然后，（F，P）-半鞅满足关于F的s结构条件，即St=s+Mt+ZtαFsdhMis，t∈ [0，T]，其中αFt=RZK（ζ；T，Xt，St）η（dζ）St-RZK（ζ；t，Xt，St）η（dζ）=RRzνFt（dz）RRzνFt（dz），t∈ [0，T]。资产价格受限信息下的LRM 19请注意，由于（5.17）成立，那么αFis定义良好，EhRT（αFt）dhMiti<∞.此外，S还允许标准H分解，它由T=S+Ztz给出m（杜，dz）- νHu（dz）du+ZtzνHu（dz）du，t∈ [0，T]，其中νHt（dt，dz）=νHt（dz）dt表示m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影，并满足关于H的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，T∈ [0，T]，其中NT=ZtZRzm（杜，dz）- νHu（dz）du, αHt=RRzνHt（dz）RRzνHt（dz），t∈ [0，T].5.2.2。H-伪最优策略。来介绍MMP*对于基本的纯跳跃市场模型，我们还假设如果t是S的跳跃时间，那么αFtMt=K（ζ；t，Xt）-, 圣-)RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）<1和“exp（ZT（αFt）dhMit）#=E”exp（ZTRZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#∞. （5.18）备注5.4。值得强调的是，（5.18）的一个有效条件是E“exp（ZTη（Dt）Dt）#∞.事实上，E“exp（ZTRZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#≤ exp（ZTη（Dt）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#=E“exp（ZTη（dt）dt）#。因此，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义可测概率的变化*数据处理FT=LT，其中过程L由t=E给出-ZαFrdMrt=E-Z-ZZαFrSr-K（ζ；r，Xr）-, Sr-)eN（dr，dζ）t、 每个t∈ [0，T]。在MMP下*, 这对（X，S）的动力学变得dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ），S=S>0，（5.19），其中*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt和η*t（dζ）dt=1.- αFtSt-K（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt20 C.CECI、K.COLANERI和A。

克雷塔罗莱（F，P*)-随机测度N（dt，dζ）的可预测对偶投影。在续集中，我们将假设以下可积条件成立：EP*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）-)|η*t（dζ）dt#<∞. （5.20）由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以对（X，S）仍然是（f，P）*)-马尔可夫过程（见[11，命题3.4]），其生成元由以下命题推导而来。提议5.5。假设（5.20）安第普*“ZTη*t（Dt）+η*t（Dt）dt#<∞, （5.21）式中Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-) 6=0}和Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}. 那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（5.22）式中f（ζ；t，x，s）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s）。此外，下面的半鞅分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M2，ft，其中M2，f={M2，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm2给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）。（5.23）证明推迟到附录B。在e之前，我们假设（5.4），因此我们可以通过（5.6）计算H-伪最优策略。考虑到附录A中（A.7）给出的纯跳跃模型的滤波器动态，在假设（5.20）和（5.21）下，我们得到βHt=eβHt+φHt，t∈ [0，T]，其中eβHt=dhπ（g），Si*,HtdhSi*,Ht=RRz wg（t，z）νH，*t（dz）RRzνH，*t（dz），t∈ [0，T]，φHt=dHhPr≤·Gr高级，-R·αHrdNritdHhSit=αHtRRzneβHtz- wg（t，z）oνHt（dz）RRzνHt（dz），t∈ [0，T]。

（5.24）这里g（t，x，s）是（5.3）与L的解*十、 S=LX，沙wg（t，z）由wg（t，z）=dπt给出-（gνF，*)dνH，*t（z）- tπ-（g） +dπt-（Lg）dνH，*t（z），t∈ [0，T]。此外，νF，*t（dz）dt=（1）- αFtz）νFt（dz）dt和νH，*t（dz）=（1）- αHtz）νHt（dz）dt分别表示（F，P*)可预测和（H，P*)-随机测度m（dt，dz）和[3，命题2.2]的可预测对偶投影，*t（dz）=πt-（νF，*（dz））。让我们注意到，命题A.2中定义的运算符考虑了S和X之间的公共跳时。值得注意的是，（5.24）中出现的测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测的对偶投影νHt（dz）dt可以用现实世界概率测度P下的滤波器来表示。事实上，对于每一个t，集eπt（f）：=LRM在资产价格的限制信息21E[f（t，Xt，St）|Ht]下∈ [0，T]。那么，νHt（dz）=eπt-（νF（dz））（再次参见[3，提案N2.2]以获取证据）。因此，在存在跳跃的情况下，我们还需要了解P下的滤波器动力学。附录a.5.3中的（a.8）给出了由eπ满足的Kushner-Stratonovich方程。市场模式上的跳跃式差异。在马尔可夫模型概述的最后一部分，我们希望讨论跳跃扩散市场模型的适用性，其中风险y资产价格动态由几何跳跃扩散描述，其中通常，X表示影响S动态的不可观察随机因素，并由与S具有共同跳跃时间的马尔可夫跳跃扩散建模。

准确地说，我们考虑以下SDE系统：dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-u（t，Xt，St）dt+σ（t，St）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)N（dt，dζ）, S=S>0，（5.25），其中N（dt，dζ）是（F，P）-泊松随机测度，平均测度ηt（dζ）dt根据之前的模型，Wand Ware（F，P）-独立于N（dt，dζ）的布朗运动，使得对于每个t∈ [0，T]，带ρ∈ [-1，1]，系数u（t，x），u（t，x，s），σ（t，x）>0，σ（t，x，s）>0，K（ζ；t，x）和K（ζ；t，x，s）是它们的参数的r值可测函数，因此系统（5.25）存在唯一的强解，例如参见[32]。特别是，这意味着对（X，S）是（F，P）-马尔可夫过程。为了保证S的非负性，我们假设K（ζ；t，Xt，St）+1>0 P-a.S.对于每一个（t，ζ）∈ [0，T]×Z.对于隐式，我们也取u（T，Xt，St）<c，0<c<σ（T，St）<c和K（ζ；T，Xt，St）<c，T∈ [0，T]，ζ∈ Z、 （5.26）对于一些常数c，c，c，c。最后，根据前面的模型，我们得出“ZTη（Dt）Dt#<∞. (5.27)5.3.1. 股票价格S相对于F和H的结构条件。

S关于F的正则F-分解由t=S+Mt+Γt，t给出∈ [0，T]，其中M是平方e可积（F，P）-ma rtingaledMt=Stσ（T，St）dWt+St-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)eN（dt，dζ）=Stσ（t，St）dWt+ZRz（m（dt，dz）- νFt（dz）dt）和Γ是以下R值非减损F-可预测有限变化过程dΓt=St-u（t，Xt）- , 圣- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）dt=圣- u（t，Xt）- , 圣- ) +ZRzνFt（dz）dt。我们注意到，相对于勒贝斯盖测度，M的F-可预测四次变化是绝对连续的，即dhM it=atdt，AT=St-σ（t，St）-) +ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）= 圣-σ（t，St）-) +ZRzνFt（dz），t∈ [0，T]。关于半鞅，然后关于半鞅，分别是∈ [0，T]22 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLAandSt=S+Nt+ZtαHsdhNis，T∈ [0，T]，其中αFt=u（T，Xt-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）St-σ（t，St）-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）=圣-u（t，Xt）-, 圣-) +RRzνFt（dz）St-σ（t，St）-) +RRzνFt（dz），t∈ [0，T]，（5.28）和dnt=Stσ（T，St）dIt+ZRz（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），αHt=St-pu（t，Xt）-, 圣-) +RRzνHt（dz）St-σ（t，St）-) +RRzνHt（dz），每t∈ [0，T]，其中I是（H，P*)-（5.9）中定义的布朗运动。请注意，在S动力学系数的假设下，αFis得到了很好的定义，并且因为（5.27）也有EhRT（αFt）dhMiti<∞ 满满的。5.3.2. H-伪最优策略。来介绍MMP*对于基础市场模型，我们假设在S的每个跳跃时间，以下条件αFtMt=K（ζ；t，Xt）-, 圣-)u（t，Xt）-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）σ（t，St-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）<1保持，即exp（ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit）#∞. （5.29）备注5.6。（5.29）的有效条件由E“exp（ZTη（Dt）Dt）#<∞.

实际上，E“exp（ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit）#≤ E“exp（ZT）u（t，Xt）-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）σ（t，St）-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）dt）#≤ E“exp（ZT）u（t，Xt）-, 圣-)σ（t，St）-)+ η（Dt）dt）#≤ 经验ccTE“exp（ZTη（Dt）Dt）#然后，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义概率测量p的变化*数据处理FT=Lt，其中过程L由Lt=E给出-ZαFrdMrtwith t∈ [0，T]。在MMP下*, 这对（X，S）的动力学可以写成dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0，其中W，W*是（F，P）*)-布朗运动*t=Wt+ZtSuαFuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]，资产价格限制信息下的LRM，其相关系数为ρ，eN*（dt，dζ）是P下的补偿泊松测度*吉文·拜恩*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt和η*t（dζ）=（1- 每t的αFtStK（t，Xt，St））η（dζ）∈ [0，T]，带有α鳍（5.28）。我们假设*“ZT|u（t，Xt）|+σ（t，Xt）+η*t（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η*t（dζ）dt#<∞, （5.30）EP*“ZTη*t（Dt）Dt#∞, （5.31）式中Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-) 6=0}和Dt={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6= 0}.同样，由于概率测度的变化是马尔可夫的，所以（X，S）对仍然是（F，P）*)-马尔可夫过程，我们给出了它的P*-生成以下结果。提议5.7。假设（5.30），（5.31）。那么，这对（X，S）就是（F，P）*)-生成函数为x，Sf（t，x，s）的马尔可夫过程=Ft+u（t，x）Fx+σ（t，x）Fx+ρσ（t，x）σ（t，s）sF十、s+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（5.32）式中f（ζ；t，x，s）=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s）。此外，下面的半鞅分解成立：f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M3，ft，其中M3，f={M3，ft，t∈ [0，T]}是（F，P）*)-由dm3给出的鞅，ft=Fxσ（t，Xt）dWt+Fsσ（t，St）StdW*t+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）。

（5.33）证明推迟到附录B。最后，我们给出了一个假设（5.4），如前几例所示。因此，考虑到附录A第A.2位（A.1）中给出的跳跃扩散情况下过滤器的动力学，在（5.26）、（5.30）、（5.31）下，H-伪最优策略可以写成βHt=eβHt+φHt，t∈ [0，T]式中，eβHt=St-σ（t，St）-)ht-（g） +RRz wg（t，z）νH，*t（dz）街-σ（t，St）-) +RRzνH，*t（dz），t∈ [0，T]，φHt=αHtRRzeβHtz- wg（t，z）νHt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνHt（dz），t∈ [0，T]。在附录r的（A.2）和（A.3）中分别定义了ht（g）和wg（t，z），选择f=g，g（t，x，s）是（5.3）与L的解*十、 S=LX，S.Acknowledgets 24 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola作者感谢不知名的审稿人的有用意见和建议，这些意见和建议导致了论文的显著改进。作者还希望感谢印度国立阿尔塔材料研究所（INdAM）的《材料分析》和《材料应用的可能性》（GNAMPA）提供的财政支持。参考文献[1]J.P.安塞尔和C.斯特里克。最小限度的存在。在J.Azéma、P.A.Meyer和M.Yor的《Séminaire deProbabilitéS XXVII》编辑中，《数学课堂讲稿》第1557卷，第22-29页。施普林格柏林海德堡，1993年。[2] P.布雷莫德。点进程、队列和强度。在点进程和队列中，Springer系列统计。斯普林格纽约，1981年。[3] C.塞西。部分观测高频数据模型的风险最小化套期保值。《随机学：可能性和随机过程国际期刊》，78（1）：13–31，2006。[4] C.塞西。跳跃市场模型在限制信息下的中间消费效用最大化。《国际理论与应用金融杂志》，15（6）：24-582012。[5] C.塞西和K.科拉内里。

跳跃扩散观测的非线性滤波。《应用概率的进展》，44（3）：678–701，2012年。[6] C.塞西和K.科拉内里。跳跃扩散观测的非线性滤波Zakai方程：存在性和唯一性。《应用数学与优化》，69（1）：47–822014。[7] C·塞西、A·C·雷塔罗拉和F·鲁索。部分信息和财务应用下的BSDEs。《随机过程及其应用》，124（8）：2628–2653，2014。[8] C.塞西、A.克雷塔罗拉和F.R.苏联。受限信息下的GKW表示定理。风险最小化的应用。《随机与动力学》，14（2）：1350019（23页），2014年。[9] C.C.eci和A.Gerardi。用计数观测值对马尔可夫跳跃过程进行滤波。《应用数学与优化》，42（1）：1-182000。[10] C.塞西和A.杰拉尔迪。部分信息下的高频数据模型：过滤方法。《国际理论和应用金融杂志》，9（4）：2006年1月至22日。[11] C.塞西和A.杰拉尔迪。部分信息下几何标记点过程的定价：熵方法。《国际理论与应用金融杂志》，12（2）：179-2072009。[12] T.Choulli、N.Vandaele和M.Vanmaele。F"oll-mer-Schweizer分解：比较和描述。随机过程及其应用，120（6）：853–87220010。[13] S.N.Ethier和T.G.Kurtz。马尔可夫过程：特征和收敛。威利概率统计系列。约翰·威利父子公司，2008年。[14] H.F"ollmer和M.Schweizer。不完全信息下的未定权益套期保值。在M。H.A.Davis和R.J.El liott，《应用随机分析》编辑，第389-414页。Gordon和Break，1991年。[15] H·F"ollmer和D·桑德曼。非冗余或有权益的对冲。《W.Hildenbrand和A.Mas Colell，编辑，对数学经济学的贡献》，第203-233页。

北霍兰德，1986年。[16] R.弗雷和W.伦格加尔迪耶。针对高频数据的波动率估计的非线性滤波方法。《国际理论与应用金融杂志》，4（2）：199-2102001。[17] R.弗雷和W.伦格加尔迪耶。不完全信息下的信用衍生品定价：非线性过滤方法。《金融与随机》，14（4）：495-5262010。[18] R.Frey和T.Schmidt。通过非线性过滤的创新方法对信用衍生品进行定价和对冲。《金融与随机》，16（1）：105–133，2012年。[19] T.弗雷、R.施密特和L.徐。关于具有扩散和点过程观测的Zakai方程的Galerkin近似。暹罗数值分析杂志，51（4）：2036-20622013。[20] G.Fujisaki、M.Kall ianpur和H.Kunita。非线性滤波问题的随机微分方程。大阪数学杂志，9（1）：19-401972。[21]J.I.吉曼和A.V.斯科罗霍德。随机微分方程。斯普林格·维拉格，1972年。[22]B.格里格里奥尼斯和R.米库列维奇。跳跃随机过程的非线性滤波方程。D.Crisan和B.Rozovsky主编的《牛津非线性滤波手册》，第95-128页。牛津大学出版社，2011年。[23]J.贾科德。《计算随机性与鞅问题》，数学课堂讲稿第714卷。斯普林格，1979年。[24]J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理。斯普林格，第二版，2003年。[25]G.Kallianpur。随机滤波理论。斯普林格，1980年。[26]G.Kliemann、W.H.Koch和F.Marchetti。关于计数过程观测的过滤问题的非正规化解决方案。IEEE信息论学报，36（6）：1415–14251990。[27]D.科尔曼、熊M.和叶Z。过滤变化和均值-方差对冲。

《随机与随机报告》，79:539–5622007。LRM资产价格受限信息25[28]T.G.Kurtz和D.Ocone。非线性滤波中条件分布的独特特征。《概率年鉴》，16:80-1071988。[29]R.S.Lipster和A.Shiryaev。随机过程统计I：一般理论，数学应用第5卷。SpringServerLag，第二次修订和扩展版，2000年。[30]M.Mania和M.Santacroce。部分信息下的指数效用最大化。《金融与随机》，14（3）：419-4482010。[31]P.莫纳特和C.斯特里克。F"oll-mer-Schweizer分解和一般索赔的均值-方差对冲。《概率年鉴》，23（2）：605-6281995。[32]B.Oksendal和A.Sulem。跳跃差异的应用随机控制。施普林格·维拉格柏林海德堡，第二版，2005年。[33]P.普罗特。随机积分和微分方程，数学应用第21卷。Springer Verlag BerlinHeidelberg，第三版印刷，第二版，2005年。[34]P.Protter和K.Shimbo。无套利和一般半鞅。马尔可夫过程和相关主题：福托马斯·G·库尔茨的Festschrift，4:267–283，2008。[35]M.Schweizer。半鞅的期权套期保值。随机过程及其应用，37（2）：339–363，1991。[36]M.Schweizer。用随机积分逼近随机变量。《概率年鉴》，22（3）：1536-15751994。[37]M.Schweizer。限制信息下的风险最小化对冲策略。《数学金融》，4（4）：327–342，1994年。[38]M.Schweizer。关于极小鞅测度和F"ollmer-Schweizer分解。随机分析与应用，13（5）：573–5991995。[39]M.Schweizer。通过二次套期保值方法的导游。在E.Jouini，J.Cvitanic和M。

Musiela，编辑，期权定价，利率和风险管理，第538-574页。剑桥大学出版社，剑桥，2001年。附录A.过滤方程式我们记得，过滤器与MMM P有关*由πt（f）=EP给出*[f（t，Xt，St）|FSt]，t∈ [0，T]对于任何可测函数f（T，x，s），使得*[f（t，Xt，St）|]∞, 每一个t∈ [0，T]。在这里，我们将推导跳跃扩散模型的过滤动力学，并推导连续模型和纯跳跃模型的等式，作为特殊情况。因此，使用第5.3节的相同符号，我们假设在P*是由dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt+ZZK（ζ；t，Xt）-)N（dt，dζ），X=X∈ RdSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0。在S.5和S.5中，我们假设*. 我们记得，过程S的跳跃部分可以用（5.2）中定义的整数值dAndom测度m（dt，dz）来描述。我们用νF表示，*t（dz）dt-its（F，P*)-可预测的双重投影，按νH，*t（dz）dt-its（H，P*)-可预测的双重投影和以下关系保持νH，*t（dz）dt=πt-（νF，*（dz）感谢[3，提案2.2]。备注A.1。鞅表示定理（见[5，命题2.6]）是推导过滤方程的重要工具。特别地，它指出每（H，P*)-局部鞅可以表示为mt=M+ZthudI*t+ZtZRw（u，z）m（杜，dz）- νH，*u（dz）dt, T∈ [0，T]，对于合适的H-适应和H-可预测过程H={ht，T∈ [0，T]}和w（·，z）={w（T，z），T∈ [0，T]}对于everyz∈ R、 s atisfyingZTht+ZR | w（t，z）|νH，*t（dz）dt<∞ P*- a、 s.26 C.塞西、K.科拉内里和a。

克雷塔罗拉我在哪里*= {I*t、 t∈ [0，T]}是（H，P*)-由i给出的布朗运动*t=W*t+Ztb（u，Xu，Su）σ（u，Su）- πubσ杜特∈ [0，T]带b（T，Xt，St）=ZZK（ζ；T，Xt，St）η*每t的t（dζ）∈ [0，T]。以下结果提供了过滤器的动态。命题A.2（过滤方程）。在（5.26）、（5.30）和（5.31）项下，过滤器为每个函数f（t，x，s）求解库什纳斯特拉托诺维奇方程∈ C1,2,2b（[0，T]×R×R+），由πT（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dI给出*s+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）- νH，*s（dz）ds），（A.1）每t∈ [0，T]，其中ht（f）=ρπTσF十、+ Stσ（t，St）πtFs, （A.2）wf（t，z）=dπt-（fνf，*)dνH，*t（z）- tπ-（f） +dπt-（Lf）dνH，*t（z），（A.3）LX，Sis在（5.32）和lf（t，x，s，A）中给出：=RdA（t，x，s）{f（t，x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s）））- f（t，x，s）}η*t（dζ），对于每一个A∈ B（R），其中dA（t，x，s）={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}。证据我们考虑半鞅Z={Zt=f（t，Xt，St），t∈ [0，T]}w软管分解由zt=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（u，Xu，Su）du+M3，ft，T给出∈ [0，T]，（A.4），其中LX，沙M3，票价分别在（5.32）和（5.33）中定义。通过对Htin（A.4）的条件期望，我们得到πt（f）=π（f）+Ztπu（LX，Sf）du+fMft，t∈ [0，T]，其中fmft=o，*M3，英尺+o，*ZtLX，Sf（u，徐，苏）杜-佐，*（LX，Sf（u，Xu，Su））每t∈ [0，T]，安藤，*是（H，P*)-给定过程Y和Fmfis an（H，P）的可选投影*)-鞅。由于备注A.1，存在一个H适应过程H（f）和一个H可预测过程WFEP*“ZThs（f）+ZR | wf（s，z）|νH，*s（dz）ds#<∞andfMft=πt（f）- π（f）-Ztπu（LX，Sf）du=Zthu（f）dI*u+ZtZRwf（u，z）m（杜，dz）- νH，*u（dz）du.为了确定过程h（f），我们定义了过程fw*= {fW*t、 t∈ [0，T]}byfW*t:=I*t+Ztπu（b）σ（u，Su）du，t∈ [0，T]。然后我们计算，*ZfW*安藤，*ZfW*单独和自*是H适应的，平衡的，*ZfW*=哦，*ZfW*持有。

根据它的产品规则，我们已经（ZtfW）*t） =ZtdfW*t+fW*tLX，Sf（t，Xt，St）dt+Fxσ（t，Xt）ρdt+F资产价格限制信息下的sStσ（t，St）dt+dMt，LRM，其中M:=ZfW*sdM3，fsis是一个（F，P*)-局部鞅。我们现在为M:eτn=T引入一个H-局部化序列∧ 信息：|fW*t|≥ 不，n≥ 1.如果我们把条件期望带到Ht上，在{t≤ eτn}我们开始了，*（ZtfW）*t） =o，*fW*tLX，Sf（t，Xt，St）+Fx（t）σ（t，Xt）ρ+FsStσ（t，St）dt+dfMt，其中fm是an（H，P*)-局部鞅。另一方面，*ZtfW*（t）=fW*到*LX，Sf（t，Xt，St）+ht（f）dt+dMt，其中misan（H，P*)-局部鞅。平心而论，*ZfW*=哦，*ZfW*, 有界变差项必须相等，这意味着ht（f）=ρπtσF十、+ Stσ（t，St）πtFs关于{t≤ eτn}。现在，当n→ ∞, eτngoes到tp-a.s.因此过程ht（f）对每个过程都是完全定义的∈ [0，T]。根据[5]中定理3.2的证明的相同论点，我们得到了wf（t，z）的表达式。备注A.3。[5]和[6]对系统（5.25）给出的成对信号观测分析了滤波方程解的强唯一性。这些结果可用于推导适当的条件，以确保在MMM P下过滤方程（A.1）的解具有强唯一性*. 在[6]中，作者分析了用u型标准化滤波器求解的Zakai方程的强唯一性，以及Kus-hner-Stratonovich方程与路径唯一性的关系。特别是，当信号过程X是一个在可数空间中取值的纯跳跃过程时，可以递归求解Zakai方程（参见[6]和[9]中的第5.3节），并且在假设X在有限空间中取值或X和S只有公共跳跃时间的情况下，路径唯一性成立。备注A.4（差异市场模型）。

如果这对（X，S）的动力学由系统（5.10）给出，我们可以观察到W*t=Wt+Ztu（u，Xu，Su）σ（u，Su）du=fWt，t∈ [0，T]，然后我*t=It，在（5.9）中给出，每t∈ [0，T]。因此，在（5.8）和（5.11）下，过滤器的动态变为πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dIs（A.5）∈ [0，T]对于每个函数f∈ C1,2,2（[0，T]×R×R+），其中ht（f）=ρπTσF十、+ Stσ（t，St）πtFs, T∈ [0，T]。（A.6）备注A.5（纯跳跃市场模型）。对于系统（5.19）所描述的纯跳跃市场模型，在（5.16）、（5.20）和（5.21）下，过滤动力学由πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）给出- νH，*s（dz）ds，（A.7）其中wf（t，z）=dπt-（fνf，*)dνH，*t（z）- tπ- （f）+dπt-（Lf）dνH，*t（z）。在[10]中，使用线性化方法，通过Feynman-Kac公式获得滤波器的显式表示。这种表示法可以为滤波器的计算提供递归算法。28 C.塞西、K.科拉内里和A.克雷塔罗拉。1.现实世界概率测度下的过滤方程。正如第5.2节所指出的，为了推导H-伪最优策略，我们还需要计算νHt（dz）dt，这是整数值随机测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影。

我们观察到，νHt（dz）dt有一个表示eπ的表达式，它是真实世界概率测度P下的滤波器，由νHt（dz）=eπt给出-（νF（dz））。根据（5.26）和（5.30），（5.31），通过扩展[5]中的结果，滤波器π解出以下Kushner-Strato-novich方程πt（f）=f（0，x，S）+ZteπS（LX，Sf）ds+ZtZRewf（S，z）（m（ds，dz）- eπs-（νF（dz））+Ztehs（F）dIs（A.8）用于每个函数F∈ C1,2（[0，T]×R×R+）和每T∈ [0，T]，其中ewf（T，z）=deπT-（νFf）deπt-（νF）（z）- eπt-（f） +deπt-（eLf）deπt-（νF）（z），t∈ [0，T]eht（f）=eπT（uf）- eπt（u）eπt（f）σ（t，St）+ρeπtσF十、+ Stσ（t，St）eπtFs, T∈ [0，T]，I是（5.9）定义的创新过程。运算器LX，sde注意到P下（X，S）的生成元，它由X，Sf（t，X，S）给出=Ft+Fxu（t，x）+Fssu（t，x，s）+Fxσ（t，x）+Fssσ（t，s）+F十、ssσ（t，x）σ（t，s）ρ+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ）f（ζ；t，x，s）=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s），对于每一个A∈ B（R），运算符，由elf（t，x，s，A）定义：=ZdA（t，x，s）f（ζ；t，x，s）η（dζ），其中dA（t，x，s）={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}将信号X和观测S之间的公共跳变时间考虑在内。备注A.6（纯跳跃市场模型）。显然，我们可以将纯跳跃模型的滤波方程作为方程（a.8）的一种特殊情况来推导，现在我们有eh（f）=0和lx，Sf（t，x，s）=Ft+Fxu（t，x）+Fxσ（t，x）+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ）。附录B引理4.3的一些证明。我们用（BF，CF，νF）表示S的（F，P）-可预测特征（更多细节请参见[24]），用（BH，CH，νH）表示S的（H，P）-可预测特征。假设S有连续的轨迹，则νF=νH=0。

然后通过bft=ZtαFudhMiuCFt:=hSit=hMit，t给出了s的（F，P）-可预测特性∈ [0，T]，以及S areBHt=ZtαHudhNiuCHt:=hSit=hNit，T的（H，P）-可预测特征∈ [0，T]。LRM在资产价格的限制信息下，我们还记得，在连续轨迹的情况下，我们还得到αH=p（αF），和hSi=hM i=hNi。这意味着S的（H，P）-可预测特性也可以写成bht=ZtpαFudhMiuCHt:=hSit=hMit。利用S的定义，我们得到了它- S=Mt+ZtαFudhMiu=Nt+ZtαHudhNiu，t∈ [0，T]。因此，通过Girsanov定理，我们得到S有（F，P*)-可预测的特征（0，hMi，0），由于hMi=hNi，这也是（H，P*)-S的可预测特征。同样，根据Girsanov定理，S具有（H，P）-可预测特征由（0，hNi，0）决定。因此自（H，P*)-S的可预测特征与其（H，P）-可预测特征和P | H=P一致*|H、 通过[24，第3章，第4.31节]我们可以得出，P的限制*超过H。命题5.2的证明。观察概率的变化*数据处理自αFt=αF（t，Xt）以来的FTis马尔可夫-, 圣-), 对于每个t∈ [0，T]（见[11，命题3.4]）。那么这对（X，S）仍然是（F，P）*)-马尔科夫过程。计算发电机L*十、 我们把它的公式应用到函数f（t，Xt，St），我们得到f（t，Xt，St）=f（0，X，S）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M1，ft，其中LX是（5.12）中给出的算子，M1是（5.13）中给出的过程。此外，在（5.11）过程M1下，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞, EP*“ZTσ（t，St）StFsdt#<∞.命题5.5的证明。根据命题5.2证明中的相同论证，我们得到了f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M2，ft，其中LX是（5.22）中的算子，M2是（5.23）中的算子。

注意，在条件（5.20）和（5.21）下，过程M2，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞,安第普*“ZTZZ|f（ζ；t，Xt）-, 圣-)|η*t（dζ）dt#≤ 2kfkEP*“ZT{η*t（Dt）+η*t（Dt）}Dt#∞,其中kf k=sup{f（t，x，s）|（t，x，s）∈ R+×R×R+}。命题5.7的证明。与命题5.2的证明类似，我们得到了f（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（r，Xr，Sr）dr+M3，ft，30 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，其中LX是（5.32）中的算子，而M3，fis是（5.33）中给出的算子。此外，在条件（5.30）、（5.31）下，过程M3，fis an（F，P*)-鞅；indeedEP*“ZTσ（t，Xt）F十、dt#<∞, EP*“ZTσ（t，St）StFsdt#<∞安第普*“ZTZZ|f（ζ；t，Xt）-, 圣-)|η*t（dζ）dt#≤ 2kf啤酒*“ZT{η*t（Dt）+η*t（Dt）}Dt#∞.Claudia Ceci，意大利佩斯卡拉州I-65127，42岁，意大利皮达罗市切蒂佩斯卡拉“G.D\'Annunzio”大学经济系。电子邮件地址：c。ceci@unich.itKatia Colaneri，意大利佩斯卡拉I-6 5127，42岁，Viale Pindaro，切蒂佩斯卡拉“G.D\'Annunzio”大学经济系。电子邮件地址：katia。colaneri@unich.itAlessandra克雷塔罗拉，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，意大利佩鲁贾I-06123，维亚瓦尼泰利1号。电子邮件地址：亚历山德拉。cretarola@unipg.it