关于具有完全单调核的能量形式的极小化子

2022-5-31 23:28:34

关于具有完全单调核函数的能量形式的极小化子*埃利亚斯·斯特雷勒**第一版：2017年6月15日本版：2018年8月14日本文是在吉姆·盖瑟拉尔60岁生日之际献给他的。摘要从瞬时价格冲击下的最优投资组合清算问题出发，研究了积分约束下具有完全单调位移核的能量泛函的极小化问题。相应的极小化子可以用具有常数自由项的第二类Fredholm积分方程来描述。我们的主要结果表明，极小化是解析的，并且在距离定义域中点的偶数幂方面具有幂级数发展，并且具有非负系数。我们进一步证明了我们的极小化问题等价于非负约束下能量泛函的极小化。MSC 2010:49K21、49N60、45B05、31C15、26E05、26A51、26A48、91G80关键词：能量形式、容量测度、第二类Fredholm积分方程、对称完全单调函数、最优投资组合清算1简介和问题公式在本文中，我们研究了公式Jγ[Д]=γZTД（t）dt+ZTG（| t）的能量泛函的最小化- s |）Д（s）Д（t）ds dt，Д∈ L[0，T]，（1）式中γ≥ 0，T>0，G：（0，∞) → [0, ∞) 是满足ztg（t）dt<∞ 对于所有T>0。(2)*滑铁卢大学统计与精算学系。电子邮件：aschied@uwaterloo.ca**曼海姆大学数学系。电子邮件：elias@strehle.deThe作者衷心感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgemeinschaft）通过研究GrantSCHI 500/3-2提供的财政支持。A、 S。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:28:37

还感谢加拿大自然科学和工程研究委员会通过RGPIN-2017-04054拨款提供的部分支持此类问题由来已久。早期的参考文献是Hilbert（1904），其中研究了当G为正型时，在约束TrtД（t）dt=1的条件下J[Д]的最小化和最大化，即Ztztg（| t- s |）Д（t）Д（s）dt ds≥ 0表示所有Д∈ L[0，T]和所有T>0。（3）在势理论中，通常取γ=0，并考虑j[u]=Z ZG（| t）的最小化- s |）u（ds）u（dt），给定紧集K上支持的过Borel概率度量u [0，T]。如果最小测量u*存在，这是K和1/J[u]的电容测量值*] 是K的容量；例如，见Choquet（1954年）。注意，u是概率度量的要求对应于许多凸约束u（K）=1和u（a）≥ 每个Borel集合A为0 K、 Gatheral等人（2012）证明，对于凸和非增量G，后一个约束最小化问题可以用K上所有有限有符号Borel测度u上的J[u]的更简单最小化来代替，该测度具有有限的总变化，并满足单一线性约束u（K）=1。这一观察尤其支持计算u的方法*对于K=[0，T]，通过奇点控制（Alfonsi和Schied，2013）。这里，我们将利用这样一个事实，即当γ>0时，约束条件下Jγ[Д]的极小值trtД（t）dt=1可以表示为以下第二类Fredholm积分方程的解，γД（t）+ZTG（| t- s |）Д（s）ds=a.e.t的σ∈ [0，T]，（4）其中常数σ等于最小能量（见命题2）。在这篇文章中，我们主要研究极小化子的定性性质。例如，显式计算或数值模拟表明，Jγ的极小值通常是t的凸函数∈ [0，T]最小值为T/2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:28:41

此外，很容易看出，每个解Д都必须在t/2附近对称，即Д（t）=Д（t- t）。这两个事实让人想起著名的Riesz重排不等式，它指出，对于减少G，ZTZTG（| t- s |）f（s）g（t）ds dt≤ZTZTG（| t- s |）f*（s） g级*（t） ds dt，（5），其中f*和g*是非负函数f和g的对称递减重排；见Riesz（1930）。虽然（5）中的下界通常不可用，但很容易得出Jγ的极小值等于其对称递增重排的结论。然而，由于选择G（t）=（1），这一猜测一般不可能成立- t） +提供了一个反例；请参见示例8和图1。因此，出现了以下问题：对于哪个核G是最小值，分别是（4）的解，在T/2处具有最小值的凸？(*)我们的主要结果表明，当G是完全单调的时，情况就是这样。事实上，我们实际上会证明一个更强大的结果：如果G是完全单调的，那么在（0，T）中分析的意义上，则ν是对称单调的，并且其在T/2附近的幂级数展开形式为Д（T）=P∞n=0a2n（t- T/2）2用于系数a2n≥ 问题如Jγ的最小化或Fredholm积分方程的解（4）有大量的应用，例如在机器学习中；例如，见Chen和Haykin（2002）。另一方面，Gatheralet al.（2012）和Alfonsi and Schied（2013）则受到金融市场最优投资组合清算问题的推动。在这里，解Д对应于在时间间隔[0，T]内清算大量股票初始头寸的最佳交易率。由于仓位较大，其清算以不利的方式影响资产价格，从而产生额外的执行成本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:28:44

这种价格影响的时间演变可以用核G来描述，一些实证研究表明，核G的表现形式为G（t）~ t型-α对于某些α∈ （0，1）；例如，见Gathereal（2010）。假设（3）在这种情况下是合理的：它排除了通过自身价格影响产生利润的价格操纵策略的存在（Huberman和Stanzl，2004；Gathereal，2010）。术语γRTИ（t）dt可解释为阿尔姆格伦（2003）所述的“滑移”或临时价格影响产生的成本。在这种金融背景下(*) 正如J.Gatherel所问，最优投资组合清算策略的可能凸性具有现实意义，它与根据经验观察到的市场流动性每日分布的U型相匹配。也就是说，如果(*) 是“是”，清算期限为一个交易日，通常情况下，最优清算策略包括在流动性较高的交易日开始和结束时进行快速交易，在流动性较低时进行较慢的交易。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了我们的主要结果和一些显式示例。所有证明都在第4.2节主要结果中给出。为了简单起见，我们将假设g：（0，∞) → [0, ∞) 是连续的、非递增的、非恒定的和令人满意的（2）。（6）对于γ>0和T>0，我们考虑以下变分问题，最小化Jγ[Д]=γZTД（T）dt+ZTZTG（| T- s |）Д（t）Д（s）dt ds overД∈ Φ，（7），其中Φ由所有功能组成∈ L[0，T]满足线性约束trtν（T）dt=1，且右侧的二重积分定义明确。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 23:28:47

对于γ=0，我们考虑以下问题，最小化J[u]=Z[0，T]Z[0，T]G（| T- s |）u（dt）u（ds）超过u∈ Φ，（8）我们把G（0）：=G（0+）∈ （0，∞] 其中Φ由[0，T]上满足u（[0，T]）=1且其总变化度量|u|是有限的且Z[0，T]Z[0，T]G（| T）的所有有符号Borel度量u组成- s |）|u|（dt）|u|（ds）<∞.对于γ>0，如果G满足（3），标准希尔伯特空间参数很容易得出（7）的极小值的存在性和唯一性。然而，对于γ=0，即使G有界且满足（3），对于（8）的极小值的存在也是不平凡的。事实上，Gatheral等人（2012）表明，对于G（|·|）是解析的一大类核，例如G（t）=e，不存在极小值-tor G（t）=1/（1+t），尽管这些核是正类型（3）。但Atheral等人（2012）的定理2.24表明，（8）允许一个唯一的极小值u*∈ Φ，前提是G是凸的且满足（6）。此外，还表明，凸性保证u*是一种概率度量。下面的命题将后一个结果推广到γ>0的情况。它的证明也为（8）的极小值的存在性提供了另一种证明。注意，由于下面的等式（15），每个凸、非递增和非负函数G在（3）的意义上都是正类型。提案1。假设γ>0、T>0和G满足（6）。如果G在（0，T）上是凸的，（7）的唯一极小值是概率密度。（7）和（8）的极小化子的非负性只涉及一维线性约束，得到了概率测度或概率密度上泛函Jγ极小化的解。后一个问题在许多应用中都很重要（例如，见Gatheral等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-31 23:28:51

（2012）andAlfonsi和Schied（2013））。以下命题将γ>0时Jγ的极小值与具有常数自由项的第二类Fredholm积分方程的解联系起来。提案2。假设γ>0、T>0和G满足（6）。对于函数∈ Φ，以下条件等效。（a）求解（7）。（b）存在一个常数σ，使得ν解（4）。在这种情况下，（b）中的常数σ等于2Jγ[Д]=2 infψ∈ΦJγ[ψ]且严格为正。现在我们准备陈述我们的主要结果。Letτ∈ （0，∞]. 回想一下函数f：（0，τ）→ 如果f允许（0，τ）上所有阶的导数，则称R为（0，τ）上的完全单调，如果(-1） nf（n）（x）≥ 0表示所有x∈ （0，τ）和n=0，1。根据Bernstein定理，在（0，∞) 是一个特例，因为它们可以表示为[0]上正Radon测度的Laplacetransforms，∞). 如果τ<∞. 一个简单的例子是函数f（t）=et+et-T对于T>0，这在（0，T/2）上是完全单调的，但在（0，T）上不是。但是，此函数属于以下类。定义3。A函数f：（0，T）→ 如果R在（0，T）中是解析的，则称其为对称完全单调的，并且其在T/2附近的幂级数展开式为f（x）=∞Xn=0a2n（x- T/2）2用于系数a2n≥ 这个术语的动机是因为（0，T）上的任何对称完全单调函数f在f（x）=f（T）的意义上是对称的- x），在（0，T/2）上完全单调，在（T/2，T）上绝对单调（即f（n）（x）≥ x为0∈ （T/2，T）和n=0，1，…）。特别地，（0，T）上的每一个对称全单调函数都是凸的，并且在T/2处有一个最小值。定理4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 23:28:54

假设T>0，G：（0，∞) → [0, ∞) 完全单调、非恒定且满足（2）。这一事实依赖于一个众所周知的结果，即对于每一个有界、凸和非增量函数G，[0，∞) → [0, ∞). 后一个结果通常归因于Pólya（1949），尽管这也是Young（1913）的一个简单结果。（a）当γ>0时，（7）的唯一极小值是对称完全单调的。（b）对于γ=0，唯一极小值u对（0，T）的限制*of（8）允许对称单调Lebesgue密度。备注5。定理4回答了我们的初始问题(*) 通过提供一个关于G的有效准则，保证（4）的解是凸的，且最小值为T/2。然而，有必要问，对于某些n，我们的完全单调性条件是否可以被n-单调性所代替≥ 2、回想一下函数f on（0，∞) 称为n-单调，如果(-1）当k=0，1，…，时，kf（k）是非负的、非递增的和凸的，n-根据Williamson（1956），任何这样的函数F都可以用F（t）=Z（1）的形式表示- ρt）+）n-1u（dρ）对于某些氡测量u（0，∞). 我们从Gatheral et al.（2012）了解到，G的2-单调性是ν非负性的一个有效条件。因此，人们很容易猜测G的4单调性对于ν的凸性是有效的。然而，不幸的是，我们在图3中提供的数值分析表明，这个猜想是不正确的：对于G（t）==（（1），存在（4）的非凸解- 10t）+）和G（t）=（（1- 10吨）+）。备注6。人们可能想知道，为什么在定理4中，G是在整个区间上定义的（0，∞), 虽然只有（0，T）上的值与我们的问题（7）和（8）相关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 23:28:57

原因是我们对项4的证明大量使用了Bernstein定理，该定理给出了[0]上完全单调函数之间的一一对应关系，∞) 以及[0，∞). 如果G仅在有限的时间间隔内定义，则该对应关系可能会失败。例如，函数arcsin（1- t），在（0，1）上是完全单调的。对于γ=0，唯一的最小值u*只要Hg（0+）和G（0+）是有限的，并且G除了（6）外是凸的，就在0和T中具有严格的正点质量（Gatheral et al.，2012，定理2.23）。然而，如果G（0+）=∞, 那么我们必须有u*({0}) = u*（{T}）=0，所以u*对于所有[0，T]上的Lebesgue测度将是绝对连续的。我们目前不知道如果G（0+）<∞ 和| G（0+）|=∞.示例7（指数核）。考虑一个形式为g（t）=nXk=1ake的完全单调核-√BKTF系数a、a、，an>0和bn>bn-1> ···>b>0。我们将在第4.4.1节中说明，（4）的唯一解的形式为Д（t）=z+nXi=1zie√cit+e√ci（T-t）其中zi≥ 0，系数等于（22）中矩阵M的特征值，满足cn>bn>cn-1> bn公司-1> ··c>b>0。该函数显然是对称完全单调的。在特殊情况下，n=1，G（t）=e-√bt，我们有c=b+γ√b和直接计算得出：Д（t）=σbγc1+2（e√ct+e√c（T-t））γe√cT(√b类+√c）+√b-√c, t型∈ [0，T]，其中常数σ>0如（4）所示。对于解（7），σ可以通过条件RTД（t）dt=1来确定。以下两个例子说明，如果相应的假设不满足，命题1和定理4的断言不必再为真。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:00

更准确地说，下面的示例8表明，即使G是凸的且非递增的，最小值Д也不必是凸的，并且示例9说明，如果G仅仅是正类型且非凸的，则Д可以变为负。示例8（带帽线性核）。考虑凸非增核G（t）=（1- t） +和方程式γД（t）+ZT1.- |t型- s|+Д（s）ds=σ，（9），为简单起见，我们假设T=n∈ N、对于i=1，n、定义λi：=21.- cos公司iπn+1andbi：=pλi/γ。设B：=诊断（B，…，bn），Q：=罪ijπn+1i、 j=1，。。。，nand E（t）：=诊断ebt，ebnt公司. 此外，定义σ：=（σ，…，σ）∈ Rn，用I表示ndimensional恒等矩阵，设J：=diag（1，-1, 1, . . . , ±1) ∈ Rn×n，并将K：=I+（δj，n-i） i，j=1，。。。，n、对于命题1和命题2提供的（9）的解，定义Дi（t）：=Д（t+i- 1）堡垒∈ [0，1]，i=1，n、我们将在第4.5节中证明，^1nare由以下人员提供^1（t），^1n（t）>= QE（t）+E（1- t） Ja、 t型∈ [0，1]，（10）其中：=γQ（E（1）+J）+KQ（E（1）- 一）（J）- 一） +B（E（1）- J）B-2.-1σ.请参见图1中的图示。示例9（三角核）。设G（t）=cos（ρt），常数ρ>0。众所周知，Gis是一个正定义函数，因此满足（3），但它当然不是凸函数。我们可以很容易地验证（4）的解ν由Д（t）=σγ给出1.-2 tan（ρT/2）cos（ρt）+cos（ρ（t- t）ρ（2γ+T）+sin（ρT）.该函数显然取负值；见图2.2 4 6 8 10246810图1:G（t）=（1）的（9）溶液- t） +，γ=0.01，t=11。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:03

尽管Д为正，但它不是凸的。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-10-55101520图2:G（t）=cos（t/2）（4）的溶液Д，γ=0.001，t=1.0.5 1123450.5 11234图3:G（t）=（（1- 10t）+（左）和G（t）=（1- 10t）+），T=1，γ=0.001.3对称完全单调函数的辅助结果。我们引入符号hf（x）：=f（x+h）- f（x）对于函数f，如果f（x）=f（T），我们会说f在T/2附近是对称的- x）。引理10。对于解析函数f：（0，T）→ R、以下条件是等效的。（a） f是对称的完全单调的。（b） f在T/2附近对称，在（0，T/2）上完全单调，在（T/2，T）上绝对单调。（c） f围绕T/2对称，且nhf（x）=nXk=0(-1） n个-knk公司f（x+kh）≥ 0对于x>T/2，n=1，2，当x+nh＜T时，h＞0。证据含义（a）=>（c）简单明了。（c）的证明=>（b）依赖于伯恩斯坦（1914）的研究结果。证明了（第451页）满足条件（c）（无需先验分析）的函数f在（T/2，T）上是绝对单调的，并且允许（0，T）的解析延拓f。根据解析性，f必须与（0，T）上的f一致。f的对称性现在意味着f在（0，T/2）上完全单调。显示（b）=>（a），注意，（0，T/2）中的完全单调性和（T/2，T）中的绝对单调性意味着f（2n）（T/2）≥ 对于n=0，1，…，0和f（2n+1）（T/2）=0。因此，将f展开为T/2附近的幂级数，得到（a）。函数Arcin（| 1- x |）表明引理10中的解析性条件不能简单地忽略。下面的引理特别说明了对称完全单调函数类在逐点收敛下是闭合的。引理11。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 23:29:07

假设（fn）是（0，T）上对称完全单调函数的序列，D是（0，T）的稠密子集，使得对于每个x∈ D极限limnfn（x）存在并且是有限的。那么每x存在fn（x）的极限∈ 函数f（x）：=limnfn（x）是对称单调的。此外，fn→ （0，T）的紧致子集上的f一致，幂级数展开中的系数fn（x）=P∞k=0a（n）k（x- T/2）K与相应的f.Proof开发中的一致。显然，每个函数fn都是凸的，因此Rockafellar（1970）的定理10.8得出了极限f（x）：=limnfn（x）对于每个x的存在性∈ （0，T），一致收敛fn→ f在（0，T）的紧子集上，并且f是凸的，因此在（0，T）上是连续的。此外，我们显然有khfn（x）→ khf（x）每x∈ （T/2，T），k=0，1，2，当x+kh<T时，h>0。引理10证明中引用的Bernstein（1914）的结果表明，f在（T/2，T）上是解析函数，可以推广到（0，T）上的解析函数f。我们将在下面说明▄f是对称单调的。然后，函数fn、f和▄f的对称性以及f和▄f的连续性将意味着f=▄f在所有（0，T）上，结果将得到证明。现在我们证明▄f是对称完全单调的。为此，设fn（x）=P∞k=0a（n）k（x-T/2）kandf（x）=P∞k=0？ak（x- T/2）kdenote关于T/2前后fnandf的幂级数发展。在第一步中，我们注意到a（n）=fn（T/2）→~f（T/2）=~a，根据上段中确定的收敛性。接下来，考虑函数fn，1（x）=P∞k=0a（n）k+1 | x- T/2 | k。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:10

自a（n）k以来≥ 0和a（n）2k+1=0，这些函数是凸的，我们有fn，1（x）=sgn（x- 电话/2）∞Xk=0a（n）k+1（x- T/2）k=fn（x）- a（n）| x- T/2 |。因此，这些函数在（0，T/2）上逐点收敛∪（T/2，T）至▄f（x）=（▄f（x）-a）/| x-T/2 |。再次使用Rockafellar（1970）的定理10.8，我们得出结论，fh是（0，T）的连续凸扩展，fn，1→絮凝均匀。因此，a（n）=fn，1（T/2）→~f（T/2）=~a。接下来，通过考虑凸函数fn，2（x）=P∞k=0a（n）k+2（x-T/2）k，我们的结论与a（n）相同→ a.迭代此参数进一步得到a（n）k→ ak代表所有k，因此▄ak≥ 对于所有k，~a2k=0。因此，~f确实是对称的完全单调的。引理12。设M表示[0，T]上所有非负有限Borel测度的类，其对（0，T）的限制允许对称完全单调Lebesgue密度。然后M对于测度的弱收敛是封闭的。证据设（un）n=1,2，。。。是一系列以M为单位的度量值，使得un在[0，T]上弱收敛到一个单位度量u，并用Fn（x）=un（[0，x]）表示相应的分布函数。然后fn（x）→ F（x）表示Fand的所有连续点，因此位于（0，T）的稠密子集上。通过假设，fn是（T/2，T）上绝对单调函数的积分，因此它本身是绝对单调的。特别地，fn在[T/2，T]上是凸的。此外，因为Fn（x）=Fn（T）- Fn（T- x）福尔克斯∈ [0，T/2]，它在[0，T/2]上是凹的。通过引理11的证明，我们得出结论fn（x）→ F（x）表示所有x∈ （0，T），该Fis在（T/2，T）上是绝对单调的，并且该Fis分析（0，T）具有对称的完全单调导数。引理13。L[0，T]中所有对称全单调函数的类在L[0，T]中是弱闭的。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:13

设S表示L[0，T]中所有对称全单调函数的类。如果S中的序列（fn）在L[0，T]中收敛到函数f，则f≥ 0和有限测度fn（x）dx弱收敛于有限测度f（x）dx。因此，f∈ 引理12。因此，凸锥S在L[0，T]中是闭的，因此也是弱闭的。4第24.1节预备阶段结果的证明让我们首先回顾Gatherel et al.（2012）关于凸、非递增和非恒定核G：（0，∞) → [0, ∞) 满足条件（2）。根据Gatheral等人（2012）的引理4.1，氡测量值η为正（0，∞) 这样z（0，∞)最小{y，y}η（dy）<∞ （11） andG（x）=G(∞-) +Z（0，∞)（y）-x） +η（dy），对于x>0。（12） R上氡测量值u的傅里叶变换，其中u([-x、 x）最多增长多项式，x可以通过hbu（f）=Zbf du，f定义∈ S（R），其中S（R）是快速递减C的通常Schwartz空间∞-函数和bf（z）=Reizxf（x）dx是f的傅里叶变换（根据Gatherel等人（2012）的惯例）。根据这一定义，Gatheral等人（2012）的引理4.2表明，G（|·|）可以表示为正Radon测度ν（dx）=G的傅里叶变换(∞-)δ（dx）+g（x）dx，在R上，其中密度g由g（x）=πZ（0，∞)1.- cos xyxη（dy）（13），度量η在（12）中。现在，让u为[0，T]上的任何有符号Borel测度，其总变量测度|u|是有限的，因此RRG（| T-s |）|u|（dt）|u|（ds）<∞. Gatheral et al.（2012）中的命题4.5表明J[u]=Z | bu（Z）|ν（dz）。（14）因此，根据普朗谢尔定理，对于γ>0，Jγ[Д]=γZ | bД（Z）| dz+Z | bД（Z）|ν（dz），Д∈ Φ. （15）事实上，前面的恒等式扩展到所有函数的空间LG[0，T]∈ L[0，T]，其中Jγ[Д]是有限的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:16

从（15）和Minkowski不等式可以清楚地看出，LG[0，T]是一个向量空间。4.2命题1的证明对于命题1的证明，我们需要两个辅助引理。对于n∈ N、我们让Φ（N）表示所有φ的集合∈ L[0，T]，满足yrtД（T）dt=1，并且在形式为[tk，tk+1]的所有间隔上都是常数，其中tk=k2-对于k=0，…，nT，第2条。因此，任何此类Д的形式为Д=n-1Xk=0хk【tk，tk+1）（16），对于某些实际系数хk，其总和为2n/T。尤其是，Д属于L∞[0，T]和hencetoΦ。我们需要以下简单引理。引理14。假设G满足（6）。对于^1∈ 式（16）中的Φ（n），我们有jγ[Д]=nXi，j=0ДiДjGn（| ti- tj |），其中gn（0）=γ2-（n+1）T+2-2n+1TZG（2-nT s）（1- s） ds，Gn（t）=2-第2次-1克（t+2-nT s）（1- |s |）ds代表t≥ 2.-nT和Gn（t）在Gn（0）和Gn（2）之间线性插值-nT）对于t∈ (0, 2-nT）。证据我们有γZTИ（t）dt=γn-1Xi=0хi（ti+1- ti）=γ2-（n+1）Tn-1Xi=0хi。此外，ZTZTG（| t- s |）Д（t）Д（s）ds dt=n-1Xi，j=0ДiДjZti+1tiZtj+1tjG（| t- s |）ds dt。对于i<j，我们有zti+1tiZtj+1tjG（| t- s |）ds dt=2-2NTZG（tj- ti+2-nT（s）- r））ds dr=Gn（tj- ti）。对于i=j，我们有zti+1tiZti+1tiG（| t- s |）ds dt=2-2n+1TZG（2-nT s）（1- s） ds。这确定了k=0，…，点Tk中G的值，第2条。所有其他t的Gn（t）值实际上与Jγ的表示无关，因此可以任意选择，例如在引理的陈述中。注意，如果G是凸的，则函数gn不必是凸的。这可以通过例如n=0，T=1，G（T）=（3）来看出- t） +和γ较小。然而，我们有以下结果。引理15。如果γ>0且凸函数G满足（6），G（0+）<∞, 在0处有一个有限的右手导数G+（0），那么就存在n∈ N使得引理14中定义的函数GN对于每个N是凸的≥ n、证明。在[0，2-nT]，函数GNI是线性的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:19

在[2-nT，∞), 它是凸函数、非增函数和非负函数G（·+2）的混合体-nT s）用于-1.≤ s≤ 因此，格纳尔索具有以下特性-nT，∞). 我们得出结论，GNI是凸的当且仅当左导数Gn，-（2）-Gnin 2的nT）-nT小于或等于右侧导数Gn，+（2-nT）。G和支配收敛的凸性意味着gn，+（2-nT）=极限↓0Gn（t+2-nT）- Gn（2-nT）t=2-第2次-1G+（2-nT（1+s））（1- |s |）ds≥ 2.-2nTG+（0）。另一方面，由于G是非负且非递增的，Gn，-（2）-nT）=Gn（2-nT）- Gn（0）-nT=-γ+ 2-nTZ公司-1.G（2-nT（1+s））- G（2-nT | s |）（1）- |s |）ds≤ -γ+ 2-因此，如果n足够大，则项γ/2占主导地位，并确保n的凸性。命题1的证明。极小值的唯一性直接源于Jγ是由（15）严格凸的事实。为了证明非负极小化的存在性，我们首先考虑G（0+）和右侧导数G+（0）都是有限的情况。当G（0）：=G（0+）时，函数G（|·|）是R上的一个有界连续函数。现在考虑最小化Jγ[ν]的问题∈ Φ（n）。通过引理14，这个问题等价于二次型Pni的最小化，j=0ДiДjGn（| ti- tj |）超过Д，^1n∈ R的总和为2n/T。GNI是凸的、非递增的、非负的和非恒定的，这意味着具有条目Gn（| ti）的矩阵-由于（14），tj |）为正定义。因此，当n≥ n、此外，根据Alfonsi et al.（2012）中的定理1，连同引理14和15，这个极小值的所有分量都是非负的。因此，也存在最小化Jγ[Д]的问题∈ Φ（n）有一个唯一的极小值Д（n），与n一样，它是非负的≥ n、下一步，因为Φ（n） Φ（n+1），我们有Jγ[Д（n）]≥ Jγ[Д（n）]适用于所有n≥ n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-31 23:29:22

此外，Jγ[Д]≥γkИkdue到（14），我们得到L-范数kИ（n）k对于所有n一致有界≥ n、因此，如果必要，通过传递到asubsequence，我们可以假设序列（ν（n））n≥Ncl[0，T]弱收敛到某个非负极限*.我们声称*是Jγ[Д]除以Д的最小值∈ Φ. 为了看到这一点，让我们通过对比的方式假设*不是最小值。然后存在另一个函数∈ Φ，带Jγ[^Д]<Jγ[Д]*]. 通过^Иnwe表示^И关于区间[T，T，…，[tn]生成的σ-字段的条件期望值-1，tn）和（标准化）Lebesgue度量。然后是^ИnbelongstoΦ（n）和so Jγ[^Иn]≥ Jγ[Д（n）]。通过鞅收敛，我们得到了→ ^хin L【0，T】。G（|·|）有界且连续的事实给出了Jγ[^νn]→ Jγ[^И]。另一方面，地图Д7→ Jγ[Д]是弱下半连续的，而soJγ[Д]*] ≤ lim信息↑∞Jγ[Д（n）]≤ 画↑∞Jγ[^Иn]=Jγ[^И]，这是一种收缩。因此，非负函数*确实是最小值。现在让我们考虑G（0+）=∞. 正如Gatheral等人（2012）定理2.24的证明一样，我们可以考虑通过度量ηn（dy）=（1/n，∞)（y） η（dy）（17）in（12）。这些函数G（n）是连续的、非递增的、非负的、凸的，它们满足yg（n）（0+）<∞ 和（G（n））+（0）>-∞. 它们对应于（13）中定义的函数Gn和满足（15）的能量函数J（n）γ，其中νn（dx）=G(∞-) δ（dx）+gn（x）dx。然后设（ψn）n=1,2，。。。Jγ在Φ中的最小化顺序。自g（x）起≥ gn（x），我们有Jγ[ψn]≥ J（n）γ[ψn]。对于每个n，我们还要取Φ中的最小值νnof J（n）γ。自G（n）（0+）<∞ 和（G（n））+（0）>-∞, 我们已经从证明的第一部分了解到≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:25

此外，我们还有Jγ[ψn]≥ J（n）γ[ψn]≥ J（n）γ[Дn]。这意味着γRTИn（t）dt在n中一致有界，因此，在必要时传递到子序列后，我们可以假设序列（Дn）在L[0，t]中弱收敛到函数∈L[0，T]，它也必须是非负的。由于[0，T]的紧致性，因此Fourier变换bИnconverge指向bД。此外，由于GNI从（13）逐点增加到函数g，我们得到INFψ∈ΦJγ[ψ]=limn↑∞Jγ[ψn]≥ lim信息↑∞J（n）γ[Дn]=直线感应↑∞γZ | bДn（Z）| dz+G（n）(∞-)|bхn（0）|+Z | bхn（Z）| gn（Z）dz≥ Jγ[Д]，其中我们在最后一步中使用了Fatou引理。这表明函数Д是期望的非负极小化。4.3 f、g命题2的证明∈ LG[0，T]，我们可以定义对称双线性形式jγ[f，g]：=Jγ[f+g]- Jγ[f]- Jγ[克].现在假设ν求解（7）。我们取一个非零函数ψ∈ LG[0，T]使得rtψ（T）dt=0和α∈ R、然后φ+αψ∈ ΦandJγ[Д+αψ]=Jγ[Д]+αJγ[ψ]+2αJγ[Д，ψ]。Д的最优性意味着在α=0时，右手边最小化，这意味着jγ[Д，ψ]=0。因此，γД（t）+RTG（| t- s |）Д（s）ds必须与每个ψ正交∈ LG[0，T]，rtψ（T）dt=0，得到（4）。相反，（4）意味着对于每个ψ，Jγ[ψ，ψ]=0∈ LG[0，T]，rtψ（T）dt=0。对于每一个∈ Φ和ψ：=Д- Д，Jγ[]=Jγ[]+Jγ[ψ]+2Jγ[，ψ]≥ Jγ[Д]，因此Д求解（7）。最后，很明显，如果φ解（4），则Jγ[φ]=σ/2。4.4定理44.4.1指数核定理4的证明首先假设G是指数核（n阶），即有a，a，an>0和bn>bn-1> ····>b>0，使得g（t）=nXk=1ake-√黑色。（18）显然，任何这样的G都是完全单调和满足的（2）。设И为（7）的唯一最小值。根据命题2，σ>0，使得ν解（4）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 23:29:28

通过标度ν和G，我们可以在不丧失一般性的情况下假设σ=γ。此证明中考虑的所有矩阵都是n维方阵，所有向量都是n维列向量。我们用x，…，表示对角矩阵，X在其主对角线上为diag（xi）i=1，。。。，n、假设一个矩阵是正对角矩阵，如果它是对角的，并且所有对角项都是正的。设A：=诊断（ai）i=1，。。。，nand B：=诊断（bi）i=1，。。。，n、通过ψk（t）定义函数ψ=（ψ，ψ，…，ψn）：=akZTe-√黑色| t-s |Д（s）ds，t∈ [0，T]，k=1，2，n、则Д=1-λXkψk=1- λ1>ψ，（19），其中λ：=1/γ和1：=（1，1，…，1）∈ 注册护士。让我们首先概述一下证据：1。证明ψ解n个常微分方程组ψ=Mψ- 2AB1/21，边界条件ψ（0）=ψ（T），ψ（0）=B1/2ψ（0）。这里，M是一个非奇异矩阵。2、证明M有n个不同的实特征值cn>cn-1> ···>c>0。设C：=诊断（ci）i=1，。。。，n、获得特征分解M=QCQ-1，其中Q是非奇异矩阵。3、以1结尾。即ν（t）=d1 + 2λ 1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1., （20）其中d>0，N是非奇异矩阵。4、使用M的特征分解将（20）重写为Д（t）=d1+1>E（t）~N-1.. （21）这里，N是非奇异矩阵。矩阵E（t）是正对角矩阵，映射的每个对角项t 7→ E（t）是对称的完全单调的。5、分解~N-1=▄N（▄N+▄N）-1▄确保▄与▄均为正对角矩阵、▄非正定义，以及（▄N+▄N）的所有有效对角项-1不积极。6、显示所有条目▄N-1N1为非负。表明这意味着-11=▄N（▄N+▄N）-1N1为非负。用（21）和步骤6得出结论，即Д对称完全单调。回想一下，A=诊断（ai）i=1，。。。，nand B=诊断（bi）i=1，。。。，是正对角矩阵，且bn>bn-1> ···>b。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:33

请注意，11>是包含所有1的矩阵。定义：=B+2λAB1/2>=b+2λa√b2λa√b···2λa√b2λa√bb+2λa√b···2λa√b2λan√bn2λan√bn···bn+2λan√bn公司. （22）1.1ψ解n个常微分方程组ψ=Mψ-2AB1/21。让t∈ [0，T]和k=1，2，n、（19）的微分和插入显示ψk（t）=akpbkddth-中兴通讯-√黑色（t-s） ^1（s）ds+ZTte-√黑色（s）-t） ^1（s）dsi=akpbkpbkZTe-√黑色| t-s |Д（s）ds- 2х（t）= bkψk（t）- 2akpbkД（t）=bkψk（t）- 2akpbk1.- λXlψl（t）.我们得出ψ=（B+2λAB1/2>）ψ-2AB1/21=Mψ-2AB1/21.1.2ψ（0）=ψ（T）。回想一下，Д（t）=Д（t- t）对于所有t∈ [0，T]。让t∈ [0，T]和k=1，2，n、代换积分显示ψk（t）=akZTe-√黑色| t-s |Д（s）ds=akZTe-√黑色|（T-t）-（T-s） |Д（T- s） ds=akZTe-√黑色|（T-t）-s |Д（s）ds=ψk（T- t）。特别地，ψk（0）=ψk（T）。1.3ψ（0）=B1/2ψ（0）。设k=1，2，n、则ψk（0）=akpbkh-中兴通讯-√黑色（t-s） ^1（s）ds+ZTte-√黑色（s）-t） ^1（s）dsit=0=akpbkZTe-√bksД（s）ds=pbkψk（0）。2.1 M有n个不同的实特征值c，c，满足cn>bn>cn的Cnt-1> bn公司-1> ···>c>b>0。设v：=2λ（a√b、 a√b一√bn）∈ Rnand x∈ [0, ∞) \\ {b，b，…，bn}。矩阵xI- M是对角线矩阵和外积v1>的和。亨塞德（xI）- M） =det（xI）- B- v1>）=1.- v> （xI）- （B）-1.det（xI）- （B）=1.- 2λXkak√bkx公司- bkYk（x- 黑色）。以下论点是Terrell（2017）提出的。定义f：[0，∞) \\ {b，b，…，bn}→ R过孔（x）：=1- 2λXkak√bkx公司- bk.设k=1，2，n- 1、然后f连续开启（bk，bk+1），LIMx和bkf（x）=-∞ 和limx%bk+1f（x）=+∞.我们得出结论，f有一个根ck∈ （黑色，黑色+1）。此外，limx&bnf（x）=-∞ 和limx%+∞f（x）=1，表示f有另一个根cn∈ （十亿）+∞). 自det（ckI）起-M） =0表示k=1，2，n、 M.2.2的每个ckisan特征值如果c是M的特征值，则一√卑诗省- b、 a√卑诗省- b一√bnc公司- bn公司是对应的特征向量。让c∈ [0, ∞)\\{b。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:35

，bn}是M的特征值，v=（v，v，…，vn）是相应的特征向量。定义Mv=cv转化为以下方程组：bkvk+2λakpbkXlvl=cvk，k=1，2，n、 PLVL6=0一定是真的。否则，bkvk=CVK对于所有k=1，2，n、自c起/∈ {b，b，…，bn}（参见步骤2.1），这意味着v=0，这与特征向量的定义相矛盾。因此，我们可以设置1>v=Plvl=2λ，而不丧失一般性。我们获得v=一√卑诗省- b、 a√卑诗省- b一√bnc公司- bn公司.让cn>cn-1> ····>c>0是M的特征值。定义c：=诊断（ci）i=1，。。。，n、 Q：=cj公司- bi公司i、 j=1,2，。。。，nand Q：=AB1/2Q.（23）2.3 M=QCQ-1、在步骤2.2中，Q的列是与特征值c、c、…、，中国。对应于不同特征值的特征向量是线性独立的，因此Q是非奇异的。我们得到特征分解M=QCQ-1.2.4 1>Q=2λ>。这源自步骤2.2，其中我们假设Q中包含的每个特征向量和为2λ。3、定义：=1+2λXkak√bk-1> 0.我们让M1/2：=Q诊断(√ci）i=1，。。。，nQ公司-并用eM1表示/2T=Q diag（e√ciT）i=1，。。。，nQ公司-M1/2T的矩阵指数。定义：=A-1.M1/2eM1/2T- 我+ B1/2层eM1/2T+I,其中I表示单位矩阵。n个常微分方程组f=Mf的通解- 2AB1/21 isf（t）=eM1/2tx+eM1/2（t-t） x+2dAB-1/21，t∈ [0，T]，对于x，x∈ 注册护士。要看到这一点，让我们∈ [0，T]和x，x∈ 注册护士。写入d=1/（1+2λ1>AB-1/21）showsd MAB-1/21=dAB1/21+2λAB1/21 1>AB-1/2= d1+d- 1.AB1/2=AB1/21。因此，f（t）=MeM1/2tx+eM1/2（T-t） x个= Mf（t）- 2d MAB-1/2=Mf（t）- 2AB1/21。仍需选择X和xin，以满足步骤1.2和1.3中的边界条件。首先，f（0）- f（T）=（eM1/2T- 一）（十）- x）。步骤2.3，eM1/2T- I=Q诊断e√ciT公司i=1，。。。，nQ公司-1.- I=Q诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1是非奇异的。因此，f（0）=f（T）当且仅当x=x。设置x=x。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:39

第二，f（0）- B1/2f（0）=M1/2我- eM1/2T- B1/2层I+eM1/2Tx个- 2dA1=-A（Nx+2d 1）。我们在步骤5.5中证明N是非奇异的。因此，f（0）=B1/2f（0），当且仅当x=-2d N-11、我们得出ψ（t）=eM1/2tx+eM1/2（t-t） x+2d AB-1/2=eM1/2t+eM1/2（T-t）x+2d AB-1/2=2dAB公司-1/2-eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.对于所有t∈ [0，T]。请注意1- 2dλ1>AB-1/21 = 1 -dd- 1.= d、 soν（t）=1- λ1>ψ（t）=1- 2dλ1>AB-1/21+2dλ1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1=d1 + 2λ 1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.对于所有t∈ [0，T]。4、定义（t）：=诊断e√cit+e√ci（T-t） e类√ciT公司- 1.i=1，。。。，n、 t型∈ [0，T]和▄N：=A-1.QC1/2+B1/2QE（T）.E（t）是所有t的正对角矩阵∈ [0，T]，因此是非奇异的。映射t 7的对角线条目→ E（t）是对称的完全单调的。使用步骤2.3，我们得到n=A-1.QC1/2诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1+B1/2Q诊断e√ciT+1i=1，。。。，nQ公司-1.= A.-1.QC1/2+B1/2QE（T）诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1=N诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-因此，N是非奇异的当且仅当N是非奇异的。这与步骤2.3、2.4和3相结合，显示了Д（t）=d1 + 2λ 1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.= d1+2λ1>Q诊断e√cit+e√ci（T-t）i=1，。。。，nQ公司-1N-1.= d1+1>E（t）~N-1.对于所有t∈ [0，T]。定义实值函数β（x）：=Yl（x- bl），γ（x）：=Yl（x- cl）。LetD：=诊断β（ci）γ（ci）i=1，。。。，n、和D：=诊断-γ（bi）β（bi）i=1，。。。，n、我们在步骤5.2中展示了Dand Dare正对角矩阵。特别是，它们是非奇异的。5.1Q-1=DQ>DQ-11=D1。矩阵-§如（23）所定义的Q称为柯西矩阵。这两个结果都是由Schechter（1959）得出的。5.2 Dand Dare正对角矩阵。设k=1，2，n、那么β（ci）γ（ci）=Ql（ci- bl）PmQl6=m（ci- cl）=Ql（ci- bl）Ql6=i（ci- cl）=（ci- bi）Yl6=ici- blci公司- cl.回想步骤2.1中的ci>bi和ci>blif，且仅当ci>cl对于所有l=1，2，n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:42

同样地，-γ（bi）β（ci）=（ci- bi）Yl6=ibi- clbi公司- bl>0。定义N：=C-1/2，~N：=~Q>DB-1/2▄Q，▄N：=D-1E（T）C-1/2，~N：=~Q>DB-所有四个矩阵均为非奇异矩阵（具体见步骤5.1和5.2）。在步骤5.5中，我们表明▄N+▄是非奇异的。5.3N-1=▄N（▄N+▄N）-1N.根据定义，Q=A-1B级-1/2季度。使用步骤5.1：▄N-1（▄N+▄N）▄N-1=BD-1Q-TQ>DB-1/2Q+D-1E（T）C-1/2C1/2=B1/2QC1/2+B（DQ>D）-1E（T）=A.-1QC1/2+BQE（T）= A.-1.QC1/2+B1/2QE（T）=~N.5.4▄与▄为正对角矩阵，且▄为正定义。B、 C和E（T）是正对角矩阵。在步骤5.2中，Dand D.HenceDB也是如此-1/2为正定义。由于▄Q是非奇异的（见步骤5.1），▄N=▄Q>DB-1/2Q也是正定义。5.5▄N+▄N、▄N和N是非奇异的。从步骤5.4可以看出，N+是正定义，因此是非奇异的。由于▄Nand▄Narenonsingular，▄N是非奇异的。我们在步骤4中已经证明，N是非奇异的当（且仅当）~N是非奇异的。如果一个方阵的所有对角项都是非正的，则称其为Z矩阵。假设somematrix U是非奇异Z矩阵，以下两个条件是等价的：（M1）存在正对角矩阵V，使得UV+V U>是正定义的。（M2）U是非奇异的，且U的所有条目-1为非负。在这种情况下，U被称为M矩阵。特别是，条件（M1）意味着每个正定义矩阵都是M矩阵。参见Berman和Plemmons（1994）中的定理2.3，以获得M矩阵的证明和进一步的等价刻画。5.6N-1是一个Z矩阵。通过步骤5.1，我们得到N-1=Q-1B1/2D-1Q-T=DQ>DB1/2QD。这是一个正对角矩阵，因此有必要表明所有▄Q>DB1/2▄Q的对角项都是非正的。修复i、j∈ {1，2，…，n}使得i 6=j。定义α：=Q>DB1/2Qij=-Xk公司√bkγ（bk）（bk- ci）（黑色- cj）β（bk）=-Xk公司√bkQl6=i，j（bk- cl）Ql6=k（黑色- bl）。以下论点应归功于Petrov（2017）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:46

定义f：[0，∞) → R、 f（x）：=-√xYl6=i，j（x- cl）。有正常数z，z，锌-2这样的thatf（x）=-n-2Xk=0(-1） n个-2.-kzkxk+1/2=n-2Xk=0(-1） n个-1.-kzkxk+1/2。差异化n- 1倍产量SF（n-1）（x）=n-2Xk=0(-1） n个-1.-kzkxk-n+3/2n-2Yl=0（k+1/2- l）。对于k=0，1，n- 2，系数k+1/2- 如果l=0，1，…，则l为正，如果l=k+1，k+2，…，则为负，n- 2、因此(-1） n个-1.-千牛-2Yl=0（k+1/2- l） =(-1） n个-1.-k级(-1） n个-2.-（k+1）+1n-2Yl=0 | k+1/2- l |=-n-2Yl=0 | k+1/2- l |<0。我们得出结论f（n-1）（x）<0表示所有x>0。点b，b，…，f的拉格朗日多项式插值p，bnisp（x）=Xkf（bk）Yl6=kx- blbk公司- 基本法=-Xk公司√bkQl6=i，j（bk- cl）Ql6=k（黑色- bl）xn公司-1+q（x）=αxn-对于次数最多为n的多项式q，1+q（x）- 2、对于x=b，b，…，插值是精确的，bn。根据Rolle定理，存在一个x>0，使得f（n-1）（x）=p（n-1）（十）（米尔恩·汤姆森，2000年，第1章）。Hence0>f（n-1）（x）=p（n-1）（x）=（n）- 1）哦！α、表明Q>DB1/2Q如果i 6=j.5.7N，则ij为非正-1是非奇异M矩阵。在步骤5.6中，我们已经表明-1是一个Z矩阵。由于第5.4步中没有明确的定义，因此-1积极定义。因此▄N-1是条件（M1）下的非奇异M矩阵。（N）的所有条目-1+▄N-1)-1为非负。作为正对角矩阵，N-1为正定义且为非奇异M矩阵。正有限Z矩阵之和也是正有限Z矩阵。因此▄N-1+▄N-1是正定Z矩阵（见步骤5.7）；因此是一个M矩阵。根据条件（M2），所有条目（~N-1+▄N-1)-1为非负。5.9所有OFF-对角线输入（~N+~N）-1不积极。通过Woodbury矩阵恒等式，（~N+~N）-1=▄N-1.-N-1（yenN-1+▄N-1)-1N-1、回想一下-1是一个正对角矩阵。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-31 23:29:50

从步骤5.8可以看出，所有的oN对角线条目-1（yenN-1+▄N-1)-1N-1为非负。6.1▄N的所有条目-1N1为非负。使用步骤5.1，我们得到N-1▄N1=▄Q-1B1/2D-1Q-TQ>DB-1=DQ>DB-1/2=DQ>DB-1/2QQ-1=DND1。在步骤5.7中，我们已经表明-1是非奇异M矩阵。因此，根据条件（M2），所有的▄nar项都是非负的。DB5.2.6.2步骤中的所有条目（▄N+▄N）也是如此-1Nare非负。定义U：=（▄N+▄N）-1N.写入=I- （▄N+▄N）-1n表示U的所有反对角线条目均为非负（见步骤5.4和5.9）。我们现在使用以下关于正定义矩阵的结果：如果两个矩阵U和V是正定义矩阵，那么U-V为正定义当且仅当V-1.-U-1正定义（Horn and Johnson，2013，推论7.7.4）。矩阵（~N+~N），~Nand（~N+~N）-~N=~Nare正定义（见步骤5.4）。因此▄N-1.- （▄N+▄N）-1=uN-1是积极的定义。正定义矩阵主对角线上的所有条目都是非负的。因此，U主对角线上的所有条目都是非负的。6.3▄N的所有条目-11为非负。~N、（~N+~N）的所有条目-1NandN-1N1为非负（见步骤6.1和6.2）。因此，产品的所有入口均为▄N（▄N+▄N）-1NN-1▄N1=▄N（▄N+▄N）-1▄N1=▄N-1为非负。通过步骤4和6.3得出结论，即存在z、z、，锌≥ 0，使得Д（t）=d1+1>E（t）~N-1.= d1+nXi=1zie√cit+e√ci（T-t）, t型∈ [0，T]。这个函数显然是对称的完全单调的。4.4.2定理4对G任意且γ>0的证明设G：（0，∞) → [0, ∞) 是一个非常数且完全单调的核。我们首先假设G（0+）<∞. 那么，我们可以假设G（0）：=G（0+）=1，而不失一般性。根据Bernstein\'stheorem，在[0，∞) 使得G等于u的拉普拉斯变换。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:53

由于Dirac测度的有限凸组合集在[0]上的allBorel概率测度集中是稠密的，∞) 对于弱收敛，存在相应的序列（un）n=1,2，。。。弱收敛到u。显然，相应的拉普拉斯变换，Gn（t）=Z[0，∞)e-t的txun（dx）≥ 0和n=1，2。都是（18）型指数核。弱收敛un→ u表示Gn（t）→ 所有t的G（t）≥ 通过稍微滥用符号，让我们写出j（n）γ[Д]：=γZTД（t）dt+ZTZTGn（| t- s |）Д（s）Д（t）ds dt每γ≥ 0和ν∈ L[0，T]。然后J[Д]- J（n）[Д]≤ kИkL[0，T]ZTZT公司G（| t- s |）- Gn（| t- s |）ds公司1/2 |Д（t）| dt≤ 2.√T kИkL【0，T】kG- GnkL[0，T]。自kG起- GnkL【0，T】→ 0通过支配收敛，我们得出以下结论：J（n）[Д]→ J[ν]一致地影响L[0，T]的任何有界子集的函数。对于每一个n，设Иnbe为能量泛函J（n）γ的Φ中的最小值。根据第4.4.1节，每个函数都是对称的完全单调的。自函数f起≡ 1/T属于Φ，我们可以看到存在一个常数C，使得kИnkL[0，T]≤ C、如有必要，通过传递到子序列，我们可以在不丧失一般性的情况下假设序列（νn）n∈Nconverge在L[0，T]中弱收敛到一个极限函数，通过引理13，它允许一个对称的完全单调的版本。设ν为Jγ的最小值。那么J（n）γ[Д]≥ J（n）γ[Дn]对于每个n。因此，J（n）γ的一致收敛产生Jγ[Д]=limn↑∞J（n）γ[Д]≥ lim信息↑∞J（n）γ[Дn]=直线感应↑∞Jγ[νn]≥ Jγ[ИИ]，其中后一个不等式源自Jγ的弱下半连续性。这表明Д=Д，并得出了G（0+）<∞.如果G是弱单数且满足G（0+）=∞, 我们使用核Gn和Gn（0+）的近似值，如（17）所示<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:29:55

在命题1的证明的最后部分，我们可以看到Gn的对称单调极小值在L[0，T]中弱收敛到G的极小值。因此，通过引理13.4.4.3定理4的证明，对于γ=0Letu，后一个极小值也是对称完全单调的*是Gatheral等人（2012）定理2.24提供的Jas的最小值。我们近似u*在弱拓扑中，通过形式u的概率测度*n（dx）=ψn（x）dx，其中每个ψnis在满足rtψn（x）dx=1的[0，T]上充满非负函数。然后我们选择一个序列γn↓ 0即γnRTψn（x）dx→ 那么从（15）可以得出Jγn[ψn]→ J[u*].接下来，我们让Иnbe为JγninΦ的极小值。如有必要，通过传递到子序列，我们可以假设[0，T]上的概率度量un（dx）=Дn（x）dx弱收敛到[0，T]上的概率度量u。通过引理12，u到（0，T）的限制对于Lebesgue测度是绝对连续的，并且允许对称的完全单调密度。最后，我们认为u=u*. 实际上，根据（14）和Fatou引理，关于测度的弱收敛，Jis下半连续，以及henceJ【u】≤ lim信息↑∞J[un]≤ lim信息↑∞Jγn[Дn]≤ lim信息↑∞Jγn[ψn]=J[u*],所以最小值的唯一性得到u=u*.4.5示例8中公式的证明为了证明表达式（10），请首先注意ZN1.- |t型- s|+^1（s）ds=Rt（1- t+s）Д（s）ds+Rt+1t（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [0，1]，Rtt-1（1- t+s）Д（s）ds+Rt+1t（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [1，n- 1] ，Rtt-1（1- t+s）Д（s）ds+Rnt（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [n- 1，n]。将此标识区分两次，并将Д替换为Д，^1nyieldsγД（t）=2Д（t）- Д（t），γДi（t）=2Дi（t）- ^1i-1（t）- ^1i+1（t），i=2，n- 1，γхn（t）=2хn（t）- ^1n-1（t）。因此f：=（Д。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:30:00

，νn）求解以下n维常微分方程组[0，1]：f=γ2.-1.0 0-1 2 . . . 0 0...............0 0。2.-10 0 . . . -1 2f、设mn表示前面的三角矩阵，用λ表示，λnits为特征值，Q包含相应的特征向量作为列。Thenf（t）=QE（t）x+E（1- t） x个对于某些向量x，x∈ 注册护士。定义m：=dn/2e。设Im、Jm、0M分别表示m维单位矩阵、逆单位矩阵和零矩阵。Д的对称性意味着Дi（t）=Дn+1-i（1- t），和sohImmiQE（t）x+E（1- t） x个=hmJmiQ公司E（1- t） x+E（t）x, t型∈ [0，T]。（24）Sincesin（n+1- i） jπn+1= sin（jπ）cosijπn+1- cos（jπ）sinijπn+1= (-1） j+1英寸ijπn+1就我而言∈ {1，…，m}和j∈ {1，…，n}，它认为hmjmiq=hImmiQJ。注意，J-1=J。因此，当且仅当x=Jx时，满足（24）。设t=i∈ {1，…，n- 1} 。那么ν的对称性表明σ=γД（i）+Zii-1（1- i+s）Д（s）ds+Zi+1i（1+i）- s） Д（s）ds=γДi（1）+Zii-1（1- i+s）Дi（s）- i+1）ds+Zi+1i（1+i）- s） ^1n-i（1+i- s） ds=γИi（1）+Zs^1i（s）+Дn-一（s）ds。类似的参数产生σ=γИn（1）+RsИn（s）ds。一个简单的计算显示SRSF（s）ds=Q（E（1）- 一）（J）- 一） +B（E（1）- J）B-2、因此σ=γQE（1）+J+ KQ公司（E（1）- 一）（J）- 一） +B（E（1）- J）B-2.x、（25）（9）解的存在性和唯一性意味着（25）可以为x.ReferencesAlfonsi，a.和Schied，a.（2013）唯一解。通过奇异控制实现完全单调核的电容测度。暹罗控制与优化杂志，51（2）：1758-1780。Alfonsi，A.、Schied，A.和Slynko，A.（2012年）。订单弹性、价格操纵和正向投资组合问题。暹罗J.金融数学。，3:511–533.Almgren，R.（2003年）。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。应用数学金融学，10:1–18。伯曼，A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 23:30:03

和Plemmons，R.J.（1994）。数学科学中的非负矩阵。暹罗。Bernstein，S.（1914年）。关于变量réelle的函数分析。数学安。，75:449–468.Chen，Z.和Haykin，S.（2002）。关于正则化理论的不同方面。神经计算，14（12）：2791–2846。Choquet，G.（1954年）。能力理论。《傅立叶学院年鉴》，5:131–295。Gathereal，J.（2010）。无动态套利和市场影响。定量金融，10（7）：749–759。Gathereal，J.、Schied，A.和Slynko，A.（2012年）。瞬时线性价格影响和Fredholm积分方程。数学金融，22（3）：445–474。Hilbert，D.（1904年）。Grundzüge einer allgemeinen theory der linearen integragleichungen。（ZweiteMitteilung）。Nachr公司。通用电气公司。Wiss。哥廷根，数学-物理。吉隆坡。，1904:213–259.Horn，R.A.和Johnson，C.R.（2013）。矩阵分析。剑桥大学出版社。Huberman，G.和Stanzl，W.（2004）。价格操纵和准套利。《计量经济学》，72（4）：1247–1275。Milne Thomson，L.M.（2000年）。有限差分微积分。美国数学学会。Petrov，F.（2017）。与拉格朗日插值公式有关的不等式。MathOver流量贡献(http://mathover流量。net/q/263277，版本：2017年2月28日）。Pólya，G.（1949年）。关于特征函数的备注。《伯克利数理统计与概率研讨会论文集》编辑Neyman，J.，第115-123页。加利福尼亚大学出版社。Riesz，F.（1930年）。内格罗河畔。《伦敦数学学会杂志》，1（3）：162–168。Rockafellar，R.T.（1970年）。凸分析。普林斯顿数学系列，第28期。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，N.J.Schechter，S.（1959）。关于某些矩阵的求逆。数学表格和其他计算辅助工具，13（66）：73–77。Terrell，B.（2017）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝