固定β>α并通过γ=arg supc<β确定γQ（β）-Pν（c）β-C, Γ=Q（β）-Pν（γ）β-γ.（注γ可能不是唯一定义的，但Γ是唯一定义的。）那么Fν（γ）-) ≤Γ ≤ Fν（γ）<Fν（β）-).设Pσ由Pσ（x）定义=Pν（x），0≤x<γ；Pν（γ）+（x-γ)Γ, γ ≤ x<β；Q（x），x≥β.如果σ是与卖出价格函数Pσ相关的度量，那么σ≥ 一阶随机优势意义下的ν和Pσ≥ 所以σ是弱容许的。对任意可容许策略π，Vσ，π用随机初始定律进行竞争-Vν，π=Z∞π（dx）{（1）-Fσ（x））+θ（Fσ（x）- Fσ（x）-))]-[(1 -Fν（x））+θ（Fν（x）-Fν（x）-))]}= π({γ})(1 -θ） [Fν（γ）-Γ]+Z（γ，β）π（dx）{（1）-θ） [Fν（x）- Γ]+θ[Fν（x）-) -Γ]}+π（{β}）θ（Fν（β）-) -Γ)≥ (1 - θ)π（{γ}）[Fν（γ）-Γ]+Z（γ，β）π（dx）[Fν（x）-Γ].然后，由于ν赋予[γ，β]正质量，因此Vσ，ν- Vν，ν>0和（ν，ν）不能是对称的纳什均衡。现在考虑退化情况Pν（α）=α-ν. 然后ν在[0，α]上有支撑，α和u处的一个原子赋予（α）正质量，∞).通过卖出价格函数Pσ确定σ，其中Pσ（x）=Pν（x）表示x≤ α和Pσ（x）=Pu（x）表示x>α。注意Pν和Pu是凸的，P′σ（α-) =P′ν（α）-) ≤ P′u（α）-) ≤ P′u（α+）=P′σ（α+），因此Pσ是凸的。那么σ也是容许的，vσ，π-Vν，π=π（{α}）（1）- θ)[1 - Fu（α）]+Z（α，∞)π（dx）{[1]-Fu（x）]}+θ[Fu（x）- Fu（x）-)]Vσ，ν-Vν，ν>ν（{α}）（1）-θ） u（（a，∞)) > 我们得出结论，在这种情况下，（ν，ν）也不能是对称纳什均衡。第二，我们证明了对于ν是对称的纳什平衡，我们必须在零上没有原子。假设ν是强容许的，并且ν将一个大小为p>0的原子放置在z>0处。

我们的目的是通过考虑将z处的质量分裂为z处大小为q的质量的影响，来证明ν不能对应于对称纳什均衡- ε与amass的大小-q在z+ε处，其中q<< p和ε>>ε、 以这样一种方式使海洋得以保存。让测量值σ由fσ（x）给出=Fν（x），如果x∈ [0，z-ε) ∪[z+ε，∞),Fν（x）+q，如果x∈ [z]-ε、 z），Fν（x）- （p-q） ，如果x∈ [z，z+ε），其中ε∈ (0,(1-θ） zp1+θp），ε∈ （（1+θp）ε（1）-θ） p，z）和q=εpε+ε∈（0，p）。注意（z）- ε） q+（z+ε）（p-q） =zp，因此Fν和Fσ具有相同的平均值。28 H.FENG和D.Hobson那么Cσ（x）=Cν（x）如果x∈ [0，z-ε) ∪[z+ε，∞), Cσ（x）=Cν（x）+[x-（z）-ε） [q如果x∈ [z]-ε、 z）和Cσ（x）=Cν（x）+（z+ε-x） （p-q） 如果x∈[z，z+ε）。这意味着Cσ（x）≥Cν（x）≥Cu（x）。因此，σ是强容许的。假设玩家2选择了定律ν。那么vσ，ν-Vν，ν=Fν（（z）- ε)-)q+Fν（（z+ε）-)（p- q）-Fν（z）-)P-θp+θν（{z-ε} q+θν（{z+ε}）（p-q）≥ Fν（（z）- ε)-)q+Fν（（z+ε）-)（p- q）-Fν（z）-)P-θp=p[Fν（（z+ε）-) -Fν（z）-)]εε+ ε-[Fν（z）-) -Fν（（z）- ε)-)]εε+ ε-θp.自Fν（（z+ε）-) - Fν（z）-) ≥ p和0≤Fν（z）-) -Fν（（z）-ε)-) ≤1，Vσ，ν-Vν，ν≥Pε+εp-εε+ ε-θp= pε（1）-θ） p-（1+θp）ε+ε>0，这与（ν，ν）是纳什均衡的假设相矛盾。因此，Fν（x）在（0）上是连续的，∞).第三，我们考虑原子为零的可能性。假设（ν，ν）是对称纳什均衡，并设置p=Fν（0）和pu=Fu（0）。因为在定理的第一部分，ν必须是强（而不仅仅是弱）容许的，ucxν，我们必须有p≥ pu。假设p>pu；我们想得出一个矛盾。修正任意q，使0<q<min{p√1.-θ, 1 -p} 。因为通过上面的论证，我们必须知道Fν在（0）上是连续的，∞),存在ε>0，使得ν（（0，ε））=q，然后Fν（ε）=p+q。

对任何人来说∈（0，1），让测量值σφ由fσφ（x）给出=(1 -φ） Fν（x），如果x∈ [0，δ），φ（p+q）+（1）-φ） Fν（x），如果x∈ [δ，ε），Fν（x），如果x∈ [ε, ∞),式中δ=Rεyν（dy）/（p+q）。那么σφ是一个概率测度，同位元为ν。接下来是vσφ，ν-Vν，ν=φ（p+q）Fν（δ）-θp-ZεFν（y）ν（dy）≥ φ{（p+q）p-θp-（p+q）q}=φ{（1）- θ） p-q} >0。因此，如果σφ是强可容许的，那么玩家1更喜欢策略σφ而不是ν。如有必要，减小q和ε，并使用C′ν（0+）=p的事实- 1>pu- 1=C′u（0+），我们可以坚持Cν（x）- Cu（x）>（p- pu）x/2具有x的随机初始定律∈ (0, ε). 观察Cν（x）- Cσφ（x）=0表示x≥ ε. 此外，forx∈ [0，ε），自Fν（x）-Fσφ（x）≤ φFν（δ），Cν（x）- Cσφ（x）≤ φFν（δ）x.那么，如果φ≤P-pu2Fν（δ），我们有cσφ（x）- Cu（x）=（Cν（x）- Cu（x））-（Cν（x）- Cσφ（x））>（p-pu）x-φFν（δ）x≥ 0代表所有x∈（0，ε），因此ucx为φ。因此，对于足够小的φ，σφ是可容许的，并且（ν，ν）不能是对称纳什均衡。因此，p=pu，Fν（0）=Fu（0）。定理3正向蕴涵的证明。1.我们已经证明，如果ν是对称的纳什均衡，那么关于u，ν必须是强可容许的。首先需要说明的是，ν必须具有递减的密度，其次，密度只能在凸阶约束具有约束力的点处减小。设（π，π）为候选对称纳什均衡，假设π具有定理2.1中给出的性质。假设π在（0）上不是凹的，∞). 然后存在a，b和0<a<b<∞ 这样fπ（b）- Fπ（a）>0，对于x∈（a，b），Fπ（x）<Fπ（a）+x-ab-a[Fπ（b）-Fπ（a）]。设σ为，对于[a，b]外的x和x，Fσ（x）=Fπ（x）∈ [a，b），Fσ（x）=Fπ（a）+φ[Fπ（b）-Fπ（a）]，其中选择φ，使σ和π的平均值一致。ThenRba（Fπ（x）-Fπ（a））dx=Rba（Fσ（x）-Fπ（a））dx=φ[Fπ（b）-Fπ（a）]（b-a） 因此φ<1/2。

那么vσ，π-Vπ，π=Z[a，b）Fπ（x）[σ（dx）-π（dx）]=Z[a，b）（Fπ（x）-Fπ（a））[σ（dx）-π（dx）＝（1）- φ） （Fπ（b）-Fπ（a））-（Fπ（x）- Fπ（a））bx=a=-φ（Fπ（b）-Fπ（a））>0，因此（π，π）不能是对称纳什均衡。现在假设ν是强容许的，在（0）上没有原子，∞ ) andFν在（0，∞). 然后密度fν，f′ν减小。在不丧失普遍性的情况下，我们认为fν是右连续的。假设z是所有x<z的fν（x）>fν（z），并且Cν（z）>Cu（z）。然后是30 H.FENG和D.HOBSONFig。7.凹函数Fν（·）的绘图。通过Fν的凹度，我们得到了w>z- ε. IfFν（w）=Fν（z）- {Fν（z+ε）- Fν（z）}，然后是面积A-（Fν（~w））严格小于三角形的面积，该三角形位于Fν（~w）处的水平线上方，z处垂直线的左侧，z处与Fν相切且斜率为Fν（z）的下方，如斜线所示。该面积等于由z处的垂直线、Fν（z+ε）处的水平线和与Fν相同的切线所分隔的三角形的面积。反过来，这个面积小于或等于A+。因此，w<w，v=Fν（w）<Fν（~w）=2Fν（z）- Fν（z+ε）。ε ∈ （0，z）使得Cν（z）- ε） +2εC′ν（z）- ε） >Cu（z+ε）和Cν（z+ε）-2εC′ν（z+ε）>Cu（z- ε） 因此，如果σ是任何度量，使得Cσ=Cν在（z）之外-ε、 z+ε），然后在区间[z]上Cσ（x）>Cu（x）-ε、 z+ε]和σ是强容许的。如前一段所述，给定z和ε，设A+=Rz+εz（Fν（z+ε）-Fν（x））dx，让A-（x） =RFν（z）x（z）- F-1ν（u））du。让v解A-（v） =A+并设置w=F-1ν（v）。请注意-（Fν（z）- ε)) ≥ A+由凹面关闭。然后w≥ Z- ε和v≥ Fν（0）。

进一步注意-（Fν（z）- {Fν（z+ε）-Fν（z）}<Fν（z）{Fν（z+ε）-Fν（z）}/2≤ 因此，v<2Fν（z）-Fν（z+ε），见图7。然后通过构造，Rz+εwxν（dx）=zRz+εwν（dx），如果我们定义σbyFσ=Fν（w，z+ε），对于w<x<z，定义Fσ（x）=Fν（w），对于z，定义Fσ（x）=Fν（z+ε）≤ x<z+ε，我们得到σ与ν的平均值相同。[实际上，σ用z处的点质量代替（w，z+ε）上的ν质量。]然后，根据上一段的标记，σ对于u是强容许的。最后，Vσ，ν-Vν，ν=Z（w，Z+ε）Fν（x）[σ（dx）-ν（dx）]与随机初始定律31=（Fν（z+ε）竞争-v） Fν（z）-Fν（z+ε）-v=（Fν（z+ε）-v） [2Fν（z）-五、-Fν（z+ε）]>0，因此（ν，ν）不可能是对称的纳什均衡。参考Baye，M.R.，Kovenock，D.和de Vries，C.G.（1996）。全价拍卖，信息完整。经济。理论8291-305。Mr1403229 Chacon，R.V.和Walsh，J.B.（1976）。一维势嵌入。在S\'eminaire de Probabilit\'es中，X（斯特拉斯堡大学、斯特拉斯堡大学、安尼大学1974/1975年）的数学课堂讲稿。511 19–23. 柏林斯普林格。MR0445598Feng，H.和Hobson，D.G.（2015）。以分歧为模型的竞赛中的赌博。十分。经济部。资金D OI:10.1007/s10203-014-0156-3。R.菲利普奥、N.莫罗˙泽克、I.Rec law和Szuca，P.（2012年）。I-函数序列的选择原则。J.数学。肛门。阿普尔。396 680–688.MR2961261Helly，E.（1912）。¨Uber lineare Funktional Operationen。Akademie der Wissenschaften inWien，Mathematisch Naturwissenchaftliche Klasse，Sitzungsberichte，Abteilung IIa 121265–297。亨德里克斯，K.，维斯，A.和威尔逊，C.（1988）。信息完整的持续消耗战。内特。经济。牧师。29 663–680.MR0973064Hobson，D.（2011年）。Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型独立边界。巴黎——2010年普林斯顿数学金融讲座。

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