大型经济体中的不稳定性：没有

2022-5-6 08:13:12

大型经济体中的不稳定性：没有特殊冲击的总波动朱利叶斯·博纳特、让·菲利普·布乔德、奥古斯丁·兰迪尔2,1、大卫·塞斯马尔3,1 20141年6月20日：法国巴黎大学路23号资本基金管理，75007。2:TSE，塔巴奇制造公司，21 Allee de Brienne 31000法国图卢兹3:HEC&CEPR，经济和金融部，法国约瑟斯塞德克斯大道1号，78351 Jouy en Josas Cedex。摘要我们研究了一个相互关联企业的动态模型，该模型考虑了某些市场缺陷和摩擦，这里仅限于短视的价格预测和缓慢的生产调整。虽然标准的有理方程仍然是动力学的正规平稳解，但我们证明了这种平衡在整个参数空间区域内是线性不稳定的。当代理商试图过快地达到最佳生产目标时，合作就会破裂，动态变得混乱。在不稳定的“动荡”阶段，即使特殊冲击的幅度为零或经济规模变大，总产出的总波动仍然很大。换句话说，危机是内生的。这意味着“小冲击、大商业周期”之谜有了一个有趣的解决方案。1导言理论经济学中一个显著的难题是所谓的“商业周期”，即即使对于非常大的经济体，GDP也存在相当大的持续波动，见。g、 [1,2,3]。例如，自1954年以来，美国GDP季度环比增长平均为≈ 3%（每年），但具有较大的rms≈ 2.5%（年度）。这些波动会在危机中消失，比如最近的2008年危机。

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2022-5-6 08:13:15

也可以根据工业生产指数（IPI）进行类似观测；例如，美国每月IPI增长率的rms为≈ 从1950年起每年8%。然而，天真地说，大型经济体的产出波动应该非常小，因为经济体不同部门的波动应该是独立的、平均的。centrallimit定理（CLT）提供了一个更精确的说法：对于由n个规模相似的独立子部门组成的经济体，总产出的rms应按1的比例缩放/√要想避免这种情况，要么需要子部门规模的广泛分布，要么需要相似规模的子部门之间有很强的相关性（或两者的结合）。Gabaix[4]所倡导的第一种情况似乎是由[8]的仔细实证研究得出的，他们发现，各子部门之间的相关性仍然很大，即使是在深层次上。这些强相关性似乎是由部门相互关联这一事实所介导的，而投入产出网络提供了传染渠道，小规模的局部产出下降可以通过这些渠道传播和扩大，成为全系统的危机。事实上，这一设想早在long&Plosser[1]的一篇开创性论文中就提出过，随后又发表了一系列类似的论文[9,10,11]。然而，这一系列研究的结果有些令人失望，因为除非输入输出网络具有相当特殊的属性（通常是一个较低的数字）<< 在所有其他部门的主要投入的“关键”部门中，总产出波动率仍然表现为1/√n（乘以依赖于模型的预因子），当行业特定冲击不相关时。

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2022-5-6 08:13:18

换句话说，除非整个经济是如此“不平衡”，以至于严重依赖于少数几个部门（如[12]），否则总产出的巨大波动的起源无法在现有的商业周期模型中合理化。正如Cochrane pu所言[2]：什么样的冲击是经济波动的原因？尽管经济学家至少在200年的时间里观察到了经济活动的波动，但我们仍然不确定。虽然2008年的危机可以说是由于金融部门的动荡，而金融部门对经济的大多数其他部门来说确实至关重要，但这种情况绝不是普遍的：许多其他重大活动下滑的原因无法明确确定。此外，2008年的“金融部门”解释只会把谜题推低一个层次：为什么如此庞大的活动部门本身就容易受到如此大的冲击？本文的目的是证明，与市场缺陷耦合的网络效应通常会导致动态不稳定性，这可能是大波动的机制。“市场不完善”可能意味着许多不同的事情，例如由于价格调整缓慢而缺乏市场清算，由于摩擦而导致生产目标不理想，短视和/或偏见的预期（未来价格或未来消费），等等。

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2022-5-6 08:13:22

实际上，我们已经考虑了几个可能的缺陷，并且总是发现对于某些参数值，经济会变得动态不稳定，尽管（经典）静态平衡仍然存在，但小的波动会被放大，并使系统远离（而不是朝向）这种平衡。我们的想法可以通过考虑以下线性化动态方程来大致理解，该方程描述了围绕静态平衡的小波动，并出现在几个模型中，包括原始Long&Plosser模型[1]：~Xt+1=A~Xt+~εt，（1）式中，~X表示一组动态变量（即价格、数量、工资等），而~εt表示特殊风险（例如，生产率冲击）。A是一个动态矩阵（不同于输入输出矩阵），它封装了模型的所有成分——见下文。在没有任何市场缺陷的情况下，发现动力学是稳定的，即A的所有（复）特征值的模均小于1[1,8]。然而，正如我们在下面所展示的，市场因素可以完全改变情况，并将一个（或多个）特征值推向尤尼特圆。称α+模最大的A的特征值，~U+与其相关的特征向量（例如| | ~U+| |=1）。为了简单起见，假设α+是实的，并且非常接近于单位：α+=1-η另见，在与η不同的上下文中[5,6,7]<< 1.~xto的傅里叶分量b~X（ω）可以在静态下近似为：b~X（ω）≈eiω- α+^（ω）~U++来自其他模式的贡献，（2）与^（ω）=P∞t=-∞E-iωt（~εt·~U+）。假设特殊噪声ε是零均值和方差的白噪声，由E[εjtεkt′]=σjδjkδtt′给出，（3）人们可以在极限η内计算→ 0~Xt组分的相关函数，并发现：E[XjtXkt]≈ Uj+Uk+∑2η；∑=XlσlUl2+.

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2022-5-6 08:13:27

（4）这个简单的结果包含了我们故事中的一些重要成分：它表明，接近不稳定性时，函数的方差以η的形式发散-由于不稳定性的接近，存在强烈的诱导相关，因为对于j 6=k:E[XjtXkt]qE[Xj2t]qE[Xk2t]≈η→最后的结果表明，如果Xjand Xkare以相同的符号暴露于主导不稳定模式~U+，Xjand和XkTe之间的相关性随着不稳定的接近而趋于统一，即使它们的特质冲击εj，εkare完全不相关。这些特征为理解商业周期的主要“程式化事实”提供了一个有希望的机制。但为什么经济一开始就要接近不稳定呢？正如我们将在下面发现的，由于线性项的稳定，超出（线性）不稳定点的动力学实际上保持良好的性能，而在上面的示意图等式（1）中没有。在这一“动荡”阶段，对动态的分析描述是困难的，但可以预期，当只有少数模式变得不稳定时，上述现象学在质量上仍然有效——波动性和相关性很高，因为所有公司/部门的动态主要由一个（或很少）不稳定模式驱动。数值模拟证实了这一点。此外，即使在没有任何特殊噪声分量εt的情况下，不稳定阶段的动力学也会稳定到任何平衡状态。因此，我们故事中的总波动率主要是内生的，即复杂网络的非线性动力学的结果，而不是由在大型经济体中确实应该消失（或者更确切地说，平均化）的小规模特殊冲击所诱发。

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2022-5-6 08:13:30

我们认为，由不稳定因素调节的“无特殊冲击的总体波动性”情景非常普遍，可能有助于解决商业周期之谜。曼德尔等人[21]最近发表的一篇非常有趣的论文也得出了类似的结论，我们的工作与之有明显的相似之处，但也有重要的概念和方法差异。特别是，我们明确地建模了代理人的价格预期，并分析了预期形成以及调整成本如何稳定或破坏均衡。注意，因为e | | ~U+| | |=1，所以Uj的数量级+~ N-1/2.这种情况更为普遍，在a+以上的情况下也适用→ 1.-, 这将与我们下面的模型相关。长期以来，人们一直主张经济和金融系统的波动性很大一部分是内生的，参见[13,14,15,16,17]，最近在经济物理学文献中发表的许多论文提出了更为明确的情景——参见[18,19,20]和参考文献。在这里。本文概述如下。我们在第2节中介绍了我们的模型，这是一个标准的企业网络的动态概括，该网络包含两种“市场缺陷”：短视/启发式价格预测和缓慢的生产辅助。通过构造，我们证明了标准理性平衡点始终是动力学的平稳解。然后，我们在第三节分析研究了这个平衡点的线性稳定性，发现它只在参数空间的某个区域是稳定的。当调整速度足够慢以补偿近视时，动态是稳定的，并导致平衡。然而，当调整过快时，动态会变得准周期甚至混沌。

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2022-5-6 08:13:33

我们从数值上表明，总产出的波动性仍然很大，对于小型特殊冲击和大型经济体而言，波动性仍然很大。最后，我们讨论了开放性问题和可能的概括。2调整缓慢且价格预测短视的动态模型2。1设置阶段我们的模型设置在文献中研究的一般模型类别内，其中n家公司生产的商品i=1，n在价格点的数量（时间t）。投入产出矩阵是一个柯布-道格拉斯生产函数，将数量与劳动力数量联系起来l它和货物数量ψijt，j=1，n由i到：xit=zit使用l伊塔abYj“ψijt（1）- a） wij#b（1）-a） wij，（6）如果是企业的生产能力，wij描述了投入产出j在I生产中的份额，PJWIJ=1，i、 a∈ [0,1]是一个描述劳动在生产中所占份额的参数，B是一个描述生产对总体规模依赖性的参数。b=1对应于恒定的标度回归（CRS），而b<1对应于递减的标度回归（DRS）。通常认为a和b独立于公司i，尽管这很容易改变。典型地，a≈ 0.5和b≈ 0.9，我们将在下面使用的值。家庭对所有商品都有统一的对数效用，这只是意味着他们消费每一种商品的价格与之成反比，并花费他们所有的可用收入，由他们的工资和来自公司利润的股息组成（如果这些利润为负，家庭将承担损失）。

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2022-5-6 08:13:37

劳动力市场和所有商品市场都很清楚，在更一般的意义上，人们可以使用所谓的规模不变弹性（CES）生产函数，givenby:xi=ziA.lia-r+（1）-a） Xjwijψij（1）- a） wij-R-b/r代表r→ 0，这归结为柯布-道格拉斯生产函数，而对于r→ ∞ 一个是恢复Leontie Off的生产技术，xi=ziminj∈ihlia，ψij（1）-a）威吉布。以下报告的所有结果在质量上与不同的r值相似。工资ht（假设所有企业的工资相同）和价格会立即调整，以使（工作和商品）的供应与需求相等。劳动的总供给在时间上是恒定的，并且标准化为统一：nXi=1l信息技术≡ 1.t、（7）在时间t时，我必须决定下一时间步t+1的生产目标。它观察当前的工资水平和价格{pjt}，并预测t+1时它将能够销售其产品的价格Et（pit+1）。我们假设该公司了解其当前的生产力水平。根据这些信息，最佳生产水平为xi*t+1最大化已计算的预期利润减去成本，Pit:Pit≡ βt^xit+1Et（坑+1）- htl信息技术-nXj=1pjtψijt，（8）在约束条件下：^xit+1=zitl伊塔abYj“ψijt（1）- a） wij#b（1）-a） wij。（9）请注意，贴现率β可能会随时间变化（见下文），但为简单起见，我们假设它是i的独立值。当b<1时，上述优化程序有一个唯一的解决方案，由以下公式给出：xi*t+1=青春痘β-tEt（pit+1）伯克希尔哈撒韦-abtYj（pjt）b（1）-a） wij1.-b、（10）我们在重新定义青春痘时吸收了f因子。2.2缓慢调整雪地，我们偏离了通常的假设，即企业是严格的利润最大化者，并引入了生产水平不能任意快速地从一个iod变化到下一个iod的想法。

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2022-5-6 08:13:39

这可能是由于各种“调整成本”（难以足够快地雇佣/购买必要的机器等），也可能是由于预防性的“经验法则”，考虑到错误估计未来价格和生产率的风险（这有时被称为“稳健性准则”[22]）。因此，可以合理地假设，企业的实际生产目标xit+1是当前生产水平与上述最佳水平之间的平均值，即：xit+1=（1）- γ） xit+γxi*t+1，（11），其中γ是一个摩擦参数，如果调整成本/风险规避较大，则该参数很小，在相反的情况下接近统一。现在，企业必须确定它需要多少劳动力和商品。生产更新规则等式（11）实际上可以被视为是由调整成本成比例（1）产生的- γ） /γ×（xit+1）- 退出）。为了达到这一生产水平，f的成本最低。引入拉格朗日参数λit，很容易发现这些量由以下公式给出：lti=abλitxit+1ht；ψijt=（1）- a） bwijλitxit+1pjt；（12）式中，λ固定为公式（9）满足^xit+1=xit+1。这导致：λit=βtEt（pit+1）xit+1xi*t+11.-bb。（13）注意，当γ=1（无摩擦）时，λit=βtEt（pit+1）。请注意，我们下面的主要结果（当预期不合理时，经济不稳定）适用于γ=1的经济体，即在没有调整成本的情况下。事实上，即使在缺乏理性的情况下，调整成本对于恢复（在某些制度下）总体均衡状况也至关重要！2.3市场清算条件使用劳动力市场立即清算的假设在时间t给出工资，因为：nXi=1l它=1-→ ht=abnXi=1λitxit+1。（14）清理市场需要更多的时间，而可能的滞后则需要更多的讨论。

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2022-5-6 08:13:43

一个自然的假设是，t时家庭可获得的财富来自t时的工资和红利- 1，即：Mt=ht-1 |{z}工资+nXk=1xkt-1pkt-1.- ht-1.-nXk=1nXj=1ψkjt-1pjt-1.|{z}利润/损失。（15）然而，这使得模型稍微复杂一些，因为它引入了额外的时滞，并且需要引入利率。为了使模型和代数的设置尽可能简单，我们选择将所有支付和消费过程建模为即时的。换言之，在t时，许多事情“很快”发生：工资支付给家庭，工厂购买投入品，生产成本也支付给侯赛因，他们立即消费t时生产的商品，其价格调整使市场清晰。这当然有点荒谬，但引入额外的时滞并不会改变模型的现象学，只会改变不稳定性出现的参数的精确值。因此，我们写下：Mt=nXk=1xktpkt-nXk=1nXj=1ψkjtpjt=nXk=1xktpkt- (1 - a）在以下假设中，（xk=1）企业的工资与λ不完全一致。我们并没有试图详细描述劳动力市场清理了谁，只是假设它清理了。其中，我们对ψkjt和pjwkj=1使用了公式（12）。时间t时产品一的市场清算结果为：xit=Mtnpit+nXj=1ψjit，（17），其中第一项为家庭需求，第二项为其他企业需求。市场清算条件最终为：xitpit-nnXk=1xktpkt=（1）- a） bnXj=1wji-Nλjtxjt+1（18）注意，当γ=1时，这个前瞻性方程有一个简单的性质，预先宣布了我们将在下面发现的不稳定性。如上所述，对于γ=1，有λit=βtEt（pit+1）。假设价格预测没有偏见，即。

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2022-5-6 08:13:45

pit+1=Et（pit+1）+noise，引入向量Sit=xitpit，我们会立即看到向量S的动力学⊥tin与u niformvector~1正交的子空间写道：~S⊥t+1=βt（1- a） b[WT]-1~S⊥t+噪音。（19）但由于WT的所有特征值都是模<1，乘积βt（1- a） b本身<1，我们可以看到上面的迭代总是指数不稳定的，除非S⊥T≡ 0（在这种情况下，市场清算条件完全满足）。这被称为横向条件，当代理优化其跨时间效用函数时，遵循横向条件，如下文讨论的Lon g-Plosser模型（见第4.1节）。然而，在一般情况下，这种情况并不成立，我们将发现，只有当适应速度足够慢时，即当γ小于我们将在下面计算的某个值γC时，动力学才是稳定的。2.4预期价格：外推、短视或均值回复规则我们现在可以“关闭”模型，并记录偏离均衡的动力学方程。为了做到这一点，我们需要指定如何确定预期的未来折扣价格βtEt（pit+1）。对于价格，我们假设企业有“外推预期”，即：Et（pit+1）=pit坑-1.Q≈ 坑+q（坑）- 矿井-1），q∈ [-1,1]（20），这意味着企业假设未来价格是当前价格，加上与近期价格趋势相关的修正，当- 矿井-1| << 矿井当q>0时，企业预计最近的趋势会持续，而当q<0时，他们认为会发生一些均值回归。当q=0时，预期未来价格为当前价格，当q=-1.未来的价格预计由最后一个价格给出。按照同样的思路，可以合理地假设贴现率β与最新的通货膨胀指数有关，即：βt=βnYi=1比特-1.N-Q

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2022-5-6 08:13:48

（21）我们假设噪声项与t+1之前的任何过去信息（如xit）都不相关，这是理性均衡理论中的习惯。换句话说，如果预计价格在t和t+1之间平均上涨，则贴现系数βt应小于1。系数β始终可以设置为单位，直到生产率zi的乘法移位。自然选择是q=q（意味着企业一致调整价格和全球价格水平），但也可以考虑其他可能性。有了这些最后的成分，系统的动力学是完全特定的。请注意，我们的动力学方程是“货币单位对称性”（MUS），也就是说，如果所有价格和工资都乘以一个任意常数，它们是不变的，这是应该的。2.5总结在继续分析平衡及其稳定性之前，对我们模型的逻辑进行综合概括可能是有用的。在时间t，企业决定下一个时间步的生产数量。为了做到这一点，他们需要一个估计价格Et（pt+1），在t+1时，他们将能够销售他们的产品。他们使用过去的价格和简单的规则，公式（20）来计算。一旦知道这个价格，他们就会计算出最优数量x*t+1利用已知的科布-道格拉斯技术，最大限度地提高预期利润。公司实际上决定不生产x*t+1但要使当前生产Xt和最佳生产X之间的距离为γ的一小部分*t+1。在知道了这种“折衷”目标产量后，他们现在可以决定劳动力和投入的最佳数量，从而最小化生产成本，同时知道当前的价格和工资。这导致了Eqs。(12) & (13).

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2022-5-6 08:13:51

最后，在时间t一次，企业销售他们在时间t决定的产品-1.支付工资和股息，购买下一次生产所需的投入，而家庭购买企业生产，并且t时的价格是市场明确的。这组规则足以详细说明模型的动力学。许多简化的假设都是可以质疑的，比如货币流动的同时性，以及市场瞬间清空的事实。然而，通过保持框架尽可能简单，我们将能够证明，在达到标准理性均衡的稳定制度和出现混沌动力学导致内生波动的不稳定制度之间存在着一条代理过渡线。正如我们将在最后一节中提到的，这些结论似乎对上述许多简化假设具有鲁棒性（类似结论参见[21]）。3平衡和线性化动力学3。1生产力在时间上固定的平衡条件，即zit≡zi，存在静态平衡m，例如pit=pieq，xit=xieqandλit=λieq=βpieq。显然，来自Eq。（11），平衡产量与最优产量一致，xieq=xi*式（20）中的E（pi）≡ 皮克。因为没有膨胀，所以β=β≡ 1.这导致以下标准均衡关系，设定价格、产量和工资：~Veq-~Veq·~n~1=（1）- a） bcW~Veq；heq=ab（~Veq·~1），（22）带（~V）ieq≡ xieqpieq（称为[11]中的“影响向量”——直至标准化），（~1）i≡ 1，cWij=wji-n、和：谢=子皮克伯克希尔哈撒韦-abeqYj（pjeq）b（1）-a） wij1.-b、（23）问题是要知道这种平衡是否能够动态地达到，或者是否有任何少量的噪音使系统偏离平衡，这将使平衡情况的整体分析与理解聚合输出的影响无关。

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2022-5-6 08:13:55

我们将发现，一般来说，平面（q，γ）中存在一条线，在该线之下，平衡是稳定的，而在该线之上，平衡变得不稳定。在后一种情况下，总输出波动率是由系统的非线性动力学自诱导的，与任何外部“冲击”无关。3.2线性化动力学方程为了获得平衡情况的稳定性，我们研究了平衡点附近的小扰动动力学。因此，我们设定：坑≡ pieqexp（πit）；退出≡ xieqexp（ξit）；λ它≡ βpieqexp（uit）；zit=ziexp（it），（24）带π，ξ，u，<< 1.将上述方程扩展到这些量的一阶，得到以下方程组：（I）- aJ）~ut=1.- bbI+aJ~ξt+1+（1）- a） W~πt-b~t，（25）（1）- γ）（~ξt+1）-~ξt）=γb1- b（~πt）- ~ut）- γb1- b（齐- qJ）（~πt）-1.-~πt，（26）（I）- J）（~ξt+~πt）=（1）- a） b（fW）- J）（~ut+~ξt+1）。（27）五个矩阵的定义如下：Wij=Wij，（28）fWij=wjiVjeqVieq，（29）J0ij=n，（30）J1ij=VJEQPKEQ，（31）J2ij=Vjeqn Vieq。（32）式中，J0,1,2是J×J=J、J×J=J、J×fW=J和J×fW=fW的投影仪。注意，当ξt≡ 0和ut=πt≡ π、线性化的动力学方程应同样服从。利用上面等式（22）的平衡条件，我们可以检验这一点是否成立。最后要注意的是，如果我们在工资、分红和消费之间保持更自然的一个时间滞后规则，只有上面最后一个等式会改变，并且读数为（对于零利率）：~ξt+~πt- (1 - a） bfW（~ut+~ξt+1）=Jh（~ξt-1+~πt-1) - (1 - a） b（~ut）-1+~ξt）i（33）4从稳定经济体到危机易发经济体4。1.长普洛瑟方程上述框架概括了之前为网络经济中的产出和价格编写动力学方程的尝试。让我们特别讨论如何恢复长普洛瑟模型。

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2022-5-6 08:13:58

在完全理性的长期普洛瑟模型中，代理人完美地预测了未来的价格，并产生了最优数量，这意味着在目前的情况下≡ βEt[pit+1]和xit+1≡ xi*t+1。在等式（27）中插入相应的条件ut=~πt+1+噪声导致：- J） ~gt=（1）- a） b（fW）- J） ~gt+1，~gt:=~ξt+~πt.（34）然而，由于fw的奇异值都小于1，这种时间上的前向迭代通常不稳定，因为预因子（1）更是如此- a） b.因此，理性主体的经济循环的唯一“稳定路径”是，对于所有i，t，Sit=xitpit=常数，即~ξt=g~1-~πt，其中gis是一个任意常数（横向条件）：价格和数量总是彼此成反比，就像在长普洛瑟模型中一样。将其代入式（25）并使用W~1=~1得到长普洛瑟动力学方程（另见[9,10]）：~ξt+1=b（1- a） W~ξt+~t.（35）因为W的所有奇异值都小于1，而b（1）- a） <1，该方程导致一维子空间S k~1中的稳定波动（与公式（19）相比），出于同样的原因，导致子空间S中的不稳定动力学⊥~1). 此外，大型经济体的总产出波动率往往为零，除非投入产出矩阵W具有非常特殊的星形结构[11]。事实上，Acemoglu-Carvalho模型对应于一种异向斜噪声，这种噪声在时间上变化非常缓慢，在噪声发生显著变化之前可以达到平衡。在这个“绝热”极限中（用物理学的一个表达式来描述缓慢变化的外部条件），经济经历了一系列准平衡过程，其特征是：~ξ=[I]- b（1）- a） W]-1~（36），这正是Acemoglu等人[11]所考虑的方程。

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2022-5-6 08:14:02

将输出的相对函数定义为平均值n-1Piξi，并使用“影响向量”~Veq的定义≡N-1~T·[I- b（1）- a） W]-1，得出总产量的波动率为：∑slow=nXl=1σl~五、l 2eq≤ ∑fast=n-2nXi，j=1nXk=1Mij，kkσk，（37）注意，等式（26）在长普洛瑟框架中没有对应项，因为转换条件将量x的动力学完全固定为（M）-1） ij，kl= δikδjl- b（1）- a）威克瓦l. （38）第一个（“慢”）结果在[11]的慢绝热极限下成立，其中冲击在达到平衡所需的时间尺度上至关重要，而第二个（“快”）结果在~是快速演化的白噪声时成立，假设冲击是特殊的，在两种情况下具有相同的方差（即e（ij）=σiδij）。然而，正如[8]中所讨论并在上文引言中所强调的，当s-hock是特殊的时，这一系列稳定的动力学方程无法解释部门之间的巨大交叉相关性。经验输入输出矩阵不足以“星型”防止∑总体上太小。我们框架的整体想法是放松长普洛瑟（以及随后的论文）的非常严格的假设，即代理人完全提前预测未来，经济必须遵循从现在到未来的稳定路径。上面得到的一般方程仅假设了一个不完美且短视的优化方案，以及对未来价格的启发式预测。正如我们现在展示的，这可能会导致动力学不稳定性和更丰富的现象学，包括大波动和危机。4.2一般情况：线性稳定性分析等式的稳定性分析。

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2022-5-6 08:14:05

（25,26,27）在一般随机矩阵的情况下，W是有限的。然而，当W是正常的，即当它通过转置通勤时，情况会大大简化，而不会改变主要的定性结论。在这种情况下，很容易检查~Veq∝~1，即企业i在经济中的均衡份额，定义为：Sieq=xieqpieqpkxkeqeq（39）对于所有i:Sieq=1/n是相同的。然后，我们可以分解特征基W中的函数π，~ξ，~u，并独立研究每个组成部分，因为在这种情况下，J=J=T~1/n和fw=WT.4.2.1统一模型从统一模式开始，对应于W的特征值=1。线性方程组变成：（1）- a）（ut）- πt）=1.- bb+aξt+1-b1，t，（40）（1）- γ）（ξt+1）- ξt）=γb1- b（πt）- ut）- γb1- b（q）- q）（πt）-1.- πt，（41）（42）式中1，t=~t·~1。等式（27）被证明是微不足道的满足，留下πTunderming的演化。这意味着，在支付和消费同时发生的模型中，当~thas具有非平凡的时间相关性时，中间情况的演化也可以通过进入信息空间来处理。然而，最终的结果并不是很能说明问题。总体价格水平尚未确定。当引入有限时滞时，如等式（33），情况并非如此。尽管如此，当q=q时，总体价格水平的演变，正如预期的那样，完全提高了内部收益率，为了简单起见，我们将在这里集中讨论这个案例，下面对更多的一般情况进行评论。等式的组合。（40,41）导线，对于q=qto：（1）- γ + ζ(1 - b+ab）ξt+1=（1- γ） ξt+ζ1，t；ζ =γ(1 - a）（1）- b）。

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2022-5-6 08:14:09

（43）自ζ（1）- b+ab）≥ 0时，ξ的演化总是线性稳定的，并且在极小的调整率γ的限制下，只会略微不稳定→ 0.这实际上是一个理想的属性，因为由单一企业构成的经济体的演化方程与统一模式的演化方程相同。我们希望网络效应和市场缺陷之间的相互作用产生任何不稳定性，因为单一企业系统的不稳定性将是非常艺术的。在引入滞后并使用公式（33）的情况下，我们发现如果q- QI非常大，即过去趋势对未来价格预期的影响显著大于对全球通胀的预期。这个案例代表了企业的一种非理性乐观主义，他们坚信明天可以以高折扣价出售产品。虽然可能很有趣，但我们在目前的工作中不会进一步探讨这条道路。4.2.2非均匀模式我们现在考虑非均匀模式~Vs⊥~1，对应于另一个特征值∈ C/W，带| s |<1。系统的演化方程现在为（带s，t=~Vs·~t）：ut-(1 - a） sπt=1.- bbξt+1-bs，t，（44）（1）- γ）（ξt+1）- ξt）=γb1- b（πt）- ut）- γb1- bq（πt）-1.- πt），（45）ξt+πt=（1）- a） b′s（ut+ξt+1），（46）与s的复共轭。

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2022-5-6 08:14:13

E在第一个和第三个方程之间消除ut（并暂时将噪声设置为零）导致：πt=（1- a） \'sξt+1- ξt1- b（1）- a） |s |，（47）ut=ξt（1）- a） b\'s- ξt+1+（1）- a） \'sξt+1- ξt（1）- a） b’s（1）- b（1）- a） |s |）（48），从而得到了ξt的自治二阶微分方程：aξt+1+aξt+aξt-当q6=q时，1=0，（49）和额外项（q- q）（πt）- πt-1）出现在方程式右侧，这不会影响下面报告的稳定性分析。c=b（1- a） <1和：a=1- γ+bζs（1- B- c|s（1+q）+c|s |），bζs=γ（1- b）（1）- b（1）- a） |s |）（50）andA=-h1- γ+bζs（\'sc（1- q）- b（1+q））i，A=-qbbζs.（51）研究方程Aα+Aα+A=0的根非常复杂。然而，我们马上就能看到α的不稳定性→ 对于q的任何值，都不能出现1，而α→ -1定义（q，γ）平面上的某条线γc（q），由（s real）给出：1- γcγc=2b- 1.- cs+2q（b+cs）2（1）- b）（1）- b（1）- a） s），（52），前提是右侧为正。在极限b→ 这是真实的，它简化为一个更易读的表达式：γc≈2(1 - (1 - a） s）第2季度+1- (1 - a） s（1）- b），（53）显示了几个有趣的特征：oa）当b→ 1，也就是说，对于恒定的尺度回归，系统总是动态不稳定的，即γc=0b）当q=0时，γcis独立于a和s，因此是输入输出网络的形式c）对于给定的s，当q增加时，γcd减小，这意味着更多的趋势跟随价格（即q>0）会破坏系统的稳定性d）对于给定的q，γcd随着s的增加而减小。对a=0.5和b=0.9的根进行数值分析，得出下图所示的相图。1，用于不同的投入产出矩阵，包括对应于美国经济的矩阵。

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2022-5-6 08:14:16

我们发现，对于q的所有值，都存在一个临界值γ=γc（q），在该临界值以上，系统变得稳定，因为具有最大模量的特征值α穿过单位圆。正如上述分析结果所预期的，当外推预期变得更强（q）时，对于q=0和d，γcis近似独立于输入输出矩阵（即系统变得更不稳定）→ 1）或者当均值回归变强时（q→ -1). 然而，有趣的是，随着q变为负值（也就是说，参考价格在过去进一步滞后于q）→ -1对应于Et（pt+1）=pt-1）当α获得一个非零虚部时，不稳定性会发生变化，而当| q |增加时，γcstarts再次减小。换句话说，对于γ<γmax的固定值，存在一个区间[q]-, q+]内系统线性稳定，外系统不稳定。当γ→ γmax间隔结束（q-→ 对于γ>γ最大值，系统始终是稳定的。直觉上，这意味着短视的价格预测规则会阻止企业进行协调并找到合理的均衡，除非企业缓慢地适应新信息（即当q=- 1、s、r和b→ 1.计算再次简化并得出临界值γc≈ (1 -b）这样α=eιθ，cosθ=（1）- (1 - a） s）/2。图1:q，γ平面内模型的“相图”，用于各种类型的输入输出矩阵，正常和非正常。在临界线以下（即对于足够小的γ），标准理性平衡是动态稳定的。在这条线上，平衡点仍然是动力学模型的严格平稳解，但它是线性不稳定的。请注意，γ的最大值适用于略有均值回复的价格预测，即q<0，但不太大。

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2022-5-6 08:14:20

上曲线（左三角形）对应于大小为n=40的普通矩阵，中间曲线对应于大小为n=20、40、80、160（从下到上）的指数分布独立元素的随机矩阵，而最低（最不稳定）曲线对应于大小为n=40的US输入输出矩阵。够了）。从某种意义上说，这种缓慢的适应可以使预测误差达到平均值，并使系统达到每个平衡。注意，非常有趣的是，输入-输出矩阵W的结构对于不稳定性的存在并不关键（尽管γC的精确值和不稳定相d o中的动力学的详细性质取决于W）。事实上，即使W是单位矩阵，系统也可能不稳定。原因是，在任何情况下，所有企业都受到家庭消费预算的影响，家庭消费预算（部分）决定了商品需求，并通过市场清算条件决定了价格的变动。如果将家庭视为企业网络中的一个额外节点，那么这个节点就与所有企业相连，从而在某种意义上导致了[11,12]中设想的脆弱的“星形”经济，即使W=I。有关导致动荡动态的类似协调分解，请参阅[23]中关于“复杂”两人博弈的有趣研究。0 50 100 150 200t-0.02-0.010.000.010.020.03xti-xtin=64，q=-1γ=0.115,0.13（直线）和γ=0.15（虚线）的轨迹图2：“轻度”不稳定阶段（γ=0.115）总产出的三条典型轨迹≈ γc=0.13，0.15>γc）。外部冲击的标准偏差非常小（σ=10）-3） q=-1，在所有情况下n=64。然而，在不稳定阶段，总波动率要大得多，动力学显示出“商业周期”。

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2022-5-6 08:14:23

注：在稳定状态下，总产出水平高于不稳定状态下的平衡值（见图4）。4.3非线性状态：在不稳定阶段，无冲击的波动性，n非线性开始发挥作用，分析计算变得不可能，因此必须转向系统动力学的数值模拟。有趣的是，正如在许多不稳定动力系统中一样【24】，非线性被发现可以稳定动力系统，使其变得准周期甚至混沌，但有界。直观地说，当系统严重失衡时，模型的经济因素确实被期望起到稳定作用：高价格强烈抑制需求，进而导致价格下跌，等等。让我们再次相信，标准均衡仍然是动力学方程的严格解，但它只是变得不稳定（因此无法实现），导致极限环或完全混沌动力学。总产量的一些典型轨迹如图所示。2.3对于尺寸为n=64的系统，对于q=-γ=0.115，γ=0.13，γ=0.15，γ=0.185。临界点在γc附近≈ 0.115，但其他过渡点也出现在较高的γ值处，对应于不同类型的动力学（准周期、混沌），类似于经历向湍流过渡的物理系统[25,24]。对于大型经济体而言，较大的γ值导致越来越多的混沌动力学，见图3[27]。让我们坚持认为，我们选择了具有极小方差的特殊噪声：图2所示的γ>γ顺式的波动性主要是内源性的，是不稳定阶段动力学自我维持性质的直接结果。

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2022-5-6 08:14:26

请注意，例如，γ=0.13会导致周期的业务周期≈ 50个时间步（如果时间步被解释为一个时间步，则为12年）。当然，动力学产生的周期在这里太过规则，一个原因是真正的外生0 50 100 200吨-0.10.00.10.20.3xti-xti输出q=-1，n=64，γ=0.185图3：混沌阶段总输出的典型轨迹（γ=0.185）。外部冲击的标准偏差再次为（σ=10-3） q=-1，n=64。请注意，图2中的准周期行为已被完全不规则的模式所取代。冲击会扰乱这种周期性。类似的“商业周期”，对应于线性不稳定系统的极限周期，过去也有人提出过。著名的Goodwin/Lotka-Volterra振荡提供了一个例子，尽管其基本机制完全不同——参见例[26]。不稳定阶段的另一个有趣特征是，总产出的平均水平高于平衡水平，而在不稳定阶段，家庭的平均消费（或消费率）下降（更多细节参见图4）。后者本可以被取消，因为均衡水平对应于最佳福利状况；在不稳定阶段，协调性的减弱会导致家庭满意度的降低，但也可能导致家庭整体产出的增加。为了更详细地分析总体行为，我们在图5中绘制了总产出∑的波动率，作为给定q值（此处q=-1).主图显示了不同系统尺寸n和特定噪声水平σ的∑（γ）l= σ = 10-3，而插图显示了给定n的∑（γ）f和不同的σ。

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2022-5-6 08:14:30

从这张图中我们可以清楚地看到：oa）当γ<γc≈ 0.115时，总ou tput的波动性很小，当σ→ 0或n→ ∞, 正如之前所有工作的结果所预期的那样[11]b）然而，当γ>γc时，s elf持续的混沌动力学会导致波动，在很好的近似下，该波动变得与σ无关，并且在γ增加时迅速增加，因此在大型经济体和/或消失特质的限制下存活。换句话说，我们的系统为理解企业的存在提供了一个自然的框架。我们在这里关注的是总产出，但检查了其他指标，如房屋消费，是否以非常相似的方式表现。图4:h ou seholds的平均总产量和总消耗量与γ的函数关系，forq=-1.在稳定阶段γ<γc，正如预期的那样，我们找到了理论平衡水平，这对应于家庭消费的最佳水平。在稳定阶段γ<γc，与平衡水平相比，总产量增加，而总家庭消费减少。大型经济体的周期，或者，套用伯南克等人[3]的话，“小冲击，大周期混乱”。事实上，由于总波动与任何特定的“冲击”无关，因此无法确定总输出中某个特定下降或峰值的特定来源的确切原因。

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2022-5-6 08:14:33

这与Coch rane在引言[2]中引用的论文中的结论一致：。。。我们（可能）永远不知道经济波动的根本原因——当然，上述情景与他的截然不同。该模型产生的混沌波动的另一个非常有趣的方面是，正如引言中所宣布的，行业波动变得高度相关或反相关，并且与Foersteret al[8]的结论一致。事实上，正如导言中所指出的，我们预计在接近临界点时，所有扇区都由一个处于稳定模式的扇区驱动，因此变得完全相关（或反相关）。在非线性项的存在下（导言中没有说明），几个模式被驱动为不稳定的，并且随着一个人进入不稳定阶段，动力学变得越来越混乱。因此，部门之间的交叉相关性仍然小于1，但比稳定阶段的交叉相关性要大得多。我们在图6中显示了作为γ函数的函数的函数的平均绝对成对相关性。在这里，我们再次看到相关性都处于稳定阶段：正如[8]中所强调的，由稳定网络模型产生的相关性通常非常小，在任何情况下都比经验测量的互相关小得多。然而，在非线性阶段，整个经济由一个（或多个）不稳定因素驱动，Cochrane解释了“消费冲击”的影响，新闻消费者看到了，但我们没有看到。这是一个有吸引力的观点，至少可以解释我们对潜在冲击的持续无知。来自[2]。从这个意义上讲，当许多模式变得不稳定时，经济系统可能会变得“动荡”，就像流体一样——参见[25,28]。0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16γ10-410-310-2vol(xti）卷。

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2022-5-6 08:14:36

素矩阵n=64，q=-1（正方形），n=10，q=-1（三角形）；插图n=10，q=-1和∑=0.01,0.001,0.00010.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.1410-410-310-2图5：主图：总产量的波动率作为σ=10的γ函数-3、区分n和普通输入输出矩阵wij≡ 1/n和d表示q=-1.当γ<γc（q=-1) ≈ 0.115，波动率随n下降，正如稳定、平衡的经济体所预期的那样（见[9,10,11]）。另一方面，当γ>γc时，即使n增加，挥发性仍然很高。随着γ的增加，更多的模式变得不稳定，波动率对γ的依赖性变得非常重要，从而导致二次不稳定性[27]。插图：总产量随γ变化的波动率，现在固定值为n=10，但σ=10-3, 10-4和10-5（其他参数与主图表中的参数相同）。现在，在e上可以看到，当γ<γc时，总波动率与特殊冲击的波动率成正比，正如预期的那样。然而，在不稳定阶段，γ>γcbecome与σ无关，甚至在极限σ内→ 0：一个有“小冲击，但大循环”[3]。0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14γ10-210-1100|科尔（xti，xtj）|我≠jCross相关性。素矩阵n=64，q=-1（正方形），n=80，q=-1（圆形），n=64，q=0.5（三角形）图6：不同截面的平均成对相关性（绝对值），作为σ=10的γ函数-3，对于q=-1（n=64：正方形，n=80：圆形），q=0.5（三角形）。输入输出矩阵仍然是普通矩阵。我们可以看到，当γ<γc（q=-1) ≈ 0.115时，各截面之间的cr-oss相关性很小（只有几%），而在不稳定阶段，它会上升到>50%的值。模式，从而导致高度同步的行为。

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2022-5-6 08:14:41

在这方面，让我们坚持一个事实，即模型的线性不稳定性不是均匀模式的线性不稳定性，而是非均匀模式的线性不稳定性，而非均匀模式的线性不稳定性定义为对经济的总生产没有影响。但当系统处于非线性阶段时，模式会发生耦合，不稳定的非均匀模式在总输出的动态演化中扮演一个共同的“噪声”因素的角色。我们发现[27]随着γ的增长，非形式模式的振幅大幅增长，并导致部门之间的平均相关性，其确实达到了与经验观察值类似的值（ρ≈ 0.2，s ee[8]）5可能的扩展和结论上述模型应被视为一个程式化的原型，但不应被视为工具化的原型。尤其是，在我们看来，仔细校准模型似乎为时过早，因为（在这个阶段）忽略了许多潜在的相关影响。我们的框架令人感兴趣的主要原因是，虽然仍然非常接近经典框架（只有两个看似合理的修改：企业没有明确的远见，使用短视的价格预测，而且企业不会立即调整到最佳生产目标），该模型展示了一种非常丰富的现象学，并提出了一种理解大型经济体如何波动的新方法：通过与物理系统的类比，它们是“动荡的”。然而，经济中许多潜在的重要方面都被抛弃了，其中最重要的一个事实是，市场并不会在瞬间清算，从而导致股票和/或非自愿储蓄。我们实际上已经扩展了我们的模型，以考虑到非订单生产或盈余，价格或多或少会快速适应这些情况。

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2022-5-6 08:14:44

在尝试将模型校准到实际数据之前，应包括的其他重要方面包括：储蓄率和利率、库存、产品和偏好的异质性、建造时间的异质性（这将消除上述离散时间模型中假设的活动的艺术同步所产生的虚假影响），网络本身的动态适应（关于最后一个方面，请参见鼓舞人心的论文[29]），等等。尽管如此，我们的场景似乎是稳健和通用的。我们在数值上研究的每一个扩展都展示了一个非常相似的整体现象学：一个参数空间的区域，其中理性均衡是稳定的，波动性很小，一个过渡流形，超过这个流形，理性均衡无法动态地进行，大的内生波动仍然存在，即使是对于大型经济体和正在消失的特质噪音。有趣的是，我们发现缓慢的调整总是有助于稳定系统：当代理人试图过快地达到最佳生产目标时，世界经济无法协调，从而导致危机。我们计划在不久的将来详细报告这些扩展，以及混沌阶段的动态[27]。当我们确信考虑了最相关的机制时，对增强模型的精确校准将在gful和我们的议程中变得有意义。确认这项工作的部分资金来自危机项目。我们要感谢危机的所有成员进行了最有益的讨论，特别是J.巴蒂斯塔、A.贝弗拉托斯、D.德利·加蒂、J.D.法默、S.瓜尔迪、M.塔尔齐亚和F.赞波尼发表了许多有启发性的评论。我们还感谢A.Mandel，M.Marsili提供的有用信息，特别是A.M.为我们提供参考文献[21]。参考文献[1]J.B.Long，C.I.Plosser。真正的商业周期，J。

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