国际数值分析与建模杂志，7（2）：303-320。Itkin，A.（2014）。利用分裂和矩阵指数有效解决后向跳跃扩散问题。《计算金融杂志》，即将出版。电子版可在http://arxiv.org/abs/1304.3159.Itkin，A.和卡尔，P.（2012年）。在跳跃扩散模型中使用伪抛物线方程和分数阶方程进行期权定价。竞争经济学，40（1）：63-104。Koch，O.和Thalhammer，M.（2011）。非线性发展方程时间积分的嵌入指数算子分裂方法。维也纳理工大学分析与科学计算研究所技术报告。Le，H.T.和McDonald，J.J.（2006）。由不可约非负矩阵生成的M型矩阵的逆。线性代数及其应用，419:66 8–674。刘易斯，A.L.（2001）。一般跳跃扩散和其他指数过程的简单期权公式。手稿，展望金融系统和选择城市。net，美国加利福尼亚州纽波特比奇，利普顿，A.（2001）。外汇的数学方法：一位金融工程师的sApproac h.World Scientic Fic.Lord，r.，Fang，F.，Bervoets，F.，和Oosterlee，K.（2007）。一种快速准确的基于FFT的方法，用于在列维过程下对早期行使期权进行定价。技术报告，MRPA。可用的http://mpra.ub.uni-muenchen.de/1952/.Marchuk，G.（1975年）。数值数学方法。斯普林格·维拉格。诺索斯，D.和Tsatsomeros，M.J.（2008）。非加性态的可达性和保持性。暹罗J.矩阵肛门。应用程序。，30(2 ) :700–712.Olver，F.、Lozier，D.、Boisvert，R.、a和Clark，C.（2010）。数学函数手册。剑桥大学出版社。萨马斯基，A.（1964年）。具有混合导数的抛物型方程的经济差分格式。

Zhurnal Vychislitelnoi Matematiki i Matematiche s koi Fiziki，4（4）：753-759。肖滕斯，W.（2001）。Meixner流程融资。技术报告，K.U.Leuven Eurandom。肖滕斯，W.（2003）。金融学中的利维过程：金融衍生品定价。威利。肖滕斯，W.和泰格尔斯，J.（1998年）。列维过程，多项式和鞅。公社。统计学家Stoc hastic Models，14（1,2）：335-349。斯潘尼尔，J.a.和奥德姆，K。(1987). 功能图谱。华盛顿特区。半球第51章，贝塞尔Kν（x）。斯特朗（1968）。关于差异方案的构建和比较。暹罗J.数值分析，5:509–517。Wang，I.，Wan，J.，和Forsyth，P.（20-07）。CGMY流程下欧洲和美国期权的稳健数值估值。J.康普。《金融》，4:31-70。亚南科，N.（1971年）。分步法。斯普林·韦拉格。附录cesA提案证明3.2为了证明这一提案，我们需要在Itkin（2014）中使用的技术。它与“最终正矩阵”的概念密切相关，见Noutsos和Tsatsomeros（2008）。下面，我们从本文中复制一些必要的定义，以供进一步分析。定义N×N矩阵A=[aij]称为o最终为非负矩阵，用Av表示≥ 0，如果存在一个正整数ksuchak≥ 0表示所有k>k；我们用k=k（A）来表示最小的正整数，并将k（A）作为A的幂指数指数非负如果所有t>0，etA=P∞k=0tkAkk！≥ 0;o 如果存在t，则最终指数非负∈ [0, ∞) 这样埃塔≥ 0表示所有t>t。我们用t=t（A）表示最小的非负数，并参考t（A）s A的指数指数。我们还需要Noutsos和Tsatsomeros（2008）的引理：引理A.1让A∈ RN×N。以下为等效值：1。A最终是指数非负的。2.对于某些b，A+bI最终是非负的≥ 0.3.

对于某些b，AT+bI最终是非负的≥ 0.我们还介绍了EM矩阵的定义，见Elhashash和Szyld（2008）。定义N×N mat r ix A=[aij]如果可以表示为asA=sI，则称为EM矩阵- 当B为0<ρ（B）<s时，s>0为常数，ρ（B）为B的谱半径，B为最终非负矩阵。下面我们需要两个引理。引理A.2让A∈ RN×N，A=（α- β） 我- 2βAB。那么A是EM矩阵。证明表示A的第i个上对角线。所以D表示主对角线，等等。首先，证明2βABI是最终指数非负矩阵。要查看此表达式，请使用etβAB≡ [etB]1/（2h），其中B是一个下三对角矩阵，所有的元素都等于3β<0，所有的d-1元素等于-4β>0，且均为d-2个元素等于β<0。Etb的正性可以在t>N时明确验证。其背后的直觉是，与d的t相比，d上的元素绝对值较小。取B的平方将d上的大正值传播到对角线d上。B的平方将它们传播到d，等等。从h>0，可以得出e2tβAB≥ 0，即2βABI最终指数非负。根据引理A.1，βAb的最终指数非负性意味着存在b≥ 因此βAB+bI=2h（B+2hbI）对于某些B最终是非负的≥ 0.让我们表示B=B+2hbI，并选择B=3/（2h）+，其中<< 1.在实际例子中，我们可以选择=10-6.然后d（B）=，d（B）=2，d（B）=-1.很容易检查BN+3≥ 0.这也是因为d-1（B）>0，| d-1（B）|>d-2（B）|，所以取B的平方等于d上的大正值-1到对角线d-因此，b=3/（2h）+的βAB+bI是最终的非负矩阵。2.将A表示为A=（α- β+b）I- （2βAB+bI）。观察ρ（2βAB+bI）=和s=（α- β+b）>as |β|<α。因此，根据定义，A是EM矩阵。

在后面我们还需要这个引理：引理A.3矩阵A的逆≡ 硅- P是一个非负矩阵。证明P的所有特征值都是λi=，我∈ [1，N]。因此ρ（P）=。Le和McDonald（2006）将指数λ（A）表示为λ作为A的最小多项式根的次数。因为矩阵P的谱指数（P）=0<1中没有零特征值。A的非负性-1然后根据定理A.4（Le和McDonald（2006）中的定理4.2），设P是一个具有指数（P）的N×N不可约最终非负矩阵≤ 1，则存在u>ρ（P），如果u>s>ρ（P），则（sI- P）-1.≥ 0.为了应用这个定理，选择一个正的u>s。现在我们准备证明命题3.2。命题3.2的证明，即在命题3.2中，提出了以下方案j=δpα- βI-(α- β） 我- 2βAB- 自动控制1/2我们分别证明命题的每一个陈述，即：1。上述方案是算子LR的O（h）近似；2.矩阵J是EM矩阵的负数。（1）的证明：ACI是算子的中心差分近似▽而Abi是单侧二阶近似。（2）矩阵M=（α）的证明- β） 我- 2βABI是EM矩阵。矩阵-ACis anM矩阵。EM矩阵和M矩阵之和就是EM矩阵。因此M=（α- β） 我- 2βAB- ACis是一个EM矩阵。根据M-矩阵M1/2的性质，构造了EM-矩阵。然后-一个EM矩阵的负数。现在添加一个诊断矩阵M=pα- 我要-我们仍然可以得到EM矩阵的负矩阵。这是因为β<0，因此d（M）<d（M）的对角线元素。换句话说，M的对角线元素-阴性。最后，当δ>0时，整个矩阵xj是EM矩阵的负数。

也就是说，用一些N矩阵eτ为正，且J的所有特征值均为负。因此，算子的谱范数a=eτJ（即λ=maxi |λi |），我∈ [1，N]，λi是A）的特征值服从λ<1。这意味着所提出的方案从某个N开始是无条件稳定的。这就完成了证明。B命题3.3的证明这个命题可以用与命题3.2类似的方式来证明。这里的主要观察结果是。假设我们用β=β<0证明命题3.2。现在选择β=-β> 0. 那么matr ix M=（α-β） 我-2βaf是矩阵x m=（α- β） 我-2.在前面的证明中。这是一个n上三角EM矩阵。剩下的证据遵循与上一个附录完全相同的步骤。.用引理A.2矩阵（α）证明命题3.4-β） 我-2βABI是EM矩阵。也是-AC.两个EMmatrices之和是EM矩阵。因此，M=(α- β） 我- 2βAB- 自动控制-这是一个EM矩阵。M的非负性-然后从引理A.3开始。因此，Bis是一个非负矩阵。二阶近似源于以下事实：ACI是二阶导数的二阶中心差近似，ABI是一阶导数的二阶单边差近似。最后一点要证明的是，一个B的所有特征值λiof都是正的，并且服从条件|λi |<1，我∈ [1，N]。首先，论证这背后的一些直觉。稠度矩阵M=-2βAB，M=（α- β） 我- 在一个统一的网格上，它们都是toeplitz矩阵。已知t在N处渐近→ ∞ Toeplitz矩阵通勤，见Gray（2006）。对于交换矩阵，和的特征值是t值的和。现在，Mis是一个下三角矩阵，特征值是主对角线上的值，即λi=3 |β|/h>0，i∈ [1，N]。

Mcould的特征值表示为λi=（α- β） +2/h+i∧i，i∈ [1，N]，其中∧i是由m的第一条下对角线和第一条上对角线构成的矩阵的特征值，而所有其他元素都是N。已知这样一个矩阵的特征值为∧i=-hcosiπN+1。因此，M的特征值为λi=（α）- β） +3 |β| h+hsiniπ2（N+1）>α- β> 0，我∈ [1，N]。（32）因此，它们是积极的。此外，基于这个不等式，我们得到了裸体的特征值α- βλiτ(λ+1/2)/2< 1.因此，对于非均匀网格，命题的最新陈述在大N上是渐近正确的。对于较小的N来说，情况并非如此。然而，请注意，在我们的计算公式中，N=100足以让Bto获得该房产。命题3.6的D证明首先，我们需要以下引理：引理D.1让A∈ RN×Nbe是一个M-矩阵。通过定义，M矩阵可以表示为A=sI-当B<ρ（B）<s时，s>0是常数，ρ（B）是B的谱半径，B是非负矩阵。如果s，则lo g A是M-矩阵- ρ（B）>1。证明A的形式为log A=log s+log（I- B/s）=对数s-∞Xk=1iskbk因为B是一个非负矩阵，上面等式右边的和也是一个非负矩阵。因此，除主对角线上的元素外，对数A的所有元素都是非正的。实际上，所有d（loga）元素都是正的。观察ρ∞Xk=1iskBk=∞Xk=1风险ρ（B）k=-日志1.-ρ（B）s因此，ρ（loga）=logs- ρ（B）]>0，如果s- ρ（B）>1。推论D.2让A∈ RN×Nbe是一个EM矩阵。如果s为，则log A为EM矩阵-ρ（B）>1。证明该证明直接遵循上述引理的证明步骤，允许EM矩阵的定义和性质。现在我们可以证明命题3.6。和z的离散化一样(▽) 在命题3.2中，我们只需要证明两个命题：1。

logz的离散化(▽)z（0）应该是EM矩阵，如果D[z(▽)] 是n EM mat r ix.2。特征值的实部λi（D[M]），i∈ [1，N]应该是负的，其中D[M]是M的离散化。1的证明。考虑Z的本征值，可以使用公式（32）λi（Z）=δ找到(α- β） +3 |β| h+hsiniπ2（N+1）1/2，我∈ [1，N]。从这里ρ（Z）=maxiλi>Δπh>1if h<Δπ。构造矩阵Z是EM矩阵，参见命题3.4的证明。因此，它可以用form Z=sI表示- B.然后1<ρ（Z）=s- ρ（B）。现在我们在推论D.2的假设下，因此logz是一个EM矩阵。因为logz（0）I是一个非负对角矩阵，矩阵Mz=logz[z（0）I）-1] 是艾玛崔克斯。这是因为Z是EM矩阵，Z乘以（Z（0）I）-1（这是对角线元素为1/（α）的径向矩阵-β） ）只改变Z的对角元素。换句话说，Mzareλi（Z）/（α）的对角元素- β) > 1. .证据2。第二个性质来源于D[z]的特征值(▽)]都是积极的，见提案3.4。如果是，则主矩阵对数存在且定义良好。基于Toeplitz矩阵的渐近性质，D[M]的特征值渐近等于D[z（0）的特征值之和- z(▽)] a和D[-（λ+1/2）对数（z(▽)/z（0））]，见附录中命题3.4的证明。此外，根据等式（32）得出∧iof D[z(▽)] 在前导项中与1/h成正比。因此，在t前导项中λi（D[M]）=-δ“∧ih+（λ+1/2）对数”∧ih（α）- β)其中∧i>0是∧i的一部分，其前导项不依赖于h。现在观察不等式h∧i+（λ+1/2）log∧ih（α- β） >0带κ=-（λ+1/2）>0可以转化为h∧i- 如果b=log（α），则κlog∧ih>0- β) > 0.

如果κ<e，它总是有效的，如果κ=e，它在h<`i/e处有效，并且在ath<`ieW处有效(-1/κ）在κ>e处，其中Wk（y）是Lambert W函数，见Olver等人（2010）。如果b<0，我们需要考虑不等式h∧i- κlog∧ih>-κb>0哪个溶液readsh<-“∧iκW-E-b/κ！因此，在b>0和b<0两种情况下，空间步长H都存在一个上边界，但它不依赖于时间步长τ. 因此，在这个意义上，从上述不等式的解中给出的一些h开始，所提出的格式在h中是无条件稳定的。数值计算表明，除非我们考虑α≈ |β|.综上所述，我们得出结论：λi（D[M]）<0，i∈ [1，N]。因此，运算符Ema的初始值为非负且λi（D[eM]）<1，i∈ [1，N]。最后一点要证明的是矩阵M=I+（4λ）- 1） Z-1是一个非负矩阵，其所有正特征值的绝对值小于1。这源于这样一个事实：i）Z是一个EM矩阵，ii）EM矩阵的逆是一个最终非负矩阵，iii）Z的所有特征值都是正的，因此Z的特征值也是正的-1.iv）Z的值小于1，λ（Z）i>1，我∈ [1，N]，因此λ（Z-1） 我<1，我∈ [1，N]。所有这些性质都已在提案3.4中得到证明。由于两个非负矩阵的乘积是一个非负矩阵，所以命题的整个陈述如下。同样，当矩阵M和Marepositive的特征值都小于1时，连续应用它们会产生一个收敛变换，其性质与算子乘积的特征值相同。这证明了这一点。命题3.8的证明首先观察算子s Mn，n=1，2。。。具有与命题3.4证明开始时的运算符Min相同的结构。

因此，mn是一个EM矩阵，M-κ>0的κn为非负矩阵。二阶近似源于以下事实：ACI是二阶导数的二阶中心差近似，ABI是一阶导数的二阶单边差近似。下一点要证明的是，所有特征值λn，iof an M-κn有正实部且服从条件|λn，i |<1，我∈ [1，N]。这也直接源于第3.4条的证明。因此，每一次-κn:zn-1（x，τ）→ zn（x，τ）=M-κnzn-1（x，τ）保持向量zn（x，τ）的正性，并在所有|λi | n<1时在谱范数中收敛，我∈ [1，N]。命题3.9的证明与前面的命题类似，但考虑到β<0的矩阵2ababw是β的矩阵2abafw的转置≥ 0