我们已经证明，多项式展开式是由线性常微分方程的递归系统唯一确定的，通过遵循适当的求值顺序，可以很容易地逐个求解。我们研究了欧式期权定价的可能应用，以及带有终端责任的指数效用优化，每一个都提供了几个说明性的数值例子。对于未来的工作，我们将对现实模型进行严格的数学论证和更深入的数值研究。例如，Col等人（2013）[8]提出的一类多因素Heston模型，作为一种良好的依赖结构，可以应用当前的模式。研究与可违约证券控制问题相关的BSDE，例如Pham（2010）[30]给出的BSDE，看起来也很有趣。引理2的证明，我们按照赫斯顿模型进行。

基于动力学（4.5）和（4.6），假设多项式解的正向动力学由dv[n]t=nXm=0mXk=0Xm给出-ktYkt（m）- k） !！K（˙v[n]m-k、 k（t）+I（2）≤k） k（k）- 1)σtv[n]m-k+2，k-2（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k-1（t）+αtv[n]m-k、 k（t）+我≤N-1,1≤k） kσtv[n]m-k+2，k-1（t）+2ρtσtαtv[n]m-k+1，k（t）+αtv[n]m-k、 k+1（t）+我≤N-2)σtv[n]m-k+2，k（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k+1（t）+αtv[n]m-k、 k+2（t）)dt+nXm=1m-1Xk=0v[n]m-k、 k（t）Xm-K-1tYkt（m）- K- 1)!KdXt+nXm=1mXk=1v[n]m-k、 k（t）Xm-ktYk-1吨（米）-k） !！（k）- 1)!dYt（A.1），表示（4.13）和（4.14）中给出的控制变量。另一方面，BSDE（4.9）的第n阶部分isV[n]t=XnTn！nxH（0）-ZTtZ[n]sdXs-ZTtΓ[n]sdYs-ZTt（βσ（s）n-1Xl=0lxb（0）l！XlsZ[n-l] s+2n-2Xl=0lxb（0）l！XlsYsZ[n-L-1] s+n-3Xl=0lxb（0）l！XlsYsZ[n-L-3] s！+κsYsΓ[n]-1] s）ds（A.2）用（4.13）和（4.14）中的控制变量替换控制变量，得到一个sv[n]t=XnTn！nxH（0）-ZTtZ[n]sdXs-ZTtΓ[n]sdYs-nXm=0mXk=0ZTtXm-ksYks（m）-k） !！K×（I（m）≤N-1,1≤k） kκsv[n-1] m-k、 k（s）+I（m）≤N-1） βσsm-kXl=0摄氏度（米）-k、 l）lxb（0）×v[n]-l] m-K-l+1，k（s）+I（1）≤k） 2k v[n-L-1] m-K-l+1，k-1（s）+I（2）≤k） k（k）- 1） v[n]-L-2] m-K-l+1，k-2(s))ds。（A.3）通过比较漂移项中的系数，可以得到线性常微分方程（4.15）。如果前面的SDE（A.1）很好地定义了（4.15）的解，那么很明显，它给出了BSDE（A.2）的一个解。由于常微分方程的线性，多项式解的唯一性是明确的。B引理3的证明（5.9）和（5.10）的动力学给出了假定多项式（5.16）asdV[n]t=nXm=0mXk=0Xm的正向SDE-ktYkt（m）- k） !！K（˙v[n]m-k、 k（t）+I（m）≤N-1,1≤k） kσtv[n]m-k+2，k-1（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k（t）+αtv[n]m-k、 k+1（t）+我≤N-2)σtv[n]m-k+2，k（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k+1（t）+αtv[n]m-k、 k+2（t）)dt+nXm=1m-1Xk=0v[n]m-k、 k（t）Xm-K-1tYkt（m）-K- 1)!KdXt+nXm=1mXk=1v[n]m-k、 k（t）Xm-ktYk-1吨（米）- k） !！（k）- 1)!dYt（B.1），表示（5.17）和（5.18）中的控制变量。

另一方面，（5.13）isV[n]t=nXk=0Xn的顺序为BSDE-kTYkT（北）- k） !！KγN-kxkyH（0,0）-ZTtZ[n]sdXs-ZTtΓ[n]sdYs-ZTt（nXk=0Xn-ksYks（n）- k） !！KN-kxkyΘ（s，0，0）+κsYsΓ[n]-1] s-α（s）（1）- ρ（s））n-1Xl=1Γ[l]sΓ[n-l] s+Ysn-2Xl=1Γ[l]sΓ[n-L-1] s+σ（s）Z[n]s+YsZ[n-1] s)ds。（B.2）将（5.17）和（5.18）代入上述表达式，并重新计算总和yieldV[n]t=nXk=0Xn-kTYkT（北）- k） !！KγN-kxkyH（0,0）-ZTtZ[n]sdXs-ZTtΓ[n]sdYs-nXm=0mXk=0ZTtXm-ksYks（m）-k） !！K（I（m=n）N-kxkyΘ（s，0，0）+I（m）≤N-1） σsv[n]m-k+1，k（s）+I（m）≤N-1,1≤k） kσsv[n-1] m-k+1，k-1（s）+κsv[n-1] m-k、 k(s)-αsξsI（m）≤N-2） n-1Xl=1l∧[m+1]Xj=1∨[l+2-n+m]j∧[k+1]Xp=1∨[j]-m+k]C（m）-k、 j-p） C（k，p）-1） v[l]j-p、 p（s）v[n-l] m-K-j+p，k-p+2（s）-αsξsI（1）≤M≤N-2,1≤k） n-2Xl=1l∧mXj=1∨[l+2-n+m]j∧kXp=1∨[j]-m+k]C（m）-k、 j-p） C（k，p）pv[l]j-p、 p（s）v[n-L-1] m-K-j+p，k-p+1（s）ds（B.3）通过比较（B.1）和（B.3）的漂移项，我们得到引理3中的线性常微分方程系统。很明显，如果具有常微分方程解的正向SDE（B.1）定义良好，则它至少为第n阶BSDE（B.2）提供了一个解。由于常微分方程的线性，其解应该是唯一的，并且是假定的多项式形式。假设H（x，y）和Θ（t，x，y）都是（x，y）的线性函数：H（x，y）=hxx+hyy+H（C.1）Θ（t，x，y）=Θx（t）x+Θy（t）y+Θ（t）（C.2），其中（hx，hy，H）是常数，（Θx（t），Θy（t），Θ（t））是时间的一些确定函数。然后，几乎可以立即注意到，线性值函数和确定性控制变量可以提供精确解：Vt=vx（t）Xt+vy（t）Yt+v（t）（C.3）Zt=vx（t）（C.4）Γt=vy（t）（C.5），其中（vx（t），vy（t），v（t））是时间的确定性函数。将vx、vy、Vc混合在一起的常微分方程可以得到与所讨论的近似方案非常相似的结果。

一方面，提出的解决方案的动态性变为=˙vx（t）Xt+˙vy（t）Yt+˙v（t）dt+vx（t）dXt+vy（t）dYt。（C.6）另一方面，通过在（5.11）中插入控制变量的假设形式，得到一个svt=γhhxXT+hyYT+hi-ZTtvx（s）dXs-中兴电视台（s）dYs-ZTtΘx（s）Xs+Θy（s）Ys+Θ（s）+ κ（s）vy（s）Ys（C.7）+σ（s）vx（s）- α（s）（1）- ρ（s））vy（s）（1+Ys）ds。（C.8）因此，ODE系统包括一个Riccati类型的vy˙vx（t）=Θx（t）（C.9）˙vy（t）=σ（t）vx（t）-α（t）（1）- ρ（s））vy（t）+ κ（t）vy（t）+Θy（t）（C.10）˙v（t）=σ（t）vx（t）-α（t）（1）- ρ（s））vy（t）+Θ（t）（C.11）在终端条件vx（t）=γhx，vy（t）=γhy，v（t）=γh（C.12）下，如果vy（以及其他）对相关时间间隔t有有限解，则给出精确解∈ [0，T]。确认这项研究得到了金融高级研究中心（CARF）的部分支持。作者感谢高桥教授的许多有益的讨论和鼓励。作者还感谢匿名评论者，他们的评论显著澄清了材料的表述。参考文献[1]Bender，C.和Denk，R.，2007，“向后SDE的正向方案”，随机过程及其应用，117,121793-1823。[2] Bimit，J.M.，1973，“最优随机控制中的共轭凸函数”，J.数学。肛门。Apl。44, 384-404.[3] Bianchetti，M.和Morini，M.（编辑），2013，“金融危机后的利率模型”，R isk books，英国。[4] Blinnikov，S.和Moessner，R.，1998，“近似高斯分布的展开”，Astron。Astr op hys。补充服务。，第130卷，第1193-205页。[5] Brigo，D.，Morini，M.和Pallavicini，A.，2013年，“交易对手，信用风险，抵押和担保”，英国威利。[6] 布查德，B。

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