部分约束下的单因素条件线性商品定价模型

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《A One-Factor Conditionally Linear Commodity Pricing Model under Partial
Information》
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作者：
Takashi Kato, Jun Sekine and Hiromitsu Yamamoto
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
A one-factor asset pricing model with an Ornstein--Uhlenbeck process as its state variable is studied under partial information: the mean-reverting level and the mean-reverting speed parameters are modeled as hidden/unobservable stochastic variables. No-arbitrage pricing formulas for derivative securities written on a liquid asset and exponential utility indifference pricing formulas for derivative securities written on an illiquid asset are presented. Moreover, a conditionally linear filtering result is introduced to compute the pricing/hedging formulas and the Bayesian estimators of the hidden variables.
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中文摘要：
研究了部分信息下以Ornstein-Uhlenbeck过程为状态变量的单因素资产定价模型：均值回复水平和均值回复速度参数被建模为隐藏/不可观测的随机变量。给出了流动资产上衍生证券的无套利定价公式和非流动资产上衍生证券的指数效用无差异定价公式。此外，引入条件线性滤波结果来计算定价/套期保值公式和隐藏变量的贝叶斯估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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A_One-Factor_Conditionally_Linear_Commodity_Pricing_Model_under_Partial_Information.pdf
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能者818

2022-5-6 07:58:02

部分信息下的单因素条件线性商品定价模型*在部分信息下，研究了一个以Ornstein–Uhlenbeck过程为状态变量的单因素资产定价模型：均值回复水平和均值回复速度p参数被建模为灰色/不可观测的随机变量。本文给出了流动资产上衍生证券的无套利定价公式和非流动资产上衍生证券的指数效用差异定价公式。此外，引入了一个条件线性滤波结果来计算隐藏变量的定价/套期保值公式和贝叶斯估计。关键词：商品期货/远期，条件线性模型，部分信息，随机便利收益率，效用差异定价。数学学科分类（2010）：91G20、60J70、93C41《经济文献期刊》（JEL）分类：G13、C631简介采用Ornstein–Uhlenbeck过程作为状态变量是一种简单易用的商品价格过程建模方法。例如，在Schwartz（1997）中，商品现货价格过程（St）的单因素模型≥考虑0，St=eYt，dYt=-k（Yt）- l） dt+σdWt，Y=对数S∈ R、（1.1）其中k，l和σ∈ R++（：=（0，∞)) 是常数参数，W:=（Wt）t≥0是过滤概率空间上的一维布朗运动(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0).*本文基于第三作者的硕士论文[19]。+大阪大学工程科学研究生院社会系统数学系。电子邮件：kato@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp——大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部。

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何人来此

2022-5-6 07:58:05

电子邮件：sekine@sigmath.es.osaka-u、 ac.jp§大阪大学工程科学研究生院社会系统数学科学部。电子邮件：广须。yamamoto@gmail.comThe概率P可被视为物理（即现实世界）概率或定价（即风险中性）概率。此外，在Schwartz（1998）的单因素波动模型中，St=eYt，dYt=R-C-σ（t）dt+σ（t）dWt，Y=logs∈ R（1.2）是在风险中性概率下研究的，其中R∈ R+（：=[0，∞)),c:=α-σ2κ+ρσσκ，σ（t）：=rσ+（σ- 2ρσσ)1 - eκtκ与α，κ，σ，σ∈ R++与ρ∈ [-1, 1]. 这里，常数r被解释为无风险利率，常数c被解释为便利字段。因此，期货（或期货）价格过程∈[0，T]，交付atT∈ R++，由ft:=Ste（R）给出-c）（T）-t），或等效地，dFt=Ftσ（t）dWt，F=Se（r-c） T.在本论文中，受Carmona和Ludkovski（2006）的启发，我们的目标是在部分信息设置下建立单因素模型，如（1.1）和（1.2）。正如Carmona和Ludkovski（2006）在部分信息下处理一般商品远期价格模型一样，我们的模型具有以下特点：（i）期货（或远期）被视为流动资产等。（ii）现货被视为非流动资产，因此便利收益率被视为隐藏的随机变量。（iii）由于（ii）的原因，在SPOT上记录的衍生工具的定价和套期保值被认为是一个不完整的市场问题，包含可隐藏的风险。特别是，我们对一个简单、具体的“条件线性”示例感兴趣，该示例在Carmona和Ludkovski（2006）中没有研究过。在物理概率下，（现货/期货价格过程的）状态变量由dyt={f（t）+Θ给出- ΘYt}dt+σ（t）dWt。

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能者818

2022-5-6 07:58:09

（1.3）在这里，f和σ是确定性函数，参数Θ和平均回归速度参数Θ都是以“贝叶斯”方式动态估计的不可观测（隐藏）随机变量。该模型具有以下有趣的可操作性和灵活性特征：（a）对于以流动期货为基础的衍生品定价，采用Black–Scholes pricingformula（见命题3.1和Corollar y 3.1）。（b）对于在非流动性现货上书写的定价，提供了针对m的独立价格公式（见提案3.2、备注4.3和提案5.1，然后是备注5.2）。（c）在物理概率测度下，未来或现货的原木价格过程是一个均值回复的“OU-like”过程，具有随机均值回复水平/速度。提供了这些参数的贝叶斯估计（即过滤器）的显式公式和便利收益率（见第4.1节和备注4.2）。（d）在物理概率测度下，模型可以是非高斯性质的（见命题6.1和6.2）。本文件的组织结构如下。下一节将介绍该模型，第3节将讨论衍生品的定价和套期保值。在第4节中，我们介绍了一个过滤结果，利用物理概率来描述价格（期货和现货）的动态和便利收益率。在第5节中，我们以“半显式”形式计算了风险中性概率下三维马尔可夫状态的三元概率密度函数，这对定价/套期保值计算非常有用。在第6节中，我们计算了物理概率下对数期货价格边际分布的累积量，在第7节中，我们得出结论。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:58:11

所有必要的文件都收集在附录中。2 ModelLet(Ohm, F、 P）是具有一维布朗运动W:=（Wt）t的完全概率空间d≥0和二维随机变量Θ：=（Θ，Θ）, 其中Θ独立于W（·）表示向量或矩阵的转置。让（Ft）t≥0为FT定义的过滤器：=σ（Wu；u）∈ [0，t]）∨ σ(Θ) ∨ N、其中N是空集合的总和。对于T，F∈ R++，考虑解决方案（Yt）t∈[0，T]到以下随机微分方程：dYt={f（T）+Θ- ΘYt}dt+σ（t）dWt，Y:=logf（2.1）on(Ohm, F、 P，（Ft）t∈[0，T]），其中f，σ：[0，T]→ R是连续函数，所以σ（·）≥ >0。我们定义（Ft）t∈[0，T]byFt:=eYt，并将其称为商品的T-交割期货（或远期）价格过程。通过它的公式，我们可以看到dft=Ft{u（t，Yt，Θ）dt+σ（t）dWt}，其中我们设置u（t，y，Θ）：=f（t）+σ（t）+- Θy.考虑到Θ作为便利收益，我们定义了现货价格过程（St）∈[0，T]bySt:=Fte-（r）-Θ（T）-t）。（2.2）如引言所述，我们假设期货F为流动资产，而现货S为非流动资产。代理人的信息流由过滤（FFt）t给出∈[0，T]，其中fft:=σ（Fu；u）∈ [0，t]）∨ N=σ（Yu；u）∈ [0，t]）∨ N、这是由流动期货价格过程产生的。因此，F的便利场Θ和平均恢复速度参数Θ对于代理是隐藏的随机变量，并通过信息流（FFt）t进行估计∈[0，T]。我们将引入一个度量变化，稍后将使用它。设λ（t，Yt，Θ）：=u（t，Yt，Θ）σ（t）为时间t时的风险市场价格。利用这一点，我们确定了(Ohm, FT）比亚迪PdPFt=Zt（Θ），其中Zt（Θ）：=ex p-Ztλ（u，Yu，Θ）dWu-Ztλ（u，Yu，Θ）du.这实际上是很好的定义，因为（Zt（Θ））t的鞅性质∈[0，T]遵循λ（T，Yt，Θ）关于Yt的线性增长性质。

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可人4

2022-5-6 07:58:14

例如，见Bensoussa n（1990）的引理4.1.1。根据Cameron-MartinMaruyama-Girsanov定理，过程Wt:=Wt+Ztλ（u，Yu，Θ）du，t∈ [0，T]是（~P，Ft）-布朗运动，F的~P-动力学表示为dft=Ftσ（T）dWt，F∈ R++。（2.3）此外，我们看到了以下内容。引理2.1。（1）它认为fft=σ吴；U∈ [0，t]∨ N、 t∈ [0，T]。所以，过程W也是一个（~P，FFt）-布朗运动。（2） ΘW和Θ在P下是独立的。P下的Θ定律与P下的定律相等。见附录。3衍生工具T的定价和套期保值∈ R++（T）≤ T）成为一个时间范围。考虑一个以自我融资的方式动态交易期货的代理人。累积增益过程（Gt（π））t∈代理的[0，T]由dgt（π）=πtdFtFt+rGt（π）dt，G（π）=0给出。（3.1）这里，r∈ R+是风险利率，π：=（πt）t∈[0，T]是一个动态阅读策略，其中πT表示在未来卫星时间T中投资的金额（例如，参见杜菲和理查森19 91的第4.5节）。LetAT:=（（pt）t∈[0，T]；FFt逐渐可测量，并且∞)成为可接受的投资策略的空间。结合（3.1）和（2.3），我们认为，对于π∈ AT，Gt（π）=ertZte-rsπsσ（s）d~Ws，t∈ [0，T]，而145; Gt（π）：=e-rtGt（π）=中兴通讯-rsπsσ（s）d~Ws，t∈ [0，T]是一个（~P，FFt）-鞅。3.1未来衍生工具考虑在到期日支付的衍生证券∈ R++由h给出∈ L（~P，FFT）。（3.2）注意引理2.1，我们应用布朗鞅表示定理来证明存在πH∈ 在这样的情况下-rTH | FFt]=E[E-rTH]+~GtπHT∈ [0，T]，（3.3）式中，E[·]和E[···]分别表示对P的期望和条件期望；因此，我们可以找到这对（xH，πH）∈ R×ath=erTxH+GTπH.

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能者818

2022-5-6 07:58:17

（3.4）在这里，（3.4）右侧的第一项是T——初始复制成本xH与连续复合利率r的值，而（3.4）右侧的第二项是期货交易到时间T的累积收益。然后，我们应用完全市场的无风险定价理论的标准论点，得到以下结论。提议3.1。对于在T到期的衍生证券（3.2），以下断言是有效的。（1） ~E[E-r（T）-t） H | FFt]是衍生证券的无套利价格∈ [0，T]。（2）初始成本xH:=E[E-rTH]和交易策略πH∈ 在满足条件（3.4）中，套期保值策略的套期保值成本最低。当我们考虑派息为H:=H（FT）的衍生证券时∈ L（~P，FFT）（3.5）在到期日T时，我们得到以下Black–Scholes定价公式。推论3.1。对于T到期的衍生证券（3.5），以下断言是有效的。（1） ~E[E-r（T）-t） H | FFt]=VH（t，Ft），其中VH（t，x）：=e-r（T）-t） Z∞-∞Hxe∑（t，t）z-∑（t，t）√2πe-zdz，∑（t，t）：=sZTtσ（s）ds。（2）关系式（3.3）与E[E]保持一致-rTH]=VH（0，F），πHt=xVH（t，Ft）Ft，t∈ [0，T）.3.2差异定价和最优混合我们接下来考虑一种支付H=H（YT，Θ）的衍生证券，其中H（y，θ）：R×R→ R是有界的，Borel在到期日T是可测量的（3.6）∈ R++。下面是一个典型的例子。例3.1（欧元即期衍生产品）。ConsiderH=~h（ST），其中~~h:R++→ R是有界的，Borel是可测的。这里是时间T的现货价格。

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kedemingshi

2022-5-6 07:58:20

通过（2.2），我们可以写出h=~h全职员工-（r）-Θ）T= h（YT，Θ），其中h（y，θ）：=h嗯-（r）-θ） T.由于衍生证券（3.6）通常是不合法的，也就是说，不存在一对（xH，πH）∈ R×AT满足关系式（3.4），我们不能在完全市场中应用无套利定价理论。相反，我们采用了衍生工具的指数效用差异价格。乐土（x）：=-E-γxbe风险平均参数γ>0且考虑v（x，H）：=supπ的指数效用函数∈阿图-H+erTx+GT（π）.回想一下，我们可以写出v（x，H）=- infπ∈ATE exp-γ-H+erTx+GT（π）= - 经验-γerTxinfπ∈ATE exp{γ（H- GT（π））}。（3.7）导数H在时间0时的差异由关系V（x+pH，H）=V（x，0）确定。（3.8）结合（3.8）和（3.7），我们可以看到^pH=e-γ射线infπ∈ATlog Eheγ（H）-GT（π））i- infπ∈ATlog Ehe-γGT（π）i. （3.9）我们称之为^πH∈ 在满足条件下（x，H）=欧盟-H+erTx+GT（πH）（3.10）最优套期保值策略。我们得到以下结果。提议3.2。对于衍生证券（3.6），设^H（γ）T:=γlogeeγH快速傅立叶变换, （3.11）~H（γ）T:=γlog~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换. （3.12）那么，以下断言是有效的。（1）效用差异价格等于^H（γ）t:^pH=~Ehe的无套利价格-rT^H（γ）Ti。（2） ~H（γ）T的复制策略，即^πH∈ 在满足的地方-rT~H（γ）TFFti=~Ehe-rT~H（γ）Ti+~GtπH, T∈ [0，T]，（3.13）是最优套期保值策略，满足（3.10）。证据我们可以将其与Carmona和Ludkovski（2006）第4节中的结果进行比较，也可以与其中引用的Becher er（20 03）和Henderson（2002）进行比较。为了完整性，我们在附录中给出了直接证明。备注3.1。

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大多数88

2022-5-6 07:58:23

应该提到一项相关研究，Mellios and Six（2011）。Mellios和Six（2011）采用了一个不可观测的随机便利收益模型，并使用商品期货和零息债券作为套期保值工具，研究了固定商品现货头寸的最优套期保值问题。与我们的设置相反，研究中常见现货价格过程产生的套期保值信息流。4.一个条件线性滤波器之后，为了简单起见，我们认为F和σ是常数（4.1）。在本节中，我们将介绍隐藏/不可观测随机变量Θ的过滤结果。g:R→ R、它是有界的且Borel可测的，让[g（Θ）t:=Eg（Θ）|FFt.根据贝叶斯规则，我们可以看到[g（Θ）t=~EZt（Θ）-1g（Θ）快速傅立叶变换~EZt（Θ）-1.快速傅立叶变换. （4.2）计算（4.2）的右边，我们得到以下结果。提议4.1。它认为t≥ 0，Z-1t（Θ）=∧（Θ；t，Yt，Pt，Qt），其中我们定义为：=ZtYudu，Qt:=ZtYudu，和∧（θ；t，y，p，q）：=expσ(θ+ α, -θ)Y- 对数F+σtY- 日志F- σt+σp-2σ(θ+ α, -θ)t pp qθ+ α-θα：=f+σ/2。所以，从（4.2）开始，因此，[g（Θ）t=ZRg（θ）ρt（dθ），其中我们将后验概率写为ρt（dθ）：=∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ），并通过ν证明表示Θ的先验分布。见附录。备注4.1。命题4.1可以解释为一个条件几乎线性滤波结果的具体例子；这在Hausmann and Pardoux（1988）中进行了探讨在一般情况下。备注4.2。对于t≥ 0，我们可以写出Θi（i）的贝叶斯估计量E[Θi | FFt]∈ {0，1}）as^i（t）：=E[Θi|FFt]=RRθi∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt，Qt）ν（dθ）=：Θi（t，Yt，Pt，Qt）。然后，我们注意到过滤后的便利收益率（^Θ（t））t∈[0，T]是一个随机过程，经过FFt调整。例如，在这里，我们可以假设ν的支撑是有界的。

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nandehutu2022

2022-5-6 07:58:27

我们可以描述过程的（P，FFt）-动力学=f+Θt、 Yt，ZtYudu，ZtYudu-Θt、 Yt，ZtYudu，ZtYuduYtdt+σdBton(Ohm, F、 P，（FFt）t∈[0，T]）。这里，（Bt）t∈[0，T]是由bt定义的（P，FFt）-布朗运动（所谓的创新过程）：=σYt- Y-Ztnf+^Θ（s）-^Θ（s）Ysods.备注4.3。从命题4.1中，随机变量^H（γ）和H（γ）T，givenby（3.11）和（3.12）分别可以表示为^H（γ）T=γlogZReγh（YT，θ）∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）-logZR∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）= :^H（γ）T（YT，PT，QT），~H（γ）T=γlogZReγH（YT，θ）∧（θ，T，YT，PT，QT）ν（dθ）=：：H（γ）T（YT，PT，QT）。用三维（~P，FFt）-马尔可夫过程y:=logf-σt+σ∧Wt，Pt:=ZtYudu，Qt:=ZtYudu，差异价格写为^pH=~Ehe-rT^H（γ）T（YT，PT，QT）i和最优套期保值策略^πH∈ ATis计算为^πHt=yVH（t，Yt，Pt，Qt），t∈ [0，T），（4.3）其中我们让~VH（T，y，p，q）：=Ehe-r（T）-t） ~H（γ）t（YT，PT，QT）Yt=y，Pt=p，Qt=qiand假设＠VH（·，·，·，·，·，·，·）足够光滑，可以应用It^o的公式。例4.1（随机便利收益率和恒定平均回复速度）。假设ν（dθ，dθ）=ν（dθ） δ′θ（dθ），其中ν是Θ定律，δ′θ与θ∈ R是一个Dira c测度。也就是说，便利收益率是一个具有先验分布ν和常数均值回复速度dΘ的隐藏随机变量≡θ. 然后，简化了后概率的表达式。实际上，我们看到∧（θ，\'θ；t，y，p，q）=∧（θ；t，y，p）exp-θ2σY- 日志F- σt+σp-θ2σq,其中我们定义∧（θ；t，y，p）：=exp(θ+ α)σy+’θp- 对数F+σt-（θ+α）2σt.应用命题4.1，我们看到ρt（dθ）=∧（θ；t，Yt，Pt）ν（dθ）RR∧（θ；t，Yt，Pt）ν（dθ） δ′θ（dθ），其中包含qtb的项被取消。

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mingdashike22

2022-5-6 07:58:30

类似地，到期日T时付息H:=H（YT，θ）的衍生工具的差别简化为^pH=~Ehe-rT^H（γ）T（YT，PT）i，其中^H（γ）T（YT，PT）：=γlogZReγh（YT，θ）∧（θ；T，YT，PT）ν（dθ）-logZR∧（θ；T，YT，PT）ν（dθ）.5三元密度在本节中，我们感兴趣的是计算三元密度φt:R×R+→ R+与φt（y，p，q）dydpdq:=~p（Yt）∈ 迪普特∈ dp，Qt∈ dq）。该密度有助于计算差异价格和第3节研究的最优套期保值策略。我们有一个独立的价格表示-rTZR×R+^H（γ）T（y，p，q）φT（y，p，q）dy-dp-dqand＠VH（T，y，p，q）=e-r（T）-t） ZR×R+~H（γ）t（y+y，p+p，q+q）φt-t（y，p，q）dydpdq，利用它可以得到最优套期保值策略^πH∈ ATis表示为（4.3）。我们获得以下信息。提议5.1。（1）对于（t，y，p，q）∈ R+×R×R×R+，它认为φt（y，p，q）=σexp-（y）- 日志F）-σt×ψtY- 对数Fσ，p- （logf）tσ，q- 2σ（logf）p- （logf）tσ,其中我们定义ψt（x，y，z）dx dy dz:=PWt∈ dx，ZtWsds∈ dy，ZtWsds∈ dz.（2）我们写出ψt（x，y，z）=ψ（1）t（x，y）ψ（2）t（z | x，y），其中ψ（1）t（x，y）dx dy:=PWt∈ dx，ZtWsds∈ dy,ψ（2）t（z | x，y）dz:=PZtWsds∈ dzWt=x，ZtWsds=y.那么，以下断言是有效的。（i）它认为ψ（1）t（x，y）=2πpdet（A（t））exp-（x，y）A（t）-1.xy, （5.1）其中（t）：=tttt！。（ii）它认为Γt（α| x，y）：=Z∞E-αzψ（2）t（z | x，y）dz=sdet（A（t））det（A（t，α））co-sh（αt）×exp-（x，y）A（t，α）-1.- A（t）-1.xy, （5.2）其中我们定义（t，α）：=tanh（αt）α1-sech（αt）α1-sech（αt）αt-tanh（αt）α！对于α>0（5.3）和setA（t，0）：=limα↓0A（t，α）=A（t）。（5.4）证据。见附录。备注5.1。

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kedemingshi

2022-5-6 07:58:33

由于我们无法在现有文献中找到公式（5.2），为了完整起见，我们在附录中介绍了它的证明。公式（5.2）可被视为E的n扩展经验-武都Wt=x=sαchinh（αt）exp-x2t{αt coth（αt）- 1},例如，Mansuy和Yor（2008）的（2.5）和Borodinand Salminen（2002）的第168页中的1.9.7。备注5.2。条件矩母函数的显式表示（5.2）对于（近似）计算条件密度ψ（2）（z | x，y）是有用的：我们可以至少正式地应用Gram-Charlie r展开、Edgeworth展开、或鞍点近似（s ee Hall（1992）和Jensen（1995））。或者，我们可以以适当的方式定义条件代换形式Γt（β|x，y）=Γt(2β)x、 y对于β∈ C（数值）计算逆La-place变换m:ψ（2）t（·x，y）=L-1hΓt（·| x，y）i.6累积量在本节中，我们观察到对数未来的非高斯性质∈ [0，T]），通过分析其累积量，在物理概率测量下。为了简单起见，我们假设（Θ，Θ）是一个重新有界的随机变量，并且几乎可以肯定的是，随着so me>0。（6.1）由（2.1）给出的对数期货价格过程表示为DYT=-ΘYt-Θ+fΘdt+σdWt，Y=logf（6.2）on(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0）。条件累积量生成函数ks，t（α）=logeeαYt自由流,其中0≤ s≤ T≤ T、 T（α）=对数EEeαYt财政司司长|自由流=E经验αmt-s（Θ）+αvt-s（Θ）自由流,其中，我们使用条件概率（·| Fs）下YTMT的高斯性质，即ndmt-s（Θ）：=E[Yt | Fs]=E-Θ（t）-s） Ys+Θ+fΘ1.- E-Θ（t）-（s）, （6.3）vt-s（Θ）：=V[Yt | Fs]=σ2Θ1.- E-2Θ（t）-（s）（6.4）用V[···]表示条件方差（P下）。

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kedemingshi

2022-5-6 07:58:37

从命题4.1中，我们可以看到，t（α）=ZRexpαmt-s（θ）+αvt-s（θ）ρs（dθ）。然后，通过设置s=0，将无条件累积量ge-ne评级函数写入为k0，t（α）=ZRexpαmt（θ）+αvt（θ）ν（dθ），（6.5）式中≡ ρ是Θ的先验分布。对于无条件累积量κn（t）：=nαK0，t（α）|α=0，n∈ N、我们有以下几点。提议6.1。它认为，随着（6.3）和（6.4），κ（t）=E[mt（Θ）]，κ（t）=E[vt（Θ）]+V[mt（Θ）]，κ（t）=Eh（mt（Θ）- κ（t）i+3C[mt（Θ）、vt（Θ）]和κ（t）=Eh（mt（Θ）- κ（t））i+3V[vt（Θ）]- V[mt（Θ）]+ 6Cmt（Θ）、vt（Θ）- 12E[mt（Θ）]C[mt（Θ），vt（Θ）]，其中V[·]表示方差，C[·，·]表示协方差。证据直接计算（6.5）。当我们考虑长时间极限κn时(∞) := 极限→∞累积量的κn（t），Θ的前分布对累积量b的依赖性变得简单而清晰，如下所示。提议6.2。除（6.1）外，假设（6.2）的平均回复速度Θ和平均回复水平Θ：=Θ+fΘ是独立的。然后它认为，∞（α） limt→∞K0，t（α）=K（1）ασ+ K（2）（α），其中我们定义K（1）（α）：=log E expαΘ-1.,K（2）（α）：=loge exp（αΘ）。此外，对于n∈ N、 κ2n-1(∞) =κ（2）2n-1，κ2n(∞) =（2n）- 1)!!σnκ（1）n+κ（2）2n与κ（i）n:=nαK（i）（α）α=0i=1,2。证据见附录。7结论本文研究了一种基于部分信息的单因素商品定价模型。具体来说，该模型的状态变量是一个Ornstein–Uhlenbeck过程，其中均值回复水平和均值回复速度参数被建模为隐藏的、不可观测的随机变量。利用该模型，我们提供了流动商品期货上衍生证券的无套利定价公式，以及非流动商品现货上衍生证券的指数效用差异定价公式。

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kedemingshi

2022-5-6 07:58:40

此外，我们还引入了一个相关的条件线性滤波结果，该结果有助于计算隐藏变量的定价/套期保值公式和B-Ayesian指数。研究多因素综合将是与这项工作相关的一个有趣而重要的未来研究课题。事实上，多因素建模更自然，更适合描述期货/远期的丰富术语结构。我们建议感兴趣的读者从以下几个方面入手：吉布森和施瓦茨（1990年）、施瓦茨（1997年）、亚毛奇（2002年）、明浩一世、雅祖美和横田（2005年）、卡萨苏和柯林·杜弗雷斯内（2005年）、卡莫纳·安德鲁德科夫斯基（2006年）、梅利奥斯和六（2011年）、白桦和高桥（2012年），以及其中的参考文献。我们模型的一个简单概括如下：让Y:=（Yt）t≥0be n维可观测状态变量由dyt={f（t）+Θ- ΘYt}dt+σ（t）dWt，Y∈ 瑞农(Ohm, F、 P，（Ft）t≥0），赋予了n维布朗运动W:=（Wt）t≥0，以及n维Θ和n×n维Θ，它们都是与W无关的随机变量。这里，P被视为物理概率度量，Ft:=σ（Wu；u）≤ （t）∨ σ（Θ，Θ），以及两者f:R+→ R与σ：R+→ Rn×n是确定性函数。使用s tate变量，m期货价格处理Fi:=（拟合）t∈[0，Ti]（i=1，·，m，m）≤ n、根据fit:=eYit，i=1，··，m给出交货日期）。我们采用filtrationfyt:=σ（Yu；u∈ [0，t]）t≥ 0作为代理人的信息流，并认为（Θ，Θ）是通过贝叶斯方法估计的隐藏/不可观测的变量。

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2022-5-6 07:58:43

我们注意到，通过将（Θ，Θ）设置为常数并选择线性高斯状态变量，将多因素公式与条件线性高斯状态变量Y相匹配的模型包括Gibson a和Schwartz（1990）、Schwartz（1997）、Yamauchi（2002）、Casassus和Collin Dufresne（2005）以及Shiraya和Takahashi（2012）中使用的模型。收集的公共物品。引理的证明2.1（1）断言来自于关系syt=Y-Ztσ（u）du+Ztσ（u）d)Wu，~Wt=ZtdYuσ（u）-Ztσ（u）du。（2）由于W是一个（~P，Ft）-布朗运动，我们看到，对于任何0=t<t<t···<tn=t，增量为Wti-~Wti-1（i=1，…，n）是独立的ofF=σ（Θ）∨N.因此，~W和Θ是独立的。此外，我们还看到，对于任何有界可测函数h.A.2，命题3.2关于π的证明，E[h（Θ）]=E[Z（Θ）h（Θ）]=E[h（Θ）]∈ 在，我们看到log Eheγ{H-GT（π）}i=logehzt（Θ）-1eγ{H-GT（π）}i=logeh~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换E-γGT（π）i=logeheγ{H（γ）T-GT（π）}i≥γ~Eh~H（γ）T- GT（π）i=γ＠Eh＠H（γ）Ti，（A.1），其中我们使用Je-nsen不等式推导（A.1）中的不等式。利用布朗鞅表示定理，我们发现存在^πH∈ 参见第3.13节。战略满意度eγ~H（γ）T-GT（πH）= γ~Eh~H（γ）Ti。（A.2）结合（A.1）和（A.2），我们得到了infπ∈Atheγ（H）-GT（π））i=Eheγ（H-GT（πH））i=eγ~e[~H（γ）T]。

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能者818

2022-5-6 07:58:46

（A.3）从（3.9）和（A.3）中，我们推断出^pH=e-rTγ~Ehlog~EZT（Θ）-1eγH快速傅立叶变换- 对数EZT（Θ）-1.快速傅立叶变换i=~Ehe-rT^H（γ）Ti，这里我们使用B-ayes规则。A.3命题4.1的证明-σdt，dWt=dYtσ+σdt和thatYtdYt=戴特- σdt,我们假设α：=f+σ/2，logzt（Θ）-1=σZt（α+Θ）- ΘYu）d)吴-2σZt |α+Θ- ΘYu | du=σZt（α+Θ）- ΘYu）dYu+σdu-2σZt |α+Θ- ΘYu | du=log∧（Θ；t，Yt，Pt，Qt）。由此，利用引理2.1，我们得到了海报ior概率ρt（dθ）的表达式。A.4命题5.1（1）的证明回想一下YT=log F-所以，写y=logf，我们推导出tφt（y，p，q）dydpdq=~pYt∈ dy，ZtYsds∈ dp，ZtYsds∈ dq=E经验-σWt-σt{y+σWt∈dy，Rt（y+σWs）ds∈dp，Rt（y+σWs）ds∈dq}= 经验-（y）- y）-σt×Py+σWt∈ dy，Zt（y+σWs）ds∈ dp，Zt（y+σWs）ds∈ dq= 经验-（y）- y）-σt×ψtY- yσ，p- ytσ，q- 2σyp- ytσdyσdpσdqσ，这里我们使用卡梅隆-马丁-丸山-吉尔萨诺夫公式。（2）断言（i）的真实性是显而易见的。为了证明定理（ii）是正确的，我们使用一个引理。引理A.1。对于t，α≥ 0和β，β∈ R、它认为lt（α，β，β）：=E expβWt+βZtWsds-αZtWsds=pcosh（αt）exp（β，β）A（t，α）ββ,我们使用（5.3）-（5.4）的地方。证据如果α=0，则从（5.1）和（5.4）中可以看出as曲线为真。接下来，假设α>0。

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何人来此

2022-5-6 07:58:50

我们看到lt（α，β，β）=E exp(-ZtαWs-βαdWs-ZtαWs-βαds）×exp（α（Wt- （t）+β-βαWt+βαt） =exp“(βα- α） t#E经验αXt+β-βαXt,我们使用Cameron-Martin-Maruyama-Girsanov公式和setdXt=dWt-αXt-βαdt，X=0。设置mt:=EXt=βα（1）- E-αt），vt:=E（Xt- mt=2α（1）- E-2αt），我们有αXt+βXt我=√1.- αvtexpβvt+2βmt+αmt2（1- α（vt）.因此，log E经验αXt+β-βαXt= -日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）(β-βαvt+2β-βαmt+αmt）=-日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）(β-βαvt+2βαβ-βα(1 - E-αt）+βα（1）- E-αt）=-日志（1）-αvt）+2（1）- α（vt）vtβ-vtαβ+（1）- E-αt）αβ.所以，loglt（α，β，β）=-αt-日志（1）-αvt）+vt2（1）- αvt）β+2αT-vt1- αvtβ+(1 - E-αt）2α（1）- αvt）ββ。回顾tha t1- αvt=e-αtcosh（αt），vt1- αvt=αtanh（αt），（1- E-αt）（1- αvt=2（1）- sech（αt）），我们推导出thatlog Lt（α，β，β）=-对数余弦（αt）+2αtanh（αt）β+2α{αt- tanh（αt）}β+α{1- sech（αt）}ββ，这就完成了证明。我们现在可以证明断言（ii）是正确的。我们推导出lt（α，β，β）=2πpdet（A（t，α））co-sh（αt）×ZRexp(β, β)xy-（x，y）A（t，α）-1.xydx dy=sdet（A（t））det（A（t，α））co-sh（αt）×ZRexp(β, β)xy-（x，y）A（t，α）-1.- A（t）-1.xyψ（1）t（x，y）dx dy=ZReβx+βyΓt（α|x，y）ψ（1）t（x，y）dx dy.A.5命题6.2的证明∞（Θ）：=limt→∞mt（Θ）=Θ，v∞（Θ）：=极限→∞vt（Θ）=σΘ-1.所以，利用支配对流定理，我们推导出k0，∞（α） =log E expαm∞（Θ）+αv∞(Θ)=K（1）ασ+ K（2）（α）。进一步，我们推断nαK0，∞(α)α=0=（κ（2）2m-1如果n=2m- 1，（2米）- 1)!!σmκ（1）m+κ（2）2m如果n=2m，那么κn（t）：=nαK0，t（α）α的和是表示的多项式的乘积。因此，我们可以应用支配收敛定理来证明κn(∞) = 极限→∞nαK0，t（α）α=0= nαK0，∞(α)α=0.感谢Jun Sekine的研究得到了日本教育、文化、体育、科学和技术部第235401 33号科学研究资助（c）的支持。

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能者818

2022-5-6 07:58:53

本文是《部分信息下的单因素条件线性商品定价模型》一文的预印本，发表于亚太金融市场，DOI:10.1007/s10690014-9182-y。最终出版物可在链接上获得。斯普林格。通用域名格式：http://link.springer.com/article/10.1007/s10690-014-9182-yReferences[1] Akahori，J.，K.Yasutomi，和T.Yokota（2005）：期权价格的反向估值，国际创新计算、信息和控制杂志，1（3），5 81–593。[2] Becherer，D.（2003）：在恒定绝对风险规避下综合风险的理性对冲和估值，保险：数学和经济学，33（1），1-28。[3] Bensoussan，A.：部分可观测系统的随机控制。剑桥大学出版社，1992年。[4] Borodin，A.N.和P.Salminen：《布朗运动手册：事实和公式》（第二版）。Birkhauser Verlag，2002年。[5] Carmona，R.和M.Ludkovski（2006）：基于基差风险和部分观察的商品衍生品定价。工作文件，可下载fromhttp://www.pstat.ucsb.edu/faculty/ludkovski/papers.html[6] Casassus，J.和P.Collin Dufresne（2005）：商品期货和利率隐含的随机便利场。《金融期刊》，60（5），2283–23 31。[7] Duffie，D.和H.R.Richardson（1991）：均值-方差对冲不连续时间，应用概率年鉴，1（1），1-15。[8] 吉布森，R.和E.S.施瓦茨（1990）：随机便利收益和石油或有权益的定价，金融杂志，45（3），959-976。[9] 霍尔，P.：Bootstrap和Edgeworth扩展，Springer Series inStatistics，Springer Verlag，1992年。[10] Haussmann，U.G.和E.Pardoux（1988）：具有非高斯初始条件的条件几乎线性滤波问题。随机的，23241-275。[11] 亨德森，V。

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kedemingshi

2022-5-6 07:58:56

（2002）：利用效用最大化对非交易资产债权进行估值，数学金融，12（4），351-373。[12] 詹森，J.L.：鞍点近似法，牛津统计科学出版社，1995年第16期。[13] Mansuy，R.和M.Yor：布朗运动的方面。斯普林格，2008年。[14] Mellios，C.和P.Six（2011）：以不可观察的便利性重新审视传统套期保值模型，金融评论，46（4），569–593。[15] Schwartz，E.S.（1997）：商品价格的随机行为：对估值和对冲的影响，《金融杂志》，52（3），923-973。[16] 施瓦茨，E.S.（1998）：评估长期商品资产，能源金融和发展杂志，3（2），85-99。[17] Shiraya，K.和A.Takahashi（2012）：通过三因素模型对长期期货和远期合约进行定价和对冲，QuantitativeFinance 12（12），181 1–1826。[18] Yamauchi，H.（2002）：大宗商品期货价格的实证分析：玉米案例（日语），MTEC期刊，14,41-60。[19] 山本（2013）：关于条件线性资产定价模型（日本），大阪大学工程科学研究生院硕士论文。

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