为了找到鞍点，我们从分析aHamilton Jacobi Bellman-Isaacs方程（2.10）minπ开始∈Rmaxη∈RLπ，ηV（x，y，r，t）=0，即Vt+rxVx+？（r）Vr+？（r）Vrr+minπ∈Rmaxη∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η）Vx+ηyVy+’σ（r）ηVr+πσ（r）Vxx+ηyVy+πσ（r，t）ηyVxy+πσ（r，t）’σ（r）Vxr+η′σ（r）yVy r= 我们期望V（x，y，r，t）的形式为（2.11）V（x，y，r，t）=H（r，t）x+G（r，t）y，其中H（r，t）=-1和G（r，T）=-1.然后我们有xht+yGt+rxH+？（r）（xHr+yGr）+σ（r）（xHrr+yGrr）+minπ∈Rmaxη∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η）H+ηyG+’σ（r）（ηx+πσ（r，t））Hr+2η′σ（r）yGr= 0.η上的最大值在η处达到*（π） ，其中η*(π) = -σ（r，t）H2yGπ-“∑（r）（xHr+2yGr）2yG。η*（π） 我们的方程的形式为xht+yGt+rxH+？（r）（xHr+yGr）+σ（r）（xHrr+yGrr）+minπ∈Rπσ（r，t）（λ（r）+η*（π） ）H+（η*（π） yG（2.12）+σ（r）（η*（π） x+πσ（r，t））Hr+2η*（π） “∑（r）yGr= 0.6 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-Zawiszaπ上的最小值在（2.13）π处达到*= 2yGλ（r）σ（r，t）H+？（r）σ（r）σ（r，t）HrH-GrGH- x′σ（r）σ（r，t）HrH。值得注意的是，（2.14）η*(π*) = -λ（r）- 所以鞍点候选者（2.15）（π*, η*(π*))如下所示*= 2yGλ（r）σ（r，t）H+？（r）σ（r）σ（r，t）HrH-GrGH- x′σ（r）σ（r，t）HrH，η*(π*) = -λ（r）- “∑（r）HrH。现在，我们将（2.13）代入（2.12），得到公式x的最终方程Ht+rH+（？（r）- \'\'σ（r）λ（r））Hr+\'\'σ（r）Hrr- \'\'σ（r）HrH+YGt+°σ（r）Grr+λ（r）+βσ（r）HrHG+u（r）- 2′σ（r）λ（r）- 2′σ（r）HrHGr= 0.因此，与其求解完全非线性方程，不如为两个半线性方程组（2.16）Ht+rH+（？（r））找到经典（C2,1类）唯一解- \'\'σ（r）λ（r））Hr+\'\'σ（r）Hrr- \'\'σ（r）HrH=0，终端条件H（r，T）=-1和GT+？（r）Grr+λ（r）+βσ（r）HrHG+u（r）- 2′σ（r）λ（r）- 2′σ（r）HrHGr=0，（2.17），终端条件G（r，T）=-1.我们将在第3节回到这两个方程。现在我们需要证明两个有用的引理。引理2.3。

假设函数V∈ C2,2,2,1（R×（0+∞)x R×[0，T））通过（2.11）i将唯一解推广到（2.10）*, η*(π*)) ∈ Ax，y，r，t×M由（2.15）确定。定理2.2的n个条件（2.5）-（2.8）是满足的。单调偏好下的投资组合选择证明。我们已经知道maxη∈RLπ*,ηV（x，y，r，t）=0，Lπ*,η*V（x，y，r，t）=0和V（x，y，r，t）=-十、- y、 其中包括（2.5）、（2.7）和（2.8）。为了证明（2.6），可以使用（2.12）和（2.14）并简单地验证minπ∈RLπ，η*(π*)V（x，y，r，t）=0。第二个引理将有助于在第4节中证明主要结果。引理2.4。假设初始条件（x，y，r，t）固定，鞍点（π*, η*(π*)) ∈ 由（2.15）、H（r，t）和G（r，t）给出的Ax，y，r，t×Mis分别是方程（2.16）和（2.17）的经典唯一解。然后2g（rt，t）Yη*t=2G（r，t）y+H（r，t）x- H（rt，t）Xπ*TT∈ [t，t]。证据

仅证明这一点是足够的H（rt，t）Xπ*T= D-2G（rt，t）Yη*T.首先，请注意，对于（2.15）给出的鞍点，方程组（2.4）是of thermdxπ*t=2Yη*甘油三酯λ（rt）H+？（rt）λ（rt）HrH-GrGH- Xπ*tλ（rt）／σ（rt）HrH+rtXπ*Tdt+2Yη*甘油三酯λ（rt）H+？（rt）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）HrHdWtanddYη*t=-λ（rt）+βσ（rt）HrHYη*tdWt。使用（2.16）我们可以验证DH（rt，t）=-rtH（rt，t）＋σ（rt）λ（rt）Hr（rt，t）＋σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）dt+°σ（rt）Hr（rt，t）dWt。此外，我们已经H（rt，t）Xπ*T= H（rt，t）dXπ*t+Xπ*tdH（rt，t）+dH（rt，t）dXπ*t、 8 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-ZAWISZAso将适当的动力学代入上述方程，我们得到d（H（rt，t）Xπ*t） =2Yη*t（“λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）-\'\'σ（rt）λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）Gr（rt，t）dt（2.18）+λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）- \'\'σ（rt）Gr（rt，t）dWt.现在使用（2.17）我们可以验证dg（rt，t）=2′σ（rt）λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）Gr（rt，t）-λ（rt）+σ（rt）Hr（rt，t）H（rt，t）G（rt，t）#dt+？（rt）Gr（rt，t）dWt。此外，我们已经-2G（rt，t）Yη*T= -2G（rt，t）dYη*T- 2Yη*tdG（rt，t）- 2dG（rt，t）dYη*t、 将适当的动力学代入上述方程，我们得到（2.18）的右边。备注2.5。注意这个过程（Yη*t、 t≤ T≤ T）是不可直接观察到的，但幸运的是，上述引理确保了对于固定的初始条件（x，y，r，T），而不是马尔可夫π*= 2Yη*甘油三酯λ（rt）σ（rt，t）H+？（rt）σ（rt）σ（rt，t）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）σ（rt，t）HrH，我们可以使用^π*=2G（r，t）y+H（r，t）x- H（rt，t）Xπ*T*λ（rt）σ（rt，t）H+？（rt）σ（rt）σ（rt，t）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）σ（rt，t）HrH。3.

所得方程的经典光滑解在本节中，我们给出了一组假设，以确保方程（2.16）和（2.17）在适当的终端条件下存在经典（C2,1类）唯一解。用边界条件H（r，T）求解方程（2.16）=-1以下是ansatz ismadeH（r，t）=-Γa（r，t），其中Γ（r，t）=1且Γ（r，t）>0，以获得Γt+raΓ+（？（r）- \'σ（r）λ（r））Γr+\'σ（r）Γrr+（a）- 1) - A.\'\'σ（r）ΓrΓ=0。单调偏好下的投资组合选择9请注意，对于a=-我们有（3.1）Γt- rΓ+（\'u（r）- \'σ（r）λ（r））Γr+\'σ（r）Γrr=0。然而，进行另一次替换是很方便的。也就是说，如果我们替换Γ（r，t）=e-r（T）-t） F（r，t），其中F（r，t）=1且F（r，t）>0，我们得到以下等式（3.2）Ft+σ（r）（T）- （t）- （T）- t） （°u（r）- “∑（r）λ（r））F+u（r）- \'\'σ（r）λ（r）- σ（r）（T）- （t）Fr+？（r）Fr=0。现在我们要证明方程（3.2）的经典（C2，1类）唯一解的存在性，其边界条件F（r，T）=1。备注3.1。根据弗里德曼[7]第6章定理4.6，可以得出结论，如果¨u，¨σ和¨σ·λ是Lipschitz连续且有界的，¨σ>ε>0，则存在一个经典的（类C2,1（R×[0，T））∩ C（R×[0，T]）方程（3.2）有界的唯一解F（另见弗里德曼[7]第6章估计4.12）。众所周知，这样的解满足费曼-卡茨表示：F（r，t）=EPr，t经验ZTtφ（rs，s）ds,式中φ（r，t）：=“σ（r）（t- （t）- （T）- t） （°u（r）- ∑（r）λ（r）），（~Ws，t）≤ s≤ T）是关于P和d的布朗运动=u（μrs）- \'\'σ（~rs）λ（~rs）- σ（rs）（T）- （t）ds+？＠σ（＠rs）d＠Ws，＠rt=r。此外，请注意φ是有界的Lipschitz连续函数。这意味着F是有界的，并且有界远离零。为了证明F的其他性质，我们还需要两个引理。引理3.2。

假设这个过程（ht，0≤ T≤ T）具有确定的起始点，由dh（T）=ζ（T）dt+ζ（T）d＠Wt给出，其中ζ和ζ是有界随机过程，且（＠Wt，0≤ T≤ T）是关于P的布朗运动。ThenEPsup0≤T≤特克斯Zth(s)ds< +∞.10 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZAProof。请注意，d（th（t））=（h（t）+tζ（t））dt+tζ（t）dWt，可以重写为th（t）=Zth（s）ds+Ztsζ（s）ds+Ztsζ（s）dWs。这意味着sup0≤T≤特克斯Zth(s)ds= EPsup0≤T≤特克斯th（t）-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs.此外，我们还有SUP0≤T≤特克斯th（t）-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs≤ sup0≤T≤T{h（T）<0}expth（t）-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs+ sup0≤T≤T{h（T）≥0}expth（t）-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs≤ sup0≤T≤特克斯-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs+ sup0≤T≤特克斯T h（T）-Ztsζ（s）ds-Ztsζ（s）dWs.由于上确界下的两个过程都是具有有界系数的线性方程的解，因此证明就到此为止。引理3.3。假设‘u’、‘σ’和‘σ·λ’是Lipsch i tz连续且有界的，’σ>ε>0且F是方程（3.2）的有界解。然后，F的第一个和第二个r-导数是有界的。证据要得到Frit的界值，就足以估计Lipschitz常数。首先，请注意，对于r∈ (-∞, a] La>0的存在使得（3.3）|er- 呃|≤ 拉塞尔- r |。其次，利用（3.3）和从备注3.1函数φ（r，t）有界和Lipschitz连续的事实，我们得到了| F（r，t）的L>0的存在性- F（\'r，t）|≤勒普ZTt|rs（r，t）- ~rs（`r，t）|ds≤它是EP监督≤s≤T|rs（r，T）- §rs（`r，t）|,单调偏好下的投资组合选择11，其中从符号约定出发，我们写了EPf（~rs（r，t））而不是EPr，tf（~rs）。现在，众所周知（Pham[16]中的定理1.3.16），存在CT>0这样的EP监督≤s≤T|rs（r，T）- §rs（`r，t）|≤ CT | r- “r |”。为了证明Frrwe第一次估计F的有界性，并利用F是方程（3.2）的解这一事实。

让我们回忆一下Γ（r，t）=e-r（T）-t） F（r，t）是（3.1）的解。假设t≤ T是固定且定义的函数v（r，k）=Γ（r，k+T- t） ，k∈ [0，t]。很简单，v是（3.1）的有界解，但终端条件v（r，t）=1。引理3.2确保Feynman-Kac表示是可能的，即v（r，0）=ePr，0经验-Ztrsds= E-rtEPr，0经验-Ztg（s）ds,其中（~Ws，0≤ s≤ t） 是一个关于P的布朗运动，dRS=（？）- \'σ（~rs）λ（~rs））dt+\'σ（~rs）dWs，~r=randg（t）=Zt（\'u（~rs）- σ（rs）λ（rs））ds+Ztσ（rs）d-Ws。现在，注意f（r，T- t） =ertv（r，0），所以在区分F和t之后，我们得到| Ft（r，t- t） |≤ EPr，0|g（t）| exp-Ztg（s）ds.差异可能是因为Pr，0sup0≤T≤T|g（t）| exp-Ztg（s）ds≤EPr，0sup0≤T≤T | g（T）|+EPr，0sup0≤T≤特克斯-2Ztg（s）ds从引理3.2中我们知道ePr，0sup0≤T≤特克斯-2Ztg（s）ds< +∞.12 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ ZAWISZANow我们准备考虑第二个等式（2.17）。注意（3.4）HrH=-ΓrΓ=（T- （t）-FrFand方程（2.17）的形式如下（3.5）Gt+？（r）Grr+λ（r）+βσ（r）（T）- （t）-FrFG+u（r）- 2′σ（r）λ（r）- 2′σ（r）（T）- （t）-FrFGr=0。备注3.4。在引理3.3的条件下，我们得到了（3.4）的有界性和Lipschitz连续性。这确保了存在经典（类C2,1（R×[0，T]）∩ 满足Feynman-Kac表示的（3.5）的唯一解：G（R，T）=E^Pr，T经验ZTtψ（^rs，s）ds,式中ψ（r，t）=λ（r）+βσ（r）（T）- （t）-FrF,（^Ws，t）≤ s≤ T）是关于^P和d^rs的布朗运动=u（^rs）- 2′σ（^rs）λ（^rs）- 2′σ（^rs）（T）- （s）-FrFds+？（^rs）d^Ws，^rt=r。最后值得注意的是，由于ψ在r（一致wrt.t）中是Lipschitz连续且有界的，那么函数G是有界的，远离零有界的，并且G的第一个r-导数是有界的（见引理3.3的证明）。最终解定理4.1。

支持“σ>ε>0”和“u”，“σ”和“σ·λ”是Lipschitz连续且有界的。然后，对于每个初始条件（x，y，r，t），都存在一个马氏点（4.1）（π）*, η*) ∈ 对于问题（2.3），使得π*= 2Yη*甘油三酯λ（rt）σ（rt，t）H+？（rt）σ（rt）σ（rt，t）HrH-GrGH- Xπ*t′σ（rt）σ（rt，t）HrH，η*= -λ（rt）- 其中G和H分别是（2.16）和（2.17）的经典唯一解。单调偏好下的投资组合选择。从备注3.1、引理3.3和备注3.4可以看出，（2.16）和（2.17）存在一个经典的唯一解，它们是有界的，远离零有界的，并且第一个r-导数有界。如果我们设置V（x，y，r，t）：=H（r，t）x+G（r，t）y，那么有必要检查函数V和马尔可夫鞍点（4.1）是否满足验证定理的所有条件。由于计算（2.10）-（2.17）和引理2.3，条件（2.5）-（2.8）已完全满足。现在，我们只需要证明（π）*, η*) 属于集合Ax，y，r，t×M，条件（2.9）成立，所以我们必须证明，对于任何η∈ M（4.2）Eηx，y，r，t监督≤s≤TV（Xπ）*s、 Yη*s、 rs，s）< +∞和（4.3）Eηx，y，r，t监督≤s≤T | Xπ*s|< +∞.首先，让我们提醒一下Yη*这是方程（4.4）dYη的解*t=-λ（rt）+βσ（rt）HrHYη*tdWt。由于G是有界的，并且（4.4）是一个具有有界系数的线性随机微分方程，我们有（4.5）Eηx，y，r，t监督≤s≤TG（rs，s）Yη*s≤九月dQηdPrEPx，y，r，tsupt≤s≤TG（rs，s）Yη*s< +∞ η ∈ 用H（rt，t）Xπ证明了这一点*我们使用引理2.4。

也就是说，让我们提醒一下，对于固定的初始条件（x，y，r，t），我们有（4.6）H（rt，t）xπ*t=2G（r，t）y+H（r，t）x- 2G（rt，t）Yη*t、 因为G和Yη*t满足（4.5），则ηx，y，r，t监督≤s≤TH（rs，s）Xη*s< +∞ η ∈ 曼德条件（4.2）成立。为了证明（4.3），我们首先证明了对于任何确定性连续函数w（t）和任何η∈ 我们有ηr，t监督≤T≤Tew（t）rt< +∞,其中（rt，t）≤ T≤ T）是一个随机过程，由drt=\'u（rt）dt+\'∑（rt）dWt给出。14 JAKUB TRYBU LA和DARIUSZ Zawiszat很容易看出，RT=r+Ztt′u（rs）ds+Ztt′σ（rs）dw，因此，由于这是一个具有有界系数的线性随机方程的解，我们有（4.7）EPr，t监督≤T≤泰特< +∞.现在，请注意这一点≤T≤Tew（t）rt≤ 监督≤T≤T{rt<0}ew（T）rt+supt≤T≤T{rt≥0}ew（t）rt≤ 监督≤T≤T{rt<0}ewrt+supt≤T≤T{rt≥0}ewrt≤ 监督≤T≤技术支持≤T≤Tewrt，其中w=薄荷≤T≤Tw（t）和w=最大值≤T≤Tw（t）。因此，利用H¨older不等式和（4.7），我们得到ηr，t监督≤T≤Tew（t）rt≤九月dQηdPsEPr，t监督≤T≤Te2w（t）rt< +∞ η ∈ 最后，如果我们把方程（4.6）除以H（rt，t），记住H（r，t）=-E-（T）-t） rF（r，t），F有界，G和Yη*t满足（4.5）和ηr，t监督≤T≤Te-（T）-t） rt< +∞ η ∈ M、 我们得到了（4.3）的支持。5.示例-Vasicek模型在本节中，我们解决Vasicek模型中的问题（2.3）。也就是说，我们假设σ（t）>0是一个连续函数，α>0，λ，\'θ，\'σ∈ R和λ（R）=λ，σ（R，t）=σ（t），‘u（R）=’θ- αr，\'σ（r）=\'σ。由于¨u是无界的，因此解不是定理4.1的直接结果，需要单独证明。单调偏好下的投资组合选择定理5.1。假设初始条件（x，y，r，t）是固定的。

在Vasicek模型中，鞍点（5.1）（π）*, η*(π*)) ∈ Ax，y，r，t×m如下π*=2Yη*tσ（t）（λ+σB（t））A（t）A（t）e-B（t）rt- Xπ*t′σ（t）B（t），η*(π*) = -λ - “∑B（t），其中B（t）=α1.- E-α（T）-（t）,（5.2）A（t）=- 经验ZTtθ - σλ乙(s)-\'\'σB（s）ds,（5.3）A（t）=- 经验ZTt（λ+°σB（s））ds.（5.4）证据。设（5.5）H（r，t）=A（t）eB（t）r，其中A（t）=-1，B（T）=0。那么方程（2.16）的形式是a′（t）+rA（t）[B′（t）- αB（t）+1]+θ - σλA（t）B（t）-\'\'σA（t）B（t）=0。如果B（t）看起来像（5.2），那么我们得到A′（t）+A（t）θ - σλB（t）-\'\'σB（t）= 所以A（t）的形式是（5.3）。现在使用（5.5），我们可以将方程（2.17）改写为（5.6）Gt+\'σGrr+（λ+\'σB（t））G+θ - αr- 2σλ - 2′σB（t）Gr=0。设（5.7）G（r，t）=A（t），其中A（t）=-1.然后方程（5.6）看起来像asA′（t）+A（t）（λ+’σB（t））=0，所以A（t）的形式是（5.4）。最后，由（5.5）和（5.7）分别给出的H和G的候选鞍点（2.15）看起来是（5.1）。现在我们可以设置v（x，y，r，t）：=H（r，t）x+G（r，t）y，16 JAKUB-TRYBU-LA和DARIUSZ-zawisza，并检查（π*, η*(π*)) 属于Ax，y，r，t×M集合，条件（2.9）成立。考虑到H和G的形式以及H（rt，t）Xπ*t=2G（r，t）y+H（r，t）x- 2G（rt，t）Yη*t、 只需证明对于任何确定性连续函数w（t）和任何η∈ 我们有ηr，t监督≤T≤Tew（t）rt< +∞,其中（rt，t）≤ T≤ T）是一个随机过程，由drt=（\'）θ给出- αrt）dt+¨σdWt。如果我们定义δt:=eαtrt，那么dδt=\'θeαtdt+\'σeαtdWt，所以δt=eαtrt+Ztt\'θeαsds+Ztt\'σeαsdws，注意（5.8）EPr，t监督≤T≤Teδt< +∞.使用与定理4.1证明相同的方法，我们得到（5.9）supt≤T≤Tew（t）δt≤ 监督≤T≤Tewδt+supt≤T≤Tewδt，其中w=mint≤T≤Tw（t）和w=最大值≤T≤Tw（t）。最后，考虑（5.8）和（5.9），我们得到ηr，t监督≤T≤Tew（t）rt= Eηr，t监督≤T≤特克斯w（t）e-αtδt≤九月dQηdPsEPr，t监督≤T≤Texp{2w（t）e-αtδt}< +∞ η ∈ M单调偏好下的投资组合选择[1]T。

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