4.9）和（4.10）是[8]中介绍的扩展SRE。通过对偶方法，我们得到了最优状态和伴随过程的SREsin项的唯一解的显式表示。最后，根据定理9，我们得出结论，原始问题的最优解由^π′（t）=[σ′]-1（t）^q（t），^X（t）=^p（t）=-^Y（t）{x>0}P+（t）+{x<0}P-（t）.备注15。如果K=RN，那么我们必须有最优控制^β（t）=0，这导致t的^γ（t）=0和^H（t）=Γ（t）∈ [0，T]a.e.条件（4.5）与^p（T）θ（T）+^q（T）=0相等。将^p（t）和^q（t）b替换为p+（t），∧+（t）和^ξ+（t），我们得到σ′（t）^ξ+（t）+θ（t）+∧+（t）p+（t）=0。BSDE（4.4）（或（4.9））变成SDP+（t）=-2r（t）P+（t）+2θ′（t）λ+（t）+θ′（t）θ（t）P+（t）+∧′+（t）λ+（t）P+（t）dt+∧′+（t）dW（t），这是在[22]中引入的SRE。利用对偶方法，我们得到了SRE唯一解的一个明确表示。4.2确定性系数假设K Rn是一个闭凸锥，r，b，σ是确定性函数，a>0是常数。在这种情况下，对偶问题可以写成最小化xy+EY（T）2a超过（y，β）∈ R×H（0，T；RN）和d Y满足SDE（2.8），α（T）=0和β（T）∈ Kfor t∈ [0，T]a.e.，其中K:={β：β′π≤ 0, π ∈ K} ，K的极锥。我们分两步解决上述问题：第一步，fix y，找到最优控制^β（y）；第二，找到最佳的^y。

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2022-5-9 16:17:40

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2022-5-9 16:17:48

（4.12）第2步：考虑以下静态优化问题：infy∈Rxy+2av（0，y）（4.13）将（4.12）代入目标函数，得到问题（4.13）在^y=-阿克塞特[2r（s）-|σ（s），-x） |]ds。因此，我们得出结论，最优控制由β（t）给出=axeRTt[2r（s）-|σ（s），-x） |]dsβ-（t），如果x>0-axeRTt[2r（s）-|σ（s），-x） |]dsβ+（t），如果x<00，如果x=0。利用对偶最优控制（^y，^β），我们可以找到对偶FBSDE（3.6）和（3.7）的解（^y，^p，^q），然后应用定理9构造一个解（^X，^p，^q）到p边基（3.2）和（3.3）。此外，在这种情况下，我们可以将SRE（4.9）和（4.10）的解显式地构造为^P+（t）=^P-（t） =aeRTt[2r（s）+σ′s，-x） θ（s）]ds。（4.14）接下来，我们验证（4.14）确实是∧+（t）=0和∧的SRE（4.9）和（4.10）的解-（t）分别=0。为此，我们考虑x>0和y<0的情况。根据定理9，我们有^X（t）=^p（t），T∈ [0，T]，a.e.因此，^X（T）=e-Γ（T）Y（T）aΓ（T）英尺= -Y（t）aEΓ（T）Y（T）Γ（T）Y（T）英尺, （4.15）其中Γf遵循SDEdΓ（t）=Γ（t）[-r（t）dt- θ′（t）dW（t）]，T∈ [0，T]，Γ（0）=1。应用伊藤引理，我们得到了Γ（t）Y（t）=[-2r（t）- θ′（t）σ（t，y）]y（t）Γ（t）dt- [σ′（t，y）+θ′（t）]y（t）Γ（t）dW（t）。（4.16）结合（4.15）和（4.16），我们有^X（t）=-Y（t）阿尔特[-2r（s）-θ′（s）σ（s，y）]ds。再次应用伊藤引理，我们得到了SDEd^X（t）=[r（t）^X（t）+θ′（t）σ（t，y）^X（t）]dt+σ′（t，y）^X（t）dW（t）。（4.17）比较（4.17）和（2.3），我们得出结论：^π′（t）=σ′（t，y）σ-1（t）^X（t），这意味着^ξ′+（t）=^π′（t）^X（t）=σ′（t，y）σ-1（t）。

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kedemingshi

2022-5-9 16:17:53

（4.18）将（4.18）替换回（4.8），我们有*（t，P+（t），∧+（t））=σ′（t，y）θ（t）P+（t）。取x<0，按照同样的步骤，我们得到*（t，P-（t），λ-（t））=σ′（t，y）θ（t）P-（t）。因此，我们得出结论：^P+（t）和^P-（t）（4.14）中定义的确实是SRE s（4.9）和（4.10）的解决方案。5主要结果的证明在本节中，我们在第3节中给出了主要结果的证明。定理3的证明。由于成本函数J是凸的，根据[7，命题2.2.1]，^π最优的一个必要且有效的条件是hj′（^π），^π- πi≤ 0, π ∈ A、（5.1）式中，J′（π）是J在π处的G^ateaux方向性，可显式计算为（2.3）是线性SDE，J是一个q值泛函。最优性条件（5.1）可以写为ZTQ（t）X^π（t）X^π（t）- Xπ（t）+ S′（t）π（t）X^π（t）- Xπ（t）+ （π（t）- π（t）X^π（t）+^π′（t）- π′（t）R（t）^π（t）dt+haX^π（T）+ciX^π（T）- Xπ（T）≤ 0，（5.2）表示所有π∈ A.将伊藤公式应用于X^π（t）^p（t），我们得到了（X^π（t）^p（t））=h^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）X^π（t）+s′（t）X^π（t）idt+h^p（t）π（t）idt+h^p（t）πq（t）idt）。（5.3）将过程定义为：S（t）：=Zt^p（s）^π′（s）σ（s）+^q′（s）X^π（s）德瓦(s),0≤ T≤ 显然，~S是一个局部鞅。为了证明∧S是真鞅，有必要证明Ehsup0≤s≤T|S（S）|i<∞. 根据Burkholder-Davis-Gundy不等式[9，定理3.3.28]，有必要验证ZT[|p（s）π′（s）σ（s）|+|q（s）X^π（s）|]ds< ∞.注意，从[13，推论2.5.10]中，我们得到了X^π∈ S（0，T；R）。与P结合∈ S（0，T；R）和q∈ H（0，t；RN）通过H¨oder不等式，我们得到了ZT[|p（s）π′（s）σ（s）|+|q（s）X^π（s）|]ds≤ Esup0≤s≤T|p（s）|ZT|π′（s）σ（s）|ds+sup0≤s≤T | X^π（s）| ZT | q（s）| ds！≤E“sup0≤s≤T|p（s）|#EZT|π′（s）σ（s）|ds+E“sup0≤s≤T | X^π（s）|#+EZT|^q（s）|ds< ∞,这意味着∧S是真鞅。

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mingdashike22

2022-5-9 16:17:56

取X^π（T）^p（T）的期望，我们得到了X^π（T）^p（T）i=X^p（0）+EZT^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）q（t）（5.4）+q（t）Xπ（t）+S′（t）Xπ（t）π（t）dt同样地，将伊藤公式应用于Xπ（t）^p（t）并取期望值，我们得到E[Xπ（t）^p（t）]=X^p（0）+EZT^p（t）π′（t）σ（t）θ（t）+π′（t）σ（t）^q（t）（5.5）+q（t）X^π（t）Xπ（t）+S′（t）Xπ（t）π（t）dt结合（5.2），（5.4）和（5.5），我们得到^π∈ A是原问题的最优控制当且仅当ifEZT^π′（t）- π′（t）h^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）idt≥ 0（5.6）表示所有π∈ A.定义哈密顿函数H：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R asH（ω，t，x，π）：=π′^p（t）σ（t）θ（t）+σ（t）^q（t）+S（t）x+R（t）π定义集值映射F：Ohm ×[0，T]→ K asF（ω，t）：=nπ∈ K:^π′（t）- π′Hπω、 t，X^π（t），^π（t）≥ 0o。那么F是一个可测量的集值映射，参见[1，定义8.1.1]。给定π∈ K、定义集合BπasBπ：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：^π′（t）- π′Hπ（t，X^π（t），^π（t））<0o。根据[1，定理8.14]，Bπt∈ FTT∈ [0，T]。定义一个适应的控制π：Ohm ×[0，T]→ K为π（ω，t）：=πif（ω，t）∈ Bπ^π（ω，t），否则。假设（P Leb）（Bπ）>0，那么ZT[^π′（t）- ~π′（t）]Hπ（t，X^π（t），^π（t））dt< 0，与（5.6）相矛盾。因此，我们得出结论（P Leb）（Bπ）=0表示任意fix edπ∈ 此外，由于K是可分的，我们得出结论，[^π′（t）- π′]Hπ（t，X^π（t），^π（t））≥ 0, π ∈ 驻科部队（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。定理7的证明。设（y，α，β）是对偶问题的最优解，且（y（y，α，β），p，q）满足（3.6）。Let（y，α，β）∈ B和Y（Y，α，β）满足SDE（2.8）。

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2022-5-9 16:18:00

将伊藤公式应用于^p（t）Y（Y，α，β）（t），我们得到了（^p（t）Y（Y，α，β）（t））=α（t）^p（t）+^q′（t）σ-1（t）β（t）dt+^q′（t）Y（Y，α，β）（t）+σ-1（t）β（t）- θ（t）Y（Y，α，β）（t）′^p（t）dW（t）。根据与定理3的证明类似的论证，可以证明过程zth^q′（s）Y（Y，α，β）（s）+（σ-1（s）β（s）- θ（s）Y（Y，α，β）（s））′p（s）idW（s），0≤ T≤ T、这是一个鞅。通过对^p（T）Y（Y，α，β）（T）的期望，我们得到了^p（T）Y（Y，α，β）（T）i=^p（0）Y+EZTα（t）^p（t）+^q′（t）σ-1（t）β（t）dt. （5.7）对于ε>0定义（yε，αε，βε）∈ B由（yε，αε，βε）=（y，α，β）+ε（y，α，β）。然后y（yε，αε，βε）（t）=y（y，α，β）（t）+εy（y，α，β）（t）。因为（y，α，β）是最优的，所以我们有εhψ（yε，αε，βε）- ψ（^y，^α，^β）i≥ 0.将（2.7）代入上述不等式，同时注意^p（T）=-Y（Y，α，β）（T）+ca，我们得到yx- EY（Y，α，β）（T）^p（T）+ εE“Y（Y，α，β）（T）2a#+εEZThφ（αε（t），βε（t））- φ（α（t），β（t））idt≥ 0.（5.8）将（5.8）与（5.7）结合，然后让ε↓ 0，我们有（x- ^p（0））+limε↓0EZT[~g（t，ε）- ^q′（t）σ-1（t）β（t）- α（t）^p（t）]dt≥ 式中，g（ω，t，ε）=ε（φ（t，αε（t），βε（t））- φ（t，α（t），β（t））。设α（t）=0，β（t）=0∈ [0，T]，我们得到（x- ^p（0））≥ 0, Y∈ R.因此，^p（0）=x。回想一下，（2.4）中的函数f是凸的，集合K是凸的，根据[17，定理26.3]，φ在（^α（t），^β（t））的任何方向（p Leb）a.e.onOhm ×[0.T]。

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2022-5-9 16:18:04

自ε→ ~g（ω，t，ε）是一个非减量函数，假设5和单调收敛定理表明ZThφot、 α（t），β（t）；α（t），β（t）- ^q′（t）σ-1（t）β（t）- α（t）^p（t）idt≥ 0（5.9），其中φoω、 t，α，β；α, β:= limε↓0φ（t，^α+εα，^β+εβ）- φ（t，α，β）ε。对于（α，β）∈ R×RN，d定义集合B（α，β）asB（α，β）：=n（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]：φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）<0o。使用与定理3的证明类似的论证，我们得出结论：B（α，β）t∈ Ftfort∈ [0，T]和（P Leb）（B（α，β））=0表示所有（α，β）∈ R×RN。等价地，给定任何（α，β）∈ R×RN，φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）≥ 0，代表（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。此外，根据sp ace RN+1的可测性，我们得出结论φoα（t），β（t）；α, β- ^q′（t）σ-1（t）β- α^p（t）≥ 0, (α, β) ∈ R×RNfor（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。根据克拉克广义梯度[6，第2章]的定义，上述条件可以写成^p（t），[σ′]-1（t）^q（t）∈ φ^α（t），^β（t）.根据[17，定理23.5]，我们得出结论：x^α（t）+π′β（t）-~f（t，x，π）在（^p（t），[σ′]处达到上限-1（t）^q（t））表示（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，这意味着[σ′]-1（t）^q（t）∈ K、对于（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。我们已经证明了必要条件。Let（y，α，β）∈ B是对带有过程的对偶问题的一个不可容许的控制Y（Y，α，β），p，q满足FBSDE（3.6）和条件（3.7）。定义哈密顿函数H：Ohm ×[0，T]×R×RN→ R asH（ω，t，α，β）=^q′（t）σ-1（t）β+α^p（t）- φ（t，α，β）。根据条件（3.7）和对偶定理的经典结果，我们得到了（0，0）∈ H^α（t），^β（t）, （5.10）对于（P Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。给定任何容许控制（y，α，β）∈ B、定义y=y- ^y，~α=α- ^α,~β = β -^β.设Y（Y，α，β）和Y（~Y，~α，~β）是满足SDE（2.8）的关联态过程。

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2022-5-9 16:18:08

根据对偶问题的定义，也注意到mt是一个凸函数，我们有ψ（y，α，β）- Ψ^y，^α，^β≥~yx+E“Y（~Y，~α，~β）（T）Y（^Y，^α，^β）（T）+ca+EZThφ（t，α（t），β（t））- φ（t，α（t），β（t））idt.置换（^y，^α，^β）+cawith-在上述不等式中，我们有ψ（y，α，β）- Ψ^y，^α，^β≥~y（x）- ^p（0））+EZTh^q′（t）σ-1（t）~β（t）- ■α（t）^q（t）idt+ EZThφ（t，α（t），β（t））- φ（t，α（t），β（t））idt=EZTh-H（t，α（t），β（t））+H（t，α（t），β（t））idt.根据条件（5.10）和H的凹度，我们得出以下结论：ψ\'y，\'α，\'β- Ψ^y，^α，^β≥ 0.自（y，α，β）∈ B是任意的，我们已经证明了充分条件。定理9的证明。假设（y，α，β）∈ B是对偶问题的最优解。根据理论7，这个过程Y（Y，α，β）（t），p（t），q（t）求解双重FBSDE（3.6）和满足条件（3.7）。分别定义（3.8）和（3.9）中的^π（t）和（X^π（t）、^p（t）、^q（t）。根据Orem 7和条件（3.7），我们有^π（t）∈ K P-a.s.和X^π（t），^π（t）∈ φ^α（t），^β（t）.对偶理论的经典结果暗示^α（t），^β（t）∈ ~fX^π（t），^π（t）.回想一下，f（ω，t，x，π）=f（ω，t，x，π）+ψK（π），我们可以得到^α（t）=Q（t）x^π（t）+S′（t）π（t），（5.11）β（t）∈ S（t）X^π（t）+R（t）^π（t）+ΦK（π（t））（5.12）对于（P） Leb）-a.e.（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。结合（3.8），（3.9）和（5.11），我们得到X^π，^p，^q求解原始FBSDE（3.2）。此外，结合（3.9）和（5.12）给出了条件（3.3）。利用定理3中关于最优性的充分条件，我们得出结论：^π确实是原始问题的最优控制。定理11的证明。假设^π∈ A是原p问题的最优控制。根据定理3，p过程X^π（t），^p（t），^q（t）求解FBSDE（3.2）和满足条件（3.3）。

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kedemingshi

2022-5-9 16:18:11

定义（y，α（t），β（t））和（y，y，α，β）（t），p（t），q（t））分别如（3.10）和（3.11）所示。将它们代入原始FBSDE（3.2），我们得到Y（Y，α，β），p，q满足双重FBSDE（3.6）。通过（3.10）和（3.11）中的构造，满足了（3.7）中的前两个条件。此外，根据条件（3.3）和H的凹度，我们得到了^β（t）∈ π∧fX^π（t），^π（t）.因此，我们^α（t），^β（t）∈ ~fX^π（t），^π（t）,这相当于（3.7）中的第三个条件。根据定理7，我们得出结论^y，^α，^β实际上是对偶问题的最优控制。6结论本文讨论了具有随机市场系数的连续时间约束二次风险最小化问题。根据凸对偶方法，我们根据FBSDEPLUS附加条件，导出了原问题和对偶问题的必要和有效最优性条件。我们在原始问题和对偶问题之间建立了一种明确的联系，即它们相关的前后向系统。我们证明了原问题和对偶问题的最优控制可以写成相应的伴随过程的函数。此外，我们还发现这两个问题的最优状态过程都与对应问题的最优伴随过程有关。我们用对偶方法求解锥约束二次风险最小化问题。我们将文献中介绍的扩展SRE的解从对偶问题的最优解中恢复，并在系数确定时找到扩展SRE的闭式解。还有很多悬而未决的问题。

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