因此，我们切换到Musiela参数化和视图（θt）t≥0作为一个单Hλm+1值随机过程。在第4.1节结束之前，为了应用[23]的结果，我们假设（X，^Y）是一个L′evymartingale，取值于Rd+n。在不丧失一般性的情况下，驱动半鞅（Xt）t≥0isthen of the formXt=βt+ZtZRdξu（dt，dξ）- F（dξ）dt,式中（βt）t≥0是一个Rd值标准布朗运动，u是R+×Rd上的齐次泊松随机测度，带有补偿器F（dξ）dt。ηi的SDE，对于i∈ {0，1，…，m}，因此变成ηit（T）=ηi（T）+Ztαis（T）ds+Ztσis（T）dXs=ηi（T）+Ztαis（T）ds+Ztσis（T）dβs+ZtZRdσis（T）>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds.（4.5）注意，[23]中的过程σ（t，t）和γ（t，ξ，t）对应于σit（t）和σit（T）>ξ、 分别为我∈ {0,1，…，m}。假设t7是连续的→ ηt（t），我们可以将（4.5）转化为θi的积分方程：θit（x）=Stηi（x）+ZtSt-sα是（s+x）ds+ZSt-sσ为（s+x）dβs+ZtZRdSt-sσ为（s+x）>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds, 我∈ {6}，（t）1≥0表示移位半群，即Sth=h（t+·）。为了证明这类方程解的存在性，让我们引入以下符合[23]的正向曲线空间（但推广到多元情况）。固定一个任意常数λ>0，让Hλkbe为所有绝对连续函数H:R的空间+→ Rkuch thatkhkλ，k：=kh（0）kk+ZR+ksh（s）kkeλsds,其中k·kk表示Rk中的范数，带k∈ 18 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto如上所述，我们将考虑漂移和波动结构，它们是普遍的正向（扩散）曲线的函数，即αit（T）=（κi（θT）（T）- t） ，t≤ T、 0，T>T，，σit（T）=（ζi（θT）（T）- t） ，t≤ T、 0，T>T，，就我所知∈ {0,1，…，m}。

特别是，我们需要κi:Hλm+1→ Hλ和ζi:Hλm+1→ Hλd.让我们用c^Y，X和K^Y，X表示（Y，X）的L′evy三元组的第二项和第三项，因此c^Y，X∈ Rn×dand K^Y，Xis是Rn×d上的一个L′evy测度，X-边际用F（dξ）表示。然后将条件（4.2）-（4.3）读取为αit（T）=-u> ic^Y，Xσit（T）- σt（t）-σit（T）- σt（t）>∑it（T）- ∑t（t）-Zσit（T）- σt（t）>ξeu>i^ξ+（∑it（T）-∑t（t））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）+σt（t）>∑t（t）-Zσt（t）>ξE-（∑t（t））>ξ- 1.F（dξ），i∈ {0，1，…，m}，只要zsupt≥Tσit（T）- σt（t）>ξeu>i^ξ+（∑it（T）-∑t（t））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）<∞,ZsupT≥Tσt（t）>ξE-（∑t（t））>ξ- 1.F（dξ）<∞,所以我们可以在积分符号下微分。这转化为κias，如下所示∈ Hλm+1，κi（H）（s）=-u> ic^Y，Xζi（h）（s）- ζ（h）（s）-ζi（h）（s）- ζ（h）（s）>(八)(s)- Z（h）（s）-Zζi（h）（s）- ζ（h）（s）>ξ（eu>i^ξ+（Zi（h）（s）-Z（h）（s））>ξ- 1） K^Y，X（d^ξ，dξ）+ζ（h）（s）>Z（h）（s）-Zζ（h）（s）>ξ（e）-（Z（h）（s））>ξ- 1） F（dξ），i∈ {0，1，…，m}，（4.7）其中Zi（h）（s）：=Rsζi（h）（u）du。在续集中，对于函数g:Hλm+1→ Hλ和a向量z∈ 对于Pdj=1zjgj（h），我们应该写出g（h）>z。上述规定导致（4.6）中的远期（利差）率为（4.8）θit=Stηi+ZtSt的解-sκi（θs）ds+ZSt-sζi（θs）dβs+ZtZRdSt-sζi（θs）-)>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds,因为我∈ {0,1，…，m}其中κ在（4.7）中有规定。满足（4.8）的Hλm+1值过程θ被认为是随机偏微分方程（对于∈ {0，1，…，m}）dθit=ddsθit+κi（θt）dt+ζi（θt）dβt+ZRdζi（θt）-)>ξu（dt，dξ）- F（dξ）dt, θi=ηi.（4.9）因此我们关心（4.9）的温和解的存在性问题。

在[23]之后，此类SDE可以理解为具有有限维状态空间的时间相关SDE的时间相关变换（有关更多详细信息，请参见[23，等式1.11]）。为了便于记法，我们表示ζi0（h）：=ζi（h）- ζ（h）和Zi0（h）：=Zi（h）- Z（h），代表艾莉∈ {1，…，m}和h∈ Hλm+1，分解κi（H）=κi（H）+κi（H）+κi（H）+κi（H）+κ（H），其中κi（H）=-u> ic^Y，Xζi（h）- ζ（h）= -u> ic^Y，Xζi0（h）,多曲线建模的通用HJM框架19κi（h）=-ζi（h）- ζ（h）>（Zi（h）- Z（h））=-ζi0（h）>Zi0（h），κi（h）=-Zζi（h）- ζ（h）>ξeu>i^ξ+（Zi（h）-Z（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）=-Zζi0（h）>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ），κ（h）=ζ（h）>Z（h），κ（h）=-Zζ（h）>ξE-（Z（h））>ξ- 1.F（dξ）。为了证明（4.9）的温和解的存在唯一性，让我们在波动函数ζi上引入适当的增长和Lipschitz连续性条件，对于所有i=0，1，m、 如以下假设所述（与[23，假设3.1]进行比较）。假设4.3。ζi:Hλm+1→ Hλ，0d，对于所有i=0，1，m、 其中Hλ，0k:={H∈ Hλk | kh(∞)kk=0}，表示k∈ {1，d}。此外，我∈ {0，1，…，m}，存在正常数Ci，Li，Misuch-thatkZi（h）（s）kd≤ Ci，为了所有的h∈ Hλm+1，s∈ R+，kζi（h）- ζi（h）kλ，d≤ 比如- hkλ，m+1，对于所有h，h∈ Hλm+1，kζi（H）kλ，d≤ 小米，尽管如此∈ Hλm+1，常数K>0和Ki>0，使得zeckξkdkξkd∨ kξkdF（dξ）≤ K、 （4.10）Zekuiknk^ξkn+（C+Ci）Kξkdk^ξkn+（kξkd∨ kξkd）K^Y，X（d^ξ，dξ）≤ 基，我∈ {1, . . .

，m}。（4.11）此外，我们认为∈ Hλm+1，映射κi（H）和κ（H）是绝对连续的，具有弱导数ddsκi（H）=-Z（ζi0（h））>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξK^Y，X（d^ξ，dξ）（4.12）-Zddsζi0（h）>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ），ddsκ（h）=Z（ζ（h））>ξE-（Z（h））>ξF（dξ）-Zddsζ（h）>ξE-（Z（h））>ξ- 1.F（dξ）。（4.13）如下一个命题（相当技术性的证明推迟到附录D）所示，假设4.3意味着漂移函数κi，对于所有i=0，1，m、 也是Lipschitz连续的。这个性质对于证明（4.9）的温和解的存在性和唯一性至关重要。提案4.4。假设假设假设4.3是满足的。那么∈ {0，1，…，m}，它包含κi（Hλm+1） Hλ，0存在常数Qi>0，使得kκi（H）- κi（h）kλ，1≤ 奇克- 对于所有h，h，hkλ，m+1（4.14）∈ Hλm+1。我们现在可以陈述以下定理，该定理断言（4.9）的温和解的存在性和唯一性，并将[23，定理3.2]扩展到当前的多重曲线设置。20 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto定理4.5。假设满足假设4.3。然后，对于每个初始曲线θ∈ Hλm+1，存在唯一的自适应c`adl`ag，均方连续弱Hλm+1值解（θt）t≥令人满意的监督∈[0，T]kθtkλ，m+1< ∞, 尽管如此，T∈ R+。证据根据[23，定理2.1]，假设4.3和命题4.4，[22，推论10.9]应用并得出所声称的存在性和唯一性结果。备注4.6。考虑到应用，人们通常有兴趣构建多个收益率曲线模型，产生正的OIS远期利率f以及正的远期利差率ηi，例如∈ {1，…，m}。与定理4.5的情况类似，正性off和ηi的必要和充分条件∈ {1, . . .

，m}，可以通过将[23，第4节]的结果调整到当前上下文中来获得。Y型结构⊥. 在本节结束之前，我们将假设正向曲线（f，η，…，ηm）的存在性和唯一性，但我们不一定假设（X，^Y）是aL′evy鞅。现在，我们给出了一个一般的过程来构造一个与构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）相容的It^o-半鞅Y，在定义4.2的意义上，或者，等价地，满足第4节开头描述的模型构造过程的步骤（c）中的三个要求。作为初步观察，请注意，通过定义局部独立性（参见定义C.1和引理C.2），构造C值过程Y，从而通过构造C值过程Y可以实现Yk=^Y（步骤（C）的要求（i））⊥它是局部独立于（X，^Y）的，然后让Y:=^Y+Y⊥. 根据局部独立性，局部指数ψY⊥然后必须满足以下条件，即一致性条件（步骤（c）的要求（ii））：（4.15）ψY⊥t（ui）=ηit-（t）- ψ^Yt（ui），对于所有t>0和i∈ {1，…，m}。在特殊情况下n=m，可以任意选择特性cY⊥还有基尼⊥然后，对于所有i=1，n、 通过以下方式指定漂移特性：⊥,ias通过⊥,it=ηit-（t）-ψ^Yt（ui）-赛⊥,iit-Reξi- 1.- χ（ξ）i基尼⊥t（dξ），其中向量{u，…，un}是基向量inRN，因此（4.15）通过构造保持不变。然而，m=n的情况是相当不现实的，因为我们需要通过低维过程Y来模拟不同时期的对数点分布，以便捕捉它们的相互依赖性。在后一种情况下（即，当m>n时），对漂移特性的研究不再有效。

还要注意，即使在n=m的情况下，也必须施加进一步的条件，以确保Y⊥位于C中。为了表示的简单性，我们考虑Y是一个一维过程的情况，取C=R+和0<u<u<…<嗯。我们的目标是构建一个流程⊥, 局部独立于（X，^Y），从而满足一致性条件（4.15），等式（3.11）中给出的过程是鞅（步骤（c）中的要求（iii））。我们将构建流程Y⊥作为一个有限活动，在适当扩展的概率空间上进行纯跳跃过程（见备注4.13）。注意，因为我们想要Y⊥要获取R+中的值，我们需要限制其跳转大小，以便Y⊥≥ -Y⊥-a、 因此，结构问题相当于确定Y的补偿跳线⊥, 我们称之为Ktω、 Y⊥T-（ω） ，dξdt，以明确跳跃大小对Y的依赖性⊥-.多曲线建模的通用HJM框架21如果核Kt（ω，y，dξ）满足所有ω，则关键一致性条件（4.15）将得到满足∈ Ohm, Y∈ R+和t>0，（4.16）Z（euiξ）- 1） Kt（ω，y，dξ）=ηit-（t） （ω）- ψ^Yt（ui）（ω）=:pit（ω），对于i=1，m、 请注意，右侧完全由模型构造的前面步骤确定。尤其是，（4.16）意味着，对于每一个ω∈ Ohm, Y∈ R+和t>0，Kt（ω，y，dξ）需要被测量R、 B（R）支持[-Y∞). 此外，为了保证（3.11）的鞅性质，对于所有ω，我们还要求Kt（ω，y，dξ）满足以下可积条件∈ Ohm, Y∈ R+andt≥ 0:（4.17）Z|1.∨ ξ|eumξ+Kt（ω，y，dξ）=pm+1t（ω，y），关于某些族pm+1t（·，y）T≥0 | y∈ R+关于可预测过程，可测量y并满足pm+1t（ω，y）≤“H Q-a.s。

尽管如此∈ R+和t≥ 0，对于某些常数H>0。对于固定ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0，这样一个测度Kt（ω，y，·）是否存在的问题是对Krein和Nudelman[48]所考虑的广义矩问题以及对pt（ω），pmt（ω），pm+1t（ω，y）.让我们简要回顾一下广义矩问题的公式。让[a，b] R（可能带b）∞) 设一个区间，考虑一组线性无关的连续函数fi:[a，b]→ R、 i=1，m+1。让c∈ Rm+1。然后，广义矩问题在于找到一个正度量[a，b]，b（[a，b]）使得zbafi（ξ）u（dξ）=ci，对于所有i=1，m+1。在函数h是fi，i=1，…，的线性组合的条件下，m+1在[a，b]上严格为正，Krein和Nudelman[48，定理I.3.4，定理III1.1和p.175]的结果表明，广义矩问题允许解的当且仅当c是U的闭圆锥壳K（U）的一个元素=f（ξ），fm+1（ξ）| ξ ∈ 【a、b】.在我们的上下文中，这直接暗示了以下引理。首先，让我们定义函数族gi（ξ）：=euiξ- 1，对于i=1，m、 和gm+1（ξ）：=|ξ| ∨ 1.e（嗯）∨1)|ξ|.引理4.7。设0<u<…<嗯。那么，对于每一个ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0上存在一个非负测度Kt（ω，y，dξ）[-Y∞), B([-Y∞))满足（4.16）-（4.17）当且仅当（4.18）pt（ω，y）：=pt（ω），pmt（ω），pm+1t（ω，y）∈ Kg（ξ），gm（ξ），gm+1（ξ）| ξ ∈ [-Y∞).证据对于每一个固定ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0，该主张直接源自[48，定理I.3.4，定理III 1.1和第175页]，注意到函数gi，I=1，m+1是连续的和线性相关的，函数gm+1是严格正的。

正如我们将在本节剩余部分展示的，流程Y的构造⊥只要广义矩问题存在解，满足所有期望的性质都是可能的。更准确地说，根据引理4.7，让我们建立以下假设。假设4.8。有一个家庭pm+1t（·，y）T≥0 | y∈ R+对于可预测过程，可相对于y测量，满足pm+1t（ω，y）≤“H Q-a.s.为所有y∈ R+和t≥ 0，对于某些常数H>0，使得所有ω满足条件（4.18）∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0.22克丽斯塔·库奇耶罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺塔4.9。如果m=1，那么对于任何给定的pt（ω）和y>0，我们总是可以找到一些pt（ω，y），这样（pt（ω），pt（ω，y））∈ K（{（g（ξ），g（ξ））|ξ∈ [-Y∞)}). 如果y=0，那么pt（ω）必须是非负的。特别是，如果ω7→ pt（ω）是有界且非负的，很容易看出假设4.8总是成立的。同样，对于m=2，条件pt（ω）≥ 0和pt（ω）≥uupt（ω）和有界性（ω）对于假设4.8的有效性是有效的。下一个命题建立了过程Y的存在性⊥带跳跃测量Ktω、 Y⊥T-（ω） ，dξ关于原概率空间的扩张(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。o我们还根据附录c确定了一个建设性的证据Ohm, G、 （Gt）t≥0）是一个过滤空间，带有Ohm := Ohm × Ohm, Gt:=Ts>tFs hsg=F H.这里(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）是迄今为止我们研究的概率空间(Ohm, H、 Ht）的定义如下。请注意，我们不假设对（e）有度量Ohm, G） 就目前而言。通用样本元素由eω表示：=（ω，ω）∈EOhm.o (Ohm, H） 是实值标记点过程的正则空间（参见。

[35]），意思是Ohm由所有c`adl`ag分段常数函数ω组成：0，T∞(ω)→ R与ω（0）=0和T∞（ω） =林→∞Tn（ω）≤ ∞, 式中，Tn（ω），定义为T=0和Tn（ω）：=inft>Tn-1（ω）|ω（t）6=ω（t）-)∧ ∞, 为了n≥ 1是ω的连续跳跃时间。我们表示为byJt（eω）：=Jt（ω）：=ω（t）0，T∞(ω)规范跳跃过程，以及let（Ht）t≥自然过滤，即Ht=σ（Js | s≤ t） ，H=H∞. 注意{Tn}n∈如果解释为Tn（eω）=Tn（ω），则Nare（Ht）-和（Gt）-停止时间。引入更大过滤（Gt）也很有用≥0由Gt定义：=F∞ 嗯，尽管如此≥ 0.特别是，观察Gt Gt，尽管如此≥ 0，G=F∞ {, Ohm}. 以下结果的证明是相当技术性的，因此推迟到附录D提案4.10。假设假设4.8成立，让（eOhm, G、 （Gt）t≥0）和（Gt）t≥0定义如上所述。（e）上存在一个概率测度Ohm, G） 满足eq | F=Q和c`adl`ag（Gt）适应R+值的有限活动纯跳跃过程Y⊥带跳跃测量Ktω、 Y⊥T-（ω，ω），dξ关于两种过滤（Gt）的DTT≥0和（Gt）t≥0和Kt（ω，y，dξ）满足（4.16）-（4.17）。下一个引理表明，当在扩展的过滤概率空间上考虑时，（X，^Y）的半鞅性质以及半鞅特征没有改变(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ）。此外，除了满足一致性条件（4.15）外，过程Y⊥在扩展的过滤概率空间中与（X，^Y）局部无关。引理4.11。假设假设假设4.8成立，并让过程Y⊥按照命题4.10进行构造。然后，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥（i）（X，^Y）是一个Rd+1值半鞅，具有与原始过滤概率空间相同的特征(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）；（ii）Y⊥局部独立于（X，^Y）。

此外，这个过程经验（uiY）⊥T-RtψY⊥s（用户界面）dsT≥0是一个eQ，（Gt）t≥0-鞅和eQ，（Gt）t≥0-鞅，对于所有i=1，m、 我们现在可以证明，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ），第4节开头描述的模型构建程序的步骤（c）可以成功实现，因此，满足定理3.15第（iii）部分的三个要求。多曲线建模的一般HJM框架23定理4.12。假设假设假设4.8成立，并让过程Y⊥按照第4.10节的要求建造。然后，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ），过程Y:=^Y+Y⊥与定义4.2中的构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）兼容。备注4.13。我们想指出，目前的结构可以很容易地扩展，以便在过程Y中包括非零漂移和扩散成分⊥, 根据[10，定理A.4]的精神，在关于微分分量的适当假设下，对命题4.10的证明进行调整，以确保局部独立性和鞅性质。同样地，要求流程⊥自由活动也可以轻松放松。5.模型实施、校准和易处理规范本节专门讨论与HJM型多屈服曲线模型实际实施相关的几个方面。我们从第5.1节开始，提供一些关于模型实现和校准的一般指南。在第5.2节中，我们介绍了典型利率衍生品的无模型估值公式，而在第5.3节中，我们介绍了一种基于有效流程的易于处理的规范。

第6节给出了关于我们通用HJM框架实际适用性的进一步考虑，我们将在文献[11]和[5.1]中讨论与特定多曲线模型的关系。模型实施和校准的一般方面。现在，假设我们能观察到以下数据，我们给出了实施HJM型多收益率曲线模型的一些一般指南：（i）线性利率衍生品的市场报价，如隔夜指数掉期、利率掉期和基础掉期（见下文第5.2.1节）；（ii）非线性欧洲利率衍生工具的市场报价，如上限/下限或期权（见下文第5.2.2节）。给出（i）中线性利率衍生品的一组市场报价，模型校准的初步步骤包括引导市场数据隐含的OIS债券和Liborrate的期限结构（例如，按照[25]的思路进行）。第一步的输出是最初观察到的术语结构{BM（0，T），T≥ 0}和{LM（T，T+δ），T≥ 0, δ ∈ D} ，由此展开{Sδ，M（0，T），T≥ 0, δ ∈ D} 可以直接获得（上标M的意思是强调这些数量是由市场数据暗示的）。请注意，校准程序的第一部分显然与模型无关，因为它只依赖于下文第5.2.1节给出的线性利率衍生品的通用定价公式。实施HJM型多屈服曲线模型的下一步当然需要指定具体模型。特别是，根据标准的HJM建模方法，驱动半鞅（X，Y）和波动率eσ，σ。

为了确保令人满意的分析可处理性以及第3.3.1节中介绍的乘法读数要求，必须仔细选择σM。为此，第4节提供了一般模型构建程序，其中风险中性HJM型多收益率曲线模型从给定的一组构建块开始构建（见定义4.1）。更具体地说，这需要指定驱动半鞅X、过程Yk（Y相对于X的依赖部分）以及波动过程eσ，σ，σm.尤其是，如果选择一个时间不均匀的L’evy过程作为驱动过程（如第6.1节所述），那么该模型可以通过使用L’evy驱动的HJM模型的标准实现和校准技术来实现，该模型是24 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA、，ALESSANDRO Gnoatto在文献中有很好的记录（参见[46，第2.6节]，[47，第4章]，[19]，[18]以及[15]，关于布朗运动驱动的一般HJM模型）。我们还请读者参考[8，第4节]，以获取关于具有Vasiˇcek型波动函数的L’evy驱动多曲线HJM模型的swaption数据的详细校准（有关该模型规范的快速概述，请参见第6.1节）。然而，经典HJM规范和校准技术的多条曲线延伸并不是实际实施HJM型多产量曲线模型的唯一可行方法。事实上，如下文第5.3节所示（详细信息请参考配套文件[11]），基于明确流程的模型规范代表了一种特别灵活且易于处理的解决方案。除了能够自动拟合根据市场数据校准的术语结构（参见。

定义5.8），一个明确的规范可以很容易地确保利差大于1，并根据期限长度排序。此外，由于有效过程固有的分析可处理性，傅立叶技术可以为上限和互换期权提供有效的定价公式/近似值。在某种情况下，有效定价公式的存在允许进行标准校准程序，包括搜索参数向量，以最小化市场隐含波动率和模型隐含波动率之间的距离。校准可在上限或期权市场报价上进行（目前，对这两种衍生品的联合校准似乎是一个公开的挑战）。在前一种情况下，由于市场只提供上限波动率，而不提供上限波动率，校准程序可以通过首先从观察到的上限波动率表面引导一个上限波动率表面来简化，如[50]所示。最后，正如我们在[11]中所展示的，[30]提出的伦敦银行同业拆借利率模型的多业务扩展可以被视为我们的规范的离散期版本，因此本文中介绍的校准技术（关于caplet数据）也可以在我们的上下文中使用。5.2. 一般定价公式。Sδ（t，t）的数量在酯产品的估价中起着关键作用。我们在这里根据附录A的精神推导出了干净的估值公式，前提是假设完全抵押和抵押利率等于OIS利率。5.2.1. 线性产品。线性利率产品的价格（即，没有可选性特征）可以直接用基本量B（t，t）和Sδ（t，t）表示。远期利率协议。

远期利率协议（FRA）从T开始，到期日为T+δ，到期日为K，名义利率为N，是指在T+δ时支付以下金额的合同∏F RA（T+δ；T，T+δ，K，N）=NδLT（T，T+δ）- K.该索赔在时间t的价值≤ T是∏F RA（T；T，T+δ，K，N）=NB（T，T+δ）δEQT+δ[LT（T，T+δ）- K | Ft]=NB（t，t）Sδ（t，t）- B（t，t+δ）（1+δK）.（5.1）隔夜指数掉期。隔夜指数掉期（OIS）是一种合同，其中两个交易对手交换两个付款流：第一个根据固定利率K计算，第二个根据隔夜利率（EONIA）进行指数化。让我们用T表示，t付款日期，Ti+1- 对于所有i=1，…，Ti=δ，N- 1.交换在时间T开始∈ [0，T）。时间T时OIS的值≤ T、 对于概念N，可以表示为（参见[24，第2.5节]）OIS（T；T，Tn，K，N）=NB（T，T）- B（t，Tn）- KδnXi=1B（t，Ti）！。多曲线建模的一般HJM框架25因此，OIS比率KOIS由KOIS（T，Tn）=B（T，T）给出，KOIS是通过定义K的值，使得OIS合同在开始时为零值- B（t，Tn）δPnk=1B（t，Tk）。利率互换。在利率互换（IRS）中，两个交易对手之间交换两个支付流：第一个现金流根据固定利率K计算，而第二个现金流根据现行伦敦银行同业拆借利率进行指数化。时间t时IRS的值≤ T、 式中，Tdenotest起始时间由∏IRS（T；T，Tn，K，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）（1+δK）.（5.2）互换率KIRS（T，Tn，δ）=Pni=1，通过定义K的价值，使合同具有零价值，给出了互换率KIRSB（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）δPni=1B（t，Ti）=Pni=1B（t，Ti）Lt（Ti）-1，Ti）Pni=1B（t，Ti）。基差互换。

基差掉期是一种特殊类型的利率掉期，两个交易对手之间交换与不同期限的IBOR利率相关的两种现金流。例如，典型的基差互换可能涉及300万欧元兑600万欧元的伦敦银行同业拆借利率。按照欧元市场的标准惯例（见[1]），基差互换相当于两个不同IRS的多头/空头头寸，它们共享同一固定分支。让我们=T、 田纳西州, T=T、 ·Tn和T=T、 田纳西州, Tn=Tn=Tn，T T、 n<和相应的榫长δ>δ（和任意δ）。一侧的前两个基音结构和另一侧的第三个基音结构分别与两个基音和单个固定支腿相关。和往常一样，我们用互换的概念来表示（在T=T=T时开始）。时间t的值≤ 由∏BSW（t；t，t，t，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-nXj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）- KnX`=1δB（t，t`）！。当KBSW（T，T，T）=Pni=1时，初始合同价值为零的价值KBSW（称为基差掉期价差）B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-Pnj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）δPn`=1B（t，t`）。有趣的是，在金融危机之前，KBW的价值曾经（大约）为零。5.2.2. 具有可选功能的产品。在本节中，我们报告了普通利率产品（如欧洲Caplet和掉期期权）的一般估值公式。卡普莱特。履约价格为K，到期日为t，在t+δ时拖欠结算的caplet在t时的价格由∏CP LT（t；t，t+δ，K，N）=NBtδE给出BT+δLT（T，T+δ）- K+英尺.26 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto上述估值公式允许以下Sδ（t，t）表示。πCP LT（t；t，t+δ，K，N）=NEBtBTSδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+英尺（5.3）备注5.1。

请注意，经典单曲线设定中的估值公式（5.3）（即，假设Sδ（T，T）等同于1）的情况下）简化为行使1/（1+δK）的零息票债券上的期权与看跌期权之间的经典关系。Swaption。我们考虑一个标准的欧洲付款人互换期权，到期日为T，在（付款人）利率互换上，从T=T开始，支付日期为T。。。，Tn，含Ti+1- 对于所有i=1，…，Ti=δ，N- 1，名义N。由于公式（5.2），在时间t，此类索赔的价值由∏SW P t N（t；t，Tn，K，N）=NE“BtBTnXi=1B（t，Ti）给出-1） Sδ（T，Ti）-1) - （1+δK）B（T，Ti）+5.3英尺。基于有效流程的模型。在本节中，我们基于一个有效的流程，对第3.3节的总体框架提出了一个灵活且易于处理的规范。关于不同状态空间上马尔可夫过程的分析性质和完整特征，我们参考[17]、[10]和[42]。在本节中，T表示固定的时间范围，我们在过滤概率空间中工作(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 Q），其中Q是风险中性度量，根据该度量，OIS债券和FRA合同与OIS银行账户贴现时为鞅。为了确定多个收益率曲线模型，我们考虑一个随机过程X=（Xt，Yt，Zt）0≤T≤t状态空间用D=DX×Rn+1表示，这意味着X取DX上的值，DX被假定为实欧几里德向量空间V的闭凸子集，其标量积h·，·i和（Y，Z）为Rn+1值。过程X将代表一般的驱动过程，过程Y与第3.3节中的对数spotspread完全相关，过程Z通过B=exp与OIS银行账户相关(-Z） 。

为了确定一个有效的多收益率曲线模型，过程X=（X，Y，Z）必须满足以下意义上的“有效性”：A1）X是一个状态空间为D的随机连续时间齐次马尔可夫过程；A2）Xt=（Xt，Yt，Zt）的傅里叶-拉普拉斯变换对初始状态（x，y，z）具有指数依赖性，即存在函数（t，v，u，w）7→ φ（t，v，u，w）和（t，v，u，w）7→ψ（t，v，u，w）使得超高压，Xti+u>Yt+wZti=eφ（t，v，u，w）+hψ（t，v，u，w），xi+u>y+wz，对于所有（x，y，z）∈ D、 （v、u、w）∈ U和t∈ [0，T]，其中集合U由U定义：=ζ ∈ （V+iV）×Cn+1E呃ζ，Xti< ∞, T∈ [0，T].备注5.2。请注意，上述形式的傅里叶-拉普拉斯变换意味着（Y，Z）的特征仅取决于X，因此我们不考虑D上所有可能的过程。我们现在通过以下定义引入一个有效的多收益率曲线模型（另见[11]）。定义5.3。通过（i）过程X=（X，Y，Z）满足A1）和A2），X和（Y，Z）分别取dx和Rn+1中的值，向量u=0，u，…，定义一个有效的多收益率曲线模型，嗯∈ RNP（0，ui，1）∈ U、 对于alli=0，1，M（ii）Bt=e提供的（无风险）OIS银行账户-Zt=所有t的ERTRSD≥ 0，其中短速率（确定过程Z）满足率=l+hλ，Xti，t∈ [0，T]，一个通用的HJM框架，用于为一些l∈ R和λ∈ Rn；（iii）一系列（乘性）现货价差Sδi（t，t）T∈[0，T]，i∈ {1，…，m}模拟的asSδi（t，t）=eu>iYt，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，m}，对于向量u，嗯∈ 注册护士。备注5.4。单一多收益率曲线模型代表了传统单一短期利率模型对多曲线环境的自然延伸，因为后者通常通过上述定义中的（i）和（ii）进行规定。提议5.5。

在一个有效的多重收益率曲线模型中，OIS债券B（t，t）T∈[0，T]，T≤ T以及乘法传播Sδi（t，t）T∈[0，T]，T≤ T、 我∈ {1，…，m}是指数级的。更准确地说，我们有（5.4）B（t，t）=E[Bt/Bt | Ft]=E埃兹特-Zt |英尺= eφ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0,0,1），Xti和（5.5）Sδi（t，t）=EheZT+u>iYTFtiE[eZT | Ft]=eu>iYt+φ（T-t、 0，用户界面，1）-φ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0，用户界面，1）-ψ（T）-t、 0,0,1），其中φ和ψ表示有效过程X=（X，Y，Z）的特征指数，如A2）所示。证据债券价格的形式只是X的一个有效性质的结果（在风险中性度量Q下）。关于价差的形式，需要注意的是Sδi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]=EQT[eu>iYT | Ft]=EQ[eu>iYT/BT | Ft]B（t，t）BT=EheZT+u>iYTFtiE[eZT | Ft]。然后（5.5）的右侧再次从a ffine属性开始。注意，如果Y位于某个圆锥体C中 而你。如果满足推论3.17的要求，则乘法价差大于1，且按期限长度排序。除了由有效流程确保的建模灵活性和可处理性外，这代表了spread Specification（5.5）的主要优势之一。备注5.6。让我们简略地评论一下过程（X，y，Z）的可能规格，特别是为了遵守顺序关系。一种选择是取锥中有值的X，例如instanceRd+或正半无限矩阵集S+d，并通过Y=g（X）+L指定Y，其中g是取Rn+中值的一个有效函数，L表示Rn+值的L’evy过程。只有一个排列的一个具体的简单规定是将X指定为S+值Wishart过程（见[6]），设置andY=X和Z=-R·X22，sds。根据备注3.19，与银行账户类似，Y也可以指定为Y=R·q（Xs）ds，其中q:DX→ 此处表示一个函数。

后续文件[11]考虑了上述引入的有效多重收益曲线设置中的具体模型规格和利息衍生品定价。上述有效多重收益曲线模型的定义可以通过以下命题直接映射到第3.3节中HJM型多重收益曲线模型的一般设置中，这也表明风险中性属性（见定义3.14）可以通过构造得到满足。提议5.7。每个有效的多重收益曲线模型都是风险中性的HJM型多重收益曲线模型，其中28 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO（i）驱动过程为X；（ii）银行账户由Bt=e给出-Zt，尽管如此≥ 0;（iii）对数点扩展由对数Sδi（t，t）=u>iYt给出，对于所有i=1，m和t≥ 0;（iv）远期利率ft（T）和远期利差率ηit（T）由ft（T）=-Fψ（T）- t、 0,0,1），0,1-Rψ（T）- t、 0,0,1），0,1, Xt,（5.6）ηit（T）=Fψ（T）- t、 0，ui，1），ui，1- Fψ（T）- t、 0,0,1），0,1+Rψ（T）- t、 0，用户界面，1），用户界面，1- Rψ（T）- t、 0,0,1），0,1, Xt,（5.7）对于所有t≤ T、 T≥ 0和i=1，m、 其中F（ψ（t，v，u，w），u，w）=tφ（t，v，u，w）和r（ψ（t，v，u，w），u，w）=tψ（t，v，u，w）。证据前三项索赔是在直接检查定义之后提出的。ft（T）和ηit（T）的表达式可从（5.4）和（5.5）中获得，只需注意：-ZTFT（s）ds=φ（T- t、 0,0,1）+hψ（t- t、 0,0,1），Xti，ZTtηt（s）ds=φ（t- t、 0，用户界面，1）- φ（T）- t、 0,0,1）+hψ（t- t、 0，用户界面，1）- ψ（T）- t、 0,0,1），并通过区分两边，这是可能的，因为一个有效过程的规律性（见[13]）。风险中性属性来源于Q是风险中性度量的事实。确定性移位扩展。

考虑到实际的实施，一个相关的问题是，模型能够为最初观察到的术语结构{BM（0，t），t≤ T} 和{Sδi，M（0，T），T≤ T、 δi∈ D} 无风险债券和利差（t=0时）。本着[5]的精神，我们可以通过以下定义扩展我们的规范，以确保对最初观察到的期限结构的准确定义。定义5.8。通过引入OIS债券和乘法利差的以下规范（与定义5.3相比），定义了一个移位的一元多收益率曲线模型：B（t，t）=BM（0，t）BM（0，t）eφ（t，0,0,1）+hψ（t，0,0,1），Xieφ（t，0,0,1）+hψ（t，0,0,1），Xieφ（t-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0,0,1），XtiSδi（t，t）=Sδi，M（0，t）eu>iYt+φ（t-t、 0，用户界面，1）-φ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0，用户界面，1）-ψ（T）-t、 0,0,1），Xtieu>iY+φ（t，0，ui，1）-φ（T，0,0,1）+hψ（T，0，ui，1）-ψ（T，0,0,1），Xi。根据上述规定，通过自举市场数据获得的期限结构可以被视为模型的输入，而模型参数则被校准为衍生工具（如Caplet或掉期期权）的波动率表面。让我们注意到，对于上述移位扩展，不能先验地保证Sδ（t，t）>1。这种推广与Hull-White扩展fora ffne模型有关，因为基础a ffne过程的状态无关特性变成了依赖于时间的确定性函数。[28]中最近也采用了确定性移位扩展。与其他多产量曲线建模方法的关系在本节中，我们简要讨论了我们的HJM类型框架与文献中最近提出的几个多领域曲线模型之间的关系。特别是，它将显示大多数现有的建模方法可以从我们的常规设置中恢复。

为了说明的一致性，我们将调整我们的符号——下文提到的多曲线建模通用HJM框架中使用的原始符号。有关我们的通用HJM类型框架和基于有效流程的多曲线模型之间关系的更详细研究，请参考[11]。6.1。HJM模型。[8,9,54]中提出的多曲线HJM模型可以很容易地从我们的总体框架中恢复。特别是，与我们的方法类似，[8]直接建模FRA利率，而无风险期限结构建模与经典HJM设置相同。无风险债券的贴现价格具体为B（t，t）/Bt=B（0，t）exp-RteA（s，T）ds-Rte∑（s，T）dXs,尽管如此，t≤ T和T≥ 0，其中ea和∑是确定性函数，X是多元L'evyprocess。B（·，T）/B对每T的鞅性质≥ 由经典漂移条件ea（t，t）=ψX确定-e∑（t，t）, 对于所有0≤ T≤ 假设函数e∑一致有界。FRA速率也通过HJMAP方法进行建模，该方法在达到确定性位移时，对应于以下Sδ（t，t）的规定：Sδ（t，t）=Sδ（0，t）exp-ZtψT，X∑δ（s，T）ds+Zt∑δ（s，T）dXs,式中∑δ（t，t）：=（t，t，t+δ）-e∑（t，t+δ）+e∑（t，t），根据[8]的符号，和ψt，Xdenotes，X在t-正向测度qt下的局部指数，其中我们使用了[8]的漂移条件（12）。特别是，通过简单的计算，可以得到形式为Sδ（t，t）=exp的表示Zδt+RTtηδt（s）ds, 尽管如此，t≤ T和T≥ 0.基于类似的考虑，可以证明[9]和[54]的多曲线HJM模型也可以从我们的框架中恢复。6.2. 短期利率模型。

如引言中所述，基于短期利率的模型也被提出用于建模多条曲线，具体参见[43,44,56]。这种建模方法也可以嵌入到我们的通用框架中。特别是，[44]制定了一个简单的短期利率模型，允许对与不同曲线相关的固定收益产品进行一致的定价。为了简单起见，让我们考虑两条利率曲线的情况：贴现曲线（用D表示）和伦敦银行同业拆借利率曲线（用L表示）。对于这两条曲线D和L，[44]将短期利率过程（rDt）t关联起来≥0和（rLt）t≥0，对应债券价格（6.1）B（t，t）：=EQhe-RTtrDudufti和Bδ（t，t）：=EQLhe-RTtrLuduFti，尽管如此≤ T和T≥ 0，其中~ Q代表与“L储蓄账户”相关的风险中性度量（见[44]第2节）。期限为δ的伦敦银行同业拆借利率由T（T，T+δ）给出=1/Bδ（T，T+δ）- 1./δ、 尽管如此，T≥ 因此，根据我们的符号，（6.2）Sδ（t，t）=EQT+δ1+δLT（T，T+δ）| FtB（t，t+δ）B（t，t）=EQhe-RTrDuduHL（T，T+δ）FtiEQhe-RTrDudu | Fti=EQeZT+YT |英尺式[eZT | Ft]，其中HL（t，t）：=Bδ（t，t）/B（t，t），Zt:=-RtrDudu和Yt:=- 对数HL（t，t+δ）。此外，它保持HL（t，t）=EQL经验-RTthLudu|英尺, where（hLt）t≥0是一个奥恩斯坦-乌伦贝克传播过程。还要注意（6.2）中最右边的术语与乘法利差的一般规定（5.5）之间的相似性。

类似的考虑也适用于最近的论文[56]，其中无风险和高风险债券价格的建模如（6.1）所示，但在一个共同的风险中性度量Q下，通过将无风险利率（rt）t相加得到“高风险”短期利率≥0a随机排列（st）t≥0.特别是，在文献[9]中（根据文中使用的符号），它认为，对于任何期限δ>0，Zδt=Rt+δtgt（s）ds，其中gt（t）代表有风险和无风险瞬时t-远期利率之间的利差。请注意，根据[44]中采用的符号，我们的乘法扩展Sδ（t，t）对应于KL（t，t，t+δ）。30 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto特别是对于给定的音阶δ>0和任何0≤ T≤ 根据[56]的符号，我们的乘法扩展Sδ（T，T）对应于比率νT，T/νT，T。[43]中提出的短期利率模型也非常相似，主要区别在于，假设风险短期利率过程针对每个期限。6.3. 对数正态Libor市场模型。与原始文章[4]类似，我们也可以在上述框架内获得Lt（T，T+δ）的对数正态Libor市场模型。将δ固定，并考虑注释3.19中Y一维的设置，由Yt=Rtqsds和u=1给出。此外，假设我们的多收益率曲线模型中的驱动过程X是标准的d维布朗运动W，并假设Lt（T，T+δ）的动力学由dlt（T，T+δ）=Lt（T，T+δ）βT（T）dWT+δT给出，其中βT（T）是Rd值有界确定性函数，而（WT+δT）T≥0表示QT+δ-布朗运动。

回顾1+δLt（T，T+δ）=Sδ（T，T）1+δLDt（T，T+δ）= eRtqsds+RTtηδt（u）du+RT+δTft（u）du，将其^o公式应用于两侧并比较扩散系数，我们得到∑t（t）=δLt（t，t+δ）1+δLt（t，t+δ）βt（t）-e∑t（t+δ）-e∑t（t）.假设t7的可微性→ βt（t），我们可以导出σt（t）σt（t）=e的表达式-RTQSD-RTtηδt（u）du-RT+δTft（u）du（ηδt（t）+ft（t+δ）- ft（T））βT（T）- TβT（T）+ TβT（T）- eσt（t+δ）+eσt（t）。为了研究与该挥发性结构对应的ηδ的S（P）DE解的存在性，我们可以切换到——类似于第4.1节——Musiela参数化。在有关参数β、q和eσ的适当假设下，可以得到ηδ的存在唯一性，类似于定理4.5。因此，这种方法为市场实践提供了一种理论依据，即在多重收益率曲线设置中，通过布莱克公式对CAPlet进行定价。附录A.抵押品和FRA利率下的定价请在此简要回顾我们适用于FRA定价的一般衍生品完美抵押品下的定价。有关抵押和融资成本的一般估值的更详细讨论，我们参考了有关该主题的不断增长的文献，例如[3]和其中的参考文献。我们在此密切关注[24，第2.2节]。自始至终让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个过滤概率空间，其中P代表统计/历史概率度量。我们认为OIS零息票债券是基本的交易工具，在经典背景下扮演着无风险零息票债券的角色。

为了保证无风险，我们假设：（i）存在一个由（Bt）t表示的OIS银行账户≥0使Bt=exp（Rtrsds），其中RDE记录OIS短期利率；（ii）存在一个等价的概率测度Q，当以OIS银行账户单位计价时，所有到期日的OIS债券都是Q鞅。让我们注意到，在存在融资成本的情况下，存在一个等价度量，即市场中存在的风险资产在与相应的融资利率rf贴现时是（局部）鞅，这意味着没有套利。这可以嵌入到经典的框架中，其中Q是一个风险中性度量，无风险（OIS）银行账户为num’eraire，通过处理eR·-rfs+rsS作为交易资产。一个用于多曲线建模的通用HJM框架31现在让X成为一些衍生证券的FT可测量回报。我们在此假设一份完美的抵押协议，在该协议中，衍生品现值的100%在任何时间t<t过账到抵押物中。抵押品的接收人可以按照与OIS短期利率相对应的无风险利率r进行投资，并且必须向抵押品海报支付约定的抵押品利率Rc。应用风险中性定价，我们得到抵押交易现值的以下表达式vt=EQE-RTtrsdsX+ZTte-Rstrudu（卢比）- rcs）VSD英尺.如[24，附录A]所示，该公式相当于Vt=EQ[e]-RTtrcsdsX |英尺]。假设抵押品利率Rc对应于OIS短期利率r，通常情况下，我们得到了经典的风险中性估值公式。由于FRA的市场报价对应于完全抵押合同，其中抵押利率RCI假设为OIS短期利率r，因此上述定价方法适用于FRA利率的定义。

与经典利率理论一样，以Lt（T，T+δ）表示的FRA利率是在T时刻固定的利率，使得FRA合同的价值，其在T+δ时刻的支付由δ（Lt（T，T+δ）给出- K） 值为0。因此，它认为，尽管如此∈ [0，T]和T≥ 0，EQhe-RT+δtrsds（LT（T，T+δ）- （K）Fti！=因此，通过贝叶斯公式，Lt（T，T+δ）=EQT+δLT（T，T+δ）英尺,式中，QT+δ表示与数值B（·T+δ）和密度dqt+δdQ | Ft=B（T，T+δ）BtB（0，T+δ）相关的（T+δ）正向测量。特别是，这为将表达（2.1）作为公平FRA费率定义的市场实践提供了严格的依据。附录B.外汇类比为了表述的简单性，让我们考虑固定期限δ，并通过以下关系定义时间t和期限δ到期日t的艺术“风险”债券价格Bδ（t，t），对于所有≤ T和T≥ 0，Lt（T，T+δ）=：δBδ（t，t）Bδ（t，t+δ）- 1..而家人B（t，t）T∈[0，T]，T≥ 0代表国内无风险债券（以本国货币为单位）的价格Bδ（t，t）T∈[0，T]，T≥ 0可以被视为代表外国“高风险”经济体的零息债券的价格，以外币单位表示。根据这个外汇类比，我们自然会看到比率（B.1）Rδ（t，t）：=B（t，t）Bδ（t，t），对于t≤ T和T≥ 0，其中Bδ（t，t）（B（t，t），resp.）在这里必须被视为外国（国内，分别）的折扣因素经济还要注意，对于所有T，Rδ（T，T）=1≥ 0.按照[57，第4.2.1节]中的表述，数量Rδ（t，t）对应于时间间隔[t，t]内本币和外币之间的远期汇率溢价。

事实上，在标准的外汇市场上，即期汇率Qt（一单位外币的国内价格）和远期汇率F（t，t）（如[57，第4.2.1节所述）之间存在以下无套利关系：，债券价格以各自货币的单位表示，而贴现因子只是相应的实数。32 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTOprice（以本国货币表示）在时间T时支付的一单位外币：QtF（T，T）=B（T，T）Bδ（T，T）=Rδ（T，T）。（2.2）中引入的乘法扩展Sδ（t，t）现在对应于所有t的Sδ（t，t）=1+δLt（t，t+δ）1+δLDt（t，t+δ）=Bδ（t，t）B（t，t）Bδ（t，t+δ）Bδ（t，t+δ）=Rδ（t，t+δ）Rδ（t，t）≤ T和T≥ 0，而点乘性扩散仅由sδ（T，T）=Rδ（T，T+δ）给出，对于所有T≥ 0.特别要注意的是，Rδ（T，T+δ）正好对应于第2.1节中考虑的数量QδT，因此可以解释外汇溢价高于[T，T+δ]。由于伦敦银行同业拆借利率反映了伦敦银行同业拆借利率小组的整体信用风险，因此汇率溢价δ（t，t+δ）可被视为外国经济风险的市场估值（在时间t），即当前伦敦银行同业拆借利率小组在[t，t+δ]期间的信用和流动性质量。此外，根据相同的解释，数量sδ（t，t）=Rδ（t，t+δ）/Rδ（t，t）=EQT[R（t，t+δ）| Ft]因此是未来Libor面板在未来时间段[t，t+δ]的风险预期，从时间t的市场上看（计算为当前Libor面板在[t，t+δ]期间相对于[t，t]期间的相对风险）。

例如，Sδ（t，t）的大值意味着市场预期[t，t+δ]上伦敦银行同业拆借利率小组的信用质量会比[t，t]上的信用质量恶化，如时间t所示。从这个意义上说，乘法利差Sδ（t，t）是一个在多个服务环境下建模的相当自然的量，因为它代表了市场在t时（根据t日交易的金融工具计算）对伦敦银行同业拆借利率（Libor）小组在[t，t+δ]上的信用和流动性质量的预期。附录C.局部独立性和半鞅分解在本节中，我们假设（X，Y）是一个一般的It^o半鞅，取Rd+nand中的值，分别用ψX、Yits局部指数和ψX、ψY表示X和Y的局部指数，并让UX、Ybe定义为定义3.2中的值。鉴于[40，引理A.11]，以下定义等同于[40，定义A.10]中给出的地方独立性概念。定义C.1。我们说X和Y是局部独立的，如果在dQ之外 dt空集，它保持所有（u，v）的ψX，Yt（ut，vt）（ω）=ψXt（ut）（ω）+ψYt（vt）（ω）∈ U（X，Y）。在[40，附录A.3]之后，让我们回顾Y相对于X的半鞅分解的概念。我们分别用cY，X和Cx表示（Y，X）和X的第二局部特征，用byKY，X和KX表示（Y，X）和X的第三局部特征。也可用uY，X表示（Y，X）的跳跃度量。假设1∈ UY（即Y是指数特殊的，见命题3.3），let（C.1）Yk，i:=logeZ·cYi，Xt（cXt）-1.dXct+Z·Z（eyi）- 1） 1{x6=0}uY，X（dy，dx，dt）- KY，Xt（dy，dx）dt,对于i=1，n、 何处（cX）-1表示矩阵Cx的伪逆，Xc表示X的连续局部鞅部分（见[37，命题I.4.27]）。我们称Yk:=（Yk，1。

，Yk，n）>用于Y部分相对于X和Y的多曲线建模的dependentA通用HJM框架⊥:= Y- Y相对于X的独立部分。下面的引理对应于[40，引理A.22和引理A.23]。引理C.2。设（X，Y）是一个Rd×n值It^o-半鞅，使得∈ 嗯。那么以下是：（i）Y7→ Yk是一个投影，在这个意义上，（Yk）k=Yk；（ii）如果Z是局部独立于X的It^o-半鞅，则它认为（Z+Y）k=Yk；exp（Yk，i）是局部鞅，对于所有i=1，N（iv）Y⊥和（Yk，X）是局部独立的半鞅。附录D.命题4.4第4节结果的证明。让我们拍下任何一张照片∈ {0,1，…，m}。通过与[20，推论5.12]中相同的论证，可以证明κ（Hλm+1） Hλ，0和κij（Hλm+1） Hλ，0表示j=1，2。在这个等式中，C总是表示一个正常数，它可以随着行的变化而变化。根据假设4.3、H¨older不等式和[23，定理2.1]，可以得到与[23，命题3.2]的证明类似的以下估计（更多细节请参阅阅读者）。关于κi（h）和κi（h），我们有，对于所有的h∈ Hλm+1，ξ∈ RDS和RDS∈ R+，|（ζi0（h）（s））>ξ|≤ Ckζi0（h）kλ，dkξkd和|（ζ（h）（s））>ξ|≤ Ckζ（h）kλ，dkξkd，以及，对于所有ξ∈ Rd，^ξ∈ Rnand s∈ R+，eu>i^ξ+（Zi0（h）（s））>ξ- 1.≤ （C+Ci）kξkd（kζkn+kζi0（h）kλ，dkξkd），E-（Z（h）（s））>ξ- 1.≤ CeCkξkdkζ（h）kλ，dkξkd。这些估计与（4.10）和（4.11）一起显示，lims→∞κi（h）（s）=0和lims→∞κi（h）（s）=0。

此外，我们有ZR+Z（ζi0（h）（s））>ξeu>i^ξ+（Zi0（h）（s））>ξK^Y，X（d^ξ，dξ）eλsds≤ C（M+Mi）Ki，ZR+Z（ζ（h）（s））>ξE-（Z（h）（s））>ξF（dξ）eλsds≤ CMK，ZR+Zdds（ζi0（h）（s））>ξeu>i^ξ+（Zi0（h）（s））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）eλsds≤ C（M+Mi）Ki，ZR+Zddsζ（h）>ξE-（Z（h））>ξ- 1.F（dξ）eλsds≤ CMK。鉴于sκi（h）和如（4.12）-（4.13）所示，这意味着κij（hλm+1） Hλ，0表示j=3，5。