资产价格受限信息下的局部风险最小化

2022-5-5 07:20:44

然而，由于一般来说，股票价格是公开的，我们假设代理人至少可以合理地观察到股票价格。在这个市场中，我们考虑一个欧式未定权益，其最终支付由给定概率空间上的HT可测平方可积随机变量ξ给出(Ohm, F、 P）。其中，通过鞅来研究股票的半有效性（HedP）和半有效性（HedP）是一个不完全的问题。局部风险最小化的二次套期保值方法将[15]中引入的风险最小化理论扩展到了半鞅情形，该理论是在实词概率测度P下，当价格过程是局部鞅时建立的。局部鞅情形主要是在完全信息和部分信息下发展起来的。受限信息环境中的一篇先驱论文由[37]表示，其中最优策略是通过可预测的双重预测构建的。最近，在[8]中，作者通过或有权益的正交分解描述了风险最小化策略，称为受限信息下的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition。[7]首次研究了部分信息下的局部风险最小化方法，由于部分信息下的后向s-tochastic微分方程的存在性和唯一性结果，作者描述了FT-可测包含索赔ξ的最优套期保值策略，通过[8]中引入的弱正交性的新概念，在严格信息的情况下，通过F"ollmer-Schweizer分解的合适版本。

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2022-5-5 07:20:47

更准确地说，他们证明了F"ollmer-Schweizer分解中关于股票价格过程的H-可预测积分2 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola给出了H-局部风险最小化策略；然而，它们没有提供任何操作方法来明确表示最优策略。在这种情况下，我们的贡献是，在投资者可获得的信息至少由股票价格给出的附加假设下，提供一个HT可测量或有类别的最佳策略的完整描述。这种情况的特点是过滤条件如下：FSt Ht Ft，t∈ [0，T]，其中fst是股票价格过程S直到时间T生成的σ-场。本文的关键点是，风险资产价格过程S满足关于toF的结构条件，见（2.1），根据上述条件，它是（H，P）-半鞅。事实上，由于agiven Continent cla im的收益始终被认为是一个可测量的随机变量，这使得人们可以将部分信息下的套期保值问题简化为完全信息下的等价问题，因为所有涉及的过程都是H适应的。我们将看到，S也满足了与H有关的结构条件，见第3.1点，然后可以通过将[12]的结果扩展到部分信息框架，即第4.7点来描述最优策略。有限信息下的渡边捷昭（Galtchouk Kunita Watanabe），对应于最小鞅测度，P*, 参见定义4.1，代表实现目标的基本工具。我们还研究了完全信息下的最优策略与不完全信息下的最优策略之间的关系。

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2022-5-5 07:20:50

在命题4.6中，假设股票价格过程具有连续的轨迹，然后在命题4.7中将结果归纳为不连续的情况。最后，我们考虑了一些受不可观测随机因素影响的马尔可夫模型。我们讨论了三个有意义的例子，在这些例子中，我们描述了关于F和H的基础价格过程的结构条件，并计算了当信息流与股票价格过程的自然过滤一致时的最优策略。在第一个例子中，S是一个几何扩散过程，其漂移取决于相关且不可观测的

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2022-5-5 07:20:53

例如，在[25,29,28]中可以找到连续部分可观测系统的结果，在[2,26,16,11,10,3]中分析纯跳跃观测情况，在[17,18,19,4,5,22,6]中研究混合型观测情况。请注意，上述模型在部分信息下的最佳策略需要了解关于P的过滤器动态*, 它提供了P*-给定信息流对资产价格的影响，

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2022-5-5 07:20:56

[39]更多细节：St=S+Mt+ZtαFudhMiu，t∈ [0，T]，（2.1）其中S∈ L（F，P），M={Mt，t∈ [0，T]}是一个R值平方可积（cádlág）（F，P）-鞅，从空开始，hmi={hM，Mit，T∈ [0，T]}表示其F-可预测的二次变异过程，αF={αFt，T∈ [0，T]}是一个R值的F-可预测过程，这样RTαFsdhMis<∞ P-a.s。。备注2.1。假设S是实词概率测度下的半鞅是很自然的。这是一个等价的概念，它的存在是等价的。此外，根据[1，第24页]和[31，定理1]中证明的结果，如果除此之外，S具有连续轨迹或cádlág路径，且以下条件成立：E“supt∈[0，T]St#<∞,然后，S满足（2.1）中给出的关于F的结构条件。无需进一步说明，所有随后出现的数量将以计算单位表示。随时∈ [0，T]，市场参与者可以通过交易来重新分配财富。我们假设他们对市场有丰富的知识，那么他们的选择不能基于完整的信息流。为了描述这一情景，我们考虑了过滤FS:={FSt，t∈ [0，T]}由风险资产价格过程生成，即FSt=σ{Su，0≤ U≤ T≤ T}，过滤H：={Ht，T∈ [0，T]}，表示可供贸易商使用的信息；这两种过滤都应该满足完整性和正确连续性的通常假设，而且由于资产价格信息已向公众公布，因此可以假设股票价格过程与过滤F和H相适应，即FST Ht Ft，t∈ [0，T]。

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2022-5-5 07:20:59

（2.2）条件（2.2）意味着代理人至少可以观察协商资产的市场价格。在这个市场中，我们考虑一个欧洲类型的未定权益，其最终支付由一个HT可测量的随机变量ξ给出|ξ|< ∞ （或等效地，ξ）∈ L（HT，P））。然后，我们的目标是通过局部风险最小化方法（参见[14]、[35]和[39]），研究在不完全市场驱动下，给定的包含索赔ξ的套期保值问题，其中对交易者可用的信息有限制。重要的是要强调，根据过滤条件（2.2），风险资产价格过程是（H，P）-半鞅。然后它允许对H进行半鞅分解，即St=S+Nt+Rt，t∈ [0，T]，（2.3）式中N={Nt，T∈ [0，T]}是一个N=0且R={Rt，T]的R值平方可积（H，P）-马氏ale∈ [0，T]}是R=0的有限变化的R值H可预测过程。此外，由于R是H-可预测的，因此该分解是唯一的（参见[33，第三章，Theo-rem 34]），并将被称为S的标准H-分解。空间L（F，P）表示所有F-可测随机变量H的集合，使得|H|=ROhm|H|dP<∞.4 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola另一方面，给定或有权益的支付总是被认为是一个可测量的随机变量。

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2022-5-5 07:21:02

我们观察到，所有涉及的过程都是H-适应的，这允许在部分信息下将Hedging问题减少到完全信息下的等效问题。现在，我们简要回顾了关于局部风险最小化方法（关于H）的主要概念和结果。由于我们研究了S的两种分解，在后半部分中，我们将M称为S的F-鞅部分，将N称为S的H-鞅部分。首先，我们介绍了（对冲）策略的定义，并假设了一些最低要求，使其可容许。定义2.2。空间Θ（H）（分别Θ（F））由所有R值H可预测（分别可预测）过程θ={θt，t组成∈ [0，T]}满足以下可积条件：EZTθudhNiu+ZT |θudRu |！< ∞响应。EZTθudhMiu+ZT |θu |αFu | dhMiu！< ∞.定义2。3.H-a容许策略是一对ψ=（θ，η），其中θ∈ Θ（H）和η={ηt，t∈ [0，T]}是一个r值H-适应过程，使得值过程V（ψ）={Vt（ψ），T∈ [0，T]}:=θS+η是右连续的平方可积的，即Vt（ψ）∈ L（Ht，P），每t∈ [0，T]。注意，θ和η分别描述了投资于风险资产和无风险资产的财富金额。对于任何H-容许策略ψ，我们可以定义相关的成本过程C（ψ）={Ct（ψ），t∈ [0，T]}这是由ct（ψ）=Vt（ψ）给出的热值H-适应过程-ZtθudSu，对于每t∈ [0，T]。在我们的框架下，市场是不完整的，那么通过自我融资策略完美复制给定的或有权益是不保证的。然而，即使H-容许策略ψ与VT（ψ）=ξ通常不会是自融资的，结果表明，好的H-容许策略在以下意义上仍然是平均自融资的。定义2.4。

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2022-5-5 07:21:05

如果相关成本过程C（ψ）是（H，P）-鞅，则H-容许策略ψ称为平均自融资。与[39]类似，我们引入了伪最优策略的概念。定义2.5。让ξ∈ L（HT，P）是或有债权。使VT（ψ）=ξP的H-容许策略ψ-a、当且仅当ψ是平均自融资且（H，P）-鞅C（ψ）与s的H-鞅部分N强正交时，s被称为ξ的H-伪最优，见（2.3）。我们跳过了[35]中给出的局部风险最小化策略的最初定义，因为它是一种技术性和微妙的策略。此外，在一维情况下，在半鞅的温和假设下，局部风险最小化和伪最优策略是一致的，参见[39，定理3.3]。使用伪最优策略的优点是，它们可以通过对包含索赔ξ的适当分解来表征。LRM根据资产价格的限制性信息5定义2.6。让ξ∈ L（HT，P）是欧式未定权益的支付。如果存在一个随机变量U，我们说ξ允许关于S和H的off"ollmer-Schweizer分解∈ L（H，P），a过程βH∈ Θ（H）和平方可积（H，P）-鞅a={At，t∈ [0，T]}与S，N的H-m可分解部分强正交，因此ξ=U+ZTβHtdSt+ATP- a、 s。。（2.4）备注2.7。例如[36,38,31,12,7]中给出了F"ollmer-Schweizer分解存在的一些充分条件。刻画H"ov-Weizer的最优分解使我们能够得到下面的结果。提议2.8。未定权益ξ∈ L（HT，P）允许一个唯一的H-伪最优策略ψ*= (θ*, η*) 带vt（ψ）*) = ξP- a、 s.当且仅当分解（2.4）成立。

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2022-5-5 07:21:08

策略ψ*由θ显式给出*t=βHt，t∈ [0，T]，最小成本（ψ）*) = U+At，t∈ [0，T]；它的值过程是vt（ψ）*) = E“ξ-ZTtβHudSuHt#=U+ZtβHudSu+At，t∈ [0，T]，所以η*t=Vt（ψ）*) - βHtSt，每t∈ [0，T]。证据有关证明，请参见[39，命题3.4]。鉴于[39，定理3.3]和命题2.8，找到给定目标ξ的F"ollmer-Schweizer分解很重要，因为它允许获得H-伪最优策略。问题是如何进行这样的分解。如果股票价格过程S是连续的，则可以通过切换到特定的martinga-le测度P来计算最优策略*, 所谓的最小鞅测度（简称MMM），并计算P下ξ关于S的Galtchouk Kunita Watanabe分解*. 然而，关于更一般的情况，即当S仅为cádlág时，即使在完全信息的情况下，也很少有结果，参见例[12]。据我们所知，仅在[7]中研究了受限信息下的半鞅市场模型。3.股票价格S关于HIn的结构条件在续集中，我们将使用符号Ox（分别，pX）来表示给定过程的P下H的可选（分别，可预测）投影ss X={Xt，t∈ [0，T]}E[|Xt |]<∞ 为了每个人∈ [0，T]，定义为唯一的H-可选（分别为H-可预测）过程，使得oxτ=E[Xτ| Hτ]P-a.s.{τ<∞} 对于每个H停止时间τ（分别为pXτ=E[Xτ| Hτ-] P-a.s。

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2022-5-5 07:21:11

关于{τ<∞} 对于每个H-可预测停止时间τ）。我们还用Bp表示R值cádlág F适应过程B={Bt，t的（H，P）-可预测对偶投影∈[0，T]}的可积变分，定义为唯一的R值H-可预测过程Bp，H={Bp，Ht，T∈ [0，T]}可积分变量，使得对于每一个R值H-可预测（有界）过程，E“ZT#tdBp，Ht#=E”ZT#tdBt#，6 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola∈ [0，T]}。有关更多详细信息，请参见[8]第4.1节。当风险资产价格过程S具有连续的TrAj时，S相对于过滤H的经典分解形式为（参见[27]或[30]）：St=S+Nt+ZtpαFudhNiu，t∈ [0，T]，其中进程N={Nt，T∈ [0，T]}给定byNt=Mt+Zt[αFu-pαFu]dhMiu，t∈ [0，T]是（H，P）-鞅。回想一下，M表示S在F，se（2.1）下的鞅部分。由于S的二次变化过程由[S]t=St定义- 2ZtSu-dSu，t∈ [0，T]，结果是FS适应，而一般而言，S的可预测四次变化取决于过滤的选择。显然，如果S是连续的，我们有HHNI=FhMi，这些sha-rp括号是可预测的。这里，符号shh·i和fh·i只是强调了一个事实，即可预测的二次变化是分别针对过滤系数H和F计算的。然而，如果它不产生歧义，我们将始终编写emi=FhMi和hN i=HhNi来简化符号。在跳跃的存在下，这些关系不再成立，因为CfHmdi 6=HhNdi，其中md和nd分别表示鞅M和N的不连续部分。

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2022-5-5 07:21:16

为了明确计算可预测的二次变量，我们引入了与S:m（dt，dz）=Xs:Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz），其中δ表示点a处的狄拉克测度。用νF（dt，dz）和νH（dt，dz）表示P下m（dt，dz）相对于F和H的可预测双投影（关于定义，请读者参考[23]或[24]）。然后，通过[24，C第二章，推论2.38]我们得到了马廷加莱斯M和N的以下表示：Mt=Mct+ZtZRz（M（dt，dz）- νF（dt，dz）），t∈ [0，T]，Nt=Nct+ZtZRz（m（dt，dz）- νH（dt，dz）），t∈ [0，T]，其中Mc和Nc分别表示M和N的连续部分，我们有hMci=hNci，这是之前观察到的。HencehMit=hMcit+ZtZRzνF（dt，dz），t∈ [0，T]，hNit=hMcit+ZtZRzνH（dt，dz），T∈ [0，T]。现在，我们可以根据过滤H命题3.1推导S的结构条件。假设E“ZTα-FudhMiu#∞. （3.1）资产价格受限信息下的LRM 7然后（F，P）-半鞅S满足关于H的st结构条件，即st=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，其中hNi与hmi的（H，P）-可预测du-al投影相吻合，即hN i=hMip，将R-值dh-可预测过程αH={αHt，T∈ [0，T]}由αHt:=d给出RtαFudhMiup、 HdhMip，Ht，t∈ [0，T]满足类似于（3.1）的可积条件。证据

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2022-5-5 07:21:18

通过[23，命题9.24]我们得到过程R={Rt，t∈ 分解（2.3）中的[0，T]}由byRt给出=ZtαFsdhMisp、 H，t∈ [0，T]。现在，通过应用[8，命题4.9]我们推断R对于hM ip是绝对连续的，因此，它可以写成Rt=RtαHsdhMip，Hs，t∈ [0，T]，其中过程α是RαFtdhMitp、关于hM-ip，H.为了证明hN i=hMip，我们注意到hMci=hNci，这是H-可预测的，然后我们只需要证明hNdi=hMdip，H，这是ztzrzνH（ds，dz）=ZtZRzνF（ds，dz）p、 H，t∈ [0，T]。为了达到这个目的，我们观察到，通过定义νF（dt，dz）和νH（dt，dz），对于每个H-可预测（有界）过程ν=∈ [0，T]}我们有“ZT~nsZRzνF（ds，dz）#=E”ZTZR#szm（ds，dz）#=E“ZTZR#szνH（ds，dz）#=E”ZT#sZRzνH（ds，dz）#。最后，还需要检查αh是否满足所需的可积性条件，即“ZT”α胡dhNiu#∞.因为对于每一个H-可预测过程，我们有E“ZT k uαHudhMiu#=E”ZT k uαHudhNiu#=E“ZT k u（αFudhMiu）p，H#=E“ZT k uαFudhMiu#，通过选择φ=α并应用柯西-施瓦兹不等式，我们有E“ZT”α胡dhNiu#≤ 中兴通讯α-FudhMiu#∞.8 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola我们通过考虑（F，P）-鞅的F-可预测二次变化相对于Lebesgue测度是绝对连续的情况来结束本节，即hM it=Rtasds，t∈ [0，T]，对于某些值F-可预测过程a={at，T∈ [0，T]}。在这种情况下，hN it=hM ip，Ht=Ztpasds和RtαFsdhMisp、 H=每个t的Rtp（αFsas）ds∈ [0，T]；因此αHt=p（αFtat）pat{pat6=0}，t∈ [0，T]。MoreoverNt=oMt+oZtαFuaudu-每t的Ztp（αFuau）du（3.2）∈ [0，T]。实际上，考虑S相对于（2.1）中给出的F的结构条件，并将其投影到Ht上，即St=oSt=S+oMt+oZtαFuaudu, T∈ [0，T]。

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2022-5-5 07:21:22

（3.3）另一方面，由于Rt=Rtp（αFuau）du，我们得到st=S+Nt+Ztp（αFuau）du，t∈ [0，T]，从而证明了（3.2）。备注3.2。特别地，（H，P）-鞅N={Nt，t∈ N=0的[0，T]}可以分解为三个（H，P）-鞅的总和，见下面的等式（3.4）。实际上，（3.3）可以写成asSt=S+oMt+Ztoα富奥du+mt，t∈ [0，T]，其中进程m={mt，T∈ [0，T]}由mt:=o给出ZtαFuaudu-Zto（αFuau）du，t∈ [0，T]。注意，processoM={oMt，t∈ [0，T]}，以及过程m，都是（H，P）-鞅（参见[2，第四章，定理T1]的证明）。设置为nowemt:=Zto（αFuau）du-Ztp（αFuau）du，t∈ [0，T]。然后，过程em={emt，t∈ [0，T]}原来是（H，P）-鞅。HenceNt=oMt+mt+emt（3.4）每t∈ [0，T]。在第5节讨论的模型中，我们将看到如何明确计算S相对于F和H的结构条件。LRM资产价格受限信息94。H-伪最优策略在完全信息的情况下，当半移动ale S有连续的轨迹时，在[39，定理3.5]中证明了存在H-伪最优策略，并且可以通过MMM P下或有权ξ对S的Galtchouk Kunita Watanabedecomposition得到*. 这主要是因为，在连续轨迹的情况下，MMM压力保持正交性，然后MMM P下或有权益的Galtchouk KunitaWatanabe分解*提供了历史概率测度P下未定权益的F"ollmer-Schweizer分解。显然，如果（F，P）半鞅S表现出跳跃，这不起作用。然而，同样在存在跳跃的情况下，MMM和包含声明ξ的Galtchouk KunitaWatanabe分解仍然是计算H-伪最优策略的关键工具，参见例如。

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2022-5-5 07:21:25

[12] 对于完全信息下的半鞅市场模型。在这里，我们提供了一个类似的标准来描述部分信息情况下的伪最优策略，见等式（4.13）。此外，在下一节中，我们将展示一些受不可观测随机因素影响的马尔可夫模型，其中这种计算会导致历史概率测度P和MMM P下的过滤问题*.为方便读者阅读，我们首先回顾了MMM关于过滤F.defition 4.1的定义。等价鞅测度P*对于具有平方可积密度Dp的S*如果P为S，则称为最小鞅测度*= 如果与S，M的F-鞅部分强正交的每个平方可积（F，P）-鞅也是（F，P*)-鞅。如果我们假设- αFtMt>0 P- a、美国。 T∈ [0，T]，和“exp（ZTαFtdhMcit+ZTαFtdhMdit）#∞, （4.1）其中mca和md分别表示（F，P）-鞅M和（2.1）中给出的αFis的连续部分和不连续部分，然后根据Ansel Stricker定理（见[1]），存在MMM P*对于S，这是由于密度过程L={Lt，t∈ [0，T]}给定的byLt:=dP*数据处理Ft=E-ZαFudMut、 t∈ [0，T]，（4.2），其中符号E（Y）指的是（F，P）-半鞅Y的Doléans-Dade指数。我们观察到条件（4.1）意味着非负（F，P）-局部鞅L确实是一个平方可积（F，P）-鞅，参见例[34]，并且一个lso（3.1）成立。现在，我们假设1- α-羟色胺Nt>0 P- a、美国。 T∈ [0，T]，和“exp（ZTα-羟色胺dhNcit+ZTα-羟色胺#∞,其中，正如我们所说，Nc和Nd分别表示（H，P）-鞅N的连续部分和非连续部分。然后与之前类似，我们定义了（HT，Ohm) 这样Lt:=dPdPHt=E-ZαHudNuT T∈ [0，T]。（4.3）10 C.塞西、K.科拉内里和A。

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2022-5-5 07:21:28

Cretarola我们注意到，Lis是一个平方可积（H，P）的ale和P，相当于过滤H上的P，提供了过滤H的MMM。我们现在可以证明以下结果。提议4.2。让ξ∈ L（HT，P）是一个或有权益，它允许F"ollmer-Schweizer分解关于H和S，以及ψ*= (θ*, η*) 是相关的H-伪最优策略。然后，最优值为v（ψ）*) = {Vt（ψ）*), T∈ [0，T]}由vt（ψ）给出*) = EP[ξ| Ht]，t∈ [0，T]，其中EP[·| Ht]表示根据P计算的关于htp的条件期望；此外，FirstComponen tθ*H-伪最优策略ψ的性质*由θ给出*t=dHhVm（ψ）*), N itdhnit，t∈ [0，T]，（4.4），其中Vm（ψ）*) 是过程V（ψ）的（H，P）-鞅部分吗*) 这里的尖括号是计算的。证据由于（4.3）中的Lgiven是一个平方可积（H，P）-鞅，通过Cauchy-Schwarz不等式，我们得到EP[|ξ|]=E|ξ| LT≤ Eξ2E/1（LT）1/2< ∞,也就是说ξ∈ L（HT，P）。考虑ξ相对于S和H的F"ollmer-Schweizer分解，见（2.4），并让ψ*= (θ*, η*) 是伪最优策略。然后，通过位置2.8，我们得到g e tθ*= β-最优值过程V（ψ）*) 满足vt（ψ）*) = U+ZtβHudSu+At，t∈ [0，T]。观察到RβHtdStis是一个（H，P）-鞅，而L是（H，P）-鞅（参见[14]中第3.14条的证明），通过定义与过滤H有关的MMM，A变成了一个（H，P）-鞅。

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2022-5-5 07:21:32

然后，最优值过程V（ψ）*) 是（H，P）-鞅，因此可以写成vt（ψ）*) = EP[VT（ψ）*)|Ht]=EP[ξ| Ht]，t∈ [0，T]。最后，为了计算H-伪最优策略，我们考虑过程V（ψ）的（H，P）-鞅部分*)给定byVmt（ψ）*) = U+ZtβHudNu+At，t∈ [0，T]。然后，将计算得到的S的H-鞅部分N的可预测二次协变量转化为account，得到dhhvm（ψ）*), N it=βHtdHhNit，t∈ [0，T]，因为A在P下与N强正交。然后，我们得到方程（4.4）。当库存价格过程具有连续的轨迹时，最优值过程可以用MMM P来刻画*关于下文推论4.4中证明的过滤。我们用一个有用的引理开始。引理4.3。假设S有连续的轨迹。然后是关于MMP过滤的限制*关于过滤F.证明。证明推迟到附录B。LRM资产价格受限信息11推论4.4。假设S有连续的轨迹ad letξ∈ L（HT，P）是关于H和S的F"ollmer-Schweizer分解和ψ的未定权益*= (θ*, η*) 是相关的H-伪最优策略。然后，最优值过程V（ψ）*) = {Vt（ψ）*), T∈ [0，T]}由vt（ψ）给出*) = EP*[ξ| Ht]，t∈ [0，T]，其中EP*[·| Ht]表示根据P计算的关于htp的条件期望*; 此外，FirstComponen tθ*H-伪最优策略ψ的性质*由θ给出*t=dHhV（ψ）*), 西德希特，t∈ [0，T]，（4.5），其中尖括号根据P.证明计算。

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可人4

2022-5-5 07:21:35

该证明由命题4.2得出，根据L e mma 4.3，最优值过程V（ψ*)可以写成vt（ψ）*) = EP[ξ| Ht]=EP*[ξ| Ht]，t∈ [0，T]。最后，由于S的有限变化率是连续的，我们得到了dHhNi=dHhSi和dHhVm（ψ*), N i=dHhV（ψ）*), 是的，这导致了（4.5）。显然，推论4.4提供了MMM P的H-伪最优策略βHin项的一个特征*关于F，当S有连续的轨迹时成立。当S显示跳跃时，不可能提供最优值过程的类似特征。这主要是因为，就过滤H而言，通常情况下，MMM P不符合P的限制*超过H。

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2022-5-5 07:21:38

然后，为了明确地计算H-伪最优策略，我们遵循[12]在完整信息c上下文中提出的方法。假设ξ允许ξ的F"ollmer-Schweizer分解，分别对应于S和F，即ξ=eU+ZTβFtdSt+eATP- a、（4.6）美国∈ L（F，P），βF∈ Θ（F）a ndeA={eAt，t∈ [0，T]}是一个平方可积的（F，P）-马氏体，其EA=0与P下S的F-马氏体部分M强正交。通过应用命题2.8和选择H=F，我们知道βF提供了完全信息下的伪最优策略。在续集中，我们对H-ps e udo最优策略β手进行了描述，并讨论了β手βF之间的关系*) （H，P*), 所有R值F-可预测（H-可预测）过程的集合δ={δt，t∈ [0，T]}满足以下可积条件：EP*“ZTδudhSiu#”∞.在截面上，我们假设ξ相对于P是平方可积的*.让我们观察s，因为s是P*-关于F和H的鞅，随机变量ξ允许Galtchouk Kunita Watanabe关于S的分解，以及P下的F和H的分解*,i、 e.ξ=eU+ZTeβFudSu+eGTP*- a、 s.，（4.7）ξ=U+ZTeβHudSu+GTP*- a、（4.8）12 C.塞西、K.科拉内里和a.克雷塔罗拉∈ L（F，P）*), U∈ L（H，P）*),eβF∈ Θ（F，P）*),eβH∈ Θ（H，P*),eG={eGt，t∈ [0，T]}和G={Gt，T]}∈[0，T]}是平方可积的（F，P*) 和（H，P*)-分别为EG=G=0的鞅，在P下与S强正交*.另一方面，如果S对P也是平方可积的*, P*-S关于F和H的鞅性质也确保我们可以应用[8，定理3.2]，它提供了关于P的平方可积随机变量在特定信息下的Galtchouk Kunita Watanabe分解*.

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2022-5-5 07:21:41

更准确地说，每个ξ∈ L（英尺，P*) 可以唯一地写为ξ=U′+ZTHHudSu+G′TP*- a、（4.9）其中U′∈ L（F，P）*), HH={HHt，t∈ [0，T]}∈ Θ（H，P*) G′={G′t，t∈ [0，T]}是平方可积的（F，P*)-P下G′=0弱正交S的鞅*, 根据[8]中给出的定义2.1。引理4.5。ξ假设∈ L（HT，P*) S对于P是平方可积的*. LeteβH∈ Θ（H，P*) 嗯∈ Θ（H，P*) 分别是分解（4.8）和（4.9）中的被积函数。然后HHT=eβHt，T∈ [0，T]。（4.10）证据。Létξ∈ L（HT，P*) 考虑分解（4.9）。通过在HTP下对HTP进行条件预期*, 我们得到ξ=EP*胡HTi+ZTHHudSu+EP*hG′THTi=bU+ZTHHudSu+bGT，（4.11）其中我们有setbU:=EP*胡HiandbGt:=EP*hG′tHti+EP*胡Hti- EP*胡嗨，每一个t∈ [0，T]，所以bg={bGt，T∈ [0，T]}是一个平方可积（H，P）*)-P下BG=0弱正交于S的鞅*. 的确，EP*胡Hti-EP*胡你好∈ L（Ht，P*), 每一个t∈ [0，T]在P下明显弱正交于S*由于S关于F和H的鞅性质。此外，对于每∈ Θ（H）我们有*“EP*hG′THTiZT#udSu#=EP*“EP*“G’TZT~nudSuHT##=EP*“G′TZT~nudSu#=0，因为在P下G′与S弱正交*. 此外，布∈ L（H，P）*) 由于BG是H适应的，所以在P下它也与S长正交*, 见[8，备注2.4]。然后，通过Galtchouk-Kunita-Wa-tanab组合的唯一性，ξ的表示（4.11）和（4.8）重合，尤其是这意味着（4.10）。以下命题提供了连续情况下策略β和β之间的关系。提案4.6。让ξ∈ L（HT，P*) 是一个未定权益，假设S是连续的，关于P是平方可积的*.

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2022-5-5 07:21:45

然后，H-伪最优策略βHand与F-伪最优策略βFholdsβHt=p之间的下列关系，*βFt，t∈ [0，T]。（4.12）这里是符号P，*D指（H，P*)-R值可积过程D={Dt，t的可预测投影∈[0，T]}。如果满足以下条件，我们说平方可积（F，P）-鞅O与平方可积（F，P）-鞅M弱正交：OTZT~ntdMt= 0，适用于所有流程∈ Θ（H）。LRM的资产价格信息受限。当S具有连续轨迹时，分解（4.6）（关于F）和（2.4）（关于H）与P下相应的Galtchouk Kunita Watanabe分解一致*, 见上文（4.7）和（4.8）。引理4.5意味着βH=hh，因为hSi是H-可预测的，这是因为在这种情况下，hSi=[S]，其FS通过定义进行调整，在P*, 通过应用[8，命题4.1]我们得到（4.12）。在一般情况下，即当S也表现出跳跃时，β-手-β-F之间的关系更加复杂。在[12]中，（4.7）和（4.6）中分别给出了β和βF之间的关系，根据P*. 类似的结果可用于推导（4.8）和（2.4）中分别给出的β和βH之间的关系，即P下与G相关的局部特征*.我们现在可以得出以下结果。提案4.7。让ξ∈ L（HT，P*) 假设S是关于toP的平方可积*. H-伪最优策略ψ的第一部分*= （βH，η）*) 由βHt=HHt+φHt，t给出∈ [0，T]。

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2022-5-5 07:21:48

（4.13）换句话说，βHt=d（RteβFudhSiu）p，H，*dhSip，H，*t+φHt=d（RtβFudhSiu）p，H，*dhSip，H，*t+φHt-d（Rtφfudhiu）p，H，*dhSip，H，*t、（4.14）每t∈ [0，T]，其中Dp，H，*表示（H，P*)-R值过程D={Dt，t的可预测对偶投影∈[0，T]}的有限变分，以及φF={φFt，T的过程∈ [0，T]}和φH={φHt，T∈ [0，T]}分别由φFt=dFh[eG，S]给出，-R·αFrdMritdFhSit，φHt=dHh[G，S]，-R·αHrdNritdHhSit（4.15）每t∈ [0，T]，其中尖括号根据P.证明计算。考虑引理4.5，通过[8，proposition 4.9]我们得到hht=eβHt=d（Rteβfudhiu）p，H，*dhSip，H，*t、 t∈ [0，T]。然后，通过应用[12，定理3.2]，我们得到了βH=eβH+φ，βF=eβF+φF，然后得到等式（4.14）。最后，在（4.15）中的表达式后面加上[12，第8页的备注]。在下一节中，我们将讨论一些马尔可夫模型，其中存在一个不可观测的随机因素，影响股票价格动态，我们将展示如何计算H-伪最优策略导致MMM P下的过滤问题*以及真实世界的概率测度Ep.5。马尔可夫模型在本节中，我们希望将我们的结果应用于一些马尔可夫模型。我们认为，风险定价过程的动态取决于一些不可观察的过程X，它可能代表驱动市场的其他市场、宏观经济因素或微观结构规则的活动。我们考虑一个欧式未定权益，其支付为ξ∈ L（HT，P）∩ L（HT，P*) 形式为ξ=H（T，ST），其中H（T，s）是确定性函数。我们通过设置vft:=EP来定义过程vft和vh*[H（T，ST）| Ft]，VHt:=EP*[H（T，ST）| Ht]，T∈ [0，T].14 C.塞西、K.科拉内里和A。

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2022-5-5 07:21:50

如果这对（X，S）是一个（F，P*)-马尔可夫过程，则存在一个可测函数g（t，x，s），使得vft=EP*[H（T，ST）|Ft]=g（T，Xt，ST）（5.1）每T∈ [0，T]和vht=EP*hEP*[H（T，ST）| Ft]|Hti=EP*[g（t，Xt，St）|Ht]，t∈ [0，T]。（5.2）我们用L表示*十、（F，P*)-对（X，S）的马尔可夫产生器。然后，通过[13，第4章，第1.7条]过程f（t，Xt，St）-ZtL*十、 Sf（u，Xu，Su）du，t∈ [0，T]是一个（F，P*)-算子L域中每个函数f（t，x，s）的鞅*十、 S，用D（L）表示*十、 S）。然后，下面的结果可以计算函数g（t，x，s）。引理5.1。设（t，x，s）∈ D（L*十、例如：*十、 Seg（t，X，s）=0，t∈ [0，T）eg（T，x，s）=H（T，s）。（5.3）然后eg（T，Xt，St）=g（T，Xt，St），每T∈ [0，T]，其中g（T，x，s）在（5.1）中给出。证据L e t eg（t，x，s）∈ D（L）*十、 S）b e（5.3）的溶液。然后程序ss{eg（t，Xt，St），t∈ [0，T]}是一个（F，P）*)-由于eg（T，XT，ST）=H（T，ST），利用鞅的性质，我们得到了eg（T，XT，ST）=EP*[H（T，ST）|英尺]。在计算H-伪最优策略时，我们将考虑这样一种情况，即交易方可用的信息由股票价格过程产生的过滤表示；换句话说，我们假设ht=FSt T∈ [0，T]。（5.4）我们定义了滤波器π（f）={πt（f），t∈ [0，T]}，通过为每个T设置∈ [0，T]πT（f）：=EP*[f（t，Xt，St）|FSt]对于任何可测函数f（t，x，s），使得*[f（t，Xt，St）|]∞, 每一个t∈ [0，T]。

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2022-5-5 07:21:53

众所周知，π（f）是一个具有cádlág轨迹的概率测度值过程（见[28]），它提供了P*-给定信息流的X的条件律。然后，在（5.2）中，过程vht可以用滤波器asVHt=πt（g）来表示 T∈ [0，T]，（5.5），其中函数g（T，x，s）是具有最终值（5.3）的问题的解。因此，我们可以描述ξ次部分信息aseβHt=HHt=dhπ（g），Si的Galtchouk Kunita Watanabe分解（4.8）中的积分β*,HtdhSi*,Ht，t∈ [0，T]，其中h i*,H表示相对于H和P计算的尖括号*.最后，通过命题4.7，我们得到H-伪最优策略的第一个分量由βHt=eβHt+φHt=dhπ（g），Si给出*,HtdhSi*,Ht+dHh[G，S]，-R·αHsdNsitdHhSit，t∈ [0，T]，（5.6），其中G是（H，P*)-ξ的Galtchouk-Kunita-Wata-nabe分解（4.8）中的鞅，在资产价格的限制信息下给出15Gt=-U+πt（g）-中兴通讯∈ [0，T]。在下文中，我们显式地计算了过程β，并提供了H-伪最优策略ψ*= （βH，η）*)通过描述φH.5.1的过程，分别建立了一个差异、纯跳跃和跳跃-差异市场模型。差异市场模式l。在第一个模型中，我们考虑的情况是，风险资产定价过程的动力学是一个几何差异过程，它取决于一个不可观测的

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2022-5-5 07:21:56

精确地说，我们假设这对（X，S）满足以下随机微分方程组（简写为SDE）：（dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X∈ R、 dSt=Stu（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dWt, S=S>0，（5.7），其中W={Wt，t∈ [0，T]}和W={Wt，T]}∈ [0，T]}是（F，P）-布朗运动，对于每T，hW，Wit=ρT∈ [0，T]，带ρ∈ [-1，1]，系数u（t，x），σ（t，x）>0，u（t，x，s）和σ（t，s）>0是其参数的R值可测量函数。为简单起见，我们取：u（t，Xt，St）<cand 0<c<σ（t，St）<c，T∈ [0，T]（5.8）对于某些常数，c，c，c。我们假设系统（5.7）存在唯一的强解，例如参见[21]。特别是，这意味着对（X，S）是（F，P）-马尔可夫过程。5.1.1. 股票价格S相对于F和H的结构条件为（5.8），对于每一个指数σ（t，St）>0∈ [0，T]，我们得到满足关于F的结构条件，即St=S+Mt+ZtαFudhMiu，T∈ [0，T]，其中mt=ZtSuσ（u，Su）dwua和αFt=u（T，Xt，St）Stσ（T，St），T∈ [0，T]。根据[27，引理2.2]，S也满足了过滤H的结构条件，即给定的S=S+Nt+ZtpαFudhNiu，t∈ [0，T]，其中pY通常表示给定（可积）过程Y在P下的H-可预测投影，N是满足dnt=Stσ（T，St）的（H，P）-鞅dWt+u（t，Xt，St）-pu（t，Xt，St）σ（t，St）dt.最后，我们定义了过程I={It，t∈ [0，T]}通过设置它：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）-每t的pu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du（5.9）∈ [0，T]。已知I是一个（H，P）-布朗运动，称为创新过程（见[20]和[25]）。然后，S满足SDEdSt=St（pu（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dIt），S=S>0.16 C.塞西，K.科拉内里和A.克雷塔罗拉5。1.2. H-伪最优策略。

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2022-5-5 07:21:59

注意，多亏了（5.8），Novikov条件“exp（ZTu（t，Xt，St）σ（t，St）dt）#∞因此，我们可以引入MMM P*对于密度由bydP给出的基础模型*数据处理FT=LT，其中进程L={LT，t∈ [0，T]}由Lt=E定义-Zu（u，Xu，Su）σ（u，Su）dWut每t∈ [0，T]。正如第5节开头所指出的，我们假设条件（5.4）来计算未定权益ξ=H（T，ST）的H-伪最优策略。注意，在（5.4）下*)-过程的可选投影可以写成π（D）。根据Girsanov定理，过程fw={fWt，t∈ [0，T]}，由fwt定义：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du，T∈ [0，T]是一个（F，P*)-布朗运动。另一方面，对于每个t，fWt=It+Ztpu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du∈ [0，T]，这意味着fw是（H，P*)-布朗运动，因为所有涉及的过程都是H-a适应的。然后，在MMP下*, 系统（5.7）可以写成（dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X∈ R、 dSt=Stσ（t，St）dfWt，S=S>0，（5.10），其中WandfW被证明是相关的（F，P*)-相关系数ρ的布朗运动。重要的是，由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以对（X，S）是lso和（F，P*)-马尔可夫过程（见[11，命题3.4]）。下面的结果提供了（F，P*)-马尔可夫对（X，S）的生成器。提议5.2。假设*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）dt#<∞. （5.11）那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ρσ（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs（5.12）对于每个函数f∈ C1,2,2b（[0，T]×R×R+）。此外，以下分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M1，ftm1，f={M1，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm1给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+Fsσ（t，St）StdfWt。

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2022-5-5 07:22:02

（5.13）证明推迟到附录B。我们记得，在连续的情况下，MMM P下ξ的Galtchouk Kunita Watanabe分解（4.8）*而F"ollmer-Schweizer分解（2.4）是一致的，因此过程VHSS提供了最优值过程V（ψ）*) . 然后，计算βHwe将应用（4.5）和（5.5），这需要过滤器的知识。对于部分可观测系统（5.10）中资产价格受限信息下的LRM，过滤器动态由附录A中的Kushner-Stratonovich方程（A.5）描述。然后，在假设（5.8）和（5.11）下∈ [0，T]我们得到βHt=dHhπ（g），SitdHhSit=Ht-（g）圣-σ（t，St）-)=ρπt-σG十、+ 圣-σ（t，St）-)tπ-Gs圣-σ（t，St）-), （5.14）其中，在（A.6）中定义了ht（g），选择f=g，g（t，x，s）是问题（5.3）的解决方案，其中*十、 S=LX，即（5.12）中给出的o。现在，我们检查等式（4.12）HOLDS；换句话说，βHCO与（H，P*)-βF的可预测投影，表示完全信息下伪最优策略ψF=（βF，ηF）的第一个分量。要推导βFwe的表达式，请考虑过程VF={VFt，t∈ [0，T]}由vft=EP给出*[H（T，ST）| Ft]，T∈ [0，T]得益于推论4.4，选择H=F；因此，βFt=dFhVF，SitdFhSitT∈ [0，T]。我们观察到vf与{g（t，Xt，St），t∈ [0，T]}，然后通过它的公式，我们得到vft=g（T，Xt，St）=ZtGxσ（u，Xu）dWu+Gsσ（u，Su）SudfWu, T∈ [0，T]，并显式计算尖括号sfhvf，Si和fhsi，我们在βFt=ρσ（T，Xt）中计算bta-)Gx+St-σ（t，St）-)GsSt-σ（t，St）-), T∈ [0，T]。最后，考虑到（5.14）和过滤器的定义，我们得出βH=p，*βF，其中p，*βf为（H，P*)-过程βF.5.2的可预测预测预测。一个纯粹的跳跃市场模型。

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2022-5-5 07:22:06

我们现在考虑这样一种情况，即风险资产价格动态由一个纯跳跃过程来描述，该过程依赖于一个不可观测的过程X，由一个与S具有共同跳跃时间的马尔可夫跳跃微分给出。更准确地说，dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)N（dt，dζ），S=S>0。（5.15）这里N（dt，dζ），（t，ζ）∈ [0，T]×Z，带Z R、是具有非负强度η（dζ）dt的（F，P）-泊松随机测度。定义在可测量空间（Z，Z）上的度量η（dζ）为σ-有限。相应的（F，P）补偿随机测度由en（dt，dζ）=N（dt，dζ）给出- η（dζ）dt。这个过程是（F，P）-布朗运动，与N（dt，dζ）和u（t，x）无关，σ（t，x）>0，K（ζ；t，x）和K（ζ；t，x，s）是它们的参数的R值可测函数，因此系统（5.15）存在唯一的强解。特别是，这意味着对（X，S）是一个（F，P）-马尔可夫过程。注意，如果集合{ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6=0和K（ζ；t，Xt）-) 6=0}不是空的，S和X有相同的循环次数。例如，这一特征可以描述同时影响股价和影响股价的隐藏状态变量的灾难性事件。18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe ass ume thatK（ζ；t，Xt，St）<C，（t，ζ）∈ [0，T]×Z，（5.16）对于某些常数c，为了保证S的非负性，我们还假设K（ζ；T，Xt，St）+1>0 P-a.S。。为了描述S的跳跃，我们引入了整数值随机测量em（dt，dz）=Xr：Sr6=0δ{r，Sr}（dt，dz），其中δa通常是点a处的狄拉克量度。注意，以下等式保持sztzrz m（du，dz）=ZtSu-ZZK（ζ；u，许）-, 苏-)N（du，dζ），一般来说，对于任何可测函数γ：R→ R、我们得到ztzrγ（z）m（ds，dz）=ztzzzdu（ζ）γ（Su-K（ζ；u，许）-, 苏-)) N（du，dζ），其中Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}.

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