在终端支付的情况下，我们发现最优合约是通过基于输出、其二次变化（在实践中对应于计算夏普比率时使用的样本方差）、可收缩风险源以及输出和风险源之间的交叉变化的补偿来实现的。（或者，它可以通过提供此类回报的衍生品来实现。）这是一个悬而未决的问题，如果有的话，我们在以这种方式限制可容许契约家族时，会失去多少数学上的普遍性。我们认为，从实践的角度来看，我们确实包括了现实世界中委托人可能考虑的所有合同。在我们的框架中，假设委托人知道模型参数（例如，平均回报率和对冲基金经理投资的资产回报的方差方差矩阵）。在实践中，委托人可能不具备这些信息，因此将模型扩展到包括这种逆向选择问题是有意义的。这可以通过将我们的模型与Leung（2014）的模型相结合来实现。参考文献[1]Bichteler，K.（1981）。随机积分和半鞅的Lp理论，Ann。问题。，9(1):49–89.[2] Briand，P.，Hu，Y.（2008）。具有凸生成元和无界终端条件的二次BSDE，Prob。理论与相关领域，141（3-4）：543-567。[3] Cadenilas，A.，Cvitani\'c，J.，Zapatero，F.（2007年）。努力与项目选择的最佳风险分担，《经济理论杂志》，133:403–440。[4] Cont，R.，Fourni\'e，D.（2013年）。函数It^o演算和鞅的随机积分表示，概率年鉴，41（1）：109–133。[5] Cvitani\'c，J.，Wan，X.，Yang，H.（2013）。合同设计与筛选的动力学，管理科学，59:1229–1244。[6] 杜皮尔，B.（2009）。

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最后，第3步专门研究不可控波动的情况。第1步：代理问题的替代公式让我们考虑以下过程族，由可容许过程v:Mv·索引：=Z·σs（vs）·dBsB·。。。Bd·Z·∑⊥s（vs）dBs=Z·∑s（vs）dBsZ·∑⊥s（vs）dBs, P- a、 （7.1）其中，与第4.1节类似，对于任何∈ [0，T]和任何v∈ V（d+1）×d矩阵∑（V）由∑s（V）：=σTs（V）Id，d！，Id为d：=国际直拨电话-D.此外，∑⊥姐姐现在是a（d）- D- 1） x d矩阵满足，对于任何s∈ [0，T]和任何v∈ V，∑⊥s（v）∑s（v）T=0d-D-1，d+1和∑⊥s（v）（σ）⊥s） T（v）=Id-D-1.然后我们将pmon设置为概率测度Pvon的集合(Ohm,F）形式PV的：=Po （Mv）-1.对于任何可接受的v。

（7.2）我们还记得，在Bichteler（1981）的著作中，我们还可以定义二次变量过程hBi及其密度过程关于勒贝格测度的路径版本，即正对称矩阵xbα：bαt:=dhBitdt。族元素对应于代理人对波动向量σs（v）的可能选择我们注意到，根据我们的定义，我们有以下弱公式：Pv下的（B，Bα）定律=MV定律，∑s（v）∑s（v）Td+1，d-D-1d-D-1，d+1Id-D-1.此外，与第4.1节一样，在P.下，B的二次变化的密度是可逆的，当且仅当∑s（v）∑s（v）是可逆的，这可以被证明是等效的tokσs（vs）k-D∑i=1σis（vs）6=0，与（3.6）相同该族还可以通过考虑控制u的所有选择来描述，对于控制u，M的SDE至少存在一个强解（见Soner、Touzi和Zhang（2011）），或者，相当于某个鞅问题（见Kazi Tani、Possamai和Zhou（2013）以及Neufeld和Nutz（2014））。然后，根据Soner，Touzi，Zhang（2013）中的引理2.2，对于每一个可容许的v，存在一个F-逐步可测映射βv:[0，T]×Ohm -→ rdb=βv（Mv），P- a、 s，bαs（b）=∑s（βv（b））∑Ts（βv（b））0d+1，d-D-1d-D-1，d+1Id-D-1.Pv- a、 这特别意味着，过程wt:=Ztα-1/2分贝，P- a、 s（7.3）是一个Rd值的P-布朗运动，对于每一个P∈ Pm§§。特别是，这意味着规范过程B允许以下动力学，对于每个容许的v，Bt=B+Ztσs（vs（W·））·dWs，Pv- a、 美国，Bjt=Bj+Wj-1t，Pv- a、 美国，j=2。d+1，如果d>0，Bd+2t。。。Bdt=Bd+2。。。屋宇署+Zt∑⊥s（vs（W·））dWs，Pv- a、 美国。

（7.4）因此，标准过程的第一个坐标是期望的输出过程，委托人和代理人都观察到，以下坐标代表可收缩的风险源，而其余坐标代表不可收缩的因素。现在可以通过使用Girsanov变换来引入受控漂移bs（as）。我们定义任何（v，a）∈ U和任何Pv∈ Pm，等效概率测度Pv，abydPv，adPv:=EZ·bs（as）·dWsT、 我们用P表示：=（Pv，a）（v，a）∈接下来，根据Girsanov定理，下面的过程是一个Pv，一个布朗运动：-ZTB（as）ds、Pv、a- a、 s.（因此也是Pv）- a、 请注意，我们实际上应该考虑一个家庭（WP）P∈Pm，由于（7.3）中的随机积分是先验的，仅定义了P-a.s。然而，我们可以使用Nutz（2012）的结果提供该族的聚合版本，这是我们用W表示的过程。这个结果在一个“好”的集合论公理选择下成立，我们在这里没有具体说明。请注意，假设载体b的第一批不依赖于a，控制a的选择不会改变外源风险源（b，…，Bd+1）的分布。然后，通过（7.4），我们得到bt=B+Ztσs（vs（W·））·（bs（as）ds+dWas），Pv，a- a、 美国，Bjt=Bj+Wj-1t，Pv，a- a、 美国，j=2。

d+1，Bd+2t。。。Bdt=Bd+2。。。屋宇署+Zt∑⊥s（vs（W·））dWs，Pv，a- a、 然后可以重写为ASBOB：=英国电信。。。Bd+1t=BBd+1+Ztus（vs（W·），as）ds+Zt∑s（vs（W·））dWas，Pv，a- a、 美国，笨蛋--:=Bd+2t。。。Bdt=Bd+2。。。屋宇署+Zt∑⊥s（vs（W·））dWs，Pv，a- a、 （7.6）如果有∈ [0，T]和任意（v，a）∈ U，us（v，a）是由us（v，a）定义的Rd+1向量：=σTs（v）bs（a）国际直拨电话-D!.然后注意，对于给定的测度P∈ 根据MDI.7，我们总是可以找到两个维度-尺寸向量VP和aPsuch thatBobst=Bobs+Ztus副总裁ds+Zt∑s副总裁德瓦普斯，P- a、 这给了我们以下对应关系Vpv，a（B·）=v（W·），aPv，a（B·）=a（B·），dt×Pv，a- a、 e.特别是，这意味着对于任何容许的控制a，vPa，v=vPv。因此，从现在起，我们将始终写入vPv。使用上述符号，我们将代理的值函数重写为：VA，wt:=essupPP∈P（t，P）EPthUA（ξt）- KPt，T）i，P- a、 对所有人来说∈ P、 （7.7）任何P∈ P、 集合P（t，P）是P中符合Pon Ft的概率度量集合，其中kpt，t:=ZTtk（vPs，aPs）ds。值函数的定义先验地明确依赖于测度P，我们不应该定义一个族（VA，w，Pt）P∈事实上，目前还不清楚这个家族是否可以聚合成一个通用的过程。这些问题是涉及扩散波动性控制的随机控制问题的弱模拟所固有的，见Soner、Touzi和Zhang（2011）、Nutz和Soner（2012）、Nutz和van Handel（2013）、Possamai、Royerand Touzi（2013）、Epstein和Ji（2013）。在我们的背景下，有必要指出，按照Possamai、Royer和Touzi（2013）第5节中的类似论点，我们可以证明家族Psatis满足条件5.4，并指出他们的方法可以扩展到非鞅测度（如Nutz和van Handel（2013））。

这使我们能够正确定义代理的价值***.第2步：解决代理人的问题让我们从筛选一些（v，a）开始∈ U然后，在ξT的充分可积条件下，过程（eRAKPv，a0，tVA，wt）为0≤T≤这是一个c\'adl\'ag，Pv，a-过滤F的超模，它等于∨离岸价--.